2012届高三步步高大一轮复习课件：4.6正弦定理和余弦定理
高三高考数学复习课件4-6正弦定理余弦定理
题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
【例 1】 (1)在△ABC 中，已知 a＝2，b＝ 6，A＝45°，
则满足条件的三角形有( )
A．1 个
B．2 个
C．0 个
D．无法确定
(2)在△ABC 中，已知 sin A∶sin B＝ 2∶1，c2＝b2＋ 2bc， 则三内角 A，B，C 的度数依次是________．
π A＝ 3 .
由题意得21bcsin A＝3sain2 A，a＝3，所以 bc＝8. 由余弦定理得 b2＋c2－bc＝9， 即(b＋c)2－3bc＝9.由 bc＝8，得 b＋c＝ 33. 故△ABC 的周长为 3＋ 33.
【思维升华】 (1)对于面积公式 S＝21absin C＝21acsin B＝12 bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
π 又 0<B<π，∴B＝ 3 . (2)因为 a＝2，c＝ 2， 所以由正弦定理可知，sin2 A＝sin2C， 故 sin A＝ 2sin C.
又B＝π－(A＋C)， 故sin B＋sin A(sin C－cos C) ＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C ＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C ＝(sin A＋cos A)sin C ＝0. 又C为△ABC的内角， 故sin C≠0， 则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.
又 A∈(0，π)，所以 A＝3π 4 .
从而
sin
C＝
1 2sin
A＝
22×
22＝12.
由 A＝3π 4 知 C 为锐角，故 C＝π6 .
故选 B.
π 【答案】 (1) 3 (2)B
【步步高】高考数学一轮复习_4.6正弦定理、余弦定理(师)
§4.6 正弦定理、余弦定理1．正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在△ABC 中，A >B 必有sin A >sin B ．( √ )(2)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是(3，2)．( √ ) (3)若△ABC 中，a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是等腰三角形．( √ ) (4)在△ABC 中，tan A ＝a 2，tan B ＝b 2，那么△ABC 是等腰三角形．( × )(5)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，三角形为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，三角形为钝角三角形．( × )(6)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于32.( × )1．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3答案 D 解析 在△ABC 中，利用正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3. 2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 B 解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3答案 C 解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ，∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②，由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab ＝______.答案 2解析 方法一 因为b cos C ＋c cos B ＝2b ，所以b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2b ，化简可得ab＝2.方法二 因为b cos C ＋c cos B ＝2b ，所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，故sin(B ＋C )＝2sin B ， 故sin A ＝2sin B ，则a ＝2b ，即ab＝2.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．解 (1)由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－42ac ＝79，即a 2＋c 2－4＝149ac .∴(a ＋c )2－2ac －4＝149ac ，∴ac ＝9. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝6，ac ＝9，得a ＝c ＝3.(2)在△ABC 中，cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫792＝429. 由正弦定理得：a sin A ＝b sin B， ∴sin A ＝a sin B b ＝3×4292＝223. 又A ＝C ，∴0<A <π2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，∴sin (A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.思维升华 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cosA 的值为________．(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.答案 (1)－14 (2)145 解析 (1)由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ， 即b ＝32c . 又b －c ＝14a ，∴12c ＝14a ，即a ＝2c . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c 23c 2＝－14.(2)在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45. ∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知b sin B ＝c sin C ， ∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.题型二 利用正、余弦定理判定三角形的形状例2 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解 (1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， 得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1.∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°. ∴B ＋30°＝90°，B ＝60°. ∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形． 思维升华 (1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．(2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理．(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形(2)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 (1)A (2)B解析 (1)已知c b <cos A ，由正弦定理，得sin Csin B <cos A ，即sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(2)∵cos 2B2＝1＋cos B 2，∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a，∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形． 题型三 和三角形面积有关的问题例3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小； (2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得1＋cos 2A 2－1＋cos 2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ，即32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －12cos 2B ，sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6. 由a ≠b ，得A ≠B .又A ＋B ∈(0，π)，得2A －π6＋2B －π6＝π， 即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85. 由a <c ，得A <C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310，所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825.思维升华 三角形面积公式的应用原则：(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．(1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2 D.3－1(2)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．答案 (1)B (2)16解析 (1)因为B ＝π6，C ＝π4，所以A ＝7π12. 由正弦定理得b sin π6＝csinπ4，解得c ＝2 2.所以三角形的面积为12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12. 因为sin 7π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝32×22＋22×12 ＝22⎝⎛⎭⎫32＋12，所以12bc sin A ＝22×22⎝⎛⎭⎫32＋12＝3＋1，故选B.(2)已知A ＝π6， 由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16.三角变换不等价致误典例：(12分)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状． 易错分析 (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形； (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解； (3)结论表述不规范． 规范解答解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．[4分]方法一 由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B .[8分]在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．[12分]方法二 由正弦定理、余弦定理得：a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0.即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．[12分]温馨提醒 (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子，然后进行判断；(2)在三角变换过程中，一般不要两边约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解；在利用三角函数关系推证角的关系时，要注意利用诱导公式，不要漏掉角之间关系的某种情况.方法与技巧1．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明．3．在解三角形或判断三角形形状时，要注意三角函数值的符号和角的范围，防止出现增解、漏解． 失误与防范1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3 D.32答案 B 解析 由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ，所以AC ＝BC sin B sin A ＝32sin 45°sin 60°＝2 3.2．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．3∶2∶1 C ．1∶3∶2 D ．2∶3∶1答案 C 解析 由sin C ＝1，∴C ＝π2，由A ∶B ＝1∶2，故A ＋B ＝3A ＝π2，得A ＝π6，B ＝π3，由正弦定理得，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶22＝1∶3∶2.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A 解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12， 又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.4．△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62 D.3＋394答案 B 解析 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)．∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 5．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1答案 B 解析 ∵S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12， ∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4.当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5. 6．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝______.答案 523 解析 根据正弦定理应有a sin A ＝b sin B ， ∴a ＝b sin Asin B ＝5×1322＝523.7．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________.答案 4或5 解析 设BC ＝x ，则由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C 得5＝25＋x 2－2·5·x ·910，即x 2－9x ＋20＝0，解得x ＝4或x ＝5.8．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 答案 2 3解析 如图所示，在△ABC 中，由正弦定理得23sin 60°＝4sin B ，解得sin B ＝1，所以B ＝90°，所以S △ABC ＝12×AB ×23＝12×42－(23)2×23＝2 3.9．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值． 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A ，∴cos A ＝63. (2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63，则c 2－8c ＋15＝0.。
高中数学理科基础知识讲解《46正弦定理和余弦定理》教学课件
(3)先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.
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对点训练1(2019江苏丹阳高级中学模拟)如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于( )
D
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二、测量距离问题的模型案例2(2019江苏,18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.
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考点4
对点训练4如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到a处时测得公路北侧一 脚c在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达b处,测得此 脚c在西偏北75°的方向上, 顶d的仰角为30°,则此 的高度cd= m.
高三一轮总复习高效讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理及应用举例课件
[对点练]
1．在△ ABC中，c－2ca
＝sin
2B 2
(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则
△ ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由cos
B＝1－2sin
2B 2
得sin
2B 2
＝1－co2s
B ，所以c－2ca ＝1－co2s
AE sin sin
45° 30°
＝
2AB cos 15°
，因此CD＝AD
sin
60°＝ cos
2×10 （45°－30°）
×sin 60°＝10(3－ 3 )．
答案：10(3－ 3 )
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形[自主演练]
1．△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin
答案：BC
4．在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c， △ ABC的面积为5 3 ，则c＝________．
解析：由三角形面积公式，得12 ×4×5sin C＝5 3 ，
即sin
C＝
3 2
．又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°．
由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝ 21 ．
3．(多选)在△ ABC中，角A，B，C所对的各边分别为a，b，c，若a＝1，b＝ 2 ，
A＝30°，则B等于( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
解析：根据正弦定理sina A ＝sinb B 得，
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第四章
三角函数与三角形
在△ABC中， (1)若a＝4，B＝30° ，C＝105° ，则b＝________. (2)若b＝3，c＝ 2，C＝45° ，则a＝________. (3)(2010· 吉林省调研)若AB＝ 3 ，BC＝ 6 ，C ＝30° ，则角A＝________.
应用定理 正弦定理
一般解法 由A＋B＋C＝180°求出角A；由正弦 定理求出b与c；在有解时只有一解 由余弦定理求出第三边c；由正弦定 理求出小边所对的角；再由A＋B＋C ＝180°求出另一角，在有解时只有 一解 由余弦定理求出角A，B，再利用A＋ B＋C＝180°求出角C，在有解时只 有一解 由正弦定理求出角B，由A＋B＋C＝ 180°求出角C，再利用正弦定理求出 c边．可有两解，一解或无解，详见 下表.
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三角函数与三角形
4．解斜三角形的类型 解斜三角形有下表所示的四种情况：
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第四章
三角函数与三角形
已知条件 一边和两角(如a ，B，C)
《 走 向 高 考 》 高 考 总 复 习 · ( 配 人 教 B 版 ) 数 学
答案：A
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第四章
三角函数与三角形
点评：(1)已知两角和一边可求第三角，解这样的三 角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定 理求另一边的对角时要注意讨论．这是易错的地方，也是
人教版高考数学理科一轮总复习配套课件4.6正弦定理、余弦定理
由正弦定理得 sin A=
������ sin ������ ������ 1 3
=
2 2 3
.
10 2 27
因为 a=c,所以 A 为锐角. 所以 cos A= 1-sin2 A = .因此 sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B= .
答案 考点一 考点二 考点三
-13-
sin A>sin B⇔2������ > 2������⇔a>b⇔A>B.
������
������
-6-
2.在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况
A 为锐角 图形 关系 式 解的 个数 bsin A< a<b 两解 A 为钝角或直角
a<bsin A 无解
a=bsin A 一解
a≥b 一解
方法提炼 (1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其比值或等量 关系就可以通过约分达到解决问题的目的,在解题时要学会灵活运用. (2)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.
考点一
考点二
考点三
-14-
举一反三 1(2013 新课标全国Ⅰ高考)如图,在△ABC
中,∠ABC=90° ,AB= 3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90° .
3 2
D.2 3
-9-
2.在△ABC 中,a=4,b=2 3,C=30° ,则边 c 等于( B ) A. 3 B.2 C.2 3 D.3
-10-
3.在△ABC 中,B=30° ,C=120° ,则 a∶ b∶ c=1∶ 1∶3 .
-11-
4.在△ABC 中,若 a=3 2,cos C= ,S△ABC=4 3,则 b=
2025年高考数学一轮复习-4.6-正弦定理和余弦定理【课件 】
（注： 为 外接圆的半径）
2.三角形常用面积公式
（1） （ 表示边 上的高）.
（2） __________=__________.
（3） （ 为三角形内切圆半径）.
（4） .
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
2.(2023·福建泉州模拟)设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，则 _ _.
解析：由题意，得 ，又 ,所以 .
核心考点 师生共研
02
考点一 利用正、余弦定理解三角形（自主练透）
1.在 中，已知 , , ，则此三角形的解的情况是( )A.有一解 B.有两解C.无解 D.有解但解的个数不确定
解析：选C.在 中，设 , ， ，由余弦定理得 ,因为 为 的内角，所以 .故选C.
√
3.已知 中， , , ，则 ( )A. B. C. D.
解析：选D.由正弦定理，得 ，得 .又 ,所以 ,所以 .故选D.
√
4.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 , , ，若 , , ,则 ____, ___.
解析：选C.由正弦定理得 ,所以 ，所以 不存在，即满足条件的三角形不存在.
√
2.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，则 _ _， ___.
5
解析：在 中，由正弦定理得 ,所以 ，所以 .在 中，由余弦定理得 ，得 ，即 ，解得 或 ，经检验， 不符合要求，所以 .
3.(2023·甘肃省第一次诊断考试)在 中，角 ， ， 的对边分别为 , , ，且 , , ，则 ___.
2
解析：因为 ，所以由正弦定理得 ,又 ，所以 ，因为 ,所以 .由余弦定理 ,得 ,化简得 ，解得 或 （舍去），故 .
高三数学一轮复习精品课件6：4.6 正弦定理、余弦定理及解三角形
课前自修
基础自测
1.已知 A，B 两地的距离为 a，B，C 两地的距离为 3a，现测得
∠ABC 为锐角，且 sin∠ABC＝2 3 2，则 A，C 两地的距离是（ C ）
A. 2a B. 3a C.2 2a D.2 3a
考点探究
解析：观察 AB 所在的三角形，根据已知条件求出有关的边角再 求解．
(1)由已知得，∠BCD＝30°＋60°＝90°，又因为∠BDC＝45 °，CD＝40 米，所以 BD＝40 2米，在△ADC 中，∠ADC＝60°＋ 45°＝105°，
所以∠CAD＝180°－105°－30°＝45°， 由正弦定理，得 AD＝CDs·ins∠inC∠AADCD＝40s×insi4n5°30°＝20 2.
CDB＝45°，∠BDA＝60°，则 A，B 间距离为
米.
考点探究
点评：1.距离问题的类型及解法： （1）类型：测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可 视、两点间可视但不可达、两点都不可达. （2）解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化 为求某个三角形的边长问题，从而利用正余弦定理求解. 2.解三角形应用题的两种情形： （1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个 三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.
A．(15＋3 3)m B．(30＋15 3)m C．(30＋30 3)m D．(15＋30 3)m
解析：由正弦定理可得sin（45°60－30°）＝sinP3B0°， 即PB＝si6n01×5°12 ＝sin3105°，h＝PBsin 45°＝3s0isnin1545°°＝(30＋30 3) m．故选C.
2012年高三数学一轮复习资料第四章_解三角形第1讲__正弦定理和余弦定理
第1讲 正弦定理和余弦定理★ 知 识 梳理 ★ 内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -cos2A B +=sin 2C面积公式:1sin 2ABC S ab C ∆== 1sin 2bc A =1sin 2ca B3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具)形式二：⎪⎩⎪⎨⎧===CR c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具)4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..形式一：2222cos a b c bc A =+-2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具) 2222cos c a b ab C =+-形式二：cos A =bc a c b 2222-+ ； cos B =ca b a c 2222-+ ； cosC=ab c b a 2222-+★ 重 难 点 突 破 ★1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，利用内角和定理实现三内角之间的转换，解题时应注意四大定理的正用、逆用和变形用2.难点：根据已知条件,确定边角转换.3.重难点：通过正弦定理和余弦定理将已知条件中的角化为边或边化为角后,再实施三角变换的转化过程以及解三角形中的分类讨论问题.(1) 已知两边和其中一对角,.求另一边的对角时要注意分类讨论问题1: 在ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=30 4,a b ==，那么满足条件的ABC ∆ （ ）A 、 有一个解B 、有两个解C 、无解D 、不能确定 点拨：在解三角形中涉及到对边对角问题一般用正弦定理，由正弦值定角的原则是大边对大角。
由sin sin a b A B =得sin sin 2b A B a ===，又,b a B A >∴>故有两解 答案B.在解三角形时要注意充分利用平面几何的性质问题2: 已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD 的面积点拨 :如图连结BD ，则有四边形ABCD 的面积S=S △ABD+S △CDB=21·AB ·ADsinA+21·BC ·CD ·sinC∵A+C=180°，∴sinA=sinC故S=21(AB ·AD+BC ·CD)sinA=21(2×4+6×4)sinA=16sinA由余弦定理，在△ABD 中，BD2=AB2+AD2－2AB ·AD ·cosA=20－16cosA 在△CDB 中，BD2=CB2+CD2－2CB ·CD ·cosC=52－48cosC ∴20－16cosA=52－48cosC ，∵cosC=－cosA ，∴64cosA=－32，cosA=－21，又0°＜A ＜180°，∴A=120°故S=16sin120°=83★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点1: 运用正、余弦定理求角或边 题型1.求三角形中的某些元素[例1] (2008年广州市海珠区高三上期综练二)已知：A 、B 、C 是ABC ∆的内角，c b a ,,分别是其对边长，向量()()1cos ,3--=A π，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,2cos A π，⊥. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若,33cos ,2==B a 求b 的长.【解题思路】已知对边求对角，直接用正弦定理。
4.6正弦定理和余弦定理课件高三数学一轮复习(1)
a sin
b
c
A＝s_i_n_B_＝_si_n_C_＝2R
b2＋c2－a2
cos A＝______2_b_c__；
常见
c2＋a2－b2
变形 cos B＝_____2_a_c___；
a2＋b2－c2 cos C＝______2_a_b___
(1)求角 A 的值；
解 若选①，由于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且btan A＝
(2c－b)tan B，
∴由正弦定理得
sin
sin B·cos
AA＝(2sin
C－sin
sin B)·cos
B B.
∵sin B≠0，∴sin Acos B＝2sin Ccos A－sin Bcos A， 即sin(A＋B)＝2sin Ccos A， 即sin C＝2sin Ccos A. ∵sin C≠0，∴cos A＝12. 又 0＜A＜π，∴A＝π3. 若选②，∵cos 2A＋2cos2A2＝1， 化简可得2cos2A＋cos A＝1， 解得 cos A＝21或－1，且 A∈(0，π)，∴A＝π3.
＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A<a<b
解的个数 __一__解__
__两__解__
a≥b __一__解__
a>b a≤b _一__解___ __无__解__
3.三角形常用面积公式 (1)S＝12a·ha(ha 表示 a 边上的高). (2)S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A＝a4bRc. (3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径).