奥数六年级千份讲义361第3讲——几何——曲线形面积与立体几何

第三讲

几何——曲线形面积与立体几何

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知识点拨

圆和立体几何近两年虽然不是考试热点，但在小升初考试中也会时常露面，因为立体图形考察学生的空间想象能力，可以反映学生的本身潜能；而另一方面，初中很多知识点都是建立在空间问题上，所以可以说学校考察立体也是为初中选拔知

识链接性好的学生.

、与圆的面积相关的方法:

⑴割补、平移、旋转法：涉及到圆或扇形与其他图形的组合图形的面积无法用公式直接求出，但通过几个

减计算.

⑶容斥关系法：本质上还是割补法，只是涉及到面积的重复统计，需要将多计的面积去除.

二、立体几何相关的方法：

⑴拼接法：与平面几何中的方法类似，将不规则的图形体积化作规则图形的体积进行加减计算.

⑵三视图法：主要适用于求正方体积木塔图形的表面积计算，以及染色问题或计数问题，从上、前、左（下、后、右）这几个基本视角，分析图形的表面.

⑶切片法：适用于求具有穿孔结构或内部结构的立体图形的体积计算，将立体图形沿某个方向切成多片，

化立体为平面.

⑷套模法：割补法的引申，分析立体图形的展开图，以最适合该立体图形的基本几何图形为模型，再在该图形上进行切割.

如例题精讲

模块一、曲线形面积

【例1】如图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60，此时B点移动到B'点，求阴影部分的面积.（图中长度单位为cm，圆周率按3计算）.

60

【例2】正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落在这条直线上，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角

形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留n）

【巩固】直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米.如下图所示，三角形由位置I 绕A点转动，到达位置H,此时B , C点分别到达B1, C1点；再绕B1点转动，到达位置川，此时A , G点分别到达A2, C2点•求C点经C1到C2走过的路径的长.

【例3】如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，ABC 60，此时BC长5厘米.以点B为中心，将ABC 顺时针旋转120，点A、C分别到达点E、D的位置.求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积.（n取3）

【巩固】（2008年学而思杯”数学试题）如图，直角三角形ABC中，B为直角，且BC 2厘米，AC 4厘米，则在将ABC绕C点顺时针旋转120的过程中，AB边扫过图形的面积为____________________________ .（n 3.14）A

【例4】如图，ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米•现在以C点为圆心，把三角形ABC 顺时针转90度，那么，AB边在旋转时所扫过的面积是______________ 平方米.（n 3.14）

【例5】（祖冲之杯竞赛试题）如图，ABCD是一个长为4，宽为3，对角线长为5的正方形，它绕C点按顺时针方向旋转90，分别求出四边扫过图形的面积.

【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形I .它的对角线长恰好是5cm .让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90°后到达长方形n的位置，这样连续做三次，点A到达点E的

位置•求点A走过的路程的长.

A B C D E

【例6】（2004年第九届华杯赛初赛）半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？

【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的n（n 1）倍，当小圆在大圆内侧（外侧）作无滑动的滚动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？

【例7】如图所示，两条线段相互垂直，全长为30厘米•圆紧贴直线从一端滚动到另一端（没有离开也没有滑动）.在圆周上设一个定点P，点P从圆开始滚动时是接触直线的，当圆停止滚动时也接触到直线，而在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的•那么，圆的半径是多少厘米？（设圆周率为3. 14,除不尽时，请四舍五入保留小数点后两位•如有多种答案请全部写出）

P

【例8】如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位 置•问：这枚硬币

自身转动了多少圈？

模块二、立体图形

【例9】 有黑白两种颜色的正方体积木，

把它摆成右图所示的形状， 已知相邻（有公共面）的积木颜色不同,

标A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块？

【例10】如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视 图和侧视图，

问：所堆的立体的体积至少是多少？

【例11】（第十二届全国 华罗庚金杯”少年数学邀请赛）用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体图形，

从上向下看这个立体图形，如下图 a ,从正面看这个立体图形，如下图 b ，则这个立体图形的表

面积最多是 ___________

•

a b

【例12】（2009年希望杯”二试六年级）用棱长为 1的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面 看到的视图均如下

图所示，那么粘成这个立体最多需要 _________________________________ 块小立方体.

【例13】（日本第七届算术奥林匹克 ）有很多白色或黑色的棱长是 1cm 的小正方体.取其中的

27个，拼成

一个棱长是3cm 的大正方体，每一面都各用 2个黑色的小正方体拼成了相同的图案。见例图•例 图中正方体的每

一面的图案都相同，因此，用

8个或9个黑色小正方体就可拼成这样的大正方

体•除例图的图案之外，还可以拼成每面的图案都相同的大正方体. 问⑴：在下图的①〜⑦中找出可以拼成每面都相同的图案.

问⑵：在问⑴中，可以按要求拼成的大正方体各用几个黑色小正方体？最多的用几个？最少的用 几个？

【例14】（2008年三帆中学考题）一个长、宽、高分别为

12、9、7厘米的长方体，在它的每组两两相对的

面的正中央都打一个底面为

4平方厘米的正方形的贯穿洞.

那么这个长方体剩下部分的体积是 ______________立方厘米.

【例15】（05年武汉明心杯数学挑战赛）如图所示，一个5 5 5的立方体，在一个方向上开有1 1 5的孔, 在另一个方向

上开有 2 1 5的孔，在第三个方向上开有 3 1 5的孔，剩余部分的体积是多少？

表面积为多少？