2015-2016学年山西省孝义市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年山西省孝义市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知M={y|y=x2}，N={y|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（1，1），（﹣1，1）} B．{1}C．[0，1]D．2．已知复数z1=1﹣2i，则的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣13．将点的直角坐标（﹣2，2）化为极坐标为（）A．（4，π）B．（﹣4，π）C．（﹣4，π）D．（4，π）4．点P在曲线ρcosθ+2ρsinθ=3上，其中0≤θ≤，ρ＞0，则点P轨迹是（）A．直线x+2y﹣3=0 B．以（3，0）为端点的射线C．圆（x﹣2）2+y2=1 D．以（1，1），（3，0）为端点的线段5．函数f（x）=3x2﹣lnx﹣x的极值点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．命题：“对任意的x∈R，x2+x+1＞0”的否定是（）A．不存在x∈R，x2+x+1＞0 B．存在x0∈R，x02+x0+1＞0C．存在x0∈R，x02+x0+1≤0 D．对任意的x∈R，x2+x+1≤07．以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是（）A．B．C．ρ=2cos（θ﹣1）D．ρ=2sin（θ﹣1）8．某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）A．92+14πB．82+14πC．92+24πD．82+24π9．三角函数y=sin（﹣2x）+cos2x的振幅和最小正周期分别为（）A．， B．，πC．，D．，π10．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x ∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）11．数列{a n}满足a1=，且对于任意n∈N+都满足a n+1=，则数列{a n•a n+1}的前n项和为（）A．B．C．D．12．已知点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2）C．（1，1+）D．（2，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．过点（，）且与极轴平行的直线的极坐标方程是．14．在区间[0，4]内随机取两个数a、b，则使得函数f（x）=x2+ax+b2有零点的概率为．15．已知P为三角形△ABC所在平面上一点，满足•=•=•，则P点是△ABC 的（填：“外心”、“内心”、“重心”或“垂心”）．16．已知函数，g（x）=x2﹣2bx+4，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．18．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．19．已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），定点，F1，F2是圆锥曲线C的左，右焦点．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程；（2）在（I）的条件下，设直线l与圆锥曲线C交于E，F两点，求弦EF的长．20．如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．21．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的一点M的横坐标为3，焦点为F，且|MF|=4．直线l：y=2x﹣4与抛物线C交于A，B两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若P是x轴上一点，且△PAB的面积等于9，求点P的坐标．22．已知函数，m∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为函数f（x）的图象上任意不同两点，若过A，B两点的直线l的斜率恒大于﹣3，求m的取值范围．2015-2016学年山西省孝义市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知M={y|y=x2}，N={y|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（1，1），（﹣1，1）} B．{1}C．[0，1]D．【考点】交集及其运算．【分析】先化简两个集合，再利用两个集合的交集的定义求出M∩N．【解答】解：∵M={y|y=x2}═{y|y≥0}，N={y|x2+y2=2}={y|﹣≤y≤}，∴M∩N={y|y≥0}∩={y|﹣≤y≤}={y|≥y≥0}，故选D．2．已知复数z1=1﹣2i，则的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质化简，依据复数的虚部的定义求出其虚部．【解答】解：∵复数z1=1﹣2i，则====1+i，虚部等于1，故选C．3．将点的直角坐标（﹣2，2）化为极坐标为（）A．（4，π）B．（﹣4，π）C．（﹣4，π）D．（4，π）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得tanθ=，ρ=．（θ由（x，y）所在象限确定）．将点的直角坐标（﹣2，2），代入可得ρ，θ．【解答】解：由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得tanθ=，ρ=．（θ由（x，y）所在象限确定）．由点的直角坐标（﹣2，2），可得x=﹣2，y=2，可得ρ==4，tanθ==﹣．即有θ=则所求极坐标为（4，）．故选：A．4．点P在曲线ρcosθ+2ρsinθ=3上，其中0≤θ≤，ρ＞0，则点P轨迹是（）A．直线x+2y﹣3=0 B．以（3，0）为端点的射线C．圆（x﹣2）2+y2=1 D．以（1，1），（3，0）为端点的线段【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】由极坐标和直角坐标的关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线方程，再由y=0和y=x，解得两交点，即可得到所求轨迹．【解答】解：由极坐标和直角坐标的关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρcosθ+2ρsinθ=3即为x+2y﹣3=0，由0≤θ≤，ρ＞0，可得令y=0，解得x=3；令y=x，可得x=y=1．可得点P轨迹是以（1，1），（3，0）为端点的线段．故选：D．5．函数f（x）=3x2﹣lnx﹣x的极值点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】可看出f（x）定义域为（0，+∞），然后求导数，从而根据二次函数的图象即可判断导数符号，进而可得出f（x）的极值点，即得出极值点的个数．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）；=；∴时，f′（x）＜0，时，f′（x）＞0；∴是f（x）的极值点；即f（x）的极值点个数为1．故选B．6．命题：“对任意的x∈R，x2+x+1＞0”的否定是（）A．不存在x∈R，x2+x+1＞0 B．存在x0∈R，x02+x0+1＞0C．存在x0∈R，x02+x0+1≤0 D．对任意的x∈R，x2+x+1≤0【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：“对任意的x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：存在x0∈R，x02+x0+1≤0．故选：C．7．以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是（）A．B．C．ρ=2cos（θ﹣1）D．ρ=2sin（θ﹣1）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】设圆上任意一点的极坐标为（ρ，θ），直接利用极径的长为1得到关于极角与极径的关系，化简即得圆的极坐标方程．【解答】解：设圆上任意一点的极坐标为（ρ，θ），则由半径为1得，，化简得，所求方程是ρ=2cos（θ﹣1）．答案选C．8．某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）A．92+14πB．82+14πC．92+24πD．82+24π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合．据此即可得出该几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合．∴该几何体的表面积=5×4×3+4×4×2+π×22+2π×5=92+14π．故选A．9．三角函数y=sin（﹣2x）+cos2x的振幅和最小正周期分别为（）A．， B．，πC．，D．，π【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及两角和的正弦函数公式、余弦函数公式化简函数解析式为y=cos（2x+），然后求解最小正周期和振幅．【解答】解：∵y=sin（﹣2x）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=cos2x﹣sin2x=cos（2x+），∴三角函数y=sin（﹣2x）+cos2x的振幅和最小正周期分别为：，π．故选：B．10．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x ∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【考点】导数的运算．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，即g（2﹣a）≥g（a），可得2﹣a≥a，由此解得a的范围．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=x2，∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．∴x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，故选：B．11．数列{a n}满足a1=，且对于任意n∈N+都满足a n+1=，则数列{a n•a n+1}的前n 项和为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】数列{a n}满足a1=，且对于任意n∈N+都满足a n+1=，两边取倒数可得：﹣=3，利用等差数列的通项公式、“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=，且对于任意n∈N+都满足a n+1=，两边取倒数可得：=3+，即：﹣=3，∴数列是等差数列，首项为2，公差为3．∴=2+3（n﹣1）=3n﹣1，∴a n=，∴a n•a n+1==，∴数列{a n•a n+1}的前n项和=++…+==．故选：D．12．已知点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2）C．（1，1+）D．（2，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的对称性可得∠AEB是钝角，得到|AF|＞|EF|，求出|AF|，|CF|，得到关于a，b，c的不等式，求出离心率的范围．【解答】解：∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，∴∠AEF=∠BEF，∵△ABE是钝角三角形，∴∠AEB是钝角，即有|AF|＞|EF|，∵F为左焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，∴|AF|=，∵|EF|=a+c，∴＞a+c，即c2﹣ac﹣2a2＞0，由e=，可得e2﹣e﹣2＞0，解得e＞2或e＜﹣1（舍去），则双曲线的离心率的范围是（2，+∞）．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．过点（，）且与极轴平行的直线的极坐标方程是ρ•sinθ=1．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】先根据公式x=ρ•cosθ，y=ρ•sinθ，求出点的直角坐标，根据题意得出直线的斜率为0，用点斜式表示出方程，再化为极坐标方程．【解答】解：由x=ρ•cosθ==1，y=ρ•sinθ==1，可得点（，）的直角坐标为（1，1），∵直线与极轴平行，∴在直角坐标系下直线的斜率为0．∴直线直角坐标方程为y=1，∴直线的极坐标方程是ρ•sinθ=1．故答案为：ρ•sinθ=1．14．在区间[0，4]内随机取两个数a、b，则使得函数f（x）=x2+ax+b2有零点的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据题意，以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，得到所有的点在如图的正方形OABC及其内部任意取，由一元二次方程根与系数的关系，算出函数f（x）=x2+ax+b2有零点时满足a≥2b，满足条件的点（a，b）在正方形内部且在直线a﹣2b=0的下方的直角三角形，因此用所得直角三角形面积除以正方形的两种，即可得到所求的概率．【解答】解：∵两个数a、b在区间[0，4]内随地机取，∴以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系，可得对应的点（a，b）在如图的正方形OABC及其内部任意取，其中A（0，4），B（4，4），C（4，0），O为坐标原点若函数f（x）=x2+ax+b2有零点，则△=a2﹣4b2≥0，解之得a≥2b，满足条件的点（a，b）在直线a﹣2b=0的下方，且在正方形OABC内部的三角形，其面积为S1==4∵正方形OABC的面积为S=4×4=16∴函数f（x）=x2+ax+b2有零点的概率为P===故答案为：15．已知P为三角形△ABC所在平面上一点，满足•=•=•，则P点是△ABC 的垂心（填：“外心”、“内心”、“重心”或“垂心”）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件即可得出，这样即可由向量垂直的充要条件得出PA⊥BC，PB⊥CA，PC⊥BA，从而得出点P为垂心．【解答】解：由得，；∴PB⊥CA；同理，PC⊥BA，PA⊥BC；如图所示，点P为△ABC三边的高线交点；∴P为三角形ABC的垂心．故答案为：垂心．16．已知函数，g（x）=x2﹣2bx+4，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是[，+∞）．【考点】全称命题．【分析】利用导数研究函数f（x）的最值问题，根据题意对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可．【解答】解：∵函数，∴f′（x）===，若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）为增函数；若f′（x）＜0，x＞3或0＜x＜1，f（x）为减函数；f（x）在x∈（0，2）上有极值，f（x）在x=1处取极小值也是最小值f（x）min=f（1）=﹣=﹣；∵g（x）=x2﹣2bx+4=（x﹣b）2+4﹣b2，对称轴x=b，x∈[1，2]，当b＜1时，g（x）在x=1处取最小值g（x）min=g（1）=1﹣2b=4=5﹣2b；当1＜b＜2时，g（x）在x=b处取最小值g（x）min=g（b）=4﹣b2；当b＞2时，g（x）在[1，2]上是减函数，g（x）min=g（2）=4﹣4b+4=8﹣4b；∵对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，当b＜1时，﹣≥5﹣2b，解得b≥，故b无解；当b＞2时，﹣≥8﹣4b，解得b≥，综上：b≥，故答案为：[，+∞）．三、解答题（共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．【考点】正弦定理；正弦函数的定义域和值域．【分析】（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B．（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）===．由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有≤，所以，cosA+sinC的取值范围为（，）．18．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．【考点】等可能事件的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；（Ⅱ）从5名志愿者中抽取2名志愿者有10种情况，其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中有7种情况，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10．因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：×6=3；第4组：×6=2；第5组：×6=1．所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人；（Ⅱ）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，．则从5名志愿者中抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）共有10种．其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共有7种所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．19．已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），定点，F1，F2是圆锥曲线C的左，右焦点．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程；（2）在（I）的条件下，设直线l与圆锥曲线C交于E，F两点，求弦EF的长．【考点】椭圆的参数方程；直线与圆锥曲线的关系；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）将曲线的参数方程化为普通方程，由椭圆的标准方程确定相关点的坐标，再由点斜式写出直线l的直角坐标方程，最后转化为极坐标方程即可（2）将直线方程与椭圆标准方程联立，利用韦达定理和弦长公式计算相交弦EF的长即可【解答】解：（1）圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），所以普通方程为C：∴∴∴直线l极坐标方程为：即（2）将直线代入椭圆标准方程，得5x2+8x=0，设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=0∴20．如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（I）根据直棱柱性质，得BB1⊥平面ABCD，从而AC⊥BB1，结合BB1∩BD=B，证出AC⊥平面BB1D，从而得到AC⊥B1D；（II）根据题意得AD∥B1C1，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角．连接A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=，最后在Rt△AB1D中算出B1D=，可得cos∠ADB1=，由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．【解答】解：（I）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线∴AC⊥平面BB1D，∵B1D⊂平面BB1D，∴AC⊥B1D；（II）∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，由此可得：直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角（记为θ），连接A1D，∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1⊂平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，由（I）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1=90°﹣θ，∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB因此，，可得AB==连接AB1，可得△AB1D是直角三角形，∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=在Rt△AB1D中，cos∠ADB1===，即cos（90°﹣θ）=sinθ=，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为．21．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的一点M的横坐标为3，焦点为F，且|MF|=4．直线l：y=2x﹣4与抛物线C交于A，B两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若P是x轴上一点，且△PAB的面积等于9，求点P的坐标．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）代入计算即可得出答案；（Ⅱ）先求出AB的长度，再根据三角形的面积公式，即可求得点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）依题意得， +3=4，∴p=2，∴抛物线方程为C：y2=4x；（Ⅱ）将直线方程与抛物线的方程进行联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得，y2﹣2y﹣8=0，∴A（1，﹣2），B（4，4），∴|AB|==3，设P（a，0），P到直线AB的距离为d，则d==，又S△ABP=|AB|•d，代入计算可得，|a﹣2|=3，∴a=5或a=﹣1，故点P的坐标为（5，0）和（﹣1，0）22．已知函数，m∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为函数f（x）的图象上任意不同两点，若过A，B两点的直线l的斜率恒大于﹣3，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；直线的斜率．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的定义域，求出导函数f′（x），根据导函数的表达式，对m和x 进行分类讨论，分别研究导函数f′（x）＞0的取值情况，从而得到f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）根据斜率公式，得到恒成立，构造函数g（x）=f（x）+3x，则将问题转化成在（0，+∞）上恒成立．解法一：对m的取值分m＞0，m=0，m＜0三种情况分别研究函数的恒成立问题，分析即可求得m的取值范围．解法二：将问题转化为在（0，+∞）上恒成立，对x的取值分类讨论，然后利用参变量分离法，转化成求最值问题，【解答】解：（Ⅰ）∵函数，m∈R，∴f（x）的定义域为（0，+∞），∴==，①若m≤0，则当x＞3时，f'（x）＞0，∴f（x）为（3，+∞）上的单调递增函数；②若m=3，∵恒成立，∴当x＞0时，f（x）为增函数，∴f（x）为（0，+∞）上的单调递增函数；③若0＜m＜3，当0＜x＜m时，f'（x）＞0，则f（x）为（0，m）上的单调递增函数，当x＞3时，f'（x）＞0，则f（x）为（3，+∞）上的单调递增函数；④若m＞3，当0＜x＜3时，f'（x）＞0，则f（x）为（0，3）上的单调递增函数，当x＞m时，f'（x）＞0，则f（x）为（m，+∞）上的单调递增函数．综合①②③④可得，当m≤0时，函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞），当0＜m＜3时，函数f（x）的单调递增区间是（0，m），（3，+∞），当m=3时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞），当m＞3时，函数f（x）的单调递增区间是（0，3），（m，+∞）；（Ⅱ）依题意，若过A，B两点的直线l的斜率恒大于﹣3，则有，当x1＞x2＞0时，f（x1）﹣f（x2）＞﹣3（x1﹣x2），即f（x1）+3x1＞f（x2）+3x2，当0＜x1＜x2时，f（x1）﹣f（x2）＜﹣3（x1﹣x2），即f（x1）+3x1＜f（x2）+3x2，设函数g（x）=f（x）+3x，∵对于两个不相等的正数x1，x2，恒成立，∴函数在（0，+∞）恒为增函数，∴在（0，+∞）上恒成立，解法一：①若m＜0时，=，∴g'（x）≥0不恒成立；②若m=0时，g'（x）=x＞0在（0，+∞）上恒成立；③若m＞0时，∵在（0，+∞）上恒成立，又∵当x＞0时，，（当且仅当时取等号）∴成立，∴，解得，即0＜m≤12，∴m=12符合题意．综上所述，当0≤m≤12时，过A，B两点的直线l的斜率恒大于﹣3．解法二：∵在（0，+∞）上恒成立，∴在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，①当x=3时，0≤3恒成立，符合题意；②当0＜x＜3时，在（0，+∞）上恒成立，等价于，设，∵h（x）为减函数，h（x）∈（﹣∞，0），只需m≥0；（ⅲ）当x＞3时，上式等价于，设，则h（x）==，当x＞3时，h（x）≥12（当且仅当x=6时等号成立）．则此时m≤12．在（0，+∞）上，当0≤m≤12时，成立．过A，B两点的直线l的斜率恒大于﹣3．解法三：在（0，+∞）上，恒成立，等价于h（x）=x2﹣mx+3m≥0在x∈（0，+∞）恒成立，则有（1）△≤0时，即m2﹣12m≤0，所以0≤m≤12或（2）△＞0时，需且h（x）＞3m，即3m≥0显然不成立．综上所述，0≤m≤12．。