上海市初三数学复习专题及答案动圆问题+坐标平面内的圆

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沪科版九年级下册数学第24章圆含答案(必考题)

沪科版九年级下册数学第24章圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，下列结论错误的是（）A.AC＝ODB.BC＝BDC.∠AOD=∠CBDD.∠ABC=∠ODB2、如图，⊙O的直径BD=6，∠A=60°，则BC的长度为（）A. B.3 C.3 D.43、如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD, AB=10,CD=8, 则BE为（）A.3B.2C.5D.44、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，如果AB=20，CD=16，那么线段OE 的长为（）.A.10B.8C.6D.45、如图，⊙O的半径为r，⊙O1、⊙O2的半径均为r1，⊙O1与⊙O内切，沿⊙O 内侧滚动m圈后回到原来的位置，⊙O2与⊙O外切并沿⊙O外侧滚动n圈后回到原来的位置，则m、n的大小关系是( )A.m>nB.m=nC.m<nD.与r，r1的值有关6、如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，把△ABC沿EF折叠，点C的对应点为O，连接AO，使AO平分∠BAC，若∠BAC＝∠CFE＝50°，则点O是（）A.△ABC的内心B.△ABC的外心C.△ABF的内心D.△ABF的外心7、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.直角梯形C.平行四边形D.菱形8、如图圆锥的高AO为12，母线AB长为13，则该圆锥的侧面积等于（）A.32.5πB.60πC.65πD.156π9、如图点A，D，G，B在半圆上，四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形，设BC=a, EF=b, NH=c,则下列说法正确的是（）A.a＞b＞cB.a＝b＝cC.c＞a＞bD.b＞c＞a10、如图：下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.11、如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5º，AB ＝2，则半径OB等（）A.1B.2C.2D.12、下列说法中，不正确的是（）A.与圆只有一个交点的直线是圆的切线B.经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线D.垂直于半径的直线是圆的切线13、已知△ABC中，AB=AC=6cm，BC=8cm，以点A为圆心，以4cm长为半径作圆，则⊙A与BC的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.外离14、车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（）A.圆上各点到圆心的距离相等B.直径是圆中最长的弦C.同弧所对的圆周角相等D.圆是中心对称图形15、《九章算术》中有一题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何? ”其意思是:“今有直角三角形，勾(短直角边)长为步，股(长直角边)长为步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是（）A.6步B.7步C.8步D.9步二、填空题(共10题，共计30分)16、在平面直角坐标系中，点（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是________ ．17、如下框内是“已知一条直角边和斜边作直角三角形”的尺规作图过程.已知：线段a、b，求作：使得斜边，.作法：如图.作射线AP，截取线段；以AB为直径，作；以点A为圆心，a的长为半径作弧交于点C；连接AC、CB.即为所求作的直角三角形.请您写出上述尺规作图的依据：________.18、如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝26°，则∠D＝________.19、圆的一条弦分圆为4：5两部分，其中优弧的度数为________ °．20、如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为________。

沪科版九年级数学中考复习面运动专题(含答案)

word版初中数学沪科版九年级数学中考复习面运动专题（含答案）一、选择题1. (·阿坝州)如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为( )A. 2 cmB. 3 cmC. 2 5 cmD. 2 3 cm第1题第2题2. (·毕节)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E′处，则下列判断不正确的是( )A. △AEE′是等腰直角三角形B. AF垂直平分EE′C. △E′EC∽△AFDD. △AE′F是等腰三角形3. (·玉林)如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O 是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是( )A. 240°B. 360°C. 480°D. 540°第3题第4题4. (·内江)如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA，OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(0，33)，∠ABO＝30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为( )A. ⎝⎛⎭⎫32，323 B. ⎝⎛⎭⎫2，323C. ⎝⎛⎭⎫323，32D. ⎝⎛⎭⎫32，3－3235. (·苏州)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P，P′分别是EF，E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD 的面积为( )A. 28 3B. 24 3C. 32 3D. 323－8第5题第6题6. (·乐山)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC 的边OA，OC分别落在x，y轴上，点B的坐标为(6，4)，反比例函数y＝6x的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连接DE，将△BDE沿DE翻折至△B′DE处，点B′恰好落在正比例函数y＝kx的图象上，则k的值是( )A. －25B. －121C. －15D. －124二、填空题7. (·百色)如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为(2，0)，将正方形OABC 沿着OB 方向平移12OB 个单位长度，则点C的对应点的坐标为________．第7题第8题8. (·西宁)如图，将▱ABCD 沿EF 对折，使点A 落在点C 处，若∠A ＝60°，AD ＝4，AB ＝6，则AE ＝________．9. (·滨州)如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在点Q 处，点D 落在AB 边上的点E 处，EQ 与BC 相交于点F.若AB ＝6，AD ＝8，AE ＝4，则△EBF 的周长为________．第9题第10题10. (·沈阳)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连接CE ，则CE 的长是________．11. (·河南)如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝2＋1，M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B ′始终落在边AC 上，若△MB ′C 为直角三角形，则BM 的长为____________．第11题第12题12. (·宿迁)如图，矩形ABOC 的顶点O 在坐标原点，顶点B ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点A 在反比例函数y ＝kx (k 为常数，k>0，x>0)的图象上，将矩形ABOC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到矩形AB ′O ′C ′，若点O 的对应点O ′恰好落在此反比例函数图象上，则OBOC的值是________．三、解答题13. (·江西)如图，直线y ＝k 1x(x ≥0)与双曲线y ＝k 2x(x>0)相交于点P(2，4)．已知点A(4，0)，B(0，3)，连接AB ，将Rt △AOB 沿OP 方向平移，使点O 移动到点P ，得到△A ′PB ′.过点A ′作A ′C ∥y 轴交双曲线于点C.(1) 求k 1与k 2的值； (2) 求直线PC 的解析式；(3) 直接写出线段AB 扫过的面积．第13题14. (·阿坝州)如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，P 为射线BD ，CE 的交点．(1) 求证：BD ＝CE ；(2) 若AB ＝2，AD ＝1，把△ADE 绕点A 旋转，当∠EAC ＝90°时，求PB 的长．第14题15. (·绵阳)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点M从点C出发沿CB方向以1 cm/s的速度匀速运动，到达点B 停止运动，在点M的运动过程中，过点M作直线MN交AC 于点N，且保持∠NMC＝45°，再过点N作AC的垂线交AB 于点F，连接MF，将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF.已知AC＝8 cm，BC＝4 cm，设点M的运动时间为t s，△ENF 与△ANF重叠部分的面积为y cm2.(1) 在点M的运动过程中，能否使得四边形MNEF为正方形？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．(2) 求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围．(3) 当y取最大值时，求sin∠NEF的值．第15题16. (·宜宾)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴分别交于A(－1，0)，B(5，0)两点．(1) 求抛物线的解析式．(2) 在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，连接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位长度，当点C落在抛物线上时，求m的值．(3) 在(2)的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第16题17.(·宿迁)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－2x－3交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC，BC.(1) 求曲线N所在抛物线对应的函数解析式；(2) 求△ABC外接圆的半径；(3) P为曲线M或曲线N上的一动点，Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．第17题答案一、 1. D 2. D 3. C 4. A 5. A 6. B二、 7. (1，3) 8.194 9. 8 10.3105 11.2＋12或1 12.5－12三、 13. (1) 把点P(2，4)代入直线y ＝k 1x ，得4＝2k 1，∴ k 1＝2.把点P(2，4)代入双曲线y ＝k 2x ，得k 2＝2×4＝8(2) ∵ A(4，0)，B(0，3)，∴ AO ＝4，BO ＝3.如图，延长A ′C 交x 轴于点D.由平移的性质，得A ′P ＝AO ＝4.又∵ A ′C ∥y 轴，P(2，4)，∴ 点C 的横坐标为2＋4＝6.代入双曲线y ＝8x ，得C ⎝⎛⎭⎫6，43.设直线PC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把点P(2，4)，C ⎝⎛⎭⎫6，43代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2k ＋b ，43＝6k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－23，b ＝163，∴ 直线PC 的解析式为y ＝－23x ＋163 (3) 22 点拨：如图，连接BB ′，AA ′.S 线段AB 扫过＝S ▱ABB ′A ′＝S ▱POBB ′ ＋S ▱AOPA ′ ＝BO ·B ′E ＋AO ·A ′D ＝3×2＋4×4＝22.第13题14. (1) ∵ △ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴ AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠DAB ＝∠CAE.∴ △ADB ≌△AEC.∴ BD ＝CE (2) ① 当点E 在AB 上时，如图①，BE ＝AB －AE ＝1.∵ ∠EAC ＝90°，∴ CE ＝AE 2＋AC 2＝ 5.易证△ADB ≌△AEC ，得∠DBA ＝∠ECA.∵ ∠PEB ＝∠AEC ，∴ △PEB ∽△AEC.∴ PB AC ＝BE CE .∴ PB 2＝15.∴ PB ＝255.② 当点E 在BA 延长线上时，如图②，BE ＝AB ＋AE ＝3.∵ ∠EAC ＝90°，∴ CE ＝AC 2＋AE 2＝ 5.易证△ADB ≌△AEC ，得∠DBA ＝∠ECA.∵ ∠BEP ＝∠CEA ，∴ △PEB ∽△AEC.∴PBAC＝BE CE .∴ PB 2＝35.∴ PB ＝655.综上所述，PB 的长为255或655第14题15. (1) 能使得四边形MNEF 为正方形连接ME 交NF 于点O.∵ ∠C ＝90°，∠NMC ＝45°，NF ⊥AC ，∴ CN ＝CM ＝t cm ，FN ∥BC.∴ AN ＝(8－t)cm ，△ANF ∽△ACB.∴ ANNF ＝AC CB ＝84＝2.∴ NF ＝12AN ＝12(8－t)cm.由对称的性质，得∠ENF ＝∠MNF ＝∠NMC ＝45°，MN ＝NE ，OE ＝OM ＝CN ＝t cm.∵ 四边形MNEF 是正方形，∴ OE ＝ON ＝12FN.∴ t ＝12×12(8－t)，解得t ＝85.从而在点M 的运动过程中，能使得四边形MNEF为正方形，t 的值为85 (2) 分两种情况：① 当0<t ≤2时，y ＝12×12(8－t)×t ＝－14t 2＋2t ；② 当2<t ≤4时，如图①，设NE 交AB 于点G ，过点G 作GH ⊥NF 于点H ，由(1)，得NF＝12(8－t)cm ，GH ＝NH ，GH ＝2FH ，∴ GH ＝23NF ＝13(8－t)cm.∴ y ＝12NF ·GH ＝12×12(8－t)×13(8－t)＝112(8－t)2＝112t2－43t ＋163.综上所述，y ＝⎩⎨⎧－14t 2＋2t （0<t ≤2），112t 2－43t ＋163（2<t ≤4）(3) 由(2)可知，当t ＝2时，y 取得最大值，此时点E 恰好在AB 边上．连接EM ，如图②，则易得EF ＝BF ，EM ＝2CN ＝2CM ＝2t cm ，EM ＝2BM.∵ BM ＝(4－t)cm ，∴ 2t ＝2(4－t)，解得t ＝2.∴ CN ＝CM ＝2 cm ，AN ＝6 cm.∴ BM ＝4－2＝2(cm)，NF ＝12AN ＝3 cm.∴ EM ＝2BM ＝4 cm.过点F 作FD ⊥NE 于点D ，则EB ＝EM 2＋BM 2＝42＋22＝25(cm)，△DNF 是等腰直角三角形．∴ EF ＝12EB ＝ 5 cm ，DF ＝22NF ＝322 cm.∴ 在Rt △DEF 中，sin ∠NEF ＝DF EF ＝3225＝31010第15题16. (1) ∵ 抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴分别交于A(－1，0)，B(5，0)两点，∴ ⎩⎨⎧－1－b ＋c ＝0，－25＋5b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝4，c ＝5.∴ 抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5 (2) ∵ AD ＝5，且OA ＝1，∴ OD ＝6，且CD ＝8.∴ C(－6，8)．设平移后的点C 的对应点为C ′，则点C ′的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得 8＝－x 2＋4x ＋5，解得x 1＝1，x 2＝3，∴ 点C ′的坐标为(1，8)或(3，8)．∵ C(－6，8)，∴ 当点C 落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位长度．∴ m 的值为7或9 (3) ∵ y ＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9，∴ 抛物线的对称轴为直线 x ＝2.∴ 可设P(2，t)．由(2)可知E 点坐标为(1，8)．① 当BE 为平行四边形的边时，如图，连接BE 交对称轴于点M ，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，过点Q 作对称轴的垂线，垂足为N ，连接PQ ，则∠BEF ＝∠BMP ＝∠QPN.在△PQN 和△EBF中，⎩⎪⎨⎪⎧∠QPN ＝∠BEF ，∠PNQ ＝∠EFB ，PQ ＝BE ，∴ △PQN ≌△EBF.∴ NQ ＝BF ＝OB －OF ＝5－1＝4.设Q(x ，y)，则QN ＝|x －2|，∴ |x －2|＝4，解得x ＝－2或x ＝6.代入抛物线的解析式可求得y ＝－7，∴ Q 点坐标为(－2，－7)或(6，－7)．② 当BE 为对角线时，∵ B(5，0)，E(1，8)，∴ 线段BE 的中点坐标为(3，4)．∴ 线段PQ 的中点坐标为(3，4)．设Q(x ，y)，且P(2，t)，∴ x ＋2＝3×2，解得x ＝4.把x ＝4代入抛物线解析式，可求得y ＝5，∴ Q(4，5)．综上可知，点Q 的坐标为(－2，－7)或(6，－7)或(4，5)第16题17. (1) 在y ＝x 2－2x －3中，令y ＝0，得x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.∴ A(－1，0)，B(3，0)．令x ＝0，得y ＝－3.又∵ 抛物线位于x 轴下方部分沿x 轴翻折后得到曲线N ，∴ C(0，3)．设曲线N 的解析式为y ＝ax2＋bx ＋c ，把点A ，B ，C 的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3. ∴ 曲线N 所在抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3(2) 设△ABC 外接圆的圆心为M ，则点M 为线段BC 、线段AB 垂直平分线的交点．∵ B(3，0)，C(0，3)，∴ 线段BC 的垂直平分线的解析式为y ＝x.又∵ 线段AB 垂直平分线的解析式为曲线N 的对称轴，即直线x ＝1，∴ M(1，1)．∴ MB ＝（1－3）2＋12＝ 5.∴ △ABC 外接圆的半径为 5 (3) 设Q(t ，0)，则BQ ＝|t －3|.情况1：当BC 为平行四边形的边时，如图，则有BQ ∥PC ，∴ 点P 的纵坐标为3，即过点C 与x 轴平行的直线与曲线M 和曲线N 的交点即为点P ，x 轴上对应的即为点Q.(i) 当点P 在曲线M 上时，在y ＝x2－2x －3中，令y ＝3，得x ＝1±7，∴ PC ＝1＋7或PC ＝7－1.当x ＝1＋7时，可知点Q 在点B 的右侧，此时BQ ＝t －3，由t －3＝1＋7，解得t ＝4＋7.当x ＝1－7时，可知点Q 在点B 的左侧，此时BQ ＝3－t ，由3－t ＝7－1，解得t ＝4－7，∴ Q 点坐标为(4＋7，0)或(4－7，0)．(ii) 当点P 在曲线N 上时，在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令y ＝3，得x 1＝0(不合题意，舍去)，x 2＝2，∴ PC ＝2.此时点Q 在点B 的右侧，则BQ ＝t －3，由t －3＝2，得t ＝5，∴ Q 点坐标为(5，0)．情况2：当BC 为平行四边形的对角线时，∵ B(3，0)，C(0，3)，∴ 线段BC 的中点为⎝⎛⎭⎫32，32.设 P(x，y)，∴ x＋t＝3，y＋0＝3，解得x＝3－t，y＝3.∴ P(3－t，3)．(i) 当点P在曲线M上时，则有3＝(3－t)2－2(3－t)－3，解得t1＝2＋7，t2＝2－7.∴ Q点坐标为(2＋7，0)或(2－7，0)．(ii) 当点P在曲线N上时，则有3＝－(3－t)2＋2(3－t)＋3，解得t1＝3(此时点Q，B重合，舍去)，t2＝1，∴ Q点坐标为(1，0)．综上所述，Q点的坐标为(4＋7，0)或(4－7，0)或(5，0)或(2＋7，0)或(2－7，0)或(1，0)第17题。

中考专题------动圆问题专题

知识点一：圆的基本性质【知识梳理】【例题精讲】例1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是．例2．如图，直线y＝33x＋3与x轴，y轴分别交于A，B两点，圆心P的坐标为(1，0)，⊙P与y轴相切于点O.若将圆P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是()A. 2B. 3C. 4D. 5练习：1.如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了()A. 2周B. 3周C. 4周D. 5周5.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2 cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t(s)．(1)当t＝1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由．(2)已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．知识点二（圆与几何综合）例1.如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、Q C．（1）当t为何值时，点Q与点D重合？（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．例2.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N 落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm 为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为；（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．【课堂练习】1.如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O 作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．2.已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P(1，1)为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t(s)(t＞0)(1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示)，求证：PE＝PF.(2)在点F运动的过程中，设OE＝a，OF＝b，试用含a的代数式表示b.(3)作点F关于点M的对称点F′，经过M，E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连结QE.在点F运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q，O，E为顶点的三角形与以点P，M，F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．知识点三圆与函数综合例1.如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为﹣1，直线l：y=﹣x﹣与坐标轴分别交于A、C两点，点B坐标为（4，1），⊙B与x轴相切于点M．（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿想x轴负方向平移，同时，直线l绕点A以每秒钟旋转30°的速度顺时针匀速旋转，当⊙B第一次与⊙O相切时，请判断直线l与⊙B的位置关系，并说明理由：（3）如图2，过A、O、C三点作⊙O1，点E是⊙O1上任意一点，连接EC、EA、EO．①若点E在劣弧OC上，试说明：EA﹣EC=EO；②若点E在优弧OAC上，①的结论中EC、EA、EO的关系式是否仍然成立？若成立，请你说明理由？若不成立，请你直接写出正确的结论．例2.如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，﹣1），另一顶点B坐标为（﹣2，0），已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A′D′∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A′D′与y轴重合时运动停止．（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；（2）若运动过程中直尺的边A′D′交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；（3）如图②，设点P为直尺的边A′D′上的任一点，连接P A、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ=时，线段P A、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P 与抛物线的位置关系．（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D′在抛物线外．）练习：1.在平面直角坐标系xOy中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM 的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是上的动点．（1）写出∠AMB的度数；（2）点Q在射线OP上，且OP•OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E．①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S的取值范围．课后作业1、如图，已知Rt△ABC的直角边AC与Rt△DEF的直角边DF在同一条直线上，且AC=60cm，BC=45cm，DF=6cm，EF=8cm．现将点C与点F重合，再以4cm/s的速度沿C方向移动△DEF；同时，点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AB方向移动．设移动时间为t （s），以点P为圆心，3t（cm）长为半径的⊙P与AB相交于点M，N，当点F与点A重合时，△DEF与点P同时停止移动，在移动过程中，（1）连接ME，当ME∥AC时，t=________s；（2）连接NF，当NF平分DE时，求t的值；（3）是否存在⊙P与Rt△DEF的两条直角边所在的直线同时相切的时刻？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．2、如图在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q 沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q．（1）求证：直线AB是⊙Q的切线；（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0），作直线AB的垂线CM，垂足为M．若CM 与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．。

上海市初三数学复习专题及答案-圆的基础知识i

授课类型T 圆的确定 C 四等关系 T 垂径定理授课日期时段教学内容<一> 圆的确定一、知识要点1、圆的定义（可以从轨迹的角度定义圆）2、点与圆的位置关系（注意点在直线内时r d <≤0；其中d 表示所研究的点到圆心的距离，r 表示圆的半径）。

3、过不在同一直线上的三点确定一个圆（注意前提条件：不在同一直线上三点）结论：不在同一直线上的三点→确定一个三角形→确定一个圆4、多边形的外接圆，圆的内接多边形的概念（重点：外心的概念及其外心的确定方式）问题1：三角形的外心一定在三角形内吗？问题2：四点能确定一个圆应满足什么条件？二、知识应用题型一：点与圆的位置关系（1）在ABC Rt ∆中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以A 为圆心、R 为半径画⊙A ，使点C 在⊙A的内部、点B 在⊙A 的外部，那么半径R 应满足的条件是（2）在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，以A 为圆心画圆，若B ，C ，D 三点中至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是。

题型二：圆的确定（1）经过一点作圆可以作个圆；经过两点作圆可以作个圆，这些圆的圆心在这两点的上；经过不在同一直线上的三点可以作个圆，并且只能作个圆。

（2）已知AB=7cm,则过点A，B，且半径为3cm的圆有（）A. 0个B. 1个C. 2个D.无数个（3）下列命题正确的是（）A. 三点确定一个圆B. 圆有且只有一个内接三角形C. 三角形的外心是三角形三个角的平分线的交点D. 三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点（4）在直角坐标平面内有点P（4，3），以P为圆心、不同的长度为半径画圆，讨论⊙P与坐标轴公共点个数的情况<二> 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系一、知识要点1、圆的有关概念（圆心角、弧、优弧、劣弧、等弧、弦、弦心距等）2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（注意前提条件——在同圆或等圆中）注意：相等的弧与等弧之间的区别与联系二、知识应用题型：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1）下列说法中，正确的是（）（A）如果圆心角相等，那么圆心角所对的弧和弦也相等（B）如果两条弧的长度相等，那么这两条弧是等弧（C）如果两条弧所对的圆心角相等，那么这两条弧是等弧（D）在同圆或等圆中，弦相等所对的弧也相等（2）在两个圆中，如果有两条弦相等，那么这两条弦的弦心距的关系是（）（A）一定相等（B）一定不相等（C）不一定相等（D）一定互相平行（3）在⊙O，如果AB＝CD2，那么弦AB与弦CD之间的长度关系是（）（A）弦AB等于弦CD的2倍（B）弦AB大于弦CD的2倍（C）弦AB小于弦CD的2倍（D）弦AB和弦CD的关系不定（4）过⊙O内一点M最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm，则OM＝（5）已知点P到⊙O上所有点的距离中，最大距离是8，最小距离是2，那么⊙O的半径长等于（6）在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，OM⊥CD，ON⊥AB，M、N是垂足，联结MN. 如果AD 弧等于BC弧，求证：△PMN是等腰三角形（7）如图，⊙O1和⊙O2是等圆，P是O1O2的中点，过点P作直线AD交⊙O1于A、B，交⊙O2于C、D，求证：AB＝CD<三> 垂径定理一、知识要点1、圆的对称性（①圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴；②圆既是是旋转对称图形又是中心图形）注：对称轴是直线2、垂径定理（垂直于弦．．．．的直径．．平行这条弦，并且平分弦所对的弧）总结：垂径定理及其推论是指一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”③“平分另一条弦”OBDA CPNMCBPO1O2AD（8）已知以O 为圆心两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点。

难点详解沪科版九年级数学下册第24章圆专题练习试题(含答案及详细解析)

沪科版九年级数学下册第24章圆专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB'C'，点B'恰好落在AC边上，则CC'＝（）A．10 B．C．D．2、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（）A．4 B．6 C．8 D．103、将等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，那么n的最小值是（）A．60 B．90 C．120 D．1804、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P．A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（）A．20 m B．mC．（ - 20）m D．（m6、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB，垂足为点E，若⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（）A．3 B．2 C．1 D7、下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8、将一把直尺、一个含60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放，直角三角板的直角边AD 与直尺的一边重合，光盘与直尺相切于点B，与直角三角板相切于点C，且3AB ，则光盘的直径是（）A．6 B．C．3 D．9、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C ．D ．10、下列判断正确的个数有（）①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④弧分优弧和劣弧；⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、两直角边分别为6、8，那么Rt ABC 的内接圆的半径为____________．2、如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，旋转角为()090αα︒<<︒．若1110∠=︒，则α的大小为________（度）．3、如图，半圆O 中，直径AB ＝30，弦CD ∥AB ，CD 长为6π，则由CD 与AC ，AD 围成的阴影部分面积为_______．4、如图，在平面直角坐标系中，点N 是直线5y x =-+上动点，M 是C 上动点，若点C 的坐标为()2,0-，且C 与y 轴相切，则MN 长度的最小值为____________．5、把一个正六边形绕其中心旋转，至少旋转________度，可以与自身重合．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在Rt ABC △中，90BCA ∠=︒，AC BC =，将ABC 绕着点A 顺时针旋转得到ADE ，连接BD ，连接CE 并延长交BD 于点F ．（1）求BFE ∠的度数；（2）若5AC BC ==，且CE EF =，求DF 的长．2、如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A ，B 两点均在格点上．请按要求在图①，图②，图③中画图：（1）在图①中，画等腰△ABC ，使AB 为腰，点C 在格点上．（2）在图②中，画面积为8的四边形ABCD ，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形，C ，D 两点均在格点上．（3）在图③中，画△ABC ，使∠ACB =90°，面积为5，点C 在格点上．3、如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，75BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，连接AO 并延长交⊙O 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，与BA 的延长线相交于点E ．（1）求证：AD ∥EC ；（2）若AD ＝6，求线段AE 的长．4、如图，以四边形ABCD 的对角线BD 为直径作圆，圆心为O ，点A 、C 在O 上，过点A 作AE CD ⊥的延长线于点E ，已知DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE是O切线；（2）若4AE=，6CD=，求O的半径和AD的长．5、问题：如图，AB是O的直径，点C在O内，请仅用无刻度的直尺，作出ABC中AB边上的高.小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC交O于点D，延长BC交O于点E；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H．所以线段CH即为ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB是O的直径，点D，E在O上，∴ADB AEB∠=∠=________°．（______）（填推理的依据）∴AE BE⊥，BD AD⊥．∴AE，________是ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是ABC的高所在直线．∴CH是ABC中AB边上的高．-参考答案-一、单选题1、D【分析】首先运用勾股定理求出AC的长度，然后结合旋转的性质得到AB= AB'，BC= B'C'，从而求出B'C，即可在Rt△B'C'C中利用勾股定理求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴10AC=，由旋转性质可知，AB= AB'=6，BC= B'C'=8，∴B'C=10-6=4，在Rt△B'C'C中，CC'=故选：D．本题考查勾股定理，以及旋转的性质，掌握旋转变化的基本性质，熟练运用勾股定理求解是解题关键．2、A【分析】根据直径所对的圆角为直角，可得90C ∠=︒ ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴90C ∠=︒ ，∵∠BAC ＝30°，BC ＝2，∴24AB BC ==．故选：A【点睛】本题主要考查了直径所对的圆角，直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．3、C【分析】根据旋转对称图形的概念（把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角），找到旋转角，求出其度数．【详解】解：等边三角形绕其中心旋转n 时与原图案完全重合，因而绕其中心旋转的最小度数是3603=120°．故选C ．本题考查了根据旋转对称性，掌握旋转的性质是解题的关键．4、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．5、D【分析】根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．【详解】∵人工湖面积尽量小，∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，过点B作BC⊥l，垂足为C，∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，∴OC=CB=CP=20，∴OP=40，OB∴最小的距离PE=PO-OE m），故选D．【点睛】本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．6、B【分析】连接OC，由垂径定理，得到CE=4，再由勾股定理求出OE的长度，即可求出AE的长度．【详解】解：连接OC，如图∵AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点 E ，CD =8， ∴118422CE CD ==⨯=，∵5AO CO ==，∴3OE ，∴532AE =-=；故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出3OE =．7、C【分析】根据中心对称图形的概念：一个平面图形绕某一点旋转180,如果旋转后的图形能够和原图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是对称中心. 根据中心对称图形的概念对各选项进行一一分析判定即可求解．【详解】A 、不是中心对称图形，不符合题意；B 、不是中心对称图形，不符合题意；C 、是中心对称图形，符合题意；D 、不是中心对称图形，不符合题意．【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能够与原来的图形重合．8、D【分析】如图所示，设圆的圆心为O ，连接OC ，OB ，由切线的性质可知∠OCA =∠OBA =90°，OC =OB ，即可证明Rt △OCA ≌Rt △OBA 得到∠OAC =∠OAB ，则()1==180=602OAC OAB DAC ︒-︒∠∠∠，∠AOB =30°，推出OA=2AB =6，利用勾股定理求出OB =O 的直径为【详解】解：如图所示，设圆的圆心为O ，连接OC ，OB ，∵AC ，AB 都是圆O 的切线，∴∠OCA =∠OBA =90°，OC =OB ，又∵OA =OA ，∴Rt △OCA ≌Rt △OBA （HL ），∴∠OAC =∠OAB ，∵∠DAC =60°， ∴()1==180=602OAC OAB DAC ︒-︒∠∠∠， ∴∠AOB =30°，∴OA =2AB =6，∴OB =∴圆O 的直径为【点睛】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟知切线的性质是解题的关键．9、B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．10、B【详解】①直径是圆中最大的弦；故①正确，②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确③半径相等的两个圆是等圆；故③正确④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．综上所述，正确的有①③故选B【点睛】本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．二、填空题1、5【分析】直角三角形外接圆的直径是斜边的长．【详解】解：由勾股定理得：AB，∵∠ACB=90°，∴AB是⊙O的直径，∴这个三角形的外接圆直径是10，∴这个三角形的外接圆半径长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是关键；外心是三边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等．2、20【分析】先利用旋转的性质得到∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，再利用四边形内角和计算出∠BAD‘=70°，然后利用互余计算出∠DAD′，从而得到α的值．【详解】∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A′B′C′D′的位置，∴∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，∵∠ABC=90°，∴∠BAD’=180°-∠1=180°-110°=70°，∴∠DAD′=90°-70°=20°，即α=20°．故答案为20．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．3、45【分析】连接OC，OD，根据同底等高可知S△ACD=S△OCD，把阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式S=12lr来求解．【详解】解：连接OC，OD，∵直径AB=30，∴OC=OD=130152⨯=，∴CD∥AB，∴S△ACD=S△OCD，∵CD长为6π，∴阴影部分的面积为S阴影=S扇形OCD=1615452ππ⨯⨯=，故答案为：45π．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解阴影部分的面积=扇形COD的面积是解题的关键．4-2【分析】由图可知，当CN⊥AB且C、M、N三点共线时，MN长度最小，利用勾股定理求出CN的长，故可求解．【详解】由图可知，当CN ⊥AB 且C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小∵直线AB 的解析式为5y x =-+当x =0时，y =5，当y =0时，x =5∴B （0，5），A （5，0）∴AO =BO ，△AOB 是等腰直角三角形∴∠BAO =90°当CN ⊥AB 时，则△ACN 是等腰直角三角形∴CN =AN∵C ()2,0-∴AC =7∵AC 2=CN 2+AN 2=2CN 2∴CN 当 C 、M 、N 三点共线时，MN 长度最小即MN =CN -CM -2-2．【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是根据题意找到符合题意的位置，利用等腰直角三角形的性质求解．5、60【分析】正六边形连接各个顶点和中心，这些连线会将360°分成6分，每份60°因此至少旋转60°，正六边形就能与自身重合．【详解】360°÷6=60°故答案为：60【点睛】本题考查中心对称图形的性质，根据图形特征找到最少旋转度数是本题关键．三、解答题1、（1）45°；（2）DF =【分析】（1）根据旋转的性质得AC AE =，AB AD =，90ACB AED ∠=∠=︒，45BAC DAE ∠=∠=︒，通过等量代换及三角形内角和得AEC ADB ∠=∠，根据四点共圆即可求得；（2）连接EB ，先证明出()SAS BCE DEF ≌△△，根据全等三角形的性质得45BEF BFE ∠=∠=︒，在BDE 中利用勾股定理，即可求得．【详解】解：（1）由旋转可知：AC AE =，AB AD =，90ACB AED ∠=∠=︒，45BAC DAE ∠=∠=︒，∴BAD CAE ∠=∠，ACE AEC ∠=∠，ABD ADB ∠=∠．由三角形内角和定理得AEC ADB ∠=∠，∴点A ，D ，F ，E 共圆． ∴45BFE DAE ∠=∠=︒．（2）连接EB ，∵AC AE =，∴ACE AEC ∠=∠．∵90ACB AED ∠=∠=︒， ∴BCE DEF ∠=∠．又∵CE EF =，CB ED =，∴()SAS BCE DEF ≌△△． ∴BEC DFE ∠=∠，BE DF =． ∴45BEF BFE ∠=∠=︒．在BDE 中，90DBE ∠=︒，BF BE DF ==，5DE =， ∵222BE BD DE +=，∴DF =【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形全等判定及性质、勾股定理、三角形内角和等，解题的关键是掌握旋转的性质．2、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）因为AB=5，作腰为5的等腰三角形即可（答案不唯一）；（2）作边长为2，高为4的平行四边形即可；（3）根据（1）的结论，作BG边的中线，即可得解．【详解】解：（1）如图①中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；（2）如图②中，平行四边形ABCD即为所求作；（3）如图③中，△ABC即为所求作（答案不唯一）；∵AB =AG ，BC =CG ，∴AC ⊥BG ，∵△ABG 的面积为154102⨯⨯=，∴△ABC 的面积为5，且∠ACB =90°．【点睛】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3、（1）见解析；（2）6【分析】（1）连接OC ，根据CE 是⊙O 的切线，可得∠OCE ＝90︒，根据圆周角定理，可得∠AOC =90︒，从而得到∠AOC +∠OCE ＝180︒，即可求证；（2）过点A 作AF ⊥EC 交EC 于点F ，由∠AOC ＝90︒，OA ＝OC ，可得∠OAC ＝45︒，从而得到∠BAD ＝30，再由AD ∥EC ，可得30E ∠=︒，然后证得四边形OAFC 是正方形，可得AF OA =，从而得到AF =3，再由直角三角形的性质，即可求解．【详解】证明：（1）连接OC ，∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE ＝90︒，∵∠ABC ＝45︒，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝90︒，∵∠AOC +∠OCE ＝180︒，∴AD ∥EC ；（2）解：过点A 作AF ⊥EC 交EC 于点F ，∵∠AOC ＝90︒，OA ＝OC ，∴∠OAC ＝45︒，∵∠BAC ＝75︒，∴∠BAD ＝754530BAC OAC ∠-∠=︒-︒=︒，∵AD ∥EC ，∴30E BAD ∠=∠=︒，∵∠OCE ＝90︒，∠AOC ＝90︒，∠AFC =90°，∴四边形OAFC 是矩形，∵OA ＝OC ，∴四边形OAFC 是正方形，∴AF OA =，∵6AD =， ∴132AF AD ==，在Rt △AFE 中，30E ∠=︒，∴AE =2AF =6．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．4、（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．（1）证明：如图，连接OA，∵AE⊥CD，∴∠DAE+∠ADE=90°．∵DA平分∠BDE，∴∠ADE=∠ADO，又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠DAE+∠OAD=90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O切线；（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，∴OF⊥CD于点F．∴四边形AEFO是矩形，∵CD=6，∴DF=FC=3．在Rt△OFD中，OF=AE=4，∴5OD=，在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，∴AD=∴AD的长是【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．5、（1）见详解；（2）90，直径所对的圆周角是直角，BD．【分析】（1）根据作图步骤作出图形即可；（2）根据题意填空，即可求解．【详解】解：（1）如图，CH为△ABC中AB边上的高；（2）证明：∵AB是O的直径，点D，E在O上，∴ADB AEB∠=∠=___90_°．（__直径所对的圆周角是直角_）（填推理的依据）∴AE BE⊥，BD AD⊥．∴AE，_BD__是ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是ABC的高所在直线．∴CH是ABC中AB边上的高．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD．【点睛】本题考查了圆周角定理的推理，三角形的三条高线相交于一点等知识，熟知两个定理，并根据题意灵活应用是解题关键．。

沪科版数学九年级下册课时练第24章圆专项5 点圆轨迹问题

沪科版数学九年级下册第24章圆类型1根据圆的定义解决问题动点问题通常都会符合一定的几何条件，如果动点满足到定点的距离等于定长，那么它的运动轨迹一定是在以定点为圆心，定长为半径的圆上．角度1：直接根据圆的定义求解1．如图，AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是( B )A．40°B．30°C．20°D．35°第1题图第2题图2．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为__88°__. 角度2：旋转问题中的圆轨迹3．已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移20 m，半圆的直径为2 m，则圆心O1所经过的路线长是__π＋20__m.4．如图，边长为a的正方形ABCD的四边贴着直线l向右无滑动“滚动”，当正方形“滚动”一周时，该正方形的中心O经过的路程是多少？顶点A经过的路程又是多少？解：如图1，正方形ABCD“滚动”一周时，中心O所经过的路程为l O＝14×2π⎝⎛⎭⎪⎫22a×4＝2πa.如图2，正方形ABCD“滚动”一周时，顶点A所经过的路程为l A＝14×2π(2a)＋2×14×2πa＝2＋22πa.角度3：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半构造圆5．木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM的方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是( D )A BC D类型2定角定弦有定圆如果在一个三角形中有一条边是固定的，而它所对的角也是定角，那么这个角的顶点，就是在以这条边为弦的定圆上运动．如图，∠α保持不变，∠α所对的边长为d保持不变，则∠α的顶点A的轨迹为圆弧．角度1：斜边固定的直角顶点在圆上运动6．(2019·江苏盐城东台模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，连接AH，则AH的最小值为__25－2__.角度2：非直角的定角和定弦7．如图，半径为2 cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H，设△OPH的内心为I.当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为__22π__cm.。

上海市初三数学复习专题及答案圆的双解+函数关系

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A
D
F
B
E
C
例 3：如图，已知线段 AB=10，点 C 在线段 AB 上，⊙A、⊙B 的半径分别为 AC、BC，D 是⊙B 上一点，AD 交⊙A 于 E，EC 的延长线交⊙B 于 F。（）（10 分）（1）求证：BF//AD；
（2）若 BD⊥AD，AC= x ，DF= y ，求 y 与 x 的函数关系式，写出定义域。
授课类型圆中的双解
圆中的函数关系
教学内容
综合
基础很重要，抓好了基础，才能提高的更快。除此以外，生活中，哪些事物会出现抛物线呢？
一、圆的两解题：
O
1、在⊙O 中，AB 是⊙O 的内接正八边形的一边，AC 是⊙O 内接正十四边形的一边，
那么 BC 是⊙O 内接正_________边形的边。
2、已知⊙O1 和⊙O2 相交于 A、B 两点，⊙O1 的半径为 10，⊙O2 的半径为 8，公共
O
弦 AB=12，则 O1O2 的长为________________。
3、在矩形 ABCD 中, AB=5, BC=12. 如果分别以 A、C 为圆心的两圆相切, 点 D 在⊙C 内,点 B 在⊙C 外, 那么⊙A 的半径 r 的取值范围是____________________.
O 4、⊙O1 与⊙O2 相交，半径分别是 10，17，公共弦长为 16，则两圆圆心距
7
例 2：已知：半圆 O 的半径 OA 4 ， P 是 OA 延长线上一点，过线段 OP 的中点 B 作垂线交 O 于点 C ，射线 PC 交 O 于点 D ，联结 OD ．（1）若 AC=CD ，求弦 CD 的长．（2）若点 C 在 AD 上时，设 PA=x ， CD y ，求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；

(完整word版)上海市初三数学复习专题及答案圆的综合i

B (- V 3,1)(49、1 1 —y 」2,5丿C 1 5‘5 丿D (j 'J 3)AM卩、同步知识梳理知识点:（1）圆中的半径：同圆或等圆中的半径相等；授课类型 C 圆中的等腰二角形运用 C 圆中的动点 C 圆中的位置关系的判定教学内容 R --- ~■一、 . / 八“ r ~「「亠一亠宀~亠-t 一、.，八一十一、, : --- 2 -------------------------------------------------- ). 则该半圆'的半径为((4 .5) cm 2 切, 正方形ABCD 中，贝U sin. EAB 的值为 B . 9 cm C . E 是BC 边上一点，以 )42，点A 的坐标为( B 为切点.则B 点的坐标为3 如图，O O 的半径为4 5 cmE 为圆心、 2, 2.3), EC 为半径的半圆与以 A 为圆心，AB 为半径的圆弧外直线AB 为O O 的切线,(1)当O O i与O O2相切时，求x的值；(2)当02在O O i上时，请判断AB与O 02的位置关系，并说明理由；(3)联结AM，线段AM与O 02交于点E,分别联结NE、0?E，若△ EMN与厶ENO2相似，求x的值。

三、课堂达标检测检测题：如图，O 0的半径为6,线段AB与O 0相交于点C、D , AC=4 , ■ BOD = • A , 0B与O 0相交于点E，设0A=x, CD =y .(1)求BD长；(2)求y关于x的函数解析式，并写出定义域；(3)当CE丄0D时，求A0的长.二、课堂达标检测检测题：已知AP 是O O 的直径，点C 是O O 上的一个动点(不与点 A 、P 重合)，联结AC ，以直线AC 为对(1) 如图 8,求证：AB // 0C ; (2) 如图9,当点B 与点0,重合时，求证： AB =CB ；CF(3) 过点C 作射线A0,的垂线，垂足为 E ,联结0E 交AC 于F •当A0 =5, 0,B = 1时，求一AF的值.三、学法提炼1、专题特点：圆中的动点问题；2、解题方法：垂径定理构造直角相似；3、注意事项：对于圆中的不确定点要注意分类讨论称轴翻折AO ，将点0的对称点记为O i ，射线AO图8图9 备用图专题精讲例：如图，在Rt △ ABC中，/ ACB=90°, AC = 6cm , BC = 8cm，点P为BC的中点，动点Q从PQ长为半径作圆.设点Q运动的时点P出发，延射线PC方向以2cm/s的速度运动，以点P为圆心,间为t秒.(1 )当t =1.2时，判断直线AB与O P的位置关系，并说明理由；(2)当厶AQP是等腰三角形时，求t的值；(3)已知O O为ABC的外接圆，若O P与O O相切，求t的值.二、课堂达标检测如图1,已知L O的半径长为3,点A是L O上一定点，点P为L O上不同于点A的动点.1(1)当tanA 时，求AP的长；2(2)如果|_Q过点P、O，且点Q在直线AP上(如图2)，设AP = x , QP = y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；(3)在(2)的条件下，当tanA = 4时(如图3),存在LI M与L O相内切，同时与U Q相外切，且0M _ 0Q ,3试求LI M的半径的长.三、学法提炼1、专题特点：圆中的位置关系；2、解题方法：直线与圆、圆与圆的位置关系的判定； 3 、注意事项：对圆中的不确定关系要分类讨论。

沪科版九年级数学下册第24章圆——圆的有关概念及性质中考题汇编(含答案)

沪科版九年级数学下册圆的有关概念及性质中考题汇编（含答案）一、选择题1. (2019·宜昌)如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，当∠OBC ＝40°时，∠A 的度数是( )第1题A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°2. (2019·柳州)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是( )第2题A. ∠BB. ∠CC. ∠DEBD. ∠D3. (2019·兰州)如图，四边形ABCD 内接于⊙O.若∠A ＝40°，则∠C 的度数为( )第3题A. 110°B. 120°C. 135°D. 140°4. (2019·吉林)如图，在⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB ＝50°.若P 为AB ︵上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为( )第4题A. 30°B. 45°C. 55°D. 60° 5. (2019·葫芦岛)如图，在⊙O 中，∠BAC ＝15°，∠ADC ＝20°，则∠ABO 的度数为( )第5题A. 70°B. 55°C. 45°D. 35°6. (2019·赤峰)如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为( )第6题A. 30°B. 40°C. 50°D. 60° 7. (2019·广元)如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD ⊥AC 于点D ，连接BD ，BC ，且AB ＝10，AC ＝8，则BD 的长为( )第7题A. 2 5B. 4C. 213D. 4.88. (2019·贵港)如图，AD 是⊙O 的直径，AB ︵＝CD ︵.若∠AOB ＝40°，则圆周角∠BPC 的度数是( )第8题A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°9. (2019·天水)如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE.若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为( )第9题A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°10. (2019·聊城)如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是BC ︵上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE.如果∠A ＝70°，那么∠DOE 的度数为( )第10题A. 35°B. 38°C. 40°D. 42°11. (2019·德州)如图，O 为线段BC 的中点，点A ，C ，D 到点O 的距离相等．若∠ABC＝40°，则∠ADC 的度数是( )第11题A. 130°B. 140°C. 150°D. 160°12. (2019·陕西)如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF.若∠AOF ＝40°，则∠F 的度数是( )第12题A. 20°B. 35°C. 40°D. 55°13. (2019·眉山)如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠CAO ＝22.5°，OC ＝6，则CD 的长为( )第13题A. 6 2B. 32C. 6D. 1214. (2019·襄阳)如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P.下列结论错误的是( )第14题A. AP ＝2OPB. CD ＝2OPC. OB ⊥ACD. AC 平分OB15. (2019·黄冈)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB ︵)，点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ＝40 m ，C 是AB ︵的中点，D 是AB 的中点，且CD ＝10 m ，则这段弯路所在圆的半径为( )第15题A. 25 mB. 24 mC. 30 mD. 60 m16. (2019·镇江)如图，四边形ABCD 是半圆O 的内接四边形，AB 是直径，DC ︵＝CB ︵.若∠C ＝110°，则∠ABC 的度数为( )第16题A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°17. (2019·十堰)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB 交CB 的延长线于点E.若BA 平分∠DBE ，AD ＝5，CE ＝13，则AE 的长为( )第17题A. 3B. 32C. 4 3D. 2318. (2019·菏泽)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，且BC 平分∠ABD ，AD 分别与BC ，OC 相交于点E ，F ，则下列结论不一定成立的是( )第18题A. OC ∥BDB. AD ⊥OCC. △CEF ≌△BEDD. AF ＝FD19. (2019·威海)如图，⊙P 与x 轴交于点A(－5，0)，B(1，0)，与y 轴的正半轴交于点C. 若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为( )第19题A. 13＋ 3B. 22＋3C. 4 2D. 22＋220. (2019·梧州)如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是( )第20题A. 2 6B. 210C. 211D. 4321. (2019·台湾)A ，B ，C ，D 四点在⊙O 上的位置如图所示，其中AD ︵＝180°，且AB ︵＝BD ︵，BC ︵＝CD ︵.若在AB ︵上取一点P ，在BD ︵上取一点Q ，使得∠APQ ＝130°，则下列说法正确的是( )第21题A. 点Q 在BC ︵上，且BQ ︵＞QC ︵B. 点Q 在BC ︵上，且BQ ︵＜QC ︵C. 点Q 在CD ︵上，且CQ ︵＞QD ︵D. 点Q 在CD ︵上，且CQ ︵＜QD ︵二、填空题22. (2019·鸡西)如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC ，点D 在圆上，且∠ADC ＝30°，则∠AOB 的度数为________．第22题23. (2019·娄底)如图，C ，D 两点在以AB 为直径的圆上，AB ＝2，∠ACD ＝30°，则AD ＝________．第23题24. (2019·铜仁)如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠A ＝100°，则∠DCE 的度数为________．第24题25. (2019·常州)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，∠AOC ＝120°，则∠CDB ＝________．第25题26. (2019·随州)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，点C 在AMB ︵上．若∠OBA ＝50°，则∠C 的度数为________．第26题27. (2019·东营)如图，AC 是⊙O 的弦，AC ＝5，B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC ＝45°，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN 的最大值是________．第27题28. (2019·宜宾)如图，⊙O 有两条相交弦AC ，BD ，∠ACB ＝∠CDB ＝60°，AC ＝23，则⊙O 的面积是________．第28题29. (2019·湖州)已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是________．30. (2019·连云港)如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，BC ＝6，∠BAC ＝30°，则⊙O 的半径为________．第30题31. (2019·台州)如图，AC 是圆内接四边形ABCD 的一条对角线，点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上，连接AE.若∠ABC ＝64°，则∠BAE 的度数为________．第31题32. (2019·安徽)如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，CD ⊥AB 于点D.若⊙O 的半径为2，则CD 的长为________．第32题33. (2019·凉山州)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，∠A ＝30°，CD ＝23，则⊙O 的半径是________．第33题34. (2019·盐城)如图，点A ，B ，C ，D ，E 在⊙O 上，且AB ︵为50°，则∠E ＋∠C ＝________．第34题35. (2019·衡阳)已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是________．36. (2019·株洲)如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足∠AEC ＝65°，连接AD ，则∠BAD ＝________°.第36题37. (2019·嘉兴)如图，在⊙O 中，弦AB ＝1，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为________．第37题38. (2019·泰州)如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 上，点A 在⊙O 内，且AP ＝3，过点A 作AP 的垂线交⊙O 于点B ，C.设PB ＝x ，PC ＝y ，则y 与x 之间的函数解析式为________．第38题39. (2019·绥化)半径为5的⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，AB ＝AC ，连接OB ，OC ，延长CO 交弦AB 于点D.若△OBD 是直角三角形，则弦BC 的长为________．40. (2019·德州)如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，AB ︵＝BF ︵，CE ＝1，AB＝6，则弦AF 的长度为________．第40题41. (2019·雅安)如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝21°，则∠A 的度数为________．第41题42. (2019·广元)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，P 为⊙O 上的动点，且∠BPC ＝60°，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是________．第42题三、解答题43. (2019·南京)如图，⊙O 的弦AB ，CD 的延长线相交于点P ，且AB ＝CD.求证：PA ＝PC.第43题44. (2019·自贡)如图，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB ＝CD ，连接AD ，BC.求证：(1) AD ︵＝BC ︵； (2) AE ＝CE.第44题45. (2019·包头)如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，∠ABC ＝120°，弦AC ＝23，弦BM 平分∠ABC 交AC 于点D ，连接MA ，MC.(1) 求⊙O 的半径；(2) 求证：AB ＋BC ＝BM.第45题46. (2019·绵阳)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BD ︵的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF.(1) 求证：△BFG ≌△CDG ；(2) 若AD ＝BE ＝2，求BF 的长．第46题47. (2019·温州)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点E 在BC 边上，且CA ＝CE ，过A ，C ，E 三点的⊙O 交AB 于另一点F ，作直径AD ，连接DE 并延长交AB 于点G ，连接CD ，CF.(1) 求证：四边形DCFG 是平行四边形；(2) 当BE ＝4，CD ＝38AB 时，求⊙O 的直径．第47题参考答案一、 1. A 2. D 3. D 4. B 5. B 6. D 7. C 8. B 9. C 10. C 11. B 12. B 13. A 14. A 15. A 16. A 17. D 18. C 19. B 20. C 21. B二、 22. 60° 23. 1 24. 100° 25. 30° 26. 40° 27.52228. 4π 29. 30° 30. 6 31. 52° 32. 2 33. 2 34. 155° 35. 63 36. 20 37. 12 38. y ＝30x39. 53或52 40.48541. 69° 42. 6＋33 三、 43. 如图，连接AC.∵ AB ＝CD ，∴ AB ︵＝CD ︵.∴ AB ︵＋BD ︵＝BD ︵＋CD ︵，即AD ︵＝CB ︵.∴ ∠C ＝∠A.∴ PA ＝PC第43题44. (1) ∵ CD ＝AB ，∴ CD ︵＝AB ︵，即AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵ .∴ AD ︵＝BC ︵ (2) ∵ AD ︵＝BC ︵，∴ AD ＝BC.又∵ ∠ADE ＝∠CBE ，∠DAE ＝∠BCE ，∴ △ADE ≌△CBE.∴ AE ＝CE45. (1) 如图，连接OA ，OC ，过点O 作OH ⊥AC 于点H.∵ ∠ABC ＝120°，∴ ∠AMC ＝180°－∠ABC ＝60°.∴ ∠AOC ＝2∠AMC ＝120°.∴ ∠AOH ＝12∠AOC ＝60°，AH ＝12AC ＝3.∴ OA ＝AHsin ∠AOH ＝2.∴ ⊙O 的半径为2 (2) 如图，在BM 上截取BE ＝BC ，连接CE.∵∠ABC ＝120°，BM 平分∠ABC ，∴ ∠ABM ＝∠CBM ＝60°.∴ ∠ACM ＝∠ABM ＝60°.∵ ∠CBM ＝60°，BE ＝BC ，∴ △EBC 是等边三角形．∴ CE ＝CB ＝BE ，∠BCE ＝60°.∴ ∠BCD ＋∠DCE ＝60°.∵ ∠ACM ＝60°，∴ ∠ECM ＋∠DCE ＝60°.∴ ∠ECM ＝∠BCD.在△ACB 和△MCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACB ＝∠MCE ，CB ＝CE ，∠CAB ＝∠CME ，∴ △ACB ≌△MCE.∴ AB ＝ME.∵ ME ＋EB ＝BM ，∴ AB ＋11BC ＝BM第45题46. (1) ∵ C 是BD ︵的中点，∴ CD ︵＝BC ︵.∵ AB 是⊙O 的直径，且CF ⊥AB ，∴ BC ︵＝BF ︵.∴ CD ︵＝BF ︵.∴ CD ＝BF.在△BFG 和△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠CDG ，∠FGB ＝∠DGC ，BF ＝CD ，∴ △BFG ≌△CDG(2) 如图，过点C 作CH ⊥AD 交AD 的延长线于点H ，连接AC ，BC.∵ CD ︵＝BC ︵，∴ ∠HAC＝∠BAC ，CD ＝BC.∵ CE ⊥AB ，∴ CH ＝CE.∵ AC ＝AC ，∴ Rt △AHC ≌Rt △AEC.∴ AH ＝AE.∵ CH ＝CE ，CD ＝CB ，∴ Rt △CDH ≌Rt △CBE.∴ DH ＝BE ＝2.∴ AE ＝AH ＝AD ＋DH ＝2＋2＝4.∴ AB ＝AE ＋BE ＝4＋2＝6.∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB ＝∠CEB ＝90°.∵ ∠ABC ＝∠CBE ，∴ △ABC ∽△CBE.∴ AB CB ＝BC BE.∴ BC 2＝AB·BE ＝6×2＝12.∴ BC ＝23(负值舍去)．∵ BC ︵＝BF ︵，∴ BF ＝BC ＝23第46题47. (1) 如图，连接AE.∵ ∠BAC ＝90°，∴ CF 是⊙O 的直径．∵ CA ＝CE ，∴ CF ⊥AE.∵ AD 是⊙O 的直径，∴ ∠ACD ＝∠AED ＝90°，即DG ⊥AE.∴ CF ∥DG.∵ ∠ACD ＋∠BAC ＝180°，∴ AB ∥CD.∴ 四边形DCFG 是平行四边形 (2) ∵ CD ＝38AB ，∴ 可设CD ＝3x ，AB ＝8x.∵ 四边形DCFG 是平行四边形，∴ FG ＝CD ＝3x.∵ ∠AOF ＝∠COD ，∴ AF ＝CD ＝3x.∴ BG ＝AB －AF －FG ＝8x －3x －3x ＝2x.∵ GE ∥CF ，∴ BE EC ＝BG GF ＝23.∵ BE ＝4，∴ CA ＝CE ＝6.∴ BC ＝CE ＋BE ＝6＋4＝10.∴ AB ＝BC 2－AC 2＝102－62＝8.∴ 8＝8x ，解得x ＝1.∴ AF ＝3.在Rt △ACF 中，由勾股定理，得CF ＝AF 2＋AC 2＝32＋62＝3 5.∴ ⊙O 的直径为35第47题。

上海市初三圆专题讲义

圆的复习知识要点第一部分：【圆的知识点复习】1、圆有关的公式：周长：2c R π= 面积2s R π= 弧长180n R l π=扇形面积2360n R l π=2、圆的有关概念：（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径。

同心圆：圆心相等、半径不同的两个圆。

等圆：半径相同、圆心不同的两个圆。

圆既是轴对称图形（经过圆心的任一条直线都是对称轴），又是中心对称图形（圆心是对称中心）。

（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．（5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

3、点与圆的位置关系：点P 与圆心的距离为d ，则点在直线外⇔r d >；点在直线上⇔r d =；点在直线内⇔r d <。

4、圆的确定：确定圆的基本条件：（1）圆心——确定圆的位置（2）半径——确定圆的大小确定圆的方式：（1）已知圆心的位置与半径的长度（2）已知直径及其位置（3）不在同一直线上的三点5、三角形的外心和内心：1、三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

2、三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

如图：⊙O 为△ABC 的内切圆，O 为△ABC 的内心。

说明：（1）三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，即当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线平分三角形的内角。

（2）三角形的内心到三边的距离是相等的。

注：锐角三角形的外心在该三角形的内部直角三角形的外心为斜边的中点钝角三角形的外心在该三角形的外部6、圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径．（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半．7、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。

难点详解沪科版九年级数学下册第24章圆必考点解析试卷(含答案详解)

沪科版九年级数学下册第24章圆必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，若⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（）A．3 B．2 C．1 D2、ABC的边BC经过圆心O，AC与圆相切于点A，若20B∠=︒，则C∠的大小等于（）A．50︒B．25︒C．40︒D．20︒3、扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的19，那么扇形的面积（）A ．不变B ．面积扩大为原来的3倍C ．面积扩大为原来的9倍D ．面积缩小为原来的134、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转90°得到DEC ，则AED ∠的度数为（）A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°5、如图，在Rt△ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（）A 3πB 3π- C 23π-D ．23π6、如图，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．将△ADE 绕点A 顺时针旋转60°，射线BD 与射线CE 交于点P ，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC ≌△ADB ；②CP 存在最大值为3+BP 存在最小值为3；④点P 运动的路径长为2π．其中，正确的（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④7、下列四个图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．8、如图，ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝40°．将ABC 绕点B 逆时针旋转得到A BC ''，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，则BA A ∠'的度数是（）A ．50°B ．70°C ．110°D ．120°9、如图，点A 、B 、C 在O 上，50∠=°ACB ，则OAB ∠的度数是（）A ．100°B ．50°C ．40°D ．25°10、下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，PA ，PB 是O 的切线，切点分别为A ，B ．若30OAB ∠=︒，3PA =，则AB 的长为______．2、边长相等、各内角均为120°的六边形ABCDEF 在直角坐标系内的位置如图所示，()2,0A -，点B 在原点，把六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴绕顶点按顺时针方向，从点B 开始逐次连续旋转，每次旋转60°，经过2021次旋转之后，点B 的坐标是_____________．3、斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径．．．．为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差．．．．为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺．4、如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为2，则图中弓形（阴影部分）的面积为______．AB=，BC=，AC=ABC绕点B顺时针方向旋转45°得到5、如图，在ABC中，6△，点A经过的路径为弧AA'，点C经过的路径为弧CC'，则图中阴影部分的面积为BA C''______．（结果保留π）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在等边ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CE ．（1）如图1，当B 、A 、E 三点共线时，连接AE ，若2AB =，求CE 的长；（2）如图2，取CE 的中点F ，连接DF ，猜想AD 与DF 存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE 、AF 交于G 点．若GF DF =，请直接写出CD ABBE+的值． 2、如图1，在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，将AC 边绕着点A 逆时针旋转()090αα︒<<︒，得到线段AD ，连接BD 交AC 边于点E ，过点C 作CF BD ⊥于点F ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：D ACG ∠=∠；（2）如图2，当60α=︒时，求证：AG =；（3）如图3，当45α=︒时，请直接写出2222EF DF AG DG ++的值．3、将锐角为45°的直角三角板MPN 的一个锐角顶点P 与正方形ABCD 的顶点A 重合，正方形ABCD 固定不动，然后将三角板绕着点A 旋转，∠MPN 的两边分别与正方形的边BC 、DC 或其所在直线相交于点E 、F ，连接EF ．（1）在三角板旋转过程中，当∠MPN 的两边分别与正方形的边CB 、DC 相交时，如图1所示，请直接写出线段BE 、DF 、EF 满足的数量关系；（2）在三角板旋转过程中，当∠MPN 的两边分别与正方形的边CB 、DC 的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE 、DF 、EF 满足的数量关系；（3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN 的一边恰好经过BC 边的中点时，试求线段EF 的长．4、如图1，BC 是⊙O 的直径，点A ，P 在⊙O 上，且分别位于BC 的两侧（点A 、P 均不与点B 、C 重合），过点A 作AQ ⊥AP ，交PC 的延长线于点Q ，AQ 交⊙O 于点D ，已知AB ＝3，AC ＝4．（1）求证：△APQ ∽△ABC ．（2）如图2，当点C 为PD 的中点时，求AP 的长．（3）连结AO ，OD ，当∠PAC 与△AOD 的一个内角相等时，求所有满足条件的AP 的长．5、在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为(1,0)(3,3)(4,1)A B C ----、、．（每个方格的边长均为1个单位长度）（1）画出ABC 关于原点对称的图形111A B C △，并写出点1C 的坐标；（2）画出ABC 绕点O 逆时针旋转90︒后的图形222A B C △，并写出点2B 的坐标；（3）写出111A B C △经过怎样的旋转可直接得到222A B C △．（请将20题（1）（2）小问的图都作在所给图中）-参考答案-一、单选题 1、B 【分析】连接OC ，由垂径定理，得到CE =4，再由勾股定理求出OE 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：连接OC ，如图∵AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点 E ，CD =8，∴118422CE CD ==⨯=， ∵5AO CO ==，∴3OE ， ∴532AE =-=；故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出3OE =． 2、A 【分析】连接OA ，根据圆周角定理求出AOC ∠，根据切线的性质得到90OAC ∠=︒，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：连接OA ，20B ︒∠=，240AOC B ∴∠=∠=︒， AC 与圆相切于点A ， 90OAC ∴∠=︒，904050C ∴∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 3、A 【分析】设原来扇形的半径为r ，圆心角为n ，则变化后的扇形的半径为3r ，圆心角为19n ，利用扇形的面积公式即可计算得出它们的面积，从而进行比较即可得答案．【详解】设原来扇形的半径为r ，圆心角为n ，∴原来扇形的面积为2360n r π，∵扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的19，∴变化后的扇形的半径为3r ，圆心角为19n ，∴变化后的扇形的面积为221(3)9360360n r n r ππ=， ∴扇形的面积不变．故选：A ．【点睛】本题考查了扇形面积，熟练掌握并灵活运用扇形面积公式是解题关键． 4、B 【分析】由题意易得30,90A D ACB DCE ∠=∠=︒∠=∠=︒，然后根据三角形外角的性质可求解．【详解】解：由旋转的性质可得：30,90A D ACB DCE ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴120AED D DCE ∠=∠+∠=︒；故选B ．【点睛】本题主要考查旋转的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键．5、A【分析】连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，利用在Rt△ABC中，AC =AB tan B =Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅=，12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可．【详解】解：连结OC ，∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠ACD =90°-∠B =60°，∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，在Rt△ABC 中，AC =AB tan B =在Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，∴OD =OA =1，DC =AC∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯=11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯= ∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°， ∴212011==3603OAD S ππ⨯扇形，S 阴影=1133AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形．故选择A ．【点睛】本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．6、B【分析】根据90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．得出∠DAE =90°，AD =AE =16=32⨯，可证∠DAB =∠EAC ，再证△DAB ≌△EAC （SAS ），可判断①△AEC ≌△ADB 正确；作以点A 为圆心，AE 为半径的圆，当CP 为⊙A 的切线时，CP 最大，根据△AEC ≌△ADB ，得出∠DBA=∠ECA ，可证∠P =∠BAC =90°，CP 为⊙A 的切线，证明四边形DAEP 为正方形，得出PE =AE =3，在Rt△AEC 中，CE =CP 存在最大值为3+AEC ≌△ADB ，得出BD=CE=Rt△BPC中，BP最小3==可判断③BP存在最小值为3不正确；取BC中点为O，连结AO，OP，AB=AC=6，∠BAC=90°，BP=CO=AO=1122BC==⨯，当AE⊥CP时,CP与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ACE=3162AEAC==，可求∠ACE=30°，根据圆周角定理得出∠AOP=2∠ACE=60°，当AD⊥BP′时，BP′与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ABD=3162ADAB==，可得∠ABD=30°根据圆周角定理得出∠AOP′=2∠ABD=60°，点P在以点O为圆心，OA长为半径，的圆上运动轨迹为PAP'，L PAP'12032180ππ⨯==可判断④点P运动的路径长为2π正确即可．【详解】解：∵90BAC∠=︒，6AB AC==，点D、E分别是AB、AC的中点．∴∠DAE=90°，AD=AE=16=32⨯，∴∠DAB+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAC=90°，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，AD AEDAB EACAB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAB≌△EAC（SAS），故①△AEC≌△ADB正确；作以点A为圆心，AE为半径的圆，当CP为⊙A的切线时，CP最大，∵△AEC≌△ADB，∴∠DBA=∠EC A，∴∠PBA+∠P=∠ECP+∠BAC，∴∠P=∠BAC=90°，∵CP为⊙A的切线，∴AE⊥CP，∴∠DPE=∠PEA=∠DAE=90°，∴四边形DAEP为矩形，∵AD=AE，∴四边形DAEP为正方形，∴PE=AE=3，在Rt△AEC中，CE===，∴CP最大=PE+EC=3+故②CP存在最大值为3+∵△AEC ≌△ADB ，∴BD =CE =在Rt△BPC 中，BP 最小3=，BP 最短=BD -PD =，故③BP 存在最小值为3不正确；取BC 中点为O ，连结AO ，OP ，∵AB =AC =6，∠BAC=90°，∴BP =CO =AO =1122BC =⨯=，当AE ⊥CP 时,CP 与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ACE =3162AE AC ==， ∴∠ACE =30°，∴∠AOP =2∠ACE =60°，当AD ⊥BP′时，BP′与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ABD =3162AD AB ==， ∴∠ABD =30°，∴∠AOP′=2∠ABD =60°，∴点P 在以点O 为圆心，OA 长为半径，的圆上运动轨迹为PAP '，∵∠POP =∠POA +∠AOP ′=60°+60°=120°，∴L PAP '12032180ππ⨯==．故④点P 运动的路径长为2π正确；正确的是①②④．故选B ．【点睛】本题考查图形旋转性质，线段中点定义，三角形全等判定与性质，圆的切线，正方形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长公式，本题难度大，利用辅助线最长准确图形是解题关键．7、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．8、B【分析】根据旋转可得40A BA ABC ∠'=∠=︒，A B AB '=，得70BAA ∠'=︒．【详解】解：90ACB ∠=︒，40ABC ∠=︒，90904050CAB ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转得到△A BC ''，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，40A BA ABC ∴∠'=∠=︒，A B AB '=，1(18040)702BAA BA A ∴∠'=∠'=⨯︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．9、C【分析】先根据圆周角定理求出∠AOB 的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =100°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA = 40°，故选：C ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10、B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项分析【详解】解：A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；D. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．二、填空题1、3【分析】由切线长定理和30OAB ∠=︒，可得PAB ∆为等边三角形，则AB PA =．【详解】解：连接,OA OP ，如下图：PA，PB分别为O的切线，∴=，PA PB∴为等腰三角形，PAB∠=︒，OAB30PAB∴∠=︒，60∴∆为等边三角形，PAB∴=，AB PA3PA=，∴=．3AB故答案为：3．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和切线长定理，解题的关键是作出相应辅助线．2、【分析】根据旋转找出规律后再确定坐标．【详解】∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，∴每6次翻转为一个循环组循环，∵202163365÷=，∴经过2021次翻转为第337循环组的第5次翻转，点B在开始时点C的位置，∵(2,0)A-，∴2AB=，∴翻转前进的距离为：220214042⨯=，如图，过点B作BG⊥x于G，则∠BAG=60°，∴112122AG AB==⨯=，BG，∴404214043OG=+=，∴点B的坐标为．故答案为：．【点睛】题考查旋转的性质与正多边形，由题意找出规律是解题的关键．3【分析】如图，根据四边形CDEF 为正方形，可得∠D =90°，CD =DE ，从而得到CE 是直径，∠ECD =45°，然后利用勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形CDEF 为正方形，∴∠D =90°，CD =DE ，∴CE 是直径，∠ECD =45°，根据题意得：AB =2.5， 2.50.2522CE =-⨯= ，∴22222CE CD DE CD =+= ，∴CD = ，尺．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键．4、2π3【分析】根据弓形的面积=扇形的面积-三角形的面积求解即可．【详解】解：如图，AC ⊥OB ，∵圆心角为60°，OA =OB ，∴△OAB 是等边三角形，∴OC =12OB =1，∴AC =，∴S △OAB =12OB ×AC =12∵S 扇形OAB =2602360π⨯=2π3，∴弓形（阴影部分）的面积= S 扇形OAB - S △OAB =2π3故答案为：2π3【点睛】本题考查扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．5、27π65-## 【分析】设’BA 与AC 相交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点E ，根据勾股定理逆定理可得ABC 为直角三角形，根据三边关系可得1tan 2CAB ∠=，根据题意及等角对等边得出DE EB =，在Rt AED 中，利用正弦函数可得2BE DE ==，结合图形，利用扇形面积公式及三角形面积公式求解即可得．【详解】解：设’BA 与AC 相交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点E ，∵6AB =，BC =，AC = ∴222AB BC AC =+，∴ABC 为直角三角形， ∴1tan 2BC CAB AC ∠==， ∵ABC 绕点B 顺时针方向旋转45°得到''BA C ，∴45ABA ∠='︒，∴45ABA EDB ∠=∠='︒，∴DE EB =，在Rt AED 中，1tan 2DE CAB AE ∠==， ∴2AE EB =，∴36AE BE BE +==，∴2BE DE ==，162ABDS AB DE =⨯⨯=， 245693602ABA S ππ'︒⨯==︒扇形，245936010CBC S ππ'︒⨯⎝⎭==︒扇形， 9927662105ABDABA CBC S S S S πππ''=-+=-+=-阴影扇形扇形，故答案为：2765π-．【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理，旋转的性质，等角对等边的性质，正切函数，扇形面积等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．三、解答题1、（1（2）2AD DF =；证明见解析；（3【分析】（1）过点C 作CH AB ⊥于点H，根据等边三角形的性质与等腰的性质以及勾股定理求得CH =进而求得BD =Rt EHC 中，2HE AH AE =+=，CH =（2）延长DF 至K ，使得FK DF =，连接,EK KC ，过点D 作DP BC ∥，交AB 于点P ，根据平行四边形的性质可得，EDA KCA ∠=∠，证明APD △是等边三角形，进而证明ABD ACK ≌，即可证明AKD 是等边三角形，进而根据三线合一以及含30度角的直角三角形的性质，可得2AD DF =；（3）过点D 作DM BE ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥，连接MF ，交AC 于点H ，过点D 作DN AB ⊥，交BE 于点R ，过点R 作RQ BD ⊥于点Q ，先证明45EMF ∠=︒，结合中位线定理可得45EBC ∠=︒，进而可得45NBD ∠=︒，设1AN DF ==，分别勾股定理求得,,,AF ND BD MB ，进而根据22CD AB CD AC CD CD AD CD DF +=+=++=+求得CD AB +，即可求得CD AB BE+的值【详解】（1）过点C 作CH AB ⊥于点H ，如图将BD 绕点D 顺时针旋转120°，得到DE ，,120BD DE BDE ∴=∠=︒30DBE DEB ∴∠=∠=︒ ABC 是等边三角形60,ABC AB AC ∴∠=︒=，112AH AB ==CH ∴=30CBD ABC ABD ∠=∠-∠=︒BD AC ∴⊥，112AD DC AB ===BD ∴=60BAC ∠=︒120EAD ∴∠=︒18030ADE EAD AED ∴∠=︒-∠-∠=︒AED ADE ∴∠=∠1AE AD ∴==在Rt EHC 中，2HE AH AE =+=，CH =EC ∴=（2）如图，延长DF 至K ，使得FK DF =，连接,EK KC ，过点D 作DP BC ∥，交AB 于点P ，点F 是CE 的中点FE FC ∴=又FK DF =∴四边形CDFK 是平行四边形ED KC ∴=，ED KC ∥∴EDA KCA ∠=∠将BD 绕点D 顺时针旋转120°，得到DE ，,120BD DE BDE ∴=∠=︒BD KC ∴= ABC 是等边三角形AB AC ∴=PD BC ∥60APD ABC ∴∠=∠=︒，CBD PDB ∠=∠，APD ∴是等边三角形AD AP ∴=AB AC =DC PB ∴=设CBD α∠=，则PDB α∠=,∴60ABD APD PDB α∠=∠-∠=︒-，60ADB α∠=︒+()1206060ADE BDE ADB αα∠=∠-∠=︒-+=︒-ED KC ∥60ACK ADE α∴∠=∠=︒-ABD ACK ∴∠=∠∴ABD ACK ≌AK AD ∴=,60KAC DAB ∠=∠=︒AKD ∴是等边三角形DF FK =1302FAD KAD ∴∠=∠=︒，AF DF ⊥ 12DF AD ∴= 即2AD DF =（3）如图，过点D 作DM BE ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥，连接MF ，交AC 于点H ，过点D 作DN AB ⊥，交BE 于点R ，过点R 作RQ BD ⊥于点Q ，90GMD GFD ∴∠=∠=︒,,,B D F G ∴四点共圆FGD FMD ∴∠=∠由（2）可知AF DF ⊥，30FAD ∠=︒60ADF ∴∠=︒FG FD =45FDG FGD ∴∠=∠=︒45FGD FMD ∠=∠=︒将BD 绕点D 顺时针旋转120°，得到DE ，,120BD DE BDE ∴=∠=︒12MB ME BE ∴== F 是EC 的中点，MF ∴是EBC 的中位线MF BC ∴∥45EBC EMF ∴∠=∠=︒60ABC ∠=︒604515ABE ABC EBC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒153045NBD ABE EBD ∠=∠+∠=︒+︒=︒NBD ∴是等腰直角三角形ND NB ∴=60BAC ∠=︒90BAF BAD DAF ∴∠=∠+∠=︒90,AFD DN AB ∠=︒⊥∴四边形ANDF 是矩形ND AF ∴=，AN DF =设1AN DF ==在Rt ADE △中，22AD DF ==AF ∴1AB AN NB AN ND AN AF ∴=+=+=+=121DC AC AD AB AD ∴=-=-==在Rt NBD 中,ND NB AF ===BD ∴==在Rt MBD 中MB ==2BE BM ∴==22CD AB CD AC CD CD AD CD DF ∴+=+=++=+)211=+=CD AB BE +=∴【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，四点共圆，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；掌握旋转的性质，等边三角形的性质与判定是解题的关键．2、（1）见解析（2）见解析（3）23【分析】（1）由旋转的性质得AB =AD ，所以D ABD ∠=∠，再根据三角形内角和定理可证明ABD ACG ∠=∠即可得到结论；（2）连接EG ，根据ASA 证明ACG ≌ADE 得AG AE =，AEG △是等边三角形，从而得出DG CE =，再运用AAS 证明CEF △≌DGF △得EF GF =，由勾股定理可得出GE ，从而可得结论；（3）证明BD 平分ABC ∠，作EM BC ⊥于点M ，根据勾股定理得2222222EF DF CE AE AG +===，代入求值即可．（1）∵AC 边绕着点A 逆时针旋转得到线段AD ，∴AD AC =．∵AB AC =，∴AD AB =．∴D ABD ∠=∠．∵CF BD ⊥，∴90CFE BAC ∠=∠=︒又90CFE CEF ECF ABE AEB AEB ∠+∠+∠=∠+∠=∠=︒，且∠AEB =∠CEF∴ABD ACG ∠=∠．∴D ACG ∠=∠．（2）连接EG ．在ACG 和ADE 中，∵ACG D AC AD CAG DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ACG ≌ADE （ASA ）．∴AG AE =．∴AD AG AC AE -=-，即DG CE =．在CEF △和DGF △中，∵ACG D CFE DFG CE DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴CEF △≌DGF △（AAS ）．∴EF GF =．∵CG BD ⊥，∴在Rt EFG 中，22222GE EF FG EF =+=，即GE =．∵60CAD ∠=︒，AG AE =，∴AEG △是等边三角形．∴AG GE ==．（3）222223EF DF AG DG +=+． ∵45CAD ∠=︒，90BAC ∠=︒，∴135BAD ∠=︒∵22.5D ABD ∠=∠=︒．∵45ABD CBD ∠+∠=︒，∴22.5CBD ∠=︒．∴BD 平分ABC ∠．作EM BC ⊥于点M ，∴EM AE CM ==．∴在Rt CEM 中，2222222CE CM EM EM AE =+==．∵ACG ≌ADE ，CEF △≌DGF △，∴AG AE =，DF CF =，DG CE =．∴在Rt CEF 中，22222CE EF CF EF DF =+=+，∵222222DG CE AE AG ===， ∴22222222223EF DF AG AG DG AG AG +==++．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．3、（1）EF =DF +BE ；（2）EF =DF -BE ；（3）线段EF 的长为103或203．【分析】（1）延长FD 至G ，使DG =BE ，连接AG ，先证△ABE ≌△ADG ，再证△GAF ≌△EAF 即可；（2）在DC上截取DH=BE，连接AH，先证△ADH≌△ABE，再证△HAF≌EAF即可；（3）分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）结论：EF=BE+DF．理由：延长FD至G，使DG=BE，连接AG，如图①，∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°，∴△ABE≌△ADG（AAS），∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠DAF+∠DAG=45°，∴∠GAF=∠EAF=45°，∵AF=AF，∴△GAF≌△EAF（AAS），∴EF=GF，∴GF=DF+DG=DF+BE，即：EF=DF+BE；（2）结论：EF=DF-BE．理由：在DC上截取DH=BE，连接AH，如图②，∵AD=AB，∠ADH=∠ABE=90°，∴△ADH≌△ABE（SAS），∴AH=AE，∠DAH=∠EAB，∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°，∴∠DAH+∠BAF=45°，∴∠HAF=45°=∠EAF，∵AF=AF，∴△HAF≌EAF（SAS），∴HF=EF，∵DF=DH+HF，∴EF=DF-BE；（3）①当MA经过BC的中点E时，同（1）作辅助线，如图：设FD=x，由（1）的结论得FG=EF=2+x，FC=4-x．在Rt△EFC中，（x+2）2=（4-x）2+22，∴x=43，∴EF=x+2=103．②当NA经过BC的中点G时，同（2）作辅助线，设BE=x，由（2）的结论得EC=4+x，EF=FH，∵K 为BC 边的中点，∴CK =12BC =2，同理可证△ABK ≌FCK （SAS ），∴CF =AB =4，EF =FH=CF+CD-DH =8-x ，在Rt △EFC 中，由勾股定理得到：（4+x ）2+42=（8-x ）2，∴x =43， ∴EF =8-43=203．综上，线段EF 的长为103或203．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．4、（1）见解析；（2）2AP =（3）当=PAC ADO ∠∠，=PAC OAD ∠∠时，AP ==PAC AOD ∠∠时，=4AP ．【分析】（1）通过证=PAQ BAC ∠∠，=B P ∠∠，即可得APQ ABC ∽；（2）先证PCD 是等腰直角三角形，求sin 45DC PC AP AP ==⋅︒==C CDQ AB △△∽，得CQ CD AC AB=，求CQ 长，即可求PQ 得长，通过APQ ABC ∽，即可得AP PQ AB BC ，即可求AP ．（3）分类讨论， =PAC ADO ∠∠，=PAC OAD ∠∠，=PAC AOD ∠∠，三种情况讨论，再通过勾股定理和相似即可求解．【详解】证明：（1）∵AQ ⊥AP∴=90PAQ ∠︒∵BC 是⊙O 的直径∴=90BAC ∠︒∴=PAQ BAC ∠∠∵=B P ∠∠∴APQ ABC ∽（2）如图，连接CD ，PD∵BC 是⊙O 的直径∴=90BAC ∠︒∵AB ＝3，AC ＝4∴利用勾股定理得：5BC =,即直径为5 ∵=90PAQ ∠︒∴180=90PCD PAQ ∠=︒-∠︒∴DP 是⊙O 的直径，且DP =BC =5 ∵点C 为PD 的中点∴CD =PC∵=90PCD ∠︒∴=45PDC ∠︒∴PCD 是等腰直角三角形∴利用勾股定理得：2222522DP DC PC ===,则DC PC ==∵==DCQ PCD PAQ ∠∠∠，=Q Q ∠∠ ∴CDQ APQ △∽△∵APQ ABC ∽∴C CDQ AB △△∽∴CQ CD AC AB =，即：243CQ =∴CQ =∴PQ CQ PC =+∵APQ ABC ∽∴AP PQ AB BC ，即：635AP =∴AP =（3）连接AO ,OD ，OP ，CD ，OD 交AC 于点M∵=90PCD ∠︒（已证）∴OD ,OP 共线，为⊙O 的直径情况一：当=PAC ADO ∠∠时∵=PAC ADO ∠∠，=ADO ACP ∠∠ ∴=PAC ACP ∠∠∴AP =PC∵=90PAQ ∠︒∴=90ADO APD ∠+∠︒∴=90PAC APD ∠+∠︒∴=90AMP ∠︒即AC PD ⊥∵AP =PC ∴122AM AC ==∴在Rt AOM 中，32OM == ∴1354222PM OM OP OM BC =+=+=+=∴在Rt APM 中，AP =情况二：当=PAC OAD ∠∠时， ∵OA OD =∴=OAD ADO ∠∠∴=PAC ADO ∠∠同情况一：AP =情况三：当=PAC AOD ∠∠时 ∵=ADO ACP ∠∠，=PAC AOD ∠∠ ∴DAO CPA △∽△ ∴APC OAD ∠=∠， ∵OA =OD ∴ADO OAD ∠=∠ ∴=ACP APC ∠∠ ∴==4AP AC综上所述，当=PAC ADO ∠∠，=PAC OAD ∠∠时，AP ==PAC AOD ∠∠时，=4AP ．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，是圆的综合题。