安徽名校2020-2021学年高二上学期期中联考数学(理)试题含答案
安徽省江淮名校2020-2021学年高二期中考试试题数学(理)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果直线 与直线 垂直，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()
7．D
【分析】
作出示意图，再结合两点间的斜率公式，即可求得答案.
【详解】
， ，
又 直线 过点 且与线段 相交，作图如下：
则由图可知，直线 的斜率 的取值范围是： 或 ．
故选：D
【点睛】
本题借直线与线段的交点问题，考查两点间的斜率公式，考查理解辨析能力，属于中档题.
8．B
【解析】
因为四边形 是菱形， ，又 平面 ， ，又 平面 ，即有 ，故要使平面 平面 ，只需 或 .
其中正确结论的序号是______．
13．若直线 经过原点和 ，则直线 的倾斜角大小为__________．
14．直线 过 和 的交点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线 的方程为__________．
15．已知圆 ，直线 ： ，当圆上仅有 个点到直线 的距离为 ，则 的取值范围为__________．
A． B． C． D．
3．直线 恒过定点 ，则以 为圆心， 为半径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 ，腰长为 的等腰直角三角形，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．与两直线 和 的距离相等的直线是（ ）
A． B． C． D．以上都不对
（2）求与直线 平行，且被圆 截得的线段长为 的直线的方程.
2021年高二上学期联考(期中)数学(理)试题 含答案
图 12021年高二上学期联考（期中）数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{31,},{4,6,8,10,12}A x x n n N B ==+∈=，则集合中的元素个数（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ( )A ．B ．C ．D ．2 3、已知为钝角，，则 （ ）A ．B ．C ．D ． 4、某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是 ( ) A ．y ^＝－10x ＋200 B ．y ^＝10x ＋200 C ．y ^＝－10x －200 D ．y ^＝10x －2005、执行如图1所示的程序框图,若输入的值为10， 则输出S 的值是 （ ） A ．45 B ．46C ．55D ．566、函数的一个单调增区间是 ( ) A ． B ． C ． D ．7、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是AA 1、AB 、BB 1和B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角为 （ ） A ． B ． C ． D ． 8、给出如下四个命题：①若“”为真命题，则均为真命题； ②“若”的否命题为“若，则”； ③“”的否定是“”；④“”是 “”的充分不必要条件． 其中不正确．．．的命题是 ( ) A ．①② B ．②③C ．①③D ．③④9、已知，，其中，则、的大小关系是（ ）A ．B ．PC ．D ．10、一个多面体的三视图如图2所示，则该多面体的表面积为 （ ） A ． B ． C ． D ．11、设函数的定义域为,若函数满足条件：存在,使在 上的值域是则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则的范围是( )A ．B ．C ．D ．12、从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为 （ ） A ． B ． C ． D ．不确定二、填空题：本大题共4个小题，共20分，将答案填写在题中的横线上.13、在直角坐标系中，设集合，在区域内任取一点P ，则满足的概率是 ．14、设抛物线焦点F ,经过点P(4，1)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰好为线段AB 的中点，则|AF|+|BF|= .15、如图3，已知点在线段上， ，用和来表示向量，则等于 . 16、若函数()满足且时,,函数,则函数在区间内零点有 个．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17、（本小题满分10分）如图, 已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC 、 CE ∥BG ，且，平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC =CD =CE =2AD =2BG =2． (Ⅰ)求证：AG ∥平面BDE ； (Ⅱ)求几何体EG-ABCD 的体积．18、（本小题满分12分） 函数是定义在上的奇函数,且. (Ⅰ)求的解析式,(Ⅱ)用函数单调性的定义证明在上是增函数． 19、（本小题满分12分）已知直线与双曲线x 2－y 2＝1的左支相交于不同的两点A 、B ，线段AB 的中点为点M ，定点C(－2，0)． (Ⅰ)求实数k 的取值范围；(Ⅱ)求直线MC 在y 轴上的截距的取值范围． 20、（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱． （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求二面角的余弦值．21、（本小题满分12分）已知数列中，，，其前项和满足（，）（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．22、（本小题满分12分）已知椭圆，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点E，，，判断是否为定值，若是，计算出该定值；若不是，说明理由．高二理数答案一、B A D A B C B C A D A B 二、填空题：13、 14、10 15、. 16、_ 8 _个． 三、解答题：17、证明：（1）在平面BCDG 中，过G 作GN ⊥CE 交BE 于M ， 连 DM ，则由已知知；MG =MN ，MN ∥BC ∥DA ,且MG ∥AD ,MG =AD ， 故四边形ADMG 为平行四边形，AG ∥DM ……4分 ∵DM 平面BDE ，AG 平面BDE ， AG ∥平面BDE ………………5分（Ⅱ）1133EG ABCDD BCEG G ABD BCEG ABD V V V S DC S BG ---∆=+=⋅+⋅1211172212132323+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=………………10分 18、【解】(Ⅰ)由题知,是上的奇函数,所以,即……3分所以又因为,所以,…6分(Ⅱ)则有22121221121212222222121212(1+)-(1+)(-)(1-)()-()=-==1+1+(1+)(1+)(1+)(1+)x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x ……………………9分由,所以,又由所以即,又因,所以,即所以函数在区间上为增函数……………………………………………12分19、解：(Ⅰ)．把直线y ＝kx ＋1代入x 2－y 2＝1整理有(1－k 2)x 2－2kx －2＝0，…2分 ∵设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由韦达定理可知x 1＋x 2＝＜0， ①x 1·x 2＝＞0． ②………………4分且 ∆＝(－2k)2－4(1－k 2)·(－2)＝4k 2－8 k 2＋8＞0得－＜k ＜③………………5分∴ 1＜k ＜………………6分 (Ⅱ)．∵ M ， M ，即M .∴MC ：y ＝x ＋………………9分在y 轴线截距为y m ＝，………………10分当k ∈(1，)，有y m ＞2或y m ＜－2－.………………12分 20、解：（Ⅰ）设中点为，连结，，………… 1分 因为，所以.又，所以. ………………… 2分 因为，所以平面.因为平面，所以. ……… 3分 （Ⅱ）由已知，， 所以，.又为正三角形，且，所以. …………………… 5分因为，所以. 所以.由（Ⅰ）知是二面角的平面角.所以平面平面. …………………………………………… 7分 （Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知平面. 过作于，连结，则.所以是二面角的平面角. ………………………………… 10分 在中，易求得.因为，所以. ………………………… 11分 所以.即二面角的余弦值为. ……12分 方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知，，两两垂直.以为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 易知，，，.所以，.设平面的法向量为， 则 即令，则，.所以平面的一个法向量为.易知平面的一个法向量为. 所以.由图可知，二面角为锐角.所以二面角的余弦值为. …………………………………… 12分 21、解：（Ⅰ）．由已知，（，）， ……2分∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴ ………4分 （Ⅱ）．∵，∴，要使恒成立，∴()()112114412120nn n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立，∴恒成立，∴恒成立．………6分 （ⅰ）当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为1，∴ ……………8分 （ⅱ）当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值， ∴ 即，又为非零整数，则．…………10分综上所述，存在，使得对任意，都有．…12分 22、解：（Ⅰ）由条件得，所以方程 ……4分（Ⅱ）易知直线l 斜率存在，令11220:(1),(,),(,),(4,)l y k x A x y B x y E y =+- 由2222222(1)(14)84404816014y k x k x k x k k x y =+⎧⎪⇒+++-=∆=+>⎨+=⎪⎩……5分………………6分由12112212(1)(1)(1,)(1,)x x AQ QB x y x y y y λλλλ-+=+⎧=⇒---=+⎨=-⎩即得 …………………7分A由111012200120(4)(4)(4,)(4,)()x x AE EB x y y x y y y y y y μμμμ-+=+⎧=⇒---=+-⎨-=-⎩即得……………8分121212122222(1)(4)(4)(1)25()8(1)(4)(1)(4)x x x x x x x x x x x x λμ++++++++∴+=-=-++++将代入有2222222222228840884083281414140(1)(4)(1)(4)k k k k k k k k x x x x λμ---++-++++∴+=-=-=++++ …………12分20865 5181冁q34260 85D4 藔w720419 4FC3 促 }24968 6188 憈 38363 95DB 闛-w32197 7DC5 緅2。
【高二学习指导】2021 2021学年安徽高二数学第一学期期中考试试卷(理)
【高二学习指导】2021 2021学年安徽高二数学第一学期期中考试试卷(理)【高二学习指导】2021-2021学年安徽高二数学第一学期期中考试试卷(理)高二理科数学考哪些内容?下面为您提供的2021-2021学年安徽高二数学第一学期期中考试试卷理科，给新高二理科生学生参考，希望对大家的学习有帮助。
以下是摘录试卷的一部分7直线ax+by+c=0同时过第一、第二、第四象限，则a,b,c满足()aab>0，bc<0bab<0，bc>0cab>0，bc>0dab<0，bc<08设两圆c1、c2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离c1c2=( )a、 4b。
4c。
8d。
八9若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心，则a的值为( )a、 -1b。
1c。
3d。
-三10若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直，则实数m=________.a1b高二2c4d0。
五二填空题(每空5分，共25分)11.以下四个命题，其中正确的一个是如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体;如果几何体的前视图和俯视图是矩形，则几何体是长方体；如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体;如果几何图形的前视图和左视图为等腰梯形，则该几何图形为圆形平台。
12.二面角为，是棱上的两点，分别在半平面内，，则cd长为。
13.平面图形的水平-倾斜双测量视觉图为等腰梯形。
视觉图形的底角为，腰部和上下边缘的长度均为1，则平面图形的面积为。
14已知直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直，垂足为(1，c),则a+b+c=15.如果通过点（-1，-2）的直线L的弦长被圆x2+y2-2x-2y+1=0切割，则直线L的斜率为____。
安徽名校2020-2021学年高二上学期期中联考数学(理)试题
试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
中,角
A,B,C
的对边分别是
a,b,c,且向量
m
=
(
a-c,
b 2
)
和向量
n
=
(
a2+c,b -
3 a)互
相垂直.
(1)求角 C 的大小;
3 (2) 若△ABC 外接圆的半径是 1,面积是 2 ,求△ABC 的周长.
19. (12 分) 已知圆 C:x2 +y2 = 1 和直线 l:y = kx-1( k∈R) . 4 (1)若直线 l 与圆 C 相交,求 k 的取值范围; (2) 若 k = 1,点 P 是直线 l 上一个动点,过点 P 作圆 C 的两条切线 PM、PN,切点分别是 M、N,
ìïïx>0
b) 落在不等式组íy>0 表示的平面区域内的事件记为 A,则事件 A 的概率是
.
îïïx+y≤4
15. 设函数 f( x)= 2 cos2x+2
3 sinxcosx+m,当
x∈[0,
π 2
]时
f( x) 的值域为[
1 2
,
7 2
],则实数
m
的值
是
.
16. 在平行四边形 ABCD 中,AB⊥BD,4·AB2 +2·BD2 = 1,将此平行四边形沿对角线 BD 折叠,使平
安徽省名校2020-2021学年高二上学期期中联考理科数学试卷及解析
安徽省名校2020-2021学年高二上学期期中联考理科数学试卷 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.若集合{03}M xx =<≤∣，{}220N x x x =+->∣，则()R M N ⋂=（ ） A.(0,1] B.(0,3] C.(0,2] D.(-2,1] 2.正项等比数列{}n a 满足：241a a =，313S =，则其公比是（ ）A.14B.1C.12D.133.秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，给出如图所示的秦九韶算法程序框图，若输入n ，x 的值分别为5，2，则输出v 的值是（ ）A.259B.130C.65D.324.已知x ，y 的取值如下表所示：若y与x线性相关，且回归直线方程为，则表格中实数m的值为（）A.7.69 B.7.5 C.6.69 D.6.5第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明参考答案1.A【解析】1.先求出集合N ，进一步求出R N ，再求交集.因为{01}M xx =<≤∣，{}220{2N x x x x x =+->=<-∣∣或1}x >， {}21R N x x =-≤≤∣，所以()(]{01}0,1R M N x x ⋂=<≤=∣.故选：A2.D【解析】2.根据241a a =，由2243a a a =，解得31a =，再根据313S =求解.因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =，31a =，211a q =.因为313S =，所以1q ≠.由()()31231111a q S a q q q -==++-得22131q q q =++，即21210q q --=， 解得13q =，或14q =-（舍去）. 故选：D3.B【解析】3.模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的v 的值.模拟程序的运行，可得5n =，2x =，1v =，4i =满足条件0i ≥，执行循环体，1246v =⨯+=，3i =；满足条件0i ≥，执行循环体，62315v =⨯+=，2i =；满足条件0i ≥，执行循环体，152232v =⨯+=，1i =；满足条件0i ≥，执行循环体，322165v =⨯+=，0i =；满足条件0i ≥，执行循环体，6520130v =⨯+=，1i =-；不满足条件0i ≥，退出循环，输出v 的值为130v =．故选：B ．4.D【解析】4.先求得样本数据中的x ，y 的平均值，根据回归直线方程过样本中心点，可得选项. 因为2345742x +++==， 2.2 3.8 5.511.544m m y +++++==， 所以11.571.460.6142m +=⨯-，解得 6.5m =. 故选：D.。
安徽省名校2020_2021学年第一学期期中联考高二理科数学(含答案)
高二第一学期期中检测理科数学参考答案题号123456789101112答案A DB DC B A C C B A C 1.【解析】因为{}{}{}1202,102>-<=>-+=≤<=x x x x x x N x x M 或,=N C R {},12≤≤-x x 所以{}10)(≤<=x x N C M R (]1,0=.2.【解析】因为正项等比数列{}n a 满足142=a a ，由于2342a a a =，所以1,1,121323===q a a a .因为133=S ，所以1q ≠.由)1(1)1(21313q q a q q a S ++=--=得,,11322q q q ++=即01122=--q q ，解得31=q ，或41-=q （舍去）.3.【解析】初始值2,5==x n ，程序运行过程如下表所示1v =；6421=+⨯=v ；15326=+⨯=v ；322215=+⨯=v ；651232=+⨯=v ；1300265=+⨯=v .1i =-，跳出循环，输出.130=v 4.【解析】因为2745432=+++=x ，,45.1145.58.32.2m m y +=++++=所以61.02746.145.11-⨯=+m ，解得.5.6=m 5.【解析】该几何体是底面半径为1，母线长为2的半圆锥，因此其表面积为.323243121212212122+=⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯πππ6.【解析】由⇒=-⋅0)(b a a b a a ⋅=22222)(b b a a b a +⋅-=-=-,13222=+-=+-=b b a .27.【解析】特值法，当βα⊥时，D C B ,,,0cos =θ均不成立.8.【解析】由题意知，当3π=x 时，函数()f x 取得最大值，所以.,223Z k k ∈+=⋅ππωπ解得.,236N k k ∈+=ω因为)(x f 在区间⎦⎤ ⎝⎛-3,12ππ上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡125,3ππ上递减，所以123ππωπ+≥且3125ππωπ-≥，解得.5120≤<ω因此23=ω.9.,1,2.245cos 221cos 66cos 269cos 24cos 2==+=⋅ AC AB所以.22sin ,22cos ,2==⋅=A A A AC AB 于是ABC ∆.22=A 10.【解析】设等差数列的公差为.d 由13853a a =得,)12(5)7(311d a d a +=+,整理得,.2391d a -=因此d n d dn n d n d a n d S n 200)20(22022(22212--=-=-+=,20S 最大.11.【解析】4214≥-+x a x 4821)2(4≥+-+-⇔a x a x 4821)2(4min ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⇔a x a x 即,484≥+⇔aa 解得40≤<a .12.【解析】001()1111x x x f x x <<<⎧⎪=⎨--⎪+⎩≤， ，.作函数()y f x =的图象，如图所示.函数()g x 零点的个数⇔函数()y f x =的图象与直线4y mx m =+公共点的个数.当直线4y mx m =+过点(11)，时，15m =,,所以当510<<m 时,直线4y mx m =+与函数()y f x =图象有两个公共点.当直线4y mx m =+与曲线111y x =-+（01x <<-）相交时，联立⎪⎩⎪⎨⎧-+=+=1114x y m mx y 消去y 得，0)15(42=++-m x m mx 因此016)15(22>-+=∆m m 且015<+m 时，解得.1-<m 综上知，实数m 的取值范围是51,0()1,( --∞.13.【答案】.0723=+-y x 【解析】设直线l 的方程是.023=+-c y x 将2,1=-=y x 代入得，,043=+--c 所以7=c .故l 的方程是.0723=+-y x 14.【答案】61【解析】因抛掷一颗骰子有6种结果，所以抛掷两颗骰子有3666=⨯种不同结果.点),(b a S 在不等式所表示的区域内，有如下几种情况：当1=a 时，=b １，2，3;当2=a 时，=b 1，2;当3=a 时，1=b .共有(1,1)，（1,2），(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六个点落在条件区域内，故61366)(==A P .15.【答案】21【解析】因为m x x x x f ++=cos sin 32cos 2)(2162sin(22sin 32cos 1+++=+++=m x m x x π.]2,0[π∈x ，∴]1,21[62sin(67626-∈+≤+≤ππππx x ，则.∴]3,[1)62sin(2)(m m m x x f +∈+++=π.由=+]3,[m m 27,21[得,且27321=+=m m 故21=m .16.【答案】.242π【解析】如图，因为平面BDC ⊥平面ABD ，所以AB ⊥平面BDC ，CD ⊥平面ABD ，得.AD CD BC AB ⊥⊥，取AC 的中点O ，则OD OC OB OA ===.于是外接球的球心是O ，12OA AC =，2214OA AC =.而.21)24(2122222222=+=+=+=BD AB BD AB BC AB AC 所以半径.4221==AC OA 于是外接球的体积为.24242(343ππ=17.【解析】（1）由频率分布直方图可知,月用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1),[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)=2×0.5×a，解得a=0.30.………………………………………………………………4分（2）由(1)知,100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02=0.12.由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000(人).………………………………………………………6分(3)设中位数为x 吨.因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25=0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21=0.48＜0.5,所以2≤x＜2.5.由0.50×(x－2)=0.5－0.48,解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.…………………………………10分18.【解析】(1)因为n m ,互相垂直,所以0)3(22)(=-⋅++⋅-=⋅a b b c a c a n m ,……………………………………2分即2223b ab c a -=-，ab c b a 3222=-+.…………………………………4分由余弦定理得，=C cos .23232222==-+ab ab ab c b a 因为π<<C 0,所以6π=C .…………………………………………………6分（2）因为,236sin 21==∆πab S ABC 所以32=ab .……………………………8分ab c b a 3222=-+就是ab b a 3)6sin 2(222=-+π,即ab ab b a 312)(2=--+,因此347123)(2+=++=+ab ab b a ,32+=+b a .…………………11分故ABC ∆的周长是33+=++c b a .…………………………………………12分19.【解析】（1）直线1-=kx y 就是,01=--y kx 圆C 的圆心是),0,0(C 半径是21.由题意得，圆心)0,0(C 到直线l 的距离是21112<+k ，……………………………2分解得3-<k 或.3>k 故k 的取值范围是).,3()3,(+∞--∞ ………………5分（2）当1=k 时，直线l 与圆C 相离.设点P 的坐标是),(00y x ，则直线MN 的方程是4100=+y y x x .………………………………………………7分因为点P 在直线1-=x y 上，所以100-=x y .代入4100=+y y x x 中，得到,41)1(00=-+y x x x 即.0)41()(0=+-+y x y x ……9分由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0)41(0y y x 得，.4141⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==y x 故直线MN 恒过一个定点).41,41(-…………………………………………………12分20.【解析】（1）因为AC=BC ，D 是AB 的中点，所以CD AB ⊥.又VC ⊥底面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以VC AB ⊥.………………………2分而,C CD VC = 所以⊥AB 平面.VCD 又AB ⊂平面VAB ，所以平面VAB ⊥平面VCD .…………………………………5分（2）过点D 在平面ABC 内作DF CE ⊥于F ，则由题意知DF ⊥平面VCE.连接VF ，于是DVF ∠就是直线VD 与平面VCE 所成的角.…………………………7分在t R VFD ∆中，DF VD =.又因为VD=,所以DF =.在t R DCE ∆中,可求出DE=1.故知点E 位于线段AD 的中点或线段BD 的中点.…10分三棱锥VDE C -的体积为.3222212213131=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅A VC S CDE (12)分21.【解析】（1）令0n , 1==m 代入等式中可得,2)0(-=f ，即2-=c .………2分再令n m -=得,2)(),12()()0(2-+=++--=-n n n f n n n n f f ,所以.2)(2-+=z z z f ………………………………………………6分（2）因为直线被圆9)2()1(22=-++y x 截得的弦长为6,所以直线过圆心,有1=+b a .……………………………………………………8分于是由均值不等式得,abb a +4=94545))(41(41=+≥++=++=+a b b a b a b a b a ,当且仅当a b b a =4,即32,31==b a 时等号成立.故abb a +4的最小值是.9…………12分22.【解析】(1)当2≥n 时，.12)1(221-=--=-=-n n n S S a n n n 在2n S n =中，令1=n ，则111==S a ，满足.12-=n a n 故数列{}n a 的通项公式是.,12*∈-=N n n a n ……………………………4分（2)因为一般项)11(41121121+++++-=n n n n n n n a a a a a a a ，所以原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅⋅⋅+-+-=+++11()11()11(4121143323221n n n n a a a a a a a a a a a a =-=++11(412121n n a a a a .)32)(12(32)32)(12(64222+++=+++n n n n n n n n ………………………8分于是)32)(12(322+++n n n n ,)2141(2λn n +≥即存在*∈N n ,使≤λ)32)(12(34++n n 成立.≤λ.454)32)(12(34max =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n n 故实数λ的最大值是.454………………………12分。
安徽省第二中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理(含解析)
安徽省蚌埠市第二中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1.等腰三角形ABC 绕底边上的中线AD 所在的直线旋转所得的几何体是( )A. 圆台B. 圆锥C. 圆柱D. 球【答案】B 【解析】由题意可得AD ⊥BC ，且BD ＝CD ，所以形成的几何体是圆锥．故选B. 2.球的表面积膨胀为原来的2倍，则其体积变为原来的（ ）倍 A. 2B. 3C. 8D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出球的半径，求出膨胀后球的半径，即可得到球的体积比。
【详解】设球的半径为r ，所以球的体积为3143v r π=， 球的表面积膨胀为原来的2， 所以球的体积为332144)33v r ππ=== 所以膨胀后球的体积变为原来的故选：D【点睛】本题考查球的表面积以及体积公式，需熟记公式，属于基础题。
3.一个梯形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来梯形面积的（ ）倍 A.4B.12C.2【答案】A【解析】 【分析】梯形的直观图仍是梯形，且上下底保持不变，设原来梯形的高为h ，则在直观图中表示梯形高的线段应为2h ，且与底边夹角为45，故梯形直观图的高为2sin 4524h h ⋅= 【详解】设原来梯形上下底分别为,a b ，高为h ，则梯形面积为2a bs h +=⋅ 在梯形直观图中，上下底保持不变，表示梯形高的线段为2h，且与底边夹角为45，故梯形直观图的高为2sin 452h ⋅=，∴梯形直观图的面积为24a b s h +'=⋅4s s '∴=故选：A4.已知m ，n 是空间两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nB. 若=,=,//m n m n αγβγ⋂⋂，则//αβC. 若,,m βαβ⊂⊥则m α⊥D. 若,//,m m βα⊥则αβ⊥【答案】D 【解析】【详解】试题分析：对于A ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则,m n 可平行或异面，所以不成立， 对于 B ．若=,=,//m n m n αγβγ⋂⋂，则//αβ，还可能相交，故错误。
安徽省合肥2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷
2020-2021高二上学期第一学期期中考试数学（文理共卷）班级_________ 姓名__________学号___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图如图，则原图形的周长是A. B. C. D.2.已知直线l：，则该直线的倾斜角为A. B. C. D.3.若在直线上有一点P，它到点和的距离之和最小，则该最小值为A. B. C. D.4.已知：空间四边形ABCD如图所示，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC，CD上的点，且，，则直线FH与直线A. 平行B. 相交C. 异面D. 垂直5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积和表面积分别为A. ，B. ，C. ，D. ，6.已知直线：和：互相平行，则实数m的值为A. B. 2 C. D. 2或47.在下列条件中，可判断平面与平行的是A. ，且B. m，n是两条异面直线，且，，，C. m，n是内的两条直线，且，D. 内存在不共线的三点到的距离相等8.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为A. B. C. D.9.点P是直线上的动点，直线PA，PB分别与圆相切于A，B两点，则四边形为坐标原点的面积的最小值等于A. 8B. 4C. 24D. 1610.已知各棱长均为1的四面体ABCD中，E是AD的中点，直线CE，则的最小值为A. B. C. D.11.已知正方体的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，，的中点，下列结论中，正确结论的序号是过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；平面EFG；平面；二面角平面角的正切值为；四面体的体积等于．A. B. C. D.12.已知边长为2的正所在平面外有一点P，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设直线l的斜率为k，且，则直线的倾斜角的取值范围是________．14.直线过点，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则此直线方程为______ ．15.已知圆关于直线对称，则的最小值是___________．16.如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点，若平面AEF，则线段长度的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(10分)已知一束光线经过直线和的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射．求点M关于x轴的对称点P的坐标求反射光线所在的直线的方程．18.(12分)已知关于的方程C：．若方程C表示圆，求m的取值范围；若圆C与圆外切，求m的值；若圆C与直线相交于两点，且，求m的值．19.(12分)如图，在斜三棱柱中，点O、E分别是、的中点，与交于点F，平面已知，．求证：平面；求与平面所成角的正弦值．20.(12分)如图1，在中，，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将沿DE折起到的位置，使，如图2．求证：平面；求证：；线段上是否存在点Q，使平面DEQ？说明理由．21.(10分)如图所示，已知在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，点D是线段BC的中点，平面平面，，．求证：平面ABC．请问在线段上是否存在点E，使得平面若存在，请说明点E的位置若不存在，请说明理由．求二面角的大小．22.如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，平面平面ABCD，二面角的大小为，，M为线段SC的中点，N为线段AB上的动点．求证：平面平面SCD；是否存在点N，使二面角的大小为，若存在，求的值，不存在说出理由．答案一、选择题BCCBD ABCAB BC二、填空题13、14、或15、9 16、三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17、（10分）已知一束光线经过直线和的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射．求点M关于x轴的对称点P的坐标求反射光线所在的直线的方程．【答案】解：由得．点M关于x轴的对称点P的坐标为．易知经过点P与点N，的方程为，即．18．（12分）已知关于的方程C：．若方程C表示圆，求m的取值范围；若圆C与圆外切，求m的值；若圆C与直线相交于两点，且，求m 的值．【答案】解：方程可化为若方程C表示圆只需，所以m的范围是由知圆C的圆心为，半径为，可化为，故圆心为，半径为4．又两圆外切，所以，解得由圆的圆心半径为，过圆心C作直线l的垂线CD，D为垂足，则，又，知则，解得19．（12分）如图，在斜三棱柱中，点O、E分别是、的中点，与交于点F，平面已知，．求证：平面；求与平面所成角的正弦值．【答案】证明：，E分别是、的中点，与交于点F，，，平面平面，平面OEF，平面C.解：设点到平面的距离为d，，，，，，中，，，，，解得，设与平面所成角为，与平面所成角的正弦值为：．20．（12分）如图1，在中，，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将沿DE折起到的位置，使，如图2．求证：平面；求证：；线段上是否存在点Q，使平面DEQ？说明理由．【答案】解：，E分别为AC，AB的中点，，又平面，平面．由已知得且，，，又，平面，而平面，，又，平面BCDE，．线段上存在点Q，使平面理由如下：如图，分别取，的中点P，Q，则．，．平面DEQ即为平面DEP．由Ⅱ知平面，，又是等腰三角形底边的中点，，平面DEP，从而平面DEQ，故线段上存在点Q，使平面DEQ．21．（12分）如图所示，已知在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，点D是线段BC的中点，平面平面，，．求证：平面ABC．请问在线段上是否存在点E，使得平面若存在，请说明点E的位置若不存在，请说明理由．求二面角的大小．【答案】解：证明：因为四边形为正方形，所以．因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面ABC．当点E是线段的中点时，有平面C.理由如下：连接交于点E，连接DE．因为点E是的中点，点D是线段BC的中点，所以C.又因为平面，平面，所以平面C.因为平面ABC，所以，又因为，所以，又，AC、在平面内，所以平面，所以平面，所以，，所以是二面角的平面角．则，所以二面角的平面角为．22．（12分）如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，平面平面ABCD，二面角的大小为，，M为线段SC的中点，N为线段AB上的动点．求证：平面平面SCD；是否存在点N，使二面角的大小为，若存在，求的值，不存在说出理由．【答案】证明：平面平面ABCD，且，平面平面，平面SCD，又平面SBC，平面平面SCD；如图：平面平面ABCD，则过点S作面ABCD，交CD的延长线于点O，过O 作交AD于E，连接SE，，面SOE，则，所以为二面角的平面角的补角，则，又，两式相乘得，即，，，假设存在点N，使二面角的大小为过N作交CD于点P，过P作交DM于点Q，连接NQ，可得面NPQ，则为二面角的平面角，即，设，因为，四边形BCPN为矩形，则，，则，，解得，此时．存在点N，使二面角的大小为此时．。
安徽省江淮名校2020-2021学年高二数学上学期期中试题理(含解析)
安徽省江淮名校20212021学年高二数学上学期期中试题理（含解析）一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分）1. 假如直线与直线垂直，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线与直线垂直，因此，故选B. 2. 若某几何体的三视图如图所示，则那个几何体的直观图能够是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形，故该几何体上部分是一个三棱柱，下部分是三个矩形，故该几何体下部分是一个四棱柱．考点：三视图．3. 直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】直线，化为，时，总有，即直线直线过定点，圆心坐标为，又因为圆的半径是，因此圆的标准方程是，故选B.4. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰长为的等腰直角三角形，则那个平面图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依照斜二测的画法，直观图等腰直角三角形，还原为一条直角边长为、另一条直角边为的直角三角形，由三角形面积公式可得那个平面图形的面积是，故选A.5. 与两直线和的距离相等的直线是（）A. B. C. D. 以上都不对【答案】A【解析】直线平行于直线到两平行直线距离相等的直线与两直线平行，可设直线方程为，利用两平行线距离相等，即，解得直线方程为，故选A.6. 已知，表示两条不同的直线，，，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①，，，则；②，，，则；③，，，则；④，，，则其中正确命题的序号为（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④【答案】C【解析】①，，，则能够垂直,也能够相交不垂直，故①不正确；②，则与相交、平行或异面，故②不正确；③若，则，③正确；④，，可知与共线的向量分别是与的法向量，因此与所成二面角的平面为直角，，故④正确，故选C.【方法点晴】本题要紧考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判定，常采纳画图（专门是画长方体）、现实实物判定法（如墙角、桌面等）、排除选择法等；另外，若原命题不太容易判定真假，能够考虑它的逆否命题，判定它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.7. 已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范畴是（）A. B. 或 C. D.【答案】B【解析】如图所示，直线的斜率为；直线的斜率为，当斜率为正时，，即；当斜率为负时，，即，直线的斜率的取值范畴是或，故选B.8. 如图所示，在四棱锥中，底面，且底面为菱形，是上的一个动点，若要使得平面平面，则应补充的一个条件能够是（）A. B. C. D. 是棱的中点【答案】B【解析】因为四边形是菱形，，又平面，，又平面，即有，故要使平面平面，只需或.9. 不共面的四个定点到平面的距离都相等，如此的平面共有（）个A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】D【解析】空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥,①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥有四种表示形式，现在满足条件的平面个数是四个；②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则现在满足条件的平面个数是三个，因此满足条件的平面共有个，故选D.10. 光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则由（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A...............11. 正方体的棱长为，线段上有两个动点、，且，则下列结论中错误的是（）A. B. 异面直线，所成角为定值C. 平面D. 三棱锥的体积为定值【答案】B【解析】在正方体中，平面平面，故正确；平面平面平面平面，故正确；的面积为定值，，又平面为棱锥的高，三棱锥的体积为定值，故正确；利用图形设异面直线所成的角为，当与重合时；当与重合时异面直线所成角不是定值，错误，故选D.12. 如图所示，正四棱锥的底面面积为，体积为，为侧棱的中点，则与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】连接交于点，连接正四棱锥的底面是正方形，是中点，是中点，与所成的角为正四棱锥的底面积为，体积为，，在中，，，故选C.【方法点晴】本题要紧考查正四棱锥的性质与体积公式、异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角要紧方法有两种：一是向量法，依照几何体的专门性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分）13. 若直线通过原点和，则直线的倾斜角大小为__________．【答案】【解析】原点的坐标为原点与点的斜率，即为倾斜角），又点在第二象限，，故答案为.14. 直线过和的交点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为__________．【答案】或【方法点睛】本题要紧考查待定系数法求直线方程以及直线截距式方程，属于中档题.待定系数法求直线方程的一样步骤是：（1）判定，依照题设条件判定出用那种形式的直线方程参数较少；（2）设方程，设出所选定的标准形式的直线方程；（3）求参数，依照条件列方程求出参数；（4）将参数代入求解；（5）考虑专门位置的直线方程，因为除一样式外，其他四种标准方程都有局限性.15. 已知圆，直线：，当圆上仅有个点到直线的距离为，则的取值范畴为__________．【答案】【解析】由圆上仅有个点到直线的距离为可得圆心到直线的距离满足，由于，即，解得，故答案为.16. 如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成.若为线段的中点，则翻折过程中：①是定值；②点在某个球面上运动；③存在某个位置，使得；④存在某个位置，使平面其中正确的命题是__________．【答案】①②④【解析】解：取CD中点F，连接MF,BF，则MF∥DA1,BF∥DE，∴平面MBF∥平面DA1E，∴MB∥平面DA1E，故④正确.由，由余弦定理可得，因此为定值，因此①正确；B是定点，M是在以B为圆心，MB为半径的球面上，故②正确.假设③正确，即在某个位置，使得DE⊥A1C，又矩形ABCD中，，满足，从而DE⊥平面A1EC，则DE⊥A1E，这与DA1⊥A1E矛盾.因此存在某个位置，使得DE⊥A1C不正确，即③不正确.综上，正确的命题是①②④点睛：有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．三、解答题（本大题包括6小题，共70分）17. 已知圆：.（1）若直线与圆相切且斜率为，求该直线的方程；（2）求与直线平行，且被圆截得的线段长为的直线的方程.【答案】（1）或；（2）或【解析】试题分析：（1）设切线方程为：,依照圆心到切线的距离等于半径，列方程可得的值，从而求得直线方程；（2）设所求直线方程为，依照点到直线距离公式及勾股定理列方程求出的值，从而可得直线的方程.试题解析：（1）设所求的切线方程为：，由题意可知：圆心到切线的距离等于半径，即，∴，即或.∴切线方程为或.（2）因为所求直线与已知直线平行，可设所求直线方程为.由所截得的线段弦长的一半为，圆的半径为，可知圆心到所求直线的距离为，即：，∴或.∴所求直线方程为或18. 如图的几何体中，平面，平面，为等边三角形，，为的中点，为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由中位线定理可得，可得平面，由线面垂直的性质及线段长度可证明而四边形四边形为平行四边形为平行四边形，从而可得出平面，从而可得结论；（2）取的中点，连接，，先证明，再证明平面，可得平面，从而平面平面.试题解析：（1）∵平面，平面∴.又∵为的中点，.∴四边形为平行四边形.∴.而为的中点，为的中点，∴，又.∴平面平面（2）取的中点，连接，，由（1）知，且，∴为平行四边形，∴，而为等边三角形，为的中点，因此，又，因此平面，因此平面，从而平面平面.【方法点晴】本题要紧考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用那个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特点，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、查找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是确实是利用方法①证明线面平行后，再证明面面平行的.19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由平面，得，由，得，再由，得到平面；（2）过点作的平行线交于点，连结，则与平面所成的角等于与平面所成的角，由平面，得到为直线和平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值.试题解析：（1）证明：因为平面，直线平面，因此，又因为，因此，而，因此平面.（2）过点作的平行线交于点，连接，则与平面所成的角等于与平面所成的角，因为平面，故为在平面上的射影，因此为直线与平面所成的角，由于，.故.由已知得，，又，故，在中，可得，在中，可得. 因此，直线与平面所成的角的正弦值为【方法点晴】本题要紧考查线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一样要依照已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20. 已知矩形的对角线交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上.（1）求矩形的外接圆的方程；（2）已知直线：（），求证：直线与矩形的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：由且点在边所在的直线上得直线的方程，联立直线方程得交点的坐标，则题意可知矩形外接圆圆心为，半径，可得外接圆方程；（２）由可知恒过点，求得，可证与圆相交，求得与圆相交时弦长，经检验，时弦长最短，可得，进而得，最后可得直线方程．试题解析：（1）∵且，∴，点在边所在的直线上，∴所在直线的方程是，即．由得．∴，∴矩形的外接圆的方程是．（2）证明：直线的方程可化为，可看作是过直线和的交点的直线系，即恒过定点，由知点在圆内，因此与圆恒相交，设与圆的交点为（为到的距离），设与的夹角为，则，当时，最大，最短．现在的斜率为的斜率的负倒数，即，故的方程为，即．考点：圆的标准方程；直线与圆相交．21. 已知在四棱锥中，底面为矩形，且，，平面，，粪分别是线段，的中点.（1）证明：；（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.（3）若与平面所成的角为.【答案】（1）见解析；（2）当为的一个四等分点（靠近点）时，平面；（3）【解析】试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特点，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．试题解析：解法一：（1）∵平面，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则． 2分不妨令∵，∴，即． 4分（2）设平面的法向量为，由，得，令，得：．∴． 6分设点坐标为，，则，要使∥平面，只需，即，得，从而满足的点即为所求． 8分（3）∵，∴是平面的法向量，易得， 9分又∵平面，∴是与平面所成的角，得，，平面的法向量为10分∴，故所求二面角的余弦值为． 12分解法二：（1）证明：连接，则，，又，∴，∴2分又，∴，又，∴4分（2）过点作交于点，则∥平面，且有5分再过点作∥交于点，则∥平面且，∴ 平面∥平面7分∴∥平面．从而满足的点即为所求． 8分（3）∵平面，∴是与平面所成的角，且．∴9分取的中点，则，平面，在平面中，过作，连接，则，则即为二面角的平面角 10分∵∽，∴，∵，且∴，，∴12分考点：1、直线与直线垂直的判定；2、直线与平面垂直的判定；3、二面角的余弦值．22. 如图（1），在矩形中，，为的中点，将沿折起，使平面平面，如图（2）所示.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由勾股定理可得，再由面面垂直的性质定理可得平面；（2）过作，交于点，可得平面，利用及棱锥的体积公式可得结果；（3）由（2）可知平面，过点作，交的延长线于，连接，则为二面角的平面角，在直角三角形中求出，从而可得结果.试题解析：（1）∵，，∴又平面平面，平面平面∴平面.（2）过作，交于点，∴平面∴（3）由（2）可知平面，过点作，交的延长线于，连接，则为二面角的平面角∵，，且为，∴.∴.即二面角的正弦值为。
安徽省池州市2020-2021学年高二上学期期中教学质量检测数学(理)试题(含答案与解析)
安徽省池州市2020-2021学年高二上学期期中教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．直线3cos 350x y α++=的倾斜角的取值范围是（ ） A ．0,B ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π D ．0,,42πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】B【解析】将直线方程化为斜截式得斜率,根据余弦函数的值域求出斜率的取值范围,从而可求出倾斜角的取值范围. 【详解】由3cos 350x y α++=可得5cos3y x , 所以直线的斜率为cos α-, 因为cos [1,1],即斜率的取值范围是[1,1]-,所以倾斜角的取值范围是3[0,][,)44πππ⋃, 故选:B 【点睛】本题考查了直线方程的一般式化斜截式,考查了由直线的斜率的范围求倾斜角的范围,考查了余弦函数的值域,属于基础题.2．若直线l ：3460ax y a --+=,无论a 取何值，直线l 恒过定点（ ） A ．()0,4 B ．()2,2 C ．()2,4- D ．()4,2【答案】D【解析】由3460ax y a --+=可得(4)360a x y ,令a 的系数为0,即可得到答案. 【详解】由3460ax y a --+=可得(4)360a x y ,所以40x -=且360y ,解得4,2x y ==,所以直线l 恒过定点(4,2). 故选:D 【点睛】本题考查了直线过定点问题,利用参数a 的系数为0是解题关键,属于基础题.3．若直线l 过点()3,2A -，且点()3,4B 到直线l 的距离最远，则直线l 的方程为（ ） A ．370x y --= B ．370x y ++=C ．370x y ++=D ．370x y --=【答案】B【解析】过点()3,4B 作直线l 的垂线,垂足为D ,经分析可知, D 与A 重合,即BA l时, 点()3,4B 到直线l 的距离最远,由此求出斜率,再由点斜式求出直线方程. 【详解】过点()3,4B 作直线l 的垂线,垂足为D , 则||||BD BA ,当且仅当D 与A 重合,即BA l 时,||BD 最大,即点()3,4B 到直线l的距离最远, 此时1132433lABk k ,所以直线l 的方程为:23(3)y x ,即370x y ++=.故选:B 【点睛】本题考查了由两直线垂直求直线方程,推出BA l 时, ()3,4B 到直线l 的距离最远是解题关键,属于基础题. 4．若直线0ax by c 经过第一、二、四象限，则方程20ax bx c ++=的解的情况是（ ） A ．一解 B ．两解C ．零解D ．无法判断【答案】B【解析】根据直线0ax by c经过第一、二、四象限,可得直线的斜率小于0,纵截距大于0,由此推出0ac <,再推出△=-24b ac >0,从而可得方程20ax bx c ++=有两解. 【详解】因为直线0ax by c 经过第一、二、四象限,所以直线的斜率小于0,纵截距大于0,将0ax by c 化为斜截式得a cy x b b=--,所以0,0a cb b-<->,,所以()0a cb b,即20acb ,所以0ac <所以△=-24b ac 0>, 所以方程20ax bx c ++=有两解. 故选:B 【点睛】本题考查了直线方程的斜截式,用判别式判断一元二次方程的解,属于基础题.5．直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p)，则n 的值为( ) A ．－12 B ．－14 C ．10 D ．8【答案】A【解析】由直线mx+4y ﹣2=0与直线2x ﹣5y+n=0垂直，求出m=10，把（1，p ）代入10x+4y ﹣2=0，求出p=﹣2，把（1，﹣2）代入2x ﹣5y+n=0，能求出n ． 【详解】∵直线mx+4y ﹣2=0与直线2x ﹣5y+n=0垂直，垂足为（1，p ）， ∴2m﹣4×5=0， 解得m=10，把（1，p ）代入10x+4y ﹣2=0，得10+4p ﹣2=0，解得p=﹣2， 把（1，﹣2）代入2x ﹣5y+n=0，得2+10+n=0， 解得n=﹣12． 故答案为：A 【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下面命题中正确的是（ ）A ．若//m n ，//n α，则//m αB ．若//m α，m β⊂，则//αβC ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβD ．若m α⊥，n α⊥，则//m n【答案】D【解析】根据直线与平面,平面与平面平行与垂直的概念以及直线与平面垂直的性质定理逐个判断可得答案. 【详解】若//m n ，//n α，则//m α或m α⊂,故A 不正确; 若//m α，m β⊂，则//αβ或α与β相交,故B 不正确; 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ或α与β相交,故C 不正确; 若m α⊥，n α⊥，则//m n ,是正确的. 故选:D. 【点睛】本题考查了直线与平面,平面与平面平行与垂直概念,考查了直线与平面垂直的性质定理,属于基础题.7．如图，在ABC ∆中，PA ⊥面ABC ，AB AC =，D 是BC 的中点，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】试题分析：因为PA ⊥面ABC ，所以，则三角形为直角三角形，因为，所以，所以三角形是直角三角形，易证，所以面，即，则三角形为直角三角形，即共有7个直角三角形；故选C ．【考点】空间中垂直关系的转化．8．如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体及其外接球的体积分别为（ ）A ．32，323π B ．208245++，32πC ．323，6423π D ．208245++，6423π 【答案】C【解析】根据三视图可知,几何体是一个四棱锥,由棱锥的体积公式可求得几何体的体积,再将四棱锥的外接球转化为长方体的外接球,利用长方体的对角线长定理求得外接球的半径即可求得体积. 【详解】∵三视图对应的几何体如图所示，是四棱锥P ABCD -，∴2113242333P ABCD ABCD V S h -==⨯⨯=⋅， ∴22222AP BP ==+=4AB =，∴222AP BP AB +=， ∴AP BP ⊥.∴四棱锥P ABCD -的外接球就是如图所示长方体的外接球，∴外接球半径()()2222222422R ++==，∴外接球体积为()334464222333R πππ=⋅=. 故选:C 【点睛】本题考查了由三视图还原直观图,考查了棱锥的体积公式,考查了长方体与球的组合体,考查了长方体的对角线长定理,考查了球的体积公式,属于中档题.9．水平放置的ABC △，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的'''A B C ，其中''''2O A O B ==， ''3O C =，则ABC △绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为( )A ．83πB ．163πC ．()833πD ．()16312π【答案】B【解析】根据“斜二测画法”可得AB=4，3，AC=BC=4，△ABC 是等边三角形；△ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，求它的表面积即可． 【详解】根据“斜二测画法”可得AO=BO=2，3 ()22223+，如图所示，∴△ABC 是边长为4的等边三角形；△ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体， 它的表面积为S=2πrl=2π×23×4=163π． 故答案为：B 【点睛】本题考查了平面图形的直观图问题，也考查了旋转体的表面积求法，是基础题． 10．如图，在四棱锥P ABCD -中，PO ⊥平面ABCD ，E 为线段AP 的中点，底面ABCD 为菱形，若23BD a =，2PC a =，则异面直线DE 与PC 所成角为（ ）A ．4πB ．3π C ．2π D ．6π 【答案】B【解析】连接EO ,利用中位线可得//OE PC ,所以OED ∠为异面直线DE 与PC 所成的角或所成角的补角,然后证明OD OE ⊥,再在Rt OED ∆中可求得结果. 【详解】 解：连接EO ，∵底面ABCD 为菱形，其中AC 与BD 交于O 点， ∴O 为AC 、BD 中点，且AC BD ⊥， 又∵E 为PA 中点， ∴//OE PC ，且12OE PC a ==， ∴OED ∠为异面直线DE 与PC 所成的角或所成角的补角， ∵PO ⊥面ABCD ，且BD ⊂面ABCD ， ∴PO BD ⊥. 又∵AC BD ⊥，且PO AC O =，所以BD ⊥面PAC .又∵OE ⊂面PAC ，∴OD OE ⊥， ∵O 为BD 中点，∴132OD BD a ==， 又∵12OE PC a ==， ∴Rt OED ∆中，tan 3ODOED OE∠==， ∴3OED π∠=.∴异面直线DE 与PC 所成的角大小为3π. 【点睛】本题考查了求异面直线所成的角,按照作角,证角,求角三个步骤进行求解,属于中档题. 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11C D 的中点，那么正方体过P ，Q ，R 的截面图是（ ） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形【答案】D【解析】利用公理3:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个公共点的公共直线.找到所求截面与正方体的表面的公共点,然后连线得到截面即可. 【详解】解：延长PQ 交CD 的延长线与E ,连ER 交1DD 于T ,则T 为1DD 的中点, 延长TR 交1CC 的延长线与F ,延长QP 交CB 的延长线与G ,连接FG 交1BB 于M ,交11B C 于S ,则易得M ,S 分别为1BB ,11B C 的中点, 连接,,QT RS PM ,则截面为正六边形PQTRSM 为所求截面. 如图所示:故选:D 【点睛】本题考查了利用公理3找两个平面的交线,考查了作几何体的截面,利用公理3找两个平面的公共点是解题关键,属于中档题.12．如图所示，E 是正方形ABCD 所在平面外一点，E 在面ABCD 上的投影为F ，//FG BC ，4AB AE ==，60EAB EAD ∠=∠=︒，有以下四个命题：（1）CD ⊥面GEF ；（2）F 为AC 中点，且45EAC ∠=︒；（3）以AC ，AE 作为邻边的平行四边形面积是32； （4）E ABCD -62 其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】(1)先证,CD EF CD GF ,再根据直线与平面垂直的判定定理可证结论正确;(2)通过证明Rt EFA Rt EFB ∆≅∆,可得GF 垂直平分AB ,同理可得点F 在线段AD 的垂直平分线上,从而可得F 为正方形ABCD 的中心,在Rt AFE ∆中可求得45EAC ∠=︒,可知(2)正确;(3)利用平行四边形的面积公式求得面积为16,所以(3)错误;(4)利用E ABCD O ABCD O ABE O BCE O DCE O ADE V V V V V V ------=++++可求得内切球的半径为62-,所以(4)错误.【详解】解：(1)如图，连接EG ，∵E 在平面ABCD 上的投影为F ，∴EF ⊥面ABCD ， 又∵CD ⊂面ABCD ，∴EF CD ⊥， ∵ABCD 为正方形，∴BC CD ⊥， ∵//FG BC ，∴CD FG ⊥.又∵EF CD ⊥，EF FG F ⋂=，∴CD ⊥面GEF ， 所以（1）正确; (2)连接BE 、BF ,∵AB AE =，60EAB ∠=︒，∴ABE ∆为正三角形，∴AE BE =,∵EF ⊥面ABCD ，AF ⊂面ABCD ，BF ⊂面ABCD ，∴EF AF ⊥，EF BF ⊥，即90EFA EFB ∠=∠=︒，又∵EF EF =，∴Rt EFA Rt EFB ∆≅∆，∴AF BF =，∴点F 在线段AB 的垂直平分线上，∵AB BC =，//GF BC ，∴GF AB ⊥，∴GF 垂直平分AB .同理可证点F 在线段AD 的垂直平分线上，∴F 为正方形ABCD 的中心，∵4AB =，∴11422222AF AC ==⨯=， 又∵EF AF ⊥，4AE =，∴Rt AFE ∆中，2cos AF EAC AE ∠== ∴45EAC ∠=︒，所以(2)正确.;(3)由(2)知sin 4sin 4522EF AE EAC ∠=⨯︒=⋅=以AC 、AE 作为邻边的平行四边形的面积为422216AC EF ⋅==， 所以，(3)错误.(4)∵ABCD 为正方形，E 在底面ABCD 的投影为正方形ABCD 的中心， ∴E ABCD -为正四棱锥,设正四棱锥E ABCD -内切球球心为O ，半径为r ，如图所示:则：E ABCD O ABCD O ABE O BCE O DCE O ADE V V V V V V ------=++++4O ABCD O ABE V V --=+， 又∵211322422333E ABCD ABCD V S EF -=⋅⋅=⨯⨯=. 11633O ABCD ABCD V S r r -=⋅⋅=， 211343433O ABE ABE V s r r -=⋅⋅=⋅=， ∴164332243r += ∴)222316231r ===+所以(4)正确.故选:C【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定定理,考查了平行四边形的面积公式,考查了等体积法求内切球的半径,属于中档题.二、填空题13．已知两点()1,2A 和点()1,4B -到直线40mx y m +--=的距离相等，则m =______.【答案】±1【解析】根据点到直线的距离公式列等式,解方程可得答案.【详解】利用点到直线的距离公式可得:=,所以2||2m =,解得1m =±.故答案为: ±1.【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,属于基础题.14．已知()3025x y x +-=-≤≤______.【答案】【解析】由已知得3(25)y x x ,,利用二次函数的性质可求得答案.【详解】因为()3025x y x +-=-≤≤,所以3(25)yx x ,22(2)(31)x x 221220x x22(3)2x ,所以3x =时,2x =-时的取值范围是.故答案为: .【点睛】本题考查了求二次函数的值域,利用已知条件消去y 得到关于x 的二次函数,利用二次函数性质解题是关键,属于中档题.15．已知正三棱锥P ABC -，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA 、PB 、PC 两两垂直，则球心到截面ABC 的距离为______.【答案】1【解析】将正三棱锥P ABC -补形成以PA 、PB 、PC 为长宽高的正方体,利用正三棱锥P ABC -与其所在正方体共外接球,以及等体积法可求得答案.【详解】∵正三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC ==.∴如图所示，将正三棱锥P ABC -补形成以PA 、PB 、PC 为长宽高的正方体,∴正三棱锥P ABC -的外接球即为其所在正方体的外接球，∴外接球的球心O 为正方体的中心，设PA PC PC x ===，则外接球半径为3x ，由题意知332x =， ∴23x =.设点P 到面ABC 的距离为h ，∴1133C PAB PAB P ABC ABC V S PC V S h --=⋅==⋅， ∴()()22123232232324PAB ABC S PC h S ⨯⨯⋅===⨯， ∴球心O 到平面ABC 的距离为321OP h ==-=.故答案为:1【点睛】本题考查了补形法,考查了正方体的外接球,考查了等体积法,补形是解题关键,求点到面的距离,属于中档题.16．如图，在正四棱锥S ABCD -中，底边长4，高43，E 是BC 的中点，点P 在侧面SCD ∆内的一条线段上（包括边界）运动，并且总是保持PE AC ⊥.则这条线段的长度为______.【答案】14【解析】连接BD 交AC 于点O ，连接SO ，过E 作//EF BD 交CD 于点F ，连接PF 并延长交SC 于点G ，连接EG ,根据已知条件证明面//PEF 面SBD ,可得//PF SD ,再证明GF 为中位线,求出SD 的长后即可得到答案.【详解】解：连接BD 交AC 于点O ，连接SO ，过E 作//EF BD 交CD 于点F ，连接PF 并延长交SC 于点G ，连接EG . 如图所示:∵S ABCD -为正四棱锥,∴AC BD ⊥，O 为AC 、BD 中点，SO ⊥面ABCD ,又∵,AC BD ⊂面ABCD ,∴SO AC ⊥，SO BD ⊥,又∵AC BD ⊥，SO BD O ⋂=,∴AC ⊥面SBD ,∵AC BD ⊥，//EF BD ,∴AC EF ⊥,又∵AC PE ⊥，且PE EF E ⋂=,∴AC ⊥面PEF ,又∵AC ⊥面SBD ,∴面//PEF 面SBD ,又∵面PEF 面SDC PF =，面SBD 面SDC SD =,∴//PF SD ,∴P 点在线段GF 上运动,因为正方形ABCD 的边长为4,∴11422222OD BD ==⨯=,∵SO BD ⊥，SO =∴SD ==∵//EF BD ，E 为BC 中点,∴F 为CD 中点,同理，G 为SC 中点,∴12GF SD ==故答案为【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定定理和性质定理,考查了平面与平面平行的判定和性质定理,属于中档题.三、解答题17．已知在ABC ∆中，()1,2A -，()4,4B ，点C 在抛物线2y x 上. （1）求ABC ∆的边AB 所在的直线方程；（2）求ABC ∆的面积最小值，并求出此时点C 的坐标；（3）若(),P x y 为线段AB 上的任意一点，求y x的取值范围. 【答案】（1）240x y --=（2）ABC ∆的面积最小值为3，此时C 点坐标为()1,1.（3）[]2,1-【解析】(1)直接由两点式可得直线方程;(2) 设点C 坐标为()2,t t ,利用点到直线的距离求出点C 到AB 的距离,再根据二次函数知识求出这个距离的最大值,以及取得最大值的条件,再根据面积公式可求得面积的最大值,根据取得最大值的条件可求得点C 的坐标;(3)根据 y x的几何意义,转化为OA ,OB 的斜率,结合图象可得答案. 【详解】解：（1）∵()1,2A -，()4,4B ，∴直线AB 的方程为()()214241y x ---=---，即240x y --=. （2）设点C 坐标为()2,t t，如图所示:则点C 到直线AB 距离()()222224535135521t t d t --==-+≥+-， 又∵()222425AB =+-=， ∴132ABC S AB d ∆=⋅≥， ∴ABC ∆的面积最小值为3.当且仅当1t =时等号成立，此时C 点坐标为()1,1.（3）∵(),P x y 为线段AB 上任意一点，∴y x的几何意义为坐标原点()0,0O 与线段AB 上的点所确定直线的斜率， 即y x 的几何意义为当直线OP 与线段AB 有交点时，直线OP 的斜率, 如图所示:20210OA k --==--，40140OB k -==-， ∴[]2,1y x∈-. 【点睛】本题考查了直线方程的两点式,考查了点到直线的距离公式,考查了斜率公式,数形结合思想,考查了二次函数求最值,考查了抛物线方程,属于中档题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，E 为棱PC 中点，底面ABCD 是边长为2的正方形，PAD ∆为正三角形，平面ABE 与棱PD 交于点F ，平面PCD 与平面PAB 交于直线l ，且平面PAD ⊥平面ABCD .（1）求证：//l EF ；（2）求四棱锥P ABEF -的表面积.【答案】（1）证明见解析（2）57232++ 【解析】(1)根据直线与平面平行的判定定理得//AB 面PCD ,根据直线与平面平行的性质定理得//AB EF ,同理//AB l ,再根据平行公理4可证//l EF ,(2)利用三角形的面积公式和直角梯形的面积公式计算五个面的面积再相加即可得到答案.【详解】解：（1）如图所示:∵ABCD 为正方形，∴//AB CD ，∵AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ，∴//AB 面PCD .∵E 为PC 中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ，∴面ABEF面PDC EF =， ∴//AB EF .同理//AB l ，∴//l EF .（2）由（1）知//AB EF ，又∵//AB CD ，∴//EF CD ，又∵E 为PC 中点，∴F 为PD 中点，且112EF CD ==， 又∵PAD ∆正三角形，且边长为2，∴AF PD ⊥，3AF =1PF =，∴122PAF S PF AF ∆=⨯⨯=. ∵ABCD 为正方形，∴AB AD ⊥，又∵面PAD ⊥面ABCD ，面PAD面ABCD AD =， ∴AB ⊥面PAD ，又∵AF ⊂面PAD ，∴AB AF ⊥.又∵//AB EF ，∴ABEF 为直角梯形，∴21222ABEF AB EF S AF ++=⋅==. ∵AB ⊥面PAD ，PA ⊂面PAD ，∴AB PA ⊥. ∴1122222PAB S AB PA =⋅=⨯⨯=. 同理2PCD S =， ∴1142PEF PCD S S ==，∵AB PA ⊥，∴PB ===同理PC PB ==又∵2BC =，∴12PBC S BC =⋅=又∵E 为PC 中点，∴122PBE PBC S S ==. ∴四棱锥P ABEF -的表面积PAF PAB PBE PEF ABEF S S S S S S =++++表52=+. 【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理,性质定理,平行公理4,考查了平面与平面垂直的性质定理,考查了三角形和梯形的面积公式,本题属于中档题.19．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，E ，F 分别在线段BC ，AD 上，EF∥AB，将矩形ABEF 沿EF 折起，记折起后的矩形为MNEF ，且平面MNEF⊥平面ECDF.(1)在线段BC 是否存在一点E ，使得ND⊥FC ，若存在，求出EC 的长并证明； 若不存在，请说明理由．(2)求四面体N EFD 体积的最大值．【答案】（1）见解析； （2）2.【解析】（1）EC ＝3时符合；连接ED ，交FC 于点O ，先证明FC⊥平面NED ，再证明ND⊥FC.(2) 设NE ＝x ，则FD ＝EC ＝4－x ，其中0<x<4，再求出()11432NFED EFD V S NE x x ∆=⋅=-，再利用基本不等式求四面体N EFD 体积的最大值.【详解】（1）证明：EC ＝3时符合；连接ED ，交FC 于点O ，如图所示．∵平面MNEF⊥平面ECDF ，且NE⊥EF，平面MNEF∩平面ECDF ＝EF ，NE ⊂平面MNEF ，∴NE⊥平面ECDF.∵FC ⊂平面ECDF ，∴FC⊥NE.∵EC＝CD ，∴四边形ECDF 为正方形，∴FC⊥ED.又∵ED∩NE＝E ，ED ，NE ⊂平面NED ，∴FC⊥平面NED.∵ND ⊂平面NED ，∴ND⊥FC.(2)设NE ＝x ，则FD ＝EC ＝4－x ，其中0<x<4，由(1)得NE⊥平面FEC ，∴四面体NEFD 的体积为()11432NFED EFD V S NE x x ∆=⋅=-， 所以()241222NFED x x V ⎡⎤+-≤=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当x ＝4－x ，即x ＝2时，四面体NEFD 的体积最大，最大值为2【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查体积的最值的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.20．如图，在六面体ABCDEFG 中，平面//ABC 平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，AB AC ⊥，ED DG ⊥，//EF DG .且4AB AD DE DG ====，2AC EF ==.（1）求证：//BF 平面ACGD ；（2）求二面角D CG F --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）6 【解析】(1) 取DG 中点H ，连接FH 、AH ,通过证明EFHD 为平行四边形,可证//ED FH ，且ED FH =,通过证明ABFH 为平行四边形,可证//BF AH ,根据直线与平面平行的判定定理可证//BF 面ACGD ;(2) 以D 为坐标原点，以DE 所在直线为x 轴，以DG 所在直线为y 轴，以DA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系后,利用平面的法向量可求得结果.【详解】（1）取DG 中点H ，连接FH 、AH ,如图所示:∵1EF =，H 为DG 中点，2DG =,∴EF DH =,又∵//EF DG ,∴EFHD 为平行四边形,∴//ED FH ，且ED FH =,∵面//ABC 面DEFG ，且面ABC面ABED AB =，面DEFG 面ABED ED =,∴//AB ED ,又∵AB ED =，//ED FH 且ED FH =,∴//AB FH ，且AB FH =,∴ABFH 为平行四边形,∴//BF AH ,又∵BF ⊄面ACGD ，AH ⊂面ACGD ,∴//BF 面ACGD .（2）以D 为坐标原点，以DE 所在直线为x 轴，以DG 所在直线为y 轴，以DA 所在直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,1,2C ，()0,2,0G ，()2,1,0F .设平面CGF 的法向量为()11,,1m x y =，∵()2,1,0GF =-，()0,1,2GC =-，∴1112020GF m x y GC m y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， ∴1112x y =⎧⎨=⎩, ∴()1,2,1m =,同理，面DCG 的法向量()1,0,0n =， ∴cos ,m nm n m n ⋅=⋅22261211==++⨯二面角D CG F --6【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理,考查了二面角的向量求法,关键是正确建系,求出平面的法向量,本题属于中档题.21．在平面直角坐标系中，已知直线l 的方程为()32360x k y k +--+=，k ∈R .（1）若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和为-1，求坐标原点O 到直线l 的距离；（2）若直线l 与直线1l ：3250x y --=和2l ：10x y +-=分别相交于A 、B 两点，点()0,3P 到A 、B 两点的距离相等，求k 的值.【答案】（1）125（2）11k=【解析】(1)根据直线l在x轴、y轴上的截距之和为-1,列等式可得2k=-,从而可得直线l的方程,再用点到直线的距离公式可得答案;(2)先判断得点P为线段AB的中点,设出(),A a b,根据中点公式求出(),6B a b--,将其代入直线1l可解得A的坐标,再将A的坐标代入l的方程可解得11k=.【详解】（1）解法一：令0x=得横截距3y=；令0y=，得横截距2x k=-；则有231k-+=-，解得2k=-，此时，直线l的方程为143x y+=-，即34120x y-+=.坐标原点O到直线l的距离()221212534d==+-.（2）∵点()0,3P在直线l上，且点P到A、B距离相等，∴点P为线段AB的中点，如图所示:设直线l与1l：3250x y--=的交点为(),A a b，则直线l与2l：10x y+-=的交点(),6B a b--.∴()3250610a ba b--=⎧⎨-+--=⎩，解得32ab=⎧⎨=⎩.∴()3,2A.又∵点A 在直线l 上，∴()3322360k k ⨯+-⨯-+=，解得11k =.【点睛】本题考查了截距的概念,考查了点与直线的位置关系,考查了直线与直线的交点,考查了点到直线的距离公式,属于基础题.22．如图,四棱锥S ABCD -的底面是正方形, SD ⊥平面ABCD ,2,2SD a AD a ==,点是SD 上的点,且(02)DE a λλ=<≤ .（1）求证:对任意的(]0,2λ∈ ,都有AC BE ⊥.（2）设二面角C-AE-D 的大小为θ ,直线BE 与平面ACE 所成的角为ϕ ,若cos 3sin θφ=,求λ的值.【答案】（1）见解析； （2）2λ=【解析】（1）因为SD⊥平面ABCD ，BD 是BE 在平面ABCD 上的射影，由三垂线定理只要证AC⊥BD 即可．（2）先找出θ计算出cosθ,再找到φ，求出点O 到BE 的距离，再求出sin φ,解方程cos 3sin θφ=得到λ的值.【详解】（1）证明：连接BE 、BD ，由底面ABCD 是正方形可得AC⊥BD．∵SD⊥平面ABCD ，∴BD 是BE 在平面ABCD 上的射影，∴AC⊥BE（2）解：由SD⊥平面ABCD 知，∠DBE=φ，∵SD⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴SD⊥CD．又底面ABCD 是正方形，∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD ．连接AE 、CE ，过点D 在平面SAD 内作DF⊥AE 于F ，连接CF ，则CF⊥AE，故∠CFD 是二面角C ﹣AE ﹣D 的平面角，即∠CFD=θ．在Rt△ADE 中，∵AD=2a ，DE=λa∴AE=a 22λ+ 从而DF=AD DE AE ⋅=222a λλ+ 在Rt△CDF 中，tanθ=CD DF =22λλ+,所以2cos 22θλ=+.过点B 作EO 的垂线BG ，因为AC⊥平面BDE,所以AC⊥BG,所以∠BEO 就是直线BE 与平面ACE 所成的角ϕ，设点O 到BE 的距离为h,则由等面积得22224,,4a a a a h h λλλ⋅=+⋅∴=+所以22224sin 141a λφλλλ+==++⋅+ 因为cos 3sin θφ=,所以2223,22241λλλλλ=∴=++⋅+.【点睛】(1)本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查二面角和线面角的计算，考查三角函数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析转化推理计算能力.（2）本题的解题关键是求出cos sin θφ和.。
安徽省第二中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理
(1)若 为 中点,求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
22、（本小题满分12分）已知矩形 , ,沿对角线 将 折起至 ,使得二面角 为 ,连结 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值．
蚌埠二中2020-2021学年度高二第一学期期中考试数学（理）试题答案
一、选择题
1 B 2 D 3 A 4 D 5 A 6 C 7 A 8 B 9 B 10 B 11 A 12 C
2、填空题
13 14 15 16
3、解答题
17(1)略；
(2)略.
18解(1) ；
(2)M是AC的中点, ．
19（1）略；
(2) .
20(1)
(2)
21(1)略；
（2） .
22 在矩形ABCD中,取AB中点O,连结DO,与AC交于点E．
则 与 中, , ∽ ,
,
,即 ． , ．
折起后,DE即为PE,则仍有 , ,
则 即为二面角 的平面角,即 ,
连结PO．
所以在 中, ,
即 ,即 ．
由前所证, , , , 平面PEO, ．
而 ,AC, 平面ABC,所以 平面ABC．
又 平面PAB, 平面 平面ABC．
(2) .
的表面积为（ ）
11、正方体 的棱长为2， 的中点， 点是正方形 内的动点，若 ，则 点的轨迹长度为（ ）
12、如图,正方体 的棱长为 , 分别是棱 的中点,过点E、F的平面分别与棱 交于点 ,设 ,给出以下四个命题：
(1)平面 与平面 所成角的最大值为 ；(2)四边形 的面积的最小值为 ；(3)四棱锥 的体积为 ；(4)点 到平面 的距离的最大值为 ,其中正确的个数为( )
安徽省宿州市中学2020-2021学年高二上学期期中联考数学(理+文)试题含答案
宿州市十三所重点中学2020-2021学年度第一学期期中质量检测高二数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．考生务必将答题内容填写在答题卡上，写在试题卷上无效。
一、选择题1．在空间直角坐标系中，点()1,3,1A -和点()2,1,2B -之间的距离为（ ）A ．2B CD 2．下列命题正确的是（ ） A ．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B ．斜棱柱的侧面中可能有矩形C ．用一个平面去截圆锥，得到的一定是一个圆锥和一个圆台D ．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线3．如图，网格纸的各小格都是边长为1的正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．72B ．64C ．48D ．244．直线()()()21230m x m y m m R ++---=∈过定点（ ） A ．()2,1B ．()1,2-C ．()1,1-D ．()1,15．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，14A A =，1AB =．一只蚂蚁从A 点出发，沿每个侧面爬到1A ，路线为1A M N A →→→，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）A ．4B ．5C 、6D ．16．圆1O ：()()22122x y -+-=与圆2O ：224230x y x y +++-=的位置关系是（ ） A ．外切B ．内切C ．相离D ．相交7．已知两条不同的直线m ，n ，三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（ ） A ．若//m n ，nα，则//m α B ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若αβ⊥，mα，则m β⊥8．已知点E ，F 分别是三棱锥P ABC -的棱PA ，BC 的中点，6PC AB ==，若异面直线PC 与AB 所成角为60°，则线段EF 长为（ ）A ．3B ．6C ．6或D ．3或9．已知圆C ：()()22232x y ++-=，从点()1,3P 发出的光线，经直线1y x =+反射后，光线恰好平分圆C 的周长，则入射光线所在直线的斜率为（ ） A ．2-B ．12-C ．4-D ．14-10．若圆锥的母线长为4，底面半径为SA ，SB 为圆锥的任意两条母线，则SAB △面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．8D ．1611．若P 是直线l ：3490x y +-=上一动点，过P 作圆C ：2240x y x ++=的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A B ．C D ．12．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1CC 的中点．则下列说法正确的是（ ）A ．异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为3B ．三棱锥1B ABM -的体积是三棱锥C ABM -体积的3倍C ．直线BM 与平面11BDD B D ．在棱AB 上一定存在点N ，使得1//C N 平面BDM 二、填空题13．如图，平行四边形O A B C ''''是四边形OABC 的直观图．若3O A ''=，2O C ''=，则原四边形OABC 的周长为______．14．若圆222440x y x y ++-+=关于直线0x y m -+=对称，则实数m 的值为______．15．关于x x k =+恰有两个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是______． 16．已知三棱锥A BCD -的四个顶点在球O 的球面上，AB AC AD ==，BCD △是边长为6的正三角形，E ，F 分别是AB ，BC 上的点，且2AE EB =，2CF FB =，DE EF ⊥，则球O 的表面积为______． 三、解答题17．已知直线l ：2360x y ++=．（1）求经过点()2,1P -且与直线l 平行的直线方程；（2）求与直线l 垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为3的直线方程． 18．如图，正四棱锥P ABCD -中，2PA AB ==，E 为PC 的中点．（1）求证：//PA 平面BDE ； （2）求点B 到平面CDE 的距离．19．已知圆C 过点()1,3A -和点()5,1B ，且圆心C 在直线0x y -=上． （1）求圆C 的方程；（2）若过点()3,2的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点且MN =l 的方程．20．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，且AB =，M 是CD上异于C ，D 两点的一个动点．（1）证明：MC ⊥平面ADM ；（2）当四棱锥M ABCD -的体积最大且最大值为9时，求该四棱锥M ABCD -的侧面积． 21．如图1所示，在ABC △中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点M ，N 分别在线段AB ，AC 上，且2AM MB =，//MN BC ．如图2所示，将AMN △沿MN 折起到PMN △的位置，使得二面角P MN B --的大小为60°，连接PB ，PC ． （1）求证：平面PBN ⊥平面BCNM ；（2）在棱PC 上是否存在点G ，使得//GN 平面PBM ？说明理由．22．已知圆C ：2224150x y x y +-+-=．（1）过点()3,0M -的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程：（2）过圆C 上一点()1,2P -作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B 两点，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补．求证：直线AB 的斜率为定值．宿州市十三所重点中学2020-021学年度第一学期期中质量检测高二数学（理科）试卷参考答案一、选择题二、填空题13．14 14．315．2,⎡⎣16．54π三、解答题17．解：（1）由题意，可设所求直线的方程为230x y λ++=．把点()2,1P -代入，得430λ-+=，即1λ=-．故所求直线的方程为2310x y +-=．（2）由题意，可设所求直线的方程为320x y m -+=． 令0y =，则3m x =-；令0x =，则2my =． 由題意知，13232m m ⋅-⋅=．解得6m =±． 故所直线的方程为3260x y --=或3260x y -+=． （其他解法，酌情赋分！）18．解：（1）连接AC 交BD 与点O ，再连接OE ，则点O 是AC 的中点． 因为E 为PC 的中点，所以//PA EO ． 又PA ⊄平面BDE ，EO 平面BDE ，所以//PA 平面BDE ．（2）由四棱锥P ABCD -是正四棱锥可知，PO ⊥平面ABCD ．在正方形ABCD 中，2AB =，则AO =在Rt POA △中，PO AO ⊥，2PA =，AO =所以PO ==又E 为PC 的中点，所以点E 到平面ABCD 的距离为12PO =所以111122323223E BCD BCD V S PO -⎛⎫=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭△．设点B 到平面CDE 的距离为h ，则11113326B CDE CDE V S h h h -=⋅=⨯⨯=△．又E BCD B CDE V V --=，所以h =故点B 到平面CDE（其他解法，酌情赋分！）19．解：（1）设所求圆的方程为()()222x a y b r -+-=，则由题意可得，0a b r-=⎧==解得1a b ==，4r =．故所求圆的方程为()()221116x y -+-=．（2）由（1）知，圆C 的圆心坐标为()1,1，半径4r =． ①当直线l 斜率不存在时，此时直线l 的方程为3x =，满足题意．②当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为()23y k x -=-，即320kx y k --+=．由MN ===，则2d ==．解得34k =-．此时，直线l 的方程为34170x y +-=． 故所求直线l 的方程为3x =或34170x y +-=． （其他解法，酌情赋分!）20．（1）证明：由题设知，平面CDM ⊥平面ABCD ，平面CDM ⋂平面ABCD CD =，AD CD ⊥，AD平面ABCD ，所以AD ⊥平面CDM ．又MC平面CDM ，故AD MC ⊥．因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且CD 为半圆弧CD 的直径， 所以DM MC ⊥． 又AD DM D ⋂=，AD 平面ADM ，MD平面ADM ，所以MC ⊥平面ADM ．（2）由题意可知，当M 是半圆弧CD 的中点时，四棱锥M ABCD -的体积最大． 设BC a =，则AB CD==，则21932M ABCD V a -=⋅=，解得3a =．此时，AB CD ==3AD BC ==．易知，此时MCD △为等腰直角三角形，可求得3MD MC ==． 由（1）知，AD ⊥平面CDM ． 所以AD DM ⊥，BC CM ⊥． 易证，MCD MBC MAD ≌≌△△△， 所以193322MCD MBC MAD S S S ===⨯⨯=△△△．又因为MA MB AB ===(2MABS ==△．故该四棱锥M ABCD -的侧面积为272+． （其他解法，酌情赋分!）21．解：（1）由题意可知，在ABC △中，AB BC =，AB BC ⊥． 因为//MN BC ，所以MN AB ⊥．翻折后垂直关系没变，仍有MN PM ⊥，MN BM ⊥， 又PM BM M ⋂=，所以MN ⊥平面PBM ． 又PB平面PBM ，所以PB MN ⊥．又因为MN PM ⊥，MN BM ⊥，所以PMB ∠是二面角P MN B --的平面角． 所以60PMB ∠=︒．令2PM a =，则BM a =，在PMB △中，由余弦定理得PB =．所以222PB BM PM +=，即PB BM ⊥．又因为BM MN M ⋂=，所以PB ⊥平面BCNM ． 又因为PB平面PBN ，所以平面PBN ⊥平面BCNM ．（2）在PC 上是存在一点G ，当13CG CP =时，使得//GN 平面PBM ． 证明如下：过点N 作//NH MB ，交BC 于点H ， 则四边形BMNH 是平行四边形．令3AB BC a ==，则2MN BH a ==，CH a =．又由NH ⊂/平面PBM ，MB平面PBM 知，//NH 平面PBM ．再过点H 作//GH PB ，交PC 于点G ，则13CH CG CB CP ==． 由GH ⊂/平面GHN ，PB 平面PBM 知，//GH 平面PBM ． 又NH平面GHN ，GH平面GHN ，GH HN H ⋂=，所以平面//GHN 平面PBM ． 又GN平面GHN ，所以//GN 平面PBM ．（其他解法，酌情赋分!）22．解：（1）由题意可知，点()3,0M -在圆C 上，则点()3,0M -是圆C 的切点． 又圆C 的方程可化为，()()221220x y -++=．所以圆C 的圆心为()1,2-，半径r =． 所以021312MC k +==---． 由1MC l k k ⋅=-可求得，2l k =．此时，所求直线l 的方程为()023y x -=+，即26y x =+． 故所求直线l 的方程为260x y -+=．（2）由题意知，直线PA 和PB 的斜率存在，且互为相反数． 可设直线PA 的方程为()21y k x -=+，由()222124150y k x x y x y ⎧-=+⎨+-+-=⎩消元，得()()22221241830k x k k x k k +++-++-=．由点()1,2P -在圆C 上可知，点()1,2P -的横坐标1x =-是上述方程的一个解．所以()228311A k k x k +-⋅-=+，即22831A k k x k --+=+． 可设直线PB 的方程为()21y k x -=-+，同理可得，22831B k k x k -++=+．所以()()()11212B A B A B A AB B A B A B A k x k x k k x x y y k x x x x x x -+-+--+-====----．故直线AB 的斜率为定值12-． （其他解法，酌情赋分！）宿州市十三所重点中学2020-2021学年度第一学期期中质量检测高二数学试卷（文科）注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2020-2021学年安徽省卓越县中联盟高二上学期期中联考数学(理)试题 pdf版
直角，则 H 与 B 重合，若 ABC 为钝角，则 H 在线段 CB 的延长线上， 若存在某个位置，使得直线 AD 与 BC 垂直，∵ AH ⊥ BC ，∴ BC ⊥平面 AHD ，由
1
线面垂直的性质得 BC ⊥ HD ， 若 ABC 为直角，则 H 与 B 重合，则 CB ⊥ BD ，而已知 BC = CD ，∴ CB ⊥ BD 不 可能成立，即 ABC 不可能为直角， 若 ABC 为钝角，则 H 在线段 CB 的延长线上，则在原平面菱形 ABCD 中，DCB 为 锐角，由于立体图形中 DB DO + OB ，因此立体图形中 DCB 比原平面图形更小， ∴立体图形中 DCB 为锐角，而 BC = CD ，∴空间图形中VBCD 是锐角三角形，由 BC ⊥ HD 知 H 在线段 BC 上，与 H 在线段 CB 的延长线上矛盾，因此 ABC 不可能 为钝角， 综上可知， ABC 只能为锐角，即④正确．
的
值.
22．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(−1, −1), B(2, −1),C(m, n) 为三个不同的定 点.以原点O为圆心的圆与线段 AB, AC, BC 都相切. （Ⅰ）求圆 O 的方程及 m, n 的值； （Ⅱ）若直线l : y = −x + t (t ∈ R) 与圆O相交于 M , N 两点，且OM ⋅ON = − 1 ，求t 的
14．已知三棱锥 P− ABC 中，侧棱 PA ⊥底面 ABC ， AC ⊥ BC ， PA = AB = 2BC = 2 ， 则三棱锥 P− ABC 的外接球的表面积为________.
15．设等差数列{an}的前n 项和为 Sn ，且 a1 > 0 ， S14 = S9 ，则满足 Sn > 0 的最大自然
安徽省2020-2021学年高二12月联考试题 数学(理) Word版含答案
名校联盟2020～2021学年高二12月联考数学试卷(理科)考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
4.本卷命题范围：人教版必修5，选修2－1。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题p ：∃x 0>0，12x 02＋32x 0－44<0的否定是A.∃x 0>0，12x 02＋32x 0－44≥0B.∀x>0，12x 2＋32x －44≥0C.∀x ≤0，12x 2＋32x －44≥0D.∃x 0≤0，12x 02＋32x 0－44≥02.在△ABC 中，AC ＝6，cosB ＝45，C ＝4π，则AB 的长为D.53.“x ≤3”是“x 2－7x ＋12≥0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若a 3＋a 9＝10，则S 11＝A.110B.65C.55D.455.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，若线段OF 的垂直平分线与抛物线C 的一个交点为M ，且|MF|＝3，则p ＝A.2B.4C.5D.86.在底面是正方形的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝2，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝3π，则|1AC |＝C.37.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2S 4＝a 4S 2，则20202a a ＝A.2019B.－1C.1D.－20198.双曲线221916x y -=的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是7，则P 到F 2的距离是A.13B.1C.1或13D.2或149.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若D 是棱AA 1的中点，AA 1＝AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝3π，则直线CD 与直线BC 1所成角的余弦值为A.14B.7C.7D.710.已知a>0，b>0，c ∈R 则下列结论正确的是①若a>b ，则ac 2>bc 2；②若a>b>c>0，则a a cb b c+>+； ③若a>b ，c>0，则c a >c b ；④若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥12。