2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题06 解析几何

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2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题05_平面向量x

专题5 平面向量【课标要求】 1．课程目标通过平面向量的教学，使学生了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义；能用向量语言和方法表述并解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力． 2．复习要求（1）平面向量的实际背景及基本概念：了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．（2）向量的线性运算：掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；了解向量的线性运算性质及其几何意义．（3）平面向量的基本定理及坐标表示：了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件．（4）平面向量的数量积：通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．（5）向量的应用：经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力． 3．复习建议（1）充分认识平面向量的具有几何形式和代数形式的双重身份，是数形结合的重要体现．（2）在基础知识复习时要注意向量考察的层次，分层次进行复习．第一层次：复习好向量本身的内容，包括平面向量的主要概念，主要运算，和、差、数乘、数量积的运算法则，几何意义及应用．第二层次：平面向量本身的综合，特别是平面向量的坐标表示，线性运算，基本定理以及数量积的应用，及课本例题、习题的教学价值．第三层次：平面向量与其它知识的综合发挥向量的工具作用，由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，使它成为中学数学知识的“交汇点”，成为联系多项内容的媒介，它把数形很好的结合在一起，这正是数学学习中一个重要的思想方法，高考中除了对平面向量本身的概念、运算加以考查外，更重要的是与其他知识的联系，向量与三角函数、解析几何、数列、不等式等的综合题成为各类考试中考查的一个新热点．【典型例题】例1（填空题）（1）给出下列命题：① 0a =0；② 对于实数m 和向量,a b （m ∈R ），若m m =a b ，则=a b ； ③ 若≠a 0，⋅=⋅a b a c ，则=a c ；④ ()()⋅=⋅a b c a b c 对任意,,a b c 向量都成立；⑤对任意向量a ，有=a ．其中不正确的序号是．（2）设a 与b 是两个不共线的向量，且向量λ+a b 与(2)--b a 共线，则λ的值为．（3）平面向量a 与b 的夹角为060，(,),||==201a b ，则|2|+=a b ．（4）如图，正方形ABCD 内有一个正ABE △，设,AB AD == i j ，则DE等于．（用i 、j 表示）（5）如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP ABAC =+ ， AQ ＝23AB ＋14AC ，则△ABP的面积与△ABQ 的面积之比为．（6）如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值为．（7）设函数()2x f x x x =⋅+，0A 为坐标原点，n A 为函数()y f x =图像上横坐标n()n N *∈的点，向量11,(1,0)nn k k k A A -===∑a i ，设n n θ为与a i 的夹角，则1tan n k k θ==∑ ．（8）已知20=≠a b ，且关于x 的函数3211()()32f x x x x =++⋅a a b 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为．（9）如图，在ABC ∆中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是边BC 上一点，2,DC BD =则AD BC ⋅=__________．（10）定义()(,,)f M m n p =，其中M 是△ABC 内一点，m 、n 、p 分别是△MBC 、△MCA 、△M A B 的面积，已知△ABC 中，AB AC ⋅= ，30BAC ∠=︒， 1()(,,)2f N x y =，则14x y +的最小值是．BDNMQ P CAOPCBADCAB例2已知()()cos sin cos sin ααββ==，，，a b ，其中0αβπ<<<．（1）求证：＋a b 与－a b 互相垂直；（2）若k +a b 与k -a b （k ≠0）的长度相等，求βα-．例3已知向量(2,1),(1,)AB k AC k =--=．(1)若△ABC 为直角三角形，求k 值； (2)若△ABC 为等腰直角三角形，求k 值．例4已知向量(cos ,sin )(0)OA λαλαλ=≠ ，(sin ,cos )OB ββ=-，其中O 为坐标原点．（1）若6πβα=-，求向量OA 与OB 的夹角；（2）若||AB ≥2||OB对任意实数,αβ都成立，求实数λ的取值范围．例5 如图ABC ∆中，3,AB BC CA PQ ===是以A 为圆心，以1为半径的圆的一条直径．问：BC与PQ 的夹角θ为何值时，BP CQ ⋅有最大值和最小值．BQACP例6如图，在边长为1的正三角形ABC 中，,E F 分别是边,AB AC 上的点，若 ,AE mAB AF nAC ==，,(0,1)m n ∈．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N ． ⑴若,,A M N 三点共线，求证m n =；⑵若1m n +=，求||MN的最小值．ABCEFM N1．定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”，它的长度||||sin ,*=⨯⨯θa b a b 其中θ为向量a 和b的夹角，若(2,0),(1,=-=u u v 则|()|*+u u v = ．2．已知A 、B 、C 是直线l 上的不同的三点，O 是外一点，向量OA 、OB 、OC满足：23(1)[ln(23)]02OA x OB x y OC -+⋅-+-⋅=，记()y f x =，则函数()y f x =的解析式为．3．如图，在正方形ABCD 中，已知2=AB ，M 为BC 的中点，若N 为正方形内（含边界）任意一点，则AM AN ⋅的最大值是．BDCNMA4．在OAB ∆中，（1）若C 为直线AB 上一点，且(1)AC CB =λλ≠- ，求证：1OA OBOC +λ=+λ；（2）若0OA OB ⋅= ，OA OB a ==，且C 为线段AB 上靠近A 的一个三等分点，求OC AB ⋅ 的值；（3）若1OA =，OB =，且1P ，2P ，3P ，…，1n P -为线段AB 的(2)n n ≥个等分点，求121n OP AB OP AB OP AB -⋅+⋅++⋅ 的值．一、填空题1．12e ,e 是平面内不共线的两个向量，已知AB =1-e k 2e ，CB = 122+e e , 123CD =-e e ，若D B A ,,三点共线，则k 的值是．2．已知向量(2,1),(3,0)=-=-a b ，则a 在b 方向上的投影为． 3．已知向量||||=+a bp a b ，其中a 、b 均为非零向量，则||p 的取值范围是． 4．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(2，1)，若a ＋2b 与3a ＋λb 平行，则λ的值等于． 5．已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是． 6．若向量,a b满足|||1,()1==⋅+=a b a a b ，则向量,a b 的夹角大小为． 7．设向量a 与b 的模分别为6和5，夹角为120°，则||+a b 等于．8．如图，在△ABC 中，1,3,,,2BD DC AE ED AB AC ====若a bBE则=．（用a ，b 表示）A9．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足2PA PM = ，则()PA PB PC ⋅+等于．10．在ABC ∆中，()()2cos ,2sin ,5cos ,5sin OA OB ααββ==，若5OAO B ⋅=- ，则ABO S ∆= ．11．已知P 是ABC ∆内一点，且满足23PA PB PC ++=0，记ABP ∆、BCP ∆、ACP ∆的面积依次为123,,S S S ，则123::S S S 等于．12．如图，在△ABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60°，AH ⊥BC ，垂足为H ，M 为AH 的中点，若μλμλ++=则,BC AB AM 的值等于． 13．如图，在直角ABC ∆中，已知3AC BC ==，M 为AB 的靠近A 点的三等分点，若N 为直角ABC ∆内（含边界）任意一点，则CM CN ⋅的最大值是．14．设函数1()1f x x =+，点0A 表示坐标原点，点(,())()n A n f n n n N *∈，若向量11,(1,0)n n k k k A A -===∑ a i ，n n θ为与a i 的夹角，设1tan nn k k S θ==∑，则n S = ．二．解答题15．已知向量1(sin ,1),(cos ,)2x x ==-a b ．（1）当⊥a b 时，求+a b 的值；（2）求函数()()f x =⋅-a b a 的最小正周期．16．已知向量(,)x y =u 与(,2)y y x =-v 的对应关系用()f =v u 表示．（1）设(1,1),(1,0)==a b ，求向量()f a 及()f b 的坐标；（2）求使()(,)f p q =c ，（,p q 为常数）的向量c 的坐标；（3）证明：对于任意向量,a b 及常数,m n 恒有()()()f m n mf nf +=+a b a b 成立17．如图，平面四边形ABCD 中，AB =13，AC =10，AD =5，3cos ,5DAC AB AC ∠=⋅=120．（1）求cos ∠BAD ；（2）设AC xAB yAD x y =+，求、的值．18．已知向量a ＝(cos23x ，sin 23x )，b ＝(cos 2x ，－sin 2x )，且x ∈[0，2π]，若f (x )＝a ·b －2λ︱a ＋b ︱的最小值为－7，求实数λ的值．19．已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径．（1）判断BP CQ AP CB ⋅-⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由；（2）求BP CQ ⋅的最大值．QPACB20．已知i 、j 分别是x 轴，y 轴方向上的单位向量，12,10,OA OA ==j j 且113n n n n A A A A -+= （n =2，3，4．．．），在射线(0)y x x =≥上从下到上依次有(1,2,3,)i B i =⋅⋅⋅，133,OB =+i j 且1(2,3,4)n n B B n -==．（1）求54A A ；（2）求n n OB OA ,；（3）四边形n n n n B B A A 11++面积的最大值．。

高三数学复习解析几何(含答案)

苏州市高三数学解析几何一．填空题【考点一】：直线方程及直线与直线的位置关系例1．若直线ax ＋(2a －1)y ＋1＝0和直线3x ＋ay ＋3＝0垂直，则a 的值为_________．【答案】a ＝0或a ＝－1．【解析】由两直线垂直得3a ＋(2a －1)a ＝0，解得a ＝0或a ＝－1．例2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的范围是_________．【答案】⎝⎛⎭⎫π6，π2．【解析】方法一：由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋332＋3k ，y ＝6k －232＋3k .因为交点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＋332＋3k ＞0，6k －232＋3k ＞0，解得：k ＞33．所以，直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2．方法二：因为直线l ：y ＝kx －3恒过定点(0，－3)，直线2x ＋3y －6＝0与x 轴，y 轴交点的坐标分别为(3,0)，(0,2) ．又点(0，－3)与点(3,0)连线的斜率为0＋33－0＝33，点(0，－3)与点(0,2)连线的斜率不存在，所以要使直线l 与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k ＞33，所以直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2．例3．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是．【答案】⎝⎛⎭⎫1－22，12．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋ba ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b．∵a ＞0，∴b 21－2b ＞0，解得b ＜12．考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为⎝⎛⎭⎫1－22，12．例4．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则P A ·PB 的最大值是．【答案】5．【解析】因为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ，所以A (0,0)，B (1,3)．当点P 与点A (或B )重合时，P A ·PB 为零；当点P 与点A ，B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，所以△APB 为直角三角形，所以AP 2＋BP 2＝AB 2＝10，所以P A ·PB ≤P A 2＋PB 22＝102＝5，当且仅当P A ＝PB 时，上式等号成立．【考点二】：圆方程及直线与圆的位置关系例5．圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的标准方程是．【答案】(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．【解析】方法一：如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．方法二：设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=--+--=r y x r y x x y 2|1|)2()3(4002202000，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==224100r y x ，因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．例6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________．【答案】6【解析】如图所示，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且AB ＝2m ．因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知OP ＝12AB ＝m ．要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为OC ＝32＋42＝5，所以OP max ＝OC ＋r ＝6，即m 的最大值为6．例7．在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，O 是坐标原点，若在直线0x y m ++=上总存在点P，使得PA ，则实数m 的取值范围是．【答案】11m +≤．【解析】设P (x ,y ),由PA =得,化简得22(1)3x y ++=,所以点P 是直线0x y m ++=与圆22(1)3x y ++=,的公共点，即直线与圆,解得11m -≤．例8．已知圆C ：22(1)5x y +-=，A 为圆C 与x 负半轴的交点，过点A 作圆的弦AB ，记线段AB 的中点为M ．若OA OM =，则直线AB 的斜率．【答案】2k =．【解析】设直线AB ：(2)y k x =+．因为CM AB ⊥，直线CM ：11y x k=-+．将它与直线AB 的方程联立得222(12)2(,)11k k k kM k k -+++．因为2OA OM ==2=，2k =±．当2k =-不符合，故2k =．例9．已知直线3y ax =+与圆22280x y x ++-=相交于,A B 两点，点00(,)P x y 在直线2y x =上，且PB PA =，则0x 的取值范围为．【答案】(1,0)(0,2)-．【解析】先从第一个条件出发，确定参数a 的取值范围．因为P 在线段AB 的中垂线上，从而用a 的代数式表示直线PC 的斜率后得到00211x x a=-+， 3,04a a <->解得：0x 的取值范围为(1,0)(0,2)-．例10．设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形P ACB 的面积的最小值为________．【答案】3．【解析】圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心是点C (1,1)，半径是1，易知PC 的最小值等于圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离，即105＝2，而四边形P ACB 的面积等于2S △P AC ＝2×(12P A ·AC )＝P A ·AC ＝P A ＝PC 2－1＝22－1＝3，因此四边形P ACB 的面积的最小值是3．例11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()41:22=-+y x C ．若等边PAB ∆的一边AB为圆C 一条弦，则PC 的最大值为．【答案】4．【解析】由PAB ∆为等腰三角形，PAB ∆为等边三角形，故PC 与AB 垂直，设PC 与AB 交于点H ，记,,AH BH x PH y PC t ====，则CH =，满足()224,0x y x y t y ⎧+=>⎪⎨=+⎪⎩求PC的最小值．记直线:l y t =+，利用线性规划作图，可知当直线l 与圆弧()224,0x y x y +=>相切时，则t 取最大值，求得max 4t =，即PC 的最大值为4．例12．已知圆C 的方程为22(1)(1)9x y -+-=，直线:3l y kx =+与圆C 交于,A B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的范围________．【答案】k ≥34-．【解析】因为5MC <，只要MC ≥1对于任意的点M 恒成立，只需点位于的中点时存在公共点即可．点（1，1）到直线的距离d =≥1，解得：k ≥34-．【考点三】：圆锥曲线方程与性质例13．若椭圆2215x y m+=的离心率e =，则m 的值是________．【答案】3或253．【解析】当焦点在x轴上时，e ==3m =；当焦点在y轴上时，e ==253m =．例14．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上的一点,∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为________．【答案】34．【解析】∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== ．例15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ．若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．【答案】35．【解析】如图，设AF ＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45．解得x ＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知AF 1＝8，∠F AF 1＝∠F AB ＋∠FBA ＝90°，△F AF 1是直角三角形，所以F 1F ＝10，故2a ＝8＋6＝14，2c ＝10，∴c a ＝57．例16．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为．【答案】6．【解析】由题意，F （-1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=,解得22003(1)4x y =-，因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=20034x x ++，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=．例17．设P 是有公共焦点F 1，F 2的椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点，且PF 1⊥PF 2，椭圆C 1的离心率为e 1，双曲线C 2的离心率为e 2.若e 2＝3e 1，则e 1＝________．【答案】53．【解析】设椭圆C 1的长半轴长为a 1，短半轴长为b 1，双曲线C 2的实半轴长为a 2，虚半轴长为b 2.∵ PF 1⊥PF 2，根据椭圆的性质可得S △PF 1F 2＝b 21，又e 1＝c a 1，∴ a 1＝c e 1，∴ b 21＝a 21－c 2＝c 2⎝⎛⎭⎫1e 21－1.根据双曲线的性质可得S △PF 1F 2＝b 22，∵ e 2＝c a 2，a 2＝c e 22，∴ b 22＝c 2－a 22＝c 2⎝⎛⎭⎫1－1e 22，∴ c 2⎝⎛⎭⎫1e 21－1＝c 2⎝⎛⎭⎫1－1e 22，即1e 21＋1e 22＝2.∵ 3e 1＝e 2，∴ e 1＝53. 例18．已知直线:20l x y m -+=上存在点M 满足与两点(2,0)A -，(2,0)B 连线的斜率34MA MB K K =-，则实数m 的值是___________．【答案】[]4,4-．【解析】点M 的轨迹为221(2)43x y x +=≠．把直线:2l x y m =-代入椭圆方程得，221612(312)0y my m -+-=．根据条件，上面方程有非零解，得△≥0，解得－4≤m ≤4．例19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>．双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为．【答案】152022=+y x ．【解析】因为椭圆的离心率为23, 所以23==a c e ,2243a c =,222243b a ac -==，所以2241a b =,即224b a =．双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得12222=+bx a x ，即1454222222==+b x b x b x ．所以b x b x 52,5422±==,2254b y =,b y 52±=，则第一象限的交点坐标为)52,52(b b ．四边形的面积为16516525242==⨯⨯b b b ，故52=b ．因此，椭圆方程为152022=+y x ．例20．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=＞＞，的左、右焦点分别为12F F ，，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ．若1230PF F ∠=︒，则该双曲线的离心率为．1．【解析】由双曲线定义易得，12122,PF PF a PF -==，1212212F F ce a PF PF ===-．例21．已知圆O ：224x y +=与x 轴负半轴的交点为A ，点P 在直线l0y a +-=上，过点P 作圆O 的切线，切点为T ．（1）若a ＝8，切点1)T -,求直线AP 的方程；（2）若P A =2PT ，求实数a 的取值范围．【解析】由题意，直线PT 切于点T ，则OT ⊥PT ，又切点T 的坐标为(4,3)-，所以OT k =，1PT OT k k =-=，故直线PT的方程为1y x +-40y --=．联立直线l 和PT，40,80,y y --=+-=解得2,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩即2)P ，所以直线AP的斜率为k ===，故直线AP的方程为2)y x =+，即1)21)0x y -+=，即1)20x y -+=．（2）设(,)Pxy ，由P A ＝2PT ，可得2222(2)4(4)x y x y ++=+-，即22334200x y x ++-=，即满足P A ＝2PT 的点P 的轨迹是一个圆22264()39x y -+=，所以问题可转化为直线0y a +-=与圆22264()39x y -+=有公共点，所以83d =，即16|3a -≤a ．例22．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0． (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个交点；(2)设直线l 与圆C 交于点A ，B ，若AB ＝17，求直线l 的倾斜角；(3)设直线l 与圆C 交于A ，B ，若定点P (1,1)满足2AP →＝PB →，求此时直线l 的方程．【解析】(1)证明直线l 恒过定点P (1,1)，由12＋(1－1)2<5知点P 在圆C 内，所以直线l 与圆C 总有两个交点．(2)圆心到直线的距离d ＝222⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB r ＝32，又d ＝|0－1＋1－m |m 2＋1，所以32＝|0－1＋1－m |m 2＋1，解得m ＝±3，所以，l 的倾斜角为π3或2π3．(3)方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由2AP →＝PB →得：2(1－x 1,1－y 1)＝(x 2－1，y 2－1)，所以x 2＋2x 1＝3，①直线l 的斜率存在，设其方程为y －1＝k (x －1)，⎩⎨⎧=-+-=-5)1()1(122y x x k y ⇒(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－5＝0，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+③②,15,1222212221k k x x k k x x由①②③消去x 1，x 2解得k ＝±1，故所求直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．方法二：如图，过点C 作CD ⊥AB 于D ，设AP ＝t ，则PB ＝2t ，AD ＝1．5t ，PD ＝0．5t ．在Rt △CDP 中，有CP 2＝CD 2＋PD 2，得CD 2＝1－(0．5t )2，在Rt △CDA 中，CD 2＝5－()1.5t 2，所以t ＝2，从而，CD ＝22，又直线AB 的方程为mx －y ＋1－m ＝0，d ＝|m |m 2＋1＝22，解得m ＝±1，故所求直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．例23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →.(1) 若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程； (2) 若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，求实数λ的取值范围．【解析】 (1) 因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，从而△PQF 2的周长为4a .由题意，得4a ＝8，解得a ＝2.因为点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，所以1a 2＋94b2＝1，解得b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2) (法1)因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0.设Q (x 1，y 1)．因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .因为F 1(－c ，0)，所以PF 1→＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a ，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1→＝λF 1Q →，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a＝λy 1，解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b2λa ，所以Q ⎝⎛⎭⎪⎫－λ＋2λc ，－b 2λa .因为点Q 在椭圆上，所以⎝⎛⎭⎫λ＋2λ2e 2＋b2λ2a2＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1.因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3. 因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤73，5.(法2)因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0.因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a . 因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝b 22ac(x ＋c )．由⎩⎨⎧y ＝b22ac（x ＋c ），x 2a 2＋y2b 2＝1，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0.因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－2b 2c 4c 2＋b 2，即－c －x 1＝2b 2c4c 2＋b 2.因为PF 1→＝λF 1Q →所以λ＝2c －c －x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3. 因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤73，5.例24．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (1，32)，离心率e ＝12，直线l 的方程为x＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解析】(1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上得，1a 2＋94b 2＝1.① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2.② ②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意可设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4(k 2－3)4k 2＋3.④在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )．从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12.由于A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝⎛⎭⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32·8k 24k 2＋3－24(k 2－3)4k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝2k －1，又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)，令x ＝4，求得M ⎝⎛⎭⎫4，3y 0x 0－1，从而直线PM 的斜率为k 3＝2y 0－x 0＋12(x 0－1)，联立⎩⎨⎧y ＝y 0x 0－1(x －1)，x 24＋y23＝1，得A ⎝⎛⎭⎪⎫5x 0－82x 0－5，3y 02x 0－5，则直线P A 的斜率为k 1＝2y 0－2x 0＋52(x 0－1)，直线PB 的斜率为k 2＝2y 0－32(x 0－1)，所以k 1＋k 2＝2y 0－2x 0＋52(x 0－1)＋2y 0－32(x 0－1)＝2y 0－x 0＋1x 0－1＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．例25．如图6，已知椭圆22:1124x y C +=，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A （A 点在x 轴下方），且线段AB 的中点E 在直线y x =上．（1）求直线AB 的方程；（2）若点P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，且直线,AP BP 分别交直线y x =于点,M N ，证明：OM ON ⋅为定值．【解析】（1）设点E （m ，m ），由B （0，－2）得A （2m ，2m +2）．代入椭圆方程得224(22)1124m m ++=，即22(1)13m m ++=，解得32m =-或0m =（舍）．所以A （3-，1-）．故直线AB 的方程为360x y ++=．（2）设00(,)P x y ，则22001124x y +=，即220043x y =-．设),(M M y x M ，由M P A ,,三点共线， ∴)3)(1()1)(3(00++=++M M x y y x ．又点M 在直线x y =上，图6解得M 点的横坐标000032M y x x x y -=-+．设),(N N y x N ，由N P B ,,三点共线， ∴00(2)(2)N N x y y x +=+．点N 在直线y x =上，解得N 点的横坐标00022N x x x y -=--．所以OM ON ⋅0|0|M N x x --=2||||M N x x ⋅＝200003||2y x x y --+0002||2x x y -⋅--=2000200262||()4x x y x y ---=2000220000262||23x x y x x x y ---=2000200032||3x x y x x y --=6．例26．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．① 若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足P A →＝λAF →，PB →＝μBF →.求证：λ＋μ为定值；② 若OA ⊥OB (O 为原点)，求△AOB 面积的取值范围．【解析】(1)由题设知c ＝1，a 2c＝2，a 2＝2c ，∴ a 2＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，∴ 椭圆C ：x 22＋y 2＝1.(2) ① 证明：由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则P (0，k )．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 方程代入椭圆方程，得x 2＋2k 2(x ＋1)2＝2，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，∴ x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.由P A →＝λAF →，PB →＝μBF →知，λ＝－x 11＋x 1，μ＝－x 21＋x 2，∴ λ＋μ＝－x 1＋x 2＋2x 1x 21＋x 1＋x 2＋x 1x 2＝－－4k 21＋2k 2＋4k 2－41＋2k 21＋－4k 21＋2k 2＋2k 2－21＋2k2＝－－4－1＝－4(定值)． ②当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22.当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1kx .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 方程，得x 2＋2k 2x 2＝2，∴ x 21＝22k 2＋1，y 21＝2k 22k 2＋1，同理可得x 22＝2k 22＋k 2，y 22＝22＋k 2， △AOB 的面积S ＝OA ·OB 2＝（k 2＋1）2（2k 2＋1）（k 2＋2）.令t ＝k 2＋1∈[1，＋∞)，则S ＝t 2（2t －1）（t ＋1）＝12＋1t －1t2；令u ＝1t∈(0，1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝⎛⎭⎫u －122＋94∈⎣⎡⎭⎫23，22. 综上所述，S ∈⎣⎡⎦⎤23，22，即△AOB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，22.三．课本改编题1．课本原题（必修2第112页习题2．2第12题）：已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所构成的曲线．改编1：（2008高考江苏卷第13题）满足条件2,AB AC ==的三角形ABC 的面积的最大值为．改编2：（2013高考江苏卷第18题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y=2x －4．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y =x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MA =2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．[说明]：利用阿波罗尼斯圆进行命题的经典考题很多，最著名的当属高考中出现的这两题．课本上虽未出现阿波罗尼斯圆的字眼，但是必修2教材上的这道习题已经体现了这类问题的本质．如果我们平时能钻研教材，对这道习题有所研究，那么我们的数学意识就会有所增强，再碰到此类问题时就会得心应手．2．课本原题（1）（选修2-1第42页习题第5题）在ABC D 中，(6,0),(6,0)B C -，直线AB 、AC 的斜率乘积为94，求顶点A 的轨迹．原题（2）（选修2-2第105页复习题第14题）：已知椭圆具有如下性质：设M 、N 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上的任意一点．若直线PM 、PN 的斜率都存在并分别记为,PM PN k k ，则P M P N k k ×是与点P 的位置无关的定值．试类比椭圆，写出双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个类似性质，并加以证明．改编1：（2012年南通市高三数学第二次模拟考试第13题）在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D ．若cos ∠F 1BF 2=725，则直线CD 的斜率为____．改编2：（2013苏北四市期末18题第2、3问）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E的方程为22143x y +=．若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M（1）设直线OM 的斜率为,1k 直线BP 的斜率为2k ，求证：21k k 为定值；（2）设过点M 垂直于PB 的直线为m ．求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．改编3：（2011年高考江苏卷第18题）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆22142x y+=的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线P A的斜率为k．（1）当直线P A平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k>0，求证：P A⊥PB．[说明]原题是推理与证明中的复习题，教学中可以把握教材前后的联系，在椭圆的学习中就可以对该结论进行探究．利用该结论进行命题的经典考题非常多，以上几例利用这个结论会大大降低运算的难度．平时我们要多留意课本上的常见结论，加强知识储备，这对提高我们的解题能力大有帮助．3．课本原题（必修2 P88思考运用13）：已知直线l 过点（2，3），与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为16，求该直线l 的方程改编1：过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是． [解析]设所求直线方程为)5(4+=+x k y ．依题意有5)45)(54(21=--k k． ∴01630252=+-k k （无解）或01650252=+-k k ，解得52=k ,或58=k ． ∴直线的方程是01052=--y x ,或02058=+-y x ．改编2：（2006年上海春季卷）已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为． [解析]设直线AB 的方程为)0()2(1<-=-k x k y ，则1111111(2)(12)44[4(4)()][442222OAB S k k k k k k ∆=--=--=+-+-+=≥，当且仅当k k 14-=-即21-=k 时取等号， ∴当21-=k 时，OAB S ∆有最小值4．改编3：已知射线)0(4:>=x x y l 和点)4,6(M ，在射线l 上求一点N ，使直线MN 与l 及x 轴围成的三角形面积S 最小． [解析]设)1)(4,(000>x x x N ，则直线MN 的方程为0)4)(6()6)(44(00=-----y x x x ．令0=y 得1500-=x x x ， ∴]211)1[(101]1)1[(101104)15(2100020020000+-+-=-+-=-=⋅-=x x x x x x x x x S2]40=≥，当且仅当11100-=-x x 即20=x 时取等号． ∴当N 为（2，8）时，三角形面积S 最小．[说明]原题的本质是建立三角形的面积与斜率之间的方程关系，通过解方程求出未知量，而变体题则是建立这两者之间的函数关系，利用求函数最值的知识解决问题。

2013高考真题数学文科分类----解析几何----李远敬整理

2013高考真题数学文科分类解析几何李远敬整理一．求曲线的方程1.（江苏3）双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为． 2.（新课标2，10）设抛物线:C x y 42=的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于B A ,两点，若BF AF 3=,在l 的方程为.A 1-=x y 或1+-=x y .B )1(33-=x y 或)1(33--=x y .C )1(3-=x y 或)1(3--=x y .D )1(22-=x y 或)1(22--=x y 40. 3.（大纲8）已知)0,1(1-F ，)0,1(21F 是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交C 于B A ,两点，且3=AB ,则C 的方程为.A 2212x y += .B 22132x y += .C 22143x y += .D 22154x y +=4.（北京9）若抛物线px y 22=的焦点坐标为)0,1(，在=p ；准线方程为。

5.（天津11）已知抛物线x y 82=的准线过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为6.（广东9）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 7.（江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．8.（湖南20）已知21,F F 分别是椭圆E ：1522=+y x 的左、右焦点，21,F F 关于直线02=-+y x 对称点是圆C 的一条直径的两个端点。

江苏省高三一轮数学复习专题材料专题7_解析几何

专题7解析几何江苏省常熟中学王宇红【课标要求】1．课程目标(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念和变化规律，掌握斜率公式．(2)掌握直线方程的点斜式、斜截式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．掌握两条直线平行或垂直位置关系的判断条件，掌握点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式．(3)会利用三个独立的条件求出圆的标准方程或一般方程．掌握圆和直线位置关系判定的方法，掌握圆与圆的位置关系的判定方法．(4)掌握椭圆，双曲线，抛物线的定义，会根据条件求出椭圆，双曲线，抛物线的标准方程及简单的几何性质，熟练基本量的运算．(5)直线和圆锥曲线的相交问题，会通过联立利用韦达定理解决问题．会处理一些简单的求轨迹方程问题．2．复习要求(1)在直线的复习中，要掌握对称问题的几种常见类型――两点关于点对称，两点关于线对称，两直线关于点对称，两直线关于直线对称等．对称问题常和光线问题，角平分线问题等结合出题．对称问题是解几中的基础题型．(2)研究和圆有关的问题时，无论是确定圆的方程还是直线和圆的相交问题，一般都有两条思路①代数方法，②几何方法，而利用圆的几何性质处理问题往往更快捷．随着对圆的考察的升温，有关圆的一些定理（垂径定理，切割线定理，相交弦定理等）往往会在解题中提供快捷的思路．要培养学生用几何法处理几何问题的意识．(3)圆锥曲线的考察重点在基本量的计算上，如根据条件求出曲线的标准方程或离心率的值（范围）等．在直线和圆锥曲线的相交问题上，通过联立方程利用韦达定理处理问题是一个基本思路，但要控制难度，要求不宜高．（4）求轨迹方程问题在正卷中的难度也有了明显的降低，重点掌握定义法，一般难度不大．要注意轨迹的纯粹性和完备性．３.复习建议随着新课程的改革，解几的考察方式和重点有了很大的变化，解几中档化是一个明确的趋势.直线和圆的考察成了重点和热点，而对圆锥曲线的要求有所降低．在淡化韦达定理（代数法）的作用的同时，利用圆锥曲线的定义和几何性质解题也正成为一个新的趋势．但总得来说，除椭圆要求略高外，抛物线和双曲线的课标要求都很低，在复习时要控制难度．关于定点，定值，定量的探究问题依旧是热点，要掌握从特殊到一般的方法，着重培养学生的探究问题和验证结论的能力．向量和解析几何结合的题目比较常见．这类题目一般两种思路，一是向量坐标运算；二是利用向量的几何意义解题．要熟悉一些几何性质的向量形式．【典型例题】例1 （填充题）（1）如果直线l 将圆x 2+y 2-2x-4y=0平分，且不通过第四象限，则l 的斜率的取值范围是．解析：直线l 过点（1，2），则斜率的范围为[0,2]．（2）直线l 过不同三点(a,0),(0,b ),(1,3)，其中,a b N +∈,这样的直线有条．解析：设直线为1x y a b +=，代入(1,3)得131a b+=，因为,a b N *∈，所以只能有a =4,b =4,a =2,b =6两种情况，答案为2条．（3）已知点A (3,1)，在直线x-y=0与y=0上分别取点M ，N ，则三角形AMN 的周长的最小值是．解析：作A 关于y=x 的对称点A 1（1，3），关于y=0的对称点A 2（3，－1），则三角形AMN 的周长的最小值为|A 1A 2|＝（4）如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是．解析：方程变为22122x y k+=，由题意得22,0k k >>，解此不等式组得01k <<. （5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点分别为F 1、F 2，若在双曲线上存在点P 使|PF 1| =4|PF 2|，则双曲线离心率的范围为．解析：可知该点在右支上，设P (x 0,y 0),由|PF 1| =4|PF 2|和第二定义得22004()a a x x c c +=-,得2053a x a c =≥，得5(1,]3e ∈．（6）已知F 1、F 2分别为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是b 2的值是___ __．解析： S =12|OF 2|·|PO |sin 60°c 2，得c 2=4．则 P （1）代入椭圆方程有2213a b +=1，又b 2+c 2=a 2，22222234b a a b a b⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，解得b 2．（7）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线形状为．解析：即点P 到A 1B 1和到定点B 的距离相等，由抛物线的定义得，轨迹为以B 为焦点，以A 1B 1为准线的抛物线的一部分，选C ．（8）设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++=．解析：由条件得F 为△ABC 的重心，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),则有x 1+x 2+x 3=3, 12336FA FB FC x x x ++=+++=．（9）直线ax +by +b －a ＝0与圆x 2+y 2－x －2＝0的位置关系是．解析：圆心(1/2,0)到直线的距离为22||322ab d r a b -==+．222222222365()8545504()4(1())b a b ab a d r b a b a++++-==<-+-+，所以位置关系为相交．（10）已知点P 是椭圆221(0,0)168x y x y +=≠≠上的动点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，O 为坐标原点，点M 是∠F 1PF 2的角平分线上一点，且10F M MP •=，则||OM 的范围为．解析：延长F 1M 和PF 2交于点Q ，则三角形PF 1Q 为等腰三角形，有|PF 1|=|PQ |，设P (x 0,y 0) |OM |＝212000111||||||||||||222F Q PF PF a ex a ex e x =-=+-+=(0,22)∈．例2 已知圆O ：x 2+y 2=1和定点A （2，1），由圆O 外一点P （a,b ）向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足|PQ |=|P A |．(1)求实数a,b 间满足的关系．（2）求线段PQ 长的最小值．（3）若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取最小值时圆P 的方程．解：（1）|OP|2-1=|P A|2,得2a+b-3=0．(2)|PQ|2=a 2+b 2-1＝2645()55a -+，a =6/5时，|PQ |的最小值为4/5．(3)O 到直线2x+y-3=0的距离为355，P 点取在垂足处与圆O 外切时能使半径最小，此时垂足为(6/5,3/5), 圆P 的方程为2226335()()(1)555x y -+-=-．例3 在平面直角坐标系中，N 为圆A ：(x +1)2＋y 2=16上的一个动点，点B （1，0），点M 是BN 的中点，点P 在线段AN 上，且0MP BN = （1）求动点P 的轨迹方程．（2）试判断以PB 为直径的圆与圆x 2+y 2＝4的位置关系，并说明理由．解：（1）|P A|+|PB|=|P A|+|PN|=4,由椭圆定义得P 的轨迹为以A,B 为焦点的椭圆，其中a=2,c=1,椭圆方程为22143x y +=．（2）法一：设P (2cos ,3sin )θθ， PB 中点Q为2cos 13sin (,)22θθ+ 则圆心距｜OQ ｜＝22(2cos 1)3sin 22cos 442θθθ+++=，以PB 为直径的圆半径为r ＝22112cos ||(2cos 1)3sin 222PB θθθ-=-+=．则有2－r ＝|OQ |，所以有两圆内切．法二：取PB 中点为Q ，则圆心距|OQ |＝111||(||||)2||222AP AN PB PB =-=-，所以两圆内切．例4 已知直线(1+4k )x-(2-3k )y-(3+12k )=0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8．(1)求椭圆的标准方程．(2)已知圆O ：x 2+y 2=1,直线mx+ny=1，试证明当点P (m,n )在椭圆C 上运动时，直线l 和圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长的范围．解：(1)直线l 过点(3,0),可得c =3,又因为椭圆上的点到该焦点的距离最大为a+c =8,得a =5,b =4,所以椭圆的标准方程为2212516x y +=．(2)圆心O 到直线l的距离为1d =<,所以直线l 和圆O 恒相交．则弦长为．例5 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，C ，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（1）证明a =；（2）已知b ＝1，圆2223x y +=上任意点00()M x y ，处的切线交椭圆于1Q ，2Q 两点，则∠Q 1OQ 2的大小为定值吗？若是，求出角的大小；若不是，求出角的范围．解：（1）A 2(,)b c a ,直线AF 1的方程为：2222b b y x ac a=+，点O 到AF 1的距离为：2||3b c =，整理得2a 4+2c 4-5a 2c 2=0,得a 2=2c 2=2b 2,a =得证．（2）当切线垂直x 轴或平行x 轴时，可得∠Q 1OQ 2=900,猜测∠Q 1OQ 2始终为直角．圆上过点(x 0,y 0)的切线方程为0023xx yy +=，与x 2+2y 2=2联立得： 222000284()20339x x x x x +-+-=，设Q 1(x 1,y 1),Q 2(x 2,y 2),则有 0102121212122022()()33x x x x OQ OQ x x y y x x y --⋅=+=+＝0，所以∠Q 1OQ 2始终为直角．例6 已知直线2:21204l x y x y -+==与抛物线交于A 、B 两点，过A 、B 两点的圆与抛物线在A （其中A 点在y 轴的右侧）处有共同的切线.（1）求圆M 的方程．（2）若圆M 与直线y=mx 交于P 、Q 两点，O 为原点，求证：OP OQ ⋅为定值．F2oF1py解：（1）解得A （6，9），B （－4，4），26,'|34x x y y ===，设圆M 的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2．则有9163b a -=--，又圆心在AB 的中垂线132(1)2y x -=--上，得2b+4a=17,从而解得a =-3/2,b =23/2,圆的方程为： 22323125()()222x y ++-=．（2）法一：将y=mx 和圆M 的方程联立得：(1+m 2)x 2+(3-23m )x+72=0,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，则有OP OQ ⋅＝212||||(1)||72OP OQ m x x =+=．法二：利用切割线定理，过O 引圆的切线，设切点为R ，则得OP OQ ⋅＝222||||||||72OP OQ OR OM r ==-=．【新题备选】1.已知F 1、F 2为椭圆的焦点，P 为椭圆上的任意一点，椭圆的离心率为1/3．以P 为圆心PF 2长为半径作圆P ，当圆P 与x 轴相切时，截y 轴所得弦长为455（1）求圆P 方程和椭圆方程．（2）求证：无论点P 在椭圆上如何运动，一定存在一个定圆与圆P 相切，试求出这个定圆方程．解：(1)2213632x y +=，2216256(2)()39x y -+±=． (2)22(2)144x y ++=2．设椭圆()22221,0x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率2e =，右准线为l ，,M N 是l 上的两个动点，120F M F N ⋅=．（1）若1225F M F N ==,a b 的值；（2）证明：当MN 取最小值时，12F M F N +与12F F 共线．解：由222a b c -=与2a e c ==，得222a b =1200F F ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，，，l 的方程为x设))12My Ny ，，，，则112232222F M a y F N y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，由120F M F N ⋅=得 212302y y a =-＜ ①（1）由1225F M F N === ②= ③由①、②、③三式，消去12,y y ，并求得24a =，故2,a b ===（2）()2222212121212121222246MN y y y y y y y y y y y y a =-=+-≥--=-=当且仅当12y y =-或21y y =-=时，MN ．此时，()()1212121232222,22,0222F M F N a y a y a y y a F F ⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，故12F M F N +与12F F 共线．【专题训练】一、填空题1．若两直线20x my ++=和2310x y ++=互相垂直，则m 的值为． 2．直线l 过点A (1,2),其x 轴截距a ∈(-3,3)，则斜率k 的取值范围是．3．经过点P (2,1)且到点(1,-2)的直线方程是． 4．若实数,x y 满足2220x y x +-=，则22x y +的取值范围是．5．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF •=，则12PF PF +=．６．直线:220l x y -+=过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为． 7．直线y = x - 2与抛物线y 2 = 2x 相交与点A 、B ，则∠AOB = ．8．过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为．9．过原点的直线l 与双曲线22143x y -=-交于两点，则l 的斜率的范围是．10．若直线2y kx =-与抛物线28y x =交于,A B 两点，且AB 的中点的横坐标为2，则k = ．11．椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么k = ．12．设F 是椭圆2213224x y +=上的右焦点,定点A (2,3),点P 在椭圆上,则|P A |+2|PF |的最小值是．13．已知圆(x-2)2+y 2=9和直线y=kx 交于A ，B 两点，O 为原点，若20OA OB +=，则||AB = ．14．A,B 是直线l 上的两点，且AB =2．两个半径相等的动圆分别与l 相切于A B ，点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 与线段AB 围成图形面积S 的取值范围是．二．解答题15.已知圆C ：224x y +=.(1)直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若 ||AB =l 的方程． (2)过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．16.已知圆C 过点P (1,1)，且与圆(x +3)2+(y +3)2=r 2（r ＞0）关于直线x +y +3=0对称．（1）求圆C 的方程；（2）过点P 作两条直线分别与圆C 相交于点A ,B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，判断直线OP 与AB 是否平行，并请说明理由．17．双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（1）求双曲线的离心率．（2）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．18．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x =相切．（1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB 的范围．19．在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．（1）写出C 的方程．（2）若OA ⊥OB ，求k 的值．（3）若点A 在第一象限，证明：当k >0时，恒有|OA |>|OB |．20.已知椭圆22221,(0)x y a b a b+=>>，A （2，0）为长轴一个端点，弦BC 过椭圆O ，且0,||2||AC BC OC OB BC BA =-=-．(1)求椭圆方程．(2)若AB 上一点F 满足230BO OA OF +=－,求证：CF 平分BCA ∠．(3)对于椭圆上的两点P ,Q ，PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴时，存在实数λ，使得PQ AB λ= ．【专题训练参考答案】1. 23- 2. 1(,1)(,)2-∞-⋃+∞ 3. x -y -1=0或7x +y -15=0 4. [0,4] 5.7.900 8.600 9. (,-∞)()+∞10.2或－1 11. 112.214.π022⎛⎤- ⎥⎝⎦， 15解：(1) 3450x y -+=或1x = (2) 221(0)164y x y +=≠,轨迹为焦点在x 轴上的椭圆（除去左右两端点）．16解：（1）x 2+y 2=2 （2）平行17解：（1）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+得：14d m =，tan b AOF a∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠==由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e =（2）过F 直线方程为()ay x c b=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x b +=．124x =-=,解得3b =7-11 故所求的双曲线方程为221369x y -=． 18解：（1）x 2+y 2=4 （2）[20)-，19解：（1）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0(0，为焦点，长半轴为2的椭圆．故曲线C 的方程为2214y x +=．（2）联立方程得22(4)230k x kx ++-=，设1122()()A x y B x y ，，，，故1212222344k x x x x k k +=-=-++，．若OA OB ⊥，即12120x x y y +=．于是22121222233210444k k x x y y k k k +=---+=+++，化简得2410k -+=，所以12k =±．（3）2222221122()OA OB x y x y -=+-+ 22221212()4(11)x x x x =-+--+ 12123()()x x x x =--+ 1226()4k x x k -=+．因为A 在第一象限，故10x >．由12234x x k =-+知20x <，从而120x x ->．又0k >，故220OA OB ->，有OA OB >．20解：（1）可知△OCA 为等腰直角三角形，C （1，1）代入椭圆方程得：b 2=4/3,椭圆方程为223144x y +=．（2）坐标代入得1(1,)3OF =-,所以点C 和点F 的横坐标相同，所以有CF 平分BCA ∠．（3）设PC :y -1=k (x -1), QC :y -1=-k (x -1),分别和椭圆联立得2222619619,1313p Q k k k k x x k k -----==++，K PQ ＝13p Q P Q y y x x -=--＝k AB ，即证．。

【专项冲击波】2013年高考数学讲练测系列专题06 不等式(教师版)

【专项冲击波】2013年高考数学讲练测系列专题06 不等式（教师版）【考纲解读】了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景;会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系,会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图;会从实际情境中抽象出二元一次不等式组,了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组,会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.学会运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决有关不等式问题，形成良好的思维品质,培养判断推理和逻辑思维能力.从近几年高考题目来看，不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低.【考点预测】本章知识的高考命题热点有以下两个方面：1.均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多样，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高。

2.不等式证明也是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高。

线性规划问题是近几年高考的一个新热点，在考题种主要以选择、填空形式出现，当然，也可以实际问题进行考查。

考查了优化思想在解决问题的广泛应用，体现了数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能力，进一步考查了考生的数学应用意识。

3.预计在2012年高考中，对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法，仍会继续渗透在其他知识中进行考查。

对不等式的应用，突出渗透数学思想方法和不等式知识的综合应用，特别是求最值问题、不等式证明问题，将继续强调考查逻辑推理能力，尤其是不等式与函数、数列、三角、解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中、高档题中。

2013江苏高考数学一轮复习资料三角恒等变换及应用

2013江苏高考数学一轮复习资料三角恒等变换及应用一．课标要求：1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。

二．命题走向从近几年的高考考察的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。

本讲内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。

历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。

三．要点精讲1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。

2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα=-。

3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=。

高三数学解析几何复习材料苏教版

高三数学解析几何复习材料一、考点回顾：1.基本曲线方程：圆，圆锥曲线3. 圆锥曲线的离心率：ae =椭圆：10<<e 双曲线：1>e 抛物线：1=e4. 圆锥曲线的焦半径公式：5. 直线与圆锥曲线之间的关系，①定直线曲线 ②动直线曲线6.高考热点题型主要有：⑴运用方程（组）求圆锥曲线的基本量 ⑵运用函数研究圆锥曲线的有关量的范围 ⑶运用直译法或参数法求动点的轨迹方程 ⑷运用“计算”的方法证明圆锥曲线的有关性质 ⑸运用一元二次方程研究直线和圆锥曲线相交的问题。

二、课前预习：1. 已知F F 12，是双曲线x y 2221-=的左右焦点，P 、Q 为右支上的两点，直线PQ 过F 2且倾斜角为α，则PF QF PQ 11+-的值为（） A. 42B. 8C. 22D. 随α大小变化2. 已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232ny m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A.x ＝±y 215B.y ＝±x 215 C.x ＝±y 43D.y ＝±x 43 3. 定点M 3103，⎛⎝⎫⎭⎪与抛物线y x 22=上一点P 之间的距离为x P 1，到准线的距离为x 2，当x x 12+取得最小值时，点P 的坐标为___________。

4. 双曲线2x 2－y 2+6=0上的一点P 到一个焦点的距离为4，则点P 到较远的准线的距离是（）A ．31264+ B ．62364或 C ．364 D ．462+三、例题精析：5. 已知双曲线与椭圆在x 轴上有公共焦点，若椭圆焦距为52，它们的离心率是方程6x 2-55x+5 =0的两根，求双曲线和椭圆的标准方程．6. 已知双曲线2222by a x -=1（a >0，b >0）的右准线l 2与一条渐近线l 交于点P ，F 是双曲线的右焦点.（1）求证：PF ⊥l ;（2）若|PF |=3，且双曲线的离心率e =45，求该双曲线方程；（3）延长FP 交双曲线左准线l 1和左支分别为点M 、N ，若M 为PN 的中点，求双曲线的离心率.7. 已知椭圆C x a y ba b 1222210：+=>>()的一条准线方程是x =254，其左、右顶点分别是A 、B ；双曲线C x a y b222221：-=的一条渐近线方程为350x y -=。

2013高考数学解题方法攻略解析几何2理

为焦点，离心率 e= 1 的椭圆 C2 与抛物线 C1 的一个交点为 P 。 2
（1）m=1时，求 C2 的方程及右准线方程（2）在（ 1）的条件下，直线 l 经过椭圆 C2 的右焦点 F2 与抛物线 C1 交于 A1 、A 2 两点，若弦 A1A2 的长等于 PF1F2 的周长，求直线 l 的斜率。
1 ，则该双曲线的渐近线方程是 4
（）
A． x 2 y 0 B ． 2x y 0 C． x 3y 0 D． 3x y 0
11．过点 P(x,y) 的直线分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两点 , 点 Q与点 P 关于
y 轴对称， O 为坐标原点，若 BP 2PA 且 OQ AB =1，则点 P 的轨迹方程是
【练习 1】已知圆 C 的圆心与抛物线 y2 4x 的焦点关于 y x 对称，直线
4x 3y 2 0 与圆 C 相交于 A,B 两点，且 AB 6 , 则圆 C 的方程为
．
【考点 3】圆锥曲线的定义及其应用
【例 3】已知动点 P（x，y）, 满足关系式：
2
2
4 ( x 1) ( y 2)
3 x 4 y , 则点 P 的轨迹是（
【考点 2】求动点的轨迹方程
【例 2】已知两个定点 A( a,0), B( a,0)( a 0) 的直线 l1 , l 2 分别绕 A 点， B点转动，并保持 l1 到 l 2 的角为 45 0 ，则 l1 与 l 2 的交点的轨迹方程为： __________________________. 【注】求轨迹方程是解析几何的重要问题，要熟悉各种常见的求轨迹方程的方法：定义法、待定系数法、直译法、相关点法、参数法、交轨法等等。另本题还用到了到角公式

[重点]江苏省高三一轮数学复习专题材料专题6_立体几何初步.docx

专题6立体几何初步苏州工业园区第三中学秦卫东【课标要求】1.课程目标几何学是研究现实世界屮物体的形状、人小与位置关系的数学学科。

通过立体几何初步的教学，使学住经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质的过程。

三维空间是人类生存的现实空间，认识空问图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运川图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高屮阶段数学必修系列课程的基本要求.在立体儿何初步部分，学牛将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，肓观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述冇关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证。

了解一些简单几何体的表面积为体积的计算方法.2.复习要求（1）复习中要注意以常见的空间几何体（长方体、三棱锥、四棱台、闘柱、球等）为载体，进行识图与画图的训练，使为生了解三视图与直观图的画法，初步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能.（2）点、线、面的位置关系是立体儿何初步小的重点内容，应让学生了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，并能解决一些简单的推理论证及应用问题.（3）对有关线面平行、垂宜关系的性质定理要求进行证明，使学生体会证明的过程和方法；而线面平行、垂直关系的判定定理只要求直观感知、操作确认，但复习中要求作为推理的依据.（4）关于空间屮的“角”与“距离”，只要求了解异面直线所成的角、直线与平而所成的角、二而角及其平面角和点到平而的距离、平行于平面的直线到平面的距离、两个平行平面间的距离的概念.对于这些角与距离的度量问题，只要在长方体模型屮进行说明即可，具体计算不作婆求.（5）复习中应重视自然语言、图形语言和符号语言之间相互转化的训练.（6）要注意联系平面图形的知识，利用类比、联想等方法，辨别平面图形和立体图形的界同，理解两者的内在联系，务必让学生领会，将空间问题转化为平面问题是处理立儿问题的重要思想.3.复习建议立体儿何是传统内容小变化最人的•增加了三视图，距离的计算不要求，角对文科考生不耍求，对理科考生只在40分内容屮考，且方法统一（用空间向量计算），这样，传统的以距离、角（特别是二面角）为主体的命题思路被打破了.从07-08新课程高考试题分析，复习中应该重视以下几个方面的问题：（1）明确考试内容的变化：删除内容（或在选修课内体现的）：①异而直线所成的角的计算；②直线与平面所成角的计算；③三垂线定理及其逆定理；④二而角及其平面角的计算；⑤多面体及欧拉公式；⑥原教材中有4个公理，4个推论，14个定理（都需证明）（不包含以例题出现的定理）.新教材中冇4个公理，9个定理（4个需证明）.增加内容：①简单空间图形的三视图；②专设“空间儿何体的三视图和直观图”这一节，重点在于培养空间想象能力.特别是“三视图与直观图”是新增内容，尽管08江苏高考未出现，但在未来的高考中将会是命题的一个热点，复习中应多加重视.（2）明确考试说明的变化：空间几何体：3个小节均属力级要求；平面及其基本性质考查要求山〃修改为川直线与平血垂直的判定与性质考查要求由C修改为3,表而积和体积公式考査耍求由3修改为4考试说明中对立几部分整体要求下降.（3）尽管教材对证明（立儿推理）的要求弱化（对判定定理不要求证明），但我们在复习中仍然应该予以重视，因为这是必然出现的题型.在空间位置关系的证明上，0 9高考还会一如既往的重点考查，可能在考查方式上会寻求突破，如：①将位置关系通过三视图呈现，加强对空间想象能力的考查；②在设问方式上创新，变传统证明为判断型、探究型问题，适当增加难度，体现了能力立意.（4）要重视与三视图冇关的题目的训练.要关注这样儿个命题方向：①读图，山三视图还原儿何体，进而研究这个儿何体的体积、表面积及其中的线、面位置关系等；②补图，即告诉儿何体，并作出三视图的一部分，补全三视图；③体积、表面积的计算应该成为立体几何考杏的重心之一.要注意研究这样几个方面的问题：一•是求体积、面积的体现能力的一些求法，如通过图形变换、等价转换的方法求体积、面积；二是注意动图形（体）的面积、体积的题型的研究，如不变量与不变性问题（定值与定性）、最值与最值位置的探求等；三是注意由三视图给出的几何体的相关问题的研究.（5）要注意通过问题的载体适度提高难度，如通过组合体（由教学耍求中的常见儿何体组成，如圆柱内接棱柱、棱锥；球内接棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等）提出位置关系、面积与休积等方面的问题.（6）不断强化将空间问题转化为平而问题是处理立几问题的重要思想.【典型例题】例1 （填空题）（1）已知三条不重合的直线加、”、L两个不垂合的平面久0,有下列命题：①若mHn,n a,则〃2//a；②若/丄a,加丄0且////«,则a//0 ；③若“? u a,n u a,mH队nil0,则a//0 ；④若a 丄0,a fl0 = m,” u 0,n 丄力,贝肪丄a；其中正确的命题个数是 ________________ .解析：本题考查了直线和平面的基本位置关系，传统空间位置关系的判断依然是高考小题考查的重点，解决此类问题，可用手中的笔与桌子等一•些具体模型.答案：②，④正确；①，③错谋（2）（08宁夏海南改编）已知平血a 丄平面”，点、4F, /丄/,直线力B〃/,直线/C 丄/,直线m//a, m//p.则下列四种位置关系中，一定成立的是 _____________•(1) AB//m (2) AC 丄刃(3) AB//p (4) AC 丄卩解析：容易判断（1）、（2）、（3）三个答案都是正确的，对于（4）,虽然u,但/ C 不一定在平面u 内, 故它可以与平面•・•相交、平行,故不一定垂直;线面平行、线面垂直的判断及应用仍然是立体几何的一个重点，要重点掌握.（3）（08广东）将正三棱柱截去三个角（如图1 所示/、B 、C 分别是AGM 三边的中点）得到的几何体如图2,则该儿何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为 ________解析：解题吋结合图1,图2在几何体右边放一个平面（垂直于面EG ）把平面图形的投影转化为点，线在血上的投影.答案：（1）.（4）（08山东）右图是一个几何体的三视图，根据图屮数据，可得该几何体的表面积是解析：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为l S ，= 4^xl 2+^xl 2x2 + 2^xlx3 = 12^-. （5）（08宁夏海南文科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。

2013年高考数学复习专题系列-----《解析几何》部分-推荐下载

所截得弦为 AB ，其中点设为 P ，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为常数，
即 kl AkPO
【证明】设
椭圆上，所以满足
两式相减得，

b2 a2
A( x1 ,
；（利用“点差法”证明，过程如下）
y1), B(x2 ,
x12 x22 a2

x12 a2
x22 a2

为 d ，圆的半径为 r ，则（1） d r 直线与圆相交直线与圆有两个公共点；（2） d r 直线与圆相离直线与圆无公共点；（3） d r 直线与圆相切直线与圆有且只有一个公共点；
【方法二】代数法：把直线的方程圆的方程联立方程组，消去其中一个未知数得到关于另外一个数的未知数的一元二次方程，则
的直线方程为 (D1 D2 )x (E1 E2 ) y (F1 F2 ) 0 ；
13、若直线与圆相交，设弦长为 l ，弦心距为 d ，半径为 r ，则 l 2 r2 d 2
14、直线与圆的位置关系的判断：【方法一】几何法：根据圆心与直线的距离与半径的大小关系进行判断；设圆心到直线的距离
18、在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点 F1, F2 ，另一个顶点 P 在椭圆上，称该三角
形为焦点三角形，则三角形 F1PF2
其中 b 是短半轴的长；
b2 a2
的周长为定值等于 2a
19、在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点 F1, F2 ，另一个顶点 P 在椭圆上，称该三
b2 角形为焦点三角形，则面积等于 tan F1PF2
且切线长为 (x0 a)2 ( y0 b)2 r2
11、若二元二次方程 Ax2 By2 Cxy Dx Ey F 0( A 0, B 0) 表示圆，则满足

江苏省高三数学专题复习专题五解析几何文-人教版高三全册数学试题

专题五解析几何真题体验·引领卷一、填空题1．(2013·江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________． 2．(2015·广东高考改编)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是________．3．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为______．4．(2015·全国卷Ⅱ改编)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |＝________．5．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．6．(2010·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标是3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．7．(2015·湖南高考)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．8．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．9．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________． 10．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为________．二、解答题11．(2013·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．12.(2015·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．13．(2015·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，FM ＝433. (1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．专题五解析几何经典模拟·演练卷一、填空题1．(2015·南通·泰州调研)双曲线x 216－y 2m ＝1(m >0)的离心率为54，则m 等于________．2．(2015·河南名校联考)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________．3．(2015·广州模拟)若圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为________．4．(2015·江苏五市模拟)已知椭圆x 29＋y 2m＝1(0＜m ＜9)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若AF 2＋BF 2的最大值为10，则m 的值为________．5．(2015·北京东城调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，则C 的渐近线方程为________．6．(2015·潍坊三模)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切，则圆C 的方程为________．7．(2015·烟台模拟)等轴双曲线x 2－y 2＝a 2(a >0)的左、右顶点分别为A 、B ，P 是双曲线上在第一象限内的一点，若直线PA ，PB 的倾斜角分别为α，β，且β＝2α，那么β的值是________．8．(2015·济南模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________．9．(2015·泰州调研)若圆上一点A (2，3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，则圆的方程是________．10．(2015·苏北四市调研)若双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．二、解答题11．(2015·哈尔滨调研)椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2，0)，且短轴长与长轴长的比是32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m ，0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当MP →最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．12.(2015·南京、盐城模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为椭圆x 29＋2y 29＝1的右顶点，点D (1，0)，点P ，B 在椭圆上，BP →＝DA →.(1)求直线BD 的方程；(2)求直线BD 被过P ，A ，B 三点的圆C 截得的弦长；(3)是否存在分别以PB ，PA 为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．13．(2015·江苏高考命题原创卷)如图，过点C (0，3)的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，椭圆与x 轴交于A (a ，0)和B (－a ，0)两点，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当直线l 过椭圆的右焦点时，求线段CD 的长； (2)当点P 异于点B 时，求证：OP →·OQ →为定值．专题五解析几何专题过关·提升卷(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．(2015·长沙调研)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝________． 2．(2015·福建高考改编)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且PF 1＝3，则PF 2＝________．3．(2015·北京高考改编)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是________．4．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|(其中O 为坐标原点)，则实数a 的值为________．5．(2015·广东高考改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为________．6．(2015·长沙模拟)双曲线x 2－y 23＝1的右焦点为F ，O 为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与此双曲线的两条渐近线分别交于点A ，B (不同于O 点)，则|AB |＝________． 7．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．8．(2015·唐山调研)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为________．9．(2015·重庆高考改编)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝________．10．(2015·山东高考改编)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．11．(2015·青岛模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过F 作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若△OFP 的面积为a 2＋b 28，则该双曲线的离心率为________．12．已知动点P (x ，y )在椭圆C ：x 216＋y 212＝1上，点F 为椭圆C 的右焦点，若点Q 满足QF →＝1，且QP →·QF →＝0，则PQ →的最大值为________．13．(2015·衡水中学冲刺卷)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，M 为该双曲线右支上一点，且MF 21，12F 1F 22，MF 22成等差数列，该点到x 轴的距离为c 2，则该双曲线的离心率为________．14．(2015·合肥质检)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN .16．(本小题满分14分)(2015·太原模拟)已知动点A 在椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上，动点B 在直线x ＝－2上，且满足OA →⊥OB →(O 为坐标原点)，椭圆C 上的点M ⎝⎛⎭⎪⎫32，3到两焦点距离之和为4 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝3的位置关系，并证明你的结论．17．(本小题满分14分)(2015·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0，1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．18．(本小题满分16分)(2014·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．19.(本小题满分16分)(2015·苏、锡、常、镇模拟)如图，已知椭圆：x 24＋y 2＝1，点A ，B是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于E 、F 两点．(1)若ED →＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值．20．(本小题满分16分)(2012·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．已知点(1，e )和⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，32都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P . (ⅰ)若AF 1－BF 2＝62，求直线AF 1的斜率； (ⅱ)求证：PF 1＋PF 2是定值．专题五解析几何真题体验·引领卷1．y ＝±34x [由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，所以两条渐近线方程为y ＝±34x .]2．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 [设所求的切线方程为2x ＋y ＋c ＝0(c ≠1)，依题意，得|0＋0＋c |22＋12＝5，则c ＝±5.∴所求切线的方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.] 3．2 [建立关于m 的方程求解．∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2.]4．4 6 [易知AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)．则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，故过三点A ，B ，C 的圆以AC 为直径，其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25. 令x ＝0，得(y ＋2)2＝24，解之得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋2 6. 因此|MN |＝|y 1－y 2|＝4 6.]5．(x －1)2＋y 2＝2 [直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.]6．4 [法一 x ＝3代入x 24－y 212＝1，y ＝±15，不妨设M (3，15)，右焦点F (4，0)．∴MF ＝1＋15＝4.法二由双曲线第二定义知，M 到右焦点F 的距离与M 到右准线x ＝a 2c ＝1的距离比为离心率e ＝ca＝2， ∴MF3－1＝2，得MF ＝4.] 7. 5 [不妨设F (－c ，0)，虚轴的一个端点为B (0，b )．依题意，点B 恰为线段PF 的中点，则P (c ，2b )，将P (c ，2b )代入双曲线方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝5，因此e ＝ 5.] 8.43[圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，设圆心C (4，0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max＝43.] 9.22[双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0. 又直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，所以两平行线间的距离d ＝|1－0|12＋（－1）2＝22，由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立．所以c ≤22，故c 的最大值为22.] 10. 2 [如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则AB ＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)．∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°， ∴BM ＝AB ＝2a ，∠MBN ＝60°.在Rt △BMN 中，y 1＝MN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝OB ＋BN ＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，所以双曲线E 的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝ 2.] 11．解 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝2 x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3. 整理得－8≤5a 2－12a ≤0.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.12.解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k2. 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2），从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k2|k |（1＋2k 2）. 因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1. 13．解 (1)由于椭圆的离心率e ＝33，且a 2＝b 2＋c 2， ∴a 2＝3c 2，且b 2＝2c 2，设直线FM 的斜率为k (k >0)，且焦点F (－c ，0)．则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解之得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，则点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，23c 3.由|FM |＝（c ＋c ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立．⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6，又由已知，得t ＝6－2x23（x ＋1）2>2，解得－32<x <－1，或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0. 因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. ②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)>0. 因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.经典模拟·演练卷1．9 [由题意得c ＝16＋m ，所以16＋m 4＝54，解得m ＝9.] 2．2x ＋y －3＝0 [易知点A (1，1)是一个切点．由圆的几何性质，过点(3，1)、(1，0)的直线与直线AB 垂直．∴k AB ＝－11－03－1＝－2.所以直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x＋y －3＝0.]3．(x －2)2＋(y ±3)2＝4 [因为圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径为2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4， ∴b 2＝3，b ＝± 3.]4．3 [已知椭圆x 29＋y 2m＝1(0＜m ＜9)中，a 2＝9，b 2＝m .AF 2＋BF 2＝4a －AB ≤10，∴AB ≥2，AB min＝2b 2a ＝2m3＝2，解得m ＝3.] 5．y ＝±2x [由题意知：c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝5，则ba＝2，所以渐近线的方程为y ＝±2x .]6．(x ＋1)2＋y 2＝2 [由题设，圆C 的圆心C (－1，0)，设半径为r ，又圆C 与圆C ′：(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切， ∴|CC ′|＝22＋r .又|CC ′|＝[2－（－1）]2＋32＝32，则r ＝2，故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.] 7.π3 [由β＝2α，得∠APB ＝α，则|PB |＝|AB |＝2a ，设P (x ，y )．∴x ＝a ＋2a cos β，y ＝2a sin β，则P (a ＋2a cos β，2a sin β)，代入双曲线方程(a ＋2a cos β)2－(2a sin β)2＝a 2， cos 2β＋cos β＝0.∴2cos 2β＋cos β－1＝0，则cos β＝12，cos β＝－1(舍去)，故β＝π3.]8．6 [由∠APB ＝90°，知点P 在以线段AB 为直径的圆上，设该圆的圆心为O ，则O (0，0)，半径r ＝m ，由圆的几何性质，当圆C 与圆O 相内切时，圆的半径取得最大值． ∴|OC |＝32＋42＝m －1，∴m ＝6. 故m 的最大值为6.]9．(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244 [设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点A (2，3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x ＋2y ＝0上，即有a ＋2b ＝0，又(2－a )2＋(3－b )2＝r 2，而圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，故r 2－⎝⎛⎭⎪⎫a －b ＋122＝2，依据上述方程，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.所以，所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.] 10．(1，2] [双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则有|0－2|1＋b2≥1，解得b 2≤3，则e 2＝1＋b2≤4，得1＜e ≤2.]11．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由焦点F (－2，0)知c ＝2. ∴a 2＝4＋b 2，① 又b a ＝32，② 联立①，②得a 2＝16，b 2＝12. 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1.故－4≤x ≤4.由点M (m ，0)在椭圆的长轴上，则－4≤m ≤4.①由MP →＝(x －m ，y )，所以|MP →|2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216＝14x 2－2mx ＋m 2＋12 ＝14(x －4m )2＋12－3m 2. ∵当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点． ∴当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．由于x ∈[－4，4]，故4m ≥4，则m ≥1，② 由①，②知，实数m 的取值范围是[1，4]．12．解 (1)因为BP →＝DA →且A (3，0)，所以BP ＝DA ＝2，而B ，P 关于y 轴对称，所以点P 的横坐标为1，从而得P (1，2)，B (－1，2)，所以直线BD 的方程为x ＋y －1＝0.(2)线段BP 的垂直平分线方程为x ＝0，线段AP 的垂直平分线方程为y ＝x －1，所以圆C 的圆心为(0，－1)，且圆C 的半径为r ＝10，又圆心(0，－1)到直线BD 的距离为d ＝2，所以直线BD 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝4 2.(3)假设存在这样的两个圆M 与圆N ，其中PB 是圆M 的弦，PA 是圆N 的弦，则点M 一定在y 轴上，点N 一定在线段PA 的垂直平分线y ＝x －1上，当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时，一定有P ，M ，N 在一条直线上，且PM ＝PN .设M (0，b )，则N (2，4－b )，根据N (2，4－b )在直线y ＝x －1上，解得b ＝3.所以M (0，3)，N (2，1)，PM ＝PN ＝2，故存在这样的两个圆，且方程分别为x 2＋(y －3)2＝2，(x －2)2＋(y －1)2＝2.13．(1)解由已知得b ＝3，c a ＝12，得a ＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.椭圆的右焦点为F (1，0)，此时直线l 的方程为y ＝－3x ＋ 3.由⎩⎨⎧y ＝－3x ＋3，3x 2＋4y 2＝12解得x 1＝0，x 2＝85，所以|CD |＝（1＋k 2）|x 1－x 2|＝4×85＝165.(2)证明当直线l 与x 轴垂直时，与题意不符，所以直线l 与x 轴不垂直，即直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋3(k ≠0且k ≠32)．将其代入椭圆的方程，化简得(3＋4k 2)x 2＋83kx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－83k3＋4k2.将其代入直线l 的方程，得y 1＝3，y 2＝3（3－4k 2）3＋4k2. 所以D 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－83k3＋4k 2，3（3－4k 2）3＋4k 2. 因为B (－2，0)，k BD ＝y 2－0x 2＋2＝－32·2k ＋32k －3，所以直线BD 的方程为y ＝－3（2k ＋3）2（2k －3）(x ＋2)．又直线AC 的方程为x 2＋y3＝1，联立直线AC 与直线BD 的方程解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k 3，y ＝2k ＋3，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 3，2k ＋3.而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0，所以OP →·OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 3，2k ＋3＝4＋0＝4.所以OP →·OQ →为定值4.专题过关·提升卷1．9 [圆C 1：x 2＋y 2＝1的圆心C 1(0，0)，半径r 1＝1.圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0的圆心为C 2(3，4)，半径为r 2＝25－m .由于两圆外切，则|C 1C 2|＝r 1＋r 2，所以5＝1＋25－m ，解之得m ＝9.]2．9 [由双曲线定义，|PF 2－PF 1|＝6，又PF 1＝3，知点P 在双曲线的左支上，则PF 2－PF 1＝6.所以PF 2＝9.]3．(x －1)2＋(y －1)2＝2 [因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.] 4．±1 [∵|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，∴以OA →，OB →为邻边作出的平行四边形OACB 为矩形，则OA →⊥OB →，所以△OAB 为直角三角形，因此AB ＝ 2.于是圆心O 到直线x ＋y ＝a 的距离d ＝AB 2＝22，从而，得|0＋0－a |12＋12＝22，∴a ＝±1.] 5.x 216－y 29＝1 [因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1.]6．2 3 [由双曲线x 2－y 23＝1，右焦点F (2，0)，渐近线方程分别为y ＝±3x ，代入圆F 的方程(x －2)2＋y 2＝4，得x ＝1，y ＝± 3. 故AB ＝2 3.]7.2555[圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×（－1）－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫3552＝2555.]8.3－1 [设F (－c ，0)，点A (m ，n )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c ·（－3）＝－1，3（m －c ）2＋n 2＝0，解之得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，32c . 代入椭圆方程，有c 24a 2＋3c 24b2＝1.又b 2＝a 2－c 2代入，得c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0. 所以e 4－8e 2＋4＝0，e 2＝4－23，e ＝3－1.] 9．6 [圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2，1)，半径为r ＝2，因此2＋a ×1－1＝0，a ＝－1，即A (－4，－1)，AB ＝AC 2－r 2＝（－4－2）2＋（－1－1）2－4＝6.]10．－34或－43[圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心M (－3，2)，半径r ＝1.点N (－2，－3)关于y 轴的对称点N ′(2，－3)．如图所示，反射光线一定过点N ′(2，－3)且斜率存在，∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －(2k ＋3)＝0. ∵反射光线与已知圆相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋（－1）2＝1，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－34或k ＝－43.]11.103[设P (x P ，y P )，依题设x P >0，且y P >0. 由S △OFP ＝12·c ·y P ＝a 2＋b 28＝c 28，∴y P ＝c4.又直线PF 的方程为y ＝－(x －c )，∴x P ＝3c4，又点P 在双曲线的渐近线bx －ay ＝0上， ∴3c 4·b －ac4＝0，则a ＝3b ，c ＝10b ，故双曲线的离心率e ＝ca ＝103.] 12.35 [如图所示，由方程x 216＋y 212＝1知：顶点A (－4，0)，B (4，0)，右焦点F (2，0)．又|QF →|＝1，∴点Q 的轨迹是以焦点F (2，0)为圆心，以1为半径的圆．由QP →·QF →＝0，知PQ ⊥FQ .因此直线PQ 是圆F 的切线，且Q 为切点， ∴PQ 2＝PF 2－1，当PF 最长时，PQ 取最大值．当点P 与椭圆的左顶点A 重合时，PF 有最大值AF ＝6. 所以|PQ →|的最大值为62－1＝35.] 13. 2 [依题意，MF 21＋MF 22＝F 1F 22.∴△MF 1F 2是以M 为直角顶点的直角三角形．因此MF 1·MF 2＝F 1F 2·c 2＝2c ·c2＝c 2.又MF 21＋MF 22＝(MF 1－MF 2)2＋2MF 1MF 2＝4c 2.∴(2a )2＋2c 2＝4c 2，则c 2＝2a 2，故双曲线的离心率e ＝c a＝ 2.]14．x 2＋32y 2＝1 [设点A 在点B 上方，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由AF 1＝3F 1B ，得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3（x 0＋c ），－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2.代入方程25（1－b 2）9＋19b 2＝1，得b 2＝23，故所求椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.]15．解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k （1＋k ）1＋k2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆C 的圆心(2，3)在l 上，所以MN ＝2.16．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝43，9a 2＋34b2＝1，∴a 2＝12，b 2＝3，∴椭圆C 的方程为y 212＋x 23＝1. (2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝3相切，证明如下：由题意可设A (x 0，y 0)，B (－2，t )(t ∈R )，则直线AB 的方程为(y 0－t )x －(x 0＋2)y ＋(tx 0＋2y 0)＝0， ∵OA →⊥OB →，∴2x 0＝ty 0，∴t ＝2x 0y 0，∵动点A 在椭圆C 上，∴y 2012＋x 203＝1，∴y 20＝12－4x 20，∴原点O 到直线AB 的距离d ＝|tx 0＋2y 0|（y 0－t ）2＋（x 0＋2）2＝|tx 0＋2y 0|y 20－2ty 0＋t 2＋x 20＋4x 0＋4＝|tx 0＋2y 0|y 20＋t 2＋x 20＋4 ＝2|x 20＋y 20|x 20y 20＋y 40＋4x 20＋4y 20＝6|4－x 20|12（x 40－8x 20＋16）＝3， ∴直线AB 与圆x 2＋y 2＝3相切．17．解 (1)由点P (0，1)在椭圆上，知b ＝1，又离心率e ＝c a ＝22且a 2＝b 2＋c 2.解得c 2＝1，a 2＝2，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M ，0)．因为m ≠0，所以－1<n <1. 直线PA 的方程为y －1＝n －1mx . 所以x M ＝m 1－n ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )．设N (x N ，0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得OM OQ ＝OQ ON”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1.所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2. 所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．18．解设椭圆的焦距为2c ，则 F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．(1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a .又BF 2＝2，故a ＝ 2. 因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1.解得b 2＝1. 故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)因为B (0，b )，F 2(c ，0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c ＋y b＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋y b ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c 2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b . 所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2ca 2＋c 2，b （c 2－a 2）a 2＋c 2. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （a 2－c 2）a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为b （a 2－c 2）a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－（－c ）＝b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－b c，且F 1C ⊥AB ，所以b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1. 又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15.因此e ＝55. 19．解 (1)依题设得椭圆的顶点A (2，0)，B (0，1)，则直线AB 的方程为x ＋2y －2＝0，设EF 的方程为y ＝kx (k >0)．如题图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，联立直线l 与椭圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx消去y 得方程(1＋4k 2)x 2＝4，则x 2＝－x 1＝21＋4k 2，由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2；由D 在AB 上知x 0＋2kx 0－2＝0，得x 0＝21＋2k. 所以21＋2k ＝1071＋4k2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解之得k ＝23或k ＝38. (2)根据点到直线的距离公式知，点A ，B 到EF 的距离分别为 h 1＝2k1＋k 2，h 2＝11＋k 2.又EF ＝41＋k 21＋4k 2，所以四边形AEBF 的面积为S ＝12EF (h 1＋h 2)＝2（1＋2k ）1＋4k2 ＝21＋4k 2＋4k 1＋4k 2＝21＋4k1＋4k 2 ＝21＋44k ＋1k≤22，当且仅当4k ＝1k ，即当k ＝12时，取等号．所以S 的最大值为2 2.20．解 (1)由题设知a 2＝b 2＋c 2，e ＝ca，由点(1，e )在椭圆上，得1a 2＋c 2a 2b 2＝1，解得b 2＝1，于是c 2＝a 2－1，又点⎝⎛⎭⎪⎫e ，32在椭圆上，所以e 2a 2＋34b 2＝1，即a 2－1a 4＋34＝1，解得a 2＝2. 因此，所求椭圆的方程是x 22＋y 2＝1. (2)由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，又直线AF 1与BF 2平行，所以可设直线AF 1的方程为x ＋1＝my ，直线BF 2的方程为x －1＝my .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1＞0，y 2＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1x 1＋1＝my 1，得(m 2＋2)y 21－2my 1－1＝0，解得y 1＝m ＋2m 2＋2m 2＋2，故AF 1＝（x 1＋1）2＋（y 1－0）2＝（my 1）2＋y 21 ＝2（m 2＋1）＋m m 2＋1m 2＋2.① 同理，BF 2＝2（m 2＋1）－m m 2＋1m 2＋2.② (ⅰ)由①②得AF 1－BF 2＝2m m 2＋1m 2＋2，解2m m 2＋1m 2＋2＝62得m 2＝2，注意到m ＞0，故m ＝ 2.所以直线AF 1的斜率为1m ＝22. (ⅱ)证明因为直线AF 1与BF 2平行，所以PB PF 1＝BF 2AF 1，于是PB ＋PF 1PF 1＝BF 2＋AF 1AF 1，故PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2BF 1.由B 点在椭圆上知BF 1＋BF 2＝22，从而PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)．同理PF 2＝BF 2AF 1＋BF 2·(22－AF 1)．因此，PF 1＋PF 2＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)＋BF 2AF 1＋BF 2·(22－AF 1)＝22－2AF 1·BF 2AF 1＋BF 2. 又由①②知AF 1＋BF 2＝22（m 2＋1）m 2＋2，AF 1·BF 2＝m 2＋1m 2＋2，所以PF 1＋PF 2＝22－22＝322.因此，PF 1＋PF 2是定值．。

高三数学专题复习-解析几何苏教版知识精讲

高三数学专题复习-解析几何苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：专题复习-解析几何【高考要求】二、基本内容：直线名称已知条件直线方程使用范围示意图点斜式 ()111y ,x P ，k ()11x x k y y -=- k 存在斜截式b k ， b kx y += k 存在两点式)y ,x (11（)y ,x 22121121x x x x y y y y --=-- 2121y y ,x x ≠≠截距式 b ,a1by a x =+ 0b ,0a ≠≠一般式0C By Ax =++A 、B 不全为0（二）圆的方程（1）圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（2）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+- 圆心为),(b a C ，半径为r ，（3）圆的一般方程：只有当0422>-+F E D 时，022=++++F Ey Dx y x ①表示的曲线才是圆，把形如①的方程称为圆的一般方程（1）当0422>-+F E D 时，①表示以（-2D ，-2E ）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆；（2）当0422=-+F E D 时，方程①只有实数解2D x -=，2Ey -=，即只表示一个点（-2D ，-2E）; （3）当0422<-+F E D 时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形。

渐近线焦点在x 轴上时：0=-bya x 焦点在y 轴上时： 0=-bxa y 图形xyO FlxyO Fl方程)0(22>=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x焦点 )0,2(p )0,2(p-)2,0(p)2,0(p -准线 2p x -= 2p x =2p y -=2p y =【典型例题】例1、过点P （2，1）的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点．求OA OB ⋅取得最小值时直线的方程．解：设直线的方程为1,(0,0),x y a b a b +=>>211a b+=. ∴2228ab b a ab ab =+≥≥于是, ∴8OA OB ab •=≥，即OA OB ⋅的最小值为8 当且仅当a =2b ，即a =4，b =2时取得等号。

2013高考数学试题分类汇编——解析几何

（2013上海卷）22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”． (1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．（2013四川卷）20．(本小题满分13分) 已知椭圆C ：22221,(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆C 经过点41(,)33P ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且222211||||||AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程． (2013上海春季卷)28．已知椭圆C 的两个焦点分别为1(10)F -，、2(1 0)F ，，短轴的两个端点分别为12 B B 、（1）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程;（2）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点，且11F P F Q ⊥，求直线l 的方程。

(2013上海春季卷)已知抛物线24C y x =：的焦点为F 。

（1）点 A P 、满足2AP FA =- 。

当点A 在抛物线C 上运动时，求动点P 的轨迹方程；（2）在x 轴上是否存在点Q ，使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上？如果存在，求所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由。

（2013安徽卷）18．（本小题满分12分）设椭圆2222:11x y E a a +=-的焦点在x 轴上（Ⅰ）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆E 上的第一象限内的点，直线2F P交y 轴与点Q ，并且11F P FQ ⊥，证明：当a 变化时，点p 在某定直线上。

2012江苏高考高三数学考前辅导----解析几何问题

解析几何考前辅导一．解析几何的三种算法（一）过椭圆上一点A 作直线，通过设斜率计算另一个点B-----完成问题的求解点有两类：（1）一类为定点，如长短轴顶点（2）一类是动点1：已知椭圆x24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点．(1) 当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2) 当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．解：(1) 直线AM 的斜率为1时，直线AM ：y ＝x ＋2，(1分) 代入椭圆方程并化简得：5x 2＋16x ＋12＝0，(2分)解之得x 1＝－2，x 2＝－65，∴ M (－65，45)．(4分)(2) 设直线AM 的斜率为k ，则AM ：y ＝k (x ＋2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得：(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.(6分) ∵ 此方程有一根为－2，∴ x M ＝2－8k 21＋4k 2，(7分)同理可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.(8分)由(1)知若存在定点，则此点必为P (－65，0)．(9分)∵ k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2，(11分) 同理可计算得k PN ＝5k4－4k 2.(13分)∴ 直线MN 过x 轴上的一定点P (－65，0)．(16分)注解：当直线过椭圆上的点A （m,n ）不是顶点时，直线方程设为y-n=k(x-m)代如椭圆方程后注意消元后的运算方式。

（二）通过MB AM λ=向量型的条件求A ，B 两点坐标----完成问题的求解MB AM λ=中涉及A ，B ，M ，λ四个量，已知三个量可求第四个量；已知M ，λ可求A ，B 的坐标的关系2已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C于点D ，且2=，则C 的离心率为 .【解析】设椭圆方程为第一标准形式22221x y a b+=，设()22,D x y ，由2= 222230223330;122212222c c c c y b x b y b b x x x c y y -++⋅-=⇒===⇒===-++，代入222291144c b a b +=，3e ⇒=3在直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22，1)到两焦点的距离之和为4 3.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴下方，且AF →＝3FB →.求过O 、A 、B 三点的圆的方程．(1) 解：由题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝43，a ＝2 3.(2分)因为点(22，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以812＋1b 2＝1，解得b ＝3，故所求椭圆方程为x 212＋y23＝1.(5分)(2) 证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)．点F 的坐标为F (3,0)．由AF →＝3FB →，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x 1＝3(x 2－3)，－y 1＝3y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－3x 2＋12，y 1＝－3y 2， ①(7分)又A 、B 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧(－3x 2＋12)212＋(－3y 2)23＝1，x 2212＋y223＝1，解得⎩⎨⎧x 2＝103，y 2＝23.所以B (103，23)，代入①得A 点坐标为(2，－2)．(12分)因为OA →·AB →＝0，所以OA ⊥AB .所以过O 、A 、B 三点的圆就是以OB 为直径的圆，其方程为x 2＋y 2－103x －23y ＝0.(16分)（三）通过设曲线一动点坐标--------------设而不求-----完成问题的求解4[2011·重庆卷] 如图1－8，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，一条准线的方程为x ＝2 2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P(x,y)满足：OP →＝OM →＋2ON →，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，问x 2＋2y 2.是否为定值【解答】 (1)由e ＝c a ＝22，a 2c ＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)，即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2. 因为点M ，N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20.5．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，短轴端点分别为A 、B ，且四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形。