全等三角形地经典模型(一)

作弊？满分晋级三角形9级全等三角形的经典模型（二）三角形8级 全等三角形的经典模型（一） 三角形7级 倍长中线与截长补短 漫画释义3全等三角形的经典模型（一）45°45°CBA等腰直角三角形数学模型思路：⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545︒︒°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4.知识互联网思路导航题型一：等腰直角三角形模型DCBA图1 图2图3 图4【例1】 已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点，⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要 求证明）⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论.⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．典题精练ABCOMN【解析】 ⑴OA =OB =OC⑵连接OA ,∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM ∴△ANO ≌△CMO∴ON =OM∴∠=∠NOA MOC∴90∠+∠=∠+∠=︒NOA BON MOC BON ∴90∠=︒NOM∴△OMN 是等腰直角三角形 ⑶△ONM 依然为等腰直角三角形，证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°，∴AO =BO =OC ， ∵在△ANO 和△CMO 中， AN CMBAO C AO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ANO ≌△CMO （SAS ）∴ON =OM ，∠AON =∠COM ，ABCOMN ABCOMN又∵∠COM -∠AOM =90°， ∴△OMN 为等腰直角三角形．【例2】 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的 中点M ，连接ME ，MC ．试判断EMC △的形状，并说明理由．【解析】EMC △是等腰直角三角形．证明：连接AM ．由题意，得,90,90.DE AC DAE BAC DAB =∠+∠=∠=∴DAB △为等腰直角三角形. ∵DM MB =，∴,45MA MB DM MDA MAB ==∠=∠=． ∴105MDE MAC ∠=∠=， ∴EDM △≌CAM △．∴,EM MC DME AMC =∠=∠．又90EMC EMA AMC EMA DME ∠=∠+∠=∠+∠=． ∴CM EM ⊥，∴EMC △是等腰直角三角形．【例3】 已知：如图，ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=°，D 是AC 的中点，AF BD ⊥于E ，交BC 于F ，连接DF ． 求证：ADB CDF ∠=∠．【解析】 证法一：如图，过点A 作AN BC ⊥于N ，交BD 于M ．∵AB AC =，90BAC ∠=°， ∴345DAM ∠=∠=°．M EDCBA MEDCBAFE DCBA∵45C ∠=°，∴3C ∠=∠． ∵AF BD ⊥，∴190BAE ∠+∠=° ∵90BAC ∠=°，∴290BAE ∠+∠=°． ∴12∠=∠．在ABM △和CAF △中，123AB AC C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABM CAF △≌△．∴AM CF =． 在ADM △和CDF △中， AD CD DAM C AM CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADM CDF △≌△． ∴ADB CDF ∠=∠．证法二：如图，作CM AC ⊥交AF 的延长线于M ． ∵AF BD ⊥，∴3290∠+∠=°， ∵90BAC ∠=°， ∴1290∠+∠=°， ∴13∠=∠．在ACM △和BAD △中， 1390AC ABACM BAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩° ∴ACM BAD △≌△． ∴M ADB ∠=∠，AD CM = ∵AD DC =，∴CM CD =． 在CMF △和CDF △中，NM 12A BCDEF3M12A BCDEF 345=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩CF CF MCF DCF CM CD ° ∴CMF CDF △≌△．∴M CDF ∠=∠ ∴ADB CDF ∠=∠．【例4】 如图，等腰直角ABC △中，90AC BC ACB =∠=，°，P 为ABC △内部一点，满足PB PC AP AC ==，，求证：15BCP ∠=︒．【解析】 补全正方形ACBD ，连接DP ，易证ADP △是等边三角形，60DAP ∠=︒，45BAD ∠=︒， ∴15BAP ∠=︒，30PAC ∠=︒，∴75∠=︒ACP ， ∴15BCP ∠=︒．【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易PCBAPCB AD的效果，从而顺利地求解。

例4为求角度的应用，其他应用探究如下：【探究一】证角等【备选1】如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，M 为AC 中点，连结BM ，作AD ⊥BM 交BC 于点D ，连结DM ，求证:∠AMB =∠CMD ．【解析】 作等腰Rt △ABC 关于BC 对称的等腰Rt △BFC ，延长AD 交CF 于点N ，∵AN ⊥BM ，由正方形的性质，可得AN =BM ，易证Rt △ABM ≌Rt △CAN ，∴∠AMB =∠CND ，CN =AM ， ∵M 为AC 中点，∴CM =CN ， ∵∠1=∠2，可证得△CMD ≌△CND ， ∴∠CND =∠CMD ， ∴∠AMB =∠CMD ．21N FA BCDM E EMDCBA【探究二】判定三角形形状【备选2】如图，Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB =AC ，AD =CE ，AN ⊥BD 于点M ，延长BD 交NE 的延长线于点F ，试判定△DEF 的形状．【解析】 作等腰Rt △ABC 关于BC 对称的等腰Rt △BHC ，可知四边形ABHC 为正方形，延长AN 交HC 于点K ， ∵AK ⊥BD ，可知AK =BD ，易证:Rt △ABD ≌Rt △CAK ， ∴∠ADB =∠CKN ，CK =AD ， ∵AD =EC ，∴CK =CE ，易证△CKN ≌△CEN ，∴∠CKN =∠CEN ， 易证∠EDF =∠DEF ，∴△DEF 为等腰三角形．【探究三】利用等积变形求面积【备选3】如图，Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，D 为BC 上一点，DE ∥AC ，DF ∥AB ，且BE =4，CF =3，求S 矩形DFAE ．【解析】 作等腰Rt △ABC 关于BC 的对称的等腰Rt △GCB ，ABCD E FNMKHM NFE D C BAGMNFED C BAF EDCBA可知四边形ABGC 为正方形，分别延长FD 、ED 交BG 、CG 于点N 、M ，可知DN =EB =4，DM =FC =3， 由正方形对称性质，可知S 矩形DFAE =S 矩形DMGN =DM ·DN =3 4=12．【探究四】求线段长【备选4】如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，∠BAC =45°，BD =3，CD =2，求AD 的长．【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但∵∠BAC =45°，若分别以AB 、AC 为对称轴作Rt △ADB 的对称直角三角形和Rt △ADC 的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90°的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形．【解析】 以AB 为轴作Rt △ADB 的对称的Rt △AEB ，再以AC 为轴作Rt △ADC 的对称的RtGFED CBADCBA△AFC ．可知BE =BD =3，FC =CD =2， 延长EB 、FC 交点G ，∵∠BAC =45°， 由对称性，可得∠EAF =90°，且AE =AD =AF ， 易证四边形AFGE 为正方形，且边长等于AD ， 设AD =x ，则BG =x －3，CG =x －2，在Rt △BCG 中，由勾股定理，得()()222235x x -+-=，解得x =6，即AD =6．【探究五】求最小值【备选5】如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，M 为AC 的中点，P 为斜边AB上的动点，求PM +PC 的最小值．【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作Rt △ACB 关于AB 对称的Rt △ADB ，可知四边形ACBD 为正方形，连接CD ，可知点C 关于AB 的对称点D ，连接MD 交AB 于点P ，连接CP ，则PM +PC 的值为最小，最小值为:PM +PC =DM =224225+=．M PDBC AMPB C A思路导航题型二：三垂直模型常见三垂直模型【引例】已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE ，⑴求证：AC ⊥CE ； ⑵若将△CDE 沿CB 方向平移得到①②③④等不同情形，1AB C D =， 其余条件不变，试判断AC ⊥C 1E 这一结论是否成立？若成立，给予证 明；若不成立，请说明理由.① ② ③ ④【解析】 ⑴∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD∴90∠=∠=︒B D例题精讲C 1AB C ED D E(C )B AC 1C 1AB C ED C 1AB CEDEDCBA 21在ABC △与CDE △中 =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB CD B D BC DE ∴ABC CDE △≌△（SAS ）∴1∠=∠E ∵290∠+∠=︒E∴90∠=︒ACE ,即AC ⊥CE⑵ 图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似，只要证明1ABC C DE △≌△∴1∠=∠ACB C ED∵1190∠+∠=︒C ED DC E ∴190∠+∠=︒DC E ACB∴AC ⊥C 1E典题精练【例5】 正方形ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为()010，，()84，，点C 在第一象限．求正方形边长及顶点C 的坐标．（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）【解析】 过点C 作CG ⊥x 轴于G ，过B 作BE ⊥y 轴于E ，并反向延长交CG 于F点A 、B 的坐标分别为()010，，()84，∴BE =8， AE =6，∴AB =10 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC ∵1390∠+∠=︒2390∠+∠=︒∴12∠=∠∵90AEB BFC ∠=∠=︒ ∴△AEB ≌△BFC∴CF =BE =8，BF =AE =6 ∴CG =12 EF =14∴C (14，12)，正方形的边长为10【点评】 此题中三垂直模型：xx【例6】 如图所示，在直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AD BC ∥，AB BC =，E 是AB 的中点，CE BD ⊥．⑴ 求证：BE AD =；⑵ 求证：AC 是线段ED 的垂直平分线； ⑶ DBC △是等腰三角形吗？请说明理由．【解析】⑴∵90ABC ∠=︒，BD EC ⊥，∴9090ECB DBC ABD DBC ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴ECB ABD ∠=∠， ∵90ABC DAB ∠=∠=︒，AB BC =， ∴BAD CBE △≌△，∴AD BE =． ⑵∵E 是AB 中点，∴EB EA =由⑴得：AD BE =，∴AE AD = ∵AD BC ∥，∴45CAD ACB ∠=∠=︒， ∵45BAC ∠=︒，∴BAC DAC ∠=∠由等腰三角形的性质，得：EM MD AM DE =⊥， 即AC 是线段ED 的垂直平分线． ⑶DBC △是等腰三角形，CD BD =由⑵得：CD CE =，由⑴得：CE BD = ∴CD BD =，∴DBC △是等腰三角形．【例7】 ⑴如图1，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且BD =CE ，连接AE 、CD 相交于点P ．请你补全图形，并直接写出∠APD 的度数= ；⑵如图2，Rt △ABC 中，∠B =90°，M 、N 分别是AB 、BC 上的点，且AM =BC 、BM =CN ，连接AN 、CM 相交于点P ．请你猜想∠APM =°，并写出你A B CDEM的推理过程．（2013平谷一模）【解析】 ⑴图略，60°⑵45°证明：作AE ⊥AB 且AE CN BM ==. 可证EAM △≌MBC △∴ME MC =，.AME BCM ∠=∠∵90,CMB MCB ∠+∠=︒∴ 90.CMB AME ∠+∠=︒ ∴ 90.EMC ∠=︒∴ EMC △是等腰直角三角形,45.MCE ∠=︒ 又△AEC ≌△CAN （SAS ）EABCM NP图2图1PNM CBACBA∴.∠=∠ECA NAC∴EC∥AN.∴45.∠=∠=︒APM ECM训练1. 已知：如图，中，AC =BC ，90∠=︒ACB ，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 的延长线于E ，并且12=AE BD ，求证：BD 平分∠ABC .【解析】 延长AE 交BC 的延长线于FABC △思维拓展训练(选讲)ABDEFEDCA∵BE ⊥AF ，90∠=︒ACB ∴ ∠=∠FAC DBC ∴ 在△AFC 和△BDC 中， ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩FAC DBC AC BCACF BCD∴△AFC ≌△BDC （ASA ） ∴AF =BD又∵12=AE BD∴12==AE AF EF∴BE是AF 的中垂线∴BA =BF∴BD 平分∠ABC训练2. 已知，在正方形ABCD 中，E 在BD 上，DG ⊥CE 于G ，DG 交AC 于F .求证：OE =OF【解析】 ∵ABCD 是正方形∴OD =OC 90∠=︒DOC ∵DG ⊥CE ∴90∠=︒DGC∴∠=∠DOC DGC ∵ ∠=∠OFD GFC∴ ∠=∠ODF ECO∴ 在△DOF和△COE 中，∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩DOF COEOD OCODF OCE∴△DOF ≌△COE （ASA ）GOFEDCBA∴OE=OF训练3. 已知：如图，中，，，D 是BC 的中点，⊥AF BE 于G ．求证：DH DF =【解析】 ∵，，是BC 的中点∴AD=BD=CD ， AD ⊥BC ∴90∠=︒ADB ∵⊥AF BE ∴90∠=︒AGH ∴∠=∠DBE DAF ∴在△BDH 和△ADF 中， ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩DBH DAFBD ADADB ADF∴△BDH ≌△ADF （ASA ） ∴DH =DF训练4. 如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF =EC ，DE =4cm ，矩形ABCD 的周长为32cm ，求AE 的长．【解析】 在Rt △AEF 和Rt △DEC 中， ∵EF ⊥CE ， ∴∠FEC =90°，∴∠AEF +∠DEC =90°，而∠ECD +∠DEC =90°， ∴∠AEF =∠ECD ．又∠FAE =∠EDC =90°．EF =EC ∴Rt △AEF ≌Rt △DCE ．ABC △AB AC =90BAC ∠=°AB AC =90BAC ∠=°D EF DCB AG HFED CBA∴AE=CD．∴AD=AE+4．∵矩形ABCD的周长为32 cm，∴2（AE+AE+4）=32．解得AE=6 cm．复习巩固题型一 等腰直角三角形模型 巩固练习【练习1】 如图，△ACB 、△ECD 均为等腰直角三角形，则图中与△BDC 全等的三角形为_________.【解析】 △AEC【练习2】 如图，已知Rt ABC △中90ACB ∠=°，AC BC =，D 是BC 的中点，CE AD ⊥，垂足为E ．BF AC ∥，交CE 的延长线于点F ．求证：2AC BF =．【解析】 ∵90ACB ∠=°，BF AC ∥，∴90ACD CBF ∠=∠=°， 90ADC CAD ∠+∠=°．∵CE AD ⊥，∴90FCB ADC ∠+∠=°， ∴CAD FCB ∠=∠． 又∵AC CB =， ∴ADC CFB △≌△． ∴DC FB =． ∵D 是BC 的中点， ∴2BC BF =， 即2AC BF =．题型二 三垂直模型 巩固练习【练习3】 已知：如图，四边形ABCD 是矩形（AD ＞AB ），点E 在BC 上，且AE =AD ，DF ⊥AE ，垂足为F ．请探求DF 与AB 有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明．【解析】 经探求，结论是：DF = AB ．证明如下：E DCBAABC DEF FADCEB∵四边形ABCD 是矩形， ∴ ∠B = 90 ， AD ∥BC ， ∴ ∠DAF = ∠AEB ．∵ DF ⊥AE ， ∴ ∠AFD = 90， ∵ AE = AD ， ∴ABE DFA △≌△． ∴ AB = DF ．【练习4】 如图，ABC △中，AC BC =，90BCA ∠=°，D 是AB 上任意一点，AE CD ⊥交CD 延长线于E ，BF CD ⊥于F ．求证：EF BF AE =-．【解析】 根据条件，ACE ∠、CBF ∠都与BCF ∠互余，∴ACE CBF ∠=∠． 在ACE △和CBF △中，AC CB =，90AEC CFB ∠=∠=°，∴ACE CBF △≌△． 则CE BF =，AE CF =， ∴EF CE CF BF AE =-=-．【练习5】 四边形ABCD 是正方形．⑴如图1，点G 是BC 边上任意一点(不与B 、C 两点重合)，连接AG ，作BF ⊥AG 于点F ，DE ⊥AG 于点E ．求证：△ABF ≌△DAE ；⑵在⑴中，线段EF 与AF 、BF 的等量关系是 (直接写出结论即可，不需要证明)；⑶如图2，点G 是CD 边上任意一点(不与C 、D 两点重合)，连接AG ，作BF ⊥AG 于点F ，DE ⊥AG 于点E ．那么图中全等三角形是 ，线段EF 与AF 、BF 的等量关系是 (直接写出结论即可，不需要证明)．F E D CBA【解析】 ⑴在正方形ABCD 中，AB=AD ，90∠=BAD °∴90BAF DAE ∠+∠=° 90∠+∠=︒BAF ABF∴ABF DAE ∠=∠ 在△ABF 和△DAE 中 ,,,∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABF DAE AFB DEA AB DA ∴ABF DAE △≌△（AAS ） ⑵EF AF BF =- ⑶△ABF ≌△DAEEF BF AF=-图2图1G G ABCD EF F E D CBA测试1. 问题：已知ABC △中，2BAC ACB ∠=∠，点D 是ABC △内的一点，且AD CD =，BD BA =．探究DBC ∠与ABC ∠度数的比值．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明． 当90BAC ∠=︒时，依问题中的条件补全右图． 观察图形，AB 与AC 的数量关系为________；当推出15DAC ∠=︒时，可进一步推出DBC ∠的度数为_______； 可得到DBC ∠与ABC ∠度数的比值为_________．（2010北京中考）【解析】 相等；15° ；1:3测试2. 已知：如图，在△ABC 中，90ACB CD AB ∠=︒⊥，于点D ，点E 在AC 上，CE =BC ，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB =FC .【解析】∵FE AC ⊥于点E ，90ACB ∠=°， ∴90FEC ACB ∠=∠=°．∴90F ECF ∠+∠=°．课后测图1DCBACBAECD BAF又∵CD AB ⊥于点D ， ∴90A ECF ∠+∠=°． ∴A F ∠=∠．在ABC △和FCE △中， ,,,A F ACB FEC BC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC FCE △≌△． ∴AB FC =．测试3. 如图， Rt △ABC 中，∠C =90°,10cm AC =，5cm BC =，一条线段PQ =AB ，P ，Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AM 上运动. 当△ABC 和△APQ全等时,点Q 到点A 的距离为___________ .5cm 或10cm.PQMCBA。