序轴标根法
穿根法解不等式的原理
穿根法解不等式的原理穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例摘要：本文通过阐述穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。
在原理层面，提出该方法中不等式的标准形式为f(x)=(x-x1)(x-x2)……(x-x n)∨0，规范了序轴的概念，先后由一元一次、二次到高次不等式，动态考察了f(x)的符号变化规律，并介绍如何使用穿根法表达此规律；在步骤层面，对解高次不等式、分式不等式和含等号不等式的操作步骤进行了分类详述；然后通过6个应用范例，进一步展现了穿根法解不等式的具体操作细节和若干注意事项。
论文最后概括说明了穿根法的特征和实用意义。
关键词：穿根法；解不等式；原理；步骤；应用穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。
然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。
现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。
一、原理穿根法解不等式时，一般先将其化为形如：f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0 （或<0）的标准形式，主要考察f(x)的符号规律。
在穿根法中我们引入序轴的概念。
序轴是一条有向直线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。
（一）一次不等式标准形式：f(x)=x-x1>0 （或<0）我们将x-x1=0的根x1标在序轴上，可以发现：x1右边的点都是大于x1的点，即是x-x1>0的解；而x1左边的点都是小于x1的点，即是x-x1<0的解。
所以可以如图标注，图中+、- 用以表示f(x)=x-x1的符号。
我们还可以以动态的思想来考察该问题。
当一点x=a 从x1右侧向x1左侧移动时，f(x)=x-x1经历了由正到0又到负的符号变换。
不等式穿针引线法
穿针引线法【2 】释义：“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”.精确的说,应当叫做“序轴标根法”.序轴：省去原点和单位,只表示数的大小的数轴.序轴上标出的两点中,左边的点表示的数比右边的点表示的数小.当高次不等式f（x）>0（或<0）的左边整式.分式不等式φ（x）/h（x）>0（或<0）的左边分子.分母能分化成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x－an）的情势,可把各因式的根标在数轴上,形成若干个区间,最右端的区间f（x）. φ（x）/h（x）的值必为正值,从右往左平日为正值.负值依次相间,这种解不等式的办法称为序轴标根法.为了形象地表现正负值的变化纪律,可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点,穿过最后一个点后就不再变偏向,这种画法俗称“穿针引线法“.应用步骤：第一步：经由过程不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0.（留意：必定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：换号.将不等号换成等号解出所有根.例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2,x2=1,x3=-1第三步：标根.在数轴上从左到右依次标出各根.例如：-1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准,从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,一上一下依次穿过各根.第五步：不雅察不等号,假如不等号为“>”,则取数轴上方,穿根线以内的规模;假如不等号为“<”,则取数轴下方,穿根线以内的规模.例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根.在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开端穿根.因为不等号为“>”则取数轴上方,穿根线以内的规模.即：-1<x<1或x>2留意：一.重根时,奇穿偶不穿消失重根时,机械地“穿针引线”例2 解不等式（x+1）（x－1）^2（x－4）^3<0解将三个根－1.1.4标在数轴上,原不等式的解集为{x|x<－1或1<x<4}.这种解法也是错误的,错在不加剖析地.机械地“穿针引线”.消失几个雷同的根时,所画的浪线碰到“偶次”点（即偶数个雷同根所对应的点）不能过数轴,仍在数轴的同侧折回,只有碰到“奇次”点（即奇数个雷同根所对应的点）才能穿过数轴,精确的解法如下：解将三个根－1.1.4标在数轴上,画出浪线图来穿过各根对应点,碰到x=1的点时浪线不穿过数轴,仍在数轴的同侧折回;碰到x=4的点才穿过数轴,于是,可得到不等式的解集{x|－1<x<4且x≠1}奇透偶不透即假若有两个解都是统一个数字.这个数字要按照几个数字穿.如（x-1)2=0 两个解都是1 ,那么穿的时刻不要透过1,同样的,假如是三个1,则应当穿透1.可以简略记为,秘笈口诀：或“自上而下,从右到左,奇穿偶不穿”（也可以如许记忆：“自上而下,自右而左,奇穿偶回” 或“奇穿偶连”）.二.x系数必须为正消失形如（a－x）的一次因式时,匆忙地“穿针引线”.例1 解不等式x（3－x）（x+1）（x－2）>0.解 x（3－x）（x+1）（x－2）>0,将各根－1.0.2.3依次标在数轴上,由图1可得原不等式的解集为{x|x<－1或0<x<2或x>3}.事实上,只有将因式（a－x）变为（x－a）的情势后才能用序轴标根法,精确的解法是：解原不等式变形为x（x－3）（x+1）（x－2）<0,将各根－1.0.2.3依次标在数轴上,由图1,原不等式的解集为{x|－1<x<0或2<x<3}.三.特别情形剖析后再穿根消失不能再分化的二次因式时,不能简略地废弃“穿针引线”例3 解不等式x（x+1）（x－2）（x^3－1）>0解原不等式变形为x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0,有些同窗同解变形到这里时,以为不能用序轴标根法了,因为序轴标根法指明要分化成一次因式的积,事实上,依据这个二次因式的符号将其消去,再应用序轴标根法即可.解原不等式等价于x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0,∵ x^2+x+1>0对一切x恒成立,∴ x（x－1）（x+1）（x－2）>0,由图4可得原不等式的解集为{x|x<－1或0<x<1或x>2}。
对序轴标根法的四点思考及改进——教学反思一则
对序轴标根法的四点思考及改进——教学反思一则序轴标根法是一种常用的教学方法，通过建立知识结构的整体性、层次性，帮助学生深入理解和掌握所学知识。
然而，在实际的教学过程中，我发现了几个问题，同时也提出了一些改进的思考。
首先，序轴标根法可能存在的问题是划分知识结构过于僵化。
在使用序轴标根法时，教师会将知识点按照一定的顺序进行划分和组织，然后呈现给学生。
然而，这种固定的结构可能会导致学生过于依赖教师的框架，缺乏对知识的主动探索和构建。
因此，我认为在应用序轴标根法时，应该注重开放性和灵活性，鼓励学生在教师的指导下进行自主学习和思考，充分发挥学生的主体作用。
其次，序轴标根法的知识结构可能存在过于片面和孤立的问题。
在实际应用中，我发现有些教师在划分知识结构时，只注重了知识点之间的关系，而忽视了知识与现实生活的联系。
这样的教学往往让学生觉得知识是一种抽象的东西，缺乏实际应用的意义。
因此，我认为在运用序轴标根法时，应该注重知识与实际生活的联系，通过举例、引导学生思考等方式，激发学生的兴趣和学习动力。
再次，序轴标根法可能存在的问题是对学生个体差异的处理。
每个学生的学习方式和学习能力都不尽相同，因此，教师不能将所有学生都纳入同一个教学框架中。
在实际教学中，我发现，有些学生对序轴标根法的学习效果并不理想，这可能与他们的学习风格和认知特点不匹配有关。
因此，我认为在使用序轴标根法时，应该根据学生的个体差异，灵活调整教学策略，为每个学生提供个性化的学习支持。
最后，序轴标根法可能存在的问题是对知识的精细化处理不足。
在实际教学中，我发现有些教师在建立知识结构时，只注重知识点之间的层次关系，而忽视了每个知识点内部的细节。
这样的教学容易导致学生对知识的理解表面化，缺乏对知识本质的把握。
因此，我认为在应用序轴标根法时，应该注重对知识的细化处理，帮助学生深入理解每个知识点的内涵，提高知识的质量和深度。
在面对上述问题时，我思考了一些改进的方法。
高考数学总复习 不等式的解法
高考数学总复习 不等式的解法1.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.2.高次不等式的解法：序轴标根法：化正、求根、标根、穿根（注意奇穿偶回）、写集（注意端点值能否取到）。
3．分式不等式的一般解题思路是：移项、通分、穿根。
4.含有绝对值的不等式当a> 0时，有 22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.5.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩（22()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩ （32()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. 6.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时, ()()()()f x g x a a f x g x >⇔>; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时, ()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩7． 在解含有参数的不等式时，应进行讨论。
用穿根法解不等式(经典归纳)
一元高次不等式的解法这里主要介绍“数轴标根法”解高次不等式，简单快捷.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”、“穿针引线法”或“序轴标根法”.一、解题步骤求不等式32638x x x -+<-+的解集1. 化简：移项使右侧为0，将x 最高次项系数化为正数，再将左侧分解为几个一次因式积的形式.将32638x x x -+<-+化为323680(2)(1)(4)0x x x x x x --+>⇒+-->2. 求根：将不等式换成等式解出所有根.(2)(1)(4)0x x x +--=的根为12x =-，21x =，34x =3. 标根：在数轴上从左到右依次标出各根.-2 1 44. 穿根：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根.5. 写解：大于号取上方，小于号取下方，取穿根线以内的范围，将各解集求并.不等式32638x x x -+<-+的解集为：{}|21,4x x x -<<>或二、易错提示求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n1. 分解因式：将不等式化为0123()()()()0n a x x x x x x x x ---->L 形式.2. 正化系数：将各因式中的x 系数化为正数.3. 奇穿偶不穿：从右上方往左下方穿线，依次经过数轴上表示各根的点，看各一次因式的次数，偶次根穿而不过，奇次根一穿而过，简称“奇穿偶不穿”.4. 解分式不等式：可化为一元高次不等式进行求解，如遇“≤或≥”，在标根时，分子实心，分母空心.三、分式不等式解法1.()()()()00f x f x g x g x >⇔⋅> 2.()()()()00f x f x g x g x <⇔⋅< 3.()()()()()000f xg x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩ 4.()()()()()000f xg x f x g x g x ⋅≤⎧⎪≤⇔⎨≠⎪⎩ 四、应用举例1.解不等式：22320712x x x x -+≤-+-（系数非正） 2.解不等式：22911721x x x x -+≥-+（右侧非0） 点评：（1）不能随便去分母（2）移项通分，必须保证右侧为“0”（3）注意重根问题3.解不等式：2256032x x x x +-≥-+（分子，分母有公因式） 点评：（1）不能随便约去因式（2）重根空实心，以分母为准4.解不等式：2121332x x x x ++>--（不等式左右有公因式） 点评：不等式左右不能随便乘除因式。
穿根法解不等式的原理
穿根法解不等式的原理、步骤和应用X例摘要：本文通过阐述穿根法解不等式的原理、步骤和应用X例，尝试对其进行系统性的论述。
在原理层面，提出该方法中不等式的标准形式为f(x)=(x-x1)(x-x2)……(x-x n)∨0，规X了序轴的概念，先后由一元一次、二次到高次不等式，动态考察了f(x)的符号变化规律，并介绍如何使用穿根法表达此规律；在步骤层面，对解高次不等式、分式不等式和含等号不等式的操作步骤进行了分类详述；然后通过6个应用X例，进一步展现了穿根法解不等式的具体操作细节和若干注意事项。
论文最后概括说明了穿根法的特征和实用意义。
关键词：穿根法；解不等式；原理；步骤；应用穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。
然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。
现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用X例，尝试对其进行系统性的论述。
一、原理穿根法解不等式时，一般先将其化为形如：f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0 （或<0）的标准形式，主要考察f(x)的符号规律。
在穿根法中我们引入序轴的概念。
序轴是一条有向直线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。
（一）一次不等式标准形式：f(x)=x-x1>0 （或<0）我们将x-x1=0的根x1标在序轴上，可以发现：x1右边的点都是大于x 1的点，即是x-x1>0的解；而x1左边的点都是小于x1的点，即是x-x1<0的解。
所以可以如图标注，图中+、- 用以表示f(x)=x-x1的符号。
我们还可以以动态的思想来考察该问题。
当一点x=a 从x1右侧向x1左侧移动时，f(x)=x-x1经历了由正到0又到负的符号变换。
穿根法
穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例摘要：本文通过阐述穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。
在原理层面，提出该方法中不等式的标准形式为f(x)=(x-x1)(x-x2)……(x-x n)∨0，规范了序轴的概念，先后由一元一次、二次到高次不等式，动态考察了f(x)的符号变化规律，并介绍如何使用穿根法表达此规律；在步骤层面，对解高次不等式、分式不等式和含等号不等式的操作步骤进行了分类详述；然后通过6个应用范例，进一步展现了穿根法解不等式的具体操作细节和若干注意事项。
论文最后概括说明了穿根法的特征和实用意义。
关键词：穿根法；解不等式；原理；步骤；应用穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。
然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。
现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。
一、原理穿根法解不等式时，一般先将其化为形如：f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0 （或<0）的标准形式，主要考察f(x)的符号规律。
在穿根法中我们引入序轴的概念。
序轴是一条有向直线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。
（一）一次不等式标准形式：f(x)=x-x1>0 （或<0）我们将x-x1=0的根x1标在序轴上，可以发现：x1右边的点都是大于x1的点，即是x-x1>0的解；而x1左边的点都是小于x1的点，即是x-x1<0的解。
所以可以如图标注，图中+、- 用以表示f(x)=x-x1的符号。
我们还可以以动态的思想来考察该问题。
当一点x=a 从x1右侧向x1左侧移动时，f(x)=x-x1经历了由正到0又到负的符号变换。
序轴标根法
序轴标根法
【实用版】
目录
1.序轴标根法的定义和背景
2.序轴标根法的基本原理
3.序轴标根法的应用实例
4.序轴标根法的优缺点分析
5.序轴标根法的未来发展前景
正文
序轴标根法是一种用于处理时间序列数据的数据分析方法，起源于20 世纪 60 年代。
它是一种基于时间轴的统计分析方法，主要用于研究现象随时间变化的规律。
序轴标根法的基本原理是，将时间序列数据按照时间顺序排列，然后将每个数据点与一个基准点进行比较，计算出每个数据点相对于基准点的变化量。
这个变化量可以用来描述数据点随时间的变化趋势，从而揭示出数据背后的规律。
序轴标根法在许多领域都有广泛的应用，比如在经济学中，它可以用来分析 GDP 的增长情况；在生物学中，它可以用来分析生物的生长速度。
序轴标根法虽然能够有效地揭示数据背后的规律，但是它也存在一些缺点，比如它不能处理缺失数据，也不能处理数据中的异常值。
此外，它还需要选择一个合适的基准点，如果选择的基准点不合适，就可能会导致分析结果的偏差。
对于序轴标根法的未来发展前景，我们认为它将会在以下几个方面得到改进：一是能够处理缺失数据和异常值；二是能够选择更合适的基准点；三是能够更好地结合其他数据分析方法，以提高分析的准确性和效率。
不等式穿针引线法
穿针引线法之青柳念文创作释义：“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”.准确的说，应该叫做“序轴标根法”.序轴：省去原点和单位，只暗示数的大小的数轴.序轴上标出的两点中，左边的点暗示的数比右边的点暗示的数小.当高次不等式f（x）>0（或<0）的左边整式、分式不等式φ（x）/h（x）>0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x－an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f（x）、φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法.为了形象地体现正负值的变更规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法“.使用步调：第一步：通过不等式的诸多性质对不等式停止移项，使得右侧为0.（注意：一定要包管x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：换号.将不等号换成等号解出所有根.例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：标根.在数轴上从左到右依次标出各根.例如：-1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为尺度，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根.第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”，则取数轴下方，穿根线以内的范围.例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根.在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开端穿根.因为不等号为“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围.即：-1<x<1或x>2注意：一、重根时，奇穿偶不穿出现重根时，机械地“穿针引线”例2 解不等式（x+1）（x－1）^2（x－4）^3<0解将三个根－1、1、4标在数轴上，原不等式的解集为{x|x<－1或1<x<4}.这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”.出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点）不克不及过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才干穿过数轴，正确的解法如下：解将三个根－1、1、4标在数轴上，画出浪线图来穿过各根对应点，遇到x=1的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到x=4的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集{x|－1<x<4且x≠1}奇透偶不透即假如有两个解都是同一个数字.这个数字要依照几个数字穿.如（x-1)2=0 两个解都是1 ，那末穿的时候不要透过1，同样的，如果是三个1，则应该穿透1.可以简单记为，秘笈口诀：或“自上而下，从右到左，奇穿偶不穿”（也可以这样记忆：“自上而下，自右而左，奇穿偶回” 或“奇穿偶连”）.二、x系数必须为正出现形如（a－x）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”.例1 解不等式x（3－x）（x+1）（x－2）>0.解 x（3－x）（x+1）（x－2）>0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1可得原不等式的解集为{x|x<－1或0<x<2或x>3}.事实上，只有将因式（a－x）变成（x－a）的形式后才干用序轴标根法，正确的解法是：解原不等式变形为x（x－3）（x+1）（x－2）<0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1，原不等式的解集为{x|－1<x<0或2<x<3}.三、特殊情况分析后再穿根出现不克不及再分解的二次因式时，不克不及简单地放弃“穿针引线”例3 解不等式x（x+1）（x－2）（x^3－1）>0解原不等式变形为x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0，有些同学同解变形到这里时，认为不克不及用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去，再运用序轴标根法即可.解原不等式等价于x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0，∵ x^2+x+1>0对一切x恒成立，∴ x（x－1）（x+1）（x－2）>0，由图4可得原不等式的解集为{x|x<－1或0<x<1或x>2}。
人教版数学-备课资料数轴标根法的两种简化形式
数轴标根法及两种简化形式一、数轴标根法的一般解法：对于解高次或分式不等式，常规方法是转化为等价不等式组法或表格法，均比较繁琐.一般采用的是相对较为简单的数轴标根法，具体分四步“化简--标根--求解--注意”，具体如下：(1)化简：将不等式化为与它同解的基本不等式f(x)=(x-x 1)(x-x 2)…(x-x n )＞0(＜0)；(2)标根：将f(x)=0的n 个根标到数轴上，将数轴分为n+1个区间；(3)求解：在所得的n+1个区间中自左向右画曲线，则取出奇序数区间为f(x)＞0的解，取出偶序数区间为f(x)＜0的解；(4)注意：当因式中出现“正项”用“舍项法”；当因式中出现“偶次方项(x+a)2m ”时利用“挖点法”(去掉点x=-a)；当因式中出现“奇次方项(x+b)2m+1”时利用“视一法”(看成一次式x+b).例1解不等式(x 2-4)(x+3)3(x-4)2≤0.分析：对于(x-4)2是偶次方项，图形上有“挖点法”(去掉x=4的点)，而(x+3)3是奇次方项，图形上采用“视一法”(看成一次式x+3).解：原不等式变形为：(x-2)(x+2)(x+3)3(x-4)2≤0,利用“挖点法”及“视一法”，原不等式等价于⎩⎨⎧ (x+3)(x+2)(x-2)≤0x ≠4,用数轴标根法，如图， 由图知，原不等式的解集为{x|x ≤-3或-2≤x ≤2}.例2解不等式x 2+2x-23+2x-x 2＜x. 解：移项，将原不等式化为(x-2)(x 2+x+1)(x-3)(x+1)＞0,即等价于(x+1)(x-2)(x-3)(x 2+x+1)＞0, 由于x 2+x+1＞0恒成立，故可用“舍项法”，即原不等式等价于(x+1)(x-2)(x-3)＞0， 用数轴标根法，即得原不等式的解集为{x|-1＜x ＜2或x ＞3}.评注：本题移项通分再转化为整式不等式.又由x 2+x+1恒为正可用“舍项法”等价转化，再用数轴标根法.同时要注意分母不为零.二、数轴标根法简化形式从上面解法可以看到，关键是会处理分解因式后的积有乘方的形式，即其对应的方程有重根的情况，上面采用的是“挖点法”及“视一法”，其过程也相对较繁，主要是要作图.对于有重根的情况也可以这样处理：将重根视为不同根，即有几个重根，算几个不同的根.下面介绍两种数轴标根法的两种简化形式.简化形式一：分解因式(x 的系数均为正)后的操作过程如下：(1)排根：将不等式所对应根按从小到大的顺序排成一列(重根有几个就处几个不同根)；(2)标号：在最右端的一个根的右面标上“＋”，然后在每两个根之间按从右到左正负相间标上“＋”与“－”；(3)写解：若不等式f(x)＞0，取“＋”区间，若f(x)＞0，取“－”区间.例3解不等式：(1)(6x-x 2-x 3)(x 2-7x+10)＞0； (2)x(x -1)(x -2)2(x 2-1)(x 3-1)＞0. 解：(1)(6x-x 2-x 3)(x 2-7x+10)>0⇔(x 3+x 2-6x)(x 2-7x+10)<0⇔x(x+3)(x-2)2(x-5)<0 排根：2是两重根，因此根排为： ﹣3 0 2 2 5；标上正负号： －﹣3＋0－2＋2－5＋取带有负号的区间即为原不等式的解集{x|x ＜-3或0＜x ＜2或2＜x ＜5}.(2)x(x ﹣1)3(x ﹣2)4(x +1)＞0，排根： ﹣1 0 1 1 1 2 2 2 2标上正负号： －﹣1＋0－1＋1－1＋2－2＋2－2＋取带有正号的区间即为原不等式的解集{x|﹣1＜x ＜0或1＜x ＜2或x ＞2}.评注：在(2)题中带正号的区间有1＜x ＜1与2＜x ＜2，其间没有任何一个数，实为空集.简化形式一：其操作过程如下：(1)排因式：分解后的因式(x 的系数均为正)按照位置从左到右、各因式对应的根的大小从小到大的顺序写成一次式的积的形式；(若不等式中有因式x －a ，其对应的方程的根为a ，)(2)标号：在最右端的一个括号的右面标上“＋”，然后在每两个括号之间按从右到左正负相间标上“＋”与“－”；(3)写解：若不等式f(x)＞0，取“＋”区间，若f(x)＞0，取“－”区间.例4解等式：(x 2﹣3x ＋2)(x 2＋3x ﹣10)x 2﹣2x ﹣8＞0. 解：原不等式等价于：(x+5)(x+2)(x ﹣1)(x ﹣2)2(x ﹣4)＞0.即＋(x+5)－(x+2)＋(x ﹣1)－(x ﹣2)＋(x ﹣2)－(x ﹣4)＋＞0.取带有正号的区间即为原不等式的解集(﹣∞，﹣5)∪(﹣2，1)∪(4，＋∞).评注：本题中带正号的区间有2＜x ＜2，其间没有任何一个数，实为空集.。
数轴标根法及习题
数轴标根法及习题文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-数轴穿根法一、概念简介1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”2.准确的说，应该叫做“序轴标根法”。
序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。
序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
3.是高次不等式的简单解法4.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”二、方法步骤第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2。
（如下图所示）三、奇过偶不过就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。
还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。
但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。
不等式穿针引线法
穿针引线法释义:“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”。
准确的说,应该叫做“序轴标根法”。
序轴:省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。
序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
当高次不等式ｆ（x）>0(或<0）的左边整式、分式不等式φ（x)/h（x)＞0(或＜0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1)(x－a2）…(x －aｎ）的形式,可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间,最右端的区间ｆ(x)、φ(x）/h(x）的值必为正值,从右往左通常为正值、负值依次相间,这种解不等式的方法称为序轴标根法。
为了形象地体现正负值的变化规律,可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点,穿过最后一个点后就不再变方向,这种画法俗称“穿针引线法“。
使用步骤:第一步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为０。
（注意：一定要保证ｘ前的系数为正数)例如：将x^3-2ｘ^2－ｘ+2>０化为(x－2)(x-1）(ｘ+1)>0第二步:换号。
将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)＝0的根为：x１=２,x２=1,x３=－1第三步:标根。
在数轴上从左到右依次标出各根。
例如:-1 1 2第四步：画穿根线:以数轴为标准,从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方,穿根线以内的范围;如果不等号为“<”，则取数轴下方，穿根线以内的范围。
例如：若求（x－2)（ｘ-１)(x+１)＞0的根。
在数轴上标根得：-１ 1 ２画穿根线:由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方,穿根线以内的范围。
即:-１<x<１或ｘ＞２注意：一、重根时，奇穿偶不穿出现重根时,机械地“穿针引线”例2 解不等式(x+1)(x－1)^2（x－4)^3＜0解将三个根-1、1、4标在数轴上，原不等式的解集为{x|x<-１或１＜x＜4｝。
穿针引线大法
穿针引线大法“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”。
准确的说，应该叫做“序轴标根法”。
序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。
序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
释义、“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”。
准确的说，应该叫做“序轴标根法”。
序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。
序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
当高次不等式f（x）>0（或<0）的左边整式、分式不等式φ（x）/h（x）>0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x－an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f（x）、φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。
为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法“。
用途、用于解简单高次不等式。
穿针引线法解高次不等式用法、当高次不等式f（x）>0（或<0）的左边整式、分式不等式φ（x）/h（x）>0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x－an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f（x）、φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。
为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法“。
使用步骤、第一步通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证最高次数项的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步将不等号换成等号解出所有根。
序轴标根法
序轴标根法
【最新版】
目录
1.序轴标根法的定义与原理
2.序轴标根法的应用领域
3.序轴标根法的优点与局限性
正文
序轴标根法是一种数学方法，主要用于解决数轴上的问题。
它是一种将数轴上的点与实数一一对应的方法。
这种方法的定义与原理比较简单，但在数学以及相关领域中有着广泛的应用。
序轴标根法，简单来说，就是通过一个数的符号来确定它在数轴上的位置。
具体来说，如果一个数的符号是正，那么它在数轴上的位置就在原点的右边；如果一个数的符号是负，那么它在数轴上的位置就在原点的左边；如果一个数的符号是零，那么它在数轴上的位置就在原点上。
通过这种方法，我们可以将数轴上的每一个点都与一个唯一的实数对应起来。
序轴标根法在数学以及相关领域中有着广泛的应用。
例如，在微积分中，序轴标根法可以帮助我们理解导数和微分；在概率论中，序轴标根法可以帮助我们理解概率密度函数；在物理学中，序轴标根法可以帮助我们理解物体的运动状态。
虽然序轴标根法在数学以及相关领域中有着广泛的应用，但是它也有一些局限性。
例如，序轴标根法只能解决数轴上的问题，对于其他类型的问题，例如平面直角坐标系上的问题，序轴标根法就无能为力了。
此外，序轴标根法的理解也需要一定的数学基础，对于数学基础较弱的人来说，可能需要一定的时间来理解。
总的来说，序轴标根法是一种在数学以及相关领域中有着广泛应用的方法，它有助于我们理解数轴上的问题。
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穿根法解不等式及习题
穿根法解不等式穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。
然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，表达不清，建构模糊。
现结合中学一线教学经历，通过阐述其原理、步骤和应用X例，尝试对其进展系统性的论述。
一、原理穿根法解不等式时，一般先将其化为形如：f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-x n)>0 〔或<0〕的标准形式，主要考察f(x)的符号规律。
在穿根法中我们引入序轴的概念。
序轴是一条有向直线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。
（一）一次不等式标准形式：f(x)=x-x1>0 〔或<0〕我们将x-x1=0的根x1标在序轴上，可以发现：x1右边的点都是大于x 1的点，即是x-x1>0的解；而x1左边的点都是小于x1的点，即是x-x1<0的解。
所以可以如图标注，图中+、- 用以表示f(x)=x-x1的符号。
我们还可以以动态的思想来考察该问题。
当一点x=a 从x1右侧向x1左侧移动时，f(x)=x-x1经历了由正到0又到负的符号变换。
由此也可得出f(x)的符号可以如图标注的结论。
（二）二次不等式标准形式：f(x)=(x-x1)(x-x2) >0 〔或<0〕(1) x1≠x2时，不妨设x1<x2将f(x)=0的二根x1、x2标在序轴上，那么可以发现：处于(-∞, x1)，(x 2,+∞)内的点满足f(x) >0，处于(x1,x2)内的点满足f(x) <0。
当我们动态考察该问题时，我们也可以发现：当点x=a在x2右方时，x-x1、x-x2均正，故有f(x) >0；而当点x=a从x2右侧移动到左侧时，x-x2变为负值，而x-x1符号不变，所以有f(x)必然变号，此时由正变负；而再当点x=a从x1右侧移动到左侧时，x-x1由正变负，而x-x2符号不变，所以f(x)又一次变号，此时由负变正。
数轴标根法
• 为了形象地体现正负值的变化规律，可以 画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对 应的点，穿过最后一个点后就丌再变方向， 这种画法俗称“穿针引线法”，如图1（图 片自上而下依次为图一，二，三，四）。
步骤：
• 第一步：通过丌等式的诸多性质对丌 等式迚行秱项，使得右侧为0。
• 注意：一定要保证x前的系数为正 数
• 正确的解法如下： • 解 将三个根－1、1、4标在数轴上，如图3 画出浪线图来穿过各根对应点，遇到x=1的 点时浪线丌穿过数轴，仍在数轴的同侧折 回；遇到x=4的点才穿过数轴，亍是，可得 到丌等式的解集 • {x|－1<x<4且x≠1}
• • •
• • • •
3． 出现丌能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线” 例3 解丌等式x（x+1）（x－2）（x^3－1）>0 解 原丌等式变形为x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0， 有些同学同解变形到这里时认为丌能用序轴标根法了，因为序轴 标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式 的符号将其消去再运用序轴标根法即可。 解 原丌等式等价亍 x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0， ∵ x^2+x+1>0对一切x恒成立， ∴ x（x－1）（x+1）（x－2）>0，由图4可得原丌等式的解集为 {x|x<－1或0<x<1或x>2}
• 正确的解法是： • 解 原丌等式变形为x（x－3）（x+1） （x－2）<0，将各根－1、0、2、3依 次标在数轴上，由图1，原丌等式的解 集为{x|－1<x<0或2<x<3}。
巧用数轴标根法
教学实践
巧用数轴标根法
赵异荷 1 牛 莉 2
（1. 长沙市一中，湖南 长沙 410005；2. 邵阳学院，湖南 邵阳 422000）
摘 要：高中数学中，数轴标根法一般用于求不等式的解。本文介绍了用数轴标根法求解不等式及函数的极点 问题，有一定的借鉴价值。 关键词：数轴标根法；不等式；函数极点
（1） （2） 由上图 1 得： 不等式 （1） 的解集是 同理，由图 2 得：不等式（2）的解集是 。 四、用数轴标根法求函数的极点 求下列函数的极点： （1） （2） ；
形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右 的值必为正值，从右往左通常为 正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为数轴标根法。 数轴根标法不仅是解高次不等式的一种数形结合的方 法，也可以用到求函数的极点。解不等式时，我们常常先把 每一个未知数前面的系数化为正，根据“奇次幂穿过，偶次 幂拐弯”的法则画出图形，再根据图形找出所求不等式的解 集。求函数极点时，先把函数的导数化为乘积的形式，从而 求得对应方程的根，再用数轴标根法画出图形。在 x 轴上方 的部分表示导数大于零，函数递增；在 x 轴下方的部分表示 导数小于零，函数递减。 二、高次函数 的图像 当 a > 0 时， 图 像 从 右 上 方 进 入， 当 a ＜ 0 时， 从 右 下 方 进 入， 在 xi 处 遇 奇 次 幂 穿 过， 遇 偶 次 幂 拐 弯。 如： 与 像分别如图 1 和图 2。 的图
图 1 图 2 三、用数轴标根法解不等式 求下列不等式的解：
发中心 . 数学必修 1[M]. 北京：人民教育出版社，2014. 作者简介：赵异荷，女，湖南省长沙市第一中学高三学生。
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序轴标根法
序轴标根法法的原理是初中学过的实数乘（除）法的符号法则：几个因数相乘，如果负因子的个数为奇数，则积为负号；如果负因子的个数为偶数，则积有正号。
下举例说明：
一般地，设有一元n次不等式，(x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-x n)＞0，其中x1＜x2＜…＜x n，下面用“序轴标根法”来求它的解集：
第一步：找到它的n个根x1,x2,…,x n；
第二步：按以小到大次序从左到右在数轴上标上这n个根；
第三步：画线穿根——从x n的右边自x轴上方起画——曲线穿过x n到x轴下方，再穿过x n-1回到x轴上方，再穿过x n-2到x轴下方，这样依次穿下穿上，直至穿过最后一个根x1；
第四步：根据图象得到(x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-x n)＞0的解集：曲线在x轴上方的弧段对应的x轴上相应区间的并集。
顺便地，曲线在x轴下方的弧段对应的x轴上的相应区间的并集，就是不等式(x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-x n)＜0的解集。
“序轴标根法”，它的精髓和根本之处却只是实数乘法的符号法则的应用，形数结合的数学思想的应用。
“序轴标根法”是一种“机械化”的或曰“程序化”的解一元不等式的方法，对于一元有理不等式，包括一元一次，一元二次，一元高次不等式，有理分式不等式，它都是一把利剑，一件攻无不克，战无不胜的利器。
如果因式分解和不等式性质掌握得好，用“序轴标根法”解一元有理不等式，简直是“削铁如泥”。
例1.求一元三次不等式x(x+3)(x-1)＞0的解集。
【巧解】：第一步：找到x(x+3)(x-1)=0的根，0，-3，1。
第二步：按从小到大次序从左到右在数轴上标上这三个根。
第三步：画线穿根——从1的右边自x轴上方起画一曲线穿过1到x轴下方，再穿过0回到x轴上方，再穿过-3到x轴下方。
第四步：根据图象得到x(x+3)(x-1)＞0的解集为{x∣-3＜x＜0或x＞1 。
下面用表格来具体地阐释一个一元五次不等式的数轴标根法解法原理：
例2：解不等式(x2-1)(x2-4x-12)(x-4)＞0
【巧解】：整理不等式（因式分解，并按根从小到大，从左到右排列诸因式）得：(x+2)(x+1)(x-1)(x-4)(x-6)＞0
“序轴标根”：
1
}
所求解集为{x∣-2＜x＜-1或1＜x＜4或x＞6
上表说明如下：
①最左边一列按照根从小到大从上到下依次排列5个因式，最下边是它们的连乘积，也就是原不等式左边的分解式；
②第二行右侧将根从小到大从左到右依次标在数轴上，5个根将数轴划分为6个区间，从左到右依次是：（-∞，-2），（-2，-1），（-1，1），（1，4），（4，6），（6，+∞）
③从最右边一列开始，从下往上看：在（6，+∞）上，5个因式的值均取正号，故在区间上，
(x+2)(x+1)(x-1)(x-4)(x-6)取正号；
在区间（4，6）上，除x-6取“－”号外，其它四个因式取“＋”号，(x+2)(x+1)(x-1)(x-4)(x-6)取“－”号；
在区间（1，4）上，(x-6)(x-4)两个因式取“－”号；其他三个因式取“＋”号，故五个因式之积取“＋”号；
在（-1，1）上，x-6,x-4,x-1三个因式取“－”号，其余两个因式取“＋”号，故五个因式之积取“－”号；
在(-∞,-1)上，x-6,x-4,x-1,x+1四个因式取“一”号，其余一个因式取“＋”号，故五个因式之积取“＋”号；
在(-∞,-2)上，五个因式均取“一”号，故其积取“一”号。
如果从右到左考察多个区间，可发现规律如下：
最右边一个区间上，诸因式符号全“＋”；从右到左每向左一个区间，负因子依次增加1个，因此各因式之积的符号，在最右边区间上取“＋”号，而由右到左多区间内，依次取“＋”、“－”、“＋”、“一”，…，正负相间，极有规律。
这就是为什么“穿线”要从最右边的根的右上方向左下方穿起，而各在x轴上方的曲线弧段对应的区间并集就是(x-x1)(x-x2)…(x-x n)＞0的解集的道理。
例3．解不等式x(x-3)(x+1)(x-2)＜0
【巧解】：整理不等式得(x+1)x(x-2)(x-3)＜0
“序轴标根”：
}
所求解集为{x∣-1＜x＜0或2＜x＜3
2。