0 矢量运算

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0 矢量运算

A

A Ax Ay Az Ax i Ay j Az k
Ax= A cos、Ay= A cos、Az= A cos 2 A Ax2 Ay Az2

Az
z
k
β j α O
γ
i
Ax x
cos 2 cos 2 cos 2 1
如质量、时间、温度、功、能量、长度等。表示：一般字母：m、t、T，
运算法则：代数法则
2
2．矢量：有大小及方向的量，如位移、加速度、电场强度等
表示：粗体字母A 或 A ，其大小用 A 或 A 表示。
A A A0
A0 叫做单位矢量；
A
A 也叫做模。
1单位
3
如果某一矢量的模大小为1，且方向与矢量 A 相同，则称该矢量为矢量 A 的单位矢量，用 e 表示。空间直角坐标系，常用 i, j, k 分别表示 x, y, z 轴的单位矢量。矢量相等：大小相等、方向相同的两矢量相等。矢量平移后保持不变。
y
x x0
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x 0 x
18
（2）矢量函数的导数
A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k
当变量 t 改变Δt时，
A A(t t ) A(t )
Ax i Ay j Az k
Ax Ax (t t ) Ax (t ), Ay Ay (t t ) Ay (t ) Az Az (t t ) Az (t )
Ay d A(t ) A Ax Az lim lim i lim j lim k 定义： t 0 t 0 t t 0 t t 0 t dt t

矢量及矢量的运算

结论4 若矢量 a, b, c 满足关系 c k1a k2b （ k1 , k2 为实数），则 a, b, c 三矢量共面（由矢量加法可证）。
结论5 三个矢量 a, b, c 共面的充分必要条件是存在不全为零的实数 k1 , k2 , k3 , 使得 k1a k2b k3c 0 成立。
定理3
三个矢量 a, b, c 共面的充分必要条件是 a, b, c 0.
证明必要性。若矢量 a, b, c 共面，则 a b 与 c 垂直。所以
2 充分性。若 a, b, c 0. 即 a b c cos t 0, 则 a b 0 或 c 0 或 cos t 0（ t 为 c 与 a b 的夹角），若 a b 0 ，则 a b 0, a 与 b 平行，所以 a, b, c 共面；若 c 0 ，则 c 0, 零向量与 a, b 共面；若 cos t 0 ，则 t ， a b 与 c 垂直，所以 a, b, c 共面。综上所述，
a b a b cos .
式中， a, b , 为 a 与 b 的夹角。即平移两矢量使始端重合为角的顶点，以两矢量为边所成的角，规定 0 .
数量积满足以下规律： (1) a b b a （交换律） (2) (a b) c a c b c （分配律）; (3) ka b a kb k a b ; 2 2 a a a a . (4)
向量 AB 在轴 u上的投影记为 Pr ju AB .
关于向量的投影定理（1）
向量 AB 在轴 u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦： Pr j AB | AB | cos

矢量运算法则

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量的加法OB+OA=OC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

向量的减法：如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0。

向量是什么意思在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。

它可以形象化地表示为带箭头的线段。

箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。

与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。

如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。

在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。

在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。

许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。

与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。

一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。

此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。

因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。

不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

矢量的运算法则范文

矢量的运算法则范文矢量是一种具有大小和方向的物理量。

矢量可以表示为有序的数对或者有序的数组，其中包含了各个方向上的分量。

矢量的运算法则指的是矢量在进行加法、减法、数量乘法和点乘等运算时需要遵循的规定和方法。

下面将详细介绍几种常见的矢量运算法则。

1.矢量的加法法则：矢量的加法是指将两个矢量相加，得到一个新的矢量。

矢量的加法具有交换律和结合律。

设有两个矢量A和B，它们的和为C，可以表示为A+B=C。

其中，C的大小等于A和B大小之和，方向等于从A指向B的连线的方向。

2.矢量的减法法则：矢量的减法是指将一个矢量从另一个矢量中减去，得到一个新的矢量。

设有两个矢量A和B，它们的差为C，可以表示为A-B=C。

其中，C的大小等于A和B大小之差，方向等于从A指向B的连线的反方向。

3.矢量的数量乘法法则：矢量的数量乘法是指将一个矢量乘以一个实数，得到一个新的矢量。

设有一个矢量A和一个实数k，它们的数量乘积为B，可以表示为k*A=B。

其中，B的大小等于A的大小与k的乘积，方向与A的方向相同（当k>0）或者相反（当k<0）。

4.矢量的点乘法则：矢量的点乘是指将两个矢量的对应分量相乘，并将结果相加。

设有两个矢量A和B，它们的点乘为C，可以表示为A·B=C。

其中，C等于A和B的对应分量乘积之和。

5.矢量的叉乘法则：矢量的叉乘是指将两个矢量的对应分量按照特定规则相乘，并得到一个新的矢量。

设有两个矢量A和B，它们的叉乘为C，可以表示为A×B=C。

其中，C的大小等于A和B大小之积乘以它们之间的夹角的正弦值，方向与A和B所在的平面垂直，并遵循右手法则。

除了上述基本的矢量运算法则，还有一些其他的衍生法则，如矢量的分解、矢量的投影等。

矢量的分解是指将一个矢量分解成两个或多个部分，使它们的合成等于原矢量。

矢量的投影是指将一个矢量投影到另一个矢量上，得到一个新的矢量。

这些法则都是矢量运算的重要基础，广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。

矢量运算法则

注意：先后轮换次序。
推论：三个非零矢量共面的条件。
vvv A(BC) 0
v vv
h BC v
A

v C
v B
在直角坐标系中：
vvv
aˆx aˆy aˆz
A (B C) ( Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) Bx By Bz
v v v Ax Ay Az A (B C) Bx By Bz
•面元：
v dS1

h2h3du2du3aˆu1
v dS2 h1h3du1du3aˆu2
v dS3 h1h2du1du2aˆu3
•体元： dV h1h2h3du1du2du3
电磁场与电磁波
四、标量场的梯度
1. 标量场的等值面以温度场为例：
第1章矢量分析
等温面
热源
可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不相交的。
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力
v F
、速度
vv
、电场
v E
等
vv 矢量表示为： A | A| aˆ
其中：|
A|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
第1章矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
电磁场与电磁波
第1章矢量分析
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：

常用的一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式1.三重标量积如a ，b 和c是三个矢量，组合()a b c⨯∙ 叫做他们的三重标量积。

三重标量积等于这三个矢量为棱边所作的平行六面体体积。

在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为(),,i j k，令三个矢量的分量记为()()123123,,,,,a a a a b b b b及()123,,c c c c则有()()123123123123123123c c c i j ka b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ⨯∙=∙++=因此，三重标量积必有如下关系式：()()()a b c b c a c a b⨯∙=⨯∙=⨯∙即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。

2.三重矢量积如a ，b 和c是三个矢量，组合()a b c⨯⨯ 叫做他们的三重标量积，因有()()()a b c a c b c b a⨯⨯=-⨯⨯=⨯⨯故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。

三重标量积有一个重要的性质（证略）:()()()a b c a b c a c b⨯⨯=-∙+∙ （1-209）将矢量作重新排列又有：()()()a b c b a c b a c∙=⨯⨯+∙ （1-210）3.算子（a ∇）∇是哈密顿算子，它是一个矢量算子。

（a ∇）则是一个标量算子，将它作用于标量φ，即()a φ∇是φ在a方向的变化速率的a倍。

如以无穷小的位置矢量d r代替以上矢量a，则()d r φ∇ 是φ在位移方向d r的变化率的d r倍，即d φ。

()()d d r d r φφφ=∇=∇若将()d r ∇ 作用于矢量v，则()d r v∇ 就是v再位移方向d r变化率的d r倍，既为速度矢量的全微分()d v d r v=∇应用三重矢量积公式（1-209）()()()00()()()()a b a b a b b a a b b a a b ∇⨯⨯=∇⨯⨯+∇⨯⨯=∙∇-∙∇-∇∙+∇∙应用三重矢量积公式（1-210）又有()()()00()()()()a b a b a b a b a b b a b a∇∙=∇∙+∇∙=⨯∇⨯+∇+⨯∇⨯+∇∙将以上两式结合（相减）后可得(){()}1()()()()()2a b a b a b b a a b b a a b ∇=∇∙-∇⨯⨯-⨯∇⨯-⨯∇⨯-∇∙+∇∙ 一个重要的特例，令a b v == ，因()v v ∇⨯⨯= 则有21()()2v v v v v ∇=∇-⨯∇⨯ 4.算子∇的应用令φ是标量，a是矢量，;a b为并矢量，则有00002000()()()()()()()()()()()(;)(;)(;)()()a a a a a a a a a a a a aa b a b a b b a a b φφφφφφφφφφ∇=∇+∇=∇∙+∙∇∇⨯=∇⨯+∇=∇⨯+∇⨯∇⨯∇⨯=∇∇∙-∇∇=∇+∇=∇∙+∙∇在直角坐标中，令2222222()x y zy x zx y zx y za ia ja k a i j kx y z a a a a x y z i j k a x y z a a a xyza a a a x y zφφφφφφφφφ=++∂∂∂∇=++∂∂∂∂∂∂∇∙=++∂∂∂∂∂∂∇⨯=∂∂∂∂∂∂∇=∇∙∇=++∂∂∂∂∂∂∇=++∂∂∂ 对一组正交曲线坐标系123(,,)εεε，其单位矢量123(,,)e e e ，将任意位置矢量R变分写为111222333R h d e h d e h d e δεεε=++其中123,,h h h 为尺度因子（拉美系数）。

(完整版)常用矢量公式

格林公式：
第一公式
第二公式
一般规则
其他规则
一般变换规则证明：
1.
证：任取常矢量点乘上式两端
左用
用混合积公式
2.
证：左
三．算符常用公式
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
证：
6．微分运算
去掉角标。
7．
利用
微分运算
用代替，代替，代替
矢量运算
同样
§6. 有关矢量场的一些定理
一、关于散度旋度的四个定理
证：⑴
⑵
§2. 场的概念和标量场的梯度
一、场的概念：
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
描述场用一个空间中和时间坐标的函数：
当与无关时称为稳恒场（稳定场、静场），有关则称为变化场（时变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质：如随时空的变化关系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。
为了反映空间某一点发散与会聚的情况，可以将面缩小到体元，体元仅包围一个点，此时，高斯定理可以改为，我们
用单位体积的通量来描述，则有，取极限称为矢量的散度。（>0,有源；=0,无源，<0,负源）。有时表示成（divergence）。若空间各点处处，则称为无源场。
例题：
1. 求，其中
1.标量场的梯度必为无旋场，即
2.矢量场的旋度必为无散场，即
3.无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。

大学物理矢量运算

chap0 矢量代数0.1矢量与标量一．标量定义：只有大小，没有方向的量。

表示：数字（可带正负号）。

加法：代数和。

二．矢量定义：既有大小，又有方向的量。

表示：0A v v 矢量的模）矢量的大小A v (:1）A A = 方向的单位矢量沿A A v:0 2）有向线段矢量的方向方向矢量的模）矢量的大小长度:(:加法：平行四边形法则或三角形法则。

0.2矢量的合成与分解一．矢量的合成Av Av v C v B v Bv Cv Av Bv Cv Dv Ev 说明：)(B A B A vv v v −+=−BA C v v v +=BA C v v +=DC B A E v v v v v +++=A v Bv Cv Bv −Av Cv Bv二．矢量的分解把一个矢量看成两个或两个以上的矢量相加。

1．矢量的分解Ø一般一个矢量有无穷多种分解法Av Cv B v A v xA v yA v CB A v v v +→yx A A A v v v +→2．矢量的正交分解z三．矢量和（差）的正交分量表示k A j A i A A z y x v vv v ++=v vv v k B j B i B B z y x ++=k B A j B A i B A B A z z y y x x v vv v v )()()(±+±+±=±0.3矢量的乘积定义：一.矢量乘以标量Am B v v=二.矢量的标积定义：性质：1）A B B A v v v v ⋅=⋅v θψcos AB B A =⋅=vv )],([B A v v =θ2）C A B A C B A v v v v v v ⋅+⋅=+⋅)(3）B A B A v v v v ⊥⇔=⋅0 4）2A A A =⋅v v 矢量的标积的正交分量表示：zz y y x x B A B A B A B A ++=⋅vv 1=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅k k j j i i i k k j j i v v v v v v v v v v v v三.矢量的矢积定义：==×=大小：)],([sin B A AB S BA S vv v v v θθ性质：⊥⊥满足右螺旋定则方向：,,B S A S v v v v 1）A B B A v v v v ×−=×2）C A B A C B A v v v v v v v ×+×=+×)(3）B A B A v v v v //0↔=×4）0=×A A v v矢量的标积的正交分量表示：0.4矢量函数的导数与积分一.矢量函数矢量A v与变量t 之间存在一定的关系，如果当变量t 取定某个值后，矢量A v有唯一确定的值（大小和方向）与之对应，则A v称为t 的矢量函数，即：)(t A A v v =二.矢量函数的导数定义tt A t t A t Adt A d t t ∆∆∆∆∆∆)()(lim lim 00v v vv −+==→→zv xy)(t A A v v =)('t t A A ∆+=v)()(t A t t A A v v v −+=∆∆O1）dtBd dt A d B A dt d vv v v ±=±)(2）dtAd m A dt dm A m dt d vv v +=)(B d A d d v v v v v v 性质三.矢量函数的积分定义v v v v B d v v，若)(t A A =，)(t B B =，且A dt=则B v称为A v 的积分，记为：∫=dt A B v v性质1）dt B dt A dt B A ∫∫∫±=±v v v v )(2）dt A m dt A m ∫∫=vv )( 常量）=m (3）dt A C dt A C ∫∫⋅=⋅vv v v )(常量）=C r (r 矢量函数积分的正交分量表示k dt A j dt A i dt A dt A z y x v v v v )()()(∫∫∫∫++=4）dt A C dt A C ∫∫×=×vv v v )(常量）=C (例题0-1 两矢量：k j i a v v v v−+=34，k j i b v v v v 543+−=，通过矢量运算求：求：（1）以a v 、b v为两邻边所作的平行四边形两对角线的长度；例0-2 两矢量函数：j i t a v v v2)12(+−=，j t i b v v v )32(−+−=。

矢量的运算法则

z
v Az
v A
根据矢量加法运算：
vv v v A Ax Ay Az
vo
Ax
x
其中：
v
v
v
Ax Axaˆx , Ay Ayaˆy , Az Azaˆz
v Ay
y
v 所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
矢量运算法则
v
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
矢量运算法则
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
v vv (A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
vvv A (B C)
标量，标量三重积。
v vv A (B C)
矢量，矢量三重积。
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即 aˆx aˆy 0, aˆx aˆz 0, aˆy aˆz 0 aˆx aˆx 1, aˆy aˆy 1, aˆz aˆz 1
有两矢量点积：
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
矢量运算法则
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： z
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
o y
x
(AyBz AzBy )aˆx (AzBx AxBz )aˆy (AxBy AyBx )aˆz
Ax Bx Ay By Az Bz •结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。

矢量的运算法则

线元： dl dRaR Rd a R sinda 面元：
dSR R2 sin d daR dS R sin dRda
dS RdRd a
体元：
dV R2 sin dRd d
工程电磁场
在不同旳坐标系中，梯度旳计算公式：
在直角坐标系中：
x
aˆx
y
aˆ y
z
aˆz
在柱坐标系中：
r
aˆr
r
工程电磁场
主要旳场论公式
1. 两个零恒等式
(1) () 0 任何标量场梯度旳旋度恒为零。
(2) ( F ) 0
任何矢量场旳旋度旳散度恒为零。
工程电磁场
2. 拉普拉斯算子 2 ()
在直角坐标系中：
2
2
x 2
2
y 2
2
z 2
在圆柱坐标系中：
2
1 r
(r )
r r
( )
( A) A A
(A) A A
(A B) (A)B (B )A A( B) B( A)
(A B) B A A B (A B) A B B A (B )A (A)B
球坐标系中：
F
1 R2
(R2FR ) R
1
R sin
(F sin )
1
R sin
F
正交曲线坐标系中：
F
1
Fu1h 2 h 3
( Fu2
h1h3
)
(Fu3 h1h2
)
h1h2h3 u1
u2
u3
工程电磁场
旋度公式：
F
Fz y
Fy z
aˆx
Fx z
Fz x
aˆ y

0 矢量及其运算

z
A' A(t t ) A A(t t ) A(t )
A A(t )
O
y
19
x
矢量10
dA d B 性质 d 1） ( A B ) dt dt dt dm d dA Am 2） ( mA) dt dt dt d d A dB B A 3） ( A B ) dt dt dt d dA dB B A 4） ( A B ) dt dt dt
矢量函数积分的正交分量（直角坐标）表示
Adt ( Ax dt)i ( Ay dt) j ( Az dt)k
23
x
y
j Bz k

i j j k k i 0 i i j j k k 1
13
例：在直角坐标系中计算功：
y
F a dr m k o i
j
b
F Fx i Fy j Fz k
dr dxi dyj dzk
16
17
一.矢量函数矢量 A 与变量 t 之间存在一定的关系，如果当变量 t 取定某个值后，矢量 A 有唯一确定的值（大小和方向）与之对应，则 A 称为 t 的矢量函数，即 A A(t )
18
二.矢量函数的导数定义 A(t t ) A(t ) dA A lim lim dt t 0 t t 0 t
z F dr (Fxi Fy j Fz k ) (d Fy dy Fz dz
( i i j j k k 1； i j i k j k 0 )

矢量的运算

矢量的运算矢量是物理学中一个重要的概念，它具有大小和方向的特点。

在矢量运算中，我们经常会遇到加法、减法、数量乘法和点乘等运算。

本文将对这些矢量运算进行详细介绍。

1. 矢量加法矢量加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量。

在矢量加法中，两个矢量的大小和方向都要考虑。

如果两个矢量的方向相同，则它们的大小相加；如果方向相反，则它们的大小相减。

矢量加法可以用几何方法和代数方法进行计算。

几何方法中，我们可以将两个矢量的起点放在同一个点上，然后将它们的终点相连，所得的矢量就是它们的和矢量。

代数方法中，我们可以将矢量表示为坐标形式，然后将两个矢量的坐标分量相加得到和矢量的坐标分量。

2. 矢量减法矢量减法是指将一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量。

在矢量减法中，我们要先确定两个矢量的方向，然后将它们的大小相减。

几何方法和代数方法也可以用于计算矢量减法。

几何方法中，我们可以将两个矢量的起点放在同一个点上，然后将第二个矢量的终点与第一个矢量的起点相连，所得的矢量就是它们的差矢量。

代数方法中，我们可以将矢量表示为坐标形式，然后将两个矢量的坐标分量相减得到差矢量的坐标分量。

3. 数量乘法数量乘法是指将一个矢量乘以一个实数得到一个新的矢量。

在数量乘法中，矢量的方向不变，只有大小发生改变。

当实数大于1时，矢量的大小会增加；当实数在0和1之间时，矢量的大小会减小；当实数小于0时，矢量的方向会反向。

数量乘法可以用几何方法和代数方法进行计算。

几何方法中，我们可以将矢量的起点放在原点上，然后将矢量的终点与实数乘积的点相连，所得的矢量就是它们的乘积矢量。

代数方法中，我们可以将矢量表示为坐标形式，然后将矢量的坐标分量与实数相乘得到乘积矢量的坐标分量。

4. 点乘点乘是指将两个矢量的对应分量相乘，并将结果相加得到一个标量。

点乘的结果是两个矢量之间的夹角的余弦值乘以两个矢量的大小的乘积。

点乘可以用几何方法和代数方法进行计算。

几何方法中，我们可以将两个矢量的起点放在同一个点上，然后将它们的终点相连，并计算夹角的余弦值乘以两个矢量的大小的乘积。

矢量运算基础

读者自行完成此步的矢量合成图．
2
A -B
B
-B D
Aห้องสมุดไป่ตู้
图 8. 矢量的差
两个或两个以上矢量叠加可以合成一个矢量，相反，一个矢量也可以分解为两个或多个分矢量．通常，一个矢量分解为两个矢量可以有无穷多种不同的分解方案，可以在几何上想象为对角线不变的平行四边行有无限多个，相邻的两个邻边就是两个分矢量．图 9 给出了同一矢量 C 分解为两个矢量的无穷多种不同的分解方案中两种可能的分解结果．只有已知两个分矢量的方向或已知一个分矢量的大小和方向，这种分解才能有唯一结果．
带箭头的线段来表示，线段的长度正比于矢量的大小，箭头的方向即矢量的方向，有时为了方便表示，
不标注起点和终点，如图 1 所示．显然，矢量具有平移不变性，即矢量虽然具有大小和方向，但它在空间没有确定的位置，可以如图 2 所示平移到任何地方，而他仍是同一个矢量．
AP
A
O
图 1．矢量的表示及其简化形式
A
AB
DC
B
C
A A+B
A+B+C
D
E=A+B+C +D
图 7. 多矢量的合成
矢量 A 与 B 的相减 A-B 可写成矢量 A 与矢量 -B 的叠加，即 A-B=A (-B) ，如同两矢量相加一样，
取矢量 B 的负矢量 -B ，移动 -B 使 -B 的始端与矢量 A 的末端重合，从 A 的始端引向 -B 的末端的矢量 D 就是矢量 A 与 B 差 D A-B=A (-B) ，如图 8 所示，读者也可以通过交换律得到 D A-B=(-B)+A ，请
A A
图 2．矢量的平移
两个表示同类物理量（如力）的矢量 A 与 B ，如果矢量 A 与 B 大小相等且方向相同，则称矢量 A 与 B 相等，记为 A B ，如图 3 所示；如果这两个矢量大小不相等或方向不相同，则矢量 A 与 B 不相等；如果这两个矢量大小相等但方向相反，则矢量 A 与 B 互为负矢量，记为 A -B 或 B -A ，如图 4 所示．

理论力学(矢量运算基本知识)

ai = i aix+ jaiy + kaiz R = ai
则有: Rx= aix Ry= aiy Rz= aiz
4.矢量的矢积
(1)定义: c = a × b
c
c a b sin a b
b
(2)直角坐标中的解析表示
a
6
i jk a b ax ay az
bx by bz
O
y
A
即: 2aA aE
D E
x
17
例题4.图示滑轮系统,已知物体E的运动方程为 xE = 2t +t2 ,求t = 4s时物体D的速度和加速度.
解:利用绳长不变的约束条件得:
O
y
xE+2xA= c1
A
xB+(xB - xA) = c2
B E
xC+(xC - xB) = c3
C
xD - xC =c4
(6)
dt
10
(2)旋转矢量的导数
d R d r r
dt dt
dr dr dt dt
r
R
o r´
r r (r r)
R
11
例题1.矢量 a = 3i + 4j +5k , b = i + 2j +5k 求:(1) a+b (2) ab (3) a×b (4) ab (5) ba

ab b
31 4 2 5 5 36
1 22 52
30
13
(5) a0 3i 4 j 5k 3i 4 j 5k
32 42 52
25
ba

矢量乘法运算法则

1.2矢量的乘法运算1. 标量与矢量的乘积2. 矢量与矢量乘积(1) 标量积（点积）(2) 矢量积（叉积）3. 矢量三重积1. 标量与矢量的乘积0ˆ||00k kA k A ak k >⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪<⎩⎭方向不变，大小为|k |倍方向相反，大小为|k |倍A(0)kA k >(0)kA k <图示：计算：ˆˆˆx x y y z zkA kA a kA a kA a =++2. 矢量与矢量乘积(1) 标量积（点积）：||||cos A B A B θ⋅=⋅θBA两矢量的点积含义：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。

推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。

A B B A⋅=⋅()A B C A B A C⋅+=⋅+⋅•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即ˆˆˆˆˆˆ1,1,1ˆˆˆˆˆˆ0,0,0x x y y z z x y x z y z aa aa aa aa aa aa ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=有两矢量点积：ˆˆˆˆˆˆ()()x x y y z z x x y y z z A B A aA a A aB a B a B a ⋅=++⋅++zz y y x x B A B A B A ++=•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。

(2) 矢量积（叉积）：ˆ||||sin n A B A B aθ⨯=⋅BAˆn aθ含义：两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。

推论1：不服从交换律,A B B A A B B A⨯≠⨯⨯=-⨯()A B C A B A C⨯+=⨯+⨯推论2：服从分配律推论3：不服从结合律()()A B C A B C⨯⨯≠⨯⨯推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。

在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：ˆˆˆx y z xy z x y zaa a A B A A A B B B ⨯=ˆˆˆˆˆˆ()()x x y y z z x x y y z z A B A aA a A aB a B a B a ⨯=++⨯++ˆˆˆ()()()y z z y x z x x z y x y y x z A B A B aA B A B a A B A B a =-+-+-两矢量的叉积又可表示为：xyz o例21234ˆˆˆˆˆˆ2,32ˆˆˆˆˆˆ23,325x y z x y z x y z x y z r aa a r a a a r aa a r a a a =-+=+-=-+-=++求：4123r ar br cr =++中的标量a 、b 、c 。

矢量运算公式大全

矢量运算公式大全一、矢量加法。

1. 平行四边形法则。

- 对于两个矢量→A和→B，以这两个矢量为邻边作平行四边形，那么它们的合矢量→C=→A+→B就是平行四边形的对角线（以→A和→B的起点为共同起点的那条对角线）。

- 设→A=(A_x,A_y)，→B=(B_x,B_y)，则→C=→A+→B=(A_x + B_x,A_y +B_y)（在直角坐标系下）。

2. 三角形法则。

- 把两个矢量首尾相接，从第一个矢量的起点指向第二个矢量的终点的矢量就是这两个矢量的和矢量。

即→C=→A+→B，先画→A，再从→A的终点开始画→B，→C就是从→A的起点指向→B的终点的矢量。

- 在空间直角坐标系中，如果→A=(A_x,A_y,A_z)，→B=(B_x,B_y,B_z)，那么→C=→A+→B=(A_x + B_x,A_y + B_y,A_z + B_z)。

二、矢量减法。

1. 定义。

- 矢量减法是矢量加法的逆运算，→A-→B=→A+(-→B)，其中-→B是→B的反矢量，其大小与→B相同，方向相反。

2. 三角形法则。

- 同样可以用三角形法则来计算矢量减法。

把→A和-→B首尾相接，从-→B 的起点指向→A的终点的矢量就是→A-→B。

- 在直角坐标系下，如果→A=(A_x,A_y,A_z)，→B=(B_x,B_y,B_z)，则→A-→B=(A_x - B_x,A_y - B_y,A_z - B_z)。

三、矢量的数乘。

1. 定义。

- 设→A是一个矢量，k是一个实数（标量），则k→A是一个矢量，其大小| k→A|=| k||→A|。

- 当k>0时，k→A与→A方向相同；当k < 0时，k→A与→A方向相反；当k = 0时，k→A=→0。

2. 在直角坐标系中的表示。

- 如果→A=(A_x,A_y,A_z)，那么k→A=(kA_x,kA_y,kA_z)。

四、矢量的点积（数量积）1. 定义。

- 对于两个矢量→A和→B，它们的点积→A·→B=|→A||→B|cosθ，其中θ是→A和→B之间的夹角(0≤slantθ≤slantπ)。

电磁场与电磁波之矢量运算法则

有两矢量点积：
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
Ax Bx Ay By Az Bz •结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章矢量分析
b.矢量积（叉积）：
aˆc
vv v v
B
A B | A | | B | sin aˆc
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
电磁场与电磁波
第1章矢量分析
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
v vv (A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
vvv A (B C)
标量，标量三重积。
v vv A (B C)
矢量，矢量三重积。
(
v A
v B)
v (C
v D)
v (A
v C)
v (B
v D)
电磁场与电磁波
第1章矢量分析
在直角坐标系下的矢量表示: 三个方向的单位矢量用 aˆx , aˆy , aˆz 表示。
z
v Az
v A
根据矢量加法运算：
vv v v A Ax Ay Az
vo
Ax
x
其中：
v
v
v
Ax Axaˆx , Ay Ayaˆy , Az Azaˆz
其结果是一标量。
电磁场与电磁波
第1章矢量分析
推论1：满足交换律
vv vv A B B A
推论2：满足分配律
v v v vv vv A(B C) A B AC
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。

矢量的差乘

矢量的差乘简介矢量是物理学中常见的概念，它具有大小和方向。

在矢量运算中，我们常常需要进行矢量的乘法操作。

除了矢量的数量乘法，还存在一种特殊的操作，即矢量的叉乘（差乘）。

矢量的差乘是一个重要的概念，在物理学和工程学中具有广泛的应用。

本文将详细介绍矢量的差乘及其在不同领域中的应用。

什么是矢量的差乘矢量的差乘，也称为向量的叉乘或矢量积，是一种二元运算，用叉乘符号”×“表示。

其结果是一个新的矢量，其大小等于原来两个矢量的大小乘积与夹角的正弦值，方向垂直于原来的两个矢量所在的平面，符合右手法则。

矢量的差乘公式矢量A和矢量B的差乘可以表示为：A × B = |A| |B| sinθ n，其中|A|和|B|分别表示A和B的大小，θ表示A和B之间的夹角，n是一个垂直于A和B所在平面的单位矢量。

矢量的差乘的性质矢量的差乘具有一些重要的性质，下面我们将逐一介绍。

1. 反交换性矢量的差乘满足反交换律，即A × B = -B × A。

2. 分配律对于任意矢量A、B和C，差乘满足分配律，即A × (B + C) = (A × B) + (A × C)。

3. 关于缩放的性质对于任意矢量A和B，以及任意实数k，差乘满足关于缩放的性质，即(kA) × B = A × (kB) = k(A × B)。

4. 零矢量的差乘零矢量与任意矢量的差乘结果为零矢量，即0 × A = A × 0 = 0。

矢量的差乘的应用矢量的差乘在物理学和工程学中有着广泛的应用，下面将分别介绍其在力学和电磁学中的应用。

1. 力学中的应用矢量的差乘在力学中被广泛应用于描述力矩。

力矩可以表示为一个力对某个点的扭转效果，其大小等于该力的大小与力臂（即力作用点到旋转轴的距离）的乘积。

根据定义，力矩的方向垂直于力平面，可以利用右手法则确定。

矢量的差乘提供了一种简洁的表示力矩的方法，即力矩M = r × F，其中r表示力臂，F表示作用力。