专题2—指数函数、对数函数、幂函数(教师专用)

专题2—指数函数、对数函数、幂函数（教师专用）1．函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为（ ） A ．(0)+∞，B ．(19]，C ．(01)，D ．[9)+∞，B ；[解析] 函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(19]，.[考点透析]根据指数函数在对应区间的值域问题，结合原函数与反函数的定义域与值域之间的关系处理对应反函数的定义域问题.2．给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A ．()3x f x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =B ；[解析] 依据指、对数函数的性质可以发现A 满足()()()f x y f x f y +=，C 满足()()()f xy f x f y =+，而D 满足()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，B 不满足其中任何一个等式.[考点透析]根据指数函数、对数函数，结合三角函数等其他相关函数讨论分析对应的性质是高考中比较常见的考题之一，关键是掌握对应函数的基本性质及其应用.3．以下四个数中的最大者是（ ）A ．（ln2）2B ．ln （ln2）C ．ln 2D ．ln2 D ；[解析] ∵0ln 21<<，∴ln （ln2）<0，（ln2）2<ln2，而ln 2=21ln2<ln2，∴最大的数是ln2. [考点透析]根据对数函数的基本性质判断对应函数值的大小关系，一般是通过介值（0，1等一些特殊值）结合对数函数的特殊值来加以判断.4．若A=}822|{2<≤∈-xZ x ，B=}1|log ||{2>∈x R x ，则)(C R B A 的元素个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 C ；[解析] 由于A=}822|{2<≤∈-xZ x =}321|{<-≤∈x Z x =}11|{≤<-∈x Z x =｛0，1｝，而B=}1|log ||{2>∈x R x =}2210|{><<∈x x R x 或，那么)(C R B A =｛0，1｝，则)(C R B A 的元素个数为2个. [考点透析] 从指数函数与对数函数的单调性入手，解答相关的不等式，再根据集合的运算加以分析和判断，得出对应集合的元素个数问题.5．设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞A ；[解析] 由10)0(-==a f 得，011lg )(<-+=x x x f ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>-+111011xx xx，01<<-∴x . [考点透析]根据对数函数中的奇偶性问题，结合对数函数的性质，求解相关的不等式问题，要注意首要条件是对数函数的真数必须大于零的前提条件.6．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假： 命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ） A ．①③ B ．①② C ．③ D ．②D ；[解析] 函数①()lg(21)f x x =-+，函数(2)f x +=lg(||1)x +是偶函数；且()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；但对命题丙：(2)()f x f x +-=||1lg(||1)lg(|2|1)lg|2|1x x x x ++--+=-+在x ∈(－∞,0)时，(||1)12lglg lg(1)(|2|1)213x x x x x +-+==+-+-+-为减函数，排除函数①，对于函数③，()c o s (2f x x =+函数(2)c o s (2f x x +=+不是偶函数，排除函数③，只有函数②2()(2)f x x =-符合要求.[考点透析]根据对数函数、幂函数、三角函数的相关性质来分析判断相关的命题，也是高考中比较常见的问题之一，正确处理对应函数的单调性与奇偶性问题.7．函数)2log 2(0)y x =>的反函数是（ ）A.142(2)x x y x +=->B.142(1)x x y x +=->C.242(2)x x y x +=->D.242(1)x x y x +=-> C ；[解析] 原函数过(4,1)-故反函数过(1,4)-从而排除A 、B 、D.[考点透析]根据对应对数函数型的函数的反函数的求解步骤加以分析求解对应的反函数，但通过原函数与反函数之间的特殊关系，利用排除法加以分析显得更加简单快捷.8．设,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log ,22b caa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c <<A ；[解析] 由122log a a =可知0a >21a ⇒>121l o g 102a a ⇒>⇒<<，由121l o g 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知0b >⇒120l o g 1b <<112b ⇒<<，由21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知0c >20log 112c c ⇒<<⇒<<，从而a b c <<.[考点透析] 根据指、对数函数的性质及其相关的知识来处理一些数或式的大小关系是全面考察多个基本初等函数比较常用的方法之一.关键是掌握对应函数的基本性质及其应用.9．已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则M N （ ） A ．{}1>x x B ．{}1<x x C ．{}11<<-x x D ．∅ C ；[解析] 依题意可得函数xx f -=11)(的定义域M =}01|{>-x x =}1|{<x x ， )1ln()(x x g +=的定义域N =}01|{>+x x =}1|{->x x ，所以M N =}1|{<x x }1|{->x x ={}11<<-x x .[考点透析] 本题以函数为载体，重点考查幂函数与对数函数的定义域，集合的交集的概念及其运算等基础知识，灵活而不难．10．设a ∈{－1，1，21，3}，则使函数y=x a 的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A ．1，3 B ．－1，1 C ．－1，3 D ．－1，1，3 A ；[解析] 观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项.[考点透析] 根据幂函数的性质加以比较，从而得以判断．熟练掌握一些常用函数的图象与性质，可以比较快速地判断奇偶性问题．特别是指数函数、对数函数、幂函数及其一些简单函数的基本性质．11．（2007江苏，5分）设函数)(x f 定义在实数集上，它的图象关于直线x =1对称，且当1≥x 时，)(x f =13-x，则有（ ）A ．)31(f <)23(f <)32(f B ．)32(f <)23(f <)31(f C ．)32(f <)31(f <)23(f D ． )23(f <)32(f <)31(f B ；[解析] 当1≥x 时，)(x f =13-x，其图象是函数x y 3=向下平移一个单位而得到的1≥x 时图象部分，如图所示，又函数)(x f 的图象关于直线x =1对称，那么函数)(x f 的图象如下图中的实线部分， 即函数)(x f 在区间)1,(-∞上是单调减少函数， 又)23(f =)21(f ，而322131<<，则有)32()21()31(f f f >>，即)32(f <)23(f <)31(f ．[考点透析] 利用指数函数的图象结合题目中相应的条件加以分析，通过图象可以非常直观地判断对应的性质关系． 12．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 B ；[解析] 函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象如下：根据以上图形，可以判断两函数的图象之间有三个交点. [考点透析] 作出分段函数与对数函数的相应图象，根据对应的交点情况加以判断.指数函数与对数函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用.特别注意指数函数与对数函数的图象关于直线x y =对称.在求解过程中注意数形结合可以使解题过程更加简捷易懂.13．函数)(x f =x 2log 1+与)(x g =12+-x 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）C ；[解析] 函数)(x f =x 2log 1+的图象是由函数x y 2log =的图象向上平移1个单位而得来的；又由于)(x g =12+-x =)1(2--x ，则函数)(x g =12+-x 的图象是由函数x y -=2的图象向右平移1个单位而得来的；故两函数在同一直角坐标系下的图象大致是：C.[考点透析] 根据函数表达式与基本初等函数之间的关系，结合函数图象的平移法则，得出相应的正确判断.14．设1>a ，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为21，则a =（ ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．4D ；[解析] 由于1>a ，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为21， 那么a a a a log 2log -=21，即2log a =21，解得221=a ，即a =4.[考点透析] 根据对数函数的单调性，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 的端点上取得最值，由1>a 知函数在对应的区间上为增函数.15．若1>a ，且y a x a a y a x log log -<---，则x 与y 之间的大小关系是（ ） A ．0>>y x B ．0>=y x C ．0>>x y D ．无法确定A ；[解析] 通过整体性思想，设x a x f a x log )(-=-，我们知道当1>a 时，函数x a y -=1与函数x y a log 2-=在区间),0(+∞上都是减函数，那么函数x a x f a x log )(-=-在区间),0(+∞上也是减函数，那么问题就转化为)()(y f x f <，由于函数x a x f a x log )(-=-在区间),0(+∞上也是减函数，那么就有0>>y x .[考点透析] 这个不等式两边都由底数为a 的指数函数与对数函数组成，且变量又不相同，一直很难下手.通过整体思维，结合指数函数与对数函数的性质加以分析，可以巧妙地转化角度，达到判断的目的.16．函数|1|||ln --=x ey x 的图象大致是（ ）D ；[解析] 函数|1|||ln --=x e y x 可转化为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+=1,110,11x x xx y ，根据解析式可先排除（A ），（C ），又当10<<x 时，0>y ，可排除（B ），故选（D ）.[考点透析] 把相应的含有指数函数和对数函数的关系式，加以巧妙转化，转化成相应的分段函数，结合分段函数的定义域和基本函数的图象加以分析求解和判断.17．函数()y f x =的图象与函数3log (0)y xx =>的图象关于直线y x =对称，则()f x =____________.()f x =3()x x ∈R ；[解析] 函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线y x =对称，则()f x 与函数3log (0)y x x =>互为反函数，()f x =3()x x ∈R .[考点透析]对数函数与指数函数互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称，在实际应用中经常会碰到，要加以重视.18．函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为_________.{}34≠<x x x 且；[解析] 4030x x ->⎧⎨-≠⎩⇒{}34≠<x x x 且.[考点透析] 考察对数函数中的定义域问题，关键是结合对数函数中的真数大于零的条件，结合其他相关条件来分析判断相关的定义域问题.19．设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为_________.[5，+∞）；[解析] 反函数的定义即为原函数的值域，由x ≥3得x-1≥2，所以1)1(log 2≥-x ，所以y ≥5，反函数的定义域为[5，+∞），填[5，+∞）.[考点透析]根据互为反函数的两个函数之间的性质：反函数的定义即为原函数的值域，结合对应的对数函数的值域问题分析相应反函数的定义域问题.20．方程96370x x-⋅-=的解是_________.3log 7x =；[解析] 2(3)63703731x x x x -⋅-=⇒==-或（舍去），3log 7x ∴=. [考点透析]求解对应的指数方程，要根据相应的题目条件，转化为对应的方程加以分析求解，同时要注意题目中对应的指数式的值大于零的条件.21．若函数2()()x f x e μ--=（e 是自然对数的底数）的最大值是m ，且()f x 是偶函数，则m μ+=________． 1；[解析] 22()()1()x x f x ee μμ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，设()()20t x t μ=-≥，此时1()tf x e ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，则最大值是11m e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，又()f x 是偶函数，则0μ=，∴1m μ+=．[考点透析] 根据函数的特征，结合指数函数的最值问题，函数的奇偶性问题来解决有关的参数，进而解得对应的值.研究指数函数性质的方法，强调数形结合，强调函数图象研究性质中的作用,注意从特殊到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养.22．已知函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象如图，则函数xa y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1的图象可能是________.D ；[解析] 根据函数xa y =的图象可知1>a ，那么对应函数xa y ⎪⎭⎫⎝⎛=1的图象是D.[考点透析]根据对应指数函数的图象特征，分析对应的底数1>a ，再根据指数函数的特征分析相应的图象问题. 23．设x x f a lo g )(=（0>a 且1≠a ），若1)()()(21=+++n x f x f x f （+∈R x i ，n i ,,2,1 =），则)()()(33231n x f x f x f +++ 的值等于________.3；[解析] 由于)()()(21n x f x f x f +++ =n a a a x x x log log log 21+++ =)(log 21n a x x x =1，而)()()(33231n x f x f x f +++ =33231log log log n a a a x x x +++ =321)(log n a x x x =3)(log 21n a x x x =3[考点透析]根据对数函数的关系式，以及对数函数的特征加以分析求解对应的对数式问题，关键是加以合理地转化. 24．将函数2log y x =的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，则C 2的解析式为________.1)1(log 2++=x y ；[解析] 将函数2log y x =的图象向左平移一个单位，得到图象C 1所对应的解析式为)1(log 2+=x y ；要此基础上，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，则C 2的解析式为)1(log 12+=-x y .[考点透析]根据函数图象平移变换的规律加以分析判断平移问题，一般可以结合“左加右减，上减下加”的规律加以应用.25．若函数y=lg （ax 2+2x+1）的值域为R ，则实数a 的取值范围为________.[0，1]；[解析] 由于函数y=lg （ax 2+2x+1）的值域为R ⇔（0，+∞）⊆{u （x ）|u （x ）=ax 2+2x+1}，当a=0时，u （x ）=2x+1的值域为R ，符合题意；当⎩⎨⎧≥-=∆>0440a a 时，即10≤<a 时也符合题意.[考点透析]通过引入变元，结合原函数的值域为R ，转化为u （x ）的问题来分析，要根据二次项系数的取值情况加以分类解析.26．若函数y=log 2（kx 2+4kx +3）的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________.⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0；[解析] 函数y=log 2（kx 2+4kx +3）的定义域为R ⇔kx 2+4kx +3>0恒成立，当k=0时，3>0恒成立；当⎩⎨⎧<-=∆>0121602k k k 时，即430<<k 时也符合题意. [考点透析]把函数的定义域问题转化为有关不等式的恒成立问题，再结合参数的取值情况加以分类解析.27．给出下列四个命题：①函数x a y =（0>a 且1≠a ）与函数x a a y log =（0>a 且1≠a ）的定义域相同；②函数3x y =和xy 3=的值域相同；③函数12121-+=x y 与xx x y 2)21(2∙+=都是奇函数； ④函数2)1(-=x y 与12-=x y 在区间),0[+∞上都是增函数.其中正确命题的序号是：__________.（把你认为正确的命题序号都填上）①、③；[解析] 在①中，函数xa y =（0>a 且1≠a ）与函数x a a y log =（0>a 且1≠a ）的定义域都是R ，则结论正确；在②中，函数3x y =的值域为R ，xy 3=的值域为+R ，则结论错误；在③中，函数12121-+=x y 与xx x y 2)21(2∙+=都是奇函数，则结论正确；在④中，函数2)1(-=x y 在),1[+∞上是增函数，12-=x y 在R 上是增函数，则结论错误.[考点透析]综合考察指数函数、对数函数、幂函数的定义、定义域、值域、函数性质等相关内容.28．直线a x =（0>a ）与函数x y ⎪⎭⎫⎝⎛=31、xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21、x y 2=、x y 10=的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点，则这四点从上到下的排列次序是________.D 、C 、B 、A ；[解析] 结合四个指数函数各自的图象特征可知这四点从上到下的排列次序是D 、C 、B 、A.[考点透析]结合指数函数的图象规律，充分考察不同的底数情况下的指数函数的图象特征问题，加以判断对应的交点的上下顺序问题.29．已知lgx+lgy=2lg （x －2y ），求yx2log的值. [分析] 考虑到对数式去掉对数符号后，要保证x >0，y >0，x －2y >0这些条件成立.假如x=y ，则有x －2y=－x <0，这与对数的定义不符，从而导致多解.[解析] 因为lgx+lgy=2lg （x －2y ），所以xy=（x －2y ）2， 即x 2－5xy+4y 2=0，所以（x －y ）（x －4y ）=0，解得x=y 或x=4y ，又因为x >0，y >0，x －2y >0，所以x=y 不符合条件，应舍去，所以yx=4，即yx2log =4log 2=4. [考点透析] 在对数式log a N 中，必须满足a >0，a ≠1且N >0这几个条件.在解决对数问题时，要重视这几个隐含条件，以免造成遗漏或多解.30．根据函数|12|-=xy 的图象判断：当实数m 为何值时，方程m x=-|12|无解？有一解？有两解？[分析] 可以充分结合指数函数的图象加以判断．可以把这个问题加以转换，将求方程m x=-|12|的解的个数转化为两个函数|12|-=xy 与m y =的图象交点个数去理解.[解析] 函数|12|-=xy 的图象可由指数函数xy 2=的图象先向下平移一个单位，然后再作x 轴下方的部分关于x 轴对称图形，如下图所示，函数m y =的图象是与x 轴平行的直线， 观察两图象的关系可知：当0<m 时，两函数图象没有公共点，所以方程m x=-|12|无解；当0=m 或1≥m 时，两函数图象只有一个公共点，所以方程m x=-|12|有一解； 当10<<m 时，两函数图象有两个公共点，所以方程m x=-|12|有两解．[考点透析]由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点个数是相等的，所以对于含字母方程解的个数讨论，往往用数形结合方法加以求解，准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键．31．（2008江苏苏州模拟）已知xxx f a-+=11log )()1,0(≠>a a .（1）求)(x f 的定义域；（2）判断)(x f 的奇偶性；（3）求使0)(>x f 的x 的取值范围.[分析] 根据对数函数的特征，分析相应的定义域问题，同时结合指数函数的特征，综合分析值域与单调性问题，综合反函数、不等式等相关内容，考察相关的不等式问题.[解析] （1）011>-+x x ，即011<-+x x ，等价于0)1)(1(<-+x x ，得11<<-x ，所以)(x f 的定义域是)1,1(-； （2）x xx x x f x f a a +-+-+=-+11log 11log )()(=1log a =0，所以)()(x f x f -=-，即)(x f 为奇函数； （3）由0)(>x f ，得011log >-+xxa， 当1>a 时，有111>-+x x ，解得10<<x ；当10<<a 时，有1110<-+<xx，解得01<<-x ； 故当1>a 时，)1,0(∈x ；当10<<a 时，)0,1(-∈x .[考点透析]主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、图象以及主要性质，应用指数函数与对数函数的性质比较两个数的大小，以及解指数不等式与对数不等式等.32．（2008广东广州模拟理）已知函数)(log )(x a a a x f -=（1>a ）. （1）求)(x f 的定义域、值域；（2）判断)(x f 的单调性；（3）解不等式)()2(21x f x f>--.[分析]根据对数函数的特征，分析相应的定义域问题，同时结合指数函数的特征，综合分析值域与单调性问题，综合反函数、不等式等相关内容，考察相关的不等式问题.[解析] （1）要使函数)(log )(x a a a x f -=（1>a ）有意义，则需要满足0>-xa a ，即a a x<，又1>a ，解得1<x ，所以所求函数)(x f 的定义域为)1,(-∞；又1log )(log =<-a a a a x a ，即1)(<x f ，所以所求函数)(x f 的值域为)1,(-∞；（2）令x a a -=μ，由于1>a ，则xa a -=μ在)1,(-∞上是减函数，又μay log =是增函数，所以函数)(log )(x a a a x f -=在)1,(-∞上是减函数；（3）设)(log x a a a y -=，则xya a a -=，所以yxa a a -=，即)(log y a a a x -=， 所以函数)(x f 的反函数为)(log )(1x a a a x f -=-，由于)()2(21x f x f>--，得)(log )(log 22x a xa a a a a ->--， 由于1>a ，则xxa a aa ->--22，即x x a a<-22，所以x x <-22，解得21<<-x ，而函数)(x f 的定义域为)1,(-∞，故原不等式的解集为}11|{<<-x x .[考点透析] 主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、图象以及主要性质，应用指数函数与对数函数的性质比较两个数的大小，以及解指数不等式与对数不等式等.。