因数与积的关系

合集下载

积与因数的关系

FengJiaTunXiaoXue 五年级上册数学讲学案系列课题：积与因数的关系课型：新授主备人：郭军红学习目标：知道在小数乘法中，一个因数小于1时，积小于另一个因数；一个因数大于1时，积大于另一个因数（另一个因数不等于0）；一个因数等于1时，积等于另一个因数。

学习重点：理解小数乘法中积与因数的关系。

学习难点：理解小数乘法中积与因数的关系。

教学过程备注一、知识铺垫：1、列竖式计算10.86×0.85= 24.8×17.65=2、根据75×28=2100在括号里填上合适的数75×2.8=（）0.75×28=（）0.75×7.8=（）0.075×280=（）（）×0.78=21 7.5×（）=2.1二、学习新知：在圆圈里填上“>”、“<”或“=”。

2.65×0.99 ○ 2.65 5.74×1.5 ○ 5.740.91×1.25 ○ 1.25 3.08×1.01○ 3.081 ×0.87 ○ 0.87 1×0.87 ○ 1导学：在小数乘法中，一个因数小于1时，积（）另一个因数；一个因数大于1时，积（）另一个因数（另一个因数不等于0）；一个因数等于1时，积（）另一个乘数。

三、巩固练习：1、 5.56×0.99的积一定比 5.56（）；6.49×5.6的积一定比6.49( )2、 8.96×0.98的积一定比0.98（），比8.96（）。

1—18 敏而好学，不耻下问——孔子FengJiaTunXiaoXue 五年级下册数学讲学案系列3、A×1.01＞ A，则A（）A、大于1B、小于1C、等于1D、以上都有可能4、0.07×a＜ 0.07，a应该（）A、大于1B、小于1C、大于05、在圆圈里填上“>”、“<”或“=”。

1.15 积与因数的大小关系.doc

课题积与因数的大小关系第一单元年级六上学科数学主备人使用日期学习目标知识与技能：在练习中进一步掌握分数乘法的计算方法。

通过观察思考，找到积与因数的关系的规律，从而能应用规律对结果进行判断。

过程与方法：计算、观察、思考、发现、总结、应用情感态度与价值观：在学生经历观察、思考、发现规律、归纳总结的过程中，培养学生的学习能力。

教学重点找到积与因数的关系的规律，并运用规律解决问题。

教学难点找到积与因数的关系的规律，并运用规律解决问题。

教具准备教学课件教学时数1学具准备导学案教学案个性优化教师行为学生行为自学引导 5分钟看教材18页的第一题。

学生独立计算，再组织交流，交流时让学生说说计算方法自主探究 10 分钟师引导学生观察两组算式，说说发现了什么？预设：发现A组算式的第一个因数相同，都是87。

B组算式的第二个因数相同，都是35。

还发现竖着看，第1竖条的另一个因数比1小，第2竖条的另一个因数等于1，第3竖条的另一个因数比1大。

学生独立思考，尝试计算。

组织交流。

精彩展示10分钟请学生上台展示你的习题思路倾听，记录精讲点拨7分钟对每一位同学鼓励性的点评倾听，记录精练达标 8分钟（用简便方法计算下列各题）（712+78）×36119×3.3+119×3.3137×7136229×(15×2931)311×89+311×29-311×19学生独立思考，尝试计算。

全班集体纠正结果。

自我反思。

因数和与因数积

因数和与因数积在数学中，因数是指能够整除某个数的数，而因数和与因数积则是与因数相关的数学概念。

因数和是指一个数所有因数的和，而因数积则是指一个数所有因数的乘积。

这两个概念在数学中有着广泛的应用。

一、因数和1.1 定义一个数的因数和是指该数所有因数的和。

例如，数12的因数和为1+2+3+4+6+12=28。

1.2 计算方法计算一个数的因数和可以通过以下方法进行：（1）列出该数的所有因数；（2）将所有因数相加，得到因数和。

例如，计算数12的因数和，可以列出其因数1、2、3、4、6、12，然后将它们相加，得到28。

1.3 性质（1）一个数的因数和等于所有小于等于该数的正整数的因数和之和。

（2）一个数的因数和等于该数的约数个数乘以该数的因数平均值。

（3）一个数的因数和等于其所有因数的积除以该数本身再加1。

1.4 应用因数和在数论中有着广泛的应用，例如：（1）判断一个数是否为完全数。

完全数是指一个数等于它的因数和减去它本身，例如，6是一个完全数，因为6的因数和为1+2+3+6=12，减去6得到6。

（2）计算一个数的约数个数。

一个数的约数个数等于其因数和除以该数本身再加1，例如，数12的因数和为28，约数个数为6。

（3）计算一个数的因数平均值。

一个数的因数平均值等于其因数和除以其约数个数，例如，数12的因数平均值为28/6=4.67。

二、因数积2.1 定义一个数的因数积是指该数所有因数的乘积。

例如，数12的因数积为1×2×3×4×6×12=1728。

2.2 计算方法计算一个数的因数积可以通过以下方法进行：（1）列出该数的所有因数；（2）将所有因数相乘，得到因数积。

例如，计算数12的因数积，可以列出其因数1、2、3、4、6、12，然后将它们相乘，得到1728。

2.3 性质（1）一个数的因数积等于该数的因数个数的一半次方乘以该数的平方根。

（2）一个数的因数积等于其所有因数的积的平方根。

因数与积、商与被除数除数的变化规律

例1、因数与积的变化规律复习：小数乘法怎样计算3.2 5 3 2 5×0.6×61 9 5 0找规律：3.5×1.2 =4.2 3.5×1.2 = 4.2 3.5×1.2 = 4.23.5×3.6 = 7× 3.6 = 0.7×3.6 =3.5 × 6 = 14 × 6 = 14 ×0.4 =3.5×0.4 = 0.7 ×0.4 = 14 ×0.3 =小结：因数×因数 = 积因数×（因数×m）= 积因数×（因数÷m）= 积（因数×m）×（因数×n）= 积（因数÷m）×（因数÷n）= 积（因数×m）×（因数÷n）= 积思考：什么时候积不变？例2、被除数、除数与商的变化规律思考：为什么被除数和除数同时乘以（或除以）一个不为0的数，商才不变？找规律：4.2÷3.5 =1.2 4.2÷3.5 =1.2 4.2÷3.5 =1.212.6÷3.5 = 4.2 ÷ 7 = 8.4÷ 7 =21 ÷3.5 = 4.2÷0.7 = 0.6÷0.5 =1.4 ÷3.5 = 4.2÷0.5 = 8.4÷0.7 =1.4÷10.5 =小结：被除数÷除数 = 商（被除数×m）÷除数 = 商（被除数÷m）÷除数 = 商被除数÷（除数×m）= 商被除数÷（除数÷m）= 商（被除数×m）÷（除数×n）= 商（被除数÷m）÷（除数÷n）= 商（被除数×m）÷（除数÷n）= 商（被除数÷m）÷（除数×n）= 商例3：一个两位小数四舍五入到十分位是5.0，那么这个小数最大是多少？最小是多少？还可能是多少？分析：比5.0小的数需要五入，可能是比5.0大的数需要四舍，可能是例4: 2.5×6= 2.5×2.2= 2.5×1.1= 2.5×0.8= 2.5×0.6=小结:一个数（0除外）乘大于1的数，例5: 4.5÷5= 4.5÷1.5= 4.5÷1= 4.5÷0.9= 4.5÷0.5= 小结:一个数（0除外）除以大于1的数，例6: 下面各题的商那些事小于1的？那些是大于1的？4.5÷1.5= 3÷2= 2.4÷2.4= 4÷5= 7.6÷8=小结：例7：一个小数，如果把小数点向右移动一位，所得的数比原来增加了63.9，这个小数是多少？（分析）原数：扩大后的数：扩大后的数是原数的10倍，比原数多9倍，原数的9倍是。

12积与因数的大小关系

课题积与因数的大小关系错误！未指定书签。

设计者史红超审核人课型练习年级六执教史红超老师学习目标1.在练习中进一步掌握分数乘法的计算方法。

通过观察思考，找到积与因数的关系的规律，从而能应用规律对结果进行判断。

2.在学生经历观察、思考、发现规律、归纳总结的过程中，培养学生的学习能力。

重难点1.找到积与因数的关系的规律，并运用规律解决问题。

2.找到积与因数的关系的规律，并运用规律解决问题。

教具准备课件课时一课时学习过程环节一、出示教材18页的第一题。

A、14587⨯187⨯3487⨯B、35107⨯351⨯3556⨯学生计算两组题目的结果，并汇报，师板书。

二、探索规律：积与因数大小的关系。

1、师引导学生观察两组算式，说说发现了什么？预设：发现A组算式的第一个因数相同，都是87。

B组算式的第二个因数相同，都是35。

还发现竖着看，第1竖条的另一个因数比1小，第2竖条的另一个因数等于1，第3竖条的另一个因数比1大。

2、引导学生探索规律。

提问：认真观察前面第一组和第二组的题目的结果，想一想：分数相乘的积一定小于每一个因数吗？你发现了什么？3、小组合作，讨论交流。

4、汇报并小结：当其中一个因数小于1时，积一定小于另一个因数；导案当其中一个因数大于1时，积一定大于另一个因数；当其中一个因数等于1时，积一定等于另一个因数；提问：为什么会是这样的规律呢？根据分数乘法的意义，根据具体题目进行说明。

三、应用规律。

1、下面各式中，（）的积小于第一个因数。

A 、4352⨯B 、2101⨯C 、4389⨯ 2、在（）里填上“〈 ”“ 〉”或“=”。

()439292⨯ ()614174⨯ ()32588532⨯⨯()91072910⨯ ()1273127⨯ ()78565678⨯⨯ 四、课堂小结。

说说这节课的收获。

五、作业布置。

（用简便方法计算下列各题）（712 +78 ）×36 119×3.3+119×3.3137×7136 229 ×(15×2931)311 ×89 +311 ×29 -311 ×19导学过程板书设计教学反思：1。

因数和积的关系

因数和积的关系
因数与积的关系:因数×因数=积。

小学数学定义：假如a*b=c（a、b、c都是整数)，那么我们称a和b就是c的因数。

需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立。

反过来说，我们称c为a、b的倍数。

在研究因数和倍数时，小学数学不考虑0。

乘法的计算法则：
数位对齐，从右边起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对齐。

1、十位数是1的两位数相乘方法：乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与被乘数的个位相乘，得数为后积，满十前一。

2、个位是1的两位数相乘方法：十位与十位相乘，得数为前积，十位与十位相加，得数接着写，满十进一，在最后添上1。

3、十位相同个位不同的两位数相乘方法：被乘数加上乘数个位，和与十位数整数相乘，积作为前积，个位数与个位数相乘作为后积加上。

1。

积的变化规律

一个因数不变，一个因数不变，另一个因数不变乘了10（或扩大10倍），积乘了（或扩大倍），积也乘了10 （或扩大10倍）。乘了或扩大倍
根据8× ＝根据 ×50＝400，直接写出积。，直接写出积。
（400×2） × ）（8×2） × ）
16×50＝800 × ＝
（400×4） × ）
12 笔算：笔算： 408× 408×24 = 780×30= × 250× 250×16= 47×3小时（80千米/ 小明回家乡，坐汽车行3小时（80千米/ 千米），又坐了12小时的汽车 110千米又坐了12小时的汽车（千米/ 时），又坐了12小时的汽车（110千米/ ）。他一共走了多少千米他一共走了多少千米？时）。他一共走了多少千米？ 2、晓晓骑自行车每分钟行285米，从家里晓晓骑自行车每分钟行285米 285 到到学校要用29分钟。 29分钟到到学校要用29分钟。晓晓家里学校有多少米？少米？ 3、一辆汽车从甲城开往乙城，去时以每小一辆汽车从甲城开往乙城， 66千米行驶了小时，返回时行驶了3 千米行驶了4 时66千米行驶了4小时，返回时行驶了3小这辆汽车返回时的速度是多少？时，这辆汽车返回时的速度是多少？
1、判断：判断：判断（1）两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘5，积应该乘4。（
×） √
）
（2）两数相乘，一个因数除以10，另一个因数不变，积也除以10。（
2、根据8×50=400，直接写出下面各题的积。、根据 × ，直接写出下面各题的积。 16×50=（ 800 ） × （ 32×50=（1600） × （ 3、找出规律再填空。、找出规律再填空。 16×17=272 × 16×34=（ 544 ） × （ 16×51= （ 816 ） × 16×68=（1088） × （ 16×85=（1360） × （ 8×25=（ 200 ） × （ 8×10=（ 80 ） × （

积和因数的关系

积和因数的关系
积和因数关系是指数的乘积和它们的值之间的联系。

在数学中，一个数的因数是它的整数因子，即能整除该数的正整数。

例如，6的因数包括1、2、3和6本身。

一个数的乘积是由其因数相乘得到的结果。

例如，6的乘积是1×2×3×6=36。

积和因数关系有以下几个方面：
1.对于一个正整数n，它的所有因数之和等于n的倍数之和，即
σ(n)=n∑d|nd。

2. 对于两个正整数a和b，它们的乘积等于它们的最大公约数和最小公倍数的积，即ab=gcd(a,b)lcm(a,b)。

3.对于一个正整数n，它有一个与之对应的重要函数叫做欧拉函数
φ(n)，表示小于等于n的正整数中与n互质的数的个数。

于是有
φ(n)=n∏p|n(1−1/p)，其中p是n的所有质因数。

4.对于一个正整数n，如果它的因数个数为d(n)，则有
d(n)=φ(n)(1^2+1)+1，即因数个数等于欧拉函数的值乘上(1^2+1)+1。

积与因数变化规律

观察下面两组题，说一说你发现了什么？（1）6×2= 12
（2）20×4=80 6×20= 120 10×4=40 6×200=1200 5×4=20 第（1）组题中，第2、3题同第一题比，第二个因数分别乘了10、（），积各有什么变化？第（2）组题中，第2、3题同第一题比，第二个因数分别除以了2、（），积各有什么变化？
想一想：一个因数不变，另一个因数扩大0 倍，它们的积有什么变化？

总结：一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）几。
判断题：（1）两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘4，积应该乘5。（2）两数相乘，一个因数不变，另一个因数除以10，积应该除以10。（3）长方形的面积=长×宽，如果长不变，宽变为原来的3倍，则面积也变为原来的3倍。 Nhomakorabea
从上面的例子，你发现了什么规律？

你能根据上面每组算式的特点接下去再写两道算式吗？试试看！
概括规律：一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几。一个因数不变，另一个因数除以几，积也除以几。

扩大与缩小把一个数“扩大”几倍就是把这个数乘几．把一个数“缩小”几倍就是把这个数除以几．

积的变化规律

算一算，你发现了什么
我发现了
第一个因数不变，第二个因数不断变大，积也变大。
6×2＝12 6×20＝120 6×200＝1200
观察：与第一个算式比较，第二个算式的因数是怎样变化的？积是怎样变化的？
一个因数不变，另一个因数乘了10（或扩大10倍），积也乘了10 （或扩大10倍）。
第三个算式呢？
根据8×50＝400，直接写出积。
（400×2）（8×2）
16×50＝800
（400×4）
（8×4）
32×50＝ 1600
两数相乘，当一个因数不变，另一个因数乘几时，积也要乘几。
算一算，你发现了什么
我发现了
80×4＝320 40×4＝160 20×4＝ 80
观察：与第一个算式比较，第二个算式的因数是怎样变化的？积是怎样变化的？一个因数不变，另一个因数除以2，积也除以2。一个因数不变，另一个因数不断变小，积也变小。
400平方米 24米
8米 8米 8米
400平方米 400平方米
一个长方形的果园，如果长不变，宽要增加到24米，扩大后的果园面积是多少？
1088 544 816 1360 1632
拓展练习
1、根据8×50=400,直接说出下面各题的积。
16×50= 800 24×50=1200 8×25= 200 64×50= 3200
16×34=（ 544 ）
16×51= （ 816 ）
16×85=（1360）
1632） 16×102=（
巩固练习
160
320
400平方米
8米
一个长方形的果园，如果长不变，宽要增加到24米，扩大后的果园面积是多少？源自400平方米 400平方米

因数与积的变化规律图文(与“因数”有关文档共10张)

❖ 1、计算
数除以这两个数的积，结果不变。
❖ （1）66÷2÷3=
❖
66÷（2×3）=
❖ （2） 72÷4÷6=
❖
72÷（4×6）=
❖ （3）175÷5÷7=
❖
175÷（5×7）=
第6页，共10页。
❖ 1、2500÷25÷4
2、 100÷5÷2
第7页，共10页。
❖ 1、 1 × 16= 16
扩大2倍
（3）175÷5÷7=
❖ 4×12= 48
发现：一个因数扩大a倍，另一个因数扩大b倍，积就扩大（a×b）倍
1×2= 2
发现：一个因数缩小a倍，另一个因数缩小b 倍，积就缩小（a×b）倍
第3页，共10页。
❖孩子，你能用一句话来概括一下这个规律吗？
规律2：一个因数扩大（或缩小）a倍，另一个因数扩大（或缩小）b倍，积就扩大
（或缩小）（a×b）倍。
第4页，共10页。
❖ 你能独立完成课本27页例二的填空吗？来，试一试吧！！
1、第3列与第2列比，一个因数扩大2倍，
另一个因数扩大2倍，积就扩大4倍。
2、第3列与第4列比，一个因数缩小2倍，另一个因数缩小2倍，积就缩小4倍。
第5页，共10页。
规律3:一个数连续除以两个数，可以用这个
72÷（4×6）=
1、 1 × 16= 16 2、4 × 4= 16
规律1：一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积也跟着扩大（或缩小）相同的倍数。
12 × 8=
8×4=32
24×36=864
第9页，共10页。
练习
❖ 28页课堂活动第二题： ❖ 2、观察，填空 ❖ 8×4=32 ❖ 16×8= ❖ 24×8=

四年级积的变化规律

四年级积的变化规律
文章标题：四年级积的变化规律
一、引言
在四年级的数学课程中，我们学习了如何计算乘积以及乘法的基本性质。

乘积是一个数学术语，指的是两个或多个数相乘的结果。

在这个阶段，我们不仅要掌握基本的乘法计算，还要理解乘积随着因数的变化而变化的规律。

本文将通过具体的例子和说明，详细阐述四年级积的变化规律。

二、积的变化规律
1、因数变化，积也变化
当我们改变一个乘法等式中的因数时，积也会相应地发生变化。

例如，在等式2x3=6中，如果我们将其中一个因数翻倍，如2变为4，那么新的等式为4x3=12，积也从6变为12。

这种变化规律在数学中被称为“因数变化，积也变化”。

2、变化的倍数关系
当我们改变一个乘法等式中的因数时，积的变化是有规律的。

以2x3=6为例，当我们把2变为4时，积从6变为12。

可以看到，新的积是原来的2倍。

同样地，如果我们把2变为3，积就从6变为9，新的
积是原来的1.5倍。

这种变化的倍数关系是基于因数的变化比例来计算的。

3、积的变化与因数的变化成正比
在四年级的数学中，我们学习了一种重要的规律：积的变化与因数的变化成正比。

这意味着，当一个因数加倍时，积也会加倍；当一个因数增加一倍时，积也会增加一倍。

这个规律可以帮助我们更快地计算复杂的乘法问题。

三、总结
四年级的积的变化规律是数学学习中的重要部分。

通过理解因数变化与积变化的规律，我们可以更准确地计算乘积，解决相关的数学问题。

掌握这个规律也为后续更深入的数学学习打下了坚实的基础。