【步步高 学案导学设计】高中数学 2.3数学归纳法课时作业 新人教A版选修2-2

2.3 数学归纳法课时目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．由一系列有限的个别事实得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法． 2．用数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题时，其步骤为： (1)归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)归纳递推：假设n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立； (3)由(1)(2)得出结论．一、选择题1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，等号左边的项是( ) A ．1 B ．1＋a C ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 32．用数学归纳法证明“2n>n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．63．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k)多的项数是( ) A ．2k －1项 B ．2k ＋1项C ．2k项 D ．以上都不对4．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n ＋1)(n ∈N *)，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋15．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”时，第一步验证n ＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(n ∈N *)时命题正确，再推证n ＝2k ＋3时命题正确 B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)时命题正确，再推证n ＝2k ＋1时命题正确 C ．假设n ＝k (k ∈N *)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确D ．假设n ≤k (k ∈N *)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确 6．用数学归纳法证明不等式“1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324(n >2)”时的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)C ．增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋1D ．增加了一项12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋1题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22时，则n ＝k ＋1时的左端应在n ＝k 时的左端加上____________________________． 8．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1 (n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． (2)假设当n ＝k 时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________________________．9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________．三、解答题10．试比较2n＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．能力提升12．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n＋9，存在正整数m ，使得对任意n ∈N *都能使m 整除f (n )， 则最大的m 的值为多少？并证明之．13．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上． (1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)， 证明：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．1．数学归纳法在证明与正整数n 有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用．2．在证明n ＝k ＋1时的命题中，怎样变形使之出现n ＝k 时的命题的形式是解决问题的关键，要找清n ＝k ＋1时式子结构或几何量的改变．答案作业设计1．C [当n ＝1时，an ＋1＝a 2.∴等号左边的项是1＋a ＋a 2.]2．C [当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个 能使2n>n 2＋1的n 值为5.]3．C [观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k)＝1＋12＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k)多了2k项．]4．B [当n ＝k 时左端为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…(k＋1＋k －1)(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)，即(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)． 观察比较它们的变化知增乘了(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．]5．B [因n 为正奇数，所以否定C 、D 项；当k ＝1时，2k －1＝1,2k ＋1＝3，故选B.] 6．C [当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12). 当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋...＋12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1.]7．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)28．没有用到归纳假设，不是数学归纳法． 9．S n ＝2nn ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1. 10．证明 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1， 当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4， 当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9， 当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16， 由此可以猜想， 2n＋2>n 2(n ∈N *)成立． 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边，所以原不等式成立． 当n ＝2时，左边＝22＋2＝6， 右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9， 所以左边>右边．②假设n ＝k 时(k ≥3且k ∈N *)时，不等式成立， 即2k＋2>k 2，那么n ＝k ＋1时， 2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2.要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k 2－2≥(k ＋1)2， 即证k 2－2k －3≥0， 即证(k ＋1)(k －3)≥0. 又∵k ＋1>0，k －3≥0， ∴(k ＋1)(k －3)≥0.所以当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②可知，n ∈N *,2n＋2>n 2.11．解 (1)a 2＝a 12a 1＋1＝122×12＋1＝14，a 3＝a 22a 2＋1＝142×14＋1＝16.(2)猜想a n ＝12n ，下面用数学归纳法证明此结论正确．证明：①当n ＝1时，结论显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝12k ，那么a k ＋1＝a k2a k ＋1＝12k 2×12k ＋1＝12k ＋2＝12(k ＋1). 也就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．根据①②可知，结论对任意正整数n 都成立， 即a n ＝12n.12．解 ∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除． 证明：n ＝1,2时，由上得证，假设n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除，则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)．∴f (k ＋1)能被36整除．因此，对任意n ∈N *，f (n )都能被36整除． 又∵f (1)不能被大于36的数整除， ∴所求最大的m 值等于36. 13．(1)解 由题意：S n ＝b n＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝bn －1＋r . 所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (2)证明 当b ＝2时，由(1)知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n >n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝ 2.左式>右式，所以结论成立， ②假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k>k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1) >k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1.要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立， 故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②可知，n ∈N *时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．。