第2章导数与微分总结
高等数学 第二章 导数与微分
（2）算比值： y f (x x) f (x) ．
x
x
（3）求极限： f (x) lim y lim f (x x) f (x) ．
x x0
x0
x
四、函数可导性与连续性的关系
定理 如果函数 y f (x) 在点 x0 处可导，则函数 y f (x) 在点 x0 处一定连续． 如果函数 f (x) 在点 x0 处连续，则函数 f (x) 在点 x0 处不一定可导．
第二章
导数与微分
导学
我们在解决实际问题时，除了需要确定变量之间的函数关系外，有时 还需要研究函数相对于自变量变化的快慢程度，即函数的变化率，以及当 自变量发生微小变化时函数的近似改变量，这两个问题就是我们本章所要 讨论的主要内容——导数与微分．
第一节
导数的概念
一、导数的定义
设某物体在数轴上做变速直线运动，运动方程为 s s(t) ，现在求该物体在 t0 时刻的瞬时速度 v(t0 ) ．
当
u
C （C
为常数）时，有
C v
Cv v2
．
二、反函数的求导法则
定理 2 如果函数 x f ( y) 在区间 I y 内单调、可导且 f ( y) 0 ，那么它的反函数 y f 1(x) 在
区间 Ix {x | x f ( y) ，y I y} 内也可导，且有
[ f 1(x)] 1 或 dy 1 ．
当时间 t 由 t0 变到 t0 t 时，物体的路程 s(t) 由 s(t0 ) 变到 s(t0 t) ，
路程的增量 s 为 s s(t0 +t) s(t0 ) ，
物体在
t0
到 t0
t
这段时间内的平均速度为
v
s t
第2章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学110拐点判断定理:若曲线)(x f y =,0连续在点x 0)(0=′′x f 或不存在,但)(x f ′′在两侧异号,0x 则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点.曲线的渐近线(1)水平渐近线.)(),()(lim )(lim 的一条水平渐近线就是那么为常数或如果x f y b y b b x f b x f x x ====−∞→+∞→考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日(Lagrange)中值定理.了解泰勒(Taylor)定理.柯西(Cauchy)中值定理,掌握这四个定理的简单应用.136.会用洛必达法则求极限.7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点和渐近线.9.会描述简单函数的图形.1419设||3)(23x x x x f +=,则)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 只要考虑||2x x 的可导性,)(x g ′′在0=x 处的左、右导数分别为6和6−,故不可导,故)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为2阶,本题应选C.例5解⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=,0,,0,0,0,)(33x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′,0,3,0,0,0,3)(22x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′′.0,6,0,0,0,6)(x x x x x x g21设)(x y y =是由方程y x xy+=e 所确定的隐函数,求:)0(),0(y y ′′′.方程两边关于x 求导,得)1(,1)( y y x y xye ′+=′+,11)0(0式带入及将)(==y x .0)0(=′∴y (1)式两边再关于x 求导,得,)2()(2y y x y y x y xyxy ′′=′′+′+′+e e ,代入及将0)0(1)0(,0=′==y y x .1)0(=′′y 得例7解33。
《高数数学(上)》-导数与微分
解 （1）根据导数定义并运用极限的运算法则
u(x)v(x) lim u(x x)v(x x) u(x)v(x)
x0
x
u(x x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x)
定理2.1
函数f (x)在x0 处可导的充要条件是左、右导数都存在
且相等.
7
一、 导数的定义
例 1 若函数f (x)在x=0 处连续，且 lim f (x) 存在， x0 x
证明f (x)在x=0 处可导.
证法一
设 lim f (x) A(A为常数)，则 x0 x
lim f (x) lim x f (x) 0 A 0，
证 若函数y f (x)在x0 处可导，由导数的定义可得
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x0 )，所以利用函数极限与无穷小之间的
关系可得
f (x) f (x0 ) x x0
f
( x0
)
，lim x x0
0，即
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) (x x0 )
x
所以k 1 时，f (x) 在 x 0 处可导. 2
12
本讲内容
01 导数的定义 02 导数的几何意义 03 可导与连续的关系
二、 导数的几何意义
几何意义
若函数 f (x)在x x0 处可导，f (x0 ) 是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x0 )) 处切线的斜率.
x0
第二章 导数与微分
由此可见,当|Δx|很小时,(Δx)^2的作用非常小,可以忽略不计 因此,函数y=x^2在x0有微小改变量Δx时,函数的改变量Δy约为 2x0·Δx, Δy≈2x0·Δx.
从图2-3中不难看出,Δy表示的是以x0为边长的正方形外围 的阴影部分面积,它为图示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分面积之和 2(x0·Δx)+(Δx)2，显然当|Δx|相对于x0很小时，(Δx)^2是微乎其 微的. 当f(x)=x2时，f′(x0)=2x0，因此Δy≈2x0·Δx可以写成 Δy≈f′(x0)·Δx. 由于f′(x0)·Δx是Δx的线性函数，所以通常把 f′(x0)·Δx叫做Δy的线性主部.
一般地，对于给定的可导函数y=f(x)，当自变量在x0处有 微小的改变量Δx时，函数值y的改变量Δy可用下式近似计算， 即
已知曲线方程y=f(x)，可以求过曲线上点M(x0，y0)处的 切线斜率.在M点的附近取点N(x0+Δx，y0+Δy)，其中Δx可正 可负，作割线MN，其斜率为(φ为倾斜角) tanφ=Δy/Δx=[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx.当Δx→0时，割线MN将绕着 点M转动到极限位置MT,如图2-2所示.根据上面切线的定义， 直线MT就是曲线y=f(x)在点M处的切线.自然，割线MN的斜 率tanφ的极限就是切线MT的斜率tanα(α是切线MT的倾斜角).
以上两个问题，虽然它们所代表的具体内容不同，但从 数量上看，它们有共同的本质：都是计算当自变量的增量趋 于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限.在自然科学 、工程技术问题和经济管理中，还有许多非均匀变化的问题 ，也都可归结为这种形式的极限.因此，抽去这些问题的不同 的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数 定义.
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章 导数与微分
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章导数与微分第二章导数与微分1.导数的定义。
对于一个在x0的某个邻域内有定义的函数，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→x0时Δy/Δx的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数。
通俗地讲，就是描述某个函数在某点增长或下降的瞬时速度，这个“速度”的单位为y每x，即每变化一个单位的x，y变化多少。
与物理学中定义米/秒是一个性质的。
把函数f(x)的导数看做是关于x的函数，即得到函数f(x)的导函数f'(x)，简称导数。
（以上的“x0”中的“0”都是x 的下标，下同。
）导数也可以用微分的形式记作dy/dx，这个后面会提及。
2.在导数的定义中，如果Δx从左边趋向x0或从右边趋向x0，那么对应的导数被称为左导数和右导数。
只有f(x)在x0处的左导数和右导数相等，才能称f(x)在x0处可导。
举个例子，绝对值函数y=|x|，其在x=0处的左导数是-1（即x每增大1，y减小1），右导数是1，两者不相等，所以该函数在x=0处不可导。
如图所示。
绝对值函数y=|x|的导数是符号函数y=sgn(x)，但是不包含x=0（单独的符号函数y=sgn(x)，当x=0时，y=0）。
3.用定义法可以求初等函数的导数，本质上就是求极限。
比如说求y=x²在x=a处的导数，即就是求Δx→0时((a+Δx)²-a²)/Δx的极限。
求得结果为2a了解即可，还不如求导公式来得快。
下图为求该极限的过程，也就是用定义求y=x²的导数的过程。
4.函数的可导性与连续性的关系。
我们有定理：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处必连续。
但反过来就不一定了。
归纳为一句话：连续不一定可导，可导一定连续。
y=|x|就是一个例子。
该函数在定义域内处处连续但是在x=0时不可导（因为左右极限不一样）。
第二章 导数与微分 第二节 函数的和、差、积、商的求导法则
证明略证明略二例题分析的导数tan的导数cossincossincoscossincosseccossec的导数tanseccossincotcsc内容小结1和差积商的求导法则2重要结论cotcsctansec
函数的和、 第二节 函数的和、差、积、商的求导法则
一、和、差பைடு நூலகம்积、商的求导法则
定理2.1 如 函 u(x), v(x)在 x处 导 则 定理 果 数 点 可 , 它
u u′v − uv′ (3) ( )′ = . 2 v v
证明（略）
二、例题分析
求y = x 4 − cos x + 3 x + ln 5的导数 例1:
解:
y′ = ( x 4 )′ − (cos x)′ + (3 x )′ + (ln 5)′
= 4 x + sin x + 3 ln 3
3 x
例2: 求 y = 2 x sin x 的导数 . 解:
即 (tan x)′ = sec2 x.
同理可得
(cot x)′ = − csc2 x.
例4：求 y = sec x 的导数 . 解
1 y ′ = (sec x )′ = ( )′ cos x − (cos x )′ sin x = sec x tan x . = = 2 2 cos x cos x
(1) (u ± v)′ = u′ ± v′
证明（略） 此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
(2)
(uv)′ = u′v + u v′
证: 设 f (x) = u(x)v(x) , 则有
u(x + h)v(x + h) − u(x)v(x) f (x + h) − f (x) = lim f ′(x) = lim h→0 h→0 h h
高等数学第二章导数知识总结
高等数学第二章知识总结在这一章里需要掌握的是求一阶导数的多种方法和求高阶导数的计算公式。
微分和导数的关系求导数与求微分方法相同,只不过在求微分时要在后面加上dx.函数在某点处的导数就是函数在该点处的变化率. 导数有很多种表现形式.一.(1)单侧导数即左右导数.函数可导的充要条件是:左右导数存在且相等. (2)可导与连续的关系:可导必然连续,连续不一定可导.注:函数的导数就是函数在某点处因变量与自变量比值的极限.◆求导数的方法有:(1)利用导数的定义.（简单一点就是△y/△x的极限）(2)利用导数的几何意义解决几何及物理,化学的实际问题.(3)利用初等函数的求导公式.(在书P59)(4)利用反函数求导法.(反函数的导数就是原函数导数的倒数.)(5)利用复合函数求导法.(由外到内,逐层求导)(6)利用隐函数求导法(7)利用参数方程确定函数的求导法.(8)利用分段函数求导法.(9)利用函数连续,可导的定义,研究讨论函数的连续性与可导性.二.高阶导数高阶导数可细分为:一阶导数,二阶导数,三阶导数……N阶导数等等.(一阶导数的导数是二阶导数) 应该掌握的是高阶导数的运算.方法有两种:(1)直接法.(2)间接法.间接法适用于阶数较高的运算.其规律性较强.常用的高阶导数公式在书P63上.注意查看.■计算uv相乘形式的高阶导数时，首先要判断u，ｖ从一阶到ｎ阶的结果，再运用莱布尼兹公式求出结果。
三.隐函数和由参数方程确定的函数的导数什么是隐函数?如果变量x,y的函数关系可以用一个二元方程表示,且对在给定范围内的每一个x,通过方程有确定的y与之对应,即Y是X的函数,这种函数就叫做隐函数F(x,y)=0从二元方程中解出y的值,就是隐函数的显化.有些隐函数不易显化,甚至不能显化.隐函数的求导方法:（例题在书P66 例40，41）(1)把y看做是复合函数的中间变量,把y看作y(x)即可。
再在方程两边分别对X求导.(2)从求导后的方程中求出y’.(3)在隐函数的求导结果中允许含有y,但是求某一以知点的导数时不仅要代X的值,还要代Y的值. 对数求导法:先两边取对数,再关于X求导.例题在书P68，例44(遇到指数形式的函数时就采用此类方法)对参数方程确定的函数求导方法很简单,就是用y’/x’.四.函数的微分.可微就可导,可导就可微.求函数的微分就是对函数求导,主要就是在所求结果后面加上dx.微分的几何意义是某点处的切线纵坐标的增量.常用的微分公式在书P76.五.微分的应用.1.微分在近似计算,误差估计中的应用.在书P80 P81.。
经典-高数第2章：导数与微分
1 y 1 x 1 1 x 1 2 x 4 1
y x 1
3(x 1)
x4
y
(x 1) 3 x 1 (x 4)2 ex
1 x 1
1 3(x 1)
x
2
4
1
隐函数的导数
设 y xsinx ( x 0), 求y.
导 即有如下的关系式
可微
可导
连续
有极限
微分与导数间的计算转换方法
重点）
可导是指
lim y x0 x
存在.
说明函数的连续性，因为式中有除以Δ x，
反应的是变化的快慢，几何意义表示切线
的斜率
可微是函数值的变化增量，Δ y可以表达 为A·Δ x+o(Δ x)，解决的是函数的变化 增量，微分表示函数值的增量结果，可间
联系
可微必可导，可导必连续，连续有极限 但是，有极限不一定连续，连续不一定可
x
当Δ x足够小时，dy与Δ y相差很小，切线段MP 可近似的代替曲线段MN（以直代曲）
微分
微分的理解
A是与Δ x无关的常数，但却与f(x)与x0有 关。实际上，A为f(x)在x0处的导数值。
由刚才的几何意义，当Δ x很小时， Δ y≈dy（这样就可以近似计算较复杂函 数的改变量）
可微与可导的区别与联系（理解
注意：此导数为一函数。在某一点的导数 是一个值。
f (x0 )可以看作导函数f (x) 在x0的函数值，
即 f '(x0 ) f '(x) xx0 . 有下标特别指
明在某点x0
导数的几何意义
高等数学第二章导数与微分
x0
x
瞬时变化率
点导数是因变x0量 处在 的点 变化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快 慢程.度
根据导数定义求导，可分为如下三个步骤：
( 1 ) 求y 增 f( x 量 x ) f( x );
曲线 y = f (x)在点x0处的切线斜率
tan lim y
x0 x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0）
f x0
左右导数
设函数 y = f (x)在点x0的某一个邻域内有定义.
假设极限l i m x 0
－
y x
存在，那么称 y = f (x)在点 x0 左可 导，
且称此极限值为函数 y = f (x) 在点 x0 的左导数，
解：由导数的几何意义, 得切线斜率为
k
y
x1 2
1 x
x 1 2
1 x2
x1 2
4.
切线方程为 y24x12, 即 4 xy 4 0 .
法线方程为
y
2
1 4
x
12,
即 2 x 8 y 1 5 0 .
2.1.4 函数的可导性与连续性的关系
〔1〕假设 f (x)在 x0点可导，那么它在 x0点必连续.
记作 f(x0 ). 同样可定义右导数： f(x0 ).
f (x)在x0可导的充要条件是： f (x)在 x0 既左可导
又右可导，且 f (x0)f (x0). 即 f(x0)存在 f (x 0 )f (x 0 )存 在 .
导函数的概念
假设函数 y = f (x)在开区间I内每一点都可导，那么称
f (x)在I 内可导. 此时对xI, 有导数 f ( x ) 与之
第2章 导数与微分
设f(x)=x3+4
π ′ . cosx， 求f′(x)及 f 2
f′(x) =(x3)′+(4 cosx)′ =3x2-4 ( ) − 4 ⋅ sin = π − 4 2 2 2 4
2
π
π
π
第2章 导数与微分
例3 设 f(x)=x3ex sinx， 求f′(x). 解f′(x) =(x3ex sinx)′ =(x3)′ex sinx+x3(ex)′ sinx+x3ex (sinx)′ =3x2ex sinx+x3ex sinx+x3ex cosx =x2ex(3 sinx+x sinx+x cosx)
即
(uυ )′ = u′υ + uυ ′
第2章 导数与微分
例1 设y=2x3-5x2+3x-7, 求y′. 解 y′ =(2x3-5x2+3x-7)′ =(2x3)′-(5x2)′+(3x)′-7′ =2(x3)′-5(x2)′+3(x)′ =2·3x2-5·2x+3
第2章 导数与微分
例2 解
第2章 导数与微分
当物体作匀速运动时， 它的速度不随时间而改变，
∆s s(t0 + ∆t ) − s(t0 ) = ∆t ∆t
是一个常量， 它是物体在时刻t0的速度， 也是物 体在任意时刻的速度.
第2章 导数与微分
但是， 当物体作变速运动时， 它的速度随时间而 确定， 此时 的平均速度 υ
∆s ∆t
在不致混淆的情况下， 导函数也简称为导数. 显然， 有
f ′( x0 ) = f ′( x ) |x = x0
第2章 导数与微分
2.1.3 利用定义求导数 根据导数的定义， 求导数可以分为以下三步： (1) 求增量∆y=f(x+∆x)-f(x)；
第二章 导数与微分
例4
求自由落体运动 s
=
1 2
gt 2
在时刻 t0
的瞬时速度 v(t0 )
.
解
Δs
=
1 2
g (t0
+
Δt)2
−
1 2
gt02
=
gt0Δt
+
1 2
g (Δt )2
Δs Δt
=
gt0Δt
+ 1 g (Δt )2
2 Δt
=
gt0
+
1 2
gΔt
lim
Δt → 0
Δs Δt
=
lim
Δt → 0
(
g
t
0
+
1 2
也随着变动而趋向于极限位置，即直线 M0T .称直线 M0T 为曲线 y = f (x) 在定点
29
M0 处的切线.显然，此时倾角ϕ 趋向于切线 M 0T 的倾角α ，即切线 M 0T 的斜率
为
tan α = lim tanϕ = lim Δy = lim f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) .
lim Δy = lim (2x + Δx) = 2x
Δx Δx→0
Δx→0
y′ = ( x2 )′ = 2x .
同理可得 (xn )′ = nxn−1 （ n 为正整数）
例 6 求 y = sin x 的导函数.
解 Δy = sin ( x + Δx) − sin x = 2 cos(x + Δx ) ⋅ sin Δx
d f (x)
dx
x= x0
这时称函数 y = f (x0 ) 在点 x0 处是可导的函数.
复变函数论第2章
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18
铃
例5 研 究 函 数 f ( z ) z 2 ,g ( z ) x 2 y i 和 h ( z ) z 2 的 解 析 性 .
答案： f(z)z2 在复平面内是解; 析的
g(z)x2yi处处不 ; 解析
下面h 讨 (z)论 z2的解,析性
h(z0z)h(z0) z0 z2 z02
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15
铃
2、解析函数及其简单性质
(1) 解析函数的定义 定义 如 果 函 数 f(z)在 z0及 z0的 邻 域 内 处 处 可 导 ,那 么
称 f(z)在 z0解 析 .A n a ly sis
如果函数 f (z)在区域 D内每一点可微(解析), 则称 f (z)在区域 D内解析. 或称 f (z)是 区域 D 内 的 一 个 解 析 函 数 (全 纯 函 数 或 正 则 函 数 ).
z 0
f ( z 0 ) z 是 函 数 w f ( z ) 的 改 变 量 w 的 线 性 部 分 .
f(z0) z称为 w 函 f(z)在 数 z0点 的,微分
记作 d w f(z0) z.
如 果z0函 的数 微,则 在 分称 存 f(z)函 在数
在 z0可. 微 14
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y
x y
x
1 ik 1 ik
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20
铃
由于 k的任意, 性
z 1ki不趋于一个确定 . 的值 z 1ki
lim h(z0z)h(z0)不存 . 在
z 0
z
因此 h(z)z2仅在 z0处可,而 导在其他点都 不可,根 导据定 ,它义在复平面内析 处. 处不解
第二讲导数和微分内容提要和典型例题
x0
① f (x)连续 ② f(0)存在
③ f(x)连续 ④ f(0)存在
第二章 导数与微分典型例题
解 首先注意到
当 0时lim xsin 1不存在
x 0
x
当 0时 lim xsi1 n0
x 0
x
① 当 x0时f， (x)xnsi1n是初等函数，连续 x
因此要使 f (x)连续只f须 (x)在 x0处连续
F ( 0 ) 存 F ( 0 ) 在 F ( 0 ) F (0 ) x l 0 if m (x )1 ( sxix )n f(0 )
x l i0 m f(x x ) 0 f(0 )f(x)sx ixn f(0 )f(0 ) F (0 ) x l 0 if m (x )1 ( sxix )n f(0 ) x l i0 m f(x x ) 0 f(0 )f(x)sx ix n
2d yy22tyd yet 0
dt
dt
dyet y2 dt 2ty2
dy
dy dx
dt dx
(1t2)(et y2) 2ty2
dt
④ 设 f(x)(x20 01 1)g(x)，其 g(x)在 中 x1处连续
且 g(1)1求 f(1)
第二章 导数与微分典型例题
第二讲 导数与微分
内容提要与典型例题
第二章 导数与微分内容提要
一、主要内容
关 系
d y y d y y d x y d o y ( x ) dx
导数
y lim x0 x
基本公式 高阶导数 高阶微分
微分
dyyx
求导法则
第二章 导数与微分内容提要
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1、极限的实质是：动而不达导数的实质是：一个有规律商的极限。
规律就是:2、导数的多种变式定义：lim 丄一x)f°)是描述趋近任意 x 时的斜率。
而x 03、I若x 没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率， 如果趋近到了 x0,得到的就是这点的斜率一一导数。
4、可导与连续的关系:1基础总结lim -= limx 0 x x 0 f(x X)f(x)xlim x x o f(x )f (x o )X o叫 号严可以刻画趋近具体x0时的斜率。
lim o要注意细心观察发现,导数的实质是定义在某点的左右极限。
既然定义在了某点上，该点自然存在，而 且还得等于左右极限。
因此，可导一定是连续的。
反之，如果连续，不一定可导。
不多说。
同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定 极限有可能存在，但是导数绝不会存在。
同理要注意左右导数的问题。
如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存 在的。
如：f(x) x,x 0这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。
为什么嫩？看定义:万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该 点必须存在! 由此引发了一些容易误判的血案: 例如:A 旦主^謎IC m F 左电鼓 pg 总生戟乞f ( x) f (x)-中的f(x))至u 底是神马。
比如求上图limf(x x) f(x)x 0xlimf(X X)f(0)。
x 0定义里面需要用到f(0)啊！因此，千中 iimf (x)论) x 1x x 0,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1 ！定义解决时候一定要注意问。
X X o由此也可以知道，f (x)2x 3, x 1这个函数是不存在导数的，也不存在左导数,3只存在右导数。
5、反函数的导数与原函数的关系:注意，求反函数时候不要换元。
因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变, 与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算 果显然是错误的。
举例子: 求y e x的导数。
显然反函数(不要换元)是x in y 反函数导数的倒数是y=e x，因此，(y e)'再如，求arcsin(x)的导数。
6、复合函数求导法则:只要父函数和子函数随时能有定义，就拆着求就可以了。
7、高阶导数:如果f(x)在点x 处具有n 阶导数，那么f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低 于n 阶的导数。
sin (n)(x) sin(x —) ; cos (n)(x) cos(x —);其余的也记不住，自己慢慢推导。
2 2(u v)(n) u (n) v (n);有这样一条有趣的关系：函数的导数=对应的反函数的导数的倒数。
f '(X) (f 1(y))'但是 反函数的导数是x解：令函数为y arcsin(x)，则其反函数为 sin y ，导数的倒数为―1— (arcsin x)'。
但是必须消去y 。
因此变形得 cos y一■_-(注意到在定义域内1-si nycosy 恒为正，因此舍掉负解)1_1.1-si ny 2. 1-x 2nn k n k k(u v)C u v 二项式定理中有： n;类似的，乘法的n 阶导数也有:8、隐函数，参数方程的导数，相关变化率建议隐函数，参数方程的导数，以及求导数的相关变化率时使用 只有这样才能准确，安全，方便。
举例：求e xy e 0 （隐函数f （x,y ）=O ）中y 对x 的导数① dx 解： 两 边 求 导， d @xy e ）竺dx dx岐捡述y“（t ）x'（t ） y ；（t ）x ”（t ）。
麻烦吗？根本不要记, dt dx...连参数方程的公式都不要记，自己慢慢算，算到哪里推导到哪里，简单又方便。
相关变化率问题，是说字佥之间的关系(u* v)(n)k)v (k)这个是要熟练记忆的。
舟形式求解。
d(e yxy e) dxde y dxy de) de ydy dx dy dx dxydxe y 鱼ydx 型(e y x)鱼y 0鱼dx dx dxdx dx解完以后发现效果还不错e x如果直接用什么y '神马的净是错误，所以不要直接用口算，用 dy/dx 方法求解。
复合隐函数如何求导？如，如何求dex ydx?简单，de x yde x yd(x y) dx d(x y) dxy(1乎）。
怎么样，就是层层剥香蕉的意思。
dx参数方程同理，设x(t) ，则简单, 而且显然有dy 詈dx 嘅，二阶导 dt dxd (緡dx求dy时有一个技巧，如果函数含有幕指数，包括这一类(幕指数是-) dx 2般都是对方程两边先求对数，再求解，这样求解起来应该会简单。
9、微分微分用dy表示。
dy y .微分的产生主要就是为了能方便简单的计算给定x后对应的近似的y 。
实际上，y f (x x) f (x)，若可以化简成y f (X o x) f(x o) k xo( x)形式，则称f(x)在该点x0处可微记作dy |x X。
k x，这部分称为线性部分。
o( x)是x的高阶无穷小，因此在计算时可以省去，这样只计算线性部分就特别简单的算出近似的y 了。
y( k x o( x)) 0当x 0时，dy( k x) 0 ，经过计算ll x m o_dy =...=1，可见，dy与y在x 0时是等价无穷小，即有y : dy可微与可导的关系：可微和可导是等价的，互为充要条件。
关系如图要注意的就是 x 2x1 ,, lim h[ f (a ) f (a)]存在 hh个要注意。
如果用讥心x) f(x)怎么算?课本上的一些重要易错的题1arccos(-) x的导数解：字dx "pr *(1x2_|x| X 2,|x| *一12、试从竺丄导出ddy y'xdy 2y'' (y')解:吐盛dy 2dy1 1 d d -y' y'* dx dy dx dyy'' * 1 (y')2 y'y'' (y')3、设f(x)在x=a 的某个邻域内有定义,则f(x)在x=a 处可导的一个充分条件是:叫mo Hh叫4、f(x)sin x, x 0 ln(1 x), x 0在0处的单侧导数f (0)解:注意，不能用讥垃严，应该用xiffJ才能算出来1D13.甲弱以吐mb 酌逹率向东行驶，乙賂以Ekmh 的連率向南厅出在中午十二点此乙昵 醫于甲船之北1知处.问下牛一点正两寵相扈的速率为多少丁V 设从中午十二点开給一经迂r 小对「商嚅之阖的磋离为工瓦有訪耍=-1罠16-朋"牙，dS -16d6-&)+7^ 矿 25 当Al 时，E=g叩下竿一点正两嗚梅卷的連更为2.«km h此题主要存在的问题是不知道如何将实际问题转换为数学问题dS 曲 128t72=-2 8 (km h).2扩展部分第二章导数与微分第一节导数槪念知识要点与考点1•导数概念【粤点】由瞬时速度与切线斜率等典型实例•可引入导数定义”简记为八\!■/（為+心〉—/缶〉dfj C-T Q Z L ITH ■* fgf。
4r a工鼻■窃或 f S = lim器日im/U十2一八巳gFQ Af Qi fl要注意函数在一点轨处的导数是数值孑而在某区间I上的导（函）数是函数•并且rtxo）与 gj丁m rco）与［/（Q）了（=o）具有不同的涵义.求x=xO处导数有两种定义:f'(X g)limx 0f(X°X) f(X p)x X o而x处的导函数只有一种定义f'(x)limx X of(x) f(X o)x X of(x h) f(x)Am —h—左、右导数分别为二/(氐+3.曲线的切线方程与法线方程 切线半y~y^ f （工JQ —工』i 法线:y —%=— 尸（；抒&_齐匕可导与连续的关系: 可导指的是：存在左导数和右导数，且两者相等。
而左导数还是右导数的实质是单侧极限问 题。
而若两侧（导函数的）极限都存在，那么必然该导函数存在极限，即该种极限的导函数 即导数存在。
故可导的充要条件是存在左右极限且相等。
单侧导数与单侧极限一样，光有一个说明不了导数（极限）存在 可导必然连续，连续未必可导。
因为连续在公式上的表现是lim 与=°可导在公式上表现是存在lim △ ^<=f ' （x ）第二节函数的和■差、积、商的求导法则 反函数的导数复合函数的求导法则故可导可以推出连续。
但连续推不出可导 。
不可导未定不连续, 但不连续一定不可导。
（可以用反证法证明）这些不用死记。
f(x) 23x ,x 某点单侧导数存在，则该点一定要有定义。
比如x 2, x在x=1处的右导数就不存在。
但是f （x ）x 2,x 2x 1, x 1在x=1处的右导数就存在。
偃设函数讥ReCr)在点T 可导，则它们的和、差、积、商的导数都存在，且(»+v)r HfZ 士",{uvY ^UD^UV f(CuY^Cu 1(C 为常数)，(於士廿士…=/士* 士…士欢/ , (V)=_寻 WHO)，(mnjr 〕'=sg$* (cot z)' = —c 肚N*^>f=sec ztan T . <CSC ,r)' = — esc xcot r3.其余基本初导函数的求导公式(arcsin T Y — < '-arccos 丁)'=,-/l —-r(arctan 上〉尸=(— arccot x)J — T ——；； ［十无1 ■反函数的导数若才=侃W 在区间人内单调.可导且则其反函数y 瘁八小在对应区间人内也可导，且2.复合函數求导法则I 连锁规则)(考点】 dy _ dy du du dx du dv反函数存在的充要条件是原函数单调。
Tan , cot , sec , esc , arctan , arcsin , arccos , arccot 导数都可以自己推倒出来。
用的就 是反函数的导数公式。
还有:要注意中自变量是什么。
是 f'(x)1'(y)而不是f'(x)1 '(x，疋要注意u v —uvarcsinQ -^―1sin(y)' cos(y) . 1 si n 2(y)如果哪个忘了，要能够自己推导。
第五节高阶导数 知识要点与考点1•高阶异数的概念由加速度引入二阶导数般地+ _ 1)阶导数的导戲叫做匕墮曼婪，记为 豊仝2.计算离阶导数的公式 【考点】樹用如下公式计算高阶导数；ra 为常数”芳(T n)<w)=n !(才)z = Q (nN ； m^>n * m^N)；(#) s严一 1)…(戸一挖 + ])才i G € R )；r (lo 岳工"=(一l 〉i G — 1) J 工f log^e*On 工)" = (—-工][In (1+刃严=〔「1厂心_1)! (1+JT )-j 5° (sin «r)E=$iii 工 +梵•守;，(cos x>f,l>~cos 工 +号)；(log a x)'1 a yIn 1 xln6° (肚士卍=t/讨±i/柿9 (cu >u>=cu(->；* =0n n k n k k【回忆】牛顿二项式展开(a b) C n a b与莱布尼茨高阶导形式类似。