山东省日照市莒县五莲县2019_2020学年高一数学下学期期中模块检测试题含解析

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学2019-2020学年高一数学下学期期中测试试题(含解析)_1

学2019-2020学年高一数学下学期期中测试试题（含解析）本卷满分150分，考试时间150分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由可得，然后由诱导公式和同角三角函数的关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.【详解】由可得，则A. ，所以不正确.B. ,所以不正确.C. ,所以不做正确.D. ,所以正确.故选：D【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的关系，属于基础题.2.下列函数中最小正周期为的函数是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数周期公式即可得到答案.【详解】A选项的最小正周期为；B选项的最小正周期为；C选项的最小正周期为；D选项的最小正周期为.故选：D【点睛】本题考查三角函数的周期性，属基础题.3.已知终边与单位圆的交点，且，则的值等于（）A. B. C. 3 D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义求解正余弦值，利用二倍角公式化简求值.【详解】为第二象限角，且，原式=.故选：C【点睛】此题考查三角函数的定义，根据三角函数的定义求解三角函数值，根据二倍角公式进行三角恒等变换化简求值.4.已知，那么=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据同角三角函基本关系求出与，再由诱导公式计算可得.【详解】解：故选：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于基础题.5.已知，若，则λ等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出的坐标，由，得，即求.【详解】，，.故选：.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，考查了向量加法运算，属于基础题.6.已知关于x的方程在区间恰有两个根，则（）A. 1B. -1C. 1或-1D. 2a【答案】A【解析】【分析】先利用辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性可求，代入即可求解【详解】由在区间恰有两个根.根据对称性可知，或.当时，当时，故选：A【点睛】本题主要考查了正弦函数对称性的应用，属于基础试题7.已知A，B，C是平面上不共线的三个点，若，，则△ABC一定是( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 锐角三角形【答案】B【解析】【分析】设，利用向量加法的平行四边形法则以及向量共线定理可得点P在BC边上的中线，也在的平分线上，结合三角形的性质即可得出选项.【详解】设，则根据平行四边形法则知点P在BC边上的中线所在的直线上.设，，它们都单位向量，由平行四边形法则，知点P也在的平分线上，所以△ABC—定是等腰三角形.故选：B【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、向量的共线定理，属于基础题.8.已知，为锐角，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知结合诱导公式及两角和的正切公式，先进行化简，然后代入到所求式子后，结合基本不等式即可求出最值，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，，当且仅当即时取等号，所以的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换以及基本不等式的运用，涉及诱导公式、两角和的正切公式，考查化简计算能力. 9.如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟. 某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为（）A. 75米B. 85米C 米 D. 米【答案】B【解析】【分析】建立直角坐标系，利用三角函数定义将摩天轮的高度求出，即可求解.【详解】以摩天轮的圆心为坐标原点，平行地面的直径所在的直线为轴，建立直角坐标系，设时刻的坐标为，转过的角度为，根据三角函数的定义有，地面与坐标系交线方程为，则第7分钟时他距离地面的高度大约为.故选:B【点睛】本题考查三角函数的应用，属于中档题.10.已知函数的图像与函数的图像交于M，N两点，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，利用同角三角函数商数关系和平方关系可得，解方程即可得，，即可得解.详解】由得即，即，解得或，由可得，或，，，显然MN与x轴交于点，.故选：B.【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A. f（x）的最小正周期为2πB. f（x）的最大值为C. f（x）在上单调递增D. f（x）的图象关于直线x对称【答案】B【解析】【分析】根据倍角公式和辅助角公式化简，得.可直接判断的正误；选项，求出的取值范围，判断的单调性，即得的正误；选项，把代入，看是否取得最值，即得的正误.【详解】.的最小正周期为，最大值为，故错误，正确.对，当时，，又在上单调递减，在上单调递减.故错误.对，，不是最值，故错误.故选：.【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的性质，属于中档题.12.己知函数为f（x）的一个零点，x为f（x）图象的一条对称轴，且f（x）在（0，π）上有且仅有7个零点，下述结论正确的是（）A. B. f（x）的最小正周期为C. D. f（x）在（0，）上单调递增【答案】D【解析】【分析】根据的零点和对称轴，可以推出为奇数，再结合在上有且仅有7个零点，推出的值，进而推出的值以及函数单调性．【详解】为的一个零点，x为f（x）图象的一条对称轴，所以且，将两式相减得：，.设，当时，（0，π）上有且仅有7个零点，即在上有且仅有7个零点，又所以，即又，，所以，再由x为f（x）图象的一条对称轴有：所以，由，所以.则，则由.得，所以在上单调递增.所以在上单调递增.故选：D【点睛】本题考查了正弦函数的奇偶性和对称性，考查了正弦型函数的单调性，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于难题．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.化简：__________．【答案】【解析】【分析】原式利用诱导公式化简，约分即可得到答案．【详解】原式．故答案为【点睛】本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解决本题的关键，属于中档题．14.已知函数的最小正周期为，其图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称，则：_____________；当时，的值域为___________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】首先根据函数的性质计算函数的解析式，再根据函数的定义域计算的范围，计算函数的值域.【详解】因为，可得，函数向左平移个单位后得到，因为函数是偶函数，所以，，因为，所以，所以；当时，，所以的值域为.故答案为：；【点睛】本题考查三角函数的性质和解析式，意在考查对称性和函数的值域，属于中档题型.15.若,,则x的取值范围是________；若,则x的取值范围是________.【答案】 (1). (2). ,【解析】【分析】根据,又因为,结合特殊的三角函数值,即可就出解;利用换元法令,则转化为,解得,结合即可求出不等式的的解.【详解】解：由,又因为,解得：;令,则,,,,解得,,故答案为：（1）;（2）,.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值,以及根据三角函数的值域求参数,属于简单题.16.在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则向量的坐标为___________.【答案】【解析】【分析】点在的平分线可知与向量共线，利用线性运算求解即可.【详解】因为点在的平线上，所以存在使，而，可解得，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，利用向量的坐标求向量的模，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知是关于的方程的一个实根，且是第三象限角．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）形如，分子，分母同时除以，运算即可得解.（2）形如，除以，构造齐次式运算即可.【详解】解：∵是关于的方程个实根，且是第三象限角，∴或（舍去）．（1）．（2）．【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，中档题.18.已知平面向量，满足.（1），求与的夹角；（2）若对一切实数，不等式恒成立，求与的夹角.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量数量积的定义及性质即可求解（2）利用平方化简不等式可得恒成立，利用判别式求解即可.【详解】（1）∵，，即，∴，∴.（2）不等式两边平方可得:恒成立，∴，即，故，只能，而，所以.【点睛】本题主要考查了向量的数量积定义，性质，不等式恒成立，属于中档题.19.如图，函数，其中的图象与y轴交于点．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）求使的x的集合．【答案】（1）,（2），,（3）【解析】【分析】（1）由函数图像过定点，代入运算即可得解；（2）由三角函数的单调增区间的求法求解即可；（3）由，求解不等式即可得解.【详解】解：（1）因为函数图象过点，所以，即．因为，所以．（2）由（1）得，所以当，，即，时，是增函数，故的单调递增区间为，．（3）由，得，所以，，即，，所以时，x的集合为．【点睛】本题考查了利用函数图像的性质求解函数解析式，重点考查了三角函数单调区间的求法及解三角不等式，属基础题.20.已知为坐标原点，，，.（1）求函数在上的单调增区间；（2）当时，若方程有根，求的取值范围.【答案】（1）单调增区间为，（2）【解析】【分析】（1）通过向量的坐标运算求出，通过三角公式整理化简，然后可求得其单调区间；（2）将方程有根转化为在上有解，求出在上的值域即可.【详解】（1），则此函数单调增区间：，，设，，则，所以函数在上的单调增区间为，；（2）当时，若方程有根，所以在上有解，由，得，所以，则，所以.【点睛】本题考查三角函数恒等变形，三角函数的性质，是基础题.21.某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：π2π（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y＝f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y＝g（x）的图象.若y＝g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值.（3）若，求的值.【答案】（1）表格见解析，；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由表中数据求出，即可补全表格，写出解析式；（2）求出函数的解析式.根据的图象的对称中心为和，可求θ的最小值；（3）由得.由，根据诱导公【详解】（1）由表中数据可得，解得.数据补全如下表：2π函数解析式为.（2）由（1）知，将图象上所有点向左平移个单位长度，得.图象的一个对称中心为，，时，.（3），.【点睛】本题考查求三角函数的解析式、图象变换和三角恒等变换，属于较难的题目.22.已知向量.（1）求函数f（x）的单调增区间.（2）若方程上有解，求实数m的取值范围.（3）设，已知区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y＝g（x）在[a，b]上至少含有100个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中求b﹣a的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据数量积运算和倍角公式、辅助角公式，求出.令，求出的取值范围，即得函数的单调递增区间；（2）由（1）知.当时，求得.令，则方程在上有解，即方程在上有解，即求实数的取值范围；（3）求出函数的解析式，令，得零点的值，可得零点间隔依次为和.若最小，则均为零点，结合函数在上至少含有100个零点，求得的最小值.【详解】（1），.令，得，函数的单调递增区间为.（2）由（1）知.，即.令，则.方程在上有解，即方程在上有解.又在上单调递增，在上单调递减，，即.实数的取值范围为.（3）.令，得或，或.函数的零点间隔依次为和.若最小，则均为零点.函数在上至少含有100个零点，.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的性质、函数与方程及函数的零点，属于难题.学2019-2020学年高一数学下学期期中测试试题（含解析）本卷满分150分，考试时间150分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由可得，然后由诱导公式和同角三角函数的关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.【详解】由可得，则A. ，所以不正确.B. ,所以不正确.C. ,所以不做正确.D. ,所以正确.故选：D【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的关系，属于基础题.2.下列函数中最小正周期为的函数是( )A. B. C. D.【答案】D根据三角函数周期公式即可得到答案.【详解】A选项的最小正周期为；B选项的最小正周期为；C选项的最小正周期为；D选项的最小正周期为.故选：D【点睛】本题考查三角函数的周期性，属基础题.3.已知终边与单位圆的交点，且，则的值等于（）A. B. C. 3 D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义求解正余弦值，利用二倍角公式化简求值.【详解】为第二象限角，且，原式=.故选：C【点睛】此题考查三角函数的定义，根据三角函数的定义求解三角函数值，根据二倍角公式进行三角恒等变换化简求值.4.已知，那么=（）A. B. C. D.首先根据同角三角函基本关系求出与，再由诱导公式计算可得.【详解】解：故选：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及诱导公式，属于基础题.5.已知，若，则λ等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出的坐标，由，得，即求.【详解】，，.故选：.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，考查了向量加法运算，属于基础题.6.已知关于x的方程在区间恰有两个根，则（）A. 1B. -1C. 1或-1D. 2a先利用辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性可求，代入即可求解【详解】由在区间恰有两个根.根据对称性可知，或.当时，当时，故选：A【点睛】本题主要考查了正弦函数对称性的应用，属于基础试题7.已知A，B，C是平面上不共线的三个点，若，，则△ABC一定是( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 锐角三角形【答案】B【解析】【分析】设，利用向量加法的平行四边形法则以及向量共线定理可得点P在BC边上的中线，也在的平分线上，结合三角形的性质即可得出选项.【详解】设，则根据平行四边形法则知点P在BC边上的中线所在的直线上.设，，它们都单位向量，由平行四边形法则，知点P也在的平分线上，所以△ABC—定是等腰三角形.故选：B8.已知，为锐角，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知结合诱导公式及两角和的正切公式，先进行化简，然后代入到所求式子后，结合基本不等式即可求出最值，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，，当且仅当即时取等号，所以的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换以及基本不等式的运用，涉及诱导公式、两角和的正切公式，考查化简计算能力.9.如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟. 某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为（）A. 75米B. 85米C米 D. 米【答案】B【解析】【分析】建立直角坐标系，利用三角函数定义将摩天轮的高度求出，即可求解.【详解】以摩天轮的圆心为坐标原点，平行地面的直径所在的直线为轴，建立直角坐标系，设时刻的坐标为，转过的角度为，根据三角函数的定义有，地面与坐标系交线方程为，则第7分钟时他距离地面的高度大约为.故选:B【点睛】本题考查三角函数的应用，属于中档题.10.已知函数的图像与函数的图像交于M，N两点，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，利用同角三角函数商数关系和平方关系可得，解方程即可得，，即可得解.详解】由得即，即，解得或，由可得，或，，，显然MN与x轴交于点，.故选：B.【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A. f（x）的最小正周期为2πB. f（x）的最大值为C. f（x）在上单调递增D. f（x）的图象关于直线x对称【答案】B【解析】【分析】根据倍角公式和辅助角公式化简，得.可直接判断的正误；选项，求出的取值范围，判断的单调性，即得的正误；选项，把代入，看是否取得最值，即得的正误.【详解】.的最小正周期为，最大值为，故错误，正确.对，当时，，又在上单调递减，在上单调递减.故错误.对，，不是最值，故错误.故选：.【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的性质，属于中档题.12.己知函数为f（x）的一个零点，x为f（x）图象的一条对称轴，且f（x）在（0，π）上有且仅有7个零点，下述结论正确的是（）A. B. f（x）的最小正周期为C. D. f（x）在（0，）上单调递增【答案】D【解析】【分析】根据的零点和对称轴，可以推出为奇数，再结合在上有且仅有7个零点，推出的值，进而推出的值以及函数单调性．【详解】为的一个零点，x为f（x）图象的一条对称轴，所以且，将两式相减得：，.设，当时，（0，π）上有且仅有7个零点，即在上有且仅有7个零点，又所以，即又，，所以，再由x为f（x）图象的一条对称轴有：所以，由，所以.则，则由.得，所以在上单调递增.所以在上单调递增.故选：D【点睛】本题考查了正弦函数的奇偶性和对称性，考查了正弦型函数的单调性，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于难题．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.化简：__________．【答案】【解析】【分析】原式利用诱导公式化简，约分即可得到答案．【详解】原式．故答案为【点睛】本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解决本题的关键，属于中档题．14.已知函数的最小正周期为，其图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称，则：_____________；当时，的值域为___________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】首先根据函数的性质计算函数的解析式，再根据函数的定义域计算的范围，计算函数的值域.【详解】因为，可得，函数向左平移个单位后得到，因为函数是偶函数，所以，，因为，所以，所以；当时，，所以的值域为.故答案为：；【点睛】本题考查三角函数的性质和解析式，意在考查对称性和函数的值域，属于中档题型.15.若,,则x的取值范围是________；若,则x的取值范围是________.【答案】 (1). (2). ,【解析】【分析】根据,又因为,结合特殊的三角函数值,即可就出解;利用换元法令,则转化为,解得,结合即可求出不等式的的解.【详解】解：由,又因为,解得：;令,则,,,,解得,,故答案为：（1）;（2）,.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值,以及根据三角函数的值域求参数,属于简单题. 16.在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则向量的坐标为___________.【答案】【解析】【分析】点在的平分线可知与向量共线，利用线性运算求解即可.【详解】因为点在的平线上，所以存在使，而，可解得，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，利用向量的坐标求向量的模，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知是关于的方程的一个实根，且是第三象限角．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）形如，分子，分母同时除以，运算即可得解.（2）形如，除以，构造齐次式运算即可.【详解】解：∵是关于的方程个实根，且是第三象限角，∴或（舍去）．（1）．（2）．【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，中档题.18.已知平面向量，满足.（1），求与的夹角；（2）若对一切实数，不等式恒成立，求与的夹角.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量数量积的定义及性质即可求解（2）利用平方化简不等式可得恒成立，利用判别式求解即可.【详解】（1）∵，，即，∴，∴.（2）不等式两边平方可得:恒成立，∴，即，故，只能，而，所以.【点睛】本题主要考查了向量的数量积定义，性质，不等式恒成立，属于中档题.19.如图，函数，其中的图象与y轴交于点．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）求使的x的集合．【答案】（1）,（2），,（3）【解析】【分析】（1）由函数图像过定点，代入运算即可得解；（2）由三角函数的单调增区间的求法求解即可；（3）由，求解不等式即可得解.【详解】解：（1）因为函数图象过点，所以，即．因为，所以．（2）由（1）得，所以当，，即，时，是增函数，故的单调递增区间为，．（3）由，得，所以，，即，，所以时，x的集合为．【点睛】本题考查了利用函数图像的性质求解函数解析式，重点考查了三角函数单调区间的求法及解三角不等式，属基础题.20.已知为坐标原点，，，.（1）求函数在上的单调增区间；（2）当时，若方程有根，求的取值范围.【答案】（1）单调增区间为，（2）【解析】【分析】（1）通过向量的坐标运算求出，通过三角公式整理化简，然后可求得其单调区间；（2）将方程有根转化为在上有解，求出在上的值域即可.【详解】（1），则此函数单调增区间：，，设，，则，所以函数在上的单调增区间为，；（2）当时，若方程有根，所以在上有解，由，得，所以，则，所以.【点睛】本题考查三角函数恒等变形，三角函数的性质，是基础题.21.某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：π2π（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y＝f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y＝g（x）的图象.若y ＝g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值.（3）若，求的值.【答案】（1）表格见解析，；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由表中数据求出，即可补全表格，写出解析式；（2）求出函数的解析式.根据的图象的对称中心为和，可求θ的最小值；（3）由得.由，根据诱导公式和倍角公式可求.【详解】（1）由表中数据可得，解得.数据补全如下表：2π函数解析式为.（2）由（1）知，将图象上所有点向左平移个单位长度，得.图象的一个对称中心为，，时，.（3），.【点睛】本题考查求三角函数的解析式、图象变换和三角恒等变换，属于较难的题目.22.已知向量.（1）求函数f（x）的单调增区间.（2）若方程上有解，求实数m的取值范围.（3）设，已知区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y＝g（x）在[a，b]上至少含有100个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中求b﹣a的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据数量积运算和倍角公式、辅助角公式，求出.令，求出的取值范围，即得函数的单调递增区间；（2）由（1）知.当时，求得.令，则方程在上有解，即方程在上有解，即求实数的取值范围；（3）求出函数的解析式，令，得零点的值，可得零点间隔依次为和.若最小，则均为零点，结合函数在上至少含有100个零点，求得的最小值.【详解】（1），.令，得，函数的单调递增区间为.（2）由（1）知.，即.令，则.方程在上有解，即方程在上有解.又在上单调递增，在上单调递减，，即.实数的取值范围为.（3）.令，得或，或.函数的零点间隔依次为和.若最小，则均为零点.函数在上至少含有100个零点，.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的性质、函数与方程及函数的零点，属于难题.。

2019-2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)_12

2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i为虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数等于（）A. 1-iB. -1-iC. 1+iD. -1+i【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则解得，结合共轭复数的概念即可得结果.【详解】∵复数满足，∴，∴复数的共轭复数等于，故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（）A. 7，5，8B. 9，5，6C. 7，5，9D. 8，5，7【答案】B【解析】【分析】分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数.【详解】由于样本容量与总体中的个体数的比值为，故各年龄段抽取的人数依次为，，.故选B 【点睛】本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.3.已知平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),则向量在向量方向上的投影为( )A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】先根据向量垂直得到(+2),=0，化简得到=﹣2，再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),∴(+2),=0，即即=﹣2∴向量在向量方向上的投影为=﹣1，故选B．【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．4.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.5.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.6.设中边上的中线为，点满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】作出图形，利用、表示，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出可得出结果.【详解】如下图所示：为的中点，则，，，，故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.7.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，根据题意列出关于、方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.【详解】设，其中，则.由题意得，解得，即.故选：B.【点睛】本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.8.已知两直线m､n，两平面α､β，且m⊥α，nβ.下面有命题中正确的个数是（）①若α//β，则有m⊥n；②若m⊥n，则有α//β；③若m//n，则有α⊥β；④若α⊥β，则有m//n.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】①由条件可知，再判断结论；②由条件判断是否成立；③由条件可知，再判断结论；④根据面面垂直的性质定理判断.【详解】①若，，则，，则，所以①正确；②若，，不能推出，所以不能推出，所以②不正确；③若，，则，又有，所以，所以③正确；④若，，则或，当，不能推出，所以④不正确.故选：C【点睛】本题考查点，线，面位置关系的判断，重点考查想象，推理能力，属于基础题型.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.9.下列各式中结果为零向量的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据向量加法和减法逐一判断选项，得到正确答案.【详解】A.，所有A正确；B.，不正确；C.，不是零向量；D.，所有D正确.故选：AD【点睛】本题考查向量加减法，属于基础题型.10.（多选题）已知集合，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A中，；选项B中，；选项C中，；选项D中，.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.11.已知锐角，内角、、的对边分别为，，，若，，则边的可能取值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】CD【解析】【分析】由于三角形的正弦定理和正弦函数的值域可得的范围，讨论，结合条件可得所求结论.【详解】在中，，，由可得，由于可得，即有若，则，即，为等边三角形成立；若可得，且，即即为，即有成立.故选：【点睛】本题考查正弦定理与三角函数有界性，考查计算能力，属于中等题型.12.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，下列结论正确的是（）A. AC⊥BDB. △ACD是等边三角形C. AB与平面BCD成角D. AB与CD所成的角是60°【答案】ABD【解析】【分析】首先画出几何体，由线面垂直的性质定理判断A是否正确；根据直二面角的条件计算的长度，判断是否是等边三角形；根据线面角的定义判断C；由异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，取的中点，连结，转化为求或其补角.【详解】A.取的中点，连结,由条件可知，又，所有平面，平面，所有,所以A正确；B.设正方形边长为2，则，且，所有，所以是等边三角形，所以B正确；C.由条件可知平面，所以与平面所成的角为，所以C不正确；D.取的中点，连结，则，则所成的角是或其补角，由以上说明可知，,所以是等边三角形，所以，故AB与CD所成的角是60°，所以D正确.综上可知：ABD正确.故选：ABD【点睛】本题考查线线，线面位置关系，和线面，异面直线所成的角，重点考查推理能力，空间想象能力，属于基础题型.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，则60分为成绩的第__________百分位数.【答案】30【解析】【分析】首先求前两组的频率，根据百分位数的定义直接求结果.【详解】由条件可知前两组的频率是则60分为成绩的第30百分位数.故答案为：30【点睛】本题考查频率分布直方图，重点考查基本概念，属于基础题型.14.已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由与的夹角为锐角，则，列出不等式解出，要去掉使与同向（与的夹角为0）的的取值.【详解】∵与的夹角为锐角∴，即，解得，当时，与同向，∴实数的取值范围是故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是向量数量积的性质及运算律，将夹角转化为数量积与0的关系是解题的关键，属于中档题.15.事件为独立事件，若，则_____．【答案】【解析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程，解出.详解：设,因，所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．16.如图，-辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到处时测得公路北侧一山顶在北偏西的方向上，仰角为，行驶米后到达处，测得此山顶在北偏西的方向上，仰角为，若，则此山的高度________米，仰角的正切值为________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】设山的高度（米），由题可得：,,（米）, ,在中利用正弦定理可得:（米）,（米）, 在中,由可得：（米），在中，可得：，问题得解.【详解】设山的高度（米），由题可得：,,（米）,在中，可得：，利用正弦定理可得：，解得：（米）,（米）在中，由可得：（米）在中，可得：【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，还考查了空间思维能力及识图能力，考查转化能力及计算能力，属于中档题．四､解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.如图，平行四边形ABCD中，，，，分别是，的中点，为上一点，且．（1）以，为基底表示向量与；（2）若，，与的夹角为，求．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】(1)由题可得：，利用向量的加法法则和减法法则，以及向量的中点表示，即可得到；(2)先求出，再由(1)得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积.【详解】（1）∵平行四边形中，，，，是，的中点，，∴，（2）∵，，与的夹角为，∴，∴．【点睛】本题考查了向量的加法，减法法则，考查了向量数量积的运算，属于较易题.18.某中学团委组织了“纪念抗日战争胜利73周年”的知识竞赛，从参加竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，，…，后，画出如图所示的部分频率分布直方图.观察图形给出的信息，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次竞赛的及格率（60分及以上为及格）和平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）【答案】（1）0.3 （2）；71【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中的各组的频率和等于1，求出第四小组的频率，求出纵坐标，补全这个频率分布直方图即可．（2）求出60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和；利用组中值估算抽样学生的平均值为各组的中点乘以各组的频率和为平均值．【详解】解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：，频率分布直方图第四小组的纵坐标是：，则频率分布直方图如下图所示：（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为，所以，抽样学生成绩的合格率是，利用组中值估算抽样学生的平均分为：，所以估计这次考试的平均分是71.【点睛】本题考查频率分布直方图、等可能事件的概率等．在频率分布直方图中，数据的平均值等于各组的中点乘以各组的频率之和；频率等于纵坐标乘以组距；属于基础题．19.在校体育运动会中，甲乙丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每场比赛中，甲胜乙的概率为甲胜丙的概率为乙胜丙的概率为（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；（2）求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若满足条件只需甲胜乙，甲胜丙，且丙胜乙，写出概率；（2）甲队至少得3分包含甲队恰得3分，和甲队得6分，根据分值判断获胜情况，求得概率.【详解】（1）若甲队获第一名且丙队获第二名，即甲胜乙，甲胜丙，且丙胜乙，即，即甲队获第一名且丙队获第二名的概率是；（2）当甲队恰得3分，即甲队胜了一场，甲胜乙且丙胜甲，或甲胜丙且乙胜甲，当甲恰得6分，即甲队胜了2场，即,那么该次比赛中甲队至少得3分的概率.【点睛】本题考查对立事件同时发生的概率，重点考查读题，抽象概括能力，属于基础题型，本题的关键是正确理解题意.20.已知的内角的对边分别是，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，由二倍角正弦公式得到，然后由正弦定理求解.（2）根据，利用余弦定理，得到，再根据的面积为，得到，两式联立求解.【详解】（1）由，得，由正弦定理，得，由于，所以.因为，所以.（2）由余弦定理，得，又，所以.①又的面积为，即，即，即.②由①②得，则，得.所以的周长为.【点睛】本题主要考查等正弦定理，余弦定理的应用以及二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，,,垂足为，是四棱锥的高．（Ⅰ）证明：平面平面;（Ⅱ）若,60°,求四棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）因为PH是四棱锥P-ABCD的高．所以AC PH,又AC BD,PH,BD都在平面PHD内,且PHBD=H.所以AC平面PBD.故平面PAC平面PBD.（Ⅱ）因为ABCD为等腰梯形，AB CD,AC BD,AB=.所以HA=HB=.因为APB=ADR=600所以PA=PB=,HD=HC=1.可得PH=.等腰梯形ABCD的面积为S=AC x BD = 2+.所以四棱锥的体积为V=x（2+）x=考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，体积的计算．点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程．本题（I）较为简单，（II）则体现了“一作、二证、三计算”的解题步骤．22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3.（1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH//平面PAD；（2）求证：⊥平面PCD；（3）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，连结，由题意得，利用中位线证明；（2）要证明线面垂直，根据判断定理可知需垂直于平面内的两条直线，利用面面垂直的性质定理，取棱中点，连结，再证明；（3）连结，由平面，知是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．【详解】（1）连结，由题意得，，又由，得，平面，平面，平面．（2）取棱中点，连结，依题意得，又平面平面，平面平面，平面，又平面，，又，，平面．（3）连结，由（2）中平面，知是直线与平面所成角，是等边三角形，，且为中点，，又，在中，．直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题型.2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i为虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数等于（）A. 1-iB. -1-iC. 1+iD. -1+i【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则解得，结合共轭复数的概念即可得结果.【详解】∵复数满足，∴，∴复数的共轭复数等于，故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（）A. 7，5，8B. 9，5，6C. 7，5，9D. 8，5，7【答案】B【解析】【分析】分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数.【详解】由于样本容量与总体中的个体数的比值为，故各年龄段抽取的人数依次为，，.故选B【点睛】本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.3.已知平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),则向量在向量方向上的投影为( )A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】先根据向量垂直得到(+2),=0，化简得到=﹣2，再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),∴(+2),=0，即即=﹣2∴向量在向量方向上的投影为=﹣1，故选B．【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．4.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.5.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.6.设中边上的中线为，点满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】作出图形，利用、表示，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出可得出结果.【详解】如下图所示：为的中点，则，，，，故选：A.【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.7.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，根据题意列出关于、方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.【详解】设，其中，则.由题意得，解得，即.故选：B.【点睛】本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.8.已知两直线m､n，两平面α､β，且m⊥α，nβ.下面有命题中正确的个数是（）①若α//β，则有m⊥n；②若m⊥n，则有α//β；③若m//n，则有α⊥β；④若α⊥β，则有m//n.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】①由条件可知，再判断结论；②由条件判断是否成立；③由条件可知，再判断结论；④根据面面垂直的性质定理判断.【详解】①若，，则，，则，所以①正确；②若，，不能推出，所以不能推出，所以②不正确；③若，，则，又有，所以，所以③正确；④若，，则或，当，不能推出，所以④不正确.故选：C【点睛】本题考查点，线，面位置关系的判断，重点考查想象，推理能力，属于基础题型.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.9.下列各式中结果为零向量的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据向量加法和减法逐一判断选项，得到正确答案.【详解】A.，所有A正确；B.，不正确；C.，不是零向量；D.，所有D正确.故选：AD【点睛】本题考查向量加减法，属于基础题型.10.（多选题）已知集合，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A中，；选项B中，；选项C中，；选项D中，.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 11.已知锐角，内角、、的对边分别为，，，若，，则边的可能取值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】CD【解析】【分析】由于三角形的正弦定理和正弦函数的值域可得的范围，讨论，结合条件可得所求结论.【详解】在中，，，由可得，由于可得，即有若，则，即，为等边三角形成立；若可得，且，即即为，即有成立.故选：【点睛】本题考查正弦定理与三角函数有界性，考查计算能力，属于中等题型.12.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，下列结论正确的是（）A. AC⊥BDB. △ACD是等边三角形C. AB与平面BCD成角D. AB与CD所成的角是60°【答案】ABD【解析】【分析】度，判断是否是等边三角形；根据线面角的定义判断C；由异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，取的中点，连结，转化为求或其补角.【详解】A.取的中点，连结,由条件可知，又，所有平面，平面，所有,所以A正确；B.设正方形边长为2，则，且，所有，所以是等边三角形，所以B正确；C.由条件可知平面，所以与平面所成的角为，所以C不正确；D.取的中点，连结，则，则所成的角是或其补角，由以上说明可知，,所以是等边三角形，所以，故AB与CD所成的角是60°，所以D正确.综上可知：ABD正确.故选：ABD【点睛】本题考查线线，线面位置关系，和线面，异面直线所成的角，重点考查推理能力，空三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，则60分为成绩的第__________百分位数.【答案】30【解析】【分析】首先求前两组的频率，根据百分位数的定义直接求结果.【详解】由条件可知前两组的频率是则60分为成绩的第30百分位数.故答案为：30【点睛】本题考查频率分布直方图，重点考查基本概念，属于基础题型.14.已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】由与的夹角为锐角，则，列出不等式解出，要去掉使与同向（与的夹角为0）的的取值.【详解】∵与的夹角为锐角∴，即，解得，当时，与同向，∴实数的取值范围是故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是向量数量积的性质及运算律，将夹角转化为数量积与0的关系是解题的关键，属于中档题.15.事件为独立事件，若，则_____．【答案】【解析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程，解出.详解：设,因，所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．16.如图，-辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到处时测得公路北侧一山顶在北偏西的方向上，仰角为，行驶米后到达处，测得此山顶在北偏西的方向上，仰角为，若，则此山的高度________米，仰角的正切值为________.【答案】 (1). (2).【分析】设山的高度（米），由题可得：,,（米）, ,在中利用正弦定理可得:（米）,（米）, 在中,由可得：（米），在中，可得：，问题得解.【详解】设山的高度（米），由题可得：,,（米）,在中，可得：，利用正弦定理可得：，解得：（米）,（米）在中，由可得：（米）在中，可得：【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，还考查了空间思维能力及识图能力，考查转化能力及计算能力，属于中档题．四､解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.如图，平行四边形ABCD中，，，，分别是，的中点，为上一点，且．（1）以，为基底表示向量与；（2）若，，与的夹角为，求．【答案】（1），；（2）【解析】(1)由题可得：，利用向量的加法法则和减法法则，以及向量的中点表示，即可得到；(2)先求出，再由(1)得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积.【详解】（1）∵平行四边形中，，，，是，的中点，，∴，（2）∵，，与的夹角为，∴，∴．【点睛】本题考查了向量的加法，减法法则，考查了向量数量积的运算，属于较易题.18.某中学团委组织了“纪念抗日战争胜利73周年”的知识竞赛，从参加竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，，…，后，画出如图所示的部分频率分布直方图.观察图形给出的信息，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次竞赛的及格率（60分及以上为及格）和平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）【答案】（1）0.3 （2）；71【分析】（1）利用频率分布直方图中的各组的频率和等于1，求出第四小组的频率，求出纵坐标，补全这个频率分布直方图即可．（2）求出60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和；利用组中值估算抽样学生的平均值为各组的中点乘以各组的频率和为平均值．【详解】解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：，频率分布直方图第四小组的纵坐标是：，则频率分布直方图如下图所示：（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为，所以，抽样学生成绩的合格率是，利用组中值估算抽样学生的平均分为：，所以估计这次考试的平均分是71.【点睛】本题考查频率分布直方图、等可能事件的概率等．在频率分布直方图中，数据的平均值等于各组的中点乘以各组的频率之和；频率等于纵坐标乘以组距；属于基础题．19.在校体育运动会中，甲乙丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每场比赛中，甲胜乙的概率为甲胜丙的概率为乙胜丙的概率为。

2019-2020学年山东省日照市莒县、五莲县高一下学期期中模块检测数学试题

2019-2020学年山东省日照市莒县、五莲县高一下学期期中模块检测数学试题一、单项选择题1．若向量()3,2a =，()1,b m =-，且a b ⊥r r，则m =（）A ．23B ．23-C ．32D ．32-2．复数()201912z i i =--的共轭复数为（）A ．2i -B ．2i +C ．2i --D ．2i -+3．设两个单位向量,a b 的夹角为23π，则34a b +=（）A ．1BCD ．74．已知向量)a =r，(b =r ，则a b λ-r r()R λ∈的最小值为（）A ．1B ．2C ．2D 5．在ABC △中，若2cos sin sin B A C ⋅=，则ABC △的形状是（） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形6．下列命题正确的是（）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱B ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱C ．若棱柱被一平面所截，则分成的两部分一定是棱柱D ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱7．已知函数()2cos 22f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数()f x 的图象（）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度8．已知M 是边长为1的正ABC △的边AC 上的动点，N 为AB 的中点，则BM MN ⋅u u u u r u u u u r的取值范围是（）A ．323,464⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．31,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．21,55⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．21,55⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二、多项选择题9．下列命题中，不正确的是（） A ．两个复数不能比较大小B ．若(),z a bi a b R =+∈，则当且仅当0a =且0b ≠时，z 为纯虚数C ．()()2212230z z z z -+-=，则123z z z == D ．若实数a 与ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应 10．给出下列命题正确的是（） A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B ．a b a b a +=+⇔与b 方向相同C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同D ．若向量AB u u u r与向量CD uuu r 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上11．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos a A b B =，且2c =，3sin 5C =，则ABC △的面积为（） A ．3B ．23C ．13D ．612．关于函数()24cos 4sin cos 6f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（） A ．若12,x x 是函数()f x 的零点，则12x x -是2π的整数倍 B ．函数()f x 的图象关于点,16π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 的图象与函数216y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象相同D ．函数()f x 的图象可由2y x =的图象先向上平移1个单位长度，再向左平移3π个单位长度得到二、填空题13．复平面内表示复数1212iz i-=+的点位于第______象限.14．若正四棱柱的高为3cm ，则该正四棱柱的侧面积为______.15．若函数()3sin 236f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象与直线y m =恰有两个不同交点，则m 的取值范围是______.16．在ABC △中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知1b =，2c =且()2cos cos cos A b C c B a +=，则A =______；若M 为BC 的中点，则AM =______. 三、解答题17．（1）已知1sin 3α=，且α为第四象限角，求sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭与tan α值；（2）已知tan 2α=，求cos sin αα的值.18．已知向量()1,1a =r ，()3,4b =-r.（1）求a b -r r的值；（2）求向量a r 与a b -r r夹角的余弦值.19．已知向量()sin ,cos 1a x x =-r，)1b =-r ，设()f x a b =⋅r r.（1）求函数()f x 的最小正周期和对称中心；（2）已知α为锐角，()0,βπ∈，1365f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()12sin 13αβ+=，求()sin 2αβ+的值. 20．ABC △内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos cos C a B b A c +=. （1）求C ；（2）若c =ABC △，求ABC △的周长. 21．已知向量33cos,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求a b ⋅及a b +；（2）若()2f x a b a b λ=⋅-+的最小值为32-，求λ的值. 22．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin sin A C A C B +-=. （1）求角B 的大小；（2）若ABC △为锐角三角形，其外接圆的半径为3，求ABC △的周长的取值范围. 2019级高一下学期模拟检测十数学参考答案一、单项选择题 1．C2．C 【解析】()()201912122z ii i i i =--=---=-+，2z i =--，故选C.3．B 【解析】∵2221349162491624132a b a b a b ⎛⎫+=++⋅=++⨯-= ⎪⎝⎭，∴34a b +4．A【解析】向量)a =r，(b =r，),1a b λλ-=r r1a b λ-===≥r r当λ=a b λ-r r 有最小值1.故选A.5．C 【解析】∵2cos sin sin B A C ⋅=，∴2222222a c b a cac R R+-⨯⋅=，∴a b =，∴ABC △为等腰三角形. 6．B7．C 【解析】由题意可得，函数()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，设平移量为θ，得到函数()2sin 226g x x πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又()g x 为奇函数，所以26k πθπ-=，k Z ∈，即122k ππθ=+，k Z ∈.所以选C.8．A 【解析】取AC 的中点O ，以O 为原点，直线AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,2B ⎛⎝⎭，1,44N ⎛- ⎝⎭，设(),0M x ，1122x -≤≤， ∴,2BM x ⎛=-⎝⎭u u u u r ，1,44MN x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ， ∴221312348864BM MN x x x ⎛⎫⋅=---=-+- ⎪⎝⎭u u u u r u u u u r ，且1122x -≤≤，∴12x=时，BMMN⋅u u u u r u u u u r取最小值34-；18x=-时，BM MN⋅u u u u r u u u u r取最大值2364-，∴BM MN⋅u u u u r u u u u r的取值范围是323,464⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.9．ACD【解析】A中，当两个复数的虚部都为0时，此时可以比较大小；B中，(),z a bi a b R=+∈，0a=，0b≠，此时z bi=，z为纯虚数；C中，当12z z a-=，()23z z ai a-=≠时，()()221223z z z z-+-=也成立，此时没有123z z z==；D中，若0a=，则ai不是纯虚数，故不正确.10．ABC【解析】A中，向量的投影是数量，A正确；由向量相等的定义可知C正确；D中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D不一定在同一直线上.11．AC【解析】由cos cosa Ab B=，利用正弦定理可得sin cos sin cosA AB B=，即sin2sin2A B=，∵(),0,A Bπ∈，∴A B=或2A Bπ+=，又3sin5C=，∴A B=，当C为锐角时，∵3sin5C=，∴4cos5C=，∴10sin2C=，由22sin2c cCa b==，∴10b a==，∴ABC△中AB边上的高为3，∴12332S=⨯⨯=；当C为钝角时，∵3sin5C=，∴4cos5C=-，∴310sin210C=，由22sin2c cCa b==，∴10b a==，∴ABC △中AB 边上的高为13，∴1112233S =⨯⨯=. 12．BC 【解析】()24cos 4sin cos 23sin 2163f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，画出函数的图象，如图所示：()f x 的图象与x 轴相邻的两个交点的距离不相等，且不为2π，故A 错；函数()f x 的图象关于点,16π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 正确；函数()2321232136f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；函数()f x 的图象可由232y x =先向上平移1个单位，再向左平移6π个单位长度得到，故D 错误. 二、填空题13．三【解析】因为()()()212123412121255i i z i i i i --===--++-，所以复数1212i z i -=+所对应的复平面内的点为34,55z ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限. 14．224cm15．9,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()3,62f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，作出函数的图像，由图可知9,62m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭16．3π；72【解析】()2cos cos cos A b C c B a +=，利用正弦定理得到()2cos sin cos sin cos sin A B C C B A +=，得到()2cos sin sin A B C A +=， ∴2cos sin sin A A A =，∴1cos 23A A π=⇒=， M 为边BC 的中点，()12AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r，则()22221111721421244424AM AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴7AM =. 三、解答题17．解：（1）因为1sin 3α=-，且α为第四象限角，所以 222cos 1sin 3αα=-=，22sin cos 23παα⎛⎫-== ⎪⎝⎭ 2tan α= （2）因为tan 2α=，222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα===++ 18．解：（1）向量()1,1a =，()3,4b =-r ，则()4,3a b -=-r r，∴()22435a b -=+-=r r .（2）由（1）向量a r 与a b -r r 夹角的余弦值为cos a <r，()a ab a b a a b⋅-->==⋅-r r r r r r r r19．解：由题意得()cos 12sin 16f x a b x x x π⎛⎫=⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭r r ，（1）()f x 的最小正周期2T π=，令()6x k k Z ππ-=∈，则()6x k k Z ππ=+∈，又()2sin 116f k k πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，∴()f x 对称中心为,16k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k Z ∈. （2）1342sin 12sin 1sin 66655f πππαααα⎛⎫⎛⎫+=+-+=+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3cos 5α=， ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,βπ∈，∴30,2παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又()12sin 013αβ+=-<，∴3,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴()5cos 13αβ+=-， ∴()()()()sin 2sin sin cos cos sin αβαβααβααβα+=++=+++⎡⎤⎣⎦123545613513565⎛⎫=-⨯+-⨯=- ⎪⎝⎭. 20．解：（1）由已知及正丝毫定理得()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=，即()2cos sin sin C A B C +=，故2sin cos sin C C C =.可得1cos 2C =，所以3C π=. （2）由已知得1sin 2ab C =.又3C π=，所以6ab =. 由已知及余弦定理得222cos 7a b ab C +-=，故2213a b +=，从而()225a b +=，所以5a b +=.所以ABC△的周长为5+21．（1）cos2a b x ⋅=，2cos a b x +=；（2）12λ=.【解】（1）由已知可得33cos cos sin sin cos22222x xa b x x x ⋅=-⋅=，a b+===，∵0,2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴cos0x≥，∴2cosa b x+=.（2）由（1）得()()222cos24cos2cos4cos12cos12f x x x x x xλλλλ=-=--=---，∵0,2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，01x≤≤.①当0λ<时，当且仅当cos0x=时，()f x取得最小值1-，这与已知矛盾；②当01λ≤≤，当且仅当cos xλ=时，()f x取得最小值12λ--，由已知可得23122λ--=-，解得12λ=；③当1λ>时，当且仅当cos1x=时，()f x取得最小值14λ-，由已知可得3142λ-=-，解得58λ=，与1λ>矛盾，综上所得，12λ=.22．（1）3Bπ=；（2）(5⎤+⎦.【解】（1）由题意222sin sin sin sin sinA C A C B+-=，由正弦定理得222a c ac b+-=，222a b b ac+-=，222122a b bac+-=，即1cos2B=，又∵()0,Bπ∈，3Bπ=.（2）由（1）知3Bπ=，且外接圆的半径为3，2=，解得5b=，由正弦定理得2sin sin33a cA C==⨯=，可得)sin sin3a c A C+=+，又23A Cπ+=，2sin sin10sin36a c A A Aππ⎤⎛⎫⎛⎫+=+-=+⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ABC △为锐角三角形，02A π<<且02C π<<，又23C A π=-，得62A ππ<<，sin 62A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，(a c ⎤+∈⎦，故ABC △的周长的取值范围是(5⎤+⎦.。

山东省日照市莒县2019-2020学年高一下学期期中过程性测试数学试题 Word版含答案

姓名，年级：时间：保密试卷类型:A莒县2019—2020学年高一下学期期中过程性测试数学试题 2020。

5考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．271sin6π的值为A ．12- B ．12C ．2-D ．22．一钟表的秒针长12cm ，经过25秒，秒针的端点所走的路线长A ．10cmB ．14cmC ．10cm πD ．14cm π3．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间2π(,π)上单调递减的是A ．cos y x =B ．2sin y x =C ．cos 2xy = D ．tan y x = 4．已知向量a =（3，4）,b =(8，6）,c =（2,k ），且〈〉〈〉a,c =b,c ，则k 的值为 A ．2- B ．2 C ．1 D ．1- 5．已知tan m α=，且α是第二象限角,则sin α＝A ．． D6．已知23αβπ-=，且1cos cos 3αβ+=,则cos()αβ+= A ．29B ．29-C ．79D ．79-7．已知函数()sin()6f x x π=-,若方程4()5f x =的解为1212,(0)x x x x <<<π，则12sin()x x +＝A ．2-．2C ．12D ．12-8．将函数sin(2)6y x π=+的图象分别向左、向右平移ϕ个单位，所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值分别为A ．6π，3πB ．3π,6πC ．32π，65π D ．6π，12π二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．对于平面向量a ，b ,c ，下列说法错误的是 A ．若-=+a b a b ,则⊥a b B ．()()a b c =a b c C ．若a b =a c ，且≠0a ，则b =c D ．≤a b a b10．函数sin cos tan sin cos tan x x xy x x x=+-的值可能为 A ．3- B ． 3 C ．1 D ．1- 11．能将正弦函数sin y x =的图象变为πsin(2)4y x =-的图象的变换方式是A ．将图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变），再向右平移8π个单位 B ．将图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再向右平移8π个单位C ．向右平移4π个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变）D ．向右平移4π个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）12．已知角α是锐角，若sin α,cos α是关于x 的方程20x mx n ++=的两个实数根,则实数m 和n 的关系式中一定成立的是 A ．240m n -=B ．221m n =+C ．0mn >D ．10m n ++>三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知3,5==a b ，且,45〈〉=a b ，则a 在b 上的投影的数量为。

山东省潍坊市五县市2019-2020学年高一下学期期中考试高一数学试题答案2020.5

g(x) sin x cos x 1 sin 2x 2
g( ) 1 sin 1 12 2 6 4
………………………2 分 ………………………3 分
(2) Q g(x) 2 3 cos2 x sin 2x 2 3 cos2 x 2sin x cos x
2 cos x(
3 cos x sin
sin(
)
2 cos(
)
，
代入 sin 2 ( ) cos2 ( ) 1得， cos2 ( ) 1 5
, (0, ) ， tan( ) 2 0,
2
2
………………6 分
cos( ) 5 5
………………………7 分
(2) 由(1)知， tan 2
又x 0时，y 10, 代入上式知，10 60 sin 70 则sin 1， 2
y 60 sin(x ) 70 70 60 cos x (x 0) ……………………6 分
32
3
（2）当 y 100时，
即 70 60 cos x 100 ,得： ห้องสมุดไป่ตู้os x 1 ……………………8 分
3
2
Q x 0 2 x 4 333
解得: 2 x 4 ……………………11 分
所以在摩天轮从最低点开始计时转动的一圈内，有 2 分钟点 P 距离地面超过 100
米. ……………………12 分
21. 解：（1）由条件②得： y sin x cos x 2 sin(x ) ， 4
其最小正周期为 T1 2 ；最大值为 2 .此时分别与条件和①③矛盾，
17. 解：(1)设 x 1, y m, 则r m 2 1
sin y m ……………………………3 分 r m2 1

学2019-2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)_1 2)

学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1. 的值为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据辅助角公式即可求值.【详解】,.故选：.【点睛】本题考查三角函数式求值，属于基础题.2. 若都是锐角，且，，则= ( )A. B.C. 或D. 或【答案】A【解析】【分析】由，根据两角差的余弦公式展开.结合已知条件，求出，代入即得.【详解】，...故选：.【点睛】本题考查三角恒等变换，属于中档题.3. 已知△ABC的内角的对边分别为且，，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理和三角形面积公式求解.【详解】因为，即.所以，所以，又，所以即，故的面积.故选C.【点睛】本题考查运用余弦定理和面积公式解三角形，属于基础题.4. 如图是一个正方体的表面展开图，则图中“”在正方体中所在的面的对面上的是( )A. B.C. 快D. 乐【答案】A【解析】【分析】将展开图还原成正方体，即得答案.【详解】将展开图还原成正方体，如图所示所以“”在正方体中所在的面的对面上的是“0”.故选：.【点睛】本题考查正方体的展开图，属于基础题.5. 在中，，若三角形有两解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意得，，要使得三角形有两解，则满足，解得，故选C.考点：三角形解的个数的判定.6. 已知△ABC中，bcosB＝ccosC，则△ABC的形状为（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰或直角三角形D. 等边三角形【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理将已知条件转化为或或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形考点：正弦定理解三角形7. 已知集合，，若，则实数的取值范围为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，由，结合数轴，可得实数的取值范围.【详解】解不等式，得， .，可得 .故选：.【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.8. 若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式，得其解集为.由不等式组的解集不是空集，故存在，使得不等式成立，只需，即求实数a的取值范围.【详解】解不等式，得.不等式组的解集不是空集，存在，使得不等式成立.即存在，使得成立，只需.又当时，函数在上单调递增，时，，.故选：.【点睛】本题考查不等式能成立问题，属于中档题.9. 已知均为正实数，若，，且，则的最小值是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由得，可得.由展开，利用基本不等式可求的最小值.【详解】,..当且仅当，即时，等号成立.的最小值为.故选：.【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查基本不等式，属于中档题.10. 已知半径为的球的两个平行截面的周长分别为和，则两平行截面间的距离是( )A. B.C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】求出两个平行截面圆的半径,由勾股定理求出球心到两个截面的距离.分两个平行截面在球心的同侧和两侧讨论，即得两平行截面间的距离.【详解】设两平行截面圆的半径分别为，则.球心到两个截面的距离分别为.当两个平行截面在球心的同侧时，两平行截面间的距离为；当两个平行截面在球心的两侧时，两平行截面间的距离为.故选：.【点睛】本题考查球的截面间的距离，属于基础题.11. 如图是正方体的展开图，则在这个正方体中:①与是异面直线；②与平行；③与成角；④与平行. 以上四个命题中，正确命题的序号是( )A. ①②③B. ②④C. ③④D. ②③④【答案】A【解析】【分析】将正方体的展开图还原为正方体ABCD-EFMN，对选项逐一判断，即得答案.【详解】将正方体的展开图还原为正方体ABCD-EFMN，如图所示可得：与是异面直线，故①正确；连接，则与平行，故②正确；是异面直线与所成的角，为等边三角形，，故③正确；与是异面直线，故④错误.故选：.【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，属于基础题.12. 对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】当时，得任意实数均满足题意，当时，，又当且仅当取得等号，故二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 设当时，函数取得最大值，则__．【答案】【解析】利用辅助角公式化简，求出的值代入即可得到答案．【详解】；当时，函数取得最大值；，；．故答案为．【点睛】本题考查三角函数的最值，两角和的正切值，属于基础题．14. 在地平面上有一旗杆（在地面），为了测得它的高度h，在地平面上取一长度为20m的基线，在A处测得P点的仰角为30°，在B处测得P点的仰角为45°，又测得，则旗杆的高h等于_____m．【答案】20【解析】由题意，利用直角三角形的边角关系表示出与的关系，再利用余弦定理求得即的值．【详解】由题意得，因为在B处测得P点的仰角为45°，得，又因为在A处测得P点的仰角为30°，即，在中，；中，由余弦定理可得，即，解得，∴旗杆OP的高度为20m．故答案为20．【点睛】本题主要考查了直角三角形的边角关系和余弦定理解三角形的实际应用．考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力，属于基础题．15. 已知函数，则不等式的解集为______________.【答案】【解析】【分析】利用分段函数的表达式，通过，转化为不等式组求解即可．【详解】因为，所以等价于或解可得；解可得，综上可得，所以不等式的解集为【点睛】本题考查分段函数以及解不等式，属于简单题．16. 关于函数. ①的最大值为；②最小正周期是；③在区间上是减函数；④将函数的图象向左平移个单位后，将与原函数图象重合. 其中说法正确的有__________.【答案】①②【解析】【分析】由两角和的正弦公式、两角差的余弦公式把展开，再由辅助角公式得.对选项逐一判断，即得答案.【详解】.的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确；当时，，不是减函数，故③错误；将函数的图象向左平移个单位，得，不与原函数图象重合，故④错误.故答案为：①②.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的性质和图象平移，属于中档题.三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 函数.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）当时，求函数的值域.【答案】（Ⅰ）的单调递减区间为；（Ⅱ）的值域为【解析】【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式以及辅助角公式把函数化为的形式，再由正弦函数的单调区间即可求解.（Ⅱ）根据正弦函数的单调性即可求解.【详解】（Ⅰ），令，解得，∴函数的单调递减区间为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增.∴，，∴函数值域为.【点睛】本题主要二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的单调区间、最值，需熟记公式以及三角函数的性质，属于基础题.18. 高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为、、，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.（1）求出线段AE的长度；（2）求出隧道CD的长度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知在△AEF中，由正弦定理即可解得AE的值；（2）由已知可得∠BAE＝90°，在Rt△ABE中，可求BE的值，进而可求CD＝BE﹣BC﹣DE的值．【详解】（1）由已知可得EF＝2，∠F＝45°，∠EAF＝60°－45°＝15°，在△AEF中，由正弦定理得：，即，解得；（2）由已知可得∠BAE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，在Rt△ABE中，，所以隧道长度．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19. 已知向量.（1）求的最小值及相应的t值；（2）若与共线，求实数t的值.【答案】（1）最小值为，；（2）.【解析】分析】（1）求出向量的坐标，求出，根据二次函数求最值，即得答案；（2）求出向量的坐标，根据向量共线定理的坐标表示，可求实数t的值.【详解】（1），，又，时，，即当时，.（2），且与共线，.【点睛】本题考查向量运算的坐标表示和向量共线的坐标表示，属于基础题.20. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积.【答案】，【解析】【分析】过点作垂直于直线，垂足为，由题意可得是等腰直角三角形. 四边形绕旋转一周所成的几何体为：一个圆台挖去一个圆锥.其中圆台的上下底面圆的半径分别为，高为；圆锥的底面圆的半径为，高为.根据圆台和圆锥的表面积、体积的计算公式可得几何体的表面积和体积.【详解】过点作垂直于直线，垂足为.如图所示是等腰直角三角形，.又..四边形绕旋转一周所成的几何体为：一个圆台挖去一个圆锥.其中圆台的上下底面圆的半径分别为，高为；圆锥的底面圆的半径为，高为.所得几何体的表面积，体积.【点睛】本题考查旋转体的表面积和体积，属于中档题.21. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，为的中点，三棱柱的体积.（1）求三棱柱的表面积；（2）求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】【分析】分析：（1）由三棱柱体积，求出高AA′=3，由此能求出三棱柱的表面积；（2）取AC中点E，连结DE、C′E，由D 为BC中点，得DE∥AB，从而∠C′DE是异面直线AB与C′D所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AB与C′D所成角的余弦值．详解：（1）∵在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面△ABC边长为2，D为BC的中点，三棱柱体积，解得高AA′=3，∴三棱柱的表面积：= ；（2）取AC中点E，连结DE、C′E，∵D为BC中点，∴DE∥AB，∴∠C′DE是异面直线AB与C′D所成角（或所成角的补角），∵DE=AB=1，C′D=C′E===，∴cos∠C′DE===．点睛：本题考查三棱柱的表面积的求法，考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养；异面直线的夹角常用方法有：将异面直线平移到同一平面中去，达到立体几何平面化的目的.．22. 已知，为常数，函数.（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）当时，若函数在上存在零点，求实数的取值范围；（3）对于给定的，且，，证明:关于的方程在区间内有一个实数根.【答案】（1）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）当时，，分，，三种情况讨论，求不等式的解集；（2）当时，，其图象的对称轴为.分，，三种情况讨论，即求实数的取值范围；（3）设.由，得.对于给定的，且，，得在区间上单调，故在区间上有且只有一个零点，即方程在区间内有一个实数根.【详解】（1）当时，.当，即时，由得或，不等式解集为或.当，即时，恒成立，不等式的解集为.当，即时，由得或，不等式的解集为或.综上，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或.（2）当时，，其图象的对称轴为.当，即时，在上单调递增，在上存在零点，，即得..当，即时，在上存在零点，或或或，解得或或或或.当，即时，在上单调递减，在上存在零点，，即得..综上，.实数的取值范围为.（3）设.当给定时，为定值.,.又对于给定的，且，，在区间上单调，即在区间上单调，在区间上有且只有一个零点，即方程在区间内有一个实数根.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、函数的零点和方程的根，考查分类讨论的数学思想，属于难题.学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1. 的值为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据辅助角公式即可求值.【详解】,.故选：.【点睛】本题考查三角函数式求值，属于基础题.2. 若都是锐角，且，，则= ( )A. B.C. 或D. 或【答案】A【解析】【分析】由，根据两角差的余弦公式展开.结合已知条件，求出，代入即得.【详解】，...故选：.【点睛】本题考查三角恒等变换，属于中档题.3. 已知△ABC的内角的对边分别为且，，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据余弦定理和三角形面积公式求解.【详解】因为，即.所以，所以，又，所以即，故的面积.故选C.【点睛】本题考查运用余弦定理和面积公式解三角形，属于基础题.4. 如图是一个正方体的表面展开图，则图中“”在正方体中所在的面的对面上的是( )A. B.C. 快D. 乐【答案】A【解析】【分析】将展开图还原成正方体，即得答案.【详解】将展开图还原成正方体，如图所示所以“”在正方体中所在的面的对面上的是“0”.故选：.【点睛】本题考查正方体的展开图，属于基础题.5. 在中，，若三角形有两解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【解析】试题分析：由题意得，，要使得三角形有两解，则满足，解得，故选C.考点：三角形解的个数的判定.6. 已知△ABC中，bcosB＝ccosC，则△ABC的形状为（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰或直角三角形D. 等边三角形【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理将已知条件转化为或或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形考点：正弦定理解三角形7. 已知集合，，若，则实数的取值范围为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，由，结合数轴，可得实数的取值范围.【详解】解不等式，得， .，可得 .故选：.【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.8. 若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式，得其解集为.由不等式组的解集不是空集，故存在，使得不等式成立，只需，即求实数a的取值范围.【详解】解不等式，得.不等式组的解集不是空集，存在，使得不等式成立.即存在，使得成立，只需.又当时，函数在上单调递增，时，，.故选：.【点睛】本题考查不等式能成立问题，属于中档题.9. 已知均为正实数，若，，且，则的最小值是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由得，可得.由展开，利用基本不等式可求的最小值.【详解】,..当且仅当，即时，等号成立.的最小值为.故选：.【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查基本不等式，属于中档题.10. 已知半径为的球的两个平行截面的周长分别为和，则两平行截面间的距离是( )A. B.C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】求出两个平行截面圆的半径,由勾股定理求出球心到两个截面的距离.分两个平行截面在球心的同侧和两侧讨论，即得两平行截面间的距离.【详解】设两平行截面圆的半径分别为，则.球心到两个截面的距离分别为.当两个平行截面在球心的同侧时，两平行截面间的距离为；当两个平行截面在球心的两侧时，两平行截面间的距离为.故选：.【点睛】本题考查球的截面间的距离，属于基础题.11. 如图是正方体的展开图，则在这个正方体中:①与是异面直线；②与平行；③与成角；④与平行. 以上四个命题中，正确命题的序号是( )A. ①②③B. ②④C. ③④D. ②③④【答案】A【解析】【分析】将正方体的展开图还原为正方体ABCD-EFMN，对选项逐一判断，即得答案.【详解】将正方体的展开图还原为正方体ABCD-EFMN，如图所示可得：与是异面直线，故①正确；连接，则与平行，故②正确；是异面直线与所成的角，为等边三角形，，故③正确；与是异面直线，故④错误.故选：.【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，属于基础题.12. 对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】当时，得任意实数均满足题意，当时，，又当且仅当取得等号，故二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 设当时，函数取得最大值，则__．【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式化简，求出的值代入即可得到答案．【详解】；当时，函数取得最大值；，；．故答案为．【点睛】本题考查三角函数的最值，两角和的正切值，属于基础题．14. 在地平面上有一旗杆（在地面），为了测得它的高度h，在地平面上取一长度为20m的基线，在A处测得P点的仰角为30°，在B处测得P点的仰角为45°，又测得，则旗杆的高h等于_____m．【答案】20【解析】【分析】由题意，利用直角三角形的边角关系表示出与的关系，再利用余弦定理求得即的值．【详解】由题意得，因为在B处测得P点的仰角为45°，得，又因为在A处测得P点的仰角为30°，即，在中，；中，由余弦定理可得，即，解得，∴旗杆OP的高度为20m．故答案为20．【点睛】本题主要考查了直角三角形的边角关系和余弦定理解三角形的实际应用．考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力，属于基础题．15. 已知函数，则不等式的解集为______________.【答案】【解析】【分析】利用分段函数的表达式，通过，转化为不等式组求解即可．【详解】因为，所以等价于或解可得；解可得，综上可得，所以不等式的解集为【点睛】本题考查分段函数以及解不等式，属于简单题．16. 关于函数. ①的最大值为；②最小正周期是；③在区间上是减函数；④将函数的图象向左平移个单位后，将与原函数图象重合. 其中说法正确的有__________.【答案】①②【解析】【分析】由两角和的正弦公式、两角差的余弦公式把展开，再由辅助角公式得.对选项逐一判断，即得答案.【详解】.的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确；当时，，不是减函数，故③错误；将函数的图象向左平移个单位，得，不与原函数图象重合，故④错误.故答案为：①②.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的性质和图象平移，属于中档题.三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 函数.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）当时，求函数的值域.【答案】（Ⅰ）的单调递减区间为；（Ⅱ）的值域为【解析】【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式以及辅助角公式把函数化为的形式，再由正弦函数的单调区间即可求解.（Ⅱ）根据正弦函数的单调性即可求解.【详解】（Ⅰ），令，解得，∴函数的单调递减区间为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增.∴，，∴函数值域为.【点睛】本题主要二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的单调区间、最值，需熟记公式以及三角函数的性质，属于基础题.18. 高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为、、，计划沿直线BF 开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.（1）求出线段AE的长度；（2）求出隧道CD的长度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知在△AEF中，由正弦定理即可解得AE的值；（2）由已知可得∠BAE＝90°，在Rt△ABE中，可求BE的值，进而可求CD＝BE﹣BC﹣DE的值．【详解】（1）由已知可得EF＝2，∠F＝45°，∠EAF＝60°－45°＝15°，在△AEF中，由正弦定理得：，即，解得；（2）由已知可得∠BAE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，在Rt△ABE中，，所以隧道长度．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19. 已知向量.（1）求的最小值及相应的t值；（2）若与共线，求实数t的值.【答案】（1）最小值为，；（2）.【解析】分析】（1）求出向量的坐标，求出，根据二次函数求最值，即得答案；（2）求出向量的坐标，根据向量共线定理的坐标表示，可求实数t的值.【详解】（1），，又，时，，即当时，.（2），且与共线，.【点睛】本题考查向量运算的坐标表示和向量共线的坐标表示，属于基础题.20. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积.【答案】，【解析】【分析】过点作垂直于直线，垂足为，由题意可得是等腰直角三角形. 四边形绕旋转一周所成的几何体为：一个圆台挖去一个圆锥.其中圆台的上下底面圆的半径分别为，高为；圆锥的底面圆的半径为，高为.根据圆台和圆锥的表面积、体积的计算公式可得几何体的表面积和体积.【详解】过点作垂直于直线，垂足为.如图所示是等腰直角三角形，.又..四边形绕旋转一周所成的几何体为：一个圆台挖去一个圆锥.其中圆台的上下底面圆的半径分别为，高为；圆锥的底面圆的半径为，高为.所得几何体的表面积，体积.【点睛】本题考查旋转体的表面积和体积，属于中档题.21. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，为的中点，三棱柱的体积.（1）求三棱柱的表面积；（2）求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】【分析】分析：（1）由三棱柱体积，求出高AA′=3，由此能求出三棱柱的表面积；（2）取AC中点E，连结DE、C′E，由D为BC中点，得DE∥AB，从而∠C′DE是异面直线AB与C′D所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AB与C′D所成角的余弦值．详解：（1）∵在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面△ABC边长为2，D为BC的中点，三棱柱体积，解得高AA′=3，∴三棱柱的表面积：= ；（2）取AC中点E，连结DE、C′E，∵D为BC中点，∴DE∥AB，∴∠C′DE是异面直线AB与C′D所成角（或所成角的补角），∵DE=AB=1，C′D=C′E===，∴cos∠C′DE===．点睛：本题考查三棱柱的表面积的求法，考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养；异面直线的夹角常用方法有：将异面直线平移到同一平面中去，达到立体几何平面化的目的.．22. 已知，为常数，函数.（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）当时，若函数在上存在零点，求实数的取值范围；（3）对于给定的，且，，证明:关于的方程在区间内有一个实数根.【答案】（1）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）当时，，分，，三种情况讨论，求不等式的解集；（2）当时，，其图象的对称轴为.分，，三种情况讨论，即求实数的取值范围；（3）设.由，得.对于给定的，且，，得在区间上单调，故在区间上有且只有一个零点，即方程在区间内有一个实数根.【详解】（1）当时，.当，即时，由得或，不等式解集为或.当，即时，恒成立，不等式的解集为.当，即时，由得或，不等式的解集为或.综上，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或.（2）当时，，其图象的对称轴为.当，即时，在上单调递增，在上存在零点，，即得..当，即时，在上存在零点，或或或，解得或或或或.当，即时，在上单调递减，在上存在零点，，即得..综上，.实数的取值范围为.（3）设.当给定时，为定值.,.又对于给定的，且，，在区间上单调，即在区间上单调，在区间上有且只有一个零点，即方程在区间内有一个实数根.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、函数的零点和方程的根，考查分类讨论的数学思想，属于难题.。

2019—2020学年第二学期期中考试高一数学试题(含答案)

2019—2020学年第二学期期中考试高一数学试题一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在中，已知，则角为（）A ．A ．C ．D ．或2．若向量，，且，则（） A ． B ．C ．D ． 3．复数的共轭复数为（）A ．B ．C ．D ．4．设两个单位向量，的夹角为，则（） A ．CD ．5．已知一条边在x 轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是( )A ．16B ． 16或64 C. 64 D ．以上都不对6．若实数，，满足，则的值是（） A ．2B ．-3C ．D.17．在中，若，则的形状是（） A ．等腰直角三角形 B．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形8．已知（，为虚数单位），则“”是“为纯虚数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9．给出下列结论，则结论正确的为（）A ．若向量，，且，则B ．，，与的夹角为，则ABC △222a b c bc =++A 2π3π3π6π32π3(3,2)=a (1,)m =-b ∥a b m =23-233232-()2019i 12i z =--2i -2i +2i --2i -+a b 2π334+=a b 17x y ()()1i 1i 2x y ++-=xy 2-ABC △2cos sin sin B A C ⋅=ABC △221(32)i z m m m =-+-+m ∈R i 1m =-z (1,3)=a (2,)x =b ∥a b 6x =||2=a ||4=b a b 60°|2|+=a bC ．向量，，m.n=0则 D ．已知向量，，则与的夹角为 10．下列命题中，不正确的是（） A ．两个复数不能比较大小；B ．若，则当且仅当且时，为纯虚数；C ．，则；D ．若实数与对应，则实数集与纯虚数集一一对应．11．在中，角的对边分别为，若，且，，则的面积为（） A ．3B ．C ．D ．12．对于两个复数，，则下列说法正确的是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数，，且是实数，则实数等于．14．如图，在斜度一定的山坡上的一点测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进后，又从点测得斜度为，假设建筑物高，设山对于平地的斜度，则．(,2)x =m (4,2)x =+n 23x =-=a =b a b π6i(,)z a b a b =+∈R 0a =0b ≠z 221223()()0z z z z -+-=123z z z ==a i a ABC △,,A B C ,,a b c cos cos a A b B =2c =3sin 5C =ABC △231361α=-+122β=--1αβ=2αβ=||2||αβ=337αβ-=134i z =+2i z t =+12z z ×t A C 15︒100m B 45︒50m θcos θ=15．用一张4×8(cm 2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则该圆柱的表面积等于-------------------16．在中角，，的对边分别是，，，且，，若，则的最小值为．四·解答题：(本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）已知关于的方程有实根，求这个实数根以及实数的值．18. (12分）如图，组合体下面是一个直三棱柱．△A 1B 1C 1为等腰直角三角形，BC ＝CE ＝2.上面是一个三棱锥，且AA 1⊥底面A 1B 1C 1，且AE ＝A1E ＝3，求组合体的表面积和体积．19.(12分）已知复数，m是实数，根据下列条件，求值．（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数；（4）．ABC△A B C a b c sin sin sin sin sin 3a Ab B cC B C +-=a =[1,3]b ∈c x 2(2i)2i 0x k x k ++++=k 22(232)(2)i z m m m m =+-++-m z z z 0z =20．（12分）在中，角所对的边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围． 21.(12分)已知a =(1,2),b =(-3,1). (1)求a -2b;(2)设a,b 的夹角为θ,求cos θ的值;(3)若向量a +k b 与a -k b 互相垂直,求实数k 的值.22．（12分）已知向量，，且．（1）求及；（2）若的最小值为，求实数的值．高一数学答案一．AACCB DCC二．9.ACD 10，ACD 11,AC 12,BCD17．（12分）已知关于的方程有实根，求这个实数根以及实数的值．【答案】方程的实根为或值为或．【解析】设是方程的实数根，代入方程并整理得，由复数相等的条件得，解得或∴方程的实根为，相应的值为或．ABC△,,A B C ,,a b c222sin sin sin sin sinA C A CB +-=B ABC △ABC △33(cos ,sin )22x x =a (cos ,sin )22x x =-b π[0,]2x ∈⋅a b +a b ()2f x λ=⋅-+a b a b 32-λx 2(2i)2i 0x k x k ++++=k x =x =k k =-k =0x 2000(2)(2)i 0x kx x k ++++=20002020x kx x k ⎧++=⎨+=⎩0x k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩0x k ⎧=⎪⎨=⎪⎩x =x =k k =-k =18.19．（10分）已知复数，，根据下列条件，求值．（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数；（4）．【答案】（1）或；（2）且；（3）；（4）．【解析】（1）当，即或时，为实数．（2）当，即且时，为虚数．（3）当，解得，即时，为纯虚数．（4）令，解得，即时，．20．（12分）在中，角所对的边分别为，且．22(232)(2)i z m m m m =+-++-m R Îm z z z 0z =2m =-1m =2m ≠-1m ≠12m =2m =-220m m +-=2m =-1m =z 220m m +-≠2m ≠-1m ≠z 22232020m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩12m =12m =z 22232020m m m m ⎧+-=⎨+-=⎩2m =-2m =-0z =ABC △,,A B C ,,a b c 222sin sin sin sin sin A C A C B +-=（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，由正弦定理得，，，即，又∵，．（2）由（1）知，且外接圆的半径为，，解得，由正弦定理得，又，， 21.(10分)已知a =(1,2),b =(-3,1).(1)求a -2b;(2)设a,b 的夹角为θ,求cos θ的值; (3)若向量a +k b 与a -k b 互相垂直,求k 的值.【答案】（1）（7,0），（2）-√5050.（3）k=±√22.【解析】(1)a -2b =(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0). (2)cos θ=a ·b|a |·|b |=√2√2=-√5050.(3)因为向量a +k b 与a -k b 互相垂直, 所以(a +k b)·(a -k b)=0,即a 2-k 2b 2=0,因为a 2=5,b 2=10,所以5-10k 2=0,解得k=±√22.B ABC △ABC △π3B =(5+⎤⎦222sin sin sin sin sin A C A C B +-=222a c acb +-=222a b b ac +-=222122a b b ac +-=1cos 2B =()0,πB ∈π3B =π3B =323=⨯5b =2sin sin a c A C ===sin )a c A C +=+2π3A C +=2ππsin()]10sin()336a c A A A +=+-=+22．（12分）已知向量，，且．（1）求及；（2）若的最小值为，求的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由已知可得，，，，．（2）由（1）得，，．①当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知矛盾； ②当，当且仅当时，取得最小值，由已知可得，解得；③当时，当且仅当时，取得最小值，由已知可得，解得，与矛盾，综上所得，．为锐角三角形，且，又，得，，， 33(cos ,sin )22x x =a (cos ,sin )22x x =-b π[0,]2x ∈⋅a b +a b ()2f x λ=⋅-+a b a b 32-λcos2x ⋅=a b 2cos x +=a b 12λ=33coscos sin sin cos 22222x xx x x ⋅=⋅-⋅=ab +===a b π[0,]2x ∈Q cos 0x ∴≥2cos x ∴+=a b 222()cos 24cos 2cos 4cos 12(cos )12f x x x x x x λλλλ=-=--=---π[0,]2x ∈Q 0cos 1x ≤≤0λ<cos 0x =()f x 1-01λ≤≤cos x λ=()f x 12λ--23122λ--=-12λ=1λ>cos 1x =()f x 14λ-3142λ-=-58λ=1λ>12λ=ABC △π02A <<π02C <<2π3C A =-ππ62A <<πsin()62A +∈(a c +∈⎤⎦故的周长的取值范围是．ABC△(5+⎤⎦。

山东省日照市莒县五莲县2019_2020学年高一数学下学期期中模块检测试题含解析

山东省日照市莒县、五莲县2019-2020学年高一数学下学期期中模块检测试题（含解析）一、单项选择题1.若向量()3,2a =，()1,b m =-，且a b ⊥，则m =（） A.23B. 23-C.32D. 32-【答案】C 【解析】【分析】由题意结合平面向量垂直的性质可得320a b m ⋅=-+=，即可得解. 【详解】向量()3,2a =，()1,b m =-，且a b ⊥，∴320a b m ⋅=-+=，解得32m =. 故选：C.【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，考查了运算求解能力，属于基础题. 2.复数2019(12)z i i =--的共轭复数为（）A. 2i -B. 2i +C. 2i --D. 2i -+【答案】C 【解析】【分析】直接计算即可. 【详解】2019(12)(12)2z i i i i i =--=---=-+，2z i =--，故选：C.【点睛】本题主要考查复数的运算，关键是求出2019i i =-，属基础题. 3.设两个单位向量,a b 的夹角为23π，则34a b +=（）A. 1D. 7【答案】B 【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积的定义可得12a b ⋅=-，再由2223491624a b a b a b +=++⋅运算即可得解. 【详解】两个单位向量,a b 的夹角为23π，∴1a =，1b =，21cos 32a b a b π⋅=⋅=-，∴2221349162491624132a b a b a b ⎛⎫+=++⋅=++⨯-= ⎪⎝⎭，∴34a b +=故选：B.【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，考查了利用平面向量数量积求向量模的应用，属于基础题.4.已知向量(3,1),(1,3)a b ==，则()a b R λλ-∈的最小值为A. 1 2C. 2 【答案】A 【解析】向量()()3,1,1,3a b ==，()3?,1a b λλ-=-()(23?1a b a bλλλ-=-=-=≥.当2λ=a b λ-有最小值1. 故选A.5.若在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 形状一定是（） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形【答案】C 【解析】【分析】根据2cos B sin A ＝sin C ()sin A B =+，由两角和与差的三角函数化简求解.【详解】∵在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ， ∴2cos B sin A ＝sin C ＝sin （A +B ）， ∴2cos B sin A ＝sin A cos B +cos A sin B ， ∴sin A cos B ﹣cos A sin B ＝0， ∴sin （A ﹣B ）＝0，A B ππ-<-<，∴A ﹣B ＝0，即A ＝B ， ∴△ABC 为等腰三角形，故选：C ．【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 6.下列命题正确的是（）A. 有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体是棱柱B. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱C. 若棱柱被一平面所截，则分成的两部分一定是棱柱D. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱【答案】B 【解析】【分析】通过棱柱的定义和举反例，对四个选项进行一一判断.【详解】在A 中，如图（1）所示的几何体中有两个面平行，其余各面都是四边形，该几何体不是棱柱；在B 中，由棱柱的定义可知正确；在C 中，分成的两部分不一定是棱柱；在D 中，如图（2）所示的几何体中有两个面平行，其余各面都是平行四边形，该几何体不是棱柱.故选：B【点睛】本题考查棱柱的定义识别，考查空间想象能力和概念的理解与运用，属于基础题.7.已知函数()π2cos22f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数()f x 的图象( ) A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π12个单位长度D. 向右平移π12个单位长度【答案】C 【解析】由题意可得，函数f(x)=2cos 22sin(2)6x x x π-=-，设平移量为θ，得到函数()2sin(22)6g x x πθ=+-，又g(x)为奇函数，所以2,,6k k Z πθπ-=∈即,,122k k Z ππθ=+∈，所以选C【点睛】三角函数图像变形：路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A (横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ωx 的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移φω个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．8.已知M 是边长为1的正△ABC 的边AC 上的动点，N 为AB 的中点，则BM MN ⋅的取值范围是（） A. [34-，2364-] B. [34-，12-] C. [25-，15-] D. [35-，12-] 【答案】A 【解析】【分析】可取AC 的中点为O ，然后以点O 为原点，直线AC 为x 轴，建立平面直角坐标系，从而根据条件可得出3130,,,244B N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并设11(,0),22M x x -≤≤，从而可得出21348BM MN x x ⋅=---，根据x 的范围，配方即可求出BM MN ⋅的最大值和最小值，从而得出取值范围.【详解】解：取AC 的中点O ，以O 为原点，直线AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：1313,0,,24A B N ⎛⎛⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设11(,0),22M x x -≤≤， 313,,,244BM x MN x ⎛⎫⎛∴=-=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，221312348864BM MN x x x ⎛⎫∴⋅=---=-+- ⎪⎝⎭，且1122x -≤≤，12x ∴=时，BM MN ⋅取最小值31;48x -=-时，BM MN ⋅取最大值2364-， ∴BM MN ⋅的取值范围是323,464⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.故选：A.【点睛】本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，配方求二次函数值域的方法，考查了计算能力，属于中档题. 二、多项选择题9.下列命题中，不正确的是（） A. 两个复数不能比较大小B. 若(),z a bi a b R =+∈，则当且仅当0a =且0b ≠时，z 为纯虚数C. ()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==D. 若实数a 与ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应【答案】ACD 【解析】【分析】对选项逐一判断，即得答案. A 中，当两个复数均为实数时，可以比较大小；B 中，根据复数的分类，可得正误；C 中，令12z z a -=，()230z z ai a -=≠，可得正误；D 中，令0a =，可得正误.【详解】A 中，当两个复数的虚部都为0时，此时可以比较大小，故A 不正确； B 中，(),z a bi a b R =+∈，当且仅当0a =且0b ≠时，z bi =为纯虚数，故B 正确； C 中，当12z z a -=，()230z z ai a -=≠时，()()2212230z z z z -+-=也成立，此时没有123z z z ==，故C 不正确；D 中，若0a =，则ai 不是纯虚数，故D 不正确. 故选：ACD.【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题. 10.给出下列命题正确的是（） A. 一个向量在另一个向量上的投影是向量 B. a b a b a +=+⇔与b 方向相同C. 两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同D. 若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上【答案】C 【解析】【分析】对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量；对B ，两边平方化简a b a b +=+；对C ，根据向量相等的定义判断；对D ，根据向量共线的定义判断.【详解】A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ⋅=⋅，得||||(1cos )0a b θ⋅-=，则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误；C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误.故选：C【点睛】本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题. 11.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos a A b B =，且2c =，3sin 5C =，则ABC 的面积为（） A. 3 B.23C.13D. 6【答案】AC 【解析】【分析】由余弦定理得2222222()()()c a b a b a b -=-+，分类讨论可得a b =，利用同角三角函数基本关系式可求cos C 的值，由余弦定理可解得a ，b ，根据三角形的面积公式即可得解．【详解】在ABC 中，cos cos a A b B =，∴由余弦定理得：22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⨯=⨯，整理得：2222222()()()c a b a b a b -=-+， 220a b ∴-=或222c a b =+，a b ∴=或C 为直角（舍去），2c =，3sin 5C =，a b =，4cos 5C ∴=±，∴由余弦定理可得222452a b c ab+-±=，∴解得a b ==a b ==∴当a b ==1sin 32ABC S ab C ∆==当a b ==11sin 23ABC S ab C ∆==．故选：AC【点睛】本题主要考查了余弦定理、三角形的面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.关于函数()24cos 4sin cos 6f x x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，下列说法正确的是（） A. 若12,x x 是函数()f x 的零点，则12x x -是2π的整数倍 B. 函数()f x 的图象关于点,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C. 函数()f x 的图象与函数216y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象相同D. 函数()f x 的图象可由2y x =的图象先向上平移1个单位长度，再向左平移3π个单位长度得到【答案】BC 【解析】【分析】首先由三角恒等变换化简函数解析式，作出图象，数形结合判断A 错误；由正弦函数的对称性可判断函数()f x 的对称性；利用三角函数诱导公式可判断C 选项；根据三角函数图象变换规则可判断D 选项.【详解】()224cos 4sin cos 22cos 2cos 2sin 6f x x x x x x x x π⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭13cos 23sin 223sin 213x x x =++=++ ⎪⎝⎭，画出函数的图象，如图所示：()f x 的图象与x 轴相邻的两个交点的距离不相等，且不为2π，故A 错；因为sin[2]063ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，所以函数323y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则函数()f x 的图象关于点,16π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 正确；函数()2321232136f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；函数()f x 的图象可由232y x =先向上平移1个单位，再向左平移6π个单位长度得到，故D 错误. 故选：BC【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦型函数的对称性、三角函数诱导公式及三角函数图象变换规则，属于中档题. 三、填空题13.复平面内表示复数1212iz i-=+的点位于第______象限. 【答案】三【解析】【分析】由题意结合复数的除法运算法则可得3455z i =--，由复数的几何意义即可得解. 【详解】因为()()()212123412121255i i z i i i i --===--++-，所以复数z 在复平面内对应的点为,55-- ⎪⎝⎭，位于第三象限. 故答案为：三.【点睛】本题考查了复数的运算、复数几何意义的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.14.正四棱柱的高为3cm ，则正四棱柱的侧面积为__________．【答案】24 【解析】分析：利用勾股定理求出正四棱柱的底面边长，正四棱柱的侧面积等于底面的周长乘以高. 详解：设底面边长为a ，则21792a =+，∴正四棱柱的底面边长2a =，则此正四棱柱的侧面积为42324⨯⨯=，故答案为24.点睛：本题考查正四棱柱的性质与侧面积的求法，勾股定理的应用，意在考查计算能力与空间想象能力，属于简单题. 15.若函数()3sin 236f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象与直线y m =恰有两个不同交点，则m 的取值范围是______. 【答案】9,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由题意结合三角函数的图象与性质画出函数()f x 的图象，数形结合即可得解.【详解】因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()3,62f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且922f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，作出函数的图像，如图：由题意结合函数图象可知9,62m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：9,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了数形结合思想的应用，关键是对条件合理转化，属于基础题.16.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝1，c ＝2且2cos A （b cos C +c cos B ）＝a ，则A ＝__________；若M 为边BC 的中点，则|AM |＝__________ 【答案】 (1). 3π (2). 72【解析】【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式、三角形内角和定理化简已知条件，求得cos A 的值，进而求得A 的大小.由M 是BC 的中点，得到2AM AB AC =+，两边平方后进行化简，由此求得AM 的长.详解】∵2cos A （b cos C +c cos B ）＝a ，∴由正弦定理可得2cos A （sin B cos C +sin C cos B ）＝sin A ， ∴2cos A sin （B +C ）＝2cos A sin A ＝sin A ，∵A ∈（0，π），sin A ≠0，∴cos A ＝12，可得A ＝3π.∵M 为边BC 的中点，b ＝1，c ＝2，∴则2AM ＝AB AC +，两边平方可得4|AM |2＝|AB |2+|AC |2+2AB •AC ＝1+4+2×1×2×12＝7，∴解得|AM |＝7．故答案为：732π，【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查利用向量计算边长，属于中档题. 四、解答题17.（1）已知1sin 3α=-，且α为第四象限角，求sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭与tan α值；（2）已知tan 2α=，求cos sin αα的值. 【答案】（1）22sin 23πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；2tan 4α=-；（2）25. 【解析】【分析】（1）由题意结合同角三角函数的平方关系可得2cos 3α=，由诱导公式即可得sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用同角三角函数的商数关系即可得tan α；（2）由题意结合同角三角函数的平方关系可得22sin cos sin cos sin cos αααααα=+，再由同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】（1）因为1sin 3α=-，且α为第四象限角，所以222cos 1sin 3αα=-=所以22sin cos 2παα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭sin 2tan cos ααα== （2）因tan 2α=，所以222sin cos tan 22sin cos sin cos tan 1415αααααααα====+++.【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题.18.已知向量()1,1a =，()3,4b =-. （1）求a b -的值；（2）求向量a 与a b -夹角的余弦值. 【答案】（1）5；（2）10【解析】【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求模长即可；（2）根据平面向量的坐标运算求夹角的余弦值．【详解】（1）向量a =（1，1），b =（﹣3，4），则a b -=（4，﹣3）， ∴|a b -|==5；（2）由（1）向量a 与a b -夹角的余弦值为 cos a ＜，()1025a a ba b a a b⋅--===⨯⨯-＞．【点睛】本题考查了向量的坐标运算与模长和夹角的计算问题，是基础题． 19.已知向量()sin ,cos 1a x x =-，()3,1b =-，设()f x a b =⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期和对称中心；（2）已知α为锐角，()0,βπ∈，1365f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()12sin 13αβ+=-，求()sin 2αβ+的值.【答案】（1）最小正周期2T π=，对称中心为,16k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k Z ∈；（2）5665-.【解析】【分析】（1）由题意结合平面向量数量积的坐标表示、三角恒等变换可得()2sin 16f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用2T πω=即可得函数最小正周期；令()6x k k Z ππ-=∈化简即可得函数的对称中心；（2）由题意转化条件得4sin 5α、3,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由同角三角函数的平方关系可得3cos 5α=、()5cos 13αβ+=-，再由两角和的正弦公式即可得解. 【详解】由题意得()3sin cos 12sin 16f x a b x x x π⎛⎫=⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭，（1）()f x 的最小正周期22T ππω==；令()6x k k Z ππ-=∈，则()6x k k Z ππ=+∈，又2sin 116f k k πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，∴()f x 对称中心为,16k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k Z ∈；（2）由题意1342sin 12sin 1sin 66655f πππαααα⎛⎫⎛⎫+=+-+=+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3cos 5α==， ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,βπ∈，∴30,2παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又()12sin 013αβ+=-<，∴3,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴()5co s 13αβ+==-， ∴()()()()sin 2sin sin cos cos sin αβαβααβααβα+=++=+++⎡⎤⎣⎦123545613513565⎛⎫=-⨯+-⨯=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了三角恒等变换的应用，关键是对于公式的熟练掌握，属于中档题.20.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒=（2）11sin 6222ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⋅⇒= 又2222cos a b ab C c +-=2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=ABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.21.已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求a b ⋅及a b +；（2）若()2f x a b a b λ=⋅-+的最小值为32-，求λ的值. 【答案】（1）cos2a b x ⋅=，2cos a b x +=；（2）12λ=. 【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算以及向量模的求法即可求解.（2）由（1）得()cos24cos f x x x λ=-，利用二倍角的余弦公式展开化为二次函数的形式，配方讨论λ的取值，从而求出()f x 的最值即可求解. 【详解】【解】（1）由已知可得33coscos sin sin cos 22222x xa b x x x ⋅=-⋅=， 2222a b a a b b +=+⋅+=+=，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴cos 0x ≥，∴2cos a b x +=（2）由（1）得()cos24cos f x x x λ=-22cos 4cos 1x x λ=--()222cos 12x λλ=---，∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，01x ≤≤. ①当0λ<时，当且仅当cos 0x =时，()f x 取得最小值1-，这与已知矛盾； ②当01λ≤≤，当且仅当cos x λ=时，()f x 取得最小值212λ--，由已知可得23122λ--=-，解得12λ=或12λ=-（舍去）；③当1λ>时，当且仅当cos 1x =时，()f x 取得最小值14λ-，由已知可得3142λ-=-，解得58λ=，与1λ>矛盾，综上所得，12λ=. 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算、向量模的求法、与三角函数复合而成的函数最值，属于中档题.22.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222 sin A sin C sin Asin C sin B +-= (1)求角B 的大小;(2)若ABC ，求ABC 的周长的取值范围. 【答案】(1)3π(2) (5+⎤⎦ 【解析】【分析】(1)利用正弦定理将角度的关系转化为边的关系,再利用余弦定理求得角度即可. (2)利用正弦定理求得b 的长度,再将a c +用正弦定理表示得到10sin 6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,进而用A 的范围利用正弦函数单调性求解范围即可.【详解】(1)由题意222 sin A sin C sin AsinC sin B +-=, 由正弦定理得222a c ac b +-=222a cb ac∴+-=,222122a cb ac +-∴=,即1cos 2B = 又()0,,3B B ππ∈∴=.(2)由(1)知3B π=,,232=⨯解得5b =, 由正弦定理得2sin sin a c A C ===,可得)a c sinA sinC +=+,又23A C π+=2sin sin 3a c A A π⎤⎛⎫∴+=+-= ⎪⎥⎝⎭⎣⎦3sin 10sin 26A A A π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ABC 为锐角三角形,02A π∴<<且02C <<π,又23C A π=-,得62A ππ<<sin 6A π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦(a c ∴+∈⎤⎦,故ABC 的周长的取值范围是(5+⎤⎦.【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理的运用以及三角函数求范围的问题,属于中等题型.。

2019-2020学年山东省日照市莒县、五莲县高一下学期期中考试模块检测数学试题(解析版)

山东省日照市莒县、五莲县2019-2020学年高一下学期期中考试模块检测数学试题一、单项选择题 1.若向量()3,2a =，()1,b m =-，且a b ⊥，则m =（）A. 23B. 23-C. 32D.32-『答案』C 『解析』向量()3,2a =，()1,b m =-，且a b ⊥，∴320a b m ⋅=-+=，解得32m =.故选：C.2.复数2019(12)z i i =--的共轭复数为（） A. 2i - B. 2i + C. 2i -- D. 2i -+『答案』C『解析』2019(12)(12)2z i i i i i =--=---=-+，2z i =--，故选：C.3.设两个单位向量,a b 的夹角为2π3，则34a b +=（）A. 1B.C. D. 7『答案』B『解析』两个单位向量,a b 的夹角为2π3，∴1a =，1b =，2π1cos 32⋅=⋅=-a b a b ，∴2221349162491624132a b a b a b ⎛⎫+=++⋅=++⨯-= ⎪⎝⎭，∴34a b +故选：B.4.已知向量(3,1),(1,3)a b ==，则()a b R λλ-∈的最小值为（）A. 1B. C. 2D.3『答案』A 『解析』向量()()3,1,1,3a b ==，()3?,1a b λλ-=-()(23?1a b a b λλλ-=-=-.当2λ=时，a b λ-有最小值1.故选A.5.若在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 形状一定是（） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形D. 等边三角形『答案』C『解析』∵在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，∴2cos B sin A ＝sin C ＝sin （A +B ）， ∴2cos B sin A ＝sin A cos B +cos A sin B ， ∴sin A cos B ﹣cos A sin B ＝0， ∴sin （A ﹣B ）＝0，ππ-<-<A B ，∴A ﹣B ＝0，即A ＝B ， ∴△ABC 为等腰三角形，故选：C ．6.下列命题正确的是（）A. 有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体是棱柱B. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱C. 若棱柱被一平面所截，则分成的两部分一定是棱柱D. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱『答案』B的『解析』在A 中，如图（1）所示的几何体中有两个面平行，其余各面都是四边形，该几何体不是棱柱；在B 中，由棱柱的定义可知正确；在C 中，分成的两部分不一定是棱柱；在D 中，如图（2）所示的几何体中有两个面平行，其余各面都是平行四边形，该几何体不是棱柱.故选：B7.已知函数()π2cos22f x x x⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数()f x 的图象( )A. 向左平移π6个单位长度B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π12个单位长度 D . 向右平移π12个单位长度『答案』C『解析』由题意可得，函数2cos 22s 2)6πin(-=-x x x ，设平移量为θ，得到函数()2sin(22π)6θ=+-g x x ，又g(x)为奇函数，所以2,ππ,6θ-=∈k k Z 即ππ,,122θ=+∈k k Z ，所以选C 8.已知M 是边长为1的正△ABC 的边AC 上的动点，N 为AB 的中点，则BM MN ⋅的取值范围是（）A. [34-，2364-] B. [34-，12-] C. [25-，15-]D. [35-，12-]『答案』A『解析』取AC 的中点O ，以O 为原点，直线AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：11,0,,24A B N ⎛⎛⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设11(,0),22M x x -≤≤，31,,,244BM x MN x ⎛⎫⎛⎫∴=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，221312348864BM MN x x x ⎛⎫∴⋅=---=-+- ⎪⎝⎭，且1122x -≤≤，12x ∴=时，BM MN ⋅取最小值31;48x -=-时，BM MN ⋅取最大值2364-， ∴BM MN ⋅的取值范围是323,464⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.故选：A. 二、多项选择题9.下列命题中，不正确的是（） A. 两个复数不能比较大小 B. 若(),z a bi a b R =+∈，则当且仅当0a =且0b ≠时，z 为纯虚数C. ()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==D. 若实数a 与ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应『答案』ACD『解析』A 中，当两个复数的虚部都为0时，此时可以比较大小，故A 不正确；B 中，(),=+∈z a bi a b R ，当且仅当0a =且0b ≠时，z bi =为纯虚数，故B 正确；C 中，当12z z a-=，()230z z ai a -=≠时，()()2212230z z z z -+-=也成立，此时没有123z z z ==，故C 不正确；D 中，若0a =，则ai 不是纯虚数，故D 不正确. 故选：ACD.10.给出下列命题正确的是（） A. 一个向量在另一个向量上的投影是向量 B.a b a b a+=+⇔与b 方向相同C. 两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同D. 若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上『答案』C『解析』A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；B 中，由a b a b+=+，得2||||2a b a b ⋅=⋅，得||||(1cos )0a b θ⋅-=，则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误；C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误. 故选：C11.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos a A b B =，且2c =，3sin 5C =，则ABC 的面积为（）A. 3B. 23C. 13D. 6『答案』AC 『解析』在ABC 中，cos cos a A b B =，∴由余弦定理得：22222222b c a a c b a b bc ac +-+-⨯=⨯，整理得：2222222()()()c a b a b a b -=-+，220a b ∴-=或222c a b =+，a b ∴=或C 为直角（舍去），2c =，3sin 5C =，a b =，4cos 5C ∴=±，∴由余弦定理可得222452a b c ab +-±=，∴解得a b ==a b ==，∴当a b =1sin 32ABC S ab C ∆==当a b ==时，11sin 23ABC S ab C ∆==．故选：AC12.关于函数()2π4cos 4sin cos 6⎛⎫=++⎪⎝⎭f x x x x ，下列说法正确的是（） A. 若12,x x 是函数()f x 的零点，则12x x -是π2的整数倍 B. 函数()f x 的图象关于点1π,6⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C. 函数()f x的图象与函数π216⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x 的图象相同 D. 函数()f x的图象可由2y x =的图象先向上平移1个单位长度，再向左平移π3个单位长度得到『答案』BC『解析』()22π4cos 4sin cos 22cos 2cos 2sin 6⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭f x x x x x x x xπ13cos22213⎛⎫=++=++⎪⎝⎭x x x，画出函数的图象，如图所示：()f x的图象与x轴相邻的两个交点的距离不相等，且不为π2，故A错；因为ππsin[2]063⎛⎫⨯-+=⎪⎝⎭，所以函数π23⎛⎫=+⎪⎝⎭y x的图象关于0π,6⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则函数()f x的图象关于点1π,6⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B正确；函数()ππ212136⎛⎫⎛⎫=++=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x x，故C正确；函数()f x的图象可由2y x=先向上平移1个单位，再向左平移6π个单位长度得到，故D错误.故选：BC三、填空题13.复平面内表示复数1212izi-=+的点位于第______象限.『答案』三『解析』【分析】因为()()()212123412121255iiz ii i i--===--++-，所以复数z在复平面内对应的点为34,55⎛⎫--⎪⎝⎭，位于第三象限.故『答案』为：三.14.正四棱柱的高为3cm，则正四棱柱的侧面积为__________．『答案』24『解析』设底面边长为a ，则21792a =+，∴正四棱柱的底面边长2a =，则此正四棱柱的侧面积为42324⨯⨯=，故『答案』为24. 15.若函数()π3sin 236⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭f x x ，π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 的图象与直线y m =恰有两个不同交点，则m 的取值范围是______.『答案』9,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 『解析』因为π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，所以52,πππ666⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦x ，所以π1sin 2,162⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x ，所以()3,62f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且922f π⎛⎫=⎪⎝⎭，作出函数的图像，如图：由题意结合函数图象可知9,62m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故『答案』为：9,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭.16.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝1，c ＝2且2cos A （b cos C +c cos B ）＝a ，则A ＝__________；若M 为边BC 的中点，则|AM |＝__________『答案』 (1). π3(2).『解析』∵2cos A （b cos C +c cos B ）＝a ，∴由正弦定理可得2cos A （sin B cos C +sin C cos B ）＝sin A ，∴2cos A sin （B +C ）＝2cos A sin A ＝sin A ，∵A ∈（0，π），sin A ≠0，∴cos A ＝12，可得A ＝π3.∵M 为边BC 的中点，b ＝1，c ＝2，∴则2AM ＝AB AC +，两边平方可得4|AM |2＝|AB |2+|AC |2+2AB •AC ＝1+4+2×1×2×12＝7，∴解得|AM |＝2．故『答案』为：3π四、解答题17.（1）已知1sin 3α=-，且α为第四象限角，求πsin 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭与tan α值；（2）已知tan 2α=，求cos sin αα的值.解：（1）因为1sin 3α=-，且α为第四象限角，所以cos 3α==，所以πsin cos 23αα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，sin tan cos 4ααα==-；（2）因tan 2α=，所以222sin cos tan 22sin cos sin cos tan 1415αααααααα====+++.18.已知向量()1,1a =，()3,4b =-.（1）求a b-的值；（2）求向量a 与a b -夹角的余弦值.解：（1）向量a =（1，1），b =（﹣3，4），则a b -=（4，﹣3），∴|a b -|()2243=+-=5；（2）由（1）向量a 与a b -夹角的余弦值为cos a ＜，()25a a ba b a a b⋅--===⨯⨯-＞．19.已知向量()sin ,cos 1a x x =-，()3,1b =-，设()f x a b =⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期和对称中心；（2）已知α为锐角，()0,πβ∈，135π6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭f ，()12sin 13αβ+=-，求()sin 2αβ+的值.解：由题意得()π3sin cos 12sin 16⎛⎫=⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭f x a b x x x ，（1）()f x 的最小正周期π22πω==T ；令()π6π-=∈x k k Z ，则()π6π=+∈x k k Z ，又ππ2sin π116⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭f k k ，∴()f x 对称中心为ππ,16⎛⎫+ ⎪⎝⎭k ，∈k Z ；（2）由题意πππ1342sin 12sin 1sin 66655αααα⎛⎫⎛⎫+=+-+=+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ， ∵2π0,α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3cos 5α==，∵2π0,α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,πβ∈，∴π30,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又()12sin 013αβ+=-<，∴π3,2παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴()5co s 13αβ+==-，∴()()()()sin 2sin sin cos cos sin αβαβααβααβα+=++=+++⎡⎤⎣⎦ 123545613513565⎛⎫=-⨯+-⨯=- ⎪⎝⎭. 20.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. 解：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒=（2）11sin 622ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⇒= 又2222cos a b ab C c +-=2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=ABC∆∴的周长为521.已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x . （1）求a b ⋅及a b +；（2）若()2f x a b a b λ=⋅-+的最小值为32-，求λ的值. 解：（1）由已知可得33cos cos sin sin cos 22222x x a b x x x ⋅=-⋅=，2222a b a a b b +=+⋅+=+=，∵π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，∴cos 0x ≥，∴2cos a b x +=（2）由（1）得()cos24cos f x x x λ=-22cos 4cos 1x x λ=--()222cos 12x λλ=---， ∵π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，01x ≤≤. ①当0λ<时，当且仅当cos 0x =时，()f x 取得最小值1-，这与已知矛盾；②当01λ≤≤，当且仅当cos x λ=时，()f x 取得最小值212λ--，由已知可得23122λ--=-，解得12λ=或12λ=-（舍去）；③当1λ>时，当且仅当cos 1x =时，()f x 取得最小值14λ-，由已知可得3142λ-=-，解得58λ=，与1λ>矛盾，综上所得，12λ=.22.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin sin +-=A C A C B(1)求角B 的大小;(2)若ABC锐角三角形，其外接圆的半径为3，求ABC 的周长的取值范围. 解：(1)由题意222sin A+sin C-sin AsinC=sin B ,由正弦定理得222a c ac b +-= 222a c b ac ∴+-=,222122a c b ac +-∴=,即1cos 2B = 又π(π)0,,3∈∴=B B . (2)由(1)知3π=B ,且外接圆的半径为,由正弦定理可得232=⨯解得5b =,由正弦定理得2sin sin a c A C ===,可得)a c sinA sinC +=+, 又2π3+=A C2sin sin 33π⎡⎤⎛⎫∴+=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a c AA 3sin 10sin 26π⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A ABC 为锐角三角形,π02∴<<A 且0π2<<C ,又3π2=-C A ,得π6π2<<Aπsin 6⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦A(a c ∴+∈⎤⎦,故ABC的周长的取值范围是(5+⎤⎦.。

2019-2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)

2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.设复数满足，则（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】化简得到，得到模长.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简，复数模，意在考查学生的计算能力.2.已知向量与向量共线，则实数的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】直接根据向量共线公式得到答案.【详解】向量与向量共线，则，故.故选：.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.3.下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是（）A. 某县从该县中、小学生中抽取200人调查他们的视力情况B. 从15种疫苗中抽取5种检测是否合格C. 某大学共有学生5600人，其中专科生有1300人、本科生3000人、研究生1300人，现抽取样本量为280的样本调查学生利用因特网查找学习资料的情况，D. 某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对岁的人群进行随机抽样调查【答案】B【解析】【分析】依次判断每个选项的合适的抽样方法得到答案.【详解】A. 中学，小学生有群体差异，宜采用分层抽样；B. 样本数量较少，宜采用简单随机抽样；C. 中专科生、本科生、研究生有群体差异，宜采用分层抽样；D. 年龄对于移动支付的了解有较大影响，宜采用分层抽样；故选：.【点睛】本题考查了抽样方法，意在考查学生对于抽样方法的掌握情况.4.在中，若，则是（）A. 正三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 有一内角为60°的直角三角形【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理得到，，故，得到答案.【详解】根据正弦定理：，故，，即，，故，故.故选：.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和应用能力.5.在中，角所对的边分别为．若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理得到，再利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据余弦定理：，故，根据正弦定理：，即，解得.故选：.【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.6.甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用表示，方差分别为表示，则（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】计算，，，得到答案.【详解】，，故.；，故.故选：B.【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和观察能力.7.某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】考虑都没有获得扶持资金的情况，再计算对立事件概率得到答案.【详解】根据题意：.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数是偶数”，事件为“向上的点数不超过3”，则概率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：五种情况，得到答案.【详解】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：五种情况，故.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.9.对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度（单位：）的数据如下：27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36，则他的最大速度的第一四分位数是（）A. 29B. 29.5C. 30D. 36【答案】B【解析】【分析】数据从小到大排列，，计算得到答案.【详解】数据从小到大排列为：，，故最大速度第一四分位数是.故选：.【点睛】本题考查了分位数，意在考查学生的计算能力和应用能力.10.已知是边长为2的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算得到，，计算得到答案.【详解】根据题意：，，故.故选：.【点睛】本题考查了向量的数量积，将向量作为基向量是解题的关键.二、填空题（本大题共9小题，共50分）11.某学院的三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为100的样本．已知该学院的专业有700名学生，专业有500名学生，则在该学院的专业应抽取_____________名学生．【答案】【解析】【分析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案.【详解】该学院的专业应抽取：.故答案为：.【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生计算能力和应用能力.12.已知i为虚数单位，复数为纯虚数，则a的值为__________.【答案】2【解析】【分析】首先把复数化简为代数形式，然后根据复数分类求解．【详解】，它为纯虚数，则且，解得．故答案为：2．【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的分类，掌握复数的除法运算是解题关键．13.已知向量，满足，，若，则＝_____________．【答案】5【解析】【分析】根据即可得到，再由即可求出，从而可得出的值．【详解】∵；∴，且；∴；∴．故答案为5．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，向量长度的概念．14.从装有2个红球和2个白球口袋内任取2个球，是互斥事件的序号为___________．（1）至少有1个白球；都是白球；（2）至少有1个白球；至少有1个红球；（3）恰有1个白球；恰有2个白球；（4）至少有1个白球；都是红球【答案】（3）（4）【解析】【分析】根据互斥事件的概念依次判断每个选项中是否为互斥事件得到答案.【详解】（1）至少有1个白球，都是白球，都是白球的情况两个都满足，故不是互斥事件；（2）至少有1个白球，至少有1个红球，一个白球一个红球都满足，故不是互斥事件；（3）恰有1个白球，恰有2个白球，是互斥事件；（4）至少有1个白球；都是红球，是互斥事件.故答案为：（3）（4）.【点睛】本题考查了互斥事件，意在考查学生对于互斥事件的理解和掌握.15.袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，第二次摸到红球的概率是____________．【答案】【解析】【分析】分为第一次是红球和第一次是黄球两种情况，计算得到答案.【详解】第一次是红球：；第一次是黄球：.故.故答案为：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.16.已知点，则向量在上的投影向量的模为___________．【答案】【解析】【分析】计算，，根据投影公式得到答案.【详解】根据题意：，，向量在上的投影向量的模为.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生的计算能力和转化能力.17.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图，如图，估计这次测试中数学成绩的平均分约为______________、众数约为____________、中位数约为__________．（结果不能整除的精确到0.1）【答案】 (1). (2). (3).【解析】【分析】根据平均值，众数，中位数的概念依次计算得到答案.详解】根据频率分布直方图：平均数为：；众数约为；前三个矩形概率和为，设中位数为，则，解得.故答案为：；；.【点睛】本题考查了平均值，众数，中位数的计算，意在考查新学生的计算能力和应用能力.18.甲船在岛处南偏西50°的处，且的距离为10海里，另有乙船正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时8海里的速度航行，若甲船要用2小时追上乙船，则速度大小为__________海里．【答案】【解析】【分析】计算，根据余弦定理得到，得到速度.【详解】根据题意知：，，根据余弦定理：，故，故速度为.故答案为：.【点睛】本题考查了余弦定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.中，角所对的边分别为．已知．则角的大小为___________，若，则的值为___________．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据正弦定理得到，计算，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】，故，，故，即，即，，故.，故.故答案为：；.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.设复数满足，则（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】化简得到，得到模长.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简，复数模，意在考查学生的计算能力.2.已知向量与向量共线，则实数的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】直接根据向量共线公式得到答案.【详解】向量与向量共线，则，故.故选：.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.3.下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是（）A. 某县从该县中、小学生中抽取200人调查他们的视力情况B. 从15种疫苗中抽取5种检测是否合格C. 某大学共有学生5600人，其中专科生有1300人、本科生3000人、研究生1300人，现抽取样本量为280的样本调查学生利用因特网查找学习资料的情况，D. 某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对岁的人群进行随机抽样调查【答案】B【解析】【分析】依次判断每个选项的合适的抽样方法得到答案.【详解】A. 中学，小学生有群体差异，宜采用分层抽样；B. 样本数量较少，宜采用简单随机抽样；C. 中专科生、本科生、研究生有群体差异，宜采用分层抽样；D. 年龄对于移动支付的了解有较大影响，宜采用分层抽样；故选：.【点睛】本题考查了抽样方法，意在考查学生对于抽样方法的掌握情况.4.在中，若，则是（）A. 正三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 有一内角为60°的直角三角形【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理得到，，故，得到答案.【详解】根据正弦定理：，故，，即，，故，故.故选：.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和应用能力.5.在中，角所对的边分别为．若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理得到，再利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据余弦定理：，故，根据正弦定理：，即，解得.故选：.【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.6.甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用表示，方差分别为表示，则（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】计算，，，得到答案.【详解】，，故.；，故.故选：B.【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和观察能力.7.某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为和，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】考虑都没有获得扶持资金的情况，再计算对立事件概率得到答案.【详解】根据题意：.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数是偶数”，事件为“向上的点数不超过3”，则概率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：五种情况，得到答案.【详解】满足向上的点数是偶数或向上的点数不超过3的点数有：五种情况，故.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.9.对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度（单位：）的数据如下：27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36，则他的最大速度的第一四分位数是（）A. 29B. 29.5C. 30D. 36【答案】B【解析】【分析】数据从小到大排列，，计算得到答案.【详解】数据从小到大排列为：，，故最大速度第一四分位数是.故选：.【点睛】本题考查了分位数，意在考查学生的计算能力和应用能力.10.已知是边长为2的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算得到，，计算得到答案.【详解】根据题意：，，故.故选：.【点睛】本题考查了向量的数量积，将向量作为基向量是解题的关键.二、填空题（本大题共9小题，共50分）11.某学院的三个专业共有1500名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为100的样本．已知该学院的专业有700名学生，专业有500名学生，则在该学院的专业应抽取_____________名学生．【答案】【解析】【分析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案.【详解】该学院的专业应抽取：.故答案为：.【点睛】本题考查了分层抽样，意在考查学生计算能力和应用能力.12.已知i为虚数单位，复数为纯虚数，则a的值为__________.【分析】首先把复数化简为代数形式，然后根据复数分类求解．【详解】，它为纯虚数，则且，解得．故答案为：2．【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的分类，掌握复数的除法运算是解题关键．13.已知向量，满足，，若，则＝_____________．【答案】5【解析】【分析】根据即可得到，再由即可求出，从而可得出的值．【详解】∵；∴，且；∴；∴．故答案为5．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，向量长度的概念．14.从装有2个红球和2个白球口袋内任取2个球，是互斥事件的序号为___________．（1）至少有1个白球；都是白球；（2）至少有1个白球；至少有1个红球；（3）恰有1个白球；恰有2个白球；（4）至少有1个白球；都是红球【答案】（3）（4）根据互斥事件的概念依次判断每个选项中是否为互斥事件得到答案.【详解】（1）至少有1个白球，都是白球，都是白球的情况两个都满足，故不是互斥事件；（2）至少有1个白球，至少有1个红球，一个白球一个红球都满足，故不是互斥事件；（3）恰有1个白球，恰有2个白球，是互斥事件；（4）至少有1个白球；都是红球，是互斥事件.故答案为：（3）（4）.【点睛】本题考查了互斥事件，意在考查学生对于互斥事件的理解和掌握.15.袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，第二次摸到红球的概率是____________．【答案】【解析】【分析】分为第一次是红球和第一次是黄球两种情况，计算得到答案.【详解】第一次是红球：；第一次是黄球：.故.故答案为：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.16.已知点，则向量在上的投影向量的模为___________．【答案】【解析】【分析】计算，，根据投影公式得到答案.【详解】根据题意：，，向量在上的投影向量的模为.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生的计算能力和转化能力.17.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图，如图，估计这次测试中数学成绩的平均分约为______________、众数约为____________、中位数约为__________．（结果不能整除的精确到0.1）【答案】 (1). (2). (3).【解析】【分析】根据平均值，众数，中位数的概念依次计算得到答案.详解】根据频率分布直方图：平均数为：；众数约为；前三个矩形概率和为，设中位数为，则，解得.故答案为：；；.【点睛】本题考查了平均值，众数，中位数的计算，意在考查新学生的计算能力和应用能力.18.甲船在岛处南偏西50°的处，且的距离为10海里，另有乙船正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时8海里的速度航行，若甲船要用2小时追上乙船，则速度大小为__________海里．【答案】【解析】【分析】计算，根据余弦定理得到，得到速度.【详解】根据题意知：，，根据余弦定理：，故，故速度为.故答案为：.【点睛】本题考查了余弦定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.中，角所对的边分别为．已知．则角的大小为___________，若，则的值为___________．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据正弦定理得到，计算，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】，故，，故，即，即，，故.，故.故答案为：；.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.。

2019~2020学年第二学期期中高一数学试卷及答案详解

2019-2020学年第二学期期中考试高一数学一选择题（每题5分，共30分）1. 在△ABC 中，a b c ，，分别为A B C ，，所对的边，若π22,,π63a A B ===，则b 等于( ) A ．2 B ．23 C ．3 D ．4 2. 求值：0000sin 24cos36cos24sin36+等于( )A ．12B ．3C ．12-D ．3-3. 已知tan 2α=，则()πtan 4α+的值为( )A ．3B ．13C ．3-D ．13-4. .已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的关系为( )A ．一定是异面直线；B ．一定是相交直线；C ．不可能是平行直线；D ．不可能是相交直线．5. △ABC 中，a b c ，，分别为A B C ，，所对的边，若2π,3B b ac ==，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形6. 已知α为锐角，()π3cos 65α+=，则()5cos 2π6α+的值为( )A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-二填空题（每题5分，共50分）7. 函数()sin cos f x x x =⋅的最小正周期是_______；8. △ABC 中，a b c ，，分别为A B C ，，所对的边，若π2,3,3a c B ===，则b =_______；9. 已知35π,2π,cos 213αα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则()πcos 4α+=_______；10. 如图，正方体1AC 中，异面直线1AA 与BC 所成角的大小是______；（第10题图）11. 在△ABC 中，已知8,18a b ==，△ABC 的面积为363，且C 为锐角，则C 等于_______； 12. 函数()cos 26cos 2f x x x =-+的最小值是_______；13. 如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两艘轮船之间的距离为____海里；（第13题图）（第14题图）14. 正方体1AC 中，直线1AC 与平面ABCD 所成角的正切值是________； 15. 求值：()00sin5013tan10+=________；16. ,,a b c 为三条不重合的直线，,,αβγ为三个不重合的平面，下列说法中：()1a c a b b c ⎫⇒⎬⎭∥∥∥ ，()2a a b b γγ⎫⇒⎬⎭∥∥∥ ， ()3c c ααββ⎫⇒⎬⎭∥∥∥()4αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥， ()5a c a c αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥ ， ()6a a αγγα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥ 其中正确的说法有________．（填序号）三解答题（共70分）17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，,E F 分别为棱,PA PC 的中点.求证：EF ∥平面ABCD .18. 已知()π,π2α∈，5sin α=.（1）求cos2α的值；（2）求sin 2α的值.ABC P Q19. 如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与PB，PC交于点E，F．（1）求证：BC⊥平面PCD；（2）求证：AD∥EF．20. 如图，某生态园将一块三角形地ABC的一角APQ开辟为水果园，已知角A为120o，,AB AC的长度均大于200米，现在边界,AP AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.（1）若围墙AP、AQ总长度为200米，当AP长度为多少时三角形地块APQ面积最大？并求出最大值.（不妨设AP长为x米）（2）已知竹篱笆长为米，AP段围墙高1米，AQ段围墙高2米，造价均为每平方米100元，求围墙总造价的取值范围.（不妨设APQα=∠）PACDEF（第19题）AA 1B 1 CD 1 B C 1D MO 121. 如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，M 是AB的中点，O 1是A 1C 1与B 1D 1的交点．（1）求证：O 1M ∥平面BB 1C 1C ；（2）若平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，求证：四边形BB 1D 1D 是矩形．22. 在△ABC 中，a b c ，，分别为A B C ，，所对的边，且1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=，（1）若11,sin 3cC ==，求△ABC的面积S ；（2）若D 是AC 的中点，且cos B BD =，求△ABC 的最短边的边长.高一数学答案一选择题（每题5分，共30分）1-6B B CC CD 7 π；8910 π2；11 π3；12 3-；13 14 ；15 1；16 ()1.17. 证明：连接AC ，在△PAC 中，E 为PA 中点，F 为PC 中点，则EF ∥AC ， …………5分又因为EF 不在平面ABCD 中，则EF ∥平面ABCD …………10分18. 解：（1）2cos212sin αα=- …………4分23155=-=； …………6分（2）因为()π,π2α∈，所以cos 0,α< …………8分所以cos α== …………10分所以4sin 22sin cos 5ααα==-. …………12分19. 证：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥． …………2分因为底面ABCD 是矩形，所以CD BC ⊥． …………4分因为CD PD D ⋂=I ，,CD PD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ． …………6分（2）底面ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，因为BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ． …………8分因为AD ⊂平面ADFE ，平面ADFE ⋂I 平面PBC EF =，所以AD ∥EF ． ………12分20.（1）设AP x = (米)，则200AQ x =-,所以()()011sin 200sin12020022APQ S AP AQ A x x x ∆=⋅⋅=--= (米2) ……3分当100x =时，即100AP AQ == (米)，max S =(米2) ……5分(2)由题意，100sin PQA ==∠ 由正弦定理100sin sin sin AQ PQ AP AQP APQ A===∠∠∠，得()0100sin 60,100sin AP AQ αα=-= …………7分故围墙总造价()1002y AP AQ =+即()()00100100sin 60200sin 10000sin 602sin y αααα⎡⎤⎡⎤=-+=-+⎣⎦⎣⎦化简得：()030y α=+ …………9分因为00060α<<，所以()01sin 3012α<+<…………11分元). …………12分21.（1）取11A B 的中点E ，连接1,ME O E ，因为底面ABCD 是菱形，所以平面1111A B C D 也为菱形，因为1O 为11A C 与11B D 的交点，所以1O 为11A C 的中点，又因为E 为11A B 的中点，由中位线定理得111O E B C ∥,因为1O E 不在平面BB 1C 1C 内，11B C ⊂平面BB 1C 1C ，所以1O E ∥平面BB 1C 1C ， …………3分同理得ME ∥平面BB 1C 1C ，又1O E ME E ⋂=，1O E ME ⊂，平面1O EM ，所以平面1O EM ∥平面BB 1C 1C ，因为1O M ⊂平面1O EM ，所以O 1M ∥平面BB 1C 1C ； …………6分（2）连接AC 与BD ，因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又因为平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，平面11AAC C ⋂平面ABCD AC =，所以BD ⊥平面11AA C C ， …………10分因为1AA ⊂平面11AA C C ，所以1111BD AA BB AA BD BB ⊥⊥，∥，，所以四边形11BB D D 是矩形. …………12分 22. 解：（1）由正弦定理，1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=可化为1sin sin cos sin sin cos sin 3A A C C A A C += …………2分()1sin sin cos sin cos sin 3A A C C A C +=()1sin sin sin 3A A C C +=在△ABC 中，因为πA B C ++=，所以πA C B +=-，所以()sin sin A C B +=，则上式可化为1sin sin sin 3A B C =，又因为1sin 3C =，所以2sin sin sin A B C =，…………4分由正弦定理有21ab c ==，所以△ABC 的面积1111sin 12236S ab C ==⨯⨯= …………6分（2）方法一：由（1）可得1sin sin sin 3A B C =，因为cos B 所以sin B =则1sin sin 3C =，由正弦定理可得c =因为D 是AC 的中点，所以()12BD BA BC =+uu u r uu r uu u r， …………8分两边平方化简可得：()221262cos 4a c ac B =++，将c =，cos B =代入化简可得：220a =，即a =6c = …………10分在△ABC 中，由余弦定理有，2222cos b a c ac B =++8=，所以b =<<，所以△ABC的最短边的边长为b=…………12分因为b a c方法二：本题也可以分别在△ABD和△CBD中利用余弦定理解决.。