爱提分几何第04讲基础燕尾模型

知识图谱
几何第04讲_基础燕尾模型-一、基础燕尾模型已知两外比的应用已知一外比一内比的应用已知两内比的应用
一：基础燕尾模型
知识精讲
根据等高三角形中的比例关系，我们可以得到如图所示的结论．我们把这种图形，称为燕尾模型．
三点剖析
重难点：如何选择合适的份数，使得份数统一．
常用的方法：①最小图形面积为中心，进行标份数；②公共部分的整数化，优先考虑．
通常已知两内比的燕尾模型，需要借助未知数解决问题．
题模精讲
题模一已知两外比的应用
例1.1.1、
根据图中的比例关系填空．
，；
，；
，；
，．
答案：
COD，ACO；CEO，BCO；BOD，AOC；AOE，BOC
解析：
，；
，；
，；
，．
例1.1.2、
如图，三角形ABC中，已知，，已知△AOE的面积是1，那么△COD的面积是__________．
答案：
4
解析：
标数如图所示．所以那么△COD的面积是4．
例1.1.3、
在△ABC中，，，OB的长度是OE的__________倍．
答案：
2
解析：
标份数如图所示．所以，即OB的长度是OE的2倍．
例1.1.4、
如图，在三角形ABC中，，，已知三角形ABC面积是1，那么三角形ABO的面积是_______．
答案：
解析：
连结OC，设面积为1份，则面积也为1份．根据燕尾模型，
，故面积为4份．这样，
．
例1.1.5、
如图，的三边上各有一点D、E、F，三条线段AD、BE、CF相交于同一点
O．已知、的面积分别是65和16，．求
的面积．
答案：
20
解析：
，且，故
，，进而，
，．因此
．
例1.1.6、
如图，已知正方形ABCD中，F是BC边的中点，GC=2DG，E是DF与BG的交点．四边形ABED的面积与正方形ABCD的比是______.
答案：
5:8
解析：
如图连接BD和CE，设DGE的面积为1份，则CGD的面积为2，DEB的面积为2，BGD的面积为4，BCG的面积为8，长方形的面积为24，四边形ADEB的面
积为15，．
例1.1.7、
如图，在四边形ABCD中，，，四边形AEOf的面积是12，BCDE的是平行四边形．那么四边形ABCD的面积是多少？
答案：
56
解析：
连接BD和AO，利用燕尾模型中的比例关系，可以标出△ABD中每一块的份数．因为BCDE是平行四边形，可知△BCD的面积也是7
份．，四边形ABCD的面积是56．
题模二已知一外比一内比的应用
例1.2.1、
在rABC中，，F是AD的中点，rABC的面积是12，则阴影部分的面积是__________．
答案：
7
解析：
如图所示标份数，所以阴影部分的面积是7．
例1.2.2、
如图，O点是AD的中点，．已知△ABC的面积是24，那么阴影部分的面积是多少？
答案：
6
解析：
连接OC，标份数如图所示．所以阴影部分面积占△ABC面积的，即．
例1.2.3、
如图，在中，点D、E、F分别在三边上，AD、BE、CF交于一点G，，面积，面积．则
的面积为__________．
答案：
60
解析：
因为，面积，所以△BGD面积为，
．，，可得，
，即，得
．，所以的面积为．
题模三已知两内比的应用
例1.3.1、
如图，在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO的面积是2，三角形BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？
答案：
24
解析：
连接四边形CDOE的对角线OC，将其分为△EOC和△OCD，如下图所示．
很明显，．四边形CDOE被分成了两部分，不妨设△EOC为，那
么在△EBC中，，所以△OBC的面积为，△ODC的面积就是．
在△ADC中，，也就是．
交叉相乘可得，解得．
于是，四边形CEOD的面积是．
例1.3.2、
如图，点E和F分别在线段AC和AB上，BE与CF相交于点O．已知、、的面积分别是22、8、11．求．
答案：
55
解析：
延长AO交BC于
D．，
，
故，进而．
例1.3.3、
如图，三角形ABC中，BO:OE=1:1，AO:OD=3:1，S△ABC=48平方厘米．则S四边形DCEO 为多少平方厘米？
答案：
20
解析：
连接OC，设S△ABO为3份面积．设S△CEO=x份，S△DCO=y份，可由等高模型列方
程组进行求解．得到份数后，按比例分配即可．则S四边形DCEO为20平方厘米．
随堂练习
随练1.1、
如图，三角形ABC中已知2个三角形的面积，，那么三角形AOD的面积是___________．
答案：
6
解析：
，所以．
随练1.2、
如图，△ABC的面积是30．已知，．那么四边形CDOE的面积是__________．
答案：
8
解析：
如图所示标份数．所以四边形CDOE的面积是8．
随练1.3、
如图是一个正方形，图中所标数字的单位是厘米，那么阴影部分的面积是______平方厘米．
答案：
解析：
连结CG．易知E为中点，故．由对称性可知且
，故，
，．
随练1.4、
如图，在三角形ABC中，，D点是BC的四等分点，阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？
答案：
解析：
连接四边形CDEF的对角线CE，将其分为△EFC和△ECD，如下图所示．
由题意，D点是BC的四等分点，不妨就设△CDE的面积是“1”，而△BDE的面积则是“3”．再根据E是AD的中点，那么△ABE 的面积就是“3”，△ACE的面积是“1”．
根据燕尾模型得，所以△AEF的面积就是“”份，△ECD的面积就是“”份．
由此可得阴影部分的面积和是“”，而△ABC的总面积是“8”，阴影部分占总面积的．
随练1.5、
如图，三角形ABC中，S△ABO=30，S△BCO=50，S△AOC=32，求S△AOD．
答案：
12
解析：
根据燕尾模型，AD:DC=S△ABO:S△BCO=30:50=3:5，所以S△AOD为3+5=8份面积，所以S△AOD=．
课后作业
作业1、
求下面图形的面积．
答案：
18；12，6，6
解析：
左图：，所以
．
右图：，所以．
又因为，所以．
作业2、
如图，三角形ABC的面积是30，，，那么三角形AEF的面积是_________．
答案：
3
解析：
如图所示标份数．所以三角形AEF的面积是3．
作业3、
如图，三角形ABC中已知2个三角形的面积，，那么，三角形AOD 的面积是__________．
6
解析：
，所以．
作业4、
如图，已知正方形ABCD的边长是6．E点是BC上靠近B点的三等分点，F点是CD的中点．阴影部分的面积是__________．
答案：
22.5
解析：
连接BD、OC．在△BCD中根据燕尾模型，标份数如图所示．又因为△BCD的面积是正方形ABCD面积的一半，所以△BOD的面积是正方形面积的
，阴影部分的面积是正方形面积的，即．
如图，E、F分别在长方形ABCD的边AB、BC上，且，，设AF、CE交于点G，已知四边形ABCD面积为4，那么四边形AGCD的面积为__________．
答案：
2.5
解析：
延长DA、CE交于H点，连结AC．，故，，，即．由可知，故，．作业6、
（如图）三角形ABC中，C是直角，已知AC＝2厘米，CD＝2厘米，CB=3厘米，AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积是______平方厘米．
答案：
【解析】连接．的面积为根据燕尾定
；
同理设面积为1份，则的面积也是
1份，所以的面积是份，而的面积就是份，
也是4份，这样的面积为份，所以的面积为
．
解析：
作业7、
如图所示，在三角形ABC中，，．若三角形ABC的面积为2，则阴影部分的面积是多少？
答案：
解析：
连结DF．由条件可知，故，
．，故．设，则，．，故
，解得．因此，．
作业8、
如图，AD、BE、CF把△ABC分成六个小三角形，有四个小三角形的面积已经给出，则△ABC的面积为_______________．
答案：
315
解析：
设△BFO面积为x，△AEO面积为y．因为，所以．因为，所以．可得，，．所以△ABC的面积为．
作业9、
在△ABC中，，，△ABC的面积是48，则阴影部分的面积是_________．
答案：
28
解析：
连结．设，由可知．又因为，所以
，，，故
．又因为，因此，．综上可得，阴影面积占总体的，为28．
作业10、
已知，如图三角形ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点，BE与CD交于点F，三角形BDF，三角形EFC，三角形BCF面积分别为2、3、4，求四边形ADFE的面积
答案：
7.8
解析：
连接AF．设，．由燕尾定理可得，解得，．。