2013年数学(理科)(三)参考答案与评分标准
2013年上海高考数学理科试卷(带详解)
【试题解析】因为ABCD A1B1C1D1为长方体，AB C1D1
, AB C1D1，
故ABC1D1为平行四边形， 故BC1
AD1（步骤1），显然B
不在平面D1AC上，于是直线BC1
平行于平面D1AC（步骤2）；直线BC1到平面D1AC的距离即为点
B到平面
D1AC的距离设
为h考虑三棱锥ABCD
.
【难易程度】容易
【参考答案】1
5
2
【试题解析】联立方程组得
(
1)
1
1
5（步骤1），
2
又⋯0，故所求为1 5．（步骤
2）
2
8．盒子中装有编号为
1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个
球的编号之积为偶数的概率是
___________（结果用最简分数表示）.
【测量目标】古典概型，随机事件的的概率
不便宜，故选B．
17．在数列
{ an}中，an
2n
1，若一个
7
行
12
列的矩阵的第
i行第j
列的元素
ai, j
aiaj
aiaj
，（i
1,2,
,7; j
1,2,
,12
）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数
为
（
）
A 18
B 28
C 48
D 63
【测量目标】指数函数模型.
【考查方式】给出了数列矩阵以及行列元素的关系，求出矩阵元素不同数值的个数
y)
2sin( x
y) cos( x y)
，sin 2x sin 2 y
，故
2
3
2013年山东高考数学理科试题评分细则20131215
绝密★启用并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
共4页，满分150分。
考试用时150分钟.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。
注意事项：1. 答题前，考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明\证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)；如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P(A)*P(B) 第Ⅰ卷 （共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、复数z 满足i i z (5)2)(3(=--为虚数单位），则z 的共轭复数-z 为（ ） （A ）2+i （B ）2-i （C ）5+i （D ）5-i 【解析】i i iz +=++=+-=532325，所以i z -=5，故选D. 2、已知集合}2,1,0{=A ，则集合},|{A y A x y x B ∈∈-=中元素的个数是（ ） （A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9【解析】{}2,1,0,2,1},|{--=∈∈-=A y A x y x B ，所以有5个元素，故选C. 3、已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=，则)1(-f =（ ） （A ）-2 （B ）0 （C ）1 （D ）2 【解析】()()211-=-=-f f ，故选A 。
2013年高考数学(全国卷)理科及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。
直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l β，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（A）1+ + +…+（B ）1++ +…+（C ）1+ + +…+（D ）1++ +…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设ɑ=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a（C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A)(B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是（A ）∑x α∈R f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若xn 是f （x ）的极值点，则f 1(x α)=0（11）设抛物线y2=3px(p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5若以MF 为直径的园过点（0，3），则C 的方程为（A ）y2=4x 或y2=8x （B ）y2=2x 或y2=8x（C ）y2=4x 或y2=16x （D ）y2=2x 或y2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是x ≥1, x+y ≤3, y ≥a(x-3). {（A）（0，1）(B)（1-，1/2）( C)（1-，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013年福州市高中毕业班质量检查数学(理科)试卷参考答案及评分标准
2013年福州市高中毕业班质量检查数学（理科）试卷参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共50分．1.A2.C3.C4.A5.D6.B7.A8.C9.D 10.D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，共20分．11．1 12．3 13．②③④ 14．81 15．122三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础知识，考查运算求解能力及数形结合思想、化归与转化思想等，满分13分．解：（Ⅰ）依题意得()sin 33f x x x ππ=+………………………………………1分2sin()33x ππ=+ …………………………………………………………………3分所以函数()f x 的值域为[2,2]-．………………………………………………………5分 （Ⅱ）方法一 由（Ⅰ）知，()2sin()33f x x ππ=+(1)2sin 33f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(3)2sin 3f π=-=………………………………6分从而 (3),3,3)M N .………………………………………………7分∴2,OM ON ====4,MN ==……………………………………………9分根据余弦定理得222cos 02OM ON MN MON OM ON +-∠===. ∴90MON ∠= ，…………………………………………………………………10分 △MON的面积为11222S OM ON ==⨯⨯=…………13分 方法二 同方法一得：(1(3,M N .…………………………………………7分则(1(3,OM ON == . ………………………………………………8分13(0OM ON ⋅=⨯= .……………………………………………10分所以90MON ∠=， OM ON ⊥ 即 △MON的面积为11222S OM ON ==⨯⨯=……………13分 方法三 同方法一得：(1(3,M N .…………………………………………7分 直线OM的方程为y =0y -=. …………… …………………8分点N 到直线OM的距离为d ==分又因为2,OM =，………………………………………………………………11分 所以△MON的面积为11222S OM d =⋅=⨯⨯=分 17．本题考查抽样、独立性检验、离散型随机变量的分布列与期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等，满分13分．解：（Ⅰ）由甲抽取的样本数据可知，投篮成绩优秀的有7人，投篮成绩不优秀的有5人． X 的所有可能取值为0,1,2．……………………………………………………1分 所以25212C 5(0)C 33P X ===，1175212C C 35(1)C 66P X ===，27212C 217(2)C 6622P X ====．…4分 故X 的分布列为分∴53577()0123366226E X =⨯+⨯+⨯=． ……6分 （Ⅱ…………7分 2K 的观测值212(6411) 5.1827557k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯>3.841，……………………………9分 所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关． ……………………10分 （Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样． ……………………11分由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优． ……………………13分 18．本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．满分13分．（Ⅰ）如图，连接ED ，∵⊥EA 底面ABCD 且EA FD //，∴⊥FD 底面ABCD ,∴AD FD ⊥,∵D CD FD AD DC =⋂⊥，,∴⊥AD 面FDC , ----------------1分∴32221213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-FDC FCD E S AD V , --------2分E ABCD V -=13EA ⋅ ABCD S 1822233=⨯⨯⨯= , -------------3分 ∴多面体EABCDF 的体积310=+=--ABCD E FCD E V V V 多面体．--------------5分 （Ⅱ）以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A (0,0,0),E (0,0,2),B (2,0,0),C (2,2,0),F (0,2,1),所以)1,2,0(,),2,0,2(),222(-=-=-=EF EB ，，EC ------7分设平面ECF 的法向量为),,(z y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EF n n 得：⎩⎨⎧=-=-+,02,0222z y z y x 取y =1,得平面ECF 的一个法向量为(1,1,2)=n ------9分设直线EB 与平面ECF 所成角为θ， 所以sin |cos ,|EB θ= n ||||||EB EB ⋅=⋅ nn ==----11分 （Ⅲ）取线段CD 的中点Q ；连接KQ ，直线KQ 即为所求． ---------------12分图上有正确的作图痕迹………………………………13分19．本题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转化思想等，满分13分．解：（Ⅰ）设曲线C 上任意一点P 的坐标为),(y x ． 依题意22ab a x y a x y k k PB PA -=-⋅+=⋅，且a x ±≠，………………３分 整理得12222=+b y a x ．所以，曲线C 的方程为：12222=+by a x ，a x ±≠．………5分 （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧+==+,,12222h kx y b y a x 得0)(2)(22222222=-+++b h a hkx a x k a b ，()422222222222244()0,a h k b a k a h b b a k h ∴∆=-+-<+<即，……7分 由已知条件可知)0,-(khM ，),0(h N ，所以 ab b a k a k b b a k a b k k a b h k h MN 2||2222222222222222222++≥+++=+++>+=， 从而22)(||b a MN +>， 即b a MN +>||． ………………13分20．（本小题满分14分）本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．解：2)2(211)(+-+='x a x x f 22)2)(1()24()24(++-+-+=x x a x a x ． （Ⅰ）当0=a 时，0)0(=f ，切线的斜率1)0(='=f k ，所以切线方程为x y =，即0=-y x ． ……3分（Ⅱ）当0>a 时，因为0>x ，所以只要考查)24()24()(2a x a x x g -+-+=的符号． 由0)24(4)24(2≤---=∆a a ，得20≤<a ，当20≤<a 时，0)(>x g ，从而0)(>'x f ，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增； 当2>a 时，由0)(=x g 解得a a a x 222-+-=． ……6分当x 变化时，)(x f '与)(x f 的变化情况如下表：函数)(x f 在区间)22,0(2a a a -+-单调递减，在区间),22(2+∞-+-a a a 上单调递增． ……9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当2=a 时，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增； 所以0)0(22)1ln()(=>+-+=f x x x x f ， 即)1ln(22x x x +<+对任意),0(+∞∈x 成立． ……11分 取kx 1=，n k ,,3,2,1 =， 得121ln(1)12k k k<++，即k k k ln )1ln(122-+<+，n k ,,3,2,1 =．……13分 将上述n 个不等式求和,得到:∑∑==-+<+n k nk k k k 11]ln )1[ln(122，即不等式1ln 1215131+<++++n n 对任意*N ∈n 成立． ……14分21．（1）选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力．满分7分．解：（Ⅰ）依题意⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2213T ，所以42213det ==T ， 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-432141211T ． ----------3分 （Ⅱ）由βα=T ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==-2165432141211βαT ． ----------7分 （2）选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，满分7分．解：（Ⅰ）由θθρsin 8cos 6+=，得θρθρρsin 8cos 62+=，所以圆C 的直角坐标方程为08622=--+y x y x ，即2225)4()3(=-+-y x ．………………………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 54,cos 53y x （θ为参数）. 所以)4sin(257πθ++=+y x ， ………………………5分 因此当ππθk 24+=，Z ∈k 时，y x +取得最大值为257+，且当y x +取得最大值时点P 的直角坐标为)2254,2253(++．……………7分（3）选修4－5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，满分7分． 解：（Ⅰ）依题意，当1=x 时不等式成立，所以3|1|3≤-+m ，解得1=m ， 经检验，1=m 符合题意． ---------------------3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知132222=++c b a ．根据柯西不等式， 得6])3()2()[321()32(2222222=++++≤++c b a c b a ，-----------------5分 所以6326≤++≤-c b a ， 当且仅当66===c b a 时，取得最大值6，66-===c b a 时，取得最小值6-， 因此c b a 32++的取值范围是]6,6[-． --------------------7分。
2013年四川省高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本答题共有10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．22．（5分）（2013•四川）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）3．（5分）（2013•四川）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）B4．（5分）（2013•四川）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，5．（5分）（2013•四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）BT=时取得最大值，得到+．由此即可得到本题的答案．时取得最大值，x==﹣==x=+，可得+=﹣6．（5分）（2013•四川）抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）B±，化成一般式得：，可得=1又∵双曲线的方程为b=±±x．d=7．（5分）（2013•四川）函数的图象大致是（）B8．（5分）（2013•四川）从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，，所以从，种排法，，9．（5分）（2013•四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔B=10．（5分）（2013•四川）设函数（a∈R，e为自然对数的底数），若曲时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究是一个增函数，可得出＞时，此函数是一个增函数，=0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2013•四川）二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是10（用数字作答）．x的项的系数是=1012．（5分）（2013•四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ=2．依题意，+，而=2，从而可得答案．+==2+=2+λ，13．（5分）（2013•四川）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．，，=，，=故答案为：14．（5分）（2013•四川）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．15．（5分）（2013•四川）设P1，P2，…P n为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…P n的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…P n的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是①④（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（12分）（2013•四川）在等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项，公差及前n项和．=17．（12分）（2013•四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB ﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．，，（Ⅱ）由正弦定理，，所以，B=在方向上的投影：．18．（12分）（2013•四川）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率p i（i=1，2，3）；（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．=；===的概率为的概率为，输出的；输出y值为1的频率输出y值为2的频率输出====，，0 2 3=19．（12分）（2013•四川）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．（Ⅰ）在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．AP=，====，可得=的余弦值等于20．（13分）（2013•四川）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率：（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．的坐标表示出：（．=2e==…的方程为，设点）=…①中，得（＞=，＞＜（﹣，[，（﹣，（21．（14分）（2013•四川）已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．时，∵，即时，∵，即．处的切线重合的充要条件是得．∵函数在。
2013年考研数学三真题答案解析(pdf)
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题：1～8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.（1）当x →0 时，用o (x ) 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A ）23()()x o x o x ⋅=（B ）23()()()o x o x o x ⋅=（C ）222()()()o x o x o x +=（D ）22()()()o x o x o x +=【答案】D【解析】2()()()o x o x o x +=，故D 错误。
（2）函数||1()(1)ln ||x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3【答案】C【解析】由题意可知()f x 的间断点为0,1±。
又ln x 0x 0x 0x 011ln lim ()lim lim lim 1(1)ln (1)ln (1)ln x x x x e x xf x x x x x x x x x x ++++→→→→--====+++ln()x 0x 0x 0x 0()11ln()lim ()lim lim lim 1(1)ln()(1)ln()(1)ln()x x x x e x x f x x x x x x x x x x -+++-→→→→----====+-+-+-ln x 1x 1x 1x 111ln 1lim ()lim lim lim (1)ln (1)ln (1)ln 2x x x x e x x f x x x x x x x x x x →→→→--====+++ln()x 1x 1x 1x 1()11ln()lim ()lim lim lim (1)ln()(1)ln()(1)ln()x x x x e x x f x x x x x x x x x x -→-→-→-→-----===∞+-+-+-故()f x 的可去间断点有2个。
2013年全国高考理科数学试题及答案详解
绝密*启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30 的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔==（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯= （8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）()A ()B()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(A-(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
2013年三模试题参考答案与评分标准(理)
2012学年嘉定区高三年级第三次质量调研数学试卷（理）参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分） 1．i 2±； 2． 5； 3。
}1,0{； 4。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡++32,6ππππk k （Z ∈k ）； 5。
2； 6．π4或π8； 7。
1； 8。
]4,26[-； 9。
相交； 10。
2；11．)0(g ，)2(f ，)3(f ； 12。
12； 13。
x y 2±=； 14。
4。
二．选择题（每小题5分，满分20分） 15．A ； 16。
C ； 17。
B ； 18。
D 。
三．解答题（本大题满分74分，注：评分标准中解答题的得分按各步给出，非递进累计分） 19．（1）以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．……（1分） 则)0,0,0(A ，)0,0,1(B ，)0,1,1(C ，)0,1,0(D ， …………………………（1分） 设a PA =，则),0,0(a P ，因为M 是PC 中点，所以⎪⎭⎫⎝⎛2,21,21a M ，……（1分） 所以⎪⎭⎫⎝⎛=2,21,21a ，)0,1,1(-=，),0,1(a -=．…………（1分） 因为⊥AM 平面PBD ，所以BD AM ⊥，BP AM ⊥，所以02212=+-a ，解得1=a ．………………………………（1分） 所以1=PA ，四棱锥ABCD P -的体积为31． ……………（1分）（2）⎪⎭⎫⎝⎛=21,21,21，)0,1,0(=，设平面AMD 的一个法向量为),,(z y x n = ，则⎩⎨⎧==++,0,0y z y x 1-=x ，可得)1,0,1(-=n， ……………………（3分） 又)1,1,1(--=CP ，设CP 与n的夹角为θ，则36322||||co s =⋅=⋅=CP AM θ． ……………………（2分） 所以，直线PC 与平面AMD 所成角的大小为36arcsin． ………………（1分）20．（1）由题意，32=A ，设函数x A y ωsin =在R 上的周期为T ，则34=T， 又ωπ2=T ，所以6πω=， ………………（2分）所以x y 6sin32π=，当4=x 时，3=y ，故)3,4(M ，…………（2分）因为)0,8(P ，所以53)84(||22=+-=MP ．…………（1分）即MP 的长为5千米． …………………………（1分）（2）在△MNP 中，32π=∠MNP ，θ=∠PMN ，则30πθ<<，…………（1分） 由正弦定理得，⎪⎭⎫ ⎝⎛-==θπθπ3sin ||sin ||32sin ||MN NP MP ， 所以θsin 3310||=NP ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θπ3sin 3310||MN ， …………（2分） 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+θθθθπcos 23sin 213310sin 33103sin 3310||||NP MN⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin 3310πθ， ………………（3分） 因为30πθ<<，所以当6πθ=时，折线段赛道MNP 最长． …………（2分）21．（1）设等比数列}{n a 的公比为q ，等差数列}{n b 的公差为d 。
2013年湖南高考理科数学试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()i 1i z =+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【测量目标】复数乘法的运算法则,复数集与复平面上的点对应关系. 【考查方式】利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】i (1i)1i z =+=-+∴复数z 对应复平面上的点是(1,1),-该点位于第二象限.2.某学校有男、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 （ ） A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法 【测量目标】分层抽样.【考查方式】给出实际案例，判断其解决问题的方法属于四种抽样方法的哪一种. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法. 3.在锐角中ABC △，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b =则角A 等于（ ）A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π3【测量目标】正弦定理.【考查方式】给出三角形中的边角关系，运用正弦定理求解未知角. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】在ABC △中，2sin ,2sin a R A b R B ==(R 为ABC △的外接圆半径).（步骤1）2sin 3,2sin sin 3.a B b A B B =∴=3sin A ∴=（步骤2）又ABC △为锐角三角形，π3A ∴=.（步骤3）4.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则2x y +的最大值是（ ）A ．52-B ．0C ．53D ．52【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】利用线性规划知识求目标函数的最值问题. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】根据不等式组作出其平面区域，令2,z x y =+结合2z x y =+的特征求解.不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，（步骤1）平行移动11,22y x z =-+可知该直线经过2y x =与1x y +=的交点12(,)33A 时，z 有最大值为145=333+.（步骤2）第4题图5.函数()2ln f x x =的图象与函数()245g x x x =-+的图象的交点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 【测量目标】函数图象的应用.【考查方式】先作出常见函数图象再确定其图象交点个数. 【难易程度】中等 【参考答案】B 【试题解析】22()45(2)1,g x x x x =-+=-+又当2x =时，()2ln 2ln 41,f x ==>（步骤1）在同一直角坐标系内画出函数()2ln f x x =与2()45g x x x =-+的图象，如图所示，可知()f x 与()g x 有2个不同的交点.（步骤2）第5题图6. 已知,a b 是单位向量，0=a b .若向量c 满足1,--=c a b 则c 的取值范围是（ ）A ．22+1⎡⎤⎣⎦B ．22+2⎡⎤⎣⎦C ．2+1⎡⎤⎣⎦D ．2+2⎡⎤⎣⎦【测量目标】向量数量积的运算及定义、向量加法的几何意义.【考查方式】将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律以及向量数量积定义的求解. 【难易程度】较难 【参考答案】A3 / 13【试题解析】由题意，不妨令(0,1),(1,0),(,)x y ===a b c ，由1--=c a b 得22(1)(1)1x y -+-=，（步骤1）22x y =+c 可看做(,)x y 到原点的距离，而点(,)x y 在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．（步骤2）如图所示，当点(,)x y 在位置P 时到原点的距离最近，在位置P '时最远，而21PO =-,21P O '=+，故选A ．（步骤3）第6题图 7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ） A ．1 B ．2 C ．212- D ．2+12【测量目标】空间几何体三视图.【考查方式】根据正方体的正视图的形状来求解其面积值. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为2cos θ，如图所示．故正视图的面积为π2cos (0)4S θθ=，∴12S ，而21<12-，故面积不可能等于212-.第7题图8.在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到点P （如图）.若光线QR 经过ABC △的重心，则AP 等于（ ）第8题图A ．2B ．1C ．83D ．43【测量目标】直线的斜率，直线的方程.【考查方式】已知一个三角形的边长关系，建立平面直角坐标系求解未知边的值. 【难易程度】中等 【参考答案】D 【试题解析】以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示．则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)．（步骤1）设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭.设P 点坐标为(m,0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m,0)，（步骤2）因为直线BC 方程为x ＋y －4＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4－m )，根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上，∴12P D P D k k =，即4443344433mm -+=+-，（步骤3）解得，m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去．∴43m =.（步骤4）第8题图二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xOy 中，若:x t l y t a =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，过椭圆C 3cos :2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点，则常数a 的值为 .【测量目标】参数方程的转化，椭圆的简单几何性质.【考查方式】先将参数方程化为普通方程后求解，再运用椭圆的简单几何性质求出未知参数. 【难易程度】容易 【参考答案】3【试题解析】由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为22194x y +=，（步骤1）所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，解得a ＝3. （步骤2） 10.已知,,,236,a b c a b c ∈++=R 则22249a b c ++的最小值为 . 【测量目标】柯西不等式，最值问题.【考查方式】使用柯西不等式化简式子求其最值. 【难易程度】中等 【参考答案】12【试题解析】由柯西不等式得2222222(111)(49)(23)a b c a b c ++++++，即22241912a b c++，（步骤1）当232a b c ===时等号成立，所以222419a b c ++的最小值为12. （步骤2） 11.7的O 中,弦,AB CD 相交于点,2P PA PB ==，1PD =，则圆心O 到弦CD 的距离为 .5 /13第11题图【测量目标】圆的相交弦定理及圆的弦的性质，解三角形.【考查方式】由相交弦定理求出圆内线段的长再根据弦的性质求解三角形中未知数. 【难易程度】中等【参考答案】32【试题解析】如图所示，取CD 中点E ，连结OE ，OC ．由圆内相交弦定理知PD PC PA PB =，（步骤1）所以PC ＝4，CD ＝5，则CE ＝52，OC ＝7.（步骤2）所以O 到CD 距离为2253722OE ⎛⎫=()-= ⎪⎝⎭.（步骤3）第11题图必做题（12-16题）12.若20d 9,Tx x =⎰则常数T 的值为 .【测量目标】微积分基本定理.【考查方式】利用微积分基本定理建立方程求解. 【难易程度】中等 【参考答案】3 【试题解析】∵321=3x 'x ⎛⎫⎪⎝⎭，∴2330011d 0933T T x x x T ==-=⎰，∴3T =. 13.执行如图所示的程序框图，如果输入1,2,a b a ==则输出的的值为 .第13题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】阅读程序框图，运行程序得出结果. 【难易程度】中等 【参考答案】9【试题解析】输入1,2,a b ==不满足8,a >故a ＝3；a ＝3不满足a ＞8，故a ＝5；a ＝5不满足a ＞8，故a ＝7；a ＝7不满足a ＞8，故a ＝9，满足a ＞8，终止循环．输出a ＝9.14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126,PF PF a +=且12PF F △的最小内角为30，则C 的离心率为___.【测量目标】双曲线的定义，余弦定理.【考查方式】根据双曲线的定义及已知条件，利用余弦定理建立关于,a c 的方程求解. 【难易程度】较难 【参考答案】3【试题解析】不妨设|PF 1|＞|PF 2|，由1212||||6,||||2PF PF a PF PF a +=⎧⎨-=⎩可得12||4,||2.PF a PF a =⎧⎨=⎩（步骤1）∵2a ＜2c ，∴∠PF 1F 2＝30°，∴222242cos30224c a a c a︒()+()-()=⨯⨯，（步骤2）整理得，223230c a ac +-=，即22330,3e e e -+=∴=.（步骤3）15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2n n n n S a n *=--∈N 则（1）3a =_____； （2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.【测量目标】已知递推关系求通项，数列的前n 项和. 【考查方式】根据1(2)n n n a S S n -=-建立关于n a 的关系式，根据n a 的关系式归纳寻找其规律后求解.【难易程度】中等 【参考答案】116- 10011(1)32- 【试题解析】111111(1)(1),22n n n n n n n n n a S S a a ----=-=----+111(1)(1)2n n n n n na a a --∴=---+（步骤1）当n 为偶数时，11,2n n a -=-当n 为奇数时，1122n n n a a -+=,（步骤2）∴当4n =时3411216a =-=-.（步骤3）根据以上{}n a 的关系式及递推式可求：135724681111,,,,2222a a a a =-=-=-=-246824681111,,,.2222a a a a ====（步骤4）21436535111,,,,222a a a a a a ∴-=-=-= (12100214310099231001111)()()()()2222S S S a a a a a a ∴+++=-+-++--++++ (399210010011111111)()()(1)22222232=+++-+++=-……（步骤6） 16．设函数(),0,0.xxxf x a b c c a c b =+->>>>其中（1）记集合M ={(,,),,a b c a b c 不能构成一个三角形的三条边长，且a b =}，则(,,)a b c M ∈所对应7 / 13的()f x 的零点的取值集合为____.（2）若,,a b c 是ABC △的三条边长，则下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）①()(),1,0;x f x ∀∈-∞>②,x ∃∈R 使,,xxxa b c 不能构成一个三角形的三条边长； ③若ABC △为钝角三角形，则()1,2,x ∃∈，使()0.f x =【测量目标】对数的运算，对数、指数函数的性质，余弦定理，函数零点存在性定理.【考查方式】由三角形的构成条件与函数的零点存在性求解未知参数的范围，以及举反例验证. 【难易程度】较难 【参考答案】{}01x x < ①②③【试题解析】(1)0,0,c a c b a b >>>>=且,,a b c 不能构成三角形三边，02, 2.c ac a∴<∴（步骤1）令()0f x =得2xxa c =，即2xc a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（步骤2）21log 2log 1c ac x x a ∴=∴=01x∴<（步骤3）（2）①,,a b c 是三角形的三条边长，0,0,01,01a ba b c c a c b c c∴+>>>>>∴<<<<∴当(,1)x ∈-∞时， ()()()1(1)0x x x x x x x xa b a b a b c f x a b c c c c c c c c c +-⎡⎤=+-=+->+-=>⎢⎥⎣⎦（步骤4）(,1),()0x f x ∴∀∈-∞>故①正确（步骤5）；②令2,3,4,a b c ===，则,,a b c 可以构成三角形.但2224,9,16a b c ===却不能构成三角形，故②正确；（步骤6）③,c a c b >>且ABC △为钝角三角形，2220a b c ∴+-<又222(1)0,(2)0f a b c f a b c =+->=+-<∴（步骤7）函数()f x 在()1,2上存在零点，故③正确. （步骤8）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数2ππ()sin()cos(),()2sin632x f x x x g x =-+-=. （I ）若α是第一象限角，且33()f α=.求()g α的值； （II ）求使()()f x g x 成立的x 的取值集合.【测量目标】两角和与差的正、余弦公式，二倍角的余弦公式以及三角函数不等式的解法. 【考查方式】运用三角恒等变换公式化简函数求解. 【难易程度】容易 【试题解析】（I ）533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f .（步骤1）23π41sin ,(0,)cos ,()2sin 1cos 52525g αααααα⇒=∈⇒===-=且（步骤2） （II ）31π1()()3sin 1cos sin cos sin()2262f xg x x x x x x ⇒-⇒+=+（步骤3） ππ5π2π[2π,2π][2π,2π],6663x k k x k k k ⇒+∈++⇒∈+∈Z （步骤4）18．（本小题满分12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y （单位：kg ）与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4 Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.（I ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； （II ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.第18题图【测量目标】古典概型，分布列数学期望.【考查方式】利用古典概型求概率，根据所求概率列出分布列，结合期望公式求解. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ) 由图知，三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(1,2),8对格点恰好“相近”.所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率821239P ==⨯.（步骤1） （Ⅱ）三角形共有15个格点.与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4).所以2(51)15P Y ==（步骤2），与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1).所以4(48)15P Y ==（步骤3），与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0，1) ,(0，2),(0，3).所以6(45)15P Y ==（步骤4）与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1), (1,2), (2,1).所以3(42)15P Y ==（步骤5）如下表所示：X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 频数 2463概率P152 154 156 1539 / 132463102192270126690()5148454246151515151515E Y +++=⨯+⨯+⨯+⨯===46)(=∴Y E . （步骤6）19．（本小题满分12分）如图，在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，，90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=，13AD AA ==.（I ）证明：1AC B D ⊥； （II ）求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值.第19题图【测量目标】线面垂直的判定与性质，线面角.【考查方式】利用空间线面垂直的性质证明线线垂直，建立空间直角坐标系用向量法证明，再求直线与平面所成角的正弦值 【难易程度】中等 【试题解析】(Ⅰ)1111ABCD A B C D -是直棱柱1AC ∴⊥面ABCD ，且面BD ⊂面1ABCD BB AC⇒⊥（步骤1）又AC BD ⊥，且1BDBB B =，AC ∴⊥面1BDB ，1B D ⊂面1BDB ，1AC B D ∴⊥.（步骤2） （Ⅱ）11////,B C BC AD ∴直线11B C 与平面1ACD 的夹角即直线AD 与平面1ACD 的夹角θ.（步骤3）建立直角坐标系，用向量解题.设原点在A 点，AB 为y 轴正半轴，AD 为x 轴正半轴，1AA 为z 的正半轴. 设()10,00,(3,0,0),(3,0,3),(0,,0),(1,,0)A D D B y C y ，，11(0,,3),(1,,3)B y C y 则(1,,0),(3,,0),AC y BD y AC BD ==-⊥210300,0 3.(1,3,0),(3,0,3).AC BD y y y AC AD =⇒-+=>⇒=∴==（步骤4）设平面1ACD 的法向量为(,,)x y z n ，则10AC AD ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩n n 平面1ACD 的一个法向量11313,100BC ==（-，，）（，，）n （步骤5） 所以平面1ACD 的一个法向量1111321313,100sin |cos ,|77B C B C θ==⇒=<>==（-，，）（，，）n n所以11B C 与平面1ACD 夹角的正弦值为217.（步骤6）第19题（Ⅱ）图20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”.如图所示的路径123MM M M N 与路径1MN N 都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处.现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一点P 处修建一个文化中心.（I ）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II ）若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小.第20题图【测量目标】绝对值函数最值.【考查方式】将实际案例中的关系先列出式子再将其转化为含绝对值的和的形式，进行分类讨论求解. 【难易程度】较难【试题解析】（I ）设点(,)P x y ，且0.y点P 到点A （3，20）的“L 路径”的最短距离d 等于水平距离加上垂直距离，即320d x y =-+-，其中0,.yx ∈R （步骤1）（Ⅱ）点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v （且h 和v 互不影响）.显然当y =1时，v = 20+1=21；显然当[10,14]x ∈-时，水平距离之和(10)14324h x x x =--+-+-,且当x =3时，h =24.因此,当P (3,1)时，d =21+24=45. （步骤2）所以，当点(,)P x y 满足P (3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45. （步骤3） 21．（本小题满分13分）过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ，且122k k +=，1l E 与相交于点A ，B ，2l 与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N （M ，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l .11 / 13（I ）若120,0k k >>，证明；22FM FN p <；（II ）若点M 到直线l的距离的最小值为，求抛物线E 的方程. 【测量目标】抛物线的定义，向量数量积的定义，圆的方程，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】先将直线方程带入抛物线的方程，利用向量数量积的坐标运算求解，再求出圆的相交弦方程利用点到直线的距离公式及函数思想求解. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)已知抛物线的焦点为(0,).2p F 设112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 4412123434(,),(,),(,)D x y M x y N x y ，（步骤1）直线1l 方程：1,2p y k x =+与抛物线E 方程联立，化简整理得22120x pk x p -++=：（步骤2） 2221212112121121112,,(,)22x x px x k p x x p x k p y k p FM k p k p +⇒+==-⇒===+⇒=（步骤3）同理221234234222,(,)22x x px k p y k p FN k p k p +⇒===+⇒=.（步骤4）2222212121212(1)FM FN k k p k k p p k k k k ⇒=+=+（步骤5）222121212*********,0,,221,(1)1(11)2k k k k k k k k k k FM FN p k k k k p p >>≠=+>⇒<∴=+<⨯⨯+=所以，22FM FN p <成立. （步骤6） （Ⅱ）设圆M N 、的半径分别为22121121111,[()()][2()],22222p p pr r r y y p k p k p p ⇒=+++=++=+ 211,r k p p ⇒=+（步骤7）同理2222,r k p p =+则M N 、的方程分别为22212121()()x x y y r -+-=， 22234342()()x x y y r -+-=，（步骤7）直线l 的方程为：2222223412341212341234122()2()0x x x y y y x x y y r r -+-+-+--+=.222121123412341234123421212()2()()()()()()()0p k k x p k k y x x x x y y y y r r r r ⇒-+-++-++-+-+= 222222222222222212112121221122()2()()()()()(2)0p k k x p k k y p k k p k k k k p k k k k ⇒-+-+-+-++-++=0202)(1)(222212221=+⇒=+++++--+⇒yx k k p k k p p y x （步骤8）点1212(,)M x y 到直线l 的距离为：2211112()()144||||55d p p -+-+====8p ⇒=⇒抛物线的方程为216x y =（步骤9）22．（本小题满分13分）已知0a >，函数()2x af x x a-=+.（I ）记()f x 在区间[]0,4上的最大值为g a (),求g a ()的表达式；（II ）是否存在a ，使函数()y f x =在区间()0,4内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【测量目标】利用导数求分段函数的最值，导数的几何意义.【考查方式】根据已知条件转化函数为分段函数再求导，判断极值点所在区间进行分类讨论，依题意将问题转化为函数单调性不一致区间上的两个点处的导数之积等于1-建立方程求解. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)当0,a >○13()1,22x a af x x a x a-==-++ 当2x a <-或x a 时，是单调递增的；（步骤1）○23()122x a af x x a x a-+==-+++,当2a x a -<<时，是单调递减的.由上知，（步骤2）当4a >时()f x 在[0,4]x ∈上单调递减，其最大值为31(0)122a f a =-+=,（步骤3）当4a 时，()f x 在[0,]a 上单调递减，在[,4]a 上单调递增. （步骤4）令31(4)1(0)422a f f a =-<=+，解得：(1,4]a ∈，即当(1,4]a ∈时，()g a 的最大值为(0)f ，（步骤5）当(0,1]a ∈时，()g a 的最大值为(4)f ，综上，(]()31,0,142()=1,1,2a a ag a a ⎧-∈⎪⎪+⎨⎪∈+∞⎪⎩.（步骤6）（II ）由前知，()y f x =的图象是由两段反比例函数的图象组成的.因此，若在图象上存在两点),(),,(2211y x Q y x P 满足题目要求，则P ,Q 分别在两个图象上，且12()()1f x f x ''=-.（步骤7）223,2,(2)()3,2;(2)ax a x ax a f x a a x a x a ⎧<-⎪+⎪'=⎨-⎪-<<⎪+⎩或(04a <<)（步骤8）不妨设12122212331,(0,),(,4]3(2)(2)(2)(2)a ax a x a a x a x a x a x a -=-∈∈⇒=++++2222212121222324032402()43224a ax a a a ax a x x a x x a a x x a x a a x ⎧--<<--⎪⇒=+++-⇒=⇒+⎨+⎪<<⎩22222203242342434111224223404(0,)222484228x a x a a ax a a x a a a a a a a x a x <--<--<-⎧⎧⎧⎪⎪⎪⇒<+⇒-<⇒<-⇒<<<⇒∈⎨⎨⎨⎪⎪⎪-<<<<<⎩⎩⎩，且（步骤9）13 / 13所以，当)21,0(∈a 时，函数()y f x =在区间()0,4内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直. （步骤10）。
2013年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析2013年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•江西）已知集合M={1，2，zi}，i 为虚数单位，N={3，4}，M ∩N={4}，则复数z=（ ） A ． ﹣2i B ． 2i C ． ﹣4i D ． 4i考点：交集及其运算．专题：计算题．分析： 根据两集合的交集中的元素为4，得到zi=4，即可求出z 的值． 解答： 解：根据题意得：zi=4， 解得：z=﹣4i ．故选C 点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•江西）函数y=的定义域为（ ）A ． （0，1）B ． [0，1）C ． （0，1]D ． [0，1] 考点：函数的定义域及其求法．专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析：由函数的解析式可直接得到不等式组，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项 解答：解：由题意，自变量满足，解得0≤x ＜1，即函数y=的定义域为[0，1）故选B 点评：本题考查函数定义域的求法，理解相关函数的定义是解题的关键，本题是概念考查题，基础题．3．（5分）（2013•江西）等比数列x ，3x+3，6x+6，…的第四项等于（ ）A ． ﹣24B ． 0C ． 12D ． 24考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析： 由题意可得（3x+3）2=x （6x+6），解x 的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项． 解答： 解：由于 x ，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2=x （6x+6），解x=﹣3，故此等比数列的前三项分别为﹣3，﹣6，﹣12，故此等比数列的公比为2，故第四项为﹣24， 故选A ． 点评： 本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题．4．（5分）（2013•江西）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A ． 08 B ． 07 C ． 02 D ． 01考点：简单随机抽样．专题：图表型．分析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论． 解答：解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01， 故第5个数为01． 故选：D ． 点评： 本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．5．（5分）（2013•江西）（x 2﹣）5的展开式中的常数项为（ ） A ． 80 B ． ﹣80 C ． 40 D ． ﹣40考点：二项式定理．专题：计算题；概率与统计． 分析：利用（x ）5展开式中的通项公式T r+1=•x 2（5﹣r ）•（﹣2）r •x ﹣3r ，令x 的幂指数为0，求得r 的值，即可求得（x ）5展开式中的常数项．解答：解：设（x ）5展开式中的通项为T r+1，则T r+1=•x 2（5﹣r ）•（﹣2）r •x ﹣3r =（﹣2）r ••x 10﹣5r，令10﹣5r=0得r=2， ∴（x）5展开式中的常数项为（﹣2）2×=4×10=40．故选C ． 点评： 本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于中档题． 6．（5分）（2013•江西）若S 1=x 2dx ，S 2=dx ，S 3=e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为（ ） A ． S 1＜S 2＜S 3B ． S 2＜S 1＜S 3C ． S 2＜S 3＜S 1D ． S 3＜S 2＜S 1考点：微积分基本定理．专题：导数的概念及应用．分析： 先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．解答： 解：由于S 1=x 2dx=|=，S 2=dx=lnx|=ln2， S 3=e x dx=e x |=e 2﹣e ．且ln2＜＜e 2﹣e ，则S 2＜S 1＜S 3． 故选：B ．点评： 本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．7．（5分）（2013•江西）阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（ ）A ． S =2*i ﹣B ． S =2*i ﹣C ． S =2*iD ． S =2*i+42 1考点：程序框图．专题：图表型．分析：题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s ＜10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案． 解答： 解：当空白矩形框中应填入的语句为S=2*I 时，程序在运行过程中各变量的值如下表示： i S 是否继续循环 循环前1 0/ 第一圈 2 5 是 第二圈 3 6 是 第三圈 4 9 是 第四圈 5 10 否故输出的i 值为：5，符合题意． 故选C ． 点本题考查了程序框图中的当型循环，当型循评： 环是当条件满足时进入循环体，不满足条件算法结束，输出结果．8．（5分）（2013•江西）如果，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m+n=（ ）A ． 8B ． 9C ． 10D ． 11考点：平面的基本性质及推论．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：判断CE 与EF 与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，求出m+n 的值． 解解：由题意可知直线CE 与正方体的上底面答： 平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以m=4，直线EF 与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以n=4，所以m+n=8． 故选A ． 点评： 本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力．9．（5分）（2013•江西）过点（）引直线l与曲线y=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△ABO 的面积取得最大值时，直线l 的斜率等于（ ） A ． B ． C ．D ．考点：直线与圆的位置关系；直线的斜率．专题：压轴题；直线与圆．分析： 由题意可知曲线为单位圆在x 轴上方部分（含与x 轴的交点），由此可得到过C 点的直线与曲线相交时k 的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值． 解答：解：由y=，得x 2+y 2=1（y ≥0）． 所以曲线y=表示单位圆在x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合， 则﹣1＜k ＜0，直线l 的方程为y ﹣0=，即．则原点O 到l 的距离d=，l 被半圆截得的半弦长为．则===． 令，则，当，即时，S△ABO有最大值为．此时由，解得k=﹣．故答案为B ．点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆的关系，考查了学生的运算能力，考查了配方法及二次函数求最值，解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值，是中档题．10．（5分）（2013•江西）如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧的长为x （0＜x ＜π），y=EB+BC+CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y=f （x ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：函数的图象．专压轴题；函数的性质及应用．题： 分析： 由题意可知：随着l 从l 1平行移动到l 2，y=EB+BC+CD 越来越大，考察几个特殊的情况，计算出相应的函数值y ，结合考查选项可得答案．解答： 解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×=2；当x=时，∠FOG=，三角形OFG 为正三角形，此时AM=OH=， 在正△AED 中，AE=ED=DA=1，∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA ﹣（AE+AD ）=3×﹣2×1=2﹣2．如图． 又当x=时，图中y 0=+（2﹣）=＞2﹣2．故当x=时，对应的点（x ，y ）在图中红色连线段的下方，对照选项，D 正确． 故选D ．点评： 本题考查函数的图象，注意理解图象的变化趋势是解决问题的关键，属中档题．二．第Ⅱ卷填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11．（5分）（2013•江西）函数y=最小正周期T 为 π ． 考点： 三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．专题：三角函数的图像与性质．分析： 函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期． 解答：解：y=sin2x+2×=sin2x ﹣cos2x+=2（sin2x ﹣cos2x ）+=2sin （2x﹣）+， ∵ω=2，∴T=π． 故答案为：π 点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．12．（5分）（2013•江西）设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为 ． 考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析： 根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的射影为 ，运算求得结果．解答： 解：∵、为单位向量，且 和 的夹角θ等于，∴=1×1×cos =． ∵=+3，=2，∴=（+3）•（2）=2+6=2+3=5．∴在上的射影为 =，故答案为 ． 点评： 本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的射影的定义，属于中档题．13．（5分）（2013•江西）设函数f （x ）在（0，+∞）内可导，且f （e x ）=x+e x ，则f ′（1）= 2 ． 考点：导数的运算；函数的值．专题： 计算题；压轴题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析： 由题设知，可先用换元法求出f （x ）的解析式，再求出它的导数，从而求出f ′（1）． 解答： 解：函数f （x ）在（0，+∞）内可导，且f （e x ）=x+e x ，令e x =t ，则x=lnt ，故有f （t ）=lnt+t ，即f （x ）=lnx+x ，∴f ′（x ）=+1，故f ′（1）=1+1=2．故答案为：2． 点评： 本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式，属于基本题型，运算型．14．（5分）（2013•江西）抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p= 6 ． 考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p 即可．解答：解：抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为：y=﹣， 准线方程与双曲线联立可得：，解得x=±，因为△ABF 为等边三角形，所以，即p 2=3x 2， 即，解得p=6．故答案为：6． 点评： 本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．三．第Ⅱ卷选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两道题都做，按第一题评卷计分．本题共5分．15．（5分）（2013•江西）（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ρcos 2θ﹣sin θ=0 ． 考点： 抛物线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；压轴题．分析： 先求出曲线C 的普通方程，再利用x=ρcos θ，y=ρsin θ代换求得极坐标方程．解答：解：由（t 为参数），得y=x 2， 令x=ρcos θ，y=ρsin θ，代入并整理得ρcos 2θ﹣sin θ=0． 即曲线C 的极坐标方程是ρcos 2θ﹣sin θ=0．故答案为：ρcos 2θ﹣sin θ=0． 点评： 本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化．普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=ρcos θ，y=ρsin θ．16．（2013•江西）（不等式选做题）在实数范围内，不等式||x ﹣2|﹣1|≤1的解集为 [0，4] ． 考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析： 利用绝对值不等式的等价形式，利用绝对值不等式几何意义求解即可．解答： 解：不等式||x ﹣2|﹣1|≤1的解集，就是﹣1≤|x ﹣2|﹣1≤1的解集，也就是0≤|x ﹣2|≤2的解集，0≤|x ﹣2|≤2的几何意义是数轴上的点到2的距离小于等于2的值，所以不等式的解为：0≤x ≤4．所以不等式的解集为[0，4]． 故答案为：[0，4]．点评： 本题考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的几何意义，注意不等式的等价转化是解题的关键．四．第Ⅱ卷解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）（2013•江西）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosC+（cosA ﹣sinA ）cosB=0． （1）求角B 的大小；（2）若a+c=1，求b 的取值范围．考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：解三角形．分析： （1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA 不为0求出tanB 的值，由B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数；（2）由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB 的值代入表示出b 2，根据a 的范围，利用二次函数的性质求出b 2的范围，即可求出b 的范围． 解答： 解：（1）由已知得：﹣cos （A+B ）+cosAcosB ﹣sinAcosB=0，即sinAsinB ﹣sinAcosB=0，∵sinA ≠0，∴sinB ﹣cosB=0，即tanB=， 又B 为三角形的内角， 则B=；（2）∵a+c=1，即c=1﹣a ，cosB=， ∴由余弦定理得：b 2=a 2+c 2﹣2ac •cosB ，即b 2=a 2+c 2﹣ac=（a+c ）2﹣3ac=1﹣3a （1﹣a ）=3（a ﹣）2+，∵0＜a ＜1，∴≤b 2＜1， 则≤b ＜1． 点评：此题考查了余弦定理，二次函数的性质，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）（2013•江西）正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n 2 （1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）令b，数列{b n }的前n 项和为T n ．证明：对于任意n ∈N *，都有T ．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题；证明题；等差数列与等比数列． 分析： （I ）由S n 2可求s n ，然后利用a 1=s 1，n ≥2时，a n =s n ﹣s n ﹣1可求a n（II ）由b==，利用裂项求和可求T n ，利用放缩法即可证明解答：解：（I ）由S n 2 可得，[]（S n +1）=0 ∵正项数列{a n }，S n ＞0 ∴S n =n 2+n 于是a 1=S 1=2n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2+n ﹣（n ﹣1）2﹣（n﹣1）=2n ，而n=1时也适合 ∴a n =2n （II ）证明：由b ==∴]=点评： 本题主要考查了递推公式a 1=s 1，n ≥2时，a n =s n ﹣s n ﹣1在求解数列的通项公式中的应用及数列的裂项求和方法的应用．19．（12分）（2013•江西）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．（1）求小波参加学校合唱团的概率； （2）求X 的分布列和数学期望．考点： 离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析： （1）先求出从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法，而X=0时，即两向量夹角为直角，求出结果数，代入古典概率的求解公式可求（2）先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率，即可求解分布列及期望值 解答：解：（1）从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有=28种 X=0时，两向量夹角为直角共有8种情形 所以小波参加学校合唱团的概率P （X=0）==（2）两向量数量积的所有可能情形有﹣2，﹣1，0，1X=﹣2时有2种情形 X=1时有8种情形 X=﹣1时，有10种情形 X 的分布列为： X ﹣2 ﹣1 0 1PEX==点评：本题主要考查了古典概率的求解公式的应用及离散型随机变量的分布列及期望值的求解．20．（12分）（2013•江西）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE 并延长交AD 于F （1）求证：AD ⊥平面CFG ；（2）求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角． 分析： （1）利用直角三角形的判定得到∠BAD=，且∠ABE=∠AEB=．由△DAB ≌△DCB 得到△EAB ≌△ECB ，从而得到∠FED=∠FEA=，所以EF ⊥AD 且AF=FD ，结合题意得到FG 是△PAD 是的中位线，可得FG ∥PA ，根据PA ⊥平面ABCD 得FG ⊥平面ABCD ，得到FG ⊥AD ，最后根据线面垂直的判定定理证出AD ⊥平面CFG ；（2）以点A 为原点，AB 、AD 、PA 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图直角坐标系，得到A 、B 、C 、D 、P 的坐标，从而得到、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（1，﹣，）和=（1，，2）分别为平面BCP 、平面DCP 的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，即可得到平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值． 解答： 解：（1）∵在△DAB 中，E 为BD 的中点，EA=EB=AB=1，∴AE=BD ，可得∠BAD=，且∠ABE=∠AEB=∵△DAB ≌△DCB ，∴△EAB ≌△ECB ，从而得到∠FED=∠BEC=∠AEB= ∴∠EDA=∠EAD=，可得EF ⊥AD ，AF=FD又∵△PAD中，PG=GD，∴FG是△PAD 是的中位线，可得FG∥PA∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，∵AD⊂平面ABCD，∴FG⊥AD又∵EF、FG是平面CFG内的相交直线，∴AD⊥平面CFG；（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（，，0），D（0，，0），P（0，0，）∴=（，，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，，0）设平面BCP的法向量=（1，y 1，z1），则解得y 1=﹣，z1=，可得=（1，﹣，），设平面DCP的法向量=（1，y 2，z2），则解得y 2=，z2=2，可得=（1，，2），∴cos ＜，＞===因此平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值等于|cos ＜，＞|=．点评： 本题在三棱锥中求证线面垂直，并求平面与平面所成角的余弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．21．（13分）（2013•江西）如图，椭圆C ：经过点P （1，），离心率e=，直线l 的方程为x=4． （1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得k 1+k 2=λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题： 压轴题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： （1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a ，b 用c 表示出来代入方程，解得c ，从而解得a ，b ，即可得到椭圆的标准方程； （2）方法一：可先设出直线AB 的方程为y=k （x ﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x 的一元二次方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用根与系数的关系求得x 1+x 2=，，再求点M 的坐标，分别表示出k 1，k 2，k 3．比较k 1+k 2=λk 3即可求得参数的值；方法二：设B （x 0，y 0）（x 0≠1），以之表示出直线FB 的方程为，由此方程求得M 的坐标，再与椭圆方程联立，求得A 的坐标，由此表示出k 1，k 2，k 3．比较k 1+k 2=λk 3即可求得参数的值 解答：解：（1）椭圆C ：经过点P （1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c ，则b 2=3c 2②，代入①解得c=1，a=2，b= 故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y=k （x ﹣1）③ 代入椭圆方程并整理得（4k 2+3）x 2﹣8k 2x+4k 2﹣12=0设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， x 1+x 2=，④在方程③中，令x=4得，M 的坐标为（4，3k ），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k所以k 1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k 1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k 3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB 的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA 的斜率k 1=，直线PB 的斜率为k 2=所以k 1+k 2=+=2×=2k 3，故存在常数λ=2符合题意点评： 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．22．（14分）（2013•江西）已知函数f （x ）=，a 为常数且a ＞0． （1）f （x ）的图象关于直线x=对称； （2）若x 0满足f （f （x 0））=x 0，但f （x 0）≠x 0，则x 0称为函数f （x ）的二阶周期点，如果f （x ）有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；（3）对于（2）中的x 1，x 2，和a ，设x 3为函数f （f （x ））的最大值点，A （x 1，f （f （x 1））），B （x 2，f （f （x 2））），C （x 3，0），记△ABC 的面积为S （a ），讨论S （a ）的单调性． 考点： 利用导数研究函数的单调性；奇偶函数图象的对称性；函数的值．专题：压轴题；新定义．分析： （1）只要证明成立即可；（2）对a 分类讨论，利用二阶周期点的定义即可得出；（3）由（2）得出x 3，得出三角形的面积，利用导数即可得出其单调性． 解答： （1）证明：∵==a （1﹣2|x|），=a （1﹣2|x|），∴，∴f （x ）的图象关于直线x=对称． （2）解：当时，有f （f （x ））=．∴f （f （x ））=x 只有一个解x=0又f （0）=0，故0不是二阶周期点．当时，有f（f（x））=．∴f（f（x））=x有解集，{x|x}，故此集合中的所有点都不是二阶周期点．当时，有f（f（x））=，∴f（f（x））=x有四个解：0，，，．由f（0）=0，，，．故只有，是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为．（3）由（2）得，．∵x 2为函数f（x）的最大值点，∴，或．当时，S （a ）=．求导得：S ′（a ）=．∴当时，S （a ）单调递增，当时，S （a ）单调递减． 当时，S （a ）=，求导得．∵，从而有．∴当时，S （a ）单调递增．点评： 本题考查了新定义“二阶周期点”、利用导数研究函数的单调性、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力和计算能力．。
2013年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•辽宁）复数的模长为（）A．B．C．D．2考点：复数求模．专题：计算题．分析：通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．解答：解：复数，所以===．故选B．点评：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．2．（5分）（2013•辽宁）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．（1，2]考点：交集及其运算；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集．解答：解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A=（1，4），∵B=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]．故选D点评：此题考查了交集及其运算，以及其他不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）（2013•辽宁）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．考点：平行向量与共线向量；单位向量．专题：平面向量及应用．分析：由条件求得=（3，﹣4），||=5，再根据与向量同方向的单位向量为求得结果．解答：解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，则与向量同方向的单位向量为=，故选A．点评：本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题．4．（5分）（2013•辽宁）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4考点：等差数列的性质；命题的真假判断与应用．专题：等差数列与等比数列．分析：对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．解答：解：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1﹣a n=d＞0，∴命题p1：数列{a n}是递增数列成立，是真命题．对于数列数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n+1﹣na n=（n+1）d+a n，不一定是正实数，故p2不正确，是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣==，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题．对于数列数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+1+3（n+1）d﹣a n﹣3nd=4d＞0，故命题p4：数列{a n+3nd}是递增数列成立，是真命题．故选D．点评：本题主要考查等差数列的定义，增数列的含义，命题的真假的判断，属于中档题．5．（5分）（2013•辽宁）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．解答：解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B．点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．6．（5分）（2013•辽宁）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）A．B．C．D．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数．解答：解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，则∠B=．故选A点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．7．（5分）（2013•辽宁）使得（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4B．5C．6D．7考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式T r+1=3n﹣r••，令x的幂指数n﹣r=0即可求得展开式中含有常数项的最小的n．解答：解：设（n∈N+）的展开式的通项为T r+1，则：T r+1=3n﹣r••x n﹣r•=3n﹣r••，令n﹣r=0得：n=r，又n∈N+，∴当r=2时，n最小，即n min=5．故选B．点评：本题考查二项式系数的性质，求得n﹣r=0是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．8．（5分）（2013•辽宁）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：计算题；图表型．分析：框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．解答：解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．故选A．点评：本题考查了循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件，执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．9．（5分）（2013•辽宁）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）A．b=a3B．C．D．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用已知可得=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．分以下三种情况：①，②，③，利用垂直与数量积的关系即可得出．解答：解：∵=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．①若，则=ba3=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去；②若，则=b（a3﹣b）=0，∵b≠0，∴b=a3≠0；③若，则=a2+a3（a3﹣b）=0，得1+a4﹣ab=0，即．综上可知：△OAB为直角三角形，则必有．故选C．点评：熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键．10．（5分）（2013•辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．考点：球内接多面体；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．解答：解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，所以球的半径为：．故选C．点评：本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力．11．（5分）（2013•辽宁）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16考点：函数的值域．专题：压轴题；新定义；函数的性质及应用．分析：先作差得到h（x）=f（x）﹣g（x）=2（x﹣a）2﹣8．分别解出h（x）=0，h（x）＞0，h（x）＜0．画出图形，利用新定义即可得出H1（x），H2（x）．进而得出A，B 即可．解答：解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8．①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．综上可知：（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g （x）}=g（x），故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．故选：B．点评：熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键．12．（5分）（2013•辽宁）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值考点：函数在某点取得极值的条件；导数的运算．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：令F（x）=x2f（x），利用导数的运算法则，确定f′（x）=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．解答：解：∵函数f（x）满足，∴令F（x）=x2f（x），则F′（x）=，F（2）=4•f（2）=．由，得f′（x）=，令φ（x）=e x﹣2F（x），则φ′（x）=e x﹣2F′（x）=．∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴φ（x）的最小值为φ（2）=e2﹣2F（2）=0．∴φ（x）≥0．又x＞0，∴f′（x）≥0．∴f（x）在（0，+∞）单调递增．∴f（x）既无极大值也无极小值．故选D．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2013•辽宁）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是16π﹣16．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可．解答：解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4．故其体积为：22π×4﹣22×4=16π﹣16，故答案为：16π﹣16．点评：本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可．14．（5分）（2013•辽宁）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=63．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：通过解方程求出等比数列{a n}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和．解答：解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．因为数列{a n}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，所以a1=1，a3=4．设等比数列{a n}的公比为q，则，所以q=2．则．故答案为63．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．15．（5分）（2013•辽宁）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆右焦点为F'，连接AF'、BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8，从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2，得∠AFB=90°，所以c=|OF|=|AB|=5．根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．解答：解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×，解之得|BF|=8由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7∵△ABF中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2∴∠AFB=90°，可得|OF|=|AB|=5，即c=5因此，椭圆C的离心率e==故答案为：点评：本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．16．（5分）（2013•辽宁）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为10．考点：总体分布的估计；极差、方差与标准差．专题：压轴题；概率与统计．分析：本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题．解答：解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=7；方差s2=[（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2]÷5=4．从而有x1+x2+x3+x4+x5=35，①（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2=20．②若样本数据中的最大值为11，不妨设x5=11，则②式变为：（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为10．故答案为：10．点评：本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2013•辽宁）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：平面向量及应用．分析：（1）由条件求得，的值，再根据以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值．（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x ﹣）+．结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值．解答：解：（1）由题意可得=+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，由，可得4sin2x=1，即sin2x=．∵x∈[0，]，∴sinx=，即x=．（2）∵函数=（sinx，sinx）•（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+．x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=，sin（2x﹣）+取得最大值为1+=．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．（12分）（2013•辽宁）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBC，只要证明平面PBC经过平面PAC的一条垂线BC 即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC⊥平面PAC；（Ⅱ）因为平面PAB和平面ABC垂直，只要在平面ABC内过C作两面的交线AB 的垂线，然后过垂足再作PB的垂线，连结C和后一个垂足即可得到二面角C﹣PB﹣A的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角C﹣PB﹣A的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：如图，由AB是圆的直径，得AC⊥BC．由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC．又PA∩AC=A，PA⊂平面APC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC．因为BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）解：过C作CM⊥AB于M，因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以PA⊥CM，故CM⊥平面PAB．过M作MN⊥PB于N，连接NC．由三垂线定理得CN⊥PB．所以∠CNM为二面角C﹣PB﹣A的平面角．在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，得，，．在Rt△ABP中，由AB=2，AP=1，得．因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以．故MN=．又在Rt△CNM中，．故cos．所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，“寻找垂面，构造垂线”是找二面角的平面角常用的方法，此题是中档题．19．（12分）（2013•辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（I）从10道试题中取出3个的所有可能结果数有，张同学至少取到1道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（I）设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”则=张同学至少取到的全为甲类题∴P（A）=1﹣P（）=1﹣=（II）X的所有可能取值为0，1，2，3P （X=0）==P（X=1）==P（X=2）=+=P（X=3）==X的分布列为X 0 1 2 3PEX=点评：本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．20．（12分）（2013•辽宁）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值．（Ⅱ）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程解答：解：（Ⅰ）因为抛物线C1：x2=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′=，且切线MA的斜率为﹣，所以A点的坐标为（﹣1，），故切线MA的方程为y=﹣（x+1）+因为点M（1﹣，y0）在切线MA及抛物线C2上，于是y0=﹣（2﹣）+=﹣①∴y0=﹣=﹣②解得p=2（Ⅱ）设N（x，y），A（x1，），B（x2，），x1≠x2，由N为线段AB中点知x=③，y==④切线MA，MB的方程为y=（x﹣x1）+，⑤；y=（x﹣x2）+⑥，由⑤⑥得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标满足x0=，y0=因为点M（x0，y0）在C2上，即x02=﹣4y0，所以x1x2=﹣⑦由③④⑦得x2=y，x≠0当x1=x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2=y因此中点N的轨迹方程为x2=y点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，此类题运算较繁，解答的关键是合理引入变量，建立起相应的方程，本题探索性强，属于能力型题21．（12分）（2013•辽宁）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：（I）①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，利用导数得到h（x）的单调性即可证明；②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明．（II）利用（I）的结论得到f（x）≥1﹣x，于是G（x）=f（x）﹣g（x）≥=．再令H（x）=，通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围．解答：（I）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，则h′（x）=x（e x﹣e﹣x）．当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，1）上是增函数，∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，则u′（x）=e x﹣1．当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，∴f（x）．综上可知：．（II）解：设G（x）=f（x）﹣g（x）=≥=．令H（x）=，则H′（x）=x﹣2sinx，令K（x）=x﹣2sinx，则K′（x）=1﹣2cosx．当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．∴当a≤﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．下面证明当a＞﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．f（x）﹣g（x）≤==﹣x．令v（x）==，则v′（x）=．当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．当a＞﹣3时，a+3＞0．∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、作差比较大小、放缩法等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力和分析问题、解决问题的能力．请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2013年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年江西省高考数学试卷（理科）参考答案和试题分析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•江西）已知集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3，4}，M∩N={4}，则复数z=（）A．﹣2i B．2i C．﹣4i D．4i考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据两集合的交集中的元素为4，得到zi=4，即可求出z的值．解答：解：根据题意得：zi=4，解得：z=﹣4i．故选C点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•江西）函数y=的定义域为（）A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1]D．[0，1]考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及使用．分析：由函数的分析式可直接得到不等式组，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项解答：解：由题意，自变量满足，解得0≤x＜1，即函数y=的定义域为[0，1）故选B点评：本题考查函数定义域的求法，理解相关函数的定义是解题的关键，本题是概念考查题，基础题．3．（5分）（2013•江西）等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（）A．﹣24 B．0C．12 D．24 考点：等比数列的性质．专题：等差数列和等比数列．分析：由题意可得（3x+3）2=x（6x+6），解x的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项．解答：解：由于x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2=x（6x+6），解x=﹣3，故此等比数列的前三项分别为﹣3，﹣6，﹣12，故此等比数列的公比为2，故第四项为﹣24，故选A．本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题．点评：4．（5分）（2013•江西）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．08 B． 07 C． 02 D．01考点：简单随机抽样．专题：图表型．分析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．解答：解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．点评：本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．5．（5分）（2013•江西）（x2﹣）5的展开式中的常数项为（）A．80 B．﹣80 C．40 D．﹣40 二项式定理．考点：计算题；概率和统计．专题：分利用（x）5展开式中的通项公式T r+1=•x2（5﹣r）•（﹣2）r•x﹣3r，令x的幂析：指数为0，求得r的值，即可求得（x）5展开式中的常数项．解解：设（x）5展开式中的通项为T r+1，答：则T r+1=•x2（5﹣r）•（﹣2）r•x﹣3r=（﹣2）r••x10﹣5r，令10﹣5r=0得r=2，∴（x）5展开式中的常数项为（﹣2）2×=4×10=40．故选C．点本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于中档题．6．（5分）（2013•江西）若S1=x2dx，S2=dx，S3=e x dx，则S1，S2，S3的大小关系为（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D．S3＜S2＜S1考点：微积分基本定理．专题：导数的概念及使用．分析：先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．解答：解：由于S1=x2dx=|=，S2=dx=lnx|=ln2，S3=e x dx=e x|=e2﹣e．且ln2＜＜e2﹣e，则S2＜S1＜S3．故选：B．点评：本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．7．（5分）（2013•江西）阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（）A．S=2*i﹣2 B．S=2*i﹣1 C．S=2*i D．S=2*i+4考程序框图．专题：图表型．分析：题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s＜10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案．解答：解：当空白矩形框中应填入的语句为S=2*I时，程序在运行过程中各变量的值如下表示：i S 是否继续循环循环前1 0/第一圈2 5 是第二圈3 6 是第三圈4 9 是第四圈5 10 否故输出的i值为：5，符合题意．故选C．点评：本题考查了程序框图中的当型循环，当型循环是当条件满足时进入循环体，不满足条件算法结束，输出结果．8．（5分）（2013•江西）如果，正方体的底面和正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面和直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（）A．8B．9C．10 D．11考点：平面的基本性质及推论．专题：计算题；空间位置关系和距离．分析：判断CE和EF和正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面和直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，求出m+n的值．解答：解：由题意可知直线CE和正方体的上底面平行在正方体的下底面上，和正方体的四个侧面不平行，所以m=4，直线EF和正方体的左右两个侧面平行，和正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以n=4，所以m+n=8．故选A．点评：本题考查直线和平面的位置关系，基本知识的使用，考查空间想象能力．9．（5分）（2013•江西）过点（）引直线l和曲线y=相交于A，B两点，O 为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）A．B．C．D．考直线和圆的位置关系；直线的斜率．专题：压轴题；直线和圆．分析：由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含和x轴的交点），由此可得到过C点的直线和曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值．解答：解：由y=，得x2+y2=1（y≥0）．所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分（含和x轴的交点），设直线l的斜率为k，要保证直线l和曲线有两个交点，且直线不和x轴重合，则﹣1＜k＜0，直线l的方程为y﹣0=，即．则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为．则===．令，则，当，即时，S△ABO有最大值为．此时由，解得k=﹣．故答案为B．点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线和圆的关系，考查了学生的运算能力，考查了配方法及二次函数求最值，解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值，是中档题．10．（5分）（2013•江西）如图，半径为1的半圆O和等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l和半圆相交于F，G两点，和三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：压轴题；函数的性质及使用．分析：由题意可知：随着l从l1平行移动到l2，y=EB+BC+CD越来越大，考察几个特殊的情况，计算出相应的函数值y，结合考查选项可得答案．解答：解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×=2；当x=时，∠FOG=，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=，在正△AED中，AE=ED=DA=1，∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣（AE+AD）=3×﹣2×1=2﹣2．如图．又当x=时，图中y0=+（2﹣）=＞2﹣2．故当x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．故选D．点本题考查函数的图象，注意理解图象的变化趋势是解决问题的关键，属中档题．评：二．第Ⅱ卷填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11．（5分）（2013•江西）函数y=最小正周期T为π．考点：三角函数的周期性及其求法；两角和和差的正弦函数；二倍角的余弦．专题：三角函数的图像和性质．分析：函数分析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和和差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期．解答：解：y=sin2x+2×=sin2x﹣cos2x+=2（sin2x﹣cos2x）+=2sin （2x﹣）+，∵ω=2，∴T=π．故答案为：π点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和和差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．12．（5分）（2013•江西）设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及使用．分析：根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的射影为，运算求得结果．解答：解：∵、为单位向量，且和的夹角θ等于，∴=1×1×cos=．∵=+3，=2，∴=（+3）•（2）=2+6=2+3=5．∴在上的射影为=，故答案为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的射影的定义，属于中档题．13．（5分）（2013•江西）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）= 2．考点：导数的运算；函数的值．专题：计算题；压轴题；函数的性质及使用；导数的概念及使用．分析：由题设知，可先用换元法求出f（x）的分析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）．解答：解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，令e x=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，∴f′（x）=+1，故f′（1）=1+1=2．故答案为：2．点评：本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的分析式，属于基本题型，运算型．14．（5分）（2013•江西）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线和双曲线=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=6．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质和方程．分析：求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线和双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．解答：解：抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为：y=﹣，准线方程和双曲线联立可得：，解得x=±，因为△ABF为等边三角形，所以，即p2=3x2，即，解得p=6．故答案为：6．点评：本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的使用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．三．第Ⅱ卷选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两道题都做，按第一题评卷计分．本题共5分．15．（5分）（2013•江西）（坐标系和参数方程选做题）设曲线C的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρcos2θ﹣sinθ=0．考点：抛物线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；压轴题．分析：先求出曲线C的普通方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得极坐标方程．解答：解：由（t为参数），得y=x2，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入并整理得ρcos2θ﹣sinθ=0．即曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣sinθ=0．故答案为：ρcos2θ﹣sinθ=0．点评：本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化．普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ．16．（2013•江西）（不等式选做题）在实数范围内，不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集为[0，4]．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及使用．分析：利用绝对值不等式的等价形式，利用绝对值不等式几何意义求解即可．解答：解：不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集，就是﹣1≤|x﹣2|﹣1≤1的解集，也就是0≤|x﹣2|≤2的解集，0≤|x﹣2|≤2的几何意义是数轴上的点到2的距离小于等于2的值，所以不等式的解为：0≤x≤4．所以不等式的解集为[0，4]．故答案为：[0，4]．点评：本题考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的几何意义，注意不等式的等价转化是解题的关键．四．第Ⅱ卷解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•江西）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围．考点：余弦定理；两角和和差的余弦函数．专题：解三角形．分析：（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB的值代入表示出b2，根据a的范围，利用二次函数的性质求出b2的范围，即可求出b的范围．解答：解：（1）由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，即sinAsinB﹣sinAcosB=0，∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，即tanB=，又B为三角形的内角，则B=；（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）2+，∵0＜a＜1，∴≤b2＜1，则≤b＜1．点评： 此题考查了余弦定理，二次函数的性质，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 18．（12分）（2013•江西）正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n 2（1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）令b，数列{b n }的前n 项和为T n ．证明：对于任意n ∈N *，都有T ．考点： 数列的求和；等差数列的通项公式． 专题： 计算题；证明题；等差数列和等比数列． 分析： （I ）由S n2可求s n ，然后利用a 1=s 1，n ≥2时，a n =s n ﹣s n ﹣1可求a n （II ）由b==，利用裂项求和可求T n ，利用放缩法即可证明 解答： 解：（I ）由S n2可得，[]（S n +1）=0∵正项数列{a n }，S n ＞0∴S n =n 2+n 于是a 1=S 1=2n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2+n ﹣（n ﹣1）2﹣（n ﹣1）=2n ，而n=1时也适合 ∴a n =2n （II ）证明：由b==∴]=点评： 本题主要考查了递推公式a 1=s 1，n ≥2时，a n =s n ﹣s n ﹣1在求解数列的通项公式中的使用及数列的裂项求和方法的使用． 19．（12分）（2013•江西）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．（1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望和方差．专题：计算题；概率和统计．分析：（1）先求出从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法，而X=0时，即两向量夹角为直角，求出结果数，代入古典概率的求解公式可求（2）先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（1）从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有=28种X=0时，两向量夹角为直角共有8种情形所以小波参加学校合唱团的概率P（X=0）==（2）两向量数量积的所有可能情形有﹣2，﹣1，0，1X=﹣2时有2种情形X=1时有8种情形X=﹣1时，有10种情形X的分布列为：X ﹣2 ﹣1 0 1PEX==点评：本题主要考查了古典概率的求解公式的使用及离散型随机变量的分布列及期望值的求解．20．（12分）（2013•江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F（1）求证：AD⊥平面CFG；（2）求平面BCP和平面DCP的夹角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线和平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；空间位置关系和距离；空间角．分析：（1）利用直角三角形的判定得到∠BAD=，且∠ABE=∠AEB=．由△DAB≌△DCB得到△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠FEA=，所以EF⊥AD 且AF=FD，结合题意得到FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA，根据PA⊥平面ABCD得FG⊥平面ABCD，得到FG⊥AD，最后根据线面垂直的判定定理证出AD⊥平面CFG；（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，得到A、B、C、D、P的坐标，从而得到、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（1，﹣，）和=（1，，2）分别为平面BCP、平面DCP的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，即可得到平面BCP和平面DCP的夹角的余弦值．解答：解：（1）∵在△DAB中，E为BD的中点，EA=EB=AB=1，∴AE=BD，可得∠BAD=，且∠ABE=∠AEB=∵△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠BEC=∠AEB=∴∠EDA=∠EAD=，可得EF⊥AD，AF=FD又∵△PAD中，PG=GD，∴FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，∵AD⊂平面ABCD，∴FG⊥AD又∵EF、FG是平面CFG内的相交直线，∴AD⊥平面CFG；（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（，，0），D（0，，0），P（0，0，）∴=（，，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，，0）设平面BCP的法向量=（1，y1，z1），则解得y1=﹣，z1=，可得=（1，﹣，），设平面DCP的法向量=（1，y2，z2），则解得y2=，z2=2，可得=（1，，2），∴cos＜，＞===因此平面BCP和平面DCP的夹角的余弦值等于|cos＜，＞|=．点评：本题在三棱锥中求证线面垂直，并求平面和平面所成角的余弦值．着重考查了空间线面垂直的判定和性质，考查了利用空间向量研究平面和平面所成角等知识，属于中档题．21．（13分）（2013•江西）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB和直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：直线和圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：压轴题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质和方程．分析：（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根和系数的关系求得x1+x2=，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再和椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值解答：解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力和探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．22．（14分）（2013•江西）已知函数f（x）=，a为常数且a＞0．（1）f（x）的图象关于直线x=对称；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；（3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性．考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶函数图象的对称性；函数的值．专题：压轴题；新定义．分析：（1）只要证明成立即可；（2）对a分类讨论，利用二阶周期点的定义即可得出；（3）由（2）得出x3，得出三角形的面积，利用导数即可得出其单调性．解答：（1）证明：∵==a（1﹣2|x|），=a（1﹣2|x|），∴，∴f（x）的图象关于直线x=对称．（2）解：当时，有f（f（x））=．∴f（f（x））=x只有一个解x=0又f（0）=0，故0不是二阶周期点．当时，有f（f（x））=．∴f（f（x））=x有解集，{x|x}，故此集合中的所有点都不是二阶周期点．当时，有f（f（x））=，∴f（f（x））=x有四个解：0，，，．由f（0）=0，，，．故只有，是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为．（3）由（2）得，．∵x2为函数f（x）的最大值点，∴，或．当时，S（a）=．求导得：S′（a）=．∴当时，S（a）单调递增，当时，S（a）单调递减．当时，S（a）=，求导得．∵，从而有．∴当时，S（a）单调递增．点评：本题考查了新定义“二阶周期点”、利用导数研究函数的单调性、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力和计算能力．。
(完整word版)2013年全国高考理科数学试题及答案、解析-陕西卷
试题及答案、解析2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1. 本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题 .。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷 类型信息.。
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共 分，共50分) 1.设全集为R,函数f(x)乞1 -x 2的定义域为 M,则C R M 为 (A) [ - 1,1] (B) (- 1,1)(C) ( J ：，-1] -•[1, (D) ( -：：, -〔)_. (1, ■：：)【答案】D2. 根据下列算法语句,当输入x 为60时, 输出y 的值为(A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 【答案】C【解析】 x =60,. y =25 0.6 (x-50) =31 ,所以选 C3.设 a, b 为向量，贝U “ab |=|a || b |”是 a // b”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】C10小题，每小题5【解析】1-X 2 _0,. 一1 乞 x 叮.即 M =[-1,1],c M—(—cQ , 一 1)U (1&),所以选D:输入xI:If x < 50 ThenI:y=0.5 * x :Else； y=25+0.6*( x-50) :End If i 输出y【解析】a b a | |b | COST若| a b|=| a | |b| ： cos)- -1,则向量a与b的夹角为0或二，即a//b为真；相反，若a//b，则向量0与b的夹角为0或二，即|a 6鬥2| |b|。
所以“ab 旧a || b |”是a // b”的充分必要条件。
另：当向量a 或b 为零向量时，上述结论也成立。
2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2013•上海）计算：=．考点：数列的极限．专题：计算题．分析：由数列极限的意义即可求解．解答：解：==，故答案为：．点评：本题考查数列极限的求法，属基础题．2．（4分）（2013•上海）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=﹣2．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的值．解答：解：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题主要考查复数的基本概念，得到m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题．3．（4分）（2013•上海）若=，x+y=0．考点：二阶行列式的定义．专题：常规题型．分析：利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论．解答：解：∵=，∴x2+y2=﹣2xy∴（x+y）2=0∴x+y=0故答案为0点评：本题考查二阶行列式的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．4．（4分）（2013•上海）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，则角C的大小是．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：把式子3a2+2ab+3b2﹣3c2=0变形为，再利用余弦定理即可得出．解答：解：∵3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，∴，∴==．∴C=．故答案为．点评：熟练掌握余弦定理及反三角函数是解题的关键．5．（4分）（2013•上海）设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=﹣2．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．解答：解：的展开式的通项为T r+1=C5r x10﹣2r（）r=C5r x10﹣3r a r令10﹣3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是﹣10，∴aC51=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（4分）（2013•上海）方程+=3x﹣1的实数解为log34．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：化简方程+=3x﹣1为=3x﹣1，即（3x﹣4）（3x+2）=0，解得3x=4，可得x的值．解答：解：方程+=3x﹣1，即=3x﹣1，即8+3x=3x﹣1（3x+1﹣3），化简可得32x﹣2•3x﹣8=0，即（3x﹣4）（3x+2）=0．解得3x=4，或3x=﹣2（舍去），∴x=log34，故答案为log34．点评：本题主要考查指数方程的解法，指数函数的值域，一元二次方程的解法，属于基础题．7．（4分）（2013•上海）在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．专题：计算题．分析：联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案．解答：解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ﹣1，代入ρcosθ=1得ρ（ρ﹣1）=1，解得ρ=或ρ=（舍），所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为，故答案为：．点评：本题考查两点间距离公式、极坐标与直角坐标的互化，属基础题．8．（4分）（2013•上海）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率．解答：解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为种．取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为种．则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为．所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是．故答案为点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，考查了对立事件的概率，解答的关键是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数，是基础题．9．（4分）（2013•上海）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．解答：解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2．∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（﹣1，1），因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为．故答案为：．点评：本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．10．（4分）（2013•上海）设非零常数d是等差数列x1，x2，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，…，x19，则方差Dξ=30d2．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：利用等差数列的前n项和公式可得x1+x2+…+x19=和数学期望的计算公式即可得出Eξ，再利用方差的计算公式即可得出Dξ=即可得出．解答：解：由题意可得Eξ===x1+9d．∴x n﹣Eξ=x1+（n﹣1）d﹣（x1+9d）=（n﹣10）d，∴Dξ=+…+（﹣d）2+0+d2+（2d）2+…+（9d）2]===30d2．故答案为：30d2．点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式、数学期望和方差的计算公式是解题的关键．11．（4分）（2013•上海）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）=．考点：三角函数的和差化积公式；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：利用两角差的余弦公式及cosxcosy+sinxsiny=，可得cos（x﹣y）=，再利用和差化积公式sin2x+sin2y=，得到2sin（x+y）cos（x﹣y）=，即可得出sin（x+y）．解答：解：∵cosxcosy+sinxsiny=，∴cos（x﹣y）=．∵sin2x+sin2y=，∴sin[（x+y）+（x﹣y）]+sin[（x+y）﹣（x﹣y）]=，∴2sin（x+y）cos（x﹣y）=，∴，∴sin（x+y）=．故答案为．点评：熟练掌握两角和差的正弦余弦公式及和差化积公式是解题的关键．12．（4分）（2013•上海）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f （x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．．考点：函数奇偶性的性质；基本不等式．专题：函数的性质及应用．分析：先利用y=f（x）是定义在R上的奇函数求出x≥0时函数的解析式，将f（x）≥a+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范围．解答：解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x=0时，f（x）=0；当x＞0时，则﹣x＜0，所以f（﹣x）=﹣9x﹣+7因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=9x+﹣7；因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立，所以当x=0时，0≥a+1成立，所以a≤﹣1；当x＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1，解得，所以．故答案为：．点评：本题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值．13．（4分）（2013•上海）在xOy平面上，将两个半圆弧（x﹣1）2+y2=1（x≥1）和（x﹣3）2+y2=1（x≥3），两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π+8π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为2π2+16π．考点：进行简单的合情推理．专题：计算题；压轴题；阅读型．分析：由题目给出的Ω的水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可．解答：解：因为几何体为Ω的水平截面的截面积为4+8π，该截面的截面积由两部分组成，一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到的，对于4，看作是把一个半径为1，高为2π的圆柱平放得到的，如图所示，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π•12•2π+2•8π=2π2+16π．故答案为2π2+16π．点评：本题考查了简单的合情推理，解答的关键是由几何体Ω的水平截面面积想到水平放置的圆柱和长方体的有关量，是中档题．14．（4分）（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0=2．考点：反函数；函数的零点．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当x∈[0，1）时，x∈[1，2）时f （x）的值域，进而可判断此时f（x）=x无解；由f（x）在定义域[0，3]上存在反函数可知：x∈[2，3]时，f（x）的取值集合，再根据方程f（x）=x有解即可得到x0的值．解答：解：因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），所以对于函数f（x），当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案为：2．点评：本题考查函数的零点及反函数，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2013•上海）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）考点：集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a 的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．解答：解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选B．点评：此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．16．（5分）（2013•上海）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件．解答：解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B点评：本题考查互为逆否命题的真假一致；考查据命题的真假判定条件关系，属于基础题．17．（5分）（2013•上海）在数列（a n）中，a n=2n﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j 列的元素c ij=a i•a j+a i+a j（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）A．18 B．28 C．48 D．63考点：数列的函数特性．专题：压轴题．分析：由于该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），要使a ij=a mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）．则满足2i+j﹣1=2m+n﹣1，得到i+j=m+n，由指数函数的单调性可得：当i+j≠m+n时，a ij≠a mn，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，即可得出．解答：解：该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），当且仅当：i+j=m+n时，a ij=a mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12），因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值．故选A．点评：由题意得出：当且仅当i+j=m+n时，a ij=a mn（i，m=1，2，...，7；j，n=1，2， (12)是解题的关键．18．（5分）（2013•上海）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（）A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0考点：平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论．解答：解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0故选D．点评：本题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（2013•上海）如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：解法一：证明ABC′D′为平行四边形，可得BC′∥AD′，再利用直线和平面平行的判定定理证得直线BC′平行于平面D′AC．所求的距离即点B到平面D′AC的距离，设为h，再利用等体积法求得h的值．解法二：建立空间直角坐标系，求出平面D′AC的一个法向量为=（2，1，﹣2），再根据=﹣0，可得⊥，可得直线BC′平行于平面D′AC．求出点B到平面D′AC的距离d=的值，即为直线BC′到平面D′AC的距离．解答：解：解法一：因为ABCD﹣A′B′C′D′为长方体，故AB∥C′D′，AB=C′D′，故ABC′D′为平行四边形，故BC′∥AD′，显然BC′不在平面D′AC内，于是直线BC′平行于平面D′AC．直线BC′到平面D′AC的距离即为点B到平面D′AC的距离，设为h，考虑三棱锥D′﹣ABC的体积，以ABC为底面，可得三棱锥D′﹣ABC的体积为V==，而△AD′C中，AC=D′C=，AD′=，故△CAD′的底边AD′上的高为，故△CAD′的面积S△CAD′=••=，所以，V==⇒h=，即直线BC′到平面D′AC的距离为．解法二：以D′A′所在的直线为x轴，以D′C′所在的直线为y轴，以D′D所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则由题意可得，点A（1，0，1 ）、B（1，2，1）、C（0，2，1）、C′（0，2，0）、D′（0，0，0）．设平面D′AC的一个法向量为=（u，v，w），则由⊥，⊥，可得，．∵=（1，0，1），=（0，2，1），∴，解得．令v=1，可得u=2，w=﹣2，可得=（2，1，﹣2）．由于=（﹣1，0，﹣1），∴=﹣0，故有⊥．再由BC′不在平面D′AC内，可得直线BC′平行于平面D′AC．由于=（1，0，0），可得点B到平面D′AC的距离d===，故直线BC′到平面D′AC的距离为．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，利用向量法证明直线和平面平行，求直线到平面的距离的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题．20．（14分）（2013•上海）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x的取值范围；（2）确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润．解答：解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100（5x+1﹣）×2=200（5x+1﹣）根据题意，200（5x+1﹣）≥3000，即5x2﹣14x﹣3≥0∴x≥3或x≤﹣∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；（2）设利润为y元，则生产900千克该产品获得的利润为y=100（5x+1﹣）×=90000（）=9×104[+]∵1≤x≤10，∴x=6时，取得最大利润为=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．点评：本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键．21．（14分）（2013•上海）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）若y=f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．考点：正弦函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）已知函数y=f（x）在上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得，且，解出即可；（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g（x）=2．令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b﹣a最小，则a 和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]（m∈N*）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b﹣a的最小值．解答：解：（1）∵函数y=f（x）在上单调递增，且ω＞0，∴，且，解得．（2）f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到，∴函数y=g（x）=，令g（x）=0，得，或x=（k∈Z）．∴相邻两个零点之间的距离为或．若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，∴．另一方面，在区间恰有30个零点，因此b﹣a的最小值为．点评：本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．22．（16分）（2013•上海）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．专题：压轴题；新定义；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．解答：（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．23．（18分）（2013•上海）给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|﹣|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足a n+1=f（a n），n∈N*．（1）若a1=﹣c﹣2，求a2及a3；（2）求证：对任意n∈N*，a n+1﹣a n≥c；（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．考点：数列的函数特性；等差关系的确定；数列与函数的综合．专题：压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）对于分别取n=1，2，a n+1=f（a n），n∈N*．去掉绝对值符合即可得出；（2）由已知可得f（x）=，分三种情况讨论即可证明；（3）由（2）及c＞0，得a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列．分以下三种情况讨论：当a1＜﹣c﹣4时，当﹣c﹣4≤a1＜﹣c时，当a1≥﹣c时．即可得出a1的取值范围．解答：解：（1）a2=f（a1）=f（﹣c﹣2）=2|﹣c﹣2+c+4|﹣|﹣c﹣2+c|=4﹣2=2，a3=f（a2）=f（2）=2|2+c+4|﹣|2+c|=2（6+c）﹣（c+2）=10+c．（2）由已知可得f（x）=当a n≥﹣c时，a n+1﹣a n=c+8＞c；当﹣c﹣4≤a n＜﹣c时，a n+1﹣a n=2a n+3c+8≥2（﹣c﹣4）+3c+8=c；当a n＜﹣c﹣4时，a n+1﹣a n=﹣2a n﹣c﹣8＞﹣2（﹣c﹣4）﹣c﹣8=c．∴对任意n∈N*，a n+1﹣a n≥c；（3）假设存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列．由（2）及c＞0，得a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列．又{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥﹣c，从而a n+1=f（a n）=a n+c+8，由于{a n}为等差数列，因此公差d=c+8．①当a1＜﹣c﹣4时，则a2=f（a1）=﹣a1﹣c﹣8，又a2=a1+d=a1+c+8，故﹣a1﹣c﹣8=a1+c+8，即a1=﹣c﹣8，从而a2=0，当n≥2时，由于{a n}为递增数列，故a n≥a2=0＞﹣c，∴a n+1=f（a n）=a n+c+8，而a2=a1+c+8，故当a1=﹣c﹣8时，{a n}为无穷等差数列，符合要求；②若﹣c﹣4≤a1＜﹣c，则a2=f（a1）=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，∴3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=﹣c，应舍去；③若a1≥﹣c，则由a n≥a1得到a n+1=f（a n）=a n+c+8，从而{a n}为无穷等差数列，符合要求．综上可知：a1的取值范围为{﹣c﹣8}∪[﹣c，+∞）．点评：本题综合考查了分类讨论的思方法、如何绝对值符号、递增数列、等差数列等基础知识与方法，考查了推理能力和计算能力．。
2013年考研数三真题与答案解析(完整版)
2013年考研数三真题及答案解析一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．、１．当x0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）2ox2ox33（A）()()xox（B）o(x)o(x)()（C）o(x2)o(x2)o(x2)（D）o(x)o(x2)o(x2)【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例2xoxgxxox332如当x0时()(),()()fxx，但f(x)g(x)o(x)而不是2o(x)故应该选（D）．2．函数 fx x1(x)的可去间断点的个数为（）x(x1)lnx（A）0（B）1（C）2（D）3xxlnx 【详解】当xlnx0时，x1e1~xlnx ，xx1xlnxlimf(x)limlimxx(x1)ln0xxx0xxln0 1，所以x0是函数f(x)的可去间断点．xx1xlnx limf(x)limlimx1x(x1)lnx2ln1xxxx0 12 ，所以x1是函数f(x)的可去间断点．xx1xlnx limf(x)limlimx(1)ln1x(x1)lnxxx1x1 x，所以所以x1不是函数f(x)的可去间断点．故应该选（C）．３．设2y2D是圆域D(x,y)|x1的第k象限的部分，记k I k(yx)dxdy，则Dk（）（A）0I（B）I20（C）I30（D）I401【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知Ik k112k(yx)dxdy2d(sincosrdr(sinsin)d)2k1(k1)3D22k1 3 sincosk2k|21所以22I1I0,I2,I4，应该选（B）．333４．设a为正项数列，则下列选择项正确的是（）n（A）若an a，则n1(1)n1a收敛；nn1（B）若( na收敛，则11)n a n a；n1n1（C）若n1 pa收敛．则存在常数P1，使limna n存在；nn（D）若存在常数P1，使plimna存在，则nnn1a收敛．n【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一条件lima0，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，nn选项（B）也不正确，反例自己去构造．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．【详解】把矩阵A，C列分块如下：A1,2,,n,C1,2,,，由于ＡＢ＝Ｃ，n则可知(1,2,,)ib i1b i b inn in，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的122列向量组线性表示．同时由于B可逆，即 1ACB，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应该选（B）．1a12006．矩阵aba0b0相似的充分必要条件是与矩阵1a1000（A）a0,b2（B）a0，b为任意常数（C）a2,b0（D）a2，b为任意常数2001a1200【详解】注意矩阵0b0是对角矩阵，所以矩阵A=aba0b0相与矩阵0001a1000似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．1a1EAaba( 2bba(2)22 2 )1a1从而可知2b2a22b，即a0，b为任意常数，故选择（B）．22 7．设X1,X2,X3是随机变量，且X1~N(0,1),X~N(0,2),X~N(5,3)，23P i P2X i2，则（A）P1P2P3（B）P2P1P3（C）P3P2P1（D）P1P3P2X【详解】若X~N(,2)，则~N(0,1)X2P2(2)1，PP2X2P112(1)1，1222P 3 P2X2P3235X335235( 1)73731)，7P3P13(1)23(1)0．23故选择（A）．8．设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为X0123PP1/21/41/81/8Y-101P1/31/31/3则PXY2（）（A）112 （B）18（C）16（D）12【详解】PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y111212412416，故选择（C）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）2 9．设曲线yf(x)和yxx 在点1,0处有切线，则limnnfnn2．【详解】由条件可知f10,f'(1)1．所以2f1f(1)nn2limnflim2f2n2n2nnn22n'(1)2x 10．设函数zzx,y是由方程zyxy【详解】z确定，则|(1,2)x．x设Fxyzzyxy,,()，则xx1F x x,yzzyzyyFxyzxzy，,()l),(,n,)()(zz当x1,y2时，z0，所以|(1,2)22ln2x．lnx11．d x1(1)2x．【详解】lnx1lnx1dxlnxd|dxln1 12x(1x1x1x1x(1)1x) x1|1ln21 12．微分方程0yyy的通解为．41r，两个特征根分别为【详解】方程的特征方程为04x解为2y(C1Cx)e，其中C1,C2为任意常数．21 1，所以方程通2213．设A a是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aij为元素a ij的代数余子式，且满足ijA ij a ij0(i,j1,23)，则A=．,T 【详解】由条件A ij a0(i,j1,2,3)可知*0AA，其中A*为A的伴随矩阵，从ij 而可知AT31**AAA，所以A可能为1或0．n,r(A)n但由结论*Tr(A)1,r(A)n1可知，AA*0可知r(A)r(A*),伴随矩阵的秩只0,r(A)n1能为3，所以A1.14．设随机变量X服从标准正分布X~N(0,1)，则EXe2X．【详解】E2XXe222x(x2)(x2)21xe22x2xeeedx(x22)e2dx2222d x2e2tet 22dt 2 e2t2 dt2e E(X )22e22e．所以为2 2e．三、解答题15．（本题满分10分）当x0时，1cosxcos2xcos3x与nax是等价无穷小，求常数a,n．【分析】主要是考查x0时常见函数的马克劳林展开式．1 2ox2【详解】当x0时，()cxo1sx，2cos212ox2xox22x1(2x)()12()，2192ox2x2ox2cos3x1(3x)()1()，22所以1cosxcos2xcos3x1(1，1292ox2xoxxoxxox222222x())(12())(1())7(2)由于1cosxcos2xcos3x与nax是等价无穷小，所以a7,n2．16．（本题满分10分）设D是由曲线y，直线xa(a0)及x轴所转成的平面图形，V x,V y分别是D绕x3x 3x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10V x V y，求a的值．【详解】由微元法可知25aa3233V x ydxxdxa；005V476 aa33y2xf(x)dx2xdxa；07由条件10Vx V，知a77．y17．（本题满分10分）设平面区域D是由曲线x3y,y3x,xy8所围成，求x2．dxdyD【详解】D41623x68x22222xdxdyxdxdyxdxdyxdxdyxdxdy．xx032DD331218．（本题满分10分）Q 设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60,（P1000 是单价，单位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义．（3）使得利润最大的定价P．【详解】2Q（1）设利润为y，则6000yPQ(600020Q)40Q，1000Q边际利润为y'40.500（2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20．20000（3）令y'0，得40.Q20000,P601000019．（本题满分10分）设函数fx 在[0,)上可导，f00，且limf(x)2x，证明 （1）存在a0，使得fa1; （2）对（1）中的a ，存在(0,a)，使得f 1'()． a【详解】证明（1）由于limf(x)2，所以存在X0，当xX 时，有x3 25 f(x)，2又由于fx 在[0,)上连续，且f00，由介值定理，存在a0，使得fa1; （2）函数fx 在[0,a]上可导，由拉格朗日中值定理， 存在(0,a)，使得 f f (a)f(0)1'()．aa20．（本题满分11分） A 设1 1 a 0,B 0 1 1 b，问当a,b 为何值时，存在矩阵C ，使得ACCAB ，并求出所有矩阵C ． 【详解】显然由ACCAB可知，如果C 存在，则必须是2阶的方阵．设xx12C ，xx 34则ACCAB 变形为x 1 x 2 x 3 a x 3 x4 a x 1 x 2 x 2 ax 3a x 4 0 1 1 b，x 2 a x 3 0 即得到线性方程组 ax 1 x 1 x 3x 2 x 4a x 4 1 1，要使C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方 x 2 a x 3b程组的增广矩阵进行初等行变换如下01a0010111Aa 10a101a00 |b ，1011100001a01a0b0000b所以，当a1,b0时，线性方程组有解，即存在矩阵C ，使得ACCAB ．10111此时，01100 A|b ，0000000000x 1 111 所以方程组的通解为x010 2 xCC ，也就是满足ACCAB 的矩阵12x010 3 x 4001C 为1CCC121C ，其中C 1,C 2为任意常数．CC 1221．（本题满分11分） 设二次型22f(x 1,x ,x)2(axaxax)(bxbxbx)．记23112233112233 a 1 b 1 a 2 , b 2 ．a 3b 3（1）证明二次型f 对应的矩阵为2T T；（2）若,正交且为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为 22 2y y ． 12【详解】证明：（1） f( x,x 12 , x)3 2(ax 11 a 2 x 2 ax 33 ) 2 (bx 11 b 2 x 2 b 3 x)32 a 1 x 1 b 1 x 12 x , 1 x 2 , x3 a 2 a 1 ,a,a 23 x 2x 1 , x , 2 x 3 b 2 b , 1 b 2 ,b 3 x 2a 3 x 3b 3 x 3x 1 x 1 x, 1 x, 2 x 3 2 T x 2 x, 1 x 2 , x 3 T x2x 3 x 3x1x, 1 x , 2 x 32TT x 2 x 3所以二次型f 对应的矩阵为TT 2． 证明（2）设ATTT 2，由于1,0 2T TT则222A ，所以为矩阵对应特征值12的特征 向量；2TTTA22，所以为矩阵对应特征值21的特征向 量；TTrrTT 而矩阵A的秩()(2)(2)()2rAr，所以30也是矩阵的一个特征值．故f在正交变换下的标准形为22 2y y．1222．（本题满分11分）设X,Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为2x3x,01 f X(x)，在给定0,其他Xx(0x1)的条件下，Y的条件概率密度为23y,0yx,f Y y/x)．(3xX0,其他（1）求X,Y的联合概率密度fx,y；（2）Y的的边缘概率密度f(y)Y．【详解】（1）X,Y的联合概率密度fx,y：fx,yf(y/x)f XYX (x)29yx0,,0 x1,0y其他x（2）Y的的边缘概率密度f(y)Y：f Y(y)f(x,y)dxy29y1xdx92y ln y,0 y 10,其他23．（本题满分11分）2设总体X的概率密度为 f (x;)3x xe,x0 ，其中为为未知参数且大于零，0,其他X1X2,X为来自总体X的简单随机样本．n（1）求的矩估计量；（2）求的极大似然估计量．【详解】（1）先求出总体的数学期望E（X）2x，E(X)xf(x)dxedx02x令n1E(X)XX，得的矩估计量inn1X1nni1Xi．（2）当x0(i1,2,n)i时，似然函数为Ln 1n22nix xi1i()ee ，33 xn i1ix i i1取对数，nn 1 lnL()2nln3lnx ，ix i1ii1 dlnL() 令0dn 2n1 ，得0ix i 1， 解得的极大似然估计量为．。
2013年高考理科数学试卷及答案---全国卷(新课标版)word版A3版
2013年全国卷新课标数学（理）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为A. 3B. 6C. 8D. 102. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题： :1P 2||=z:2P i z 22= :3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ，3PB. 1P ，2PC. 2P ，4PD. 3P ，4P4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23ax =上的一点，12PF F △是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为A.21B.32 C.43 D.54 5. 已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a aA.7B. 5C.5-D. 7-6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和 实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12D. 188. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，两点，34||=AB ，则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 89. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为A.62 B.63 C.32 D.22 12. 设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 夹角为︒45，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b.14. 设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x 则y x Z 2-=的取值范围为 .15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布)50,1000(2N ，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n nn ，则}{n a 的前60项和为 .三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分） 已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a . (Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .18. （本小题满分12分） 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.(Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式； (以 （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 (Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.20. （本小题满分12分）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90BFD ∠=︒，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.21. （本小题满分12分） 已知函数121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+.(Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间； (Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号. 22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的 外接圆于F ，G 两点.若AB CF //，证明： (Ⅰ) BC CD =；(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π. (Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集； (Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围.参考答案1-12：DACCD CBCAB AB 13、 14、[]3,3-. 15、3816、1830. 17、解：(Ⅰ)由cos sin 0a C C b c +--=及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=,()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C -+-=,sin cos sin sin 0A C A C C --=,sin 0C >,cos 10A A --=,2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0A π<<，5666A πππ∴-<-<， 66A ππ∴-=3A π∴=(Ⅱ)ABC S =△，1sin 2bc A ∴==4bc ∴=， 2,3a A π==， 222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=， 228b c ∴+=.解得2b c ==.18、解：(Ⅰ) ()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（n N ∈）； (Ⅱ) （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 的分布列为X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.（ⅱ）若花店计划一天购进17X 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花. 19、(Ⅰ) 证明：设112AC BC AA a ===， 直三棱柱111C B A ABC -， 1DC DC ∴==， 12CC a =，22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥.又1DC BD ⊥，1DC DC D=，1DC ∴⊥平面BDC .BC ⊂平面BDC ,1DC BC ∴⊥.(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，1DC =，1BC =，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=.在Rt ABD △中，,,90BD AD a DAB ==∠=， AB ∴=.222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥.取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ， 已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C DE △中，1111sin 2C EC DE C D∠===，130C DE ∴∠=.即二面角11C BD A --的大小为30.20、解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =.点A 到准线l 的距离d FB FD ==. 由ABD S =△,11222BD d p ⨯⨯=⨯=2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90o ADB ∠=,2BD p∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x 22=得A x . 直线m的斜率为AF k ==.直线m的方程为02x +=. 由py x 22= 得22x y p =,xy p'=.由3x y p '==得, x p =.故直线n 与抛物线C 的切点坐标为,36p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,直线n的方程为06x -=. 所以坐标原点到m ，n3=.21、解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f ef x -''=-+,令1x =得,(0)1f =,再由121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+,令0x =得()1f e '=.所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+.()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔< 所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞.(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立, 即()()21()102xh x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立，()()1x h x e a '=-+,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意; (2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=;(3)当10a +>时, ()()1xh x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+,故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-. 依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥, 即()()11ln 1b a a a ≤+-++,10a +>,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++,令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-,()00()0u x x u x x ''>⇔<<<⇔>所以当x =, ()u x取最大值2e u=.故当1a b +==时, ()1a b +取最大值2e . 综上, 若b ax x xf ++≥221)(，则 b a )1(+的最大值为2e . 22、证明：(Ⅰ) ∵D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点， ∴//DE BC .//CF AB ,//DF BC ,CFBD ∴且 =CF BD ，又∵D 为AB 的中点，CFAD ∴且 =CF AD ，CD AF ∴=.//CF AB ，BC AF ∴=.CD BC ∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BCGF ，GB CF BD ∴==， BGD BDG DBC BDC ∠=∠=∠=∠BCD GBD ∴△∽△.23、解：(Ⅰ)依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为.所以点A ，B ，C ，D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-； (Ⅱ) 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则 2222||||||||PD PC PB PA +++())2212cos 3sin ϕϕ=-+()()222cos 13sin ϕϕ++-()()2212cos 3sin ϕϕ+--+)()222cos 13sin ϕϕ++--2216cos 36sin 16ϕϕ=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.24、解：(Ⅰ) 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥.所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥. (Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立， 即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立， 即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立， 所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩，即30a -≤≤.所以a 的取值范围为[]3,0-.。
2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析2013年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.（4分）计算：$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1} ^{n}k\sqrt{n^2+k^2}$考点：数列的极限。
专题：计算题。
分析：根据数列极限的定义即可求解。
解答：$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1}^{n}k\sqrt{n^2+k^2}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k}{n}\sqrt{1+\frac{k^2}{n^2}}$int_{0}^{1}x\sqrt{1+x^2}dx=\frac{2}{3}(1+\sqrt{2})$故答案为：$\frac{2}{3}(1+\sqrt{2})$。
点评：本题考查数列极限的求法，属基础题。
2.（4分）设$m\in R$，$m^2+m^{-2}+(m^2-1)i$是纯虚数，其中$i$是虚数单位，则$m=-2$。
考点：复数的基本概念。
专题：计算题。
分析：根据纯虚数的定义可得$m^2-1=0$，$m^2-1\neq0$，由此解得实数$m$的值。
解答：$\because$复数$z=(m^2+m^{-2})+(m-1)i$为纯虚数。
therefore m^2+m^{-2}=0$，$m^2-1\neq0$，解得$m=-2$。
故答案为：$-2$。
点评：本题主要考查复数的基本概念，得到$m^2+m^{-2}=0$，$m^2-1\neq0$，是解题的关键，属于基础题。
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2013年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）数学（理科）参考答案与评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1. A2. D3. A4. C5. C6. C7. A8. B9. C 10. D 11. C 12. B3. A 提示21()cos 2cos 32cos 1cos 2,3f x a b x x x x =⋅=⋅-⋅=-= 故选择A.5. C 提示：如图，画出可行域为ABO ∆的内部（包括边界），其中A(1,2). 令2m x y =+，可见当12x y =⎧⎨=⎩时，m 取到最大值是4，于是z 的最大值是2log (44)3+=，故选C.6.C 提示：由于要求201614121+⋅⋅⋅+++的和，且当1i =时，12s =，当2i =时，4121+=S ，依次类推，一共有10项，因而i >10，故选C. 7. A 提示：'()'xxy e e --==-，所以切线斜率为e -，切线方程为(1)y e e x -=-+，即y ex =-，所以P 为真.极值点要求导数等于零的点左右单调性相反，所以命题q 为假.所以“p 或q ”为真，选A.Oxy A (1,2)B8. B 提示：()3sin cos =2sin 6f x x x x πωωω=++（）,依题意，||αβ-的最小值为14周期，故1232.443ππωω⋅==，所以 因此选择B.9. C 提示：依题意2269,3,3;3 2.33m m m e m e ==±====-=时，时，故选择C. 10. D 提示：（方法一）41452()80C C =，而410210C =，故选D. （方法二）情形①在五个红球中取出四个，不在黑球中取，共有40515C C ⋅=种; 情形②在五个红球中取出三个，在黑球中取出一个，共有315220C C ⋅=种; 情形③在五个红球中取出二个，在黑球中取出二个，共有225330C C ⋅=种; 情形④在五个红球中取出一个，在黑球中取出三个，共有135420C C ⋅=种;情形⑤在红球中不取，在五个黑球中取出四个，共有04555C C ⋅=种；从而共有80种情况.而事件的基本空间中情况的个数为410210C =，于是选D.11.C 提示：当截面是以AB 为直径的圆时面积最小，正三棱锥O ABC-中，侧棱为2，高为1，可得底面边长为3，故239()24S ππ==，选C.12. B 提示：由题得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-≤≤--=.23＞1＜,231,2)(22x x x x x x x f 或由函数c x f y -=)(的零点恰有两个，即方程c x f =)(恰有两根，也就是函数)(x f y =的图象与函数c y =的图象有两个交点.如图所示,满足条件的c 为]⎪⎭⎫ ⎝⎛----∞43,12,( ，故选Ｂ.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.2425 14.23 15. 22y x -=1316.199319942013124005214005b b b b b b ++++++= 。
13.2425提示：5350,.sin(),,44445444cos(),cos 2sin(2)sin 2()4524242sin()cos().4425ππππππαπααπαπππααααππαα<<∴<+<+=-∴<+<∴+=-∴=+=+=++= 又14.23 提示：由三视图知，几何体为底面是边长为2，高为3的四棱锥，所以体积为1123232332V =⨯⨯⨯⨯=.15. 22y x -=13提示：抛物线x y 82= 的焦点F(20)，，准线为 x -2=，∴ 双曲线焦点1F(20)F (20)-，和，即c 2=．设P m n （，），由抛物线的定义得PF 5m 2==+，∴m 3=．代入抛物线方程得26±P （3，），221|F |(32)(260)7P =++-=由双曲线的定义得1PF PF 752a -=-=，∴ 1=a ，222413b c a =-=-=， b 3= ∴双曲线方程为1322=-y x .16.199319942013124005214005b b b b b b ++++++=提示:根据等比性质可知2119931994199520132003a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,200340054005321a a a a a =⋅⋅⋅⋅ , 所以根据等差数列中，有199319942013124005214005b b b b b b ++++++= .三、解答题：本大题共70分.17.（1）由)N (21++∈+=n S a n n ，得+-∈+=N (21n S a n n ，2n ≥），…2分 两式相减得：1n n n a a a +-=， 即++∈=N (21n a a n n ，2n ≥）…4分 ∵{}n a 是等比数列，所以212a a =，又212,a a =+ 则1122a a +=，∴12a =， ∴2n n a =. …6分FEDACBSyz x FEDACBS（2）由（1）知112n n a ++=，2n n a =,∴()2211111log log 11n n n b a a n n n n +===-⋅++， …………8分11111111223111n nT n n n n =-+-++-=-=+++ . ……………………………12分18. （1）证明：取线段SB 中点F ，取SC 中点E ，连接DE ，EF ，AF ，所以//EF BC 且12EF BC =， 由已知//AD BC 且12AD BC =，所以//EF AD ，且EF AD =，所以//AF DE ，且AF DE =， 因为SA AB =，所以AF SB ⊥， 又SA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以SA BC ⊥，又AB BC ⊥，且A AB SA = ，所以⊥BC 面SAB ，因为⊂AF 面SAB ，所以,AF BC SB BC B ⊥= ，所以AF ⊥平面SBC ，因为//AF DE ，DE ⊥平面SBC ，DE ⊂平面SDC ，所以平面SBC ⊥平面SDC . …………6分（2）如图所示建立空间直角坐标系10,,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,1,0C - ，()1,0,0B - ， ()0,0,1S ，()1,0,1SB =--，令(),,n x y z =为平面SCD 的一个法向量，则有 102102y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ，令1z = ，则()1,2,1n = 设直线SB 与平面SDC 所成角为θ， 33sin =⋅=nSB n SB θ，所以3arcsin 3θ=. …………12分19.(1)依题2100405A =⨯=,31001520B =⨯=,4021005C ==,5110020D ==.-------2分 (2) ①所以由公式r )4)(4(42412241241y y x x yx yx i i i i ii --⋅-=∑∑∑===65131313.85950190-==-=-⨯.----------------4分 由130.9420.95013.8r =≈<. 可见没有95%把握认为x 与Y 之间具有线性相关关系. -----------------------6分 ②令两天该商场销售该品牌电视机的台数为ξ,则依题200X ξ=. 而ξ的值可能为2,3,4,5,6,7,8.由题224(2)5525P ξ==⨯=，12228(3)5525P C ξ==⨯⨯=.2122237(4)()552025P C ξ==+⨯⨯=，112221234(5)52052025P C C ξ==⨯⨯+⨯⨯=，1222131(6)()5202016P C ξ==⨯⨯+=，12313(7)2020200P C ξ==⨯⨯=，211(8)()20400P ξ===.从而ξ的分布列为:ξ2 3 4 5 6 7 8P425 825 725 425 116 3200 1400------------------------------------10分于是48137()238252540010E ξ=⨯+⨯++⨯= . 这样X 数学期望()(200)200()740E X E E ξξ===(元).-------------------------------12分20.（1）解：由已知 2221,223,.c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩…………2分解得2a =，3b =．故所求椭圆方程为22143x y +=． …………4分 （2）证明：由（1）知()12,0A -，)0,2(2A ，()21,0F ．设()()000,2P x y x≠±，则22003412x y +=．于是直线1A P 方程为 ()0022y y x x =++，令4x =，得0062M yy x =+. 所以(M 4,0062y x +)，同理(N 4,0022y x -)． …………………………6分 所以2F M = (3,0062y x +)，2F N = (3,0022y x -).所以 22F M F N ⋅= (3,0062y x +)⋅(3,0022y x -)000062922y y x x =+⨯+-20201294y x =+- ()2020312394x x -=+-=990-= ，所以 22F M F N ⊥，点2F 在以MN 为直径的圆上． ………………… 8分 设MN 的中点为E ，则(4,E 00204(1)4y x x --)． …………9分 又2F E = (3,00204(1)4y x x --)，()2001,,F P x y =-所以22F E F P ⋅= (3,00204(1)4y x x --)()()()20000020411,314y x x y x x -⋅-=-+- ()()()()()20020123131313104x x x x x x --=-+=---=-．所以 22F E F P ⊥． …………11分 因为2F E 是以MN 为直径的圆的半径，E 为圆心，22F E F P ⊥，故以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于右焦点． …………12分21.2221(1)(1)12()++22[(1)]2(1)a x a x f x x a x x a x -+---'=⋅=++++ 222(1)(1)2(1)(1)x a x a a x x --+-==++，(1)x >- ………………………………2分 ()f x ∴在2(1,1)a --上为减函数，在2(1,)a -+∞为增函数，()f x ∴在1-a 2x =处取得极小值. ………………………………4分（1）依题: 22140,aa ⎧<-<⎪⎨⎪>⎩,2253a <<. ………………………………6分 （2）依题: 2110,aa ⎧-≤⎪⎨⎪>⎩,1a ≥. ………………………………8分（3）由（2）知：当1a =时，11()ln,21x xf x x +-=++在[1,)+∞上为增函数， ∴当1x >时，有()(1)0f x f >=，即11ln ,(1)21x xx x +->->+， 取11(2)1x n x n --=≥+， …………10分则111n x n +=>-，121x n n +=-，即有：1ln ,(2)1n n n n >≥-∴111134ln 2ln ln lnln 234231nn n n ++++<++++=- . …………12分 （方法二）由于13231ln ln ln 2ln ln ln1221221n n n nn n n n n --=⋅⋅=++++----从而只需证明()1ln21n n n n>≥-. ………………………………………10分 考查函数()()11ln ln 11x g x x x x x x-=-=+-≥, 而()22111'x g x x x x-=-=，所以()g x 在()1,+∞是增函数，在()0,1上是减函数，所以()()min 10g x g ==，所以()0g x ≥.令1-=n n x ，()1ln21n n n n>≥-，所以命题得证. ……………………………12分 22. (1)证明：连接BO 并延长交圆O 于G ，连接GCDBC DAC ∠=∠ ，又 AD 平分BAC ∠，BD 平分EBC ∠,EBC BAC ∴∠=∠.又 BGC BAC ∠=∠，EBC BGC ∴∠=∠,90GBC BGC ∠+∠= ,∴90GBC EBC ∠+∠= ,∴OB BE ⊥. ……………5分 ∴BE 是圆O 的切线.（2）由（1）可知△BDE ∽△ABE ，BE BDAE AB=,BE AB BD AE ⋅=⋅∴， 6=AE ，4AB =，3BD =，92BE ∴=. ……8分由切割线定理得：2BE DE AE =⋅ 278DE ∴=. ……………10分 23. 由223sin 10ρρθ--=，得222310x y y +--=，即()2234x y +-=. …………3分将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得212t ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋23332t ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭＝4，即2680t t -+=， 40∆=>，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以121268t t t t +=⎧⎨=⎩, …………6分12t 2,t 4.==解得（1）1232t t +=，∴33,22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴点M 的极坐标为3,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. ………………8分 （2）又直线l 过点，故由上式及参数t 的几何意义得PA PB +=12t t +＝126t t +=. .........10分24.(1) (1)0f x +≥ ，1x x m ∴+-≤.当m ＜1时，11≥-+x x ，∴不等式m x x ≤-+1的解集为φ，不符题意. 当1≥m 时，①当0＜x 时，得21m x -≥，0＜21x m≤-∴. ②当10≤≤x 时，得m x x ≤-+1，即m ≤1恒成立.③当1＞x 时，得21+≤m x ，21＜1+≤∴m x .综上m x x ≤-+1的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤-2121m x m x.由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-121021m m，1=∴m . ……………………………5分 (2) 222x a ax +≥ ,222y b by +≥ ,222z c cz +≥ ,()2222222a b c x y z ax by cz ∴+++++≥++,由(1)知2222221,x y z a b c ++=++=()22ax by cz ∴++≤, 1.ax by cz ∴++≤ …………………………10分。