《线性代数教学资料徐林荣》第一章行列式

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线性代数课件第一章行列式

an1 an2
ann
0
0
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
j1 j2 jn
ann
(1) (1 j2
a a jn ) 11 2 j2
1 j2 jn
(1) (123 n) a11a22 ann
a11a22 ann
anjn anjn
a11 0
0
计算主对角线行列式 0 a22
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
23
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．
= 1 + 4 + 0 + 0 + 1+ 0 = 6 14
τ(314625)=5，314625是奇排列。 τ(314652)=6，314652是偶排列。
逆序数的性质
(12n) 0，
(n(n 1)321) n(n 1)
2
0 (i1i2
in )
n(n 1) 2
15
定义2.3 把一个排列中两个数i , j的位置互换而保持其余数字的位置不动，则称对这个排列施行了一个对换，记作(i , j). 两个相邻位置数字的对换称为相邻对换，否则称为一般对换。
数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为偶排列。
如：314652中， 31是逆序，65是逆序，32是逆序，42是逆序 62是逆序，52是逆序数。逆序数τ(314652)=6
记τk = 排列j1j2…jn中数字k前面比k大的数的个数。则 τ(314652)= τ1 + τ2 + τ3 + τ4 + τ5 + τ6

经济数学基础线性代数之第1章行列式

第一单元行列式的定义一、学习目标通过本节课学习，理解行列式的递归定义，掌握代数余子式的计算，知道任何一个行列式就是代表一个数值，是可以经过特定的运算得到其结果的．二、内容讲解行列式行列式的概念什么叫做行列式呢？譬如，有4个数排列成一个行方块，在左右两边加竖线。

即2153-称为二阶行列式；有几个概念要清楚，即上式中，横向称行，共有两行；竖向称列，共有两列；一般用ija 表示第i 行第j 列的元素，如上例中的元素311=a ，512=a ，121-=a ，222=a ．再看一个算式075423011--称为三阶行列式，其中第三行为5，-7，0；第二列为–1，2，-7；元素423=a ，531=a又如1321403011320---，是一个四阶行列式．而11a 的代数余子式为()07421111111--=-=+M A代数余子式就是在余子式前适当加正负号，正负号的规律是-1的指数是该元素的行数加列数．()43011322332-=-=+M A问题思考：元素ija 的代数余子式ijA 是如何定义的？代数余子式ijA 由符号因子j i +-)1(与元素ij a 的余子式ij M 构成，即()ijji ijM A +-=1三、例题讲解例题1：计算三阶行列式542303241---=D分析：按照行列式的递归定义，将行列式的第一行展开，使它成为几个二阶行列式之和，二阶行列式可以利用对角相乘法，计算出结果．解：()()()5233145430112111---⋅-+--⋅=++D ()42031231--⋅++7212294121=⋅+⋅+⋅=四、课堂练习计算行列式hg f ed c b a D 00000004=利用n 阶行列式的定义选择答案．将行列式中的字母作为数字对待，利用递归定义计算．注意在该行列式的第一五、课后作业1.求下列行列式的第二行第三列元素的代数余子式23A（1）210834021-- （2）3405122010141321---2．计算下列行列式（1）622141531-- （2）612053124200101---3．设00015413010212014=D（1）由定义计算4D ；（2）计算2424232322222121A a A a A a A a +++，即按第二行展开；（3）计算3434333332323131A a A a A a A a +++，即按第三行展开；（4）按第四行展开．第二单元行列式的性质一、学习目标通过本节课的学习，掌握行列式的性质，并会利用这些性质计算行列式的值．二、内容讲解行列式的性质用定义计算行列式的值有时是比较麻烦的，利用行列式的性质能够使计算变的比较容易了．行列式的性质有七条，下面讲一讲几条常用的性质．在讲这些性质前，先给出一个概念：把行列式D中的行与列按原顺序互换以后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为TD．如987654321=D,963852741T=D1．行列式的行、列交换，其值不变．如264536543-==这条性质说明行列式中，行与列的地位是一样的．2．行列式的两行交换，其值变号．如243656543-=-=3．若行列式的某一行有公因子，则可提出．如d c b a dc ba333=注意：一个行列式与一个数相乘，等于该数与行列式的某行（列）的元素相乘． 4．行列式对行的倍加运算，其值不变．如倍加运算就是把一行的常数倍加到另一行上2113-- 5513-=注意：符号“À+2Á”放在等号上面，表示行变换，放在等号下面表示列变换．问题1：将n 阶行列式的最后一行轮换到第一行，这两个行列式的值有什么关系？答案设n 阶行列式nD ，若将nD 的最后一行轮换到第一行，得另一个n 阶行列式nC ，那么这两个行列式的值的关系为： n C =nn D 1)1(--问题2：如果行列式有两行或两行以上的行都有公因子，那么按性质3应如何提取？答案按顺序将公因子提出.三、例题讲解例1计算行列式dc b a 675081004000--.分析：利用性质6，行列式可以按任一行（列）展开．本题按第一行逐步展开，计算出结果．À+2Á解：dc b a 675081004000--=dc b a 670800-=d c ab 60=abcd我们将行列式中由左上角至右下角的对角线，称为主对角线．如例1中，行列式在主对角线以上的元素全为零，则称为下三角行列式．由例1的计算过程，可得这样规律：下三角行列式就等于主对角线元素的积．同理，主对角线以下元素全为零的行列式，则称为上三角行列式，且上三角行列式也等于主对角线元素之积．今后，上、下三角行列式统称为三角行列式．例2 计算行列式4977864267984321----分析：原行列式中第三行的元素是第一行的2倍，因此，利用行列式的倍加运算（性质5），使第三行的元素都变为0，得到行列式的值．解：4977864267984321----497700067984321----= 0例3 计算行列式2211132011342211----分析：利用行列式的倍加运算（性质5），首先将某行（列）的元素尽可能化为0，再利用行列式可以按任一行（列）展开的性质（性质6），逐步将原行列式化为二阶行列式，计算出结果．解：2211132011342211---- 2411142010342011---111142010342011----=111134211)1(433-----⨯+1101312104----⨯=1121)1(412----⨯+12)21(4=---=通过此例可知，行列式两行成比例，则行列式为零．三、课堂练习练习1 若d a a a a a a a a a =333231232221131211，求行列式232221131211313231222333a a a a a a a a a ---利用行列式的性质3，将第一行的公因子3、第二行的公因子（-1）、第三行的由性质4，若行列式中某列的元素均为两项之和，则可将其拆写成两个行列式之和．Â+ÃÀ+Á在着手具体计算前，先观察一下此行列式有否特点？有，其第三列的数字较大，但又都分别接近100、200、300和400，故将第三列的元素分别写成两项之和，再利用行列式的性质4将其写成两个行列式之和．注意，将第三列的元素分别写成两项之和时，还要考虑到结论“行列式中两列元素相同（或成比例），则该行列式的值为0”的利用．五、课后作业1．计算下列行列式（1）75701510--- （2）253132121-（3） ww w w ww22111 (0≠w ) （4）3879010087424321--2．证明（1）=---------c b b a a c b a a c c b a c c b b a （2）()32211122b a b b a a b ab a -=+1．（1）0 （2） -2 （3） 22)1(--w w （4）2. （1）提示：利用性质5，将第一行化成零行．（2）提示：利用性质5，将第三行的元素化成“0 0 1”，再按第三行展开，并推出等号右边结果．第三单元行列式的计算一、学习目标通过本节课的学习，掌握行列式的计算方法．二、内容讲解行列式的计算行列式=按任何一行（列）展开下面用具体例子说明．d c b a =bc ad -1156)1(5232153=+=-⋅-⋅=-一个具体的行列式就是代表具体的一个数．再看一个三阶行列式．75423011--可以按任何一行（列）展开按第一行展开=752300543107421-⨯+⨯+-⨯=02028+-=8 按第三列展开=231107511475230-⨯+--⨯--⨯=0)57(40++-⨯-=8注意：1．行列式计算一般按零元素较多的行（列）展开．2．代数余子式的正负号是有规律的，一正一负相间隔．问题：试证 2222222211110000d c b a d c b a d c b a d c dc b a b a =答案左边=三、例题讲解例计算行列式214200131000211---分析：由性质6可知，行列式可以按任何一行（列）展开来求值．因为第二、三行，第四列的零元素都较多，所以可选择其一展开，再进一步将其展成二阶行列式，并计算结果．解：按第三行展开214200131000211---=214100211)1(2021315021)1(14313----⨯+----⨯++=1411)1()1(22121)1(33232--⨯-⨯----⨯++==10)41(2)22(3-=+--⨯-四、课堂练习练习1 计算行列式dcb a 100110011001---练习2 计算行列式24524288251631220223------为了避免分数运算，先作变换“第一行加上第二行的2倍，即À+Á 2；第三行加上第二行的-2倍，即Â+Á(-2)；第四行加上第二行的-2倍，即Ã+Á(-2)”．该行列式没有明显特点，采用哪种方法计算都可以，这里用“化三角行列式”五、课后作业1．计算下列行列式：（1）881441221---- （2）4222232222222221（3）4321651065311021 （4）00312007630050131135362432142．计算n 阶行列式x a a a x a a a x1．（1）48 （2）4 （3）-3 （4）-3402.])1[()(1x a n a x n +---第四单元克拉默法则一、学习目标克拉默法则是行列式在解线性方程组中的一个应用，通过本节课的学习，要知道克拉默法则求线性方程组解的条件，了解克拉默法则的结论．二、内容讲解克拉默法则设n 个未知数的线性方程组为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （1）记行列式nnn n n na a a a a a a a a D 212222111211=称为方程组（1）的系数行列式．将D 中第j 列的元素njj j a ,,a ,a 21分别换成常数n b ,,b ,b 21而得到的行列式记作jD ．克拉默法则如果线性方程组（1）的系数行列式0≠D ，那么它有惟一解D D x D Dx D D x n n ===,,,2211 （2）证将（2）式分别代入方程组（1）的第i 个方程的左端的nx x x ,,,21 中，有D D a D Da D D a n in i i +++ 2211（3）将（3）中的jD 按第j 列展开，再注意到j D中第j 列元素的代数余子式和D 中第j 列元素的代数余子式ij A是相同的，因此有),,2,1(2211n j A b A b A b D njn j j j =+++= （4）把（4）代入（3），有D D a D Da D D a n in i i +++ 2211(){1121211111n n i i i A b A b A b A b a D+++=()222221212n n i i i A b A b A b A b a ++++…+…()}nn n in i n n in A b A b A b A b a ++++2211把小括弧打开重新组合得(){()()()}i nn in n i n i n in in i i i i i n in i i n in i i b A a A a A a b A a A a A a b A a A a A a b A a A a A a b D=+++++++++++++++++=2211221122222112112211111因由性质6和性质7⎩⎨⎧=≠=+++k i D ki A a A a A a kn in k i k i 02211 故上式等于i b ，即i n in i i b D D a D Da D D a =+++ 2211下面再证明方程组（1）的解是惟一的．设nn c x c x c x ===,,,2211为方程组（1）的任意一组解．于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b c a c a c a b c a c a c a b c a c a c a 22112222212111212111 （5）用j A 1，j A 2，…j n A 分别乘以（5）式的第一、第二、…、第n 个等式，再把n 个等式两边相加，得++++11221111)(c A a A a A a nj n j j +++++j nj nj j j j j c A a A a A a )(2211n nj nn j n j n c A a A a A a )(2211++++ njn j j A b A b A b +++= 2211根据性质6和性质7，上式即为),,2,1(n j D c D j j ==因为0≠D ，所以),,2,1(n j DD c j j ==克拉默法则有以下两个推论：推论1 如果齐次线性方程组的系数行列式0≠D ，那么它只有零解．推论2 齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式0=D ．问题：对任一线性方程组都可用克拉默法则求解吗？答案不对．当线性方程组中的未知量个数与方程个数不一样；或未知量个数与方程个数相同，但其系数行列式等于零时，不能使用克拉默法则．三、例题讲解例利用克拉默法则解下列方程组⎩⎨⎧-=-=+-7526432121x x x x分析：这是一个两个变量、两个方程的方程组，它满足了克拉默法则一个条件．克拉默法则的另一个条件是要求系数行列式的值不等于零．因此，先求出方程组的系数行列式的值，若它的值不等于零，说明该方程组有惟一解，然后求常数项替代后的行列式的值，再用克拉默法则给出的公式求出解．解：因为系数行列式()()24535243⨯--⨯-=--=D 07815≠=-= 且257461-=--=D ，972632=--=D ，所以7211-==D D x ，7922==D D x四、课堂练习k 取什么值时，下列方程组有唯一解？有唯一解时求出解．⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++-=++0211321321321x x x x kx x kx x x对行列式作变换“第二行加上第一行的1倍，即Á+À；第三行加上第一行的-1倍，即Â+À(-1)”．这是三个未知量三个方程的线性方程组，由克拉默法则知，当系数行列式D 0时，方程组有唯一解．所以，先求系数行列式的值．五、课后作业用克莱姆法则解下列方程组1.⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=-1214223232121xxxxxxx2．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++-=+-+=---=+++422222837432143214314321xxxxxxxxxxxxxxx（注：本资料素材和资料部分来自网络，供参考。

线性代数第一章行列式课件

a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设

《线性代数》教学课件—第1章行列式第一节二阶与三阶行列式

aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
, .
（１）
解用加减消元法，可得
((aa1111aa2222
a12 a21 ) x1 a12 a21 ) x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 - a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
xxaa122211
aa12b2b2 1,2
, D. 1
b1 b2
（aa1222１, ）D2
a11 a21
b1 , b2
a11 a 21
xx则11 当aaＤ1222
xx22０时bb，12 方,. 程组
（１）
有唯一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
.
x1 b1a22例１a12求b2解线, 性方程组
注意：Ｄ称为系数行数列项b式1,，b2Ｄ替j换是Ｄ用中常
的第 j 列 (j=1,2).
二、三阶行列式
引例 2 用消元法解关于 x,y,z 三元线性方
程组
ax by cz d , ex fy gz h , ix jy kz l .
解
为了记忆三元线性方程组的求解公式,可引入
三阶行列式. 三阶行列式的定义如下:
定义设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21a2a21, .（２）
为了记忆该公式，引入记号
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元素， aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下标称为行标，表示该元素所在的行，第二个下标称为列标，表示该元素所在的列，常称 aij 为行列式的(i , j )元素或元．

线性代数教案_第一章_行列式

授课章节行列式§1.1 n阶行列式目的要求理解二阶与三阶行列式,了解全排列及其逆序数。

重点二阶与三阶行列式计算，行列式的性质，克拉默法则难点n阶行列式的计算，克拉默法则行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，是线性代数中的一个基本概念，它在线性代数、其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1) 行列式的定义；(2) 行列式的基本性质及计算方法；(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式．计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件．§1 n阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式解方程是代数中一个基本的问题，行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．下面考察二元一次方程组（1.1）当时，由消元法知此方程组有唯一解，即（1.2）可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数以及常数项表示出来，这就是一般二元线性方程组的解公式。

但这个公式很不好记忆，应用时十分不方便。

由此可想而知，多元线性方程组的解公式肯定更为复杂。

因此，我们引进新的符号来表示上述解公式，这就是行列式的起源。

1、二阶行列式：由4个数及双竖线组成的符号称为二阶行列式。

注：(1)构成：二阶行列式含有两行，两列。

横排的数构成行，纵排的数构成列。

行列式中的数（）称为行列式的元素。

线性代数教学课件第一章行列式第一节n 阶行列式

b2 a11 a11a22
b1a21 a12a21
为了便于记忆，引入记号
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
称为2阶行列式(determinant)，其中横排叫行，
纵排叫列，aij叫行列式的元素，元素aij 的第一个
下标i叫行标，第二个下标j叫列标. 13
二阶行列式的计算
行列式中的横排叫行，纵排叫列，叫元素. 三阶行列式所表示的代数和可利用下图所示的对角线法则来记忆，实线上三元素之积取正号，虚线上三元素之积取负号.
16
对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
28
同理可得下三角行列式
a11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 ann
a11a22 ann .
29
特殊情况:
a11 0 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 0 a33 0 0 a11a22 ann . 0 0 0 0 ann
这种行列式称为对角行列式.
30
类似可证：
关，如方程 x2 1 0
在有理数范围和实数范围均无解，但在复数
范围有解：x i
5
因此同一问题在不同的数集内可有不同的结果. 另一方面，有理数、实数和复数有许多共同的关于加、减、乘、除的运算性质, 为了把具有这些共同运算性质的数集统一处理，便引入以下数域的概念.
定义1.1 设F是至少含有两个不同复数的数集，若中任意两个数（可以相同）的和、差、积、商（除数非零）仍为F中的数，则称F是一个数域(field of numbers). 若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F中，则称F关于这一运算封闭. 因此，F为数域当且仅当至少含有两个不同数且关于加、减、乘、除（除数非零）的运算封闭.

线性代数讲义(第一章)

an1 an2 ann
解展开式的一般项为 (-1)t( j1 j2jn ) a1 j1 a2 j2 anjn .
不为零的项只有 (-1)t(12n) a11a22 ann.
a11 0
0
a21 a22 0 1 t12na11a22 ann

1
1
a2 a a 1
1
1
b2 b b 1
1
1
c2 c c 1
1
1
d2 d d 1
a
b abcd
c
d
11
1 a2 a
a
1
1 b2
1
1 c2
1
b
b 1
13
c
c
1
1 d2
1 d
d
11 1 a2 a
1
1 b2
1 b
1
1 c2
1 c
1
1 d2
1 d
0.
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
当 a11a22 a12a21 0 时，方程组的解为
x1

b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2

a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
为便于记忆，引入记号
a D 11
a21
a 12
a a11 22 a a 12 21
三阶行列式的计算: 对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

线性代数--第一章行列式

a13 a 22 a31 a12 a 21a33 a11a 23 a32
a21 a31
a11 (a22 a33 a23a32 ) a12 (a23a31 a21a33 ) a13 (a21a32 a22 a31 )
a11
a12
a21 a23 a31 a33
并称M1j是D的元素a1j的余子式, A1j是元素a1j的代数余子式.
1 3 例如, 对行列式: D 2 1 3 4 1 有 M12= 2 2 0 32 1 4 3 3 2 1 1 4 1 3 2 0 2 4 3
, A12=(－1)1+2M12=32.
例4 计算n阶对角行列式
an Dn an 1 a1
性质2也称为行列式按行(按列)展开定理, 用语言描述成: 行列式的值等于行列式的任何一行(列)的所有元素与
其对应的代数余子式乘积之和.
例8 计算行列式
3 2 D 0 5 5 3 3 2 0 6 0 0 2 4 0 1
解
3 2 D 0 5 5 3 3 2 0 6 0 0 2 3 0 2 4 2 3 2 2 2 3 3(1) 2 6 4 3 6(1) 0 5 1 5 0 1 1
解按定义有
a22 a11 a32 an1 a33 an 2 ann
a11a22 ann
即, 下三角行列式等于对角线元素的乘积。
bn
例6 计算n阶行列式 Dn
b1
bn 1
解按定义有
bn 1 Dn (1)
1 n
bn b1
bn 2
D2
b2 b1
解按定义有
an 1 Dn an an 2 a1

《线性代数》教学课件—第1章行列式第五节行列式的性质

两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和,即
a11
a12 a1n
b1 c1 b2 c2 bn cn
an1
an2 ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
b1
b2 bn c1
c2 cn .
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质 6 把行列式的某一列(行)的各元素乘
k ri k ci
利用上述三种运算可简化行列式的计算，特别是利用运算 ri + krj (或 ci + kcj ) 可以把行列式中许多元素化为０. 计算行列式常用的一种方法就是利用运算 ri+krj 把行列式化为上三角形行列式, 从而得到行列式的值. 请做练习.
单击这里开始练习
举例
例 8 计算
性性质质２２性互互质换换行２行列列式式互的的换两两行行行列，，式行行的列列两式式行变变，号号行．．列式变证明设行证列明式设行列式
交换交D换1
i i
,,bbjj1211两两行列bbD12122
记记bb121为为Βιβλιοθήκη bbbb12nn12cr22,ii
crbbjj12nn
,
推论如果行bn列1 式bn有2 两b行n1 (b列bnn2)完全相b同nn ，则
a11 a1k
D ak1 c11
akk c1k
b11
, b1n
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1
, D2
,
ak1 akk
bn1 bnn
证明 D = D1D2 .
证明对 D1 作运算 ri + rj ，把 D1 化为下三

线性代数_第一章

i = 1时, a1 j x j = b1 , 即 : a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1
n
将（2）代入（3）中得：
a x = a
j =1 ij j j =1 n n
Dj D
ij
1 n n 1 n = aij D j = aij bk Akj D j =1 k =1 D j =1
0
cj j
D
j =1,2,, n
=
n!
1 1 1
1 2 1 0 0
1 1 3 n 0 0 1 0 0 1
c1 - c j j =1,2,, n
=
n!
1 1 1 - - - 2 3 n 0 0 0
1 2 1 0 0
1 1 3 n 0 0 1 0 0 1
再设
a11 a21
a12 a22
=a11a22 -a12a21
D2 = a12 b1
D1 =
b1 b2
a12 a22
a21 b2
则上述方程组的解可写为：
b1 a12 a11 b1 b2 a22 a21 b2 x1= ———— x2= ———— a11 a12 a11 a12 a21 a22 a21 a22
1 1 1 = - + + + n! n 2 3
对一般爪型行列式：
例3：计算n+1阶行列式
爪型行列式
例4 计算n阶行列式
例5 计算n阶行列式
例6 证明范得蒙得(Vander-monde)行列式
例7 证明n阶行列式乘法规则
§1.4 克拉默（Cramer）法则

线性代数第一章行列式 1.2

称为n 阶行列式它表示代数和

( 1) N ( j1 j 2 j n ) a1 j a 2 j a nj 1 2 n
其中和式中的排列 j1j2 jn要取遍所有n级排列
a11 a12 a 21 a 22 a n1 a n 2

二、n 阶行列式的定义
观察二阶行列式和三阶行列式
a11 a12 a11 a 22 a12 a 21 a 21 a 22
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
故有j3 且有i1时k5 或i5时k1
当i1 j3 k5时 (1)N(14325)N(52314)(1)9 1 所以该项前应冠以负号 a15a42a33 a21ak4为|aij|的一项当i5 j3 k1时 (1)N(54321)N(52314)(1)16 1 所以
1 1 2
j2
a i
n
jn

其中i1 i2 in与j1 j2 jn均为n级排列
这是因为乘积项中的任意两个元素进行对换后乘积项的行标排列和列标排列的奇偶都发生变化所以对换前后行标排列与列标排列的逆序数的和的奇偶性不变因此
若 ai j ai
1 1 2
j2
a i
举例对排列21354施以对换(1 4)后得到排列24351 提问排列21354与排列24351的奇偶性如何?
对换在一个排列i1isitin中将数码is与it对调就得到另一个排列i1itisin 这样的变换称为一个对换记为对换(it is) 定理11 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变证 (1)显然对换相邻的两个数码奇偶性改变 (2)设排列ik1k2ks j 经过对换(i j)变为jk1k2ksi 这个变换可以按如下方法完成 j与前面s1个数码逐个对换然后i与后面s个数码逐个对换按上述方法总共进行了2s1次相邻数码的对换因为相邻数码的对换的次数为奇数所以最后得到的排列与原排列的奇偶性不同

线性代数第一章第一节

称为n阶行列式．记为：
a11 D a21 a n1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
简记为 det(a ij ).
数aij 称为行列式 det( aij )的元素，
特别：当n=1时，一阶行列式不要与绝对值符号相混淆。
a a
当n =2、3时，与按对角线法则定义的二、三阶行列
式中把列标排成一个自然排列．
三、几种特殊的行列式
1
0 0 0 0
1）主对角行列式证：记 i aii
1
则 0 0 0 0
t
0 0
2
Hale Waihona Puke 12 n n0 0
2
a11 0 0
0 0

0 0
a22
n
1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
定义逆序数为奇数的排列称为奇排列,
逆序数为偶数的排列称为偶排列。
例如：排列312的逆序数为2，故它是偶排列。
主对角线
副对角线
a11 a 21
a12 a 22
a11a22 a12a21 .
三阶行列式的计算
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
对角线法则
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．

线性代数第1章

1 a23 ， x2 a21 D a33 a31
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式的定义
上述结论仍可简记为：
当三元线性方程组(**)的系数行列式D 0时， Dj 方程组有唯一解x j = ( j 1,2， 3)，其中D j为 D b1 系数行列式D的第j列换为常数列 b2 ，其余列 b3 不动而得到的行列式.
a n1 a11 a s1 a n1
a11
ann a12 a1n
' ' as a 2 sn .
' a s 2 a sn a s 1
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式的定义
一、二阶与三阶行列式
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 (*) a21 x1 a22 x2 b2 其中ai j ,b j ( i , j 1,2)为常数，x1 , x2为未知量.
由中学学过的加减消元法可知：
当a11a22 a12a21 0时，方程组(*)有唯一解，
可按图示“对角线法则”来记忆：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式的定义
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 对于三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1
( j1 j2 jn )与( i1 i2 in )同为奇排列或偶排列.
线性代数
第一章 n阶行列式
第1节 n阶行列式的定义
n阶行列式也可表示成