2015高二数学上学期讲义第五讲

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高等数学第五讲+黎曼积分

第五讲黎曼积分（正常积分）§4.1 定积分一、定积分产生的背景：计算曲边梯形面积的代数和. 二、定积分⎰ba dx x f )(的概念和定义 (一)定积分⎰badx x f )(的概念首先用小的矩形的代数面积去近似地代替小的曲边梯形的代数面积,然后用小的矩形的代数面积的和去近似地代替小的曲边梯形的代数面积的和(曲边梯形的代数面积),第三,让每个小的矩形的代数面积的绝对值要多么小有多么小,则小的矩形的代数面积的和去准确地代替小的曲边梯形的代数面积的和(曲边梯形的代数面积),这样我们就通过使用直边图形的面积公式得到曲边梯形的代数面积.(二) 定积分⎰badx x f )(的定义定义(b a <): 函数)(x f 在闭区间],[b a 有定义，划分{}{}n n b x x a x T ∆∆∆====,,,,,,ΛΛ2110把闭区间],[b a 划分成n 个小区间n ∆∆∆,,,Λ21，其中],[i i i x x 1-=∆，b x x x x a n =<<<<=Λ210，1--=∆i i i x x x ， {}i ni x T ∆=≤≤max 1(分割T 的细度)，i i ∆∈ξ,若极限i n i i T x f ∆∑=→)(lim 10ξ存在，我们称极限J x f i ni i T =∆∑=→)(lim 10ξ为函数)(x f 在闭区间],[b a 上定积分（Riemann 积分），记作i ni i T bax f dx x f ∆=∑⎰=→)(lim )(10ξ. 定义(b a >): 函数)(x f 在闭区间],[a b 有定义，划分{}{}n n b x x a x T ∆∆∆====,,,,,,2110ΛΛ把闭区间],[a b 划分成n 个小区间n ∆∆∆,,,Λ21，其中],[i i i x x 1-=∆，b x x x x a n =>>>>=Λ210，1--=∆i i i x x x ， {}i ni x T ∆=≤≤max 1(分割T 的细度)，i i ∆∈ξ,若极限i n i i T x f ∆∑=→)(lim 10ξ存在，我们称极限J x f i ni i T =∆∑=→)(lim 10ξ为函数)(x f 在闭区间],[a b 上定积分（Riemann 积分），记作i ni i T bax f dx x f ∆=∑⎰=→)(lim )(10ξ. 定义(微元法的定义): 函数)(x f 在闭区间],[b a 有定义，在),(b a 上任取一点x ，按积分下限到积分上限的方向给点x 一个增量dx ，dx 的绝对值是要多么小有多么小的正数，用dx x f )(表示小曲边梯形的代数面积（面积前加正或负号），用符号⎰badx x f )(表示把闭区间],[b a 上小曲边梯形的代数面积累积起来的曲边梯形的代数面积，如果⎰badx x f )(的值存在，我们称⎰badx x f )(为函数)(x f 在闭区间],[b a 上定积分（Riemann 积分）.由上述两个定义可以看出(1)i T x dx ∆=→lim 0; (2)∑⎰=→=ni T ba10lim ;(3))(lim )(i T f x f ξ0→=.由定义知:①dx 表示函数定义域（x 轴上的区域）上点x 处沿方向(从积分下限到积分上限)的增量,是绝对值要多么小有多么小的实数;②当b a >时,0>dx ,当b a <时,0<dx ;③⎰badx x f )(表示)(x f y =,a x =,b x =所围成的曲边梯形的面积(0><)(,x f b a 或0<>)(,x f b a )或面积的相反数(0>>)(,x f b a 或0<<)(,x f b a )；④函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续或有有限个间断点，则极限i ni i T x f ∆∑=→)(lim 10ξ存在，即函数)(x f 在闭区间],[b a 上Riemann 可积；⑤函数)(x f 在闭区间],[b a 上有界，则极限ini iT x f ∆∑=→)(lim10ξ不一定存在，即函数)(x f 在闭区间],[b a 上不一定Riemann 可积, 如狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数当，为有理数，当x x x D 0,1)(.三、计算: (1)常规计算法 ①牛顿-莱布尼兹公式法)()()()(a F b F a bx F dx x f ba-==⎰,其中)()(x f x F ='. 或[][])()()()()(a F b F abC x F a b dx x f dx x f ba-=+==⎰⎰,其中)()(x f x F =',该式说明为什么函数)(x f 的所有原函数叫做函数)(x f 的不定积分,并且函数)(x f 的不定积分用符号⎰dx x f )(表示.②分步积分法 []()d ()()()()d (),[,]b bba aaf xg x f x g x g x f x x a b =-∈⎰⎰.③换元积分法第一换元积分法()()()()u d u f x d x f dcba⎰⎰=)()(ϕϕ，其中)(x u ϕ=，()c a =ϕ，()d b =ϕ。

高二数学讲义四点共圆

高二数学竞赛班二试平面几何讲义第五讲四点共圆（一）班级姓名一、知识要点：1. 判定“四点共圆”的方法:（1)若对角互补，则四点共圆；（2）若线段同一侧的两点对线段的张角相等，则四点共圆；（3）圆的割线定理成立，则四点共圆；（4）圆的相交弦定理成立，则四点共圆； 2. “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.二、例题精析：例1. 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM＝∠CBK.求证：∠DMA ＝∠CKB.（第二届袓冲之杯初中竞赛）A B C D K M ··例2.给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q 四点共圆.(第19届美国数学奥林匹克)例3．A、B、C三点共线，O点在直线外，O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC，△OCA的外心.求证：O，O1，O2，O3四点共圆.(第27届莫斯科数学奥林匹克)AB CKMNPQB′C′A B COOOO123？？三、精选习题：1．⊙O1交⊙O2于A，B两点，射线O1A交⊙O2于C点，射线O2A交⊙O1于D点.求证：点A是△BCD的内心.2．△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.3．设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：△M1M2M3也是正三角形.四、拓展提高：4．⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，BC交于K，N(K与N不同).△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M.求证：∠BMO=90°.(第26届IMO第五题)A BOKN CMG高二数学竞赛班二试平面几何讲义第五讲四点共圆（一）例1. 分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK.∵∠DAB +∠ADC ＝180°，∴∠CMK +∠KDC ＝180°.故C ，D ，K ，M 四点共圆⇒∠CMD ＝∠DKC. 但已证∠AMB ＝∠BKA ， ∴∠DMA ＝∠CKB. 例2. 法1：,,,P Q C C '四点共圆，PK KQ C K KC '⋅=⋅， ,,,M N B B '四点共圆， MK KN BK KB '⋅=⋅，因为90BC C BB C ''∠=∠=，所以,,,B B C C ''四点共圆，C K KC BK KB ''⋅=⋅所以MK KN PK KQ ⋅=⋅，所以M ，N ，P ，Q 四点共圆.法2：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM.欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证 MK ·KN ＝PK ·KQ ，即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′)或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2 . ①不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2=(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2)=KC ′2-KB ′2. ② 由②即得①，命题得证.例3．分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA.观察△OBC 及其外接圆，立得∠OO 2O 1=21∠OO 2B=∠OCB.观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=21∠OO 3A =∠OCA.由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1⇒O ，O 1，O 2，O 3共圆.利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证.1．提示：设法证明C，D，O1，B四点共圆，再证C，D，B，O2四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.2．提示：设法证∠ABA1与∠ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆；再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是△ABC的外接圆上，并注意∠A1AA2=90°. 4．分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的.连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G.易得∠GMC=∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2·∠BAC=∠GMC+∠BMK=180°-∠CMK，∴∠COK+∠CMK=180°⇒C，O，K，M四点共圆.在这个圆中，由OC=OK⇒OC=OK⇒∠OMC=∠OMK.但∠GMC=∠BMK，故∠BMO=90°.法2 蒙日定理。

高中数学必修一第五讲函数的表示方法

第五讲函数的表示方法1、能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；2、了解简单的分段函数，并能简单应用；一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。

例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2)y x =≥等等都是用解析式表示函数关系的。

特别提醒：解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。

中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。

解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。

2、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。

例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。

我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的.特别提醒：列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。

这种表格常常应用到实际生产和生活中。

列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。

3、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。

例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。

特别提醒：图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。

图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。

二、函数图像：1、判断一个图像是不是函数图像的方法：要检验一个图形是否是函数的图像，其方法为：任作一条与x 轴垂直的直线，当该直线保持与x 轴垂直并左右任意移动时，若与要检验的图像相交，并且交点始终唯一的，那么这个图像就是函数图像。

全国数学联赛金牌教练-高中奥数辅导：第五讲-不等式的证明

全国高中数学联赛金牌教练员讲座兰州一中数学组第五讲不等式的证明知识、方法、技能不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高考的热门题型.证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性分类罗列如下：不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质：（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性）（3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>>（4）*).(,0N n b a b a b a nn nn ∈>>⇒>>对两个以上不等式进行运算的性质.（1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad dbc a cd b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质：（1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤（2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或（3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）. （4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.赛题精讲例1：,0,,>c b a 求证：.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++ 【略解】abc a c ca c b bc b a ab 6)()()(-+++++【评述】（1）本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在因式分解或配方时，往往采用轮换技巧.再如证明ca bc ab c b a ++≥++222时，可将22b a +)(ca bc ab ++-配方为])()()[(21222a c c b b a -+-+-，亦可利用,222ab b a ≥+ca a c bc c b 2,22222≥+≥+，3式相加证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证.例2：0,,>c b a ，求证：.)(3c b a cbaabc c b a ++≥【思路分析】显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法.【略解】不等式关于c b a ,,对称，不妨+∈---≥≥R c a c b b a c b a ,,,则，且cb b a ,， ca都大于等于1.【评述】（1）证明对称不等式时，不妨假定n 个字母的大小顺序，可方便解题.（2）本题可作如下推广：若≥=>na naai a a a n i a 2121),,,2,1(0则（3）本题还可用其他方法得证。

数学分析第五讲上下极限定义与基本性质与应用

1 N yn A x k A n k 1 两边取上极限, 则有
能否用数列极限保序性？
1 N lim sup yn A lim( xk A ) . n n n k 1
由任意性: limsup yn A 0.
n
因此 lim inf yn A limsup yn A 0
n n
所以 lim yn A.
n
数列上下极限的定义与基本性质
例3 证明:
xn 0, lim xn A 0, 证明:lim n x1 x2
n n
xn A.
因为 lim xn A, 所以
n
0, N N * , n N : A xn A
n
8n +3
8n
8n
sinΒιβλιοθήκη 8n+3 4
1 2 = 1 8n 2
8n
lim x8n e
n n
lim x8n 1
n
2 e 2 2 2
lim x8n 2 e 1
lim x8n 3 e
总习题课

2 2
lim x8n 4 e , lim x8n 5 e
n n
2 , 2
lim x8n 6 e 1, lim x8n 7 e
2 n n 2 2 lim sup xn e 1,lim inf xn e n n 2
斯笃茨定理的应用
例3 1p 2 p 求极限 lim p n n
p p 1 2 n
np
n , p N *. p1
解:原式 lim

第五讲一元二次方程及不等式课件-2025届高三数学一轮复习

、2 − 16 ≥ 0
、2 − 16 < 0
、2 − 16 ≤ 0
）。
√
一元二次函数 = 2 2 + + 2的二次项系数2 > 0，开口向上；
若不等式2 2 + + 2 < 0的解集为∅，则一元二次函数 = 2 2 +
+ 2的图像全部在轴上或轴上方；
结合开口向上，此时，函数图像与轴有一个交点或没有交点；
c(a > 0)的根
∆> 0
∆= 0
∆< 0
有两个不相等的实有两个相等的实数无实数
数根x1 , x2 (x1 < x2 ) 根x1 = x2 = − b
根
2a

ax 2 + bx + c >
{| ≠ − }
< , 或 > } ______________

0(a > 0)的解集 {|
1
1
显然，函数 = + 在 ∈ (0, ]上单调递减；

2
1
1
1
故函数 = − − = −( + )在 ∈ (0, ]上单调递增；

2
1
1
1
5
1
可得：(− − ) = − − 1 = − ( ∈ (0, ])；

2
2
2
2
综上， ≥ (− −
1
)
=

5
− 。
2
反馈检测
2
1
2
+ ) ≤ − × 2 = 0。
反馈检测
1
2

高二数学竞赛班讲义-第五讲--组合恒等式

高二数学竞赛班二试第五讲组合恒等式班级姓名一、知识要点：数学竞赛中组合数计算和组合恒等式的证明，是以高中排列、组合、二项式定理为基础，并加以推广和补充而形成的一类习题，它往往会具有一定的难度且灵活性较强。

解决这类问题常常对学生良好的运算能力和思维的灵活性都有较高的要求。

同时，此类问题的解决也有着自身特殊的解题技巧。

因此，在各类数学竞赛中经常被采用。

1．基本的组合恒等式简单的组合恒等式的化简和证明，可以直接运用课本所学的基本组合恒等式。

事实上，许多竞赛中出现的较复杂的组合数记算或恒等式证明，也往往运用这些基本组合恒等式，通过转化，分解为若干个简单的组合恒等式而加以解决。

课本中的组合恒等式有：①r n r n nC C -=； ②111r r rn n n C C C +++=+；③11k k n n kC nC --=； ④r m m r mn r n n m C C C C --=；⑤0122n nn n n n C C C C ++++=L ；⑥()01210.nnn n n n C C C C -+++-=L2．解题中常用方法① 运用基本组合恒等式进行变换；② 运用二项展开式作为辅助函数，通过比较某项的系数进行计算或证明； ③ 运用数学归纳法； ④ 变换求和指标；⑤ 运用赋值法进行证明；⑥ 建立递推公式，由初始条件及递推关系进行计算和证明； ⑦ 构造合理的模型。

二、经典例题例1．求证：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L .例1．证明：根据前面提到的基本的组合恒等式第三条，可得：左边0121111112n n n n n n nC nC nC nC n ------=++++=⋅=L 右边例2．求和式21nk nk k C=∑的值。

例2．基本思路：将2k n k C 改写为k n k kC ⋅，先将k n kC 用恒等式3提取公因式n ，然后再将11k n kC --变形成为()11111k k n n k C C -----+，而()111k n k C ---又可以继续运用上述恒等变形，这样就使得各项系数中均不含有变动指标k 了。

2015年高考数学总复习新课标课件：第五章

1）
，
n（n－1）
故 an＝2 2 .
第二十四页，编辑于星期五：十一点二十三分。
(2)递推公式 an＋1＝2an＋3 可以转化为 an＋1＋3＝2(an＋3)．令 bn＝an＋3，则 b1＝a1＋3＝4，且bbn＋n 1＝aan＋ n＋1＋33＝2，所以数列{bn}是以 4 为首项，2 为公比的等比数列．所以 bn＝4×2n－1＝2n＋1，即 an＝2n＋1－3.
第十页，编辑于星期五：十一点二十三分。
4．已知数列{an}的通项公式是 an＝22· n－3n5－（1（n为n为奇偶数数）），则 a3a4＝ ___5_4____．解析：a3＝2×3－5＝1，a4＝2·34－1＝54，a3a4＝54.
第十一页，编辑于星期五：十一点二十三分。
5．若数列 {an}的通项公式为
第二十三页，编辑于星期五：十一点二十三分。
3．根据下列条件，求数列的通项公式an.
(1)a1＝1，an＋1＝2nan；
(2)a1＝1，an＋1＝2an＋3.
解：(1)由于aan＋ n 1＝2n，
故aa12＝21，aa23＝22，…，aan－n 1＝2n－1，
将这 n－1 个等式叠乘，
得aa1n＝21＋2＋…＋(n－1)＝2n（n2－
－n1，n为正奇数，也可写为 an＝ n3，n为正偶数.
第十四页，编辑于星期五：十一点二十三分。
观察法求数列通项公式的技巧：观察归纳法求数列的通项公式，关键是找出各项的共同规律及项与项数n的关系，当项与项之间的关系不明显时，可采用适当变形或分解，以凸显规律，便于归纳，当各项是分数时，可分别考虑分子、分母的变化规律及联系，正负相间出现时，可用(－1)n或(－1)n＋1调节．

【19份合集】2015-2016学年高二数学人教版必修5同步教学课件共648张PPT

1.1
理解教材新知
知识点
题型一
第一章
1.1.1 正弦定理
突破常考题型
题型二题型三
跨越高分障碍应用落实体验随堂即时演练
课时达标检测
1．1.1
正弦定理
正弦定理
[提出问题]
如图，在 Rt△ABC 中，A＝30° ，斜边 c＝2，问题 1：△ABC 的其他边和角为多少？
提示：∠B＝60° ，∠C＝90° ，a＝1，b＝ 3.
[类题通法] 已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路
(1)由三角形的内角和定理求出第三个角．
(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值 (这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．
[活学活用] 1．在△ABC 中，已知 c＝10，A＝45° ，C＝30° ，解这个三角形．
解：∵A＝45° ，C＝30° ，∴B＝180° －(A＋C)＝105° . a c csin A 10×sin 45° 由＝得 a＝＝＝10 2. sin A sin C sin C sin 30° b c csin B 10×sin 105° 由＝得 b＝＝＝20sin 75° ， sin B sin C sin C sin 30° ∵sin 75° ＝sin (30° ＋45° )＝sin 30° cos 45° ＋cos 30° sin 45° 2＋ 6 2＋ 6 ＝，∴b＝20× ＝5 2＋5 6. 4 4
[类题通法] 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对

数学分析第五讲黎曼积分

数学分析第五讲黎曼积分首先介绍黎曼积分的定义。

设 f(x) 是定义在闭区间 [a, b] 上的有界函数。

将 [a, b]等分成 n 个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b- a) / n。

在每个小区间 [xᵢ₋₁, xᵢ] 上取一点ξᵢ，其中 x₀ = a，xₙ = b。

定义黎曼和 Sₙ = Σf(ξᵢ)Δx，其中Σ 表示求和。

如果当 n 趋近于无穷大时，Sₙ 的极限存在，且与闭区间 [a, b] 上的任意一个选取的点无关，那么这个极限就是 f(x) 在 [a, b] 上的黎曼积分，记作∫[a, b] f(x) dx。

下面讨论黎曼积分的性质。

首先，黎曼积分具有线性性质。

即对于两个有界函数 f(x) 和 g(x)，以及任意的常数 a、b，有∫[a, b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a, b] f(x) dx + b∫[a, b] g(x) dx。

其次，当f(x) 在 [a, b] 上连续时，它是可积的。

这意味着连续函数是黎曼可积的。

此外，如果 f(x) 在 [a, b] 上只有有限个间断点，则它也是可积的。

最后一个性质是介值性质，即如果 [a, b] 上的一个函数 f(x) 与另一个函数 h(x) 在除有限个点外完全相同，那么 f(x) 在 [a, b] 上的可积性与 h(x) 是相同的。

接下来是计算黎曼积分的方法。

黎曼积分的计算方法有很多种，其中一种常用的方法是分割求和法。

将[a,b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，在每个小区间上取代表点ξᵢ，然后计算黎曼和Sₙ=Σf(ξᵢ)Δx，其中Σ表示求和。

当n趋近于无穷大时，Sₙ的极限就是f(x)在[a,b]上的黎曼积分。

此外，还可以使用变量代换法、分部积分法等方法来计算黎曼积分。

总结起来，黎曼积分是微积分中的核心概念之一、通过定义和性质可以了解黎曼积分的基本特点。

在计算方法上，可以使用分割求和法、变量代换法、分部积分法等方法来计算黎曼积分。

数学方法论-第五讲-RMI方法

港逆水行回甲港，共用了8小时。已知顺水每小时
比逆水多行20千米，又知前4小时比后4小时多行 60千米。那么，甲乙两港相距多少千米。
例1 水结成冰体积增加了十分之一，那么，冰化
成水后，体积减少了几分之几？
水
冰
水
例2 某班有四个课外活动小组。已知有二分之
一的学生参加语文小组，有四分之一的学生参加英
语小组，有八分之一的学生参加数学小组，还有6名学生参加科技小组。如果参加者互不重复，该班有多少人。
1 2 1 4 1 6人 8
例3 鸡兔同笼不知数，十二个头笼中露。数清脚共三十只，多少只鸡多少兔？
中国著名数学教育家、数学方法论专家 -----徐利治
一、关系映射反演方法
如果原问题“化归”为一个新问题后，新问题与原问题是同构的（即，只是形式不同，数学结构完全相同），这种“化归”在数学上又称为“RMI”方法。
二、关系映射反演方法的基本含义
原象关系结构
（原象系统中的问题）映射映射关系结构（映射系统中的问题）
甲，乙两船同时从B港分别向C港和A港行驶。已知甲船速度是乙船速度的五分之六倍， A，B 两港相距540千米。甲船3小时后到达C 港，然后立即驶向A港，最后与乙船同时到达 A港。则乙船速度是（）千米/小时。
C
B
A
6 [540 (3 2) 5] 15 5
一船从甲港顺水而下行到乙港，马上又从乙
现在岁数与当时岁数的差
113岁甲17岁乙岁数丙岁数
甲现在岁数
乙现在岁数
丙现在岁数
（岁）乙现在岁数是：(113 17) 3 32
（岁）丙现在岁数是：113 25 32 56
四、运用RMI方法来解决数学问题的基本思路：

【成才之路】2015版高中数学(人教版必修5)配套课件2.1数列的概念与简单表示法

1.两个非空数集 A，B，对于集合 A 中的每一个数，通过 ________，在集合 B 中都有________一个数与其对应．这时就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的函数． 2．对于一次函数 y＝x＋1，当 x＝－2，－1,0,1,2，…时， y＝________.体现了有规律的一列数与另一列数的________．
2．数列的通项公式如果数列{an}的第 n 项 an 与项数 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做数列的通项公式．注意： (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集 N*或它的有限子集为定义域的函数表达式，即 an＝f(n)． (2)已知数列的通项公式，依次用 1,2,3，…去替代公式中的 n，就可以求出这个数列的各项；同时利用通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项，是第几项．
课堂典例探究
数列的概念及分类
下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) 1 1 1 A．1，，，，… 2 3 4 π 2π 3π B．sin ，sin ，sin ，… 7 7 7 1 1 1 C．－1，－，－，－，… 2 4 8 D．1， 2， 3，…， 21
• [答案] C • [解析] D是有穷数列，A是递减数列，B是摆动数列，故选C.
• ④数列的简记符号{an}，不可能理解为集合 {an}，数列的概念与集合概念的区别如下表：
数列集合示例如数列1,3,4与1,4,3 数列中的项是有序的，两组相同的数集合中的元素是不同的数列，而集合{1,3,4}与字，按照不同的顺序是无序的 {1,4,3}是相等集合区排列得到不同的数列别集合中的元素如数列1,1,1，…每数列中的项可以重复满足互异性，项都是1，而集合出现集合中的元素则不可以不能重复出现

高二数学竞赛第五讲五面体

第五讲四面体1基础知识与基本方法1.1基本知识介绍 ①四面体的概念几何体，锥体的一种，由四个三角形组成，亦称为四面体。

四面体是立体几何中最基本的，也是最重要的几何体，它相当于平面几何中三角形所处的地位。

四面体与三角形有着相类似的性质。

如图（1）所示四面体1234A A A A - ②直角四面体的概念同一顶点上的三条棱两两垂直的四面体称为直角四面体。

如图（2）所示直角四面体P ABC -（其中,,.PA PC PA PB PB PC ⊥⊥⊥）③等腰四面体的概念对棱都相等的四面体称为等腰四面体。

以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体。

如图（3）所示等腰四面体11C A BD -（其中111111,,C A BD C D A B A D BC ===）；如图（4）所示等腰四面体A BCD -（其中,AB CD BC AD ==，AC BD =）④正四面体的概念每个面都是全等的正三角形的正三棱锥称为正四面体。

对棱都垂直的等A 4A 3A 1 A 2图1BACP图2BB 1A 1D 1ADCC 1图3CDABO图4腰四面体是正四面体。

两组对棱垂直的等腰四面体是正四面体。

对棱都垂直相等的四面体是正四面体。

对棱中点连线都垂直相等的四面体是正四面体。

如图（5）所示正四面体11B AC D -（其中1234ABCD A B C D -为正方体） 1.2基本方法介绍 ①等体积法等体积法的运用的主要目的是求点到面的距离。

运用前提主要有三点：第一,在不容易直接找到点到面的距离的前提下运用；第二,在体积容易解答的前提下用;第三, 能很容易知道另一条高的前提下用。

如图（6）所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，1PD DC BC ===，02,//,90.AB AB DC BCD =∠=求点A 到平面PBC 的距离.解析：连结AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .因为DC AB //,90=∠BCD ,所以.90=∠ABC 从而由1,2==BC AB ,得ABC ∆的面积1=∆ABC S .由⊥PD 平面A B C D 及1=PD ,得三棱锥ABC P -的体积⋅=⋅=∆3131PD S V ABC因为⊥PD 平面⊂DC ABCD ,平面ABCD ,所以DC PD ⊥. 又1==DC PD ,所以222=+=DC PD PC .由BC PC ⊥,1=BC ,得PBC∆的面积22=∆PBC S , 由h S V PBC ∆=3111323h =⋅=,得.2=h 因此，点A 到平面PBC ②补形法，分割法当几何图形不规则的时候，将原图形添补或分割成一个特殊的、简单的、完整的新图形，则能使问题的本质得到充分的显示，从而使问题化繁为简。

高等数学上第五讲(课堂PPT)

正
比较可知 x n x n 1 ( n 1 ,2 , )
又
xn(11 n)n1121 !
1 3
!
1 n!
14
又
xn(11 n)n1121 !
1 3
!
1 n!
1112
1 22
2n11
1
1
1 2n
1
1 2
3
1 2n1
3
n! ≤n2
根据准则 2 可知数列 {xn 有极限 .
记此极限为 e , 即
xn(11n)n
11n !
1 n
n(n1) 2!
1 n2
n(n13)!(n2)n13
n(n1) n(!nn1)n1n
13
xn1121!(1 1n)
31!(1
1n)
(1
2 n
)
n1!(11n)(1 n2) (1nn1)
xn11121!(1n11) 3 1!(1n1 1)1(n2 1)
大
大
( n 1 1 ) ! ( 1 n 1 1 )1 (n 2 1 ) ( 1 n n 1 )
A2 3A, 解A 得 11,3A 11(3 舍去)
2
2
ln i m xn
1 13. 2
11
例6. 设 x n (1 1 n )n(n 1 ,2 , ),证明数列 {xn
极限存在 . (P22～P23)
证: 利用二项式公式 , 有
xn(11n)n
11n !
1 n
n(n1) 2!
1 n2
n(n13)!(n2)n13
nl i m(11n)n e e 为无理数 , 其值为
e2 .7182 58 9 1 08 42 584

第五讲——第八讲讲义

第五讲分数应用题（1）1、小敏看一本故事书，共有240页。

第一天看了全部的15，第二天看了全部的14，第三天看了全部的16，她已经看了多少页？2、水果批发商陈老板那里前两天刚到一批新鲜的水果，共有840箱。

第一天销售了总箱数的14，第二天销售了总箱数的27，第三天销售了总箱数的521，这三天一共销售了多少箱水果？3、图书馆新购进一批图书，共计1500册。

其中，童话故事书占总数的625，教辅书占总数的720，成人读物占总数的110，那么，其他的图书共有多少册？4、市政公司修一条长2000米的公路，第一天修了这条路的18，第二天修了这条路的320，第三天修了这条路的425多15米。

三天共修了多少米？1、春节快到了，王阿姨准备了150块糖果。

其中，奶糖占415，巧克力糖占总块数的310少5块，水果糖比总块数的16多8块。

其他品种的糖共有多少块？2、实验小学体育组新购进100个篮球、排球和足球。

排球比总数的12多4个，篮球比总数的25多3个，那么，足球有多少个？3、兴旺公司有一堆煤，共280吨。

第一天用去了27多1吨，第二天用去了38少12吨，第三天用去了310多10吨，还剩多少吨？4、小明每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出100个。

肥皂泡吹出以后，经过1分钟有一半破了，经过2分钟还有120没有破，经过2分半钟全部肥皂泡都破了。

小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共有多少个？1、王蕾带了100元去买文具，她买笔花了12，买练习本花了剩下钱数的25，她还剩下多少元钱？2、林琳看一共有144页的故事书《神探柯南》，她第一天看了全书的14，第二天看了剩下的13，她两天共看了多少页？3、苏宁电器6月底新到220台空调，七月上旬销售了15，中旬销售了剩下的38，还剩下多少台？4、山上有一棵桃树，上面挂着45个大桃子。

有一只猴子第一天偷吃了19，第二天偷吃了剩下的18，第三天偷吃了第二天偷吃后剩下的17。

第五讲不等式性质及解法

博通教育辅导讲义年级高一辅导科目数学学科教师课次数课题第五讲不等式的基本性质及解法主管审核教学内容知识点及例题精讲一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或n n a b >；4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。

[例1]（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦bc ba c ab ac ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______ 二、一元二次不等式解法1.一元二次不等式(1)一元二次不等式经过变形，可以化成如下标准形式： ①ax 2+bx+c ＞0(a ＞0);②ax 2+bx+c ＜0(a ＞0).2.一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集对比表二次函数△情况一元二次方程一元二次不等式y=ax2+bx+c(a＞0) △=b2-4ac ax2+bx+c=0(a＞0)ax2+bx+c＞0(a＞0)ax2+bx+c＜0(a＞0)图像与解△＞0x1=x2=不等式解集为｛x｜x＜x1或x＞x2＝不等式解集为｛x｜x1＜x＜x2＝△=0x1=x2=x0=不等式解集｛x｜x≠x0,x∈R｝解集为△＜0 方程无解不等式解集为R(一切实数)解集为a＜0的情况自己完成3.一元n次不等式(x-a1)(x-a2)…(x-a n)＞0,(x-a1)(x-a2)…(x-a n)＜0，其中a1＜a2＜…＜a n.把a1,a2,…a n按大小顺序标在数轴上，则不等式的解的区间如图所示：综合可知，一元二次不等式的解法充分运用了“函数与方程”，“数形结合”及“化归”的数学思想，一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值为零时对应的x值，一元二次不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于零或小于零时x的取值范围，因此解一元二次方程ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0一般要画与之对应的二次函数y=ax2+bx+c的图像.例1解下列关于x的不等式：(1)2x+3-x2＞0;(2)x(x+2)-1≥x(3-x);(3)x2-2x+3＞0;(4)x2+6(x+3)＞3;例2解不等式≥2.例3若函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)对任意的实数t,都有f(2+t)=f(2-t)，下列不等式成立的是( ) A.f(1)＜f(2)＜f(4) B.f(2)＜f(1)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1)例4已知不等式ax2+bx+2＞0的解为-＜x＜，求a，b值.例5若x2+qx+q＞0的解集是｛x｜2＜x＜4｝，求实数p、q的值.例6设A=｛x｜-2＜x＜-1,或x＞1｝，B=｛x｜x2+ax+b≤0｝，已知A∪B=｛x｜x＞-2｝，A∩B=｛x｜1＜x≤3｝，试求a,b 的值.例7已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.(1)如果对一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围.(2)如果对x∈〔-3，1〕，f(x)＞0成立，求实数a的取值范围.例8公园要建造一个圆形喷水池.在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如下左图所示.为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离为1米处达到距水平最大高度为2.25米，如果不计其他因素，那么水池半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?巩固练习与随堂测验一、选择题1.已知集合A=｛x｜x2-2x-3＜0 ，B=｛x｜｜x｜＜a ，若B A，则实数a的取值范围是( )A.0＜a≤1；B.a≤1；C.-1＜a≤3；D.a＜1.2.集合A=｛x｜x2-3x-10≤0，x∈Z｝，B=｛x｜2x2-x-6＞0，x∈Z｝，则A∩B的子集的个数为( )A.16；B.8；C.15；D.7.3.不等式≥0的解集是( )A.｛x｜-1≤x≤3｝B.｛x｜x≤-1，或x＞3｝C.｛x｜x≤-1，或x≥3｝D.｛x｜-1≤x＜3｝4.若对于任何实数，二次函数y=ax2-x+c的值恒为负，那么a、c应满足( )A.a＞0且ac≤B.a＜0且ac＜C.a＜0且ac＞D.a＜0且ac＜0二、填空题2.不等式ax2+bx+2＞0的解集是｛x｜- ＜x＜,则a+b=________ .3.不等式≤1的解集是 __________________ .4.不等式-4≤x2-3x＜18的整数解为____________________ .5.已知关于x的方程ax2+bx+c＜0的解集为｛x｜x＜-1或x＞2｝.则不等式ax2-bx+c＞0的解集为___________________________________ .三、解答题1.求不等式x2-2x+2m-m2＞0的解集.4.已知a＞1解关于x的不等式组5.解不等式课后作业1.解关于x的不等式x2-x-a2+a＞02.已知函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图像都在x轴上方，求实数k的取值范围.3.已知A=｛x｜x2-3x+2≤0｝,B=｛x｜x2-(a+1)x+a≤0｝.(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B A，求a的取值范围；(3)若A∩B为仅含有一个元素的集合，求a的值.4不等式＞1解集是 .5如下图，铁路线上AB段长100千米，工厂C到铁路的距离CA为20千米.现要在AB上某一点D处向C修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为3∶5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最少，D点应选在何处?6要在墙上开一个上半部为半圆形，下部为矩形的窗户(如下图所示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸?。

新课标人教版数学第五讲数学方法之特殊解法

新课标人教版数学第五讲数学方法之特殊解法一．知识探究：1．换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。

局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α ，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。

为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。

如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。

2．待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

高等数学：第五讲积分上限函数

(x) d
dx
x
f (t)dt
a
f (t) |tx
f (x)
(a x b)
3.例题
例1.求 d x et sin tdt
dx 0
解
d x et sin tdt ex sin x.
dx 0
3.例题
1 et2dt
例2.求 lim x0
cos x
x2
.
解分析：这是 0 型不定式，应用洛必达法则. 0
d
dx
1 et2 dt
cos x
d这是cos dx 1
型x e不t定2 d式t，定应用e洛c必os达2 x法 (则c.os
x)
sin
x ecos2 x ,
1 et2dt
sin x ecos2 x
1
所以
lim
x0
cos x
x2
lim x0
2x
. 2e
练习：
1. 运算 " d b f (x)dx 0" 是否正确？为什么？
积分上限函数
目录
01 引例 02 积分上限函数 03 例题
1. 引例
在变速直线运动中, 已知位置函数与速度函数之间
有关系:
s(t) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为
T2 T1
v(t)dt
s(T2
)
s(T1),
这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
2. 积分上限函数
设函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，并且设 x 为 [a,b] 上的一点，
dx a
2. 计算 d
x
1 tdt.
dx 0

2015版高中数学新课标版必修5同步课件第一章数列1-2-5

北师大版·数学·必修5
45分钟作业与单元评估
解析：由 S12＝8S4，得 12a1＋11×2 12d ＝8(4a1＋4×2 3d)⇒20a1＝18d⇒ad1＝190.
答案：A
二合一
第一章 ·§2 ·2.2 ·第5课时
第15页
第十五页，编辑于星期五：十一点五十七分。
北师大版·数学·必修5
45分钟作业与单元评估
二合一
8．若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，S2＝S6，a4＝1，则 a5＝________.
第一章 ·§2 ·2.2 ·第5课时
第22页
第二十二页，编辑于星期五：十一点五十七分。
北师大版·数学·必修5
45分钟作业与单元评估
二合一
解析：由题意知a1＋a1＋d＝6a1＋6×2 5d， a1＋3d＝1，
第一章 ·§2 ·2.2 ·第5课时
第29页
第二十九页，编辑于星期五：十一点五十七分。
北师大版·数学·必修5
4ห้องสมุดไป่ตู้分钟作业与单元评估
二合一
解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d. 由 a1＝1，a3＝－3，可得 1＋2d＝－3，解得 d＝－2. 从而 an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知 an＝3－2n，所以 Sn＝n[1＋23－2n]＝2n－n2.
第一章数列
第3页
第三页，编辑于星期五：十一点五十七分。
北师大版·数学·必修5
45分钟作业与单元评估
二合一
第5课时
等差数列的前n项和
限时：45分钟总分：100分
作
作
业
业
目
设