焦半径公式
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经过抛物线的焦点并且垂直于抛物线 的轴所得的弦叫作 抛物线的通径，长为2p。
练习： 已知抛物线的顶点在原点， 对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y12=0上，那么抛物线通径长 是 .
巩固练习
x y 例1 ，在椭圆 1上求一点，使它与两个 45 20 焦点的连线互相垂直 .
2 2
评析：一般地，涉及到椭圆上的点与焦点的连结 线段时，均可以用焦半径公式来解。
2.已知双曲线 x y 1 上一点P与 两焦点连 线垂直。则点P坐标是 6 2
2 , 2
2
2
x y 例3.设AB为过双曲线 1 的右焦点的 16 9
2
2
弦，且 AF 2 BF ，求A,B两点的横坐标.
析： 法1：焦半径公式 故 AF ex1 a
巩固练习
x y2 例2.在椭圆 1上求一点，使它到一个 焦点的距离 8 4 是到另一个焦点的距离 的3倍.
2
评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离，如果直 接用两点间距离公式，运算将非常复杂，而选用焦半 径公式使得运算走向合理化．
[基础练习]
2 x 2 1.设F1，F2为双曲线 y 1 的两焦点,点P 4 在双曲线上且满足∠ F1PF2=900，则⊿F1PF2的面积 为. 1
2 2
P
y P
分母大 分母小 PF1小 PF1大
F1 O F2 x
（1）若AB是抛物线y 2 2 px( p 0)的焦点弦， 2P 且直线AB的倾斜角为，则 AB 2 （ 0）。 sin AB x1 x2 p r=p/1-cosα （2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
2 2
与x轴的夹角
x2 y 2 设双曲线 a 2 b2 1 的左右焦点分别为是 F1 F2 其上一点
P( x0 , y0 ) 是其上一点
当点P在左支上时取“ —”，在右支上时取“ +”，
c a P在左支上：PF1 a ex1 c cos a 2 2 c a P在右支上：PF1 a ex1 c cos a
公式推导
x2 y2 设点P( x0 , y0 )是椭圆 2 2 1(a b 0)上任意一点， a b F1 (- c,0), F2 (c,0)是椭圆的左、右焦点； 求证： | PF1 | a ex0 , | PF2 | a ex0
c a PF1 a ex1 c cos a
Байду номын сангаас
BF ex 2 a
法2：双曲线的第二定义
59 91 xA , xB 10 20
练习： 已知抛物线的顶点在原点， 对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y12=0上，那么抛物线通径长 是 .
巩固练习
x y 例1 ，在椭圆 1上求一点，使它与两个 45 20 焦点的连线互相垂直 .
2 2
评析：一般地，涉及到椭圆上的点与焦点的连结 线段时，均可以用焦半径公式来解。
2.已知双曲线 x y 1 上一点P与 两焦点连 线垂直。则点P坐标是 6 2
2 , 2
2
2
x y 例3.设AB为过双曲线 1 的右焦点的 16 9
2
2
弦，且 AF 2 BF ，求A,B两点的横坐标.
析： 法1：焦半径公式 故 AF ex1 a
巩固练习
x y2 例2.在椭圆 1上求一点，使它到一个 焦点的距离 8 4 是到另一个焦点的距离 的3倍.
2
评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离，如果直 接用两点间距离公式，运算将非常复杂，而选用焦半 径公式使得运算走向合理化．
[基础练习]
2 x 2 1.设F1，F2为双曲线 y 1 的两焦点,点P 4 在双曲线上且满足∠ F1PF2=900，则⊿F1PF2的面积 为. 1
2 2
P
y P
分母大 分母小 PF1小 PF1大
F1 O F2 x
（1）若AB是抛物线y 2 2 px( p 0)的焦点弦， 2P 且直线AB的倾斜角为，则 AB 2 （ 0）。 sin AB x1 x2 p r=p/1-cosα （2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
2 2
与x轴的夹角
x2 y 2 设双曲线 a 2 b2 1 的左右焦点分别为是 F1 F2 其上一点
P( x0 , y0 ) 是其上一点
当点P在左支上时取“ —”，在右支上时取“ +”，
c a P在左支上：PF1 a ex1 c cos a 2 2 c a P在右支上：PF1 a ex1 c cos a
公式推导
x2 y2 设点P( x0 , y0 )是椭圆 2 2 1(a b 0)上任意一点， a b F1 (- c,0), F2 (c,0)是椭圆的左、右焦点； 求证： | PF1 | a ex0 , | PF2 | a ex0
c a PF1 a ex1 c cos a
Байду номын сангаас
BF ex 2 a
法2：双曲线的第二定义
59 91 xA , xB 10 20