【名师测控】2016春八年级数学下册 第5章 特殊四边形 5.1 矩形的性质(第1课时)课件 (新版)浙教版
八年级数学下册2.5.1矩形的性质教案新版湘教版
课题：2.5.1矩形性质教学目标1、掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系；2、会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题。
3、经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；掌握几何思维方法。
并 渗透运动联系、从量变到质变的观点。
4、培养严谨的推理能力，以及自主合的精神，体会逻辑推理的思维价值。
重点：矩形的性质难点：矩形的性质的灵活应用 教学过程： 一、知识复习（出示ppt 课件）平行四边形有哪些性质？ 边： 。
角： 。
对角线： 。
对称性： 。
如图： □ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点。
AD BC ，AB DC ∠BAD=∠BCD ，∠ABC=∠ADC ，∠ABC+∠BCD=1800 ... ... OA=OC ，OB=OD四边形具有不稳定性。
二、新知引入（出示ppt 课件）在小学，我们初步认识了长方形，观察图中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特点呢？细心观察平行四边形内角的变化把平行四边形的角变成直角。
三、合作探究（出示ppt 课件）1、矩形定义： 有一个角是直角的 平行四边形叫做矩形，也称为长方形.注意：矩形定义在平行四边形的基础上。
2、矩形性质： 由矩形定义讨论：矩形是平行四边形吗？它具有平行四边形的性质吗？四边形、平行四边形、矩形的关系如图：我们发现矩形对边平行且相等，因此，它是平行四边形.具有平行四边形的性质： 对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分；是中心对称图形。
矩形是特殊的平行四边形，它还有特殊性质：平行四边形变成矩形时，图形的内角有何特征？矩形的四个角都是直角.综合起来：由于矩形是平行四边形，因此，可得矩形的边、角性质：（1）矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分；矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 平行四边形变成矩形时，两条对角线的长度有什么关系？ O D C B A ∥ = ∥=四边形 平行四边形 矩形 OD CA B已知：矩形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O.求证：AC=BD证明一：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD,∠ABC=∠DCB ，∴△ABC ≌△DCB ，∴AC=BD证明二：∵四边形ABCD 是矩形，∴ ∠ABC=∠DCB=90°， AB=CD∴ AC 2=BC 2+AB 2 BD 2=BC 2+CD2 ∴AC=BD（2）由此得到矩形对角线的性质：矩形的对角线相等. （3）如图，矩形的对称性： 矩形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心， 在纸上画一个矩形ABCD (如图)，把它剪下来， 怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？①过点O 作直线EF ⊥BC ，且分别与边BC ，AD 相交于点E ，F .点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，直线EF 是矩形ABCD 的一条对称轴.②类似地，过点O 作直线MN ⊥AB ，且分别与边AB ，DC 相交于点M ，N ，则点M ，N 分别是边AB ，DC 的中点，直线MN 是矩形ABCD 的一条对称轴.矩形又是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.四、知识应用（出示ppt 课件）例1、如图，矩形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，AC = 4 cm ， ∠AOB = 60°. 求BC 的长.解：∵ □ABCD 是矩形，从而 OA=OB=12AC =2cm ，又∠AOB = 60°， ∴ △AOB 是等边三角形. ∴ AB =OA =2cm.∵ ∠ABC = 90°，∴ 在Rt △ABC 中，BC == 例2、如图，四边形ABCD 为矩形，试利用矩形的性质，说明：直角三角形ABC 斜边AC 上的中线BO 等于斜边的一半.证明 ∵ 四边形ABCD 是矩形，从而OA=OC=12AC ，OB=OD=12BD. （矩形的对角线互相平分.） 又 AC=BD ，(矩形的对角线相等.) ∴ OB=OA=OC=12AC 五、巩固练习（出示ppt 课件）六、思维拓展（出示ppt 课件）七、课堂小结（出示ppt 课件）思想方法交流：在矩形中进行有关计算或证明，常根据矩形的性质将问题转化到直角三角形或等腰三角形中，利用直角三角形或等腰三角形的有关性质 进行解题。
八年级数学下册 2.5.1 矩形的性质教案 (新版)湘教版
2．5 矩形2．5.1 矩形的性质1．理解并掌握矩形的性质定理及推论；(重点)2．会用矩形的性质定理及推论进行推导证明；(重点)3．会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明计算．(难点)一、情境导入如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么？可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示．二、合作探究探究点一：矩形的性质【类型一】运用矩形的性质求线段长矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB的长为( )A．1cm B．2cm C．2.5cm D．4cm解析：矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，根据矩形的性质得到△ABO≌△DCO，则OA＝OD，∠DAO＝45°，所以∠BOA＝∠BAO＝45°，即BC＝2AB，由矩形ABCD的周长为24cm，得24＝2AB＋2×2AB，解得AB＝4cm.故选D.方法总结：本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】运用矩形的性质解决面积问题如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )A.15B.14C.13D.310解析：∵矩形ABCD 的边AB ∥CD ，∴∠ABO ＝∠CDO ，在矩形ABCD 中，OB ＝OD ，在△BOE和△DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABO ＝∠CDO ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF (ASA)，∴S △BOE ＝S △DOF ，∴阴影部分的面积＝S△AOB ＝14S 矩形ABCD .故选B. 方法总结：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出阴影部分的面积＝S △AOB 是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】 运用矩形的性质证明线段相等如图，在矩形ABCD 中，以顶点B 为圆心、边BC 长为半径作弧，交AD 边于点E ，连接BE ，过C 点作CF ⊥BE 于F .求证：BF ＝AE .解析：利用矩形的性质得出AD ∥BC ，∠A ＝90°，再利用全等三角形的判定得出△BFC ≌△EAB ，进而得出结论．证明：在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，∴∠AEB ＝∠FBC ，∵CF ⊥BE ，∴∠BFC ＝∠A ＝90°，由作图可知，BC ＝BE ，在△BFC 和△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠CFB ，∠AEB ＝∠FBC ，EB ＝BC ，∴△BFC ≌△EAB (AAS)，∴BF ＝AE .方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及矩形的性质，得出△BFC ≌△EAB 是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型四】 运用矩形的性质证明角相等已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF ＝ED ，EF ⊥ED .求证：AE 平分∠BAD .解析：要证AE 平分∠BAD ，可转化为△ABE 为等腰直角三角形，得AB ＝BE ，又AB ＝CD ，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定和矩形的性质，可确定BE ＝CD ，即求证．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝∠BAD ＝90°，AB ＝CD ，∴∠BEF ＋∠BFE ＝90°.∵EF ⊥ED ，∴∠BEF ＋∠CED ＝90°.∴∠BFE ＝∠CED .∴∠BEF ＝∠EDC .在△EBF 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFE ＝∠CED ，EF ＝ED ，∠BEF ＝∠EDC ，∴△EBF ≌△DCE (ASA)．∴BE ＝CD .∴BE ＝AB .∴∠BAE ＝∠BEA ＝45°.∴∠EAD ＝45°.∴∠BAE ＝∠EAD ，即AE 平分∠BAD .方法总结：矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计矩形的性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．平行四边形变形为矩形的过程的演示；生活中给人以矩形形象物体的播放；学生画矩形；学生探究矩形性质时看、猜、比、量、折、写、说等，让学生在体验、实践的过程中，扩大认知结构，发展能力，完善人格，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，使课堂矩形教学真正落实到学生的发展上。
浙教版数学八年级下册第5章 特殊平行四边形.docx
第5章特殊平行四边形5．1 矩形(一)1．在矩形ABCD中，其中三个顶点的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(5，3)，则第四个顶点的坐标是(A)A. (0，3)B. (3，0)C. (0，5)D. (5，0)2．如图，在矩形纸片ABCD中，E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则AB的长为(C)A．1 B. 2C. 3 D．2【解】提示：连结EC，则EC＝BC＝AD＝2AE＝2.（第2题）(第3题)3．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上．若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是(B)A．S1>S2 B．S1＝S2C．S1<S2 D．3S1＝2S2(第4题)4．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片折叠，使点B恰好落在CD边上的中点F处，折痕为AE.若CD＝6，则AE等于(A)A．4 3 B．3 3C．4 2 D．8(第5题)5．如图，矩形ABCD 的周长为20 cm ，AC 交BD 于点O ，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，连结CE ，则△CDE 的周长为(D )A ．5 cmB ．8 cmC ．9 cmD ．10 cm6．如图，E 是矩形ABCD 的边AD 的延长线上一点，且AD ＝DE ，连结BE 交CD 于点O ，连结AO ，则下列结论不正确的是(A )(第6题)A. △AOB ≌△BOCB. △BOC ≌△EODC. △AOD ≌△EODD. △AOD ≌△BOC(第7题)7．如图，已知矩形纸片ABCD 的长为8，宽为6，把纸片对折，使点A 与点C 重合，求折痕EF 的长． 【解】 连结AC ，AE ，CF ，设AC 与EF 交于点O ，由题意可得EF 是AC 的中垂线， ∴AE ＝EC .设AE ＝EC ＝x ，则BE ＝8－x . ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝90°，AO ＝OC ＝12AC .在Rt △ABE 中，AB 2＋BE 2＝AE 2， 即62＋(8－x )2＝x 2， 解得x ＝254.∵∠B ＝90°，AB ＝6，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝62＋82＝10. ∴AO ＝12AC ＝5.在Rt △AOE 中，AO 2＋OE 2＝AE 2， 即OE 2＝AE 2－AO 2， ∴OE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2542－52＝154. 易证△AOF ≌△COE (ASA )，∴EF ＝2OE ＝152.(第8题)8．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且DE ＝CF ，连结OE ，OF .求证：OE ＝OF .【解】 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ADC ＝∠BCD ＝90°，AC ＝BD ，OD ＝12BD ，OC ＝12AC ，∴OD ＝OC ， ∴∠ODC ＝∠OCD ，∴∠ADC －∠ODC ＝∠BCD －∠OCD ， 即∠EDO ＝∠FCO . 在△ODE 与△OCF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝CF ，∠EDO ＝∠FCO ，OD ＝OC ，∴△ODE ≌△OCF (SAS )． ∴OE ＝OF .(第9题)9．如图，在矩形ABCD 中，F 是BC 上一点，连结AF ，AF ＝BC ，DE ⊥AF ，垂足为E ，连结DF .求证： (1)△ABF ≌△DEA . (2)DF 是∠EDC 的平分线．【解】 (1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝90°，AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∴∠DAE ＝∠AFB . ∵DE ⊥AF ，∴∠DEA ＝∠B ＝90°.∴AF ＝AD ，∴△ABF ≌△DEA (AAS )． (2)由(1)知△ABF ≌△DEA ， ∴AB ＝DE .∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝90°，DC ＝AB . ∴DC ＝DE . ∵DF ＝DF ，∴Rt △DEF ≌Rt △DCF (HL )， ∴∠EDF ＝∠CDF ， 即DF 是∠EDC 的平分线．10．如图，矩形OABC 的顶点A ，C 在坐标轴上，顶点B 的坐标是(4，2)，若直线y ＝mx －1恰好将矩形分成面积相等的两部分，则m 的值为(A )A. 1B. 0.5C. 0.75D. 2【解】 ∵直线y ＝mx －1恰好将矩形分成面积相等的两部分， ∴直线y ＝mx －1经过矩形的对角线交点(2，1)． 把点(2，1)代入y ＝mx －1，得m ＝1.(第10题) (第11题)11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 是AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 等于(B )A.75B.125C.135 D.145【解】 提示：连结PO ，过点A 作AG ⊥BD 于点G ，求得AG ＝125，利用面积公式(等积法)可求得，PE＋PF ＝AG ＝125.(第12题)12．如图，在矩形ABCD 中，AB BC ＝35，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交边AD 于点E .若AE ·ED ＝43，则矩形ABCD 的面积为__5__．【解】 连结BE ，则BE ＝BC ，设AB ＝3x ，则由AB BE ＝35，得BE ＝BC ＝5x .∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ＝5x ，∠A ＝90°.在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AE ＝4x ， 则ED ＝5x －4x ＝x . ∵AE ·ED ＝43，∴4x ·x ＝43，解得x ＝33(负值舍去)， 则AB ＝3x ＝3，BC ＝5x ＝533，∴矩形ABCD 的面积＝AB ·BC ＝3×533＝5. 13．一次数学课上，老师请同学们在一张长为18 cm ，宽为16 cm 的矩形纸板上，剪下一个腰长为10 cm 的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其他两个顶点在矩形的边上，求剪下的等腰三角形的面积．【解】 分三种情况：①如解图①，在△AEF 中，AE ＝AF ＝10 cm ， ∴S △AEF ＝12AE ·AF ＝12×10×10＝50(cm 2)．(第13题解)②如解图②，在△AGH 中，AG ＝GH ＝10 cm ，∴BG ＝AB －AG ＝16－10＝6(cm)． 根据勾股定理，得BH ＝8 cm.∴S △AGH ＝12AG ·BH ＝12×10×8＝40(cm 2)．③如解图③，在△AMN 中，AM ＝MN ＝10 cm ， ∴MD ＝AD －AM ＝18－10＝8(cm)． 根据勾股定理，得DN ＝6 cm.∴S △AMN ＝12AM ·DN ＝12×10×6＝30(cm 2)．综上所述，剪下的等腰三角形的面积为50 cm 2或40 cm 2或30 cm 2.(第14题)14．如图，将一个长和宽分别为8和4的矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，求折痕EF 的长． 【解】 由折叠知∠AEF ＝∠FEC ，AE ＝CE . 设BE ＝x ，则AE ＝CE ＝8－x . 在Rt △ABE 中，BE 2＋AB 2＝AE 2， 即x 2＋42＝(8－x )2， 解得x ＝3. ∴BE ＝3，AE ＝5. 过点F 作FH ⊥BC 于点H .∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ， ∴∠AFE ＝∠FEC ， ∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AF ＝AE ＝5，∴BH ＝AF ＝5， ∴EH ＝5－3＝2.在Rt △EFH 中，EF ＝22＋42＝20＝2 5.15．已知矩形的对角线长为10，而它的两邻边a ，b 的长满足m 2＋a 2m －12a ＝0，m 2＋b 2m －12b ＝0(m ≠0)，求矩形的周长．【解】 根据m 2＋a 2m －12a ＝0，m 2＋b 2m －12b ＝0(m ≠0)可得a ，b 恰为方程mx 2－12x ＋m 2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝12m，ab ＝m .∵a 2＋b 2＝(10)2，即(a ＋b )2－2ab ＝10，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2－2m ＝10， ∴m 3＋5m 2－72＝0， ∴(m －3)(m 2＋8m ＋24)＝0， ∴m －3＝0或m 2＋8m ＋24＝0. ∵m 2＋8m ＋24＝(m ＋4)2＋8>0， ∴m 2＋8m ＋24≠0. ∴m ＝3.∴矩形的周长为2(a ＋b )＝24m＝8.16．阅读以下材料，然后解决问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形这条边所对的顶点在矩形这条边的对边上，那么称这样的矩形为三角形的友好矩形．如图①所示，矩形ABEF 即为△ABC 的友好矩形．显然，当△ABC 是钝角三角形时，其友好矩形只有一个．(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的友好平行四边形．(2)如图②，若△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°，在图②中画出△ABC 的所有友好矩形，并比较这些矩形面积的大小．(3)若△ABC 是锐角三角形，且BC ＞AC ＞AB ，在图③中画出△BAC 的所有友好矩形，指出其中周长最小的矩形并加以证明．(第16题)【解】 (1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，且三角形这条边所对的顶点在平行四边形这条边的对边上，那么称这样的平行四边形为三角形的友好平行四边形．(第16题解①)(2)此时共有2个友好矩形，如解图①中的矩形BCAD ，矩形ABEF .易知矩形BCAD ，矩形ABEF 的面积都等于△ABC 的面积的2倍，∴△ABC 的友好矩形的面积相等． (3)此时共有3个友好矩形，如解图②中的矩形BCDE ，矩形CAFG 及矩形ABHK ，其中的矩形ABHK 的周长最小．证明如下：(第16题解②)易知这三个矩形的面积相等，令其为S ，设矩形BCDE ，矩形CAFG 及矩形ABHK 的周长分别为L 1，L 2，L 3，△ABC 的边长BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则L 1＝2S a ＋2a ，L 2＝2S b ＋2b ，L 3＝2Sc＋2c ，∴L 1－L 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2S a＋2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫2S b＋2b＝2(a －b )·ab －Sab. ∵ab ＞S ，a ＞b ， ∴L 1－L 2＞0，即L 1＞L 2. 同理，L 2＞L 3，∴L 3最小，即矩形ABHK 的周长最小．初中数学试卷。
最新湘教版八年级下册数学精品教案2.5.1 矩形的性质
2．5矩形2．5.1矩形的性质1．理解并掌握矩形的性质定理及推论；(重点)2．会用矩形的性质定理及推论进行推导证明；(重点)3．会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明计算．(难点)一、情境导入如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么？可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示．二、合作探究探究点一：矩形的性质【类型一】运用矩形的性质求线段长矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB的长为()A．1cm B．2cm C．2.5cm D．4cm解析：矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，根据矩形的性质得到△ABO≌△DCO，则OA＝OD，∠DAO＝45°，所以∠BOA＝∠BAO＝45°，即BC＝2AB，由矩形ABCD的周长为24cm，得24＝2AB＋2×2AB，解得AB＝4cm.故选D.方法总结：本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．【类型二】运用矩形的性质解决面积问题如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的()A.15 B.14 C.13 D.310解析：∵矩形ABCD的边AB∥CD，∴∠ABO ＝∠CDO，在矩形ABCD中，OB＝OD，在△BOE和△DOF中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABO＝∠CDO，OB＝OD，∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴S△BOE＝S△DOF，∴阴影部分的面积＝S△AOB＝14S矩形ABCD.故选B.方法总结：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出阴影部分的面积＝S△AOB是解题的关键．【类型三】运用矩形的性质证明线段相等如图，在矩形ABCD 中，以顶点B 为圆心、边BC 长为半径作弧，交AD 边于点E ，连接BE ，过C 点作CF ⊥BE 于F .求证：BF ＝AE .解析：利用矩形的性质得出AD ∥BC ，∠A ＝90°，再利用全等三角形的判定得出△BFC ≌△EAB ，进而得出结论．证明：在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，∴∠AEB ＝∠FBC ，∵CF ⊥BE ，∴∠BFC ＝∠A ＝90°，由作图可知，BC ＝BE ，在△BFC 和△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠CFB ，∠AEB ＝∠FBC ，EB ＝BC ，∴△BFC ≌△EAB (AAS)，∴BF ＝AE .方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及矩形的性质，得出△BFC ≌△EAB 是解题的关键．【类型四】 运用矩形的性质证明角相等已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F分别是边BC 、AB 上的点，且EF ＝ED ，EF ⊥ED .求证：AE 平分∠BAD .解析：要证AE 平分∠BAD ，可转化为△ABE 为等腰直角三角形，得AB ＝BE ，又AB ＝CD ，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定和矩形的性质，可确定BE ＝CD ，即求证．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C＝∠BAD ＝90°，AB ＝CD ，∴∠BEF ＋∠BFE ＝90°.∵EF ⊥ED ，∴∠BEF ＋∠CED ＝90°.∴∠BFE ＝∠CED .∴∠BEF ＝∠EDC .在△EBF 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFE ＝∠CED ，EF ＝ED ，∠BEF ＝∠EDC ，∴△EBF ≌△DCE (ASA)．∴BE ＝CD .∴BE ＝AB .∴∠BAE ＝∠BEA ＝45°.∴∠EAD ＝45°.∴∠BAE ＝∠EAD ，即AE 平分∠BAD .方法总结：矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决．三、板书设计 矩形的性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．平行四边形变形为矩形的过程的演示；生活中给人以矩形形象物体的播放；学生画矩形；学生探究矩形性质时看、猜、比、量、折、写、说等，让学生在体验、实践的过程中，扩大认知结构，发展能力，完善人格，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，使课堂矩形教学真正落实到学生的发展上.。
湘教版八年级数学下册2.5.1 矩形的性质2
2.5 矩形2.5.1 矩形的性质【知识与技能】1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系.2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题.【过程与方法】经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合理推理的意识；掌握几何思维方法.并渗透运动联系、从量变到质变的观点.【情感态度】培养严谨的推理能力，以及自主学习的精神，体会逻辑推理的思维价值.【教学重点】矩形的性质.【教学难点】矩形的性质灵活应用.一、创设情境，导入新课在小学，我们初步认识了长方形，你能举出日常生活中有关长方形的例子吗？观察教材图2-41的长方形，它是平行四边形吗？它有什么特点呢？我们这节课就来学习它.【教学说明】用学生身边熟悉的例子入手，同时以提问的方式引起学生的思考和注意，激发学生的求知欲望，让他们愉快地投入到学习中去.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知问题1 矩形的定义做一做用教具演示活动平行四边形的变化过程，当变化到有一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？引出矩形的定义.【教学说明】这里既复习了四边形的不稳定性，又通过演示操作观察得出矩形的概念，学生一目了然.问题2 矩形的性质提问 ①当□ABCD 变为矩形时，它的四个角有什么变化？对边、对角有什么关系？②沿矩形对边中点折叠，你有什么发现？绕着对角线的交点旋转180°呢？【教学说明】让学生经历知识形成的过程，动手操作得出的结论既直观，印象又深刻，更易于理解.思考 教材第59页“动脑筋”【教学说明】利用三角形全等得出矩形的另一条性质对角线相等，让学生明白它的由来.例：教材第59页“例1”【教学说明】利用所学的矩形的性质进行有关的证明与计算，一方面学生熟练运用，另一方面加深理解.三、运用新知，深化理解1.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O 点，∠AOB=60°，AB=5，则AD 的长是（ ） A.52 B.53C.5D.102.如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在D′处，若AB=3，AD=4，则ED 的长为（）A.23 B.3 C.1 D.43 3.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，若CD=5cm ，则EF=cm.4.如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF=BC，DE⊥AF，垂足为E，连接DF.求证：（1）△ABF≌△DEA；（2）DF是∠EDC的平分线.【教学说明】让学生自主完成，加深对所学知识的理解和运用以及检查学生的掌握情况，对有困难的学生及时给予帮助，及时纠正出现的错误，并加以强化.在完成上述题目后，让学生完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1.B 2.A 3.54.证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠DEA=∠B=90°，∵AF=BC，∴AF=AD，∴△ABF≌△DEA.（2）由（1）知△ABF≌△DEA，∴DE=AB.∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，DC=AB，∴DC=DE，∴Rt△DEF≌Rt△DCF(HL)，∴∠EDF=∠CDF，即DF是∠EDC的平分线.四、师生互动，课堂小结通过今天的学习，你掌握了矩形的哪些性质？还有什么心得与大家共享?存在哪些困难?与大家共同讨论.【教学说明】引导学生回顾所学知识点，加深印象，相互学习，共同提高.1.布置作业：习题2.5中的第1、5题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.通过学生动手操作，观察实验得出结论，既有理性思考，又能让数学活动与知识的学习有机的结合.在教学中要注意学生的薄弱环节，对于学习中出现的问题及时矫正，同时进行必要的补充.。
八年级数学下册《特殊的平行四边形》矩形的判定
∴四边形ABCD是矩形.
新课讲解
例3 如图， □ ABCD的四个内角的平分线分别相交
于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
A
证明：在□ ABCD中，AD∥BC,
G F
∴∠DAB+∠ABC=180°. ∵AE与BG分别为∠DAB、∠ABC的平分线, B
E
D H
C
∴ ∠BAE+ ∠ABF= ∠DAB+
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形
课时2 矩形的判定
课后作业---《少年班》
课后作业
课后作业
课后作业
课后作业
课后作业
课后作业
课后作业
课后作业
谢谢观看
思考 你能证明这一猜想吗？
新课讲解
证一证
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC = ∠DCB. A
B
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180D°,
C
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
新课讲解
归纳总结
矩形的判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
D
C
新课讲解
思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形 窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对 角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？
(华师版)八年级数学下册名师 精品导学案：课题 矩形的性质(2)
课题 矩形的性质(2)【学习目标】1．让学生熟练地运用矩形的性质解决有关的问题．2．了解相关折叠问题，并进一步渗透方程思想．【学习重点】熟练地运用矩形的性质解决有关的问题．【学习难点】折叠问题与方程思想．行为提示：创设问题情景导入，激发学生的求知欲望．行为提示：让学生阅读教材，尝试完成“自学互研”的所有内容，并适时给学生提供帮助，大部分学生完成后，进行小组交流．解题思路：可用勾股定理求出对角线AC 的长，再利用三角形的面积法求出BE 的长．知识链接：1．矩形产生直角，所以联想到勾股定理：a 2＋b 2＝c 2.2．多个垂直，宜用面积法：S △＝12a ·h a ＝12b ·h b ＝S 1＋S 1＋….方法指导：在矩形中，勾股定理与面积法使用的非常多，特别是面积法，可以取得意想不到的效果．情景导入 生成问题【旧知回顾】1．矩形的性质有哪些？答：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．2．当矩形的对角线夹角为多少度时，可以得到两个等边三角形？答：60°或120°.自学互研 生成能力知识模块一 利用矩形的性质进行计算【合作探究】范例1：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，BE ⊥AC ，垂足为点E.试求BE 的长．解：在矩形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝32＋42＝25＝5.又∵S △ABC ＝12AB ·BC ＝12AC ·BE ， ∴BE ＝AB ·BC AC ＝3×45＝2.4. 范例2：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE 垂直平分线段BO ，垂足为点E ，BD ＝15 cm .求AC 、AB 的长．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ＝15，∴AO ＝12AC ＝7.5. ∵AE 垂直平分BO ，∴AB ＝AO ＝7.5.即AC 的长为15 cm ，AB 的长为7.5 cm .知识模块二 矩形中的翻折问题【自主探究】1．折叠：将某个图形沿某条直线翻折一定的度数得到的新的图形(若翻180°即为轴对称)．折叠前后的两个图形__全等__．2．解决折叠常用的方法：勾股定理与面积法；常用的思想：方程思想．【合作探究】范例3：(2016·聊城中考)如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( A )A ．115°B ．120°C ．130°D ．140°分析：由折叠知：∠B′＝∠B ＝90°，∠1＝∠EFB′，又∠2的对顶角的度数为40°，所以根据“直角三角形两锐角互余”得到∠CFB′＝50°，设∠1＝x ，则∠CFE ＝180°－x ，于是可列方程：x ＝180°－x ＋50°，于是求解．故选A .学习笔记：1．勾股定理与面积法在矩形中的运用．2．培养方程思想：将未知的量设成小写字母，寻找等式列方程(一般为隐含条件)．行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配任务，各组展示过程中，教师引导其他组进行补充、纠错、释疑，然后进行总结评比．学习笔记：检测的目的在于让学生能灵活运用矩形的性质．范例4：(2016·扬州中考)如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D＝90°，由折叠知：AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，∴AM＝CN，∴AM－MN＝CN－MN，即：AN＝CM.在△ANF和△CME中，∵∠FAN＝∠ECM，AN＝CM，∠ANF＝∠CME，∴△ANF≌△CME，∴AF＝CE.又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；(2)∵AB＝6，AC＝10.∴BC＝AC2－AB2＝102－62＝8，设CE＝x，则EM＝8－x，CM＝10－6＝4，在Rt△CEM中，EM2＋CM2＝CE2，∴(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，∴S四边形AECF＝EC·AB＝5×6＝30.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一利用矩形的性质进行计算知识模块二矩形中的翻折问题检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
浙教版初中八年级下册数学精品教学课件 第五章 特殊平行四边形 5.1 矩形
解析]∵四边形是矩形，∴由矩形的中心对称性易知，，.
知识点4 矩形的判定 重点
文字语言
符号语言
图示
定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
在中，，是矩形.
.
判定定理1
有三个角是直角的四边形是矩形.
在四边形中，，∴四边形是矩形.
.
判定定理2
对角线相等的平行四边形是矩形.
典例2如图，矩形中，点是边上一点，连结，若，，则的长为()
C
A.B.C.D.
[解析]∵四边形是矩形，，.在中，，.
典例3如图，矩形的顶点的坐标为，则长为()
A
A.B.C.D.
[解析]如图，连结，∵点的坐标为，.∵四边形是矩形，.
例题点拨已知点的坐标，可构造直角三角形（或用两点间的距离公式）求的长，再由矩形对角线相等可得，即可求解．
第5章 特殊平行四边形
5.1 矩形
学习目标
1.掌握矩形的概念，理解矩形与长方形、正方形的关系.2.掌握矩形的性质定理“矩形的四个角都是直角”.3.掌握矩形的性质定理“矩形的对角线相等”.4.掌握矩形的对称性，并能准确描述对称轴.5.掌握矩形的判定定理“有三个角是直角的四边形是矩形”.6.掌握矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”.7.灵活运用矩形的性质和判定方法解决问题.
（2）解：当时，四边形为矩形.理由：∵线段为的中位线，，，.由（1），得四边形是平行四边形，∴四边形为矩形．
（1）求证：四边形是矩形.
（2）你所证明结论的依据是______________________________，该依据的逆命题是____命题（填“真”或“假”）．
对角线相等的平行四边形是矩形
真
证明：（1）∵四边形是平行四边形，，.又，，即，∴四边形为平行四边形.，，∴四边形为矩形.
八年级数学下册 2.5.1 矩形的性质教案 (新版)湘教版
2．5 矩形2．5.1 矩形的性质1．理解并掌握矩形的性质定理及推论；(重点)2．会用矩形的性质定理及推论进行推导证明；(重点)3．会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明计算．(难点)一、情境导入如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么？可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示．二、合作探究探究点一：矩形的性质【类型一】运用矩形的性质求线段长矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB的长为( )A．1cm B．2cm C．2.5cm D．4cm解析：矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，根据矩形的性质得到△ABO≌△DCO，则OA＝OD，∠DAO＝45°，所以∠BOA＝∠BAO＝45°，即BC＝2AB，由矩形ABCD的周长为24cm，得24＝2AB＋2×2AB，解得AB＝4cm.故选D.方法总结：本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】运用矩形的性质解决面积问题如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )A.15B.14C.13D.310解析：∵矩形ABCD 的边AB ∥CD ，∴∠ABO ＝∠CDO ，在矩形ABCD 中，OB ＝OD ，在△BOE和△DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABO ＝∠CDO ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF (ASA)，∴S △BOE ＝S △DOF ，∴阴影部分的面积＝S△AOB ＝14S 矩形ABCD .故选B. 方法总结：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出阴影部分的面积＝S △AOB 是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】 运用矩形的性质证明线段相等如图，在矩形ABCD 中，以顶点B 为圆心、边BC 长为半径作弧，交AD 边于点E ，连接BE ，过C 点作CF ⊥BE 于F .求证：BF ＝AE .解析：利用矩形的性质得出AD ∥BC ，∠A ＝90°，再利用全等三角形的判定得出△BFC ≌△EAB ，进而得出结论．证明：在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，∴∠AEB ＝∠FBC ，∵CF ⊥BE ，∴∠BFC ＝∠A ＝90°，由作图可知，BC ＝BE ，在△BFC 和△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠CFB ，∠AEB ＝∠FBC ，EB ＝BC ，∴△BFC ≌△EAB (AAS)，∴BF ＝AE .方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及矩形的性质，得出△BFC ≌△EAB 是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型四】 运用矩形的性质证明角相等已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF ＝ED ，EF ⊥ED .求证：AE 平分∠BAD .解析：要证AE 平分∠BAD ，可转化为△ABE 为等腰直角三角形，得AB ＝BE ，又AB ＝CD ，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定和矩形的性质，可确定BE ＝CD ，即求证．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝∠BAD ＝90°，AB ＝CD ，∴∠BEF ＋∠BFE ＝90°.∵EF ⊥ED ，∴∠BEF ＋∠CED ＝90°.∴∠BFE ＝∠CED .∴∠BEF ＝∠EDC .在△EBF 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFE ＝∠CED ，EF ＝ED ，∠BEF ＝∠EDC ，∴△EBF ≌△DCE (ASA)．∴BE ＝CD .∴BE ＝AB .∴∠BAE ＝∠BEA ＝45°.∴∠EAD ＝45°.∴∠BAE ＝∠EAD ，即AE 平分∠BAD .方法总结：矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计矩形的性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．平行四边形变形为矩形的过程的演示；生活中给人以矩形形象物体的播放；学生画矩形；学生探究矩形性质时看、猜、比、量、折、写、说等，让学生在体验、实践的过程中，扩大认知结构，发展能力，完善人格，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，使课堂矩形教学真正落实到学生的发展上。