能态密度公式的来源
固体物理：能态密度和费米面
电子组态：1s22s22p63s1
分析：由1s22s22p6组态能级扩展的五个能带正好被十个
电子所填满（即满带），剩下一个3s带，只被一个3s电子 填充到一半（即半满带）。这时若将钠晶体置于一外电场 中，这个3s带中的电子将在外电场作用下，获得加速，跃 入能量较高的空的能态位置上去。从而在布里渊区中建立 一个沿电场方向不对称的电子占据态分布，导致沿外场方 向出现电流。
例二
第四章 能带理论
例二、若已知
E(k )
2 2
k
2 x
m1
k
2 y
m2
k
2 z
m3
解：等能面方程：Ek E,即
，求g(E)。
k
2 x
k
2 y
k
2 z
1
2m1E 2m2 E 2m3E
2
2
2
令a 2
2m1E 2
,b2
2m2 E 2
,c2
2m3E 2
,则
等
能
面
方
程
可
化
为k
2 x
a2
k
2 y
b2
k
2 z
R (k )
E0
6J1;
X点[
k
a
,0,0
]是一个鞍点——布区侧面中心。
E X (k ) E0 2J1;
东北师范大学物理学院
能带理论基本概念
二、费米面
第四章 能带理论
设固体中含有N个电子，它们的基态是按泡利原理由
低由到电高子填，充则能其量能尽量可表能示低为的：NE个k电子态2k，2 若把电子看成自 2m
能带理论基本概念
4-7能态密度和费米面解析
2V dsdk 3 dZ 2 2V ds N E 态密度的计算
公式：
dZ 2V ds N E dE 2 3 k E
例一、自由电子能态密度Ｎ(E)。
2 2 2 2 kx ky k z 例二、若已知 E ( k ) 2 m1 m 2 m3
EC
EB EA
N(E)
自由电子情况 近自由电子情况
12
例二
2 2 2 2 kx ky k z 例二、若已知 E ( k ) 2 m1 m 2 m3 解：等能面方程：E k E ,即
，求g(E)。
2 2 ky k z2 kx 1 2m1 E 2m 2 E 2m3 E 2 2 2 2m1 E 2 2m 2 E 2 2m3 E 令a 2 ,b ,c ,则 2 2 2 2 2 ky k z2 kx 等 能 面 方 程 可 化 为2 2 2 1 a b c
晶体中电子状态的基本认识
（1）晶体中电子状态由能带描述；
（2）一般情况下，原子能级与能带有一一对应的关系；
（3）能带宽度决定于波函数的重叠程度；
（4）禁带宽度决定于周期势场变化的剧烈程度；
（5）晶体中电子波函数是布洛赫函数，它反映晶体电子 共有化运动和围绕原子核运动两者兼有的特征；
1
§4-7能态密度和费米面
ds
dk
2V Z V等 能 面E和E E之 间 3 2 2V dsdk 3 2
kx
(1)dk表示两等能面之间的垂直距离; (2)ds表示面积元。
4
Ⅱ.关于ΔE
一、能态密度函数
由 k E 的含义（表示沿法线方向能量的改变率）可知：
一维和二维能态密度推导
一维和二维能态密度推导
能态密度是指单位体积（或单位面积）内能量的状态数密度。
在固体物理学中，我们通常将能态密度表示为D(E)，其中E是某个能级的能量。
如果我们考虑一个能量范围从E到E+dE之间的能级，则体积V内所有这样的能级的数量是D(E)dE。
因此，D(E)是描述V内存在的态密度的函数。
在一维情况下，一个自由电子的动量只有一个分量k，因此能量可以写成E(k)=（h^2/2m）k^2，其中h是普朗克常数，m是电子的质量。
因为只有一个自由度，所以态密度可以计算为：
D(E)=（dk/ dE）=（1/（dhk/dE））
由于E(k)与k^2成正比，因此能量空间中的态密度是一个常数。
在此近似下，我们可以将D(E)写成：
D(E)=(1/（dhk/dE）)=（1/（dh/d(E^(1/2)))）=（1/（dv/dE））其中v表示速度。
这个式子说明了运动在一维中的自由电子的能态密度是能量的常数。
在二维情况下，电子具有两个分量kx和ky，能量可以写成
E(k)=（h^2/2m）(kx^2+ky^2)。
因此，态密度可以写成：
D(E)=（d^2k/ dE^2）=（1/（dh^2k/dE^2））
通过导数的计算，我们可以得到：
D(E)=(m/πh^2)（d^2E/dkxdky）
这个式子说明了运动在二维中的电子的能态密度是能量的函数。
能量密度计算公式
能量密度计算公式
能量密度是指单位体积内所含有的能量，通常用J/m³表示。
能量密度计算公式可以根据不同情况而有所不同，下面以几种常见情况为例进行介绍。
1. 电场能量密度
电场能量密度是指电场中单位体积内所含有的能量。
对于电场能量密度的计算公式，可以使用以下公式：
能量密度= 0.5 * ε * E²
其中，ε代表电场介质的介电常数，E代表电场强度。
2. 磁场能量密度
磁场能量密度是指磁场中单位体积内所含有的能量。
对于磁场能量密度的计算公式，可以使用以下公式：
能量密度= 0.5 * μ * H²
其中，μ代表磁场介质的磁导率，H代表磁场强度。
3. 光能量密度
光能量密度是指光波中单位体积内所含有的能量。
对于光能量密度的计算公式，可以使用以下公式：
能量密度= 0.5 * ε₀ * c * E²
其中，ε₀代表真空中的介电常数，c代表光速，E代表电场强度。
4. 动能密度
动能密度是指物体运动所具有的能量。
对于动能密度的计算公式，可以使用以下公式：
能量密度= 0.5 * ρ * v²
其中，ρ代表物体的密度，v代表物体的速度。
以上是几种常见情况下能量密度的计算公式。
通过这些公式，我们可以计算出不同场景下单位体积内所含有的能量。
能量密度的计算对于各个领域的研究和实践都具有重要意义，同时也有助于我们更好地理解和应用能量这一重要概念。
费米面上的能态密度
费米面上的能态密度物理学家费米（EnricoFermi）的名字被用在关于粒子物理的许多领域中。
最著名的是他在原子核理论上的发现，他发现原子核中存在被称为“费米”的粒子，这些粒子在粒子物理学中起到了重要的作用。
费米还发现了另一个重要的概念，即费米面上的能态密度（Fermi surface density of states）。
这个概念对于帮助我们理解半导体、超导体和金属表面的性质非常有用。
费米面上的能态密度是指在金属表面上，费米粒子被收缩到空间量子中，形成的能态的密度，它代表了金属表面的电子的能态的密度。
费米面上的能态密度包括了金属表面电子的表示、电子结构、电子-核结构间的相互作用、电子激发状态和结构变化等，这些都能左右金属表面电子的性质。
费米面上的能态密度与金属表面电子的性质有关，它可以用来测量金属表面电子的能态密度，以及金属表面电子在外力作用下的性质变化。
当电子能态的密度大于一定的数值时，说明金属表面电子的能态发生了变化，造成了金属表面的性质发生变化。
这就为我们研究半导体、超导体和金属表面的性质提供了一个重要的参考。
费米面上的能态密度的量化通常是通过量子力学理论来实现的。
它通过量子力学方法，可以计算金属表面电子在某一能量水平上的能态密度，可以把所有金属表面电子的能态都统一放到能态密度图上，从而可以准确计算出金属表面电子的能态密度。
费米面上的能态密度可以用来估算金属表面电子性质的变化，从而更有效地研究半导体、超导体和金属表面的性质。
费米面上的能态密度的研究也可以为我们研究半导体、超导体等新型材料的构造提供重要的参考意见。
费米面上的能态密度也可以用来探索金属表面电子在外力作用下的性质变化，例如金属表面电子在温度变化、磁场作用、压力等情况下的能态变化，这些都可以从费米面上的能态密度中研究出来，从而更好地了解金属表面电子的性质变化。
综上所述，费米面上的能态密度越来越受到研究者的关注，不仅可以用来研究半导体、超导体和金属表面的性质，而且也可以用来探索金属表面电子在外力作用下的性质变化，为我们研究粒子物理提供了重要的参考依据。
固体物理 59等能面 能态密度
k空间单位面积中的波矢的大小
费密能量
二维正方格子的费密波矢和费密能级
5.9.2 能态密度
• 单位能量间距的两等能面间所包含的量子 态数目称为能态密度 • 能带底附近的能量总可化成
布洛赫电子在能带底的能态密度
对带项附近的能量总可化成
布洛赫电子在能带顶的能态密度
5．9 等能面 能态密度
5.9.1 等能面
• k空间内，电子的能量等于定值的曲面称为 等能面．对于自由电子，能量 为所以其等能面为一个个同心球面．在绝 对零度时，电子将能量区间 占满， 称为费密能。
• 对应能量 的等能面称为费密面．kF称为 费密半径．也就是说，在绝对零度时，电 子占满半径为kF的一个球．
费米面上的能态密度
费米面上的能态密度费米面上的能态密度是一个重要的物理概念，它是1926年由美国物理学家爱因斯坦提出的。
它代表了系统里具有恒定能量的粒子的最大密度。
这一概念可以用于研究物理、化学和其他复杂的科学系统，也可以用于理解空间、时间和质量的联系。
费米面上的能态密度的最初定义是，它是指一个平面上一点的能量，该能量能在其上容纳的粒子的最大数量。
水平的，它可以被认为是一个物理限制，它限制了物质体系里的粒子的数量及其能量分布模式。
例如，费米面上的能态密度可以用来解释为什么动能会在费米面上截断，以及加热等运动会使粒子的能量间隔发生变化等现象。
费米面上的能态密度的重要性不容小觑，它为众多科学系统的研究提供了令人满意的解释。
举例来说，它已经被用于研究量子力学模型、热力学体系、摩擦系统等。
此外，它也被广泛应用于物理学领域，如空气动力学、流体力学、激光物理学、电磁学等，从而为现代技术打下坚实基础。
费米面上的能态密度还可以用于探测温度及能量之间的关系。
研究表明，费米面上的能态密度与温度之间存在一种恒定的关系，即费米能态密度的大小越高，温度越高。
由此可以间接测量温度，在某些情况下可以代替温度计。
同时，费米面上的能态密度还可以用于探测质量和时间之间的关系，这是研究物质空间结构和动态行为的基础。
此外，费米面上的能态密度在研究粒子物理学中也发挥着重要的作用。
它可以帮助人们更好地理解粒子的行为及其物理性质，为物质的宏观结构和小观性质的研究提供依据。
费米面上的能态密度还可以为研究粒子的相互作用提供参考，从而有助于弄清他们的行为特征。
总之，费米面上的能态密度是一个重要的物理概念，它在众多科学领域均发挥着重要作用，无论是探测温度、能量、质量、时间或研究粒子物理学，它都提供了有价值的参考。
此外，费米面上的能态密度也为现代技术打下了坚实的基础，它使科学研究成为可能，并且有助于人类更好地理解自然界的物质世界。
固体物理 04-07能态密度和费密面
费米速度 vFpF/m
西
南
科 技
费米温度 TF EF /kB
大
学
Solid State Physics
固 体
费米能量的估算
物
理 —— 自由电子球半径
V N
1 n
43rs3
—— 电子密度
n
—— 费米半径
3
4 rs3
rs
(3
4 n
1
)3
kF
2(3n)1/3 8
西
kF
1 .9 2 rs
vF
pF m
南
—— 费米速度
N2(2V)3 43kF3
球的半径
kF
2( 3)1/3(N)1/3 8 V
n N 电子密度 V
西
南 科 技 大
kF
2(3n)1/3 8
学
Solid State Physics
固
体 物
费米波矢 费米动量 费米速度 费米温度
理
费米能量 EF 2kF 2/2m
费米球半径 kF 2mEF / 费米动量 p Fk F
V
Z (2)3 dSdk
西
南 应用关系
科
技
大 学
dk kE E
Solid State Physics
固
体
物 理
Z
V
(2)3
dSdk
dk kE E
Z(2V)3
dS kE
E
dk E kE
能态密度
N(E)(2V)3
dS kE
西 南
考虑到电子的自旋，能态密度
科 技 大 学
N(E)2(2V)3
—— 晶体中8N个电子全部填充成键态的4个能带形成 满带
态密度 e22
态密度e22
态密度是指单位能量范围内的量子态数量，通常用D(E)表示，其中E为能量。
态密度的计算方法因材料的不同而不同。
对于自由电子气模型，态密度可以通过简单的计算得出。
在三维空间中，自由电子气模型下的态密度与能量的关系是线性的。
而对于具有晶体结构的材料，由于晶格的周期性，态密度则会出现能带结构。
在能带结构中，能量范围内的态密度不再是线性关系，而是出现能带隙（band gap）的情况。
能带隙是指能带之间的能量间隔，它决定了材料的导电性质。
对于导体材料而言，能带之间的能带隙较小或者没有能带隙，电子可以自由地在不同能级之间跃迁，因此导电性较好。
而对于绝缘体材料而言，能带之间的能带隙较大，电子不容易跃迁，因此导电性较差。
而半导体材料则介于导体和绝缘体之间，其能带隙大小可以通过掺杂等方法进行调控。
以上内容仅供参考，建议查阅专业物理书籍或咨询专业人士以获取更全面和准确的信息。
固体物理学：第四章 第七节 能态密度
§4.7 能态密度
固体中能级分布是准连续的，我们可以类似声子态密 度，来定义能量E附近单位能量间隔中的状态数，即能 态密度。
固体中能带都可以在简约布里渊区中表示，并且在k空 间均匀分布，波矢密度（考虑到自旋简并度）为 2V/(2pi)^3。定义能态密度为：
类似前面声子态密度，考虑到等能面，得到另一种更 实用的形式:
积分沿着一个能量为E的等能面进行。总态密度是对 所有能带求和：
这样就可以通过能带结构来计算能态密度。 对于不同纬度，有：
在一维情况下，能带的等能面成为两个等能点，二维情况下， 退化为等能线。
一、自由电子的能态密度
自由电子的能谱： 其等能面是一个球面，并且沿着等能面： 因此
因此自由电子气的能态密度与系统的维度密切相关：
能态密度是固体电子能谱分布的重要特征。特别是 低激发态的能态密度，因为这部分状态对配分函数 贡献最大。
低能激发态被热运动激发的概Fra bibliotek大于高能激发态。
如果低能激发态的态密度大，则体系因为热运动而 产生的涨落就强，其有序度就低，以至消失，不容 易出现有序相。
因而低能态密度的大小决定了体系的有序度和相变。
从上面的可以看到，不同维度的自由电子气的能态密度 有决定性的差异。
对于3维体系，低能态密度随E的减小而趋于0，因为低温 下热运动引起的涨落小，体系在低温下有长程序。
对于1维体系，低能态密度随E的减小而趋于无穷，因为 即使在低温下，热涨落仍然很强，所以1维体系不能具有 长程序。
而2维体态密度是常数，介于1维和3维之间，可具有准长 程序，并会有一些特殊相变。
实际问题中，常把一些长链分子聚合物当做准一维 链状分子。在这些体系中会出现如派尔斯 (Peierls) 失稳， 孔氏（Kohn）反常等物理效应。
5.8 能态密度和费米面
5.8 能态密度和费米面：一. 能态密度二. 费米面见黄昆书4.7节与孤立原子中的本征能态形成一系列的分立能级不同，固体中电子的能级是非常密集的，形成准连续的分布，和孤立原子那样去标注每个能级是没有意义的，为了概括晶体中电子能级的状况，我们引入“能态密度”的概念，这个函数在讨论晶体电子的各种过程时特别在输运现象的分析中是非常重要的。
费米面是固体物理中最重要的概念之一。
在自由电子论中费米面的重要性在于：只有费米面附近的电子才能参与热跃迁或输运过程，决定着晶体的各种物理性质。
这里费米面的含义不变，只是晶体势场的影响使费米面的形状变得复杂，从而对性质的影响变得复杂罢了，自由电子气模型受周期场的微弱影响，近自由电子的等能面偏离自由电子的球形。
并受到布里渊区界面影响和自由电子态密度相比近自由电子的能态密度发生了明显变化。
E A原因是明显的：在4.2节已经指出，周期场的微扰使布里渊区附近界面内的能量下降，而等能面的凸出正意味着达到同样的能量E ，需要更大的k 值，当能量E 超过边界上A 点的能量E A ，一直到E 接近于在顶角C 点的能量E C （即达到第一能带的顶点）时，等能面将不再是完整的闭合面，而成为分割在各个顶角附近的曲面。
由此我们给出对近自由电子能态密度的估计：在能量没有接近E A 时，N (E)和自由电子的结果相差不多，随着能量的增加，等能面一个比一个更加强烈地向外突出，态密度也超过自由电子，在E A 处达到极大值，之后，等能面开始残破，面积开始下降，态密度下降，直到E C 时为零。
所以近自由电子近似下的N (E)如图所示。
BCC LiFermi surface[100][010]Fermi surface is distortedfrom a spherenear the zone boundary.A cusp is caused by interactionN (E )N (E )E B E BE CE C EE 。
石墨烯能态密度
石墨烯能态密度
石墨烯是一种由碳原子形成的单层蜂窝状结构的二维材料。
它具有许多独特的性质和潜在的应用价值，因此吸引了广泛的科学研究和工业应用的关注。
石墨烯的能态密度是指在能量空间中，每个能级上的电子数目。
由于石墨烯是二维材料，其能态密度与三维材料有很大的不同。
在三维材料中，能态密度随能量的增加而增加，直到达到一个峰值，然后逐渐减小。
而在石墨烯中，能态密度在能量零点附近呈线性增加，直到达到一个平台，然后在高能量处逐渐减小。
这种线性增加的能态密度是石墨烯独特的特性之一，也是其在电子学和光学应用中的重要优势之一。
由于能态密度的线性增加，石墨烯可以容纳更多的电子，并且具有更高的导电性。
这使得石墨烯在电子器件中具有更高的速度和更低的功耗。
除了导电性，石墨烯的能态密度还影响着其光学性质。
由于能态密度的线性增加，石墨烯对不同能量的光具有很强的吸收能力。
这使得石墨烯成为一种非常有潜力的光学材料，可以用于太阳能电池、光电探测器等领域。
除了以上的应用之外，石墨烯的能态密度还在其他领域有着重要的作用。
例如，在催化剂领域，石墨烯的能态密度可以调控其表面化学反应活性。
在材料科学领域，石墨烯的能态密度可以影响其热传
导性能。
因此，对于石墨烯的能态密度的研究不仅有助于深入理解其基本性质，还可以为其在各个领域的应用提供理论指导和技术支持。
石墨烯的能态密度是其独特性质之一，对于其在电子学、光学、催化剂和材料科学等领域的应用具有重要影响。
通过对石墨烯能态密度的深入研究，我们可以更好地理解和利用这一材料的特性，并为其在未来的科学研究和工业应用中发挥更大的潜力。
固体物理第21讲能态密度和费密面
等能面在kz=0处的截面
8
能态密度
带底
V
d S
N (E )
83 a J1等 能 面(sin2kxasin2kyasin2kza) 9
E0是能带的中点，N(E)以 E0为中心上下对称。
10
点
X点k = (0,0,/a)的能量 X点恰好是等能面与布里渊 区界面的交点。
11
在点
处能态密度曲线不连续
球的半径
kF
2( 3)1的密度 n N
14
V
费米波矢、费米动量、费米速度和费米温度 费米球半径 费米能量 费米动量
费米速度
费米温度
15
自由电子球半径rs：
EF:1.5eV~15eV
16
——晶体中的电子：单电子的能级由于周期性势场的影响 而形成一系列的准连续的能带，N个电子填充这些能带中 最低的N个状态
2
能态密度
N(E) lE im 0 Z E(2V )3
dS kE
考虑到电子的自旋，能态密度
V dS V dS
N(E)2(2)3 kE43 kE
3
1) 自由电子的能态密度 电子的能量
k空间, 等能面是半径 在球面上
的球面
能态密度
2V
(2)2
(2m2 )3/2
E
可见，E和N(E)是抛物线规律
第二十一讲、能态密度和费密面 1. 能态密度函数 —— 原子中电子的本征态对应着能级，可具体标明能级的能 量 —— 固体中电子的能量由一 些准连续的能级形成的能带，换 言之，固体中的能级很密集。
—— 采用‘能态密度’来概括这种情况下的能级。
—— 能量在E~E+E之间的能态数目Z
能态密度函数 N(E) lim Z E0 E
能态密度定义
能态密度定义一、引言在物理学中，能态密度是一个描述量子系统能量分布的重要概念。
它描述了量子系统在不同能量状态的分布情况，是理解量子力学中粒子行为的关键。
本文将对能态密度的定义、计算方法、应用以及结论进行详细阐述。
二、能态密度的定义能态密度是指量子系统在各个可能能量状态上的分布情况。
它可以被视为描述量子系统能量状态的函数，通常表示为能量E的函数，记作ρ(E)。
能态密度反映了量子系统在能量空间中的分布状态，对于理解量子系统的性质和行为具有重要意义。
三、能态密度的计算方法能态密度的计算方法有多种，其中最常见的是通过系统的能谱来计算。
能谱是描述量子系统能量的数据，通过对能谱进行分析和处理，可以得到系统的能态密度。
具体的计算方法包括：1.傅里叶变换法：对于已知能谱E(ω)的系统，可以通过傅里叶变换将其转换为能态密度ρ(E)。
具体地，ρ(E)可以通过对E(ω)进行傅里叶逆变换得到。
2.微分法：对于已知能谱E(n)的系统，可以通过微分法计算其能态密度ρ(E)。
首先将系统的量子状态展开为能谱函数的线性组合，然后通过微分得到每个量子态的能量概率密度，最后积分得到能态密度。
3.格林函数法：对于复杂系统，可以通过格林函数来求解其能态密度。
首先求出系统的格林函数G(E)，然后通过G(E)计算系统的能态密度ρ(E)。
四、能态密度的应用能态密度在物理学中有广泛的应用，以下列举几个主要的应用领域：1.量子力学：在量子力学中，能态密度用于描述量子系统的能量分布，帮助理解量子粒子的行为和性质。
通过分析能态密度，可以研究量子系统的能量特征、粒子数分布、热力学性质等。
2.固体物理学：在固体物理学中，能态密度用于描述固体的电子结构和性质。
通过分析固体的能态密度，可以研究固体的电子行为、光学性质、电导率等。
3.核物理：在核物理中，能态密度用于描述原子核的能量分布和稳定性。
通过分析原子核的能态密度，可以研究原子核的结构、衰变过程以及核力作用等。
能态密度和费米面
，求g(E)。
例三、简立方晶格的s带对应的能态密度N(E)。
6
例一、自由电子能态密度Ｎ(E)
2 k 解：自由电子的能量本征值： E k 2m
2
2 2 k k E 2m
2mE 自由电子等能面为球面，其半径为： k
2V ds 2V 4k 2 V 2m N E 3 3 2 2 2 2 k E 2 2 k 2 2m
VA +++ + + A VB --B VA VB
+ + + + -
+ + + +
-
A
B
功函数：WA，WB；
27
0 EF
WA
WB EF 接触电势差： VA-VB=(WB-WA)/q -eVB
EF
WA
-eVA
WB
EF
28
例：自由电子费米能级EF
V 2m N E 2 2 2
2V dsdk 3 dZ 2 2V ds N E dE dk k E 2 3 k E
5
关于能态密度的计算
公式：
dZ 2V ds N E dE 2 3 k E
例一、自由电子能态密度Ｎ(E)。
2 2 2 2 kx ky k z 例二、若已知 E ( k ) 2 m1 m 2 m3
ds
dk
2V Z V等 能 面E和E E之 间 3 2 2V dsdk 3 2
kx
(1)dk表示两等能面之间的垂直距离; (2)ds表示面积元。
4
Ⅱ.关于ΔE
固体物理学：能态密度计算
Vk dsdk
dk表示两个等能面间的垂直距离 dS 为面积元
因为
∇kEn(k)是En(k)的梯度，|∇kEn(k)|表示沿等能面法线方向能量的变化率.
能带密度
考虑电子的自旋时 的能态密度
代入 N (E) dZ dE
状态密度与晶格振动 的模式密度是相类似。
例题: 求自由电子的能态密度。 解1: 自由电子的能量: E 2k 2 2m
空间等能面 为球面，其 半径
E dE ky E
kx
自由电子的能态密度为:
能态密度
但能级的密集程度可以直接反映有多少电子存在这一 能量区域。 如何表示这种情况下到底密集到什么程度？ 为了能够在体现固体中，每个能带中的各能级是非常密集的， 形成准连续分布，不可能标明每个能级及其状态数， 引人“能态密度”的概念。
一：能态密度的定义
Z
能态密度:
lim N(E)
Z
E0 E
N (E) dZ dE
物理意义：单位能量间隔中的状态数。
二：能带与态密度的关系
由于En(k)是k的函数，所以在k空间En(k) =常数表示一个等能面。
又由于能态(波矢k的代表点)在k空间是均匀分布的，密度为V/(2)3,所 以，En(k)与En(k)+En(k)两等能面之间的状态数目为
Z
V
(2
)3
பைடு நூலகம்
Vk
Vk为En(k)与En(k)+En(k)等能面 之间在k空间的体积.
金属中的元激发：费米面与能态密度研究
金属中的元激发：费米面与能态密度研究引言：金属是一类具有良好导电性质的物质，其中的电子在金属中存在自由运动的状态。
在金属中，电子的运动特性受费米面和能态密度的影响。
费米面是一种描述金属电子状态的概念，它决定了金属中电子的分布规律和运动行为。
能态密度则描述了在能量空间中单位能量范围内的电子态的数目。
这篇文章将介绍金属中费米面与能态密度的研究以及相关的实验准备和过程，并探讨这些研究的应用和其他专业性角度。
一、费米面与能态密度的基本概念费米面是描述金属中电子分布的一个关键概念，它由能量空间中能量等于费米能级的平面构成。
费米能级是电子能量的一个特殊值，与温度有关。
当温度接近绝对零度时，费米能级处于最低能量状态，称为费米能量。
费米面将能量空间分为两个区域，其中一个区域被称为价带（空带），另一个被称为导带（填充带）。
费米面的形状和位置对金属的导电性、热导性等性质有重要影响。
能态密度描述了在能量空间中单位能量范围内的电子态的数目。
对于金属而言，能态密度通常是指单位体积中单位能量范围内的电子态数目。
能态密度与费米面的形状和位置密切相关，它对金属的电子能级布局以及其他物性参数（如电导率、热导率等）提供了重要信息。
因此，研究费米面和能态密度对于理解金属的电子结构和性质具有重要意义。
二、实验准备进行费米面与能态密度的研究需要一些实验准备。
首先，需要使用合适的金属样品。
常用的金属样品有铜、银、铝等。
接下来，需要对样品进行制备和处理，以确保样品的纯净性和均匀性。
通常，可通过电子束蒸发、磁控溅射等方法制备金属样品。
在实验中还需要使用一系列仪器设备，例如电子能谱仪（如XPS、UPS等），扫描隧道显微镜（STM）、拉曼光谱仪等。
这些仪器设备能够通过测量样品的电子能谱、原子排列等物理量来获取关于费米面和能态密度的信息。
三、实验过程1. 电子能谱测量：使用电子能谱仪（如XPS）对金属样品进行测量。
该仪器能够通过测量样品表面电子能谱来分析费米面和能态密度。
能态密度公式的来源
注意
老师说声子谱是个能带（玻色子）的时候没 有计算态密度
现在来补上
5 能带电子的态密度
别老盯着普遍定义，只需找一两个简单例子就可以理解
自由电子的能态密度：能快速演算1d, 2d, 3d 近自由电子的能态密度：讲故事，不理它 紧束缚模型的电子能态密度要仔细理解：1d, 2d, 3d 别忘了天上掉下来一个2
状态密度
—— 动量标度下的能态密度
E~E+E之间的能态数目
两个等能面间垂直距离
能态密度 考虑到电子的自旋，能态密度
？
公式的来源： • 求解热力学量时需要 • 晶格点阵等间距，k空间态密度为常数 • 如果是Fibonacci点阵呢？
计算统计物理量的需求
1) 自由电子的能态密度 电子的能量 k空间, 等能面是半径 在球面上 能态密度
的球面
1d 和 2d呢？
2) 近自由电子的能态密度 晶体的周期性势场对能量的影响表现在布里渊区附近
等能面的变化 二维正方格子
第一布里渊区的等能面
—— 波矢接近布里渊区的A点， 能量受到周期性的微扰而 下降，等能面向边界凸现
—— 在A点到C点之间，等能面不再是完整的闭合面， 而是分割在各个顶点附近的曲面
费米面 Fermi surface
这里我们并非在做 一个完整的理论，而是在拼凑！ Pauli不相容原理导致（记得电子波函数需要怎样怎样？） 费米波矢、费米动量、费米速度和费米温度
满带、空带、导带、价带、禁带
金属、半导体、绝缘体
能态密度与X射线光电子能谱 (XPS) 实验，两个XPS？
k 空间（箱规一化）
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X射线光谱学
X-Ray Photoemission Spectroscopy，XPS
1924年诺贝尔物理学奖授予瑞典乌普沙拉大学的卡尔·西格班 (Karl Manne Georg Siegbahn,1886-1978),以表彰他在X射线光 谱学领域的发现与研究。
1914年开始，西格班从对电磁学的研究转向X射线光谱学。为此， 他在隆德大学创建了著名的光谱学实验室。1921年，他设计了研 究光谱用的真空分光镜。他先把要分析鉴定的材料涂在X射线管 的阳极板上做为靶标，再用阴极发出的电子去冲击阳极板，使其 受激发，发出标识X射线。然后，用他所发明的分光镜来观察X 射线光谱，并用摄谱仪摄下光谱照片。利用这种方法，他测量、 分析并确定了92种元素的原 子所发射的标识X射线。这些元素的 X射线标识谱间的相对简易性和紧密相似性使他确信这些辐射起 源于原子内部而与外围电子结构所支配的复杂光谱线及化学性质 无关。他证明了巴克拉发现的K辐射与L辐射的确存在。另外，他 还发现了另一谱线系，即M系。西格班光谱仪的高度分辨率显示 了莫塞莱所发现的K谱线为双线。他在L系中发现了28条谱线， 在M系中发现了24条谱线。他的工作支持波尔等科学家关于原子 内电子按照壳层排列的观点。
kF
2 ( 3n )1/ 3 8
费米波矢、费米动量、费米速度和费米温度 费米球半径
费米能量 费米动量
费米速度
费米温度
自由电子球半径rs EF : 1.5 eV ~ 15 eV
—— 晶体中的电子 满带 —— 电子占据了一个能带中所有的状态 空带 —— 没有任何电子占据（填充）的能带 导带 —— 一个能带中所有的状态没有被电子占满
8 布洛赫电子在恒定磁场中的 准经典运动
9 能带论的局限性
注意
老师说声子谱是个能带（玻色子）的时候 没有计算态密度
现在来补上
5 能带电子的态密度
别老盯着普遍定义，只需找一两个简单例子就可以理解
自由电子的能态密度：能快速演算1d, 2d, 3d 近自由电子的能态密度：讲故事，不理它 紧束缚模型的电子能态密度要仔细理解：1d, 2d, 3d 别忘了天上掉下来一个2
费米面 Fermi surface
这里我们并非在做 一个完整的理论，而是在拼凑！ Pauli不相容原理导致（记得电子波函数需要怎样怎样？） 费米波矢、费米动量、费米速度和费米温度
满带、空带、导带、价带、禁带
金属、半导体、绝缘体
能态密度与X射线光电子能谱 (XPS) 实验，两个XPS？
k 空间（箱规一化）
固体物理
Solid State Physics
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
晶体结构 晶体的结合 晶格的热振动 能带论 金属电子论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
1 布洛赫定理与布洛赫波 2 近自由电子近似方法 3 紧束缚近似方法 4 其他方法 5 能带电子的态密度 6 布洛赫电子的准经典运动 7 布洛赫电子在恒定电场中的 准经典运动
由E和E+E围成的体积为V，状态在k空间是均匀分布的
状态密度 V —— 动量标度下的能态密度
(2 )3
E~E+E之间的能态数目
Z
V
(2
)3
dSdk
两个等能面间垂直距离 dk
能态密度
N
(E)
V
(2
)3
dS kE
考虑到电子的自旋，能态密度
N (E)
2
V
(2 )3
dS kE
dS (sin2 kxa sin2 k ya sin2 kza)
带底
和
出现微商不连续的奇点 —— 等能面与布里渊区相交
X点k = (/a, 0, 0)的能量
1d 和 2d呢？
“Note-Density of states of tight banding type.nb” 不妨先画一下能谱形状 van Hove critical points
E s (k ) E 0 2 J 1(cos k xa cos k ya cos k za )
k = 0 附近
2
E(k)
Emin
2m*
(k
2 x
k
2 y
k
2 z
)
—— 等能面为球面
—— 随着E的增大，等能面与 近自由电子的情况类似
能态密度
N
(E)
V
8 3aJ1
等能面
—— 半导体带隙宽度较小 ~ 1 eV
—— 绝缘体带隙宽度较宽 ~ 10 eV
金属
—— 电子除了填满一系列的能带形成满带，还部分填充 了其它能带形成导带
—— 电子填充的最高能级为费密能级，位于一个或几个能 带范围内
—— 在不同能带中形成一个占有电子与不占有电子区域 的分解面
—— 面的集合称为费密面
能态密度和费米面
1. 能态密度函数
—— 固体中电子的能量由一 些准连续的能级形成的 能带
—— 能量在E ~ E+E之间的 能态数目Z
如果二维三维问题想不清 楚，请想1维！
E
能态密度函数
N (E ) lim Z E0 E
在k空间，根据 E(k) = Constant 构成的面为等能面
等能面的变化 二维正方格子
第一布里渊区的等能面
—— 波矢接近布里渊区的A点， 能量受到周期性的微扰而 下降，等能面向边界凸现
—— 在A点到C点之间，等能面不再是完整的闭合面， 而是分割在各个顶点附近的曲面
能态密度的变化
N ( E ) lim Z E
—— 随着k接近布里渊区，等能面不断向边界凸现，两个等
即不满带，或说最下面的一个空带 价带 —— 导带以下的第一个满带，或最上面的一个满带
禁带 —— 两个能带之间，不允许存在的能级宽度，或带隙
—— 单电子的能级由于周期性势场的影响而形成一系列的 准连续的能带，N个电子填充这些能带中最低的N个状态
半导体和绝缘体
—— 电子刚好填满最低的一系列能带，形成满带，导带中没 有电子
能面之间的体积不断增大，能态密度将显著增大
在A点到C点之间，等能面发生残缺，达到C点时，等能面缩 成一个点 —— 能态密度不断减小直到为零
第二布里渊区能态密度 —— 能量E越过第一布里渊区的A点，从B点开始能态密度 由零迅速增大
能带不重叠
能带重叠
3) 紧束缚模型的电子能态密度 简单立方格子的s带
？
公式的来源： • 求解热力学量时需要 • 晶格点阵等间距，k空间态密度为常数 • 如果是Fibonacci点阵呢？
计算统计物理量的需求
1) 自由电子的能态密度 电子的能量 k空间, 等能面是半径 在球面上
的球面
能态密度
2V
(2 )2
(
2
m
2
)
3
/
2
E
1d 和 2d呢？
2) 近自由电子的能态密度 晶体的周期性势场对能量的影响表现在布里渊区附近
1d 和 2d呢？
1d 和 2d呢？
3d
2. 费米面(3d为例)
—— 固体中有N个自由电子，按照泡利原理它们基态是由N 个电子由低到高填充的N个量子态
自由电子的能级
1d, 2d ?
N个电子在k空间填充一个半径为kF的球，球内包含N个状态数
球的半径
kF
2 ( 3 )1 / 3 ( N )1 / 3 8 V