离散数学及其应用(课后习题)

习题1.12. 指出下列命题是原子命题还是复合命题。

（3）大雁北回，春天来了。

（4）不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。

（5）张三和李四在吵架。

解：（3）和（4）是复合命题，（5）是原子命题。

习题1.21. 指出下列命题的真值：（1）若224+>，则太阳从西方升起。

解：该命题真值为T （因为命题的前件为假）。

（3）胎生动物当且仅当是哺乳动物。

解：该命题真值为F （如鸭嘴兽虽是哺乳动物，但不是胎生动物）。

2. 令P ：天气好。

Q ：我去公园。

请将下列命题符号化。

（2）只要天气好，我就去公园。

（3）只有天气好，我才去公园。

（6）天气好，我去公园。

解：（2）P Q →。

（3）Q P →。

（6）P Q ↔。

习题1.32. 将下列命题符号化（句中括号内提示的是相应的原子命题的符号表示）： （1）我去新华书店（P ），仅当我有时间（Q ）。

（3）只要努力学习（P ），成绩就会好的（Q ）。

（6）我今天进城（P ），除非下雨（Q ）。

（10）人不犯我（P ），我不犯人（Q ）；人若犯我，我必犯人。

解：（1）P Q →。

（3）P Q →。

（6）Q P ⌝→。

（10）()()P Q P Q ⌝→⌝∧→。

习题1.41. 写出下列公式的真值表： （2）()P Q R ∨→。

解：该公式的真值表如下表：2. 证明下列等价公式：（2）()()()P Q P Q P Q ∨∧⌝∧⇔⌝↔。

证明：()(()()) ()()) ()() ()()P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q ⌝↔⇔⌝∧∨⌝∧⌝⇔⌝∧∧⌝⌝∧⌝⇔⌝∧∧∨⇔∨∧⌝∧（4）()()()P Q P R P Q R →∧→⇔→∧。

证明：()()()() () ()P Q P R P Q P R P Q R P Q R →∧→⇔⌝∨∧⌝∨⇔⌝∨∧⇔→∧3. 甲、乙、丙、丁4人参加考试后，有人问他们谁的成绩最好，甲说，不是我。

乙说：是丁。

丙说：是乙。

丁说：不是我。

已知4个人的回答只有一个人符合实际，问成绩最好的是谁？解：设A ：甲成绩最好。

B ：乙成绩最好。

C ：丙成绩最好。

D ：丁成绩最好。

四个人所说的命题分别用P Q R S 、、、表示，则P A ⇔⌝；Q A B C D ⇔⌝∧⌝∧⌝∧；R A B C D ⇔⌝∧∧⌝∧⌝；S D ⇔⌝。

则只有一人符合实际的命题K 符号化为()()()()K P Q R S P Q R S P Q R S P Q R S ⇔∧⌝∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝∧()() ()() ()()()()(P Q R S A A B C D A B C D D A A B C D A B C D D A D A B C D A B C D A B C D ∧⌝∧⌝∧⌝⇔⌝∧⌝⌝∧⌝∧⌝∧∧⌝⌝∧∧⌝∧⌝∧⇔⌝∧∨∨∨⌝∧∨⌝∨∨∧⇔⌝∧∧∨∨∨⌝∧∨⌝∨∨⇔⌝∧∧∧∨⌝)()() 0;A B D A B C D A C D ∧∧∨⌝∧⌝∧∧∨⌝∧∧⇔同理，()0;P Q R S A A B C D A B C D D ⌝∧∧⌝∧⌝⇔∧⌝∧⌝∧⌝∧∧⌝⌝∧∧⌝∧⌝∧⇔()0;P Q R S A A B C D A B C D D ⌝∧⌝∧∧⌝⇔∧⌝⌝∧⌝∧⌝∧∧⌝∧∧⌝∧⌝∧⇔ ()() ()() .P Q R S A A B C D A B C D DA ABCD A B C D D A D ⌝∧⌝∧⌝∧⇔∧⌝⌝∧⌝∧⌝∧∧⌝⌝∧∧⌝∧⌝∧⌝⇔∧∨∨∨⌝∧∨⌝∨∨∧⌝⇔∧⌝ 所以，当K 为真时，A D ∧⌝为真，即甲的成绩最好。

习题1.52. 证明下列各蕴含式：（3）()()()P Q R P Q P R →→⇒→→→。

证明：方法一：真值表法（列出命题公式(())(()())P Q R P Q P R →→→→→→的真值表）。

方法二：等值演算法(())(()())(())(()())(())()()()()()()(()())()()()()()1.P Q R P Q P R P Q R P Q P R P Q R P Q P R P Q R P Q P R P Q R P P R Q P R P Q R Q P R P Q P R Q Q P R R Q P R →→→→→→⇔⌝→→∨→→→⇔⌝⌝∨⌝∨∨⌝⌝∨∨⌝∨⇔∧∧⌝∨∧⌝∨⌝∨⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨⌝∨⇔∧∧⌝∨⌝∨⌝∨⇔∨⌝∨⌝∨∨∨⌝∨⌝∨∨⌝∨⌝∨⌝∨⇔方法三：分析法（1）直接分析法：若前件()P Q R →→为真，分两种情况：（I ）P 为假，则P Q →为真，P R →为真，()()P Q P R →→→为真。

（II ）P 为真，则Q R →为真，此时若Q 为真，则R 为真，则P Q →为真，P R →为真，()()P Q P R →→→为真；若Q 为假，则P R →为假，()()P Q P R →→→为真。

综上，若前件为真，后件必为真，故该蕴含式成立。

(2）间接分析法：若后件()()P Q P R →→→为假，则P Q →为真，P R →为假。

由P R →为假可知，P 为真，R 为假。

再由P Q →可知，Q 为真。

此时Q R →为假，()P Q R →→为假，即前件为假。

故蕴含式成立。

5. 叙述下列各个命题的逆换式和逆反式，并以符号写出。

（1）如果下雨，我不去。

解：设P ：天下雨。

Q ：我去。

逆换式：如果我不去，天就下雨。

符号表示为Q P ⌝→。

逆反式：如果我去，天就不下雨。

符号表示为Q P →⌝。

（2）仅当你走我将留下。

解：设P ：我留下。

Q ：你走。

逆换式：如果你走，我就留下。

符号表示为：Q P →。

逆反式：如果你不走，我就不留下。

符号表示为：Q P ⌝→⌝。

2. 将下列命题公式用只含∨和⌝的等价式表达，并要求尽可能简单。

（1）().P Q P ∧∧⌝解： ()()P Q P P P Q ∧∧⌝⇔∧⌝∧00.Q ⇔∧⇔ （2）(()).P Q R P Q →∨⌝∧⌝∧解： (())(())P Q R P Q P Q R P Q →∨⌝∧⌝∧⇔⌝∨∨⌝∧⌝∧()()()()P Q R P Q P P Q P Q Q P Q R ⇔⌝∨∨⌝∧⌝∧⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨⌝∧∧⌝ ()()()()()P Q P Q P Q R P Q P Q R ⇔⌝∧∨⌝∧∨⌝∧∧⌝⇔⌝∧∨⌝∧∧⌝ ()()P Q P Q R P Q ⇔⌝∧∨⌝∧∧⌝⇔⌝∧ ().P Q ⇔⌝∨⌝（3）().P Q R P ⌝∧⌝∧⌝→解： ()()P Q R P P Q R P ⌝∧⌝∧⌝→⇔⌝∧⌝∧∨()()()0P Q R P Q P P Q R ⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧⌝∧⇔⌝∧⌝∧∨ ().P Q R P Q R ⇔⌝∧⌝∧⇔⌝∨∨⌝习题1.76．求下列命题公式的主析取范式和主合取范式： （1）(()).P Q R P ∨→→解： (())(())P Q R P P Q R P ∨→→⇔⌝⌝∨∨∨(())()()()()P Q R P P Q P P R P Q P R ⇔∨∧⌝∨⇔∨∨∧∨⌝⇔∨∧∨⌝ (())(())P Q R R P Q Q R ⇔∨∨∧⌝∧∨∧⌝∨⌝()()()()P Q R P Q R P Q R P Q R ⇔∨∨∧∨∨⌝∧∨∨⌝∧∨⌝∨⌝ ()()()P Q R P Q R P Q R ⇔∨∨∧∨∨⌝∧∨⌝∨⌝ 013M M M ⇔∧∧（主合取范式）24567.m m m m m ⇔∨∨∨∨（主析取范式）1. 证明()()().P Q P R R S S Q ⌝∨⌝∧⌝→∧→⌝⇒→⌝ 证明： （1）S P （附加前提） （2）R S →⌝ P（3）S R →⌝ T （2）E （4）R ⌝ T （1）（3）I （5）P R ⌝→ P（6）R P ⌝→ T （5）E （7）P T （4）（6）I （8）P Q ⌝∨⌝ P（9）Q ⌝ T （7）（8）I （10）S Q →⌝ CP2．用间接证法证明()P Q R →⌝→，Q P →⌝，S R →⌝，.P S ⇒⌝ 证明： （1）S P （附加前提） （2）S R →⌝ P （3）R ⌝ T （1）（2）I （4）P P (5) ()P Q R →⌝→ P (6)Q R ⌝→ T(4)((5)I (7)Q T(3)(6)I (8) Q P →⌝ P(9)P ⌝ T(7)(8)I (10)P P ∧⌝(矛盾式) T(4)(9)I由（10）得出了矛盾，根据归谬法说明原推理正确。

5.“如果下雨，春游就会改期；如果没有球赛，春游就不会改期。

结果没有球赛，所以没有下雨。

”证明上述论断正确。

解：设P ：下雨。

Q ：有球赛。

R ：春游改期。

则上述论断转化为要证明P R →，Q R ⌝→⌝，Q ⌝.P ⇒⌝证： （1）Q ⌝ P （2）Q R ⌝→⌝ P（3）R ⌝ T （1）（2）I （4）P R → P（5）P ⌝ T （3）（4）I 因此，上述推理正确。

7. 证明R S ∨是前提C D ∨，C R →，D S →的有效结论。

证明： （1）C D ∨ P（2）C D ⌝→ T （1）E （3）D S → P（4）C S ⌝→ T （2）（3）I （5）C R → P（6）R C ⌝→⌝ T （5）E （7）R S ⌝→ T （4）（6）I （8）R S ∨ T （7）E习题2.1用谓词表达式写出下列命题： （5）每个有理数是实数。

解：(()())x Q x R x ∀→，其中()Q x ：x 是有理数。

()R x ：x 是实数。

（6）有的函数连续。

解：(()())x F x C x ∃∧，其中()F x ：x 是函数。

()C x ：x 连续。

习题2.22. 将下列命题符号化： （3）没有人登上过木星。

解：设()M x ：x 是人。

()A x ：x 登上过木星。

则命题可表示为()()()().x M x A x ⌝∃∧3. 符号化下列命题：（2）尽管有人聪明，但未必一切人都聪明。

解：设()M x ：x 是人。

()C x ：x 聪明。

则命题可表示为 (()())(()()).x M x C x x M x C x ∃∧∧⌝∀→习题2.32. 对下列谓词公式中约束变元进行换名： （1）((,)())(,)x y P x z Q y S x y ∀∃→↔（2）((()(()()))())(,)x P x R x Q x xR x zS x z ∀→∨∧∃→∃解：（1）((,)())(,)u v P u z Q v S x y ∀∃→↔（2）((()(()()))())(,)u P u R u Q u vR v zS x z ∀→∨∧∃→∃3. 对下列谓词公式中自由变元进行代入：（1）((,)(,))(,,)yA x y xB x z x zC x y z ∃→∀∧∃∀ （2）((,)(,))(,)yP x y zQ x z xR x y ∀∧∃∨∀解：（1）((,)(,))(,,)yA s y xB x w x zC x t z ∃→∀∧∃∀ （2）((,)(,))(,)yP s y zQ s z xR x t ∀∧∃∨∀习题2.43. 证明下列等价式：（1）(()())(()()).x P x Q x x P x Q x ⌝∃∧⇔∀→⌝ 证明：(()())x P x Q x ⌝∃∧ (()())x P x Q x ⇔∀⌝∧ (()())x P x Q x ⇔∀⌝∨⌝ (()())x P x Q x ⇔∀→⌝（2）(()())(()()).x P x Q x x P x Q x ⌝∀→⇔∃∧⌝ 证明：(()())x P x Q x ⌝∀→ (()())x P x Q x ⇔∃⌝→ (()())x P x Q x ⇔∃⌝⌝∨ (()())x P x Q x ⇔∃∧⌝习题2.5求下列谓词公式的前束析取范式和前束合取范式： （1）()()()().x P x x Q x ∀→∃ 解：()()()()x P x x Q x ∀→∃()()()()x P x x Q x ⇔⌝∀∨∃ ()()()()x P x x Q x ⇔∃⌝∨∃()(()())x P x Q x ⇔∃⌝∨ （前束析取范式、前束合取范式）（2）()()(()((,)(,))()(,,)).x y z P x z P y z u Q x y u ∀∀∃∧∨∃ 证明：()()(()((,)(,))()(,,))x y z P x z P y z u Q x y u ∀∀∃∧∨∃()()()(((,)(,))()(,,))x y z P x z P y z u Q x y u ⇔∀∀∃∧∨∃ （辖域扩张）()()()()(((,)(,))(,,))x y z u P x z P y z Q x y u ⇔∀∀∃∃∧∨ （辖域扩张）（前束析取范式） ()()()()(((,)(,,))((,)(,,)))x y z u P x z Q x y u P y z Q x y u ⇔∀∀∃∃∨∧∨ （前束合取范式）习题2.61. 证明下列各式。