第一讲不等式和绝对值不等式 (3)
2020学年高中数学第1讲不等式和绝对值不等式1不等式3.三个正数的算术几何平均不等式课件新人教A版选修4_5
14
[证明] (1)因为 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又 abc ＝1，
故有 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ＝ab＋abbcc＋ca ＝1a＋1b＋1c. 所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.
15
(2)因为 a，b，c 为正数且 abc＝1，故有 (a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33 a＋b3b＋c3a＋c3 ＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c) ≥3×(2 ab)×(2 bc)×(2 ac) ＝24， 所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
22
[解] 设圆柱形桶的底面半径为 r 米，高为 h 米，则底面积为 πr2 平方米，侧面积为 2πrh 平方米．
设用料成本为 y 元，则 y＝30πr2＋40πrh. ∵桶的容积为π2， ∴πr2h＝π2， ∴rh＝21r.
16
用平均不等式求解实际问题
【例 2】如图所示，在一张半径是 2 米的圆桌的正
中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子
边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不
亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和
电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正
比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 E＝
5
已知 a，b，c 为正数，则ab＋bc＋ac有( )
A．最小值为 3
B．最大值为 3
C．最小值为 2
D．最大值为 2
A [ab＋bc＋ac≥3 3 ab×bc×ac＝3， 当且仅当ab＝bc＝ac，即 a＝b＝c 时，取等号．]
6
教材整理 2 基本不等式的推广 阅读教材 P9～P9“例 5”以上部分，完成下列问题． 对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均 不小于 它们 的几何平均，即a1＋a2＋n …＋an ≥ n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝… ＝an 时，等号成立．
不等式的基本性质
4
3
2
= 2x (x -1)+(1- x)(1+ x) 3 =(x -1)(2x - x -1) 2 = (x 1)(x 1)(2x 2x 1) 1 1 = (x -1) 2(x + 2) + 2 > 0
2 2
3
∴A>B
1、不等式的基本性质： ①对称性： a b b a
考点突破 利用不等式性质判断命题真假 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的 条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意 捏造性质．解有关不等式的简单判断和选择题时，
也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵
循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简
单，便于验证计算．
对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题 是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 1 1 B．若 a＞b＞0，则a＞b b a C．若 a＜b＜0，则 ＞ a b 1 1 D．若 a＞b，a＞b，则 a＞0，b＜0
本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式
不 等 式 选 讲
第二讲 证明不等式的基本方法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式
第一讲
不等式和绝对值不等式
1.不等式的基本性质
知识回顾
A B a b b>a B b
a>b
A a
a>b a-b>0
解：
2
2
2 2 2
4 2 4
4
,
4
第一讲 不等式和绝对值不等式综合
1 已知： 求函数y=x y=x（ 3x） 1. 已知：0＜x＜ ，求函数y=x（1-3x）的最大值 3 配凑成和成 ， 分析一、 原函数式可化为： 分析一、 原函数式可化为：y=-3x2+x， 定值 利用二次函数求某一区间的最值
分析二、 分析二、 挖掘隐含条件
3x＞ ∵3x+1-3x=1为定值， ∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜1 则1-3x＞0； 为定值 3 1 3x＞ 可用均值不等式法 ∵0＜x＜ ，∴1-3x＞0 ∵0＜ 3 1 3x +1− 3x 2 1 1• ∴y=x（ 3x） 3x（ 3x） ∴y=x（1-3x）= 3x（1-3x）≤ ( )= 3 12
a,b, x, y ∈ R
+
x + y 的最小值 a b ay xb x 解： + y = ( x + y ) ⋅ 1 = ( x + y )( + ) = a + b + +
x y x y
a b ， + =1 且 x y
ay xb ≥ a+b+2 ⋅ = ( a + b)2 x y
ay xb = 当且仅当 x y
当且仅当a = b = c时,等号成立.
(2)a + b + c为定值时
a + b + c ≥ 3 abc
3
a+b+c 3 abc ≤ ( ) 3 当且仅当a = b = c时,等号成立.
关于“平均数”的概念： 关于“平均数”的概念： 1．如果 a1 , a2 ,L , an ∈ R , n > 1且n ∈ N
3
2
3x=1当且仅当 3x=1-3x 即x=1 时 y
人教课标版高中数学选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式二 绝对值不等式
② 解不等式│x│< 2 -2 0 ③ 解不等式│x│> 2 -2 0
含 绝 对 值 的 不 等 式 解 法
一、知识回顾
│x│＝a（a>0)
其几何意义：数轴上表示实数x的点到原点的距离等于a.
① 解方程
│x│＝a
-2 0
解集为{x│x=2, x=-2} 2 解集为{x│-2 < x < 2 } 2 解集为{x│x > 2或x<-2 } 2
(x+3)(x-1)>0
-3
1
－5<x<3
x<－3或x>1
-5
-3
1
3
－5< x< －3或1<x<3 ∴原不等式的解集是{x|－5< x< －3或1<x<3}
常规法解不等式的关键 1去绝对值 2交集与并集的取法
f(x) 分析二 A B C D y=6
解二 ∴ |x² +2x－9|=6 ∴x² +2x－9=6 或 ∴ x² +2x－15=0 (x+5)(x－3) =0
X－500≤5
-(X－500)≤5
由绝对值得意义，这个结果也可以表示成
│X－500│≤5
含 绝 对 值 的 不 等 式 解 法
一、知识回顾
│x│＝a（a>0)
其几何意义：数轴上表示实数x的点到原点的距离等于a.
① 解方程
│x│＝2 -2 0
解集为{x│x=2, x=-2} 2 解集为{x│-2 < x < 2 } 2 解集为{x│x > 2或x<-2 } 2
（2）不等式x² －5x + 4 < 0的解集是
3绝对值不等式
定理2 如果a, b, c是实数，那么
|a-c|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
证明：根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
例 : 若 x m , y m ,下列不等式中一定成立的是( B )
①分段讨论法：
|
ax
b
|
c(c
0)
ax ax
b b
0 c
或
ax b 0 (ax b)
c
|
ax
b
|
c(c
0)
ax ax
b b
0 c
或
ax b 0 (ax b)
c
②换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c 型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。
绝对值不等式的解法
探究 你能根据定理1的研究思路，探究一下 |a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如： |a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与 |a-b|等之间的关系。
|a|-|b|≤|a+b|,
|a|+|b|≥|a-b|,
|a|-|b|≤|a-b|.
如果a, b是实数，那么
A1 A -3 -2
B B1
12
x
解 法1： 设 数 轴 上 与 2，1对 应 的 点 分 别 是A，，B
那 么A，， 两 点 的 距 离 是3， 因 此 区 间 2，1上 的
选修4-5_三个正数的算术--几何平均不等式_课件(14张)
仍然类比基本不等式的推出过程，我们先证明：
如果a,b, c R+,那么a3 b3 c3 3abc，
当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时，等号成立．
证明 ∵ a3 b3 c3 3abc (a b)3 c3 3a3b 3ab2 3abc
(a b c) (a b)2 (a b)c c2 3ab(a b c) (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)
选修4－5
不等式选讲
第一讲 不等式与绝对值不等式
一 不等式
3.三个正数的算术-几何平均不等式
复习
1.重要不等式 a2 b2 2ab
2.基本不等式
a b ab 2
①代数意义：两个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
②几何意义：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高.
③一正,二定,三相等,四同时. ④积定和最小,和定积最大.
思考
基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平
均的关系.这个不等式能否推广呢？例如，对于3个 正数，会有怎样的不等式成立呢？
类比基本不等式的形式，我们猜想，对于3个正 数a,b,c,可能有：
若a, b, c
R , 那么 a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb 3
c
3
abc ,
当且仅当a b c时，等号成立。
如何证明这个猜想呢？
当且仅当a b c时，等号成立。
语言表述：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
变形： a b c 33 abc
abc ( a b c )3 3
推广 （n个正数的算术-几何平均不等式）
第一讲 不等式和绝对值不等式(3)
五: 绝对值不等式
绝对值的几何意义
|a|
0
o
a
A
x
表示数轴上坐标为a 表示数轴上坐标为a 的点A 的点A到原点的距离
A B 表示数轴上坐标为a 表示数轴上坐标为a、b 的两点A 的两点A、B之间的距离
a
|a-b|
b
x
定理1 绝对值三角不等式) 定理1 (绝对值三角不等式) ------如果 如果a 是实数, |a+b|≤ ------如果a、b是实数,则|a+b|≤|a|+|b| ------当且仅当ab≥0时 当且仅当ab≥0 ------当且仅当ab≥0时,等号成立
综合1 知定理成立. 综合10,20知定理成立.
定理1 绝对值三角不等式) 定理1 (绝对值三角不等式) ------如果 如果a 是实数, |a+b|≤ ------如果a、b是实数,则|a+b|≤|a|+|b| ------当且仅当ab≥0时 当且仅当ab≥0 ------当且仅当ab≥0时,等号成立
uuuur a+b r a r b
r a
uuuur a+b
r b
如果a 是向量, |a+b|≤ 定理 如果a、b是向量,则|a+b|≤|a|+|b| ------当且仅当 当且仅当a 同向时, ------当且仅当a、b 同向时,等号成立
定理2 如果a 是实数, 定理2 如果a、b、c是实数, -------那么|a-c|≤|a-b|+|b那么|a -------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c| -------当且仅当(a-b)(b当且仅当(a ≥0时 等号成立. -------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立. 定理3 如果a 是实数, 定理3 如果a、b是实数, -------那么||a|-|b||≤ 那么||a| -------那么||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| 当且仅当ab 当且仅当ab ≤0时, 等号成立. 等号成立. -
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术几何平均不等式课件
≥3
3
1 1 1 3 · · ×3 （a－b）（b－c）（c－d）＝9， a－b b－c c－d
1 1 1 9 即 ＋ ＋ ≥ ，当且仅当 a－b＝b－c＝c－d 时， a－b b－c c－d a－d 等号成立．
a＋b＋c 3 abc≤ ，当且仅当 3
3
a＝b＝c 时取等号．
3．用定理 3 求最值时的关注点 一“正”：项或因式为正． 二“定”：项(因式)的和或积为定值． 三“相等”：各项相等或各因式相等时等号成立．
1．正实数 x，y，z 满足 xyz＝2，则( A．x＋y＋z 的最大值是 3 2 B．x＋y＋z 的最大值是 3 2 C．x＋y＋z 的最小值是 3 2 D．x＋y＋z 的最小值是 3 2
证明不等式的方法 (1)首先观察所要证的式子的结构特点及题目所给条件， 看是否 满足“一正、二定、三相等”的条件．若满足即可利用平均不 等式证明． (2)若题目不满足该条件， 则可灵活利用已知条件构造出能利用 三个正数的平均不等式的式子．
1.已知 x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋ y)≥9xy.
1 1 2 仅当 x＝1－2x， 即 x＝ 时等号成立． 故 x (1－2x)的最大值为 . 3 27 1 答案： 27
4 4．当 x>0 时，(1)求 y＝x＋ 2的最小值． x 27 (2)求 y＝x＋ 3 的最小值． x
4 x x 4 解：(1)因为 x>0，所以 y＝x＋ 2＝ ＋ ＋ 2 x 2 2 x ≥3
的应用是一样的． (3)将不等式 a3＋b3＋c3≥3abc 中的 a，b，c 分别以 a， b， c a＋b＋c 3 代替就可得到 ≥ abc. 3
第一讲 不等式和绝对值不等式
∵A
B,∴a-1≥b+2或a+1≤b-2.
即a-b≥3或a-b≤-3,∴|a-b|≥3.选D. 答案:D
第11页 共 42 页
3.设ab>0,下面四个不等式中,正确的是(
)
①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|&4页 共 42 页
类型一形如
|x-ai|的最小值问题
第15页 共 42 页
解题准备:当x取何值时 题可以利用以下三种解法: (1)去掉绝对值号,转化为分段函数求最值; (2)利用|x-ai|+|x-ak|的几何意义;
有最小值问
(3)利用绝对值不等式|x-a|+|b-x|≥|a-b|,其中取等号的条件是 (x-a)与(b-x)不异号.
第19页 共 42 页
[反思感悟] 对于
(数列{ai}单
调)的最小值问题,有两种情况:若n=2k+1,k∈Z,则x=ak+1时 ,f(x)取最小值;若n=2k,k∈Z,则ak≤x≤ak+1时,f(x)取最小值.
第20页 共 42 页
类型二
含绝对值不等式的解法
解题准备:解含绝对值的不等式的基本方法是依据绝对值的 定义与性质,通过变换转化成不含绝对值的不等式.转化的
d2=|x+2|+|x-3|+|x-3|+|x+2|+|x-4|+|x-6|. ∵|y-1|+|y-6|≥5,当且仅当1≤y≤6时等号成立; |y-2|+|y-5|≥3,当且仅当2≤y≤5时等号成立, |y-3|+|y-4|≥1,当且仅当3≤y≤4时等号成立.
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式课件 新人教A选修45
关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么 a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来也对.
用数学式子表示为:
a b a b 0; a b a b 0;
a b a b 0.
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
• 同向不等式： • 在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的
左边都小于右边（不等号的方向相同）. • 异向不等式： • 在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于右边,而另一个
的左边小于右边（不等号的方向相反）. • 同解不等式 • 形式不同但解相同的不等式。 • 其它重要概念 • 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式
• = (x -1)2 (2x2 + 2x + 1)
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2]
• 技能：
• 分组组合；添项、拆项；配方法。
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2]
• x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0
• 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 > 2x3+x2
例1、试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小
• 解： (2x4+1) - (2x3+x2 ) = 2x4+1 - 2x3 _ x2
•
= (2x4 - 2x3 )- (x2 -1)
•
= 2x3 (x -1) - (x -1) (x +1)
• = (x－1) [2x3 - (x +1) ]
含多个绝对值的不等式的解法(人教A版选修4-5)
小结2：函数图像法解题步骤
1.构造函数 2.分段讨论去掉绝对值符号，写成分段函数 3.画出函数图像 4.观察图像，结合函数零点及不等号写出解集
小结3：利用绝对值的几何意义，先找边界值，再结合 数轴观察求解
变 式 训 练
三、自主练习
1．解不等式|x－1|＋|x－2|>5.
解析：方法一 分类讨论|x－1|＝0.|x－2|＝0的根1,2 把数轴分成三个区间．在这三个区间上，根据绝对值的定 义．代数式|x－1|＋|x－2|有不同的解析表达式，因而原不 等式的解集为以下三个不等式组解集的并集．
(1)因为在x≤1的限制条件之下：
|x－1|＋|x－2|＝1－x＋2－x＝3－2x，所以当x≤1时，
|x－1|＋|x－2|>5⇔3－2x>5⇔2x<－2⇔x<－1.
变 式 训 练
x≤1， 因此不等式组 的解集为(－∞，－1)． |x－1|＋|x－2|>5
(2)因为在 1<x<2 的限制条件之下： |x－1|＋|x－2|＝x－1＋2－x＝1. 所以当 1<x<2 时．不等式|x－1|＋|x－2|>5 无解． 1<x<2， 因此不等式组 的解集为∅. |x－1|＋|x－2|>5 (3)由于在 x≥2 的限制条件之下： |x－1|＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3， 所以当 x≥2 时，|x－1|＋|x－2|>5⇔2x－3>5⇔ a 0 a 0 a a 0
• 3.解绝对值不等式的关键是 • 4.去绝对值的常用方法有
二、新课教学
例1 解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
小结1：零点分段讨论法的解题步骤 1.求零点，即求使各绝对值等于零的值，并按顺序标 在数轴上，划分区间 2.分区间讨论，去掉绝对值符号并解不等式（组）， 得到每一区间上的解集 3.求每一区间所得解集的并集，即为原不等式的解集
第一讲不等式和绝对值不等式 (3)
一 不等式1 不等式的基本性质[学习目标]1.理解不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式等简单问题.[知识链接]1.怎样比较两个实数的大小？在比较时通常作怎样的数学变形？提示 比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的差a －b 的符号. 作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用.2.利用不等式的性质，如何证明下列不等式？(1)a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ＞b －d ；(2)a ＞b ＞0，d ＞c ＞0⇒a c ＞b d .提示 (1) ⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b c ＜d ⇒a －c ＞b －d 的推导过程是：c ＜d ⇒－c ＞－d ，对a ＞b 和－c ＞－d 应用不等式的同向不等式的可加性质得：a －c ＞b －d .(2)⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ＞0d ＞c ＞0⇒a c ＞b d 的推导过程是：d ＞c ＞0两边同乘1cd (cd ＞0)，则1c ＞1d ＞0，应用不等式可乘性质得a c ＞b d .1.两个实数大小的比较(1)a＞b⇔a－b＞0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a＜b⇔a－b＜0.2.不等式的基本性质(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b，即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)如果a＞b，那么a＋c＞b＋c.(4)如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.(5)如果a＞b＞0，那么a n＞b n(n∈N，n≥2).(6)如果a＞b＞0，那么na＞nb(n∈N，n≥2).3.作差比较法(1)理论依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.(2)方法步骤：①作差；②整理；③判断符号；④下结论.要点一不等式基本性质的简单应用例1若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是()A.1a＜1b B.a2＞b2C.ac2＋1＞bc2＋1D.a|c|＞b|c|解析本题只提供了“a，b，c∈R，a＞b”这个条件，而不等式的基本性质中，几乎都有类似的前提条件，但结论会根据不同的要求有所不同，因而这需要根据本题的四个选择项来进行判断.选项A，还需有ab＞0这个前提条件；选项B，当a，b都为负数或一正一负时都有可能不成立，如2＞－3，但22＞(－3)2不正确；选项C，1c2＋1＞0，因而正确；选项D；当c＝0时不正确.规律方法 考查不等式的基本性质的选择题，解答时， 一是利用不等式的相关性质，其中，特别要注意不等式变号的影响因素，如数乘、取倒数、开方、平方等；二是对所含字母取特殊值，结合排除法去选正确的选项，这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代表性，如选取0、正数、负数等.跟踪演练1 若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a d ＞b cB.a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b d解析 思路一 根据给出的字母的取值要求，取特殊值验证.思路二 根据不等式的性质直接推导.法一 令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，b d ＝－1，排除选项C ，D ；又a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d ＜b c ，所以选项A 错误，选项B 正确.故选B.法二 因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以1－d ＞1－c ＞0.又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b －c， 所以a d ＜b c .故选B.答案 B要点二 实数大小的比较例2 x ∈R ，比较(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋1与⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·(x 2＋x ＋1)的大小. 解 因为(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋1＝(x ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x ＋1－x 2＝(x ＋1)()x 2＋x ＋1－x 2(x ＋1)， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－12(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)()x 2＋x ＋1－12(x 2＋x ＋1). ∴作差，得(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x 2＋x ＋1) ＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x 2(x ＋1)－(x ＋1)(x 2＋x ＋1)＋12(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x )＝12＞0，∴(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋1＞⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x 2＋x ＋1). 规律方法 (1)在本题中直接作差不容易判断其符号或者运算较大时，可观察式子自身的特点，先作变形，再去作差，然后比较大小.(2)要注意提高观察能力、敏锐的观察，特点的发现，加之中肯的分析是妙解与巧解产生的重要因素.在平日的学习中要注意多发现、多观察、多总结，别到用时方恨少.(3)两个实数比较大小，通常用作差法来进行.其一般步骤是：①作差；②变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法；③定号，即确定差的符号；④下结论.跟踪演练2 若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .证明 ∵b 2a ＋a 2b －a －b＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝（a －b ）2（a ＋b ）ab ， ∵(a －b )2≥0恒成立，且已知a >0，b >0，∴a ＋b >0，ab >0.∴（a －b ）2（a ＋b ）ab≥0. ∴b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .要点三 利用不等式的性质求范围例3 已知60＜x ＜84，28＜y ＜33，则x －y 的取值范围为________，x y 的取值范围为________.解析 x －y ＝x ＋(－y )，所以需先求出－y 的范围；x y ＝x ×1y ，所以需先求出1y 的范围.∵28＜y ＜33，∴－33＜－y ＜－28，133＜1y ＜128.又60＜x ＜84，∴27＜x －y ＜56，6033＜x y ＜8428，即2011＜x y ＜3.答案 27＜x －y ＜56 2011＜x y ＜3规律方法 本题不能直接用x 的范围去减或除y 的范围，应严格利用不等式的基本性质去求得范围，其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系.如已知20＜x ＋y ＜30，15＜x －y ＜18，要求2x ＋3y 的范围，不能分别求出x ，y 的范围，再求2x ＋3y 的范围，应把已知的“x ＋y ”“x－y ”视为整体，即2x ＋3y ＝52(x ＋y )－12(x －y )，所以需分别求出52(x ＋y )、－12(x －y )的范围，两范围相加可得2x ＋3y 的范围.“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求.跟踪演练3 若已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2，3≤f (1)≤4.求f (－2)的范围.解 设f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，3≤a ＋b ≤4，又∵f (－2)＝3f (－1)＋f (1)，∴1×3＋3≤f(－2)≤2×3＋4，即6≤f(－2)≤10.要点四利用不等式的性质证明不等式例4若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0.求证：(1)ea－c＞eb－d；(2)e（a－c）2＞e（b－d）2.证明∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0(*)(1)由(*)式知1a－c＜1b－d.又∵e＜0，∴ea－c ＞eb－d.(2)由(*)式知(a－c)2＞(b－d)2＞0，∴1（b－d）2＞1（a－c）2，又∵e＜0，∴e（b－d）2＜e（a－c）2，即e（a－c）2＞e（b－d）2.规律方法利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中，一要严格符合性质条件；二要注意向特征不等式的形式化归.跟踪演练4已知c＞a＞b＞0，求证：ac－a ＞bc－b.证明∵a＞b，∴－a＜－b，又c＞a＞b＞0，∴0＜c－a＜c－b，∴1c－a＞1c－b＞0.又∵a＞b＞0，∴ac－a＞bc－b.1.不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然.2.作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论). 最后得结论.概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.3.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算是解答此类问题的保证，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要先转化为同向不等式后作和.1.设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n －1＋a2n<0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析设数列的首项为a1，则a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)<0，即q<－1，故q <0是q <－1的必要而不充分条件.故选C.答案 C2.若a ＜0，－1＜b ＜0，则有( )A.a ＞ab ＞ab 2B.ab 2＞ab ＞aC.ab ＞a ＞ab 2D.ab ＞ab 2＞a解析 ∵a ＜0，－1＜b ＜0，∴ab ＞0，ab 2＜0，故排除A ，B 选项；又∵0＜b 2＜1，∴ab 2＞a .故选D.答案 D3.设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x ＞y ，则实数a ，b 满足的条件是________. 解析 x －y ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2，因为x ＞y ，所以(ab －1)2＋(a ＋2)2＞0，则ab －1≠0或a ＋2≠0，即ab ≠1或a ≠－2.答案 ab ≠1或a ≠－24.已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，求2a ＋3b 的取值范围.解 设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.∴－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－12(a －b )＜－1.∴－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132.一、基础达标1.设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若(a －b )·a 2<0，则a ≠0，且a <b ，所以充分性成立；若a <b ，则a －b <0，当a ＝0时，(a －b )·a 2＝0，所以必要性不成立，故“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的充分而不必要条件.答案 A2.若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A.a c >b dB.a c <b dC.a d >b cD.a d <b c解析 由c <d <0⇒－1d >－1c >0，又a >b >0，故由不等式性质，得－a d >－b c >0，所以a d<b c ，选D.答案 D3.设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是( )A.－π＜α－β＜0B.－π＜α－β＜πC.－π2＜α－β＜0D.－π2＜α－β＜π2解析 ∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π2＜－β＜－α＜π2，∴－π＜α－β＜β－α＜π，且α－β＜0.∴－π＜α－β＜0.答案 A4.已知a，b，c均为实数，下面四个命题中正确命题的个数是()①a＜b＜0⇒a2＜b2；②ab＜c⇒a＜bc；③ac2＞bc2⇒a＞b；④a＜b＜0⇒ba＜1.A.0B.1C.2D.3 解析①不正确.∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，∴(－a)2＞(－b)2，即a2＞b2.②不正确.ab＜c，若b＜0，则a＞bc.③正确.∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴a＞b.④正确.∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0.∴1＞ba＞0.答案 C5.若－1＜a＜2，－2＜b＜1，则a－|b|的取值范围是________. 解析∵－2＜b＜1，∴0≤|b|＜2.∴－2＜－|b|≤0.而－1＜a＜2，∴－3＜a－|b|＜2.答案(－3，2)6.若a＞b＞0，m＞0，n＞0，则ab，ba，b＋ma＋m，a＋nb＋n按由小到大的顺序排列为________.解析由a＞b＞0，m＞0，n＞0，知ba＜b＋ma＋m＜1，且ba＜b＋na＋n＜1，所以ab＞a＋nb＋n＞1，即1＜a＋nb＋n＜ab.答案ba＜b＋ma＋m＜a＋nb＋n＜ab7.已知a，b，x，y都是正数，且1a＞1b，x＞y.求证：xx＋a＞yy＋b.证明因为a，b，x，y都是正数且1a＞1b，x＞y，所以xa＞yb，故ax＜by，则ax＋1＜by＋1，即a＋xx＜b＋yy.∴xx＋a＞yb＋y.二、能力提升8.已知m，n∈R，则1m＞1n成立的一个充要条件是()A.m＞0＞nB.n＞m＞0C.m＜n＜0D.mn(m－n)＜0解析1m＞1n⇔1m－1n＞0⇔n－mmn＞0⇔mn(n－m)＞0⇔mn(m－n)＜0.答案 D9.已知函数f(x)＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A.一定大于0B.一定小于0C.等于0D.正负都有可能解析x1＋x2＜0⇒x1＜－x2，又∵f(x)＝x＋x3为奇函数且在R上递增，∴f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)＜0.同理：f(x2)＋f(x3)＜0，f(x1)＋f(x3)＜0.以上三式相加，整理得f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＜0.答案 B10.已知0＜a ＜1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M ，N 的大小关系是________.解析 法一 M －N ＝11＋a＋11＋b－a 1＋a－b 1＋b＝1－a 1＋a＋1－b 1＋b＝2（1－ab ）（1＋a ）（1＋b ），由已知可得a ＞0，b ＞0且ab ＜1， ∴1－ab ＞0，∴M －N ＞0，即M ＞N . 法二 M N ＝2＋a ＋ba ＋b ＋2ab，∵0＜a ＜1b ，∴0＜ab ＜1，∴0＜2ab ＜2， ∴0＜a ＋b ＋2ab ＜a ＋b ＋2. ∴2＋a ＋b a ＋b ＋2ab＞1.又∵M ＞0，N ＞0，∴M ＞N . 答案 M ＞N11.已知a ＞b ＞0，比较a 3－b 3a 3＋b 3与a －ba ＋b 的大小.解 a 3－b 3a 3＋b 3－a －b a ＋b＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2＋ab ＋b 2a 3＋b 3－a 2－ab ＋b 2a 3＋b 3＝2ab （a －b ）a 3＋b 3. ∵a ＞b ＞0，∴a －b ＞0，∴2ab （a －b ）a 3＋b3＞0，∴a 3－b 3a 3＋b 3－a －b a ＋b ＞0，即a 3－b 3a 3＋b 3＞a －b a ＋b. 12.设24＜a ≤25，5＜b ≤12，求a ＋b ，a －b ，ab ，ab 的取值范围. 解 由24＜a ≤25，5＜b ≤12，得29＜a ＋b ≤37， 120＜ab ≤300.由24＜a ≤25，－12≤－b ＜－5，得12＜a －b ＜20. 由24＜a ≤25，112≤1b ＜15，得2＜ab ＜5. 三、探究与创新13.比较⎝ ⎛⎭⎪⎫n 6＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫n 6－13与2的大小(n ≠0).解 设a ＝n 6，则⎝ ⎛⎭⎪⎫n 6＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫n 6－13＝(a ＋1)3－(a －1)3＝(a 3＋3a 2＋3a ＋1)－(a 3－3a 2＋3a －1) ＝6a 2＋2＝n 2＋2.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫n 6＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫n 6－13－2＝n 2. 又n ≠0，∴n 2＞0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫n 6＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫n 6－13－2＞0(n ≠0). 即⎝ ⎛⎭⎪⎫n 6＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫n 6－13＞2(n ≠0). 2 基本不等式[学习目标]1.理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用平均值不等式(两个正数的)解决某些实际问题. [知识链接]1.利用基本不等式a ＋b2≥ab ，求最值的条件是什么？提示 “一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值. 2.如何证明下列不等式？ (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)a ＋b2≥ab (a ＞0，b ＞0).提示 (1)∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab .(2)∵a ＋b 2－ab ＝a ＋b －2ab 2＝（a －b ）22≥0(a ＞0，b ＞0)，∴a ＋b 2≥ab .[预习导引]1.定理1(重要不等式)如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 2.定理2(基本不等式)如果a ，b 是正数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立.我们常把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均，所以基本不等式又可叙述为：两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.3.关于用不等式求函数最大值、最小值(1)若x ＞0，y ＞0，且xy ＝p (定值)，则当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p . (2)若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝s (定值)，则当x ＝y 时，xy 有最大值s 24.要点一 利用基本不等式证明不等式例1 设a ，b ，c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c ).证明∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2.又a，b，c∈R＋，∴a2＋b2≥22|a＋b|＝22(a＋b).同理：b2＋c2≥22(b＋c)，c2＋a2≥22(a＋c).三式相加，得a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c).当且仅当a＝b＝c时取等号.规律方法用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形进行证明.跟踪演练1若a、b、c是不全相等的正数，求证：lg a＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lg a＋lg b＋lg c.证明∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b2≥ab＞0，b＋c2≥bc＞0，c＋a2≥ac＞0.且上述三个不等式中等号不能同时成立.∴a＋b2·b＋c2·c＋a2＞abc.lg a＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lg a＋lg b＋lg c.要点二利用基本不等式求函数最值例2已知x＜54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值.解∵x＜54，∴5－4x＞0.∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时上式等号成立. ∴当x ＝1时，y 的最大值为1.规律方法 在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数的单调性或导数解决.跟踪演练2 (1)若x >0，求f (x )＝12x ＋3x 的最小值； (2)若x <0，求f (x )＝12x ＋3x 的最大值. 解 (1)x ＞0，由基本不等式， 得f (x )＝12x＋3x ≥212x·3x ＝236＝12. 当且仅当3x ＝12x ，即x ＝2时，f (x )取最小值12. (2)∵x ＜0，∴－x ＞0， 则f (x )＝12x ＋3x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －3x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋（－3x ）≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ·（－3x ）＝－12，当且仅当12－x＝－3x ， 即x ＝－2时，f (x )取最大值－12. 要点三 基本不等式的实际应用例3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年某运动会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x (万件)与年促销费t (万元)之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2015年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完.(1)将2015年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数； (2)该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ 解 (1)由题意可设3－x ＝k t ＋1(k ≠0)，将t ＝0，x ＝1代入， 得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1.当年生产x 万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x ＋3＝32⎝⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3.当销售x (万件)时，年销售收入为150%⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352（t ＋1）(t ≥0).(2)y ＝－t 2＋98t ＋352（t ＋1）＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t ＋12＋32t ＋1≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42，当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，y max ＝42， ∴当促销费定在7万元时，年利润最大.规律方法 解答不等式的实际应用问题，一般可分为如下四步：(1)阅读理解材料：应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且多数应用题篇幅较长.阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成借用数学模型解决问题的思路，明确解题方向.(2)建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的方向.(3)讨论不等关系：根据题目要求和(2)中建立起来的数学模型，讨论与结论有关的不等关系，得出有关理论参数的值.(4)作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求得出问题的结论.跟踪演练3 如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝3 m ，AD ＝2 m.(1)要使矩形AMPN 的面积大于32 m 2，则AN 的长应在什么范围内？ (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求最小面积；(3)若AN 的长度不小于6 m ，则当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积.解 (1)设AN ＝x m(x ＞2)，则ND ＝(x －2)m.∵ND ＝AN AM ，∴x －23＝x AM ，∴AM ＝3xx －2，∴3x x －2·x ＞32，∴3x 2－32x ＋64＞0，∴(3x －8)(x －8)＞0，∴2＜x ＜83或x ＞8. ∴AN 的长的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83∪(8，＋∞).(2)由(1)知，S 矩形AMPN ＝3x 2x －2＝3（x －2）2＋12（x －2）＋12x －2＝3(x －2)＋12x －2＋12≥236＋12＝24.当且仅当x ＝4时取等号.∴当AN 的长度为4 m 时，矩形AMPN 的面积最小，矩形AMPN 的最小面积为24 m 2. (3)由(2)得，S 矩形AMPN ＝3(x －2)＋12x －2＋12(x ≥6)，令x －2＝t (t ≥4)，则S 矩形AMPN ＝3t ＋12t ＋12(t ≥4). 设f (t )＝3t ＋12t ＋12(t ≥4)，则f ′(t )＝3－12t 2，当t ≥4时，f ′(t )＞0， ∴函数f (t )在[4，＋∞)上单调递增， ∴f (t )min ＝f (4)＝27，此时x ＝6.∴若AN 的长度不小于6 m ，则当AN 的长度是6 m 时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为27 m 2.1.由基本不等式变形得到的常见的结论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22；(2)ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ＋)；(3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (4)(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4(a ，b ∈R ＋)；(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .2.利用基本不等式求最值，关键是对式子恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不等式.注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据.1.若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b ＝1，所以1＝1a ＋1b ≥21a ·1b ＝2ab(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以ab ≥2.又a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以a ＋b ≥4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，故选C. 答案 C 2.函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( ) A.32－3 B.－3 C.6 2 D.62－3解析 y ＝3x 2＋6x 2＋1＝3x 2＋3＋6x 2＋1－3.∵3x 2＋3＞0，6x 2＋1＞0，∴y ≥2（3x 2＋3）·6x 2＋1－3＝62－3，当且仅当3x 2＋3＝6x 2＋1时，y 取得最小值62－3.答案 D3.设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为______. 解析 将a ＋1＋b ＋3进行平方，为使用基本不等式创造条件，从而求得最值.令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝a ＋1＋b ＋3＋2（a ＋1）（b ＋3）＝9＋2（a ＋1）（b ＋3）≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b＝13＋5＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号，此时a ＝72，b ＝32.∴t max ＝18＝3 2. 答案 3 24.已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值. 解 ∵x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝y x ＋9xy ＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy 时，上式等号成立. 又1x ＋9y ＝1，∴当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.一、基础达标1.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B.2 C.2 2D.4解析 由条件1a ＋2b ＝ab 知a ，b 均为正数.因而可利用基本不等式求解. 由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2. 答案 C2.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A.a <v <abB.v ＝abC.ab <v <a ＋b 2D.v ＝a ＋b 2解析 设甲、乙两地的距离为S ，则从甲地到乙地所需时间为Sa ，从乙地到甲地所需时间为Sb ，又a <b ，所以全程的平均速度为v ＝2S S a ＋S b ＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab ，2ab a ＋b>2ab2b＝a ，即a <v <ab ，则选A. 答案 A3.已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋ax y ＋y x ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当y x ＝a 时，等号成立.∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，∴需(a ＋1)2≥9.∴a ≥4，故选B.答案 B4.设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( ) A.8B.4C.1D.14解析 ∵3是3a 与3b 的等比中项， ∴(3)2＝3a ·3b ， 即3＝3a ＋b ，∴a ＋b ＝1.此时1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，1a ＋1b 取得最小值4.答案 B5.已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________. 解析 由a ＋b ＋c ＝0得，a ＝－b －c ，则a 2＝(－b －c )2＝b 2＋c 2＋2bc ≤b 2＋c 2＋b 2＋c 2＝2(b 2＋c 2)，又a 2＋b 2＋c 2＝1，所以3a 2≤2，解得－63≤a ≤63，故a 的最大值为63.答案 636.若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________.解析 ∵a ≥x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3， 而x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时等号成立. ∴1x ＋1x＋3的最大值为15，∴a ≥15. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞7.某种汽车购车时费用为10万元，每年的保险、加油费用共9千元，汽车的年维修费用逐年以等差数列递增，第一年为2千元，第2年为4千元，第三年为6千元……问这种汽车使用几年后报废最合算(即汽车的年平均费用为最低)?解 设这种汽车使用n 年后报废最合算，这n 年中汽车每年的平均费用为y 万元. 则y ＝10＋0.9n ＋0.2n ＋n （n －1）2·0.2n ＝10n ＋n10＋1≥3.当且仅当10n ＝n10，即n ＝10时，取“＝”. 答：这种汽车使用10年后报废最合算. 二、能力提升8.若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A.6＋2 3 B.7＋2 3 C.6＋4 3D.7＋4 3解析 先判断a ，b 的符号，再将已知的式子转化为关于a ，b 的方程，最后根据基本不等式求解.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＞0，ab ≥0，3a ＋4b ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＞0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ， 所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋3a b ＋4b a ≥7＋23a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba 时取等号.故选D. 答案 D9.某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A.5 km 处 B.4 km 处 C.3 km 处D.2 km 处解析 设仓库建在离车站x 由已知得，y 1＝20x ，y 2＝0.8x ，费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x ≥20.8x ·20x ＝8，当且仅当0.8x ＝20x ，即x ＝5时等号成立，故选A.答案 A10.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元).解析 利用均值(基本)不等式解决问题.设该长方体容器的长为x m ，则宽为4x m.又设该容器的造价为y 元，则y ＝20×4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ×10，即y ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x (x ＞0).因为x ＋4x ≥2x ·4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取“＝”，所以y min ＝80＋20×4＝160(元). 答案 16011.若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由.解 (1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab ，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立.故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立. 所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.12.已知a ，b ，x ，y ＞0，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b . 解 x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y＝a ＋b ＋bx y ＋ayx ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当bx y ＝ayx 时取等号. 故(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18， 即a ＋b ＋2ab ＝18，① 又a ＋b ＝10，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝2.三、探究与创新13.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底面宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a m ，高度为b m ，已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60 m 2，问当a ，b 各为多少时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A ，B 孔的面积忽略不计) 解 法一 设流出的水中杂质的质量分数为y ，由题意y ＝kab ，其中k 为比例系数(k ＞0).又据题设有2×2b ＋2ab ＋2a ＝60(a ＞0，b ＞0). ∴b ＝30－a 2＋a(由a ＞0，b ＞0可得a ＜30).∴y ＝k ab ＝k 30a －a22＋a. 令t ＝a ＋2(t ＞0)，则a ＝t －2.从而30a －a 22＋a ＝30（t －2）－（t －2）2t＝34t －t 2－64t ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋64t . ∴y ＝k ab ≥k 34－2t ·64t＝k18.当且仅当t ＝64t ，即a ＋2＝64a ＋2时取等号，∴a ＝6.由a ＝6可得b ＝3.综上所述：当a ＝6，b ＝3时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小.法二 设流出的水中杂质的质量分数为y ，依题意y ＝kab ，其中k 为比例系数，k ＞0，要求y 的最小值，必须求出ab 的最大值.依题设2×2b ＋2ab ＋2a ＝60， 即ab ＋a ＋2b ＝30(a ＞0，b ＞0).∵a ＋2b ≥22ab (当且仅当a ＝2b 时取等号)， ∴ab ＋22ab ≤30，可解得0＜ab ≤18. 由a ＝2b 及ab ＋a ＋2b ＝30可得a ＝6，b ＝3， 即a ＝6，b ＝3时，ab 取最大值，从而y 值最小，即a ＝6，b ＝3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.3 三个正数的算术——几何平均不等式[学习目标]1.理解定理3、定理4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用三个正数的算术——几何平均不等式解决简单的实际问题. [知识链接]1.应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意什么？提示 三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值.当且仅当三个正数相等时取得.2.设a ，b ，c 为正数，如何证明a 3＋b 3＋c 3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立). 提示 a 3＋b 3＋c 3≥3abc ⇔a 3＋b 3＋c 3－3abc ≥0 ⇔(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac )≥0 ⇔12(a ＋b ＋c )[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0. 由于a ＋b ＋c ＞0且(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0， 因而12(a ＋b ＋c )[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0成立. 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立. [预习导引]1.三个正数算术——几何平均不等式当a 、b 、c ∈R ＋时，a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，称a ＋b ＋c3为正数a ，b ，c 的算术平均，3abc 为正数a ，b ，c 的几何平均. 2.基本不等式的推广情形如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立.要点一 利用三个正数的算术——几何平均不等式求最值 例1 已知x ∈R ＋，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值. 解 ∵y ＝x (1－x 2)，∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)·12. ∵2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)＝2，∴y 2≤12⎝⎛⎭⎪⎫2x 2＋1－x 2＋1－x 233＝427. 当且仅当2x 2＝1－x 2，即x ＝33时取“＝”号. ∴y ≤239，∴y 的最大值为239.规律方法 (1)运用三正数平均值不等式求最值，一定要满足：“一正、二定、三相等”的条件，缺一不可.(2)拼凑数学结构，以便能利用均值不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑要合理 ，且要符合适用的条件，对于本题，有的学生可能这样去拼凑： y ＝x (1－x 2)＝x (1－x )(1＋x )＝12·x (2－2x )(1＋x )≤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2－2x ＋1＋x 33＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号和条件，显然x ＝2－2x ＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不对的，这就要求平时多积累一引起拼凑方法的题型及数学结构. 跟踪演练1 已知x ∈R ＋，求函数y ＝x 2·(1－x )的最大值. 解 ∵y ＝x 2(1－x )，∴y ＝4·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ·12x ·（1－x ）， ∵12x ＋12x ＋1－x ＝1，∴y ≤4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋12x ＋1－x 33＝427， 即y 的最大值为427.要点二 用三个正数的算术——几何平均不等式证明不等式 例2 设a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 ∵a ，b ，c ∈R ＋时，a ＋b ＋c ≥33abc ，1a ＋1b ＋1c ≥331abc .∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥9， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.规律方法 三个正数的算术——几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便.若不直接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明. 连续多次使用算术——几何平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致.跟踪演练2 证明(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1 a ＋c ≥92(a ，b ，c ∈R ＋).证明 ∵(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥ 33（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）， 1a ＋b＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c ， ∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92. 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.要点三 应用三个正数的算术——几何平均不等式解决实际问题例3 如图，在一张半径是2 m 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的.由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr 2，这里k 是一个和灯光强度有关的常数.那么空间应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？解∵r＝2cos θ，∴E＝k·sin θcos2θ4⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，∴E2＝k216·sin 2θ·cos4θ＝k232·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤k232·⎝⎛⎭⎪⎫2sin2θ＋cos2θ＋cos2θ33＝k2108，当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，即tan2θ＝12，tan θ＝22，∴当h＝2tan θ＝2，即h＝2时，E最大.∴当灯的高度h为 2 m时，才能使桌子边缘处最亮.规律方法利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤①理解题意，设变量.设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；④验证相等条件，得出结论.跟踪演练3设圆锥的母线长为1，试问圆锥的底面半径为多少时，圆锥的体积最大？解设母线与底面所成的角为θ，则底面半径为cos θ，高为sin θ.∴圆锥的体积V＝π3cos2θsin θ.设μ＝cos2θsin θ，则μ2＝cos4θsin2θ＝12[cos2θcos2θ·(2sin 2θ)]≤12⎝⎛⎭⎪⎫cos2θ＋cos2θ＋2sin2θ33＝427，∴μ≤293(当且仅当cos2θ＝2sin2θ时，等号成立).∴V≤2327π，即V的最大值为2327π，此时cos2θ＝2sin2θ，cos θ＝6 3，即底面半径为6 3.(1)求实际问题的最值一定要注意变量应在实际允许的范围内取值，在使用三个正数的基本不等式定理求最值时，一定要注意检验等号是否成立.(2)求形如y＝ax2＋bx(x＞0，a＞0，b＞0)的函数的最小值，关键是拆bx为bx＝b2x＋b2x，则y＝ax2＋bx＝ax2＋b2x＋b2x≥33ax2·b2x·b2x＝3232ab2.求形如y＝ax＋cbx2(x＞0，a＞0，bc＞0)的函数的最小值，关键是拆ax为ax2＋ax2，则y＝ax＋cbx2＝ax2＋ax2＋cbx2≥33ax2·ax2·cbx2＝3232a2cb.1.已知a，b，c均为正数，且abc＝27，则a＋b＋c的最小值为()A.3B.6C.9D.27解析∵a，b，c均为正数，∴a＋b＋c≥33abc＝3327＝9(当且仅当a＝b＝c＝3时，等号成立)，∴a＋b＋c的最小值为9.故选C. 答案 C2.函数f(x)＝1x2＋2x(x＞0)的最小值为()A.3B.4C.5D.6解析∵x＞0，∴f(x)＝1x2＋x＋x≥331x2·x·x＝3，当且仅当1x2＝x＝x，即x＝1时取等号.故选A.答案 A3.若正数x ，y 满足xy 2＝4，则x ＋2y 的最小值为________. 解析 ∵xy 2＝4，x ＞0，y ＞0，∴x ＝4y 2， ∴x ＋2y ＝4y 2＋2y ＝4y 2＋y ＋y ≥334y 2×y ×y ＝334.当且仅当4y 2＝y ，即x ＝y ＝34时等号成立，此时x ＋2y 的最小值为334. 答案 3344.求证：在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大.证明 设长方体的三条相交于同一顶点的棱长分别为x ，y ，z ，则长方体的体积为V ＝xyz ，表面积为A ＝2xy ＋2yz ＋2xz ，则A ＝2xy ＋2yz ＋2xz ≥63（xyz ）2.而这里A 为定值，即A ≥63V 2，从而有V ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫A 63，当且仅当xy ＝yz ＝xz ，即x ＝y ＝z 时，等号成立.所以当长方体为正方体时，体积取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫A 63.所以在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大.一、基础达标1.设x ，y ，z ＞0且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A.(－∞，lg 6] B.(－∞，3lg 2] C.[lg 6，＋∞)D.[3lg 2，＋∞)解析 lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )，而xyz ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y ＋z 33＝23，∴lg x ＋lg y ＋lg z ≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，取等号. 答案 B2.若实数x ，y 满足xy ＞0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( ) A.1B.2C.3D.4解析 xy ＋x 2＝12xy ＋12xy ＋x 2≥3312xy ·12xy ·x 2＝3314（x 2y ）2＝3344＝3.当且仅当12xy ＝x 2，即x ＝1，y ＝2时取等号. 答案 C3.若a ＞b ＞0，则a ＋1b （a －b ）的最小值为( )A.0B.1C.2D.3解析 ∵a ＋1b （a －b ）＝(a －b )＋b ＋1b （a －b ）≥33（a －b ）·b ·1b （a －b ）＝3，当且仅当a ＝2，b ＝1时取等号，∴a ＋1b （a －b ）的最小值为3. 答案 D4.已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x ＋4y ＋8z 的最小值为( ) A.336 B.2 2 C.12D.1235解析 ∵2x ＞0，4y ＞0，8z ＞0，∴2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z ≥332x ·22y ·23z ＝ 332x ＋2y ＋3z ＝3×4＝12.当且仅当2x ＝22y ＝23z ，即x ＝2，y ＝1，z ＝23时取等号.答案 C5.函数y ＝4sin 2x cos x 的最大值为________，最小值为________. 解析 ∵y 2＝16sin 2x ·sin 2x ·cos 2x ＝8(sin 2x ·sin 2x ·2cos 2x )≤8⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x ＋sin 2x ＋2cos 2x 33＝8×827＝6427， ∴y 2≤6427，当且仅当sin 2x ＝2cos 2x ， 即tan x ＝±2时取等号. ∴y max ＝89 3，y min ＝－89 3. 答案 89 3 －89 36.已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，对于下列不等式：①abc ≤127；②1abc ≥27；③a 2＋b 2＋c 2≥13；④ab ＋bc ＋ca ≤13. 其中正确不等式的序号是________.解析 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴1＝a ＋b ＋c ≥33abc ， 0＜abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127，1abc ≥27.从而①正确，②也正确，又1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤a 2＋b 2＋c 2＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)＝3(a 2＋b 2＋c 2)，∴a 2＋b 2＋c 2≥13，从而③正确，又2＝2(a ＋b ＋c )2＝(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)＋4ab ＋4bc ＋4ca ≥2ab ＋2bc ＋2ca ＋4ab ＋4bc ＋4ca ＝6(ab ＋bc ＋ca )，0＜ab ＋bc ＋ca ≤26＝13，∴④正确. 答案 ①②③④7.如图①所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图②所示，求这个正六棱柱容器的容积最大值.解 设正六棱柱容器底面边长为x (x ＞0)，高为h ，由右图可有2h ＋3x ＝3，∴h ＝32(1－x )，V ＝S 底·h ＝ 6×34x 2·h ＝332x 2·32·(1－x )＝23×332×x 2×x 2×(1－x )≤9×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋x 2＋1－x 33＝13.当且仅当x 2＝x 2＝1－x ，即x ＝23时，等号成立.所以当底面边长为23时，正六棱柱容器的容积最大，为13. 二、能力提升8.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列不等式正确的是( ) A.V ≥π B.V ≤π C.V ≥18πD.V ≤18π解析 如图，设圆柱半径为R ，高为h ，则4R ＋2h ＝6，即2R ＋h ＝3.V ＝S ·h ＝πR 2·h ＝π·R ·R ·h ≤π⎝⎛⎭⎪⎫R ＋R ＋h 33＝π， 当且仅当R ＝R ＝h ＝1时取等号. 答案 B9.若a ，b ，c ＞0，且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A.3－1 B.3＋1 C.23＋2D.23－2解析 因为a ，b ，c ＞0，且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，所以a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4－23，4－23＝a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝14(4a 2＋4ab ＋4ac ＋2bc ＋2bc )≤14(4a 2＋4ab ＋4ac ＋2bc ＋b 2＋c 2，)所以(23－2)2≤(2a ＋b ＋c )2，则2a ＋b ＋c ≥23－2，选D. 答案 D10.对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c 的最小值为________.解析 利用均值不等式找到|2a ＋b |取得最大值时等号成立的条件，从而可以用字母c 表示a ，b ，再求1a ＋2b ＋4c 的最小值. 由题意知，c ＝4a 2－2ab ＋b 2＝(2a ＋b )2－6ab ， ∴(2a ＋b )2＝c ＋6ab .若|2a ＋b |最大，则ab ＞0. 当a ＞0，b ＞0时，(2a ＋b )2＝c ＋6ab ＝c ＋3×2a ·b ≤c ＋3⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22， ∴(2a ＋b )2≤c ＋34(2a ＋b )2，∴(2a ＋b )2≤4c ，|2a ＋b |≤2c ，当且仅当b ＝2a ，即⎩⎨⎧a ＝c 2，b ＝c时取等号，此时1a ＋2b ＋4c ＝2c ＋2c ＋4c＞0. 当a ＜0，b ＜0时，(2a ＋b )2＝c ＋6ab ＝c ＋3(－2a )·(－b )≤c ＋3⎝⎛⎭⎪⎫－2a －b 22， ∴(2a ＋b )2≤4c ，|2a ＋b |≤2c ，即－2a －b ≤2c .当且仅当b ＝2a ，即⎩⎨⎧a ＝－c 2，b ＝－c时取等号.此时1a ＋2b ＋4c ＝－2c －2c ＋4c ＝4c －4c＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －122－1≥－1，当1c＝12，即c ＝4时等号成立. 综上可知，当c ＝4，a ＝－1，b ＝－2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＋4c min ＝－1.答案 －111.求函数y ＝316x 2＋3x (x ＞0)的最小值. 解 ∵x ＞0，∴y ＝316x 2＋3x ＝316x 2＋32x ＋32x ≥ 33316x 2·32x ·32x ＝94. 当且仅当316x 2＝32x ， 即x ＝2时，等号成立.故函数y ＝316x 2＋3x (x ＞0)的最小值为94.12.已知a ，b ，c 均为正数，证明a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c为何值时，等号成立.解 因为a ，b ，c 均为正数，由算术——几何平均不等式，得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23，。
人教A版选修4-5 第一章 二 1.绝对值三角不等式 课件(28张)
第一讲 不等式和绝对值不等式
求 f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和 f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方 法 (1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解． (2)利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解，但要注意两数的 “差”还是“和”的绝对值为定值． (3)利用绝对值的几何意义求解．
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
(2)因为||x－1|－|x＋1||≤|(x－1)－(x＋1)|＝2， 当且仅当(x－1)(x＋1)≥0， 即 x≥1 或 x≤－1 时取等号，即－2≤|x－1|－|x＋1|≤2， 当 x≥1 时函数取得最小值－2，当 x≤－1 时，函数取得最大 值 2，当－1＜x＜1 时，－2＜|x－1|－|x＋1|＜2，故函数 f(x) 的值域为[－2，2]．
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
(2)当 a＝0 时，f(x)＝x； 当－1≤x≤1 时，f(x)的最大值为 f(1)＝1， 不满足题设条件，所以 a≠0. 又 f(1)＝a＋1－a＝1，f(－1)＝a－1－a＝－1， 故 f(±1)均不是最大值． 所以 f(x)的最大值187应在其对称轴上顶点位置取得， 所以 a＜0.
第一讲 不等式和绝对值不等式
【解】 (1)因为|x|≤1，|a|≤1， 所以|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x| ＝|a||x2－1|＋|x|≤|x2－1|＋|x| ＝1－|x2|＋|x| ＝－|x|2＋|x|＋1 ＝－|x|－122＋54≤54. 所以|x|＝12时，|f(x)|取得最大值54.
栏目 导引
第一讲 不等式和绝对值不等式
－1＜－21a＜1， 所以命题等价于f－21a＝187，
a＜0，
不等式的基本性质
题型一
题型二
题型三
题型四
反思对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等
式的相关性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、
取倒数、开方、平方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去
选正确的选项,这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代
表性,如选取0、正数、负数等.
题型一
题型二
谢谢！
≤ .
2 2 2 2
2
2
2
题型一
题型二
题型三
题型四
π+ππ≤ 和− ≤2
2
2
2
-
π
π
≤ 的错误,导致该种错误的原因是忽视了 , 不能同时取到
2
2
2 2
4
π
和 − 以及忽视了α,β 的大小关系.
4
错因分析:在解答本题的过程中易出现 − ≤
题型一
题型二
正解: ∵
题型三
题型四
π
π
− 2≤α<β≤2,
π π -
π
即
的取值范围为 - ,
,
的取值范围为 - ,0 .
2
2 2 2
2
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面,严
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.
在使用不等式的性质时,如果是由两个变量的取值范围求其差的取
值范围,一定不能直接作差,而要先转化为同向不等式后再求和.
第一讲 不等式
和绝对值不等式
一 不等式
1.不等式的基本
性质
学习目标：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ax ax c 3 · · ＝ 2 2 bx2 2
3
2a2c b .
1.已知a，b，c均为正数，且abc＝27，则a＋b＋c的最 小值为( ) A.3 B.6 C.9 D.27
解析 ∵a，b，c 均为正数，
3 3
∴a＋b＋c≥3 abc＝3 27＝9(当且仅当 a＝b ＝c＝3 时，等号成立)， ∴a＋b＋c 的最小值为 9.故选 C.
跟踪演练 2
1 1 证明(a＋b＋c)a＋b＋b＋c＋
1 9 ≥2 a＋c
(a，b，c∈R＋). 证明 3 ∵(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥
3 （a＋b）（b＋c）（c＋a）， 3 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ≥3 · · ， a＋b b＋c a＋c a＋b b＋c a＋c
当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立 .
规律方法 三个正数的算术——几何平均不等式定理，是根据 不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该 定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在 具备条件时，直接应用该定理会更简便.若不直接具备“一正 二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定 理证明. 连续多次使用算术——几何平均不等式定理时要注意前后等号 成立的条件是否保持一致.
跟踪演练1 已知x∈R＋，求函数y＝x2·(1 －x)的最大值. 解 ∵y＝x
2
1 1 (1－x)，∴y＝4·2x·2x·（1－x），
1 1 ∵2x＋2x＋1－x＝1， 1 1 2x＋2x＋1－x3 4 ∴y≤4· ＝27， 3 4 即 y 的最大值为27.
2.设a，b，c为正数，如何证明a3＋b3＋c3≥3abc(当且 仅当a＝b＝c时等号成立). 提示 a3＋b3＋c3≥3abc⇔a3＋b3＋c3－3abc≥0
⇔(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)≥0
1 ⇔2(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0.
由于 a＋b＋c＞0 且(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， 1 因而2(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0 成立. 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立.
1 2 当且仅当 2sin ¸ ＝cos ¸ 时取等号， 即 tan ¸ ＝2， tan ¸ ＝ 2 ，
2 2 2
∴当 h＝2tan ¸ ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大.∴当灯的高度 h 为 2 m 时，才能使桌子边缘处最亮.
规律方法 利用三个正数的基本不等式解决应用问题的 一般步骤 ①理解题意，设变量.设变量时一般要把所求最大值或最 小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的 最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大值或最小值； ④验证相等条件，得出结论.
b (2)求形如 y＝ax2＋x (x＞0， a＞0， b＞0)的函数的最小值， b b b b b b b 2 2 关键是拆x 为x ＝2x＋2x，则 y＝ax ＋x＝ax ＋2x＋2x
3
≥3
b b 33 c 2 ax ·2x·2x＝2 2ab .求形如 y＝ax＋bx2(x＞0， a＞0，
2
ax ax bc＞0)的函数的最小值，关键是拆 ax 为 2 ＋ 2 ，则 y＝ c ax ax c ax＋ 2＝ ＋ ＋ 2≥3 bx 2 2 bx
解
À 2 sin ¸ cos2¸ 0＜¸ ＜ ， ∵r＝cos ¸ ，∴E＝k· 2 4
2 k ∴E2＝16·sin2¸ ·cos4¸ ＝ 2 2 2 2 2 2sin ¸ ＋ cos ¸ ＋ cos ¸ k2 k k 3 2 2 2 ·(2sin ¸ )·cos ¸ ·cos ¸ ≤ · ＝108， 32 32 3
答案 C
1 2.函数 f(x)＝x2＋2x(x＞0)的最小值为( A.3
解析
)
B.4
C.5
D.6
3 1 1 ∵x＞0，∴f(x)＝x2＋x＋x≥3 x2·x·x＝3，
1 当且仅当 2＝x＝x，即 x＝1 时取等号.故选 A. x
答案 A
3.若正数x，y满足xy2＝4，则x＋2y的最小值为________.
要点二 用三个正数的算术——几何平均不等式证明不等式 例2 设
1 1 1 a，b，c∈R＋，求证：(a＋b＋c)a＋b＋c ≥9.
3
证明 ∵a，b，c∈R＋时，a＋b＋c≥3 abc ， 1 1 1 a＋b＋c≥3
3
1 1 1 1 ＋ ＋ ≥9， . ∴ ( a ＋ b ＋ c ) abc a b c
2 2
2 3 2 3 ∴y≤ ，∴y 的最大值为 . 9 9
规律方法
(1)运用三正数平均值不等式求最值，一定要满足：
“一正、二定、三相等”的条件，缺一不可. (2)拼凑数学结构，以便能利用均值不等式求最值，是必须掌握 的一种解题方法，但拼凑要合理 ，且要符合适用的条件，对于 本题，有的学生可能这样去拼凑：y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)
跟踪演练3 设圆锥的母线长为1，试问圆锥的底面 半径为多少时，圆锥的体积最大？
解
设母线与底面所成的角为 ¸ ，则底面半径为 cos ¸ ，高为
À 2 sin ¸ .∴圆锥的体积 V＝ cos ¸ sin ¸ . 3
2 设¼ ＝cos2¸ sin ¸ ，则 ¼ ＝cos4¸ sin2¸
cos2¸ ＋cos2¸ ＋2sin2 ¸ 1 1 4 3 2 2 2 ＝2[cos ¸ cos ¸ ·(2sin ¸ )]≤2 ＝27， 3
2 ∴¼ ≤9 3(当且仅当 cos2¸ ＝2sin2¸ 时，等号成立). 2 3 2 3 ∴V≤ 27 À ，即 V 的最大值为 27 À ， 6 6 此时 cos ¸ ＝2sin ¸ ，cos ¸ ＝ 3 ，即底面半径为 3 .
2 2
(1)求实际问题的最值一定要注意变量应在实际允许的范围内 取值，在使用三个正数的基本不等式定理求最值时，一定要注 意检验等号是否成立.
[预习导引]
1.三个正数算术——几何平均不等式 a＋ b＋ c 3 a＝b＝c 当 a、b、c∈R＋时， 3 ≥ abc，当且仅当________ a＋ b＋ c 算术平均 ， 时，等号成立，称 为正数 a，b，c 的__________ 3
3
几何平均 abc为正数 a，b，c 的___________.
3 1 1 1 x＋2－2x＋1＋x ＝ ·x(2－2x)(1＋x)≤ ＝ 2. 2 2 3
虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取 “＝”号和条件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝” 号，也就是说，这种拼凑法是不对的，这就要求平时多积累一 引起拼凑方法的题型及数学结构.
解 1 ∵y＝x(1－x )，∴y ＝x (1－x ) ＝2x (1－x )(1－x )· . 2
2 2 2 2 2 2 2 2
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
2x2＋1－x2＋1－x23 1 4 2 ∴y ≤ ＝27. 2 3
3 当且仅当 2x ＝1－x ，即 x＝ 时取“＝”号. 3
2.基本不等式的推广情形 a1＋a2＋…＋an 如果 a1，a2，…，an 为 n 个正数，则 ≥ n n a1＝a2＝…＝an a1a2…an，当且仅当______________ 时，等号成立.
要点一 利用三个正数的算术——几何平均不等式求最值 例1 已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值.
1 1 1 9 ＋ ＋ ∴(a＋b＋c)a＋b b＋c a＋c≥2.
当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立.
要点三 应用三个正数的算术——几何平均不等式解决实际问题
例3 如图， 在一张半径是 2 m 的圆桌的正中央上空挂
一盏电灯.大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮 度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的.由物 理学可知，桌子边缘一点处的亮度E 和电灯射到桌子 边缘的光线与桌子的夹角 ¸ 的正弦成正比，而和这一 ksin ¸ 点到光源的距离 r 的平方成反比，即 E＝ 2 ，这里 r k 是一个和灯光强度有关的常数.那么空间应该怎样选 择灯的高度 h，才能使桌子边缘处最亮？
3 三个正数的算术——几何平均不等式
[学习目标]
1.理解定理3、定理4，会用两个定理解决函数的最值 或值域问题. 2.能运用三个正数的算术——几何平均不等式解决简 单的实际问题.
[知识链接]
1.应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应 注意什么？ 提示 三个正数的和为定值，积有最大值； 积为定值，和有最小值.当且仅当三个正数 相等时取得.
4 解析 ∵xy ＝4，x＞0，y＞0，∴x＝y2，
2
4 4 ∴x＋2y＝y2＋2y＝y2＋y＋y≥3
3
3 4 y2×y×y＝3 4.
3 4 当且仅当 2＝y，即 x＝y＝ 4时等号成立，此时 x＋2y 的最 y 3
小值为 3 4.
3
答案
3 4
4.求证：在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大.
证明 设长方体的三条相交于同一顶点的棱长分别为 x， y， z，则长方体的体积为V＝xyz，表面积为A＝2xy＋2yz＋2xz， 则 A＝2xy＋2yz＋2xz≥6 （xyz）2.
3 3
而这里 A 为定值，即 A≥6 V ，从而有 V≤ 仅当 xy＝yz＝xz，即 x＝3 ，当且 6
所以当长方体为正方体时，体积取得最大值，最大值为
A3 .所以在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大 . 6