2017届西安市第一中学高三上学期期中考试理科数学试题及答案

西安市第一中学2017—2017学年度第一学期期中高三数学理科试题一、 选择题（每小题5分，共60分）1、已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2、P= log 23，Q= log 32，R= log 2(log 32)，则( )A. R<Q<PB. P<R<QC. Q<R<PD. R<P<Q3、参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线4、设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图像关于直 线x ＝π2对称．则下列判断正确的是 ( ) A ．p 为真 B ．q ⌝为假 C ．p 且q 为假 D ．p 或q 为真 5、若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且21sin cos 24αα+=，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 36、在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )A ．(－14，0)B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)7、若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a 的取值范围是 ( )A ．a ≤2B ．5≤a ≤7C ．4≤a ≤6D ．a ≤5或a ≥78、若x 是一个三角形的最小内角，则函数sin cos y x x =-的值域是( )A. [B.(-C.[-D.(- 9、设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若3x y a b ==，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1 D.1210、△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin cos a A B b A +，则ba等于( ) A ．2 3B ．2 2C. 3D. 211、设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域是( )A ．{0,1}B ．{0，－1}C ．{－1,1}D ．{1,1}12、函数y ＝11－x的图像与函数2sin y x π=(－2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每小题4分，共20分）：13、命题”“存在01,:2>+-∈x x R x P 的否定P ⌝为__________14、323(9)x dx --⎰＝________.15、若曲线4y x =的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为 16、从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________3cm ．17、 关于函数()cos 2cos f x x x x =-，下列命题：①存在1x ，2x ，当12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增；③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图像；④将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）三.解答题（本大题共有6个小题，满分70分）18、（本小题满分10分）函数()sin()1(0,0)6f x A x A πωω=-+>>的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式； (2)设(0,),()222f παα∈=，求α的值．19、（本小题满分10分）已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．20、（本小题满分12分）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．21、（本小题满分12分）已知向量()x x m cos ,22sin 3+=，()x n cos 2,1=，n m x f ⋅=)(． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c 若()4f A =，b=1，△ABC 的面积a 的值． 22、（本小题满分12分）已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在区间[－1,4]上的最大值是12. (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在自然数m ，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由．23、（本小题满分14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ). (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .西安市第一中学2017-2018学年度第一学期期中考试高三数学理科参考答案二、填空题（共4小题，满分20分）：13. ”“任意01,2≤+-∈x x R x 14. 36 15. 4x －y －3＝016.144 17. ①③三、解答题（共6小题，满分70分）18、（满分10分）函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式； (2)设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. ……………………5分 (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝12.∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3， ∴α－π6＝π6，∴α＝π3. ……………………10分19、（满分10分）已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值． 解 f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， ……………………1分 当a ≥1时，y max ＝f (1)＝a ； ……………………3分 当0<a <1时，y max ＝f (a )＝a 2－a ＋1； ……………………5分当a ≤0时，y max ＝f (0)＝1－a . ……………………7分根据已知条件：⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤01－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1. ……………………10分20、（满分12分）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．解析：(1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)． ……………………2分又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )，从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数． ……………………6分(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，可知f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x .故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x . …………9分x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式为f (x )＝－－x －4. …………12分21、（满分12分）已知向量()x x cos ,22sin 3+=，()x cos 2,1=，x f ⋅=)(．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c 若()4f A =，b=1，△ABC 的面积a 的值．解析：（Ⅰ）2()222cos 2cos 232sin(2)36f x x x x x x π=++=++=++．…………………4分所以最小正周期T=π，对称轴方程为,()26k x k Z ππ=+∈ …… (6分) （Ⅱ）依题意2sin(2)34,6A π++=即1sin(2)62A π+=,由于0A π<<,所以52,66A ππ+=A=3π ………………(9分)2222cos 3a b c bc A =+-=,所以a =…………………(12分)22、（本小题满分12分）已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在区间[－1,4]上的最大值是12. (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在自然数m ，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0,5)， ∴可设f (x )＝ax (x －5)(a >0)．∴f (x )在区间[－1,4]上的最大值是f (－1)＝6a . 由已知，得6a ＝12，∴a ＝2，∴f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x (x ∈R)． …………………5分(2)方程f (x )＋37x＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0设h (x )＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x )＝6x 2－20x ＝2x (3x －10)． ……………………7分当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103时，h ′(x )<0，因此h (x )在此区间上是减少的；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞时，h ′(x )>0，因此h (x )是在此区间上是增加的． ∵h (3)＝1>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫103＝－127<0，h (4)＝5>0， ……………………10分 ∴方程h (x )＝0在区间⎝⎛⎭⎪⎫3，103，⎝ ⎛⎭⎪⎫103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，∴存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根． ……………………12分23、（本小题满分14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = ……………2分当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞.……………………6分(Ⅱ)()()()1222x x x xf x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, ……………………7分 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- ………………10分令()()311k h k k e k =--+,则()()3kh k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0k ϕ>, ………………12分 当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=>⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”. 综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31kM k e k =--. ………………14分。