教学课件：1.2.2.2第2课时 分段函数及映射

x2 －1≤x≤1 2.已知 f(x)＝ 1 x＞1或x＜－1
(1)画出 f(x)的图象； (2)求函数 f(x)的定义域和值域．
解析：
(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示． (2)由条件知， 函数f(x)的定义域为R. 由图象知，当－1≤x≤1时 f(x)＝x2的值域为[0,1]， 当x＞1或x＜－1时， f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．
，
求(1)f(－5)，(2)f(－ 3)，(3)f(3)，(4)f(f(f(－4))) 的值．
[解题过程] (1)∵－5＜－3 ∴f(－5)＝－5＋2＝－3 (2)∵－3＜－ 3＜3 2 ∴f(－ 3)＝(－ 3) ＝3 (3)f(3)＝2×3＝6 (4)∵－4＜－3， ∴f(－4)＝－4＋2＝－2； 又∵－3＜－2＜3， ∴f(f(－4))＝f(－2)＝(－2)2＝4； 又∵4＞3， ∴f(f(f(－4)))＝f(4)＝2×4＝8.
[题后感悟] (1)分段函数求值，一定要注意所 给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式 求得． (2)若题目是含有多层“f”的问题，要按照“ 由里到外”的顺序，层层处理．
1.
已
知
函
数
f(x)
＝
x＋1， x≤－2， 2 x ＋2x， －2＜x＜2， 2x－1， x≥2.
(1)求 f(－5)，f(－
(2)①当a≤－2时，f(a)＝a＋1， ∴a＋1＝3，∴a＝2＞－2不合题意，舍去． ②当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3， 即a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0， ∴a＝1或a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)， ∴a＝1符合题意． ③当a≥2时，2a－1＝3， ∴a＝2符合题意． 综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
4 ． 已 知 函 数 f(x) 的 解 析 式 为 f(x) ＝
3x＋5，x≤0， x＋5，0＜x≤1， －2x＋8，x＞1.
(1)求
3 1 f2，f ，f(－1)的值； π
(2)画出这个函数的图象； (3)求 f(x)的最大值．
3 3 3 解析： (1)∵ ＞1，∴f2＝－2× ＋8＝5. 2 2 5π＋1 1 1 1 ∵0＜ ＜1，∴f( )＝ ＋5＝ . π π π π ∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
答案：
x－1 2 ＋1 2
2．作出下列函数的图象． (1)y＝x，|x|≤1； (2)y＝1－x，x∈Z 且|x|≤2； x2－x (3)y＝ . x－1 解析： (1)此函数图象是直线y＝x的一部分．
(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以 其图象由五个点组成，这些点都在直线y＝1－ x上．(这样的点叫做整点)
③
是
④
⑤ ⑥
不是
不是 不是
是一对多，不满足对应元素 唯一性.
是一对多，不满足对应元素 唯一性.
a3，a4无对应元素、不满足 取元任意性.
答案： A
[题后感悟] 判断一个对应是否为映射的关键 是什么？ ①取元任意性：A中任意元素在B中是否都有 元素与它对应； ②唯一性：A中元素在B中的对应元素是否唯 一． [注意] ①映射允许多对一，一对一，不允许 一对多． ②想说明一个对应不是映射，只需寻找一个反 例即可．
ห้องสมุดไป่ตู้
分段函数的图象 |x|－x 已知函数 f(x)＝1＋ (－2<x≤2)． 2 (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．
讨论x的取值范围→化简fx的解析式→把fx 表示为分段函数形式→画出fx的图象→求fx 的值域
[规范作答] ＝1，2 分
安全文明网 / 2016安全文明驾驶常识模拟考试 安全文明驾驶常识2016 年安全文明驾驶常识模拟 2016文明驾驶 2016文明驾驶考题 安全文明网 /kaoshi/mn/ 科四安全文明驾驶考试 安全文明网 /kaoshi/c1/ c1安全文明驾驶考试 安全文明网 /kaoshi/b2/ b2安全文明驾驶考试 安全文明网 /kaoshi/a1/ a1安全文明驾驶考试 科目4考试 /kaoshi/a2/ a2安全文明驾驶考试 科目四考试 /kaoshi/cs/ 安全文明驾驶常识考试
x2－x (3)先求定义域， 在定义域上化简函数式 y＝ x－1 ＝x，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．其图象如下：
1．分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不 对应关系 ，则称这 同的取值范围，有着不同的_________ 样的函数为分段函数． 2．映射 设A、B是两个_____ 非空 的集合，如果按某一个确 任意一个元 定的对应关系f，使对于集合A中的________ 唯一确定 的元素y与之对 素x，在集合B中都有_________ f：A→B为从集合A到集合B 应，那么就称对应_______ 的一个映射．
◎下列命题： (1)函数是定义域到值域的映射； (2)f(x)＝ x－3＋ 2－x是函数的解析式； (3)函数 y＝3x(x∈N)的图象是一条直线； (4)函数 f(x)＝x 与 g(x)＝ x2是同一函数． 其中正确命题的序号是________．
【错解】 (1)、(2)、(3)、(4)
【错因】 第(2)个命题忽视了定义域，因为 y ＝ x－3＋ 2－x的定义域为∅，所以它不是解 析式；第(3)个命题中的函数的定义域为 N，其 图象由点构成；第(4)个命题，由于 g(x)＝ x2＝ |x|，所以两函数的对应法则不同，不是同一函 数．
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
x＋1 1．已知函数 f(x)＝ －x＋3
5 x≤1 ，则 f2＝ x＞1
(
) 1 B. 2 9 D. 2
1 A．－ 2 5 C. 2
答案： B
2．已知集合A＝{a，b}，B＝{1,2}，则下列对 应不是从A到B的映射的是( )
映射的概念及运用 如下图中所示的对应：
其中构成映射的个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6
从映射定义出发，观察A中任一元素在B中是否 都有唯一元素与之对应.
[解题过程]
序 号 ① ② 是否 为映 射 是 是 原因 满足取元任意性、对应元素唯 一性. 满足取元任意性、对应元素唯 一性. 满足取元任意性、对应元素唯 一性.
解析： A、B、D均满足映射定义，C不满足 集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之 对应，且集合A中元素b在集合B中无唯一元素 与之对应．故选C. 答案： C
3．已知函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的 解析式是________．
解析： ∵f(x)的图象是由两条线段 组成， ∴由一次函数解析式求法可得 x＋1 －1≤x＜0， f(x)＝ 0≤x≤1. － x x＋1 x∈[－1，0 答案： f(x)＝ x∈[0，1] －x
m≤－2 －2＜m＜2 (3)f(m) ＞ m ⇔ 或 2 或 m＋1＞m m ＋2m＞m m≥2 2m－1＞m －2＜m＜2 m≥2 ⇔m≤－2 或 或 m＜－1或m＞0 m＞1
⇔m≤－2 或－2＜m＜－1 或 0＜m＜2 或 m≥2 ⇔m＜－1 或 m＞0. ∴所求 m 的取值范围是(－∞， －1)∪(0， ＋∞)．
5 － 3)，f f 的值； 2
(2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值； (3)若 f(m)＞m，求实数 m 的取值范围．
解析：
(1)由－5∈(－∞，－2]， 5 － 3∈(－2,2)，－ ∈(－∞，－2]， 2 知 f(－5)＝－5＋1＝－4， f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3)＝3－2 3. 5 5 3 3 ∵f－2＝－ ＋1＝－ ，－2＜－ ＜2， 2 2 2 5 3 － － ∴f f ＝ f 2 2 3 3 2 ＝－2 ＋2×－2 9 3 ＝ －3＝－ . 4 4
(2)如图所示．
在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分， 在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分， 在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分． 图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象． (3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值 为6.
分段函数及应用
x＋2 x≤－3 2 已知函数 f(x)＝x －3＜x＜3 2x x≥3
1．正确认识分段函数 (1)分段函数是一个函数而非几个函数，只不 过在定义域的不同子集内解析式不一样． (2)分段函数的定义域是各段“定义域”的并 集，其值域是各段“值域”的并集． (3)分段函数的图象应分段来作，特别注意各 段的自变量取区间端点处时函数的取值情况， 以决定这些点的实虚情况．
2．正确理解映射概念 (1)映射f：A→B是由非空集合A、B以及A到B 的对应关系f所确定的． (2)映射定义中的两个集合A、B是非空的，可 以是数集，也可以是点集或其他集合，A、B 是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射 一般是截然不同的，即f具有方向性． (3)在映射中，集合A的“任一元素”，在集合 B中都有“唯一”的对应元素，不会出现一对 多的情况．只能是“多对一”或“一对一”形 式．
4．设M＝{x|0≤x≤3}，N＝{y|0≤y≤3}，给出4个 图形，其中能表示从集合M到集合N的映射关 系的有( )
A．0个 C．2个
B．1个 D．3个
解析： 图①，图②符合映射定义，图③集合 M中的(2,3]的数在集合N中没有元素与之对应， 故不能构成映射，图④集合M中的(0,1]内的每 一个数在集合N中有两个元素与之对应，故不 能构成映射． 答案： C
[题后感悟] (1)如何去掉函数解析式中的绝对 值符号？ 采用零点分段法：
①令每个绝对值符号内的式子等于0，求出对 应的x值，设为x1，x2； ②把求出的x值标在x轴上，如图． ③根据x值把实轴所分的部分进行讨论，分 x≤x1，x1＜x≤x2，x≥x2.