2015高考数学二轮复习热点题型：专题12 函数模型及其应用(解析版)

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考点9 函数模型及其应用(解析版)

2010-2015年高考真题汇编专题2函数考点9函数模型及其应用1.（2015年全国卷 10，5分）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x 。

将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为（）【答案】B 【解析】当2π=x 时，22=+PB PA ，当4π=x 时，2251>+=+PB PA ，排除C ，D,显然P 在BC 上运动时，PB PA +与x 并不是呈线性关系，排除A ，选B 2.（2015年四川13，5分）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k ，b 为常数）。

若该食品在的保鲜时间是192小时，在23的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是________小时。

【答案】24 【解析】故当时，y x °C kx by e+=e=2.718⋅⋅⋅°0C °C °C 0+22ln 4192ln192,4822k bk b eb e k ⨯⨯+-=⇒==⇒=33x =ln 433ln192ln 242224e e -⨯+==424π424π424π424πABCD3.（2015年四川15，5分）已知函数。

对于不相等的实数，，设，。

现有如下命题：(1) 对于任意不相等的实数，，都有；(2) 对于任意的及任意不相等的实数，，都有； (3) 对于任意的，存在不相等的实数，，使得; (4) 对于任意的，存在不相等的实数，，使得. 其中的真命题有_________________(写出所有真命题的序号）。

【答案】(1) (4) 【解析】(1)设>,函数单调递增，所有>,->0, 则=>0,所以正确；(2)设>,则->0,则，可令=1，=2，a=—4，则n=—1<0，所以错误； (3)因为，由（2）得：，分母乘到右边，右边即为，所以原等式即为=，即为=，令,则原题意转化为对于任意的，函数存在不相等的实数，使得函数值相等，，则，则，令，且，可得为极小值。

12、函数模型及其应用(含答案)

12函数模型及其应用1.七类常见函数模型(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：4.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．5．解函数应用题的一般步骤第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．2．建模的基本原则(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．练习一1.有一组试验数据如表所示：A．y＝2x＋1－1 B．y＝x2－1C．y＝2log2x D．y＝x3答案 B解析根据表中数据可知，能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.2.物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )答案 B解析B中，Q的值随t的变化越来越快．故选B.3.有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m2.(围墙厚度不计)答案2500解析设围成的矩形的长为x m，则宽为200－x4m，则S＝x·200－x4＝14(－x2＋200x)＝－14(x－100)2＋2500.当x＝100时，S max＝2500 m2.4．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )答案 B解析当h＝H时，体积为V，故排除A，C；由H→0过程中，减少相同高度的水，水的体积从开始减少的越来越快到越来越慢，故选B.5．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为( )答案 D解析由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x2＝4－x ，所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D. 6.某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设f (t )表示学生注意力指标．该小组发现f (t )随时间t (分钟)的变化规律(f (t )越大，表明学生的注意力越集中)如下：f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧100a t10－600≤t ≤10，34010<t ≤20，－15t ＋64020<t ≤40(a >0且a ≠1)．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由；(3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？解 (1)由题意得，当t ＝5时，f (t )＝140，即100·a510－60＝140，解得a ＝4. (2)因为f (5)＝140，f (35)＝－15×35＋640＝115，所以f (5)>f (35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中． (3)①当0<t ≤10时，由(1)知，f (t )＝100·4t 10－60≥140，解得5≤t ≤10；②当10<t ≤20时，f (t )＝340>140恒成立； ③当20<t ≤40时，f (t )＝－15t ＋640≥140，解得20<t ≤1003. 综上所述，5≤t ≤1003. 故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003－5＝853分钟． 7．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎨⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B x －A ，x >A .已知某家庭2019年前三个月的煤气费如下表：月份用气量煤气费一月份 4 m 3 4元二月份 25 m 3 14元三月份35 m 319元A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元答案 A解析根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎨⎧4，0<x ≤5，4＋12x －5，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5，故选A.8．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析由题意得⎩⎨⎧e b＝192，e22k ＋b＝48，即⎩⎨⎧e b ＝192，e11k＝12，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．9．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解 (1)如图，作PQ ⊥AF 于点Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4，在△EDF 中，EQ PQ ＝EF FD，所以x －48－y ＝42，所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}． (2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，所以S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增，所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，最大值为48平方米．10．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年答案 B解析根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.11．已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用P A ＝lg n A 来记录A 菌个数的资料，其中n A 为A 菌的个数，现有以下几种说法：①P A ≥1；②若今天的P A 值比昨天的P A 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A 菌个数多10；③假设科学家将B 菌的个数控制为5万，则此时5<P A <5.5(注：lg 2≈0.3)．则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)答案 ③解析当n A ＝1时，P A ＝0，故①错误；若P A ＝1，则n A ＝10，若P A ＝2，则n A ＝100，故②错误；设B 菌的个数为n B ＝5×104，∴n A ＝10105×104＝2×105，∴P A＝lg n A ＝lg 2＋5.又lg 2≈0.3，∴P A ≈5.3，则5<P A <5.5，即③正确．12．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115>0，解得x >2.3， ∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z .当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0，结合x 为整数得6<x ≤20，x ∈Z .∴y ＝⎩⎨⎧50x －1153≤x ≤6，x ∈Z ，－3x 2＋68x －1156<x ≤20，x ∈Z .(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，显然当x ＝6时，y max ＝185；对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6<x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．13.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3010)( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析设至少要洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x ≤1100，∴x ≥1lg 2≈3.322，因此至少需要洗4次，故选B.14．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100答案 C解析对于A 中的函数，当x ＝3或4时，误差较大．对于B 中的函数，当x ＝4时误差较大．对于C 中的函数，当x ＝1,2,3时，误差为0，x ＝4时，误差为10，误差很小．对于D 中的函数，当x ＝4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C 中的函数误差最小．15．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y (只)与时间x (年)近似地满足关系y ＝a log 3(x ＋2)，观察发现2014年(作为第1年)到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000只，估计到2020年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为( )A ．4000只B ．5000只C ．6000只D ．7000只答案 C 解析当x ＝1时，由3000＝a log 3(1＋2)，得a ＝3000，所以到2020年冬，即第7年，y ＝3000×log 3(7＋2)＝6000，故选C.15.某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．无法判断盈亏情况C ．没有盈利也没有亏损D ．略有亏损答案 D解析由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.993≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．16．某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x 年后，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 D解析设某地区起始年的绿化面积为a ，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x 年后，绿化面积g (x )＝a (1＋18%)x ，因为绿化面积与原绿化面积的比值为y ，则y ＝f (x )＝g x a＝(1＋18%)x ＝1.18x ，因为y ＝1.18x 为底数大于1的指数函数，故可排除A ，C ，当x ＝0时，y ＝1，可排除B ，故选D.17．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t (单位：min)后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )⎝ ⎛⎭⎪⎫12t h，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min ，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要________ min.答案 8解析由题意知T a ＝21 ℃.令T 0＝85 ℃，T ＝37 ℃，得37－21＝(85－21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1216h ，∴h ＝8.令T 0＝37 ℃，T ＝29 ℃，则29－21＝(37－21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 8，∴t ＝8.18．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0. 当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1. 解方程组⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q 10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．19．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120.设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f (x )最大？解 (1)若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5. (2)由题知，f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎨⎧ x ≥20，200－x ≥20，解得20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．令t ＝x ，则t 2＝x ，t ∈[25，65]， y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，y 取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．。

2015届高考数学专项精析精炼考点8函数与方程、函数模型及其应用

考点8 函数与方程、函数模型及其应用（2014年）一、选择题1. （2014·湖南高考理科·Ｔ10）已知函数221()(0)()ln()2x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是 ( ) A．(-∞ B．(-∞ C．( D．( 【解题提示】利用存在性命题及函数图象的对称性，再构造新函数，利用函数图象平移求解。

【解析】选B.解法一：由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=,当0x 取决于负无穷小时,()001ln 2x e x a --+-趋近于-∞,因为函数在定义域内是单调递增的,所以ln a a <⇒<。

解法二：由已知设()0,0x ∈-∞，满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+，即()[]a x e x--=-ln 210，构造函数()=x h ()()()0ln ,21<-=-x x x e x ϕ，画出两个函数的图象，如图，当()()()0ln <-=x x x ϕ向右平移a 个单位，恰好过点()21,0时，得到()e e a a ===21,21ln ，所以e a <。

2、（2014·上海高考文科·Ｔ18）111222112212121212(,),)1(1,1,.,,,P a b P a b y kx k a x b y a x b y P P B P P P P P P =++=⎧⎨+=⎩已知与（是直线为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组的解的情况是（）.A.无论k,如何，总是无解无论k,如何，总是唯一解C.存在k,，使之恰有两解 D.存在k,，使之有无穷多解【解题提示】通过消元法解方程组，可得y 的关系式，结合1122,,a b a b ，之间的关系，可把y 求出来，代入可得x 的取值. 【解析】()1122111221222121212112212121121,11(1)1(2)(1)(2)-=,,1,,,b ka b ka a x b y a a x a b y a a x b y a a x a b y a a b a b y a a a a y a a y x k P P B=+=+*+=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩--*-=-==-根据条件有，（）方程组，可变为得，（）将式代入得：即所以无论k,如何，总是唯一解答案：3. （2014·山东高考理科·Ｔ8）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =，若()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（） A 、1(0,)2 B 、1(,1)2C 、(1,2)D 、(2,)+∞【解题指南】本题考查了函数与方程，函数的图像，可先作出草图，再利用数形结合确定k的范围.【解析】选B.先作出函数的图像，由易知，函数()()kx x g x x f =+-=，12的图像有两个公共点，由图像知当直线介于x y l x y l ==:,21:21之间时，符合题意，故选B. 二、填空题4.（2014·福建高考文科·Ｔ15）15．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是_________【解题指南】分段函数分段处理．【解析】令220x -=，解得x =x =；令26ln 0x x -+=，即ln -2+6x x =，如图3，在0x >的范围内两函数有一个交点，即原方程有一个根．综上函数()f x 共有两个零点．答案：２．5. （2014·辽宁高考理科·Ｔ1６）对于0c >，当非零实数,a b 满足224240a ab b c -+-=且使2a b +最大时，345a b c-+的最小值为________ 【解析】令2a b m +=，则2b m a =-，代入224240a ab b c -+-=整理得22241840a ma m c -+-=，由于a 存在，所以方程22241840a ma m c -+-=有解，即22(18)424(4)0m m c ∆=--⨯-≥，整理得285c m m ≤⇒≤从而2a b +的最大值为，此时方程22241840a ma m c -+-=有相等实根，解得3,8m a =．从而4mb =，258mc =所以223458168118222a b c m m m m ⎛⎫-+=-+=--≥- ⎪⎝⎭答案：2-【误区警示】抓住“2a b +取得最大值”这一关键，寻求取得最值时,,a b c 间的关系，减少变量个数，防止由于多个变量纠缠不清6. （2014·辽宁高考理科·Ｔ1６）对于0c >，当非零实数,a b 满足22420a ab b c -+-=且使2a b +最大时，124a b c ++的最小值为________ 【解析】令2a b m +=，则2b m a =-，代入22420a ab b c -+-=整理得221260a ma m c -+-=，由于a 存在，所以方程221260a ma m c -+-=有解，即22(6)412()0m m c ∆=--⨯-≥，整理得24m c m ≤⇒≤从而2a b+的最大值为221260a ma m c -+-=有相等实根，解得,4m a =．从而2mb =，24m c = 所以2212444161116112a b c m m m m ⎛⎫++=++=+-≥- ⎪⎝⎭答案：1-【误区警示】抓住“2a b+取得最大值”这一关键，寻求取得最值时,,a b c 间的关系，减少变量个数，防止由于多个变量纠缠不清三、解答题7. （2014·辽宁高考理科·Ｔ21）（本小题满分12分）已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+，2()3()cos 4(1sin )ln(3)xg x x x x x π=--+-.证明：（Ⅰ）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（Ⅱ）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的0x ，有01x x π+<.【解析】证明：（Ⅰ）当(0,)2x π∈时，2()(1sin )(2)2cos 03f x x x x x π'=-++--< 函数()f x 在(0,)2π上为减函数，()281600,0323f f πππ⎛⎫=->=--< ⎪⎝⎭，所以存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（Ⅱ）考察函数()()3cos 24ln 3,,1sin 2x x h x x x x ππππ-⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦令t x π=-，则,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 记()()3cos 24ln 11sin t t t u t h t t ππ⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭.则()()()()321sin f t u t t t π'=++ 由（Ⅰ）当()00,t x ∈时，()0u t '>；当0,2t x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0u t '<；可见在()00,x 上，()u t 为增函数，而()00u =，因此当()00,t x ∈时，()0u t >，所以()u t在()00,x 上无零点.在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上，()u t 为减函数，而()00u x >，4ln 202u π⎛⎫=-<⎪⎝⎭，则存在唯一的10,2t x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()10.u t =所以存在唯一的10,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()10.u t = 因此存在唯一的11,2x t πππ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭，使得()()()1110.h x h t u t π=-== 当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，1sin 0x +>，则()()()1sin g x x h x =+与()h x 有相同的零点，所以存在惟一的1,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使()10g x =.因为11x t π=-，10t x >，所以01x x π+<（2013年）1.(2013·福建高考文科·T12)与 (2013·福建高考理科·T8)相同设函数f(x)的定义域为R ,x 0()00≠x 是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是 ( ) A.∀x ∈R ,f(x)≤f(x 0) B.-x 0是f(-x)的极小值点 C.-x 0是-f(x)的极小值点 D.-x 0是-f(-x)的极小值点【解题指南】)(x f y =与)(x f y --=的图象关于原点对称，结合图象找出结论．【解析】选D.()f x --是()f x 的图象关于原点对称，00(,())x f x 是极高点，那么00(,()x f x ---就是极低点．2.（2013·湖北高考文科·Ｔ5）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是（）【解题指南】图象反映出单调性.【解析】选C.距学校越来越近则图象下降,交通堵塞时距离不变,后加速行驶,直线斜率变大,直线变陡.3.（2013·湖南高考理科·Ｔ5）函数()2ln=的图象与函数f x x()245=-+的图象的交点个数为（）g x x xA．3 B．2 C．1 D．0【解题指南】本题只要能在同一坐标系中作出这两个函数的图象即可得到答案.【解析】选B.在同一坐标系中作出f（x）=2㏑x和g（x）=x2-4x+5的图象就看出有两交点.4.（2013·湖南高考文科·Ｔ6）函数f（x）=㏑x的图像与函数g（x）=x2-4x+4的图像的交点个数为（）A.0B.1C.2D.3【解题指南】本题只要能在同一坐标系作出这两个函数的图像即可得到答案【解析】选C ，在同一坐标系中作出f （x ）=㏑x 和g （x ）=x 2-4x+4的图像就看出有两交点5.（2013·江西高考理科·Ｔ10）如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线1l ，2l 之间，l //1l ，l 与半圆相交于F,G 两点，与三角形ABC 两边相交于E,D 两点.设弧FG 的长为x(0＜x ＜π),y=EB+BC+CD ，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数y=f(x)的图像大致是()【解题指南】注意到弧FG 所对的圆心角为x ，可构造y 关于x 的三角函数，借助于三角函数的图像可解决.【解析】选D. △AOB 的高为圆的半径1，弧FG 所对的圆心角为x ，所以O 到FG 的距离为xcos2，则EB=0x1cosx 2cos )sin 602-=-，故x y cos )2=-+x 2=，(0＜x ＜π)，结合余弦函数的图像知选项D 正确.6.（2013·安徽高考文科·Ｔ8）与（2013·安徽高考理科·Ｔ8）相同函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ³个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==...=,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是()A.{}3,4B.{}2,3,4C. {}3,4,5D.{}2,3【解题指南】作直线y =kx(k ≠0)，转化为直线与曲线的交点个数问题，数形结合进行判断。

2015届高考数学一轮复习课时作业：12 函数模型及其应用

课时提升作业(十二)函数模型及其应用(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2014·宁波模拟)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y=ae nt,假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m分钟后甲桶中的水只有升,则m的值为( )A.8B.10C.12D.15【解析】选B.由已知条件可得ae5n=,e5n=.由ae nt=,得e nt=,所以t=15,m=15-5=10.2.(2014·南昌模拟)如图,正方形ABCD的顶点A,B,顶点C,D位于第一象限,直线l:x=t(0≤t≤)将正方形ABCD分成两部分,记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t),则函数S=f(t)的图象大致是( )【解析】选C.f(t)增长的速度先快后慢,故选C.3.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x,y应为( )A.x=15,y=12B.x=12,y=15C.x=14,y=10D.x=10,y=14【思路点拨】利用三角形相似列出x与y的关系式,用y表示x.从而矩形面积可表示为关于y 的函数.【解析】选A.由三角形相似得=,得x=(24-y),由0<x≤20得,8≤y<24,所以S=xy=-(y-12)2+180,所以当y=12时,S有最大值,此时x=15.4.(2014·温州模拟)某商场宣传在“五一黄金周”期间对顾客购物实行一定的优惠,商场规定:①如一次性购物不超过200元,不予以折扣;②如一次性购物超过200元但不超过500元的,按标价给予九折优惠;③如一次性购物超过500元,其中500元给予九折优惠,超过500元的部分给予八五折优惠. 某人两次去购物,分别付款176元和432元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付款( ) A.608元 B.574.1元C.582.6元D.456.8元【解析】选 C.设一次性购物总标价为x元,根据题意,应付款y=付款176元时没有折扣.付款432元时标价为432÷0.9=480(元).故两次购物的标价为176+480=656(元).500×0.9+(656-500)×0.85=582.6(元).5.(2014·北京模拟)在半径为R的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱的体积的最大值是( )A.πR3B.πR3C.πR3D.πR3【解析】选A.设圆柱的高为h,则圆柱的底面半径为,圆柱的体积为V=π(R2-h2)h=-πh3+πR2h(0<h<R),V′=-3πh2+πR2=0,h=时V有最大值为V=πR3.6.(2014·杭州模拟)一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案,如图所示,设小矩形的长、宽分别为x,y,剪去部分的面积为20,若2≤x≤10,记y=f(x),则y=f(x)的图象是( )【思路点拨】先根据已知构建函数y=f(x)解析式,再结合图象作出选择.【解析】选A.由题意知,xy=10,即y=,且2≤x≤10.【加固训练】一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水也不出水.则一定正确的是( )A.①B.①②C.①③D.①②③【解析】选A.由丙图知0点到3点蓄水量为6,故应两个进水口进水,不出水,故①正确.由丙图知3点到4点间1小时蓄水量少1个单位,故1个进水1个出水,故②错误.由丙图知4点到6点蓄水量不变,故可能不进水也不出水或两个进水一个出水,故③错误. 7.(2014·郑州模拟)某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克,如图所示为函数y=f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为( )A.上午10:00B.中午12:00C.下午4:00D.下午6:00【解析】选C.当x∈[0,4]时,设y=k1x,把(4,320)代入,得k1=80,所以y=80x.当x∈[4,20]时,设y=k2x+b.把(4,320),(20,0)代入得解得所以y=400-20x.所以y=f(x)=由y≥240,得或解得3≤x≤4或4<x≤8,所以3≤x≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4:00.【方法技巧】求解由图象给出函数模型解决实际问题的技巧对于函数模型由函数图象给出的实际问题,求解时应根据图象的形状,找到相应的函数模型,用待定系数法求得解析式,再运用该解析式解决实际问题.8.(能力挑战题)如图,A,B,C,D是某煤矿的四个采煤点,m是公路,图中所标线段为道路,ABQP,BCRQ,CDSR近似于正方形.已知A,B,C,D四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3,运煤的费用与运煤的路程、所运煤的质量都成正比.现要从P,Q,R,S中选出一处设立一个运煤中转站,使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少,则地点应选在( )A.P点B.Q点C.R点D.S点【思路点拨】分别求出地点选在P,Q,R,S时,四个采煤点的煤运到中转站的费用,然后比较即可.【解析】选B.根据题意设A,B,C,D四个采煤点每天所运煤的质量分别为5x,x,2x,3x,正方形的边长为l(l>0).运煤的费用与运煤的路程、所运煤的质量都成正比,比例系数为k,k>0,则地点选在点P,其运到中转站的费用为k(5xl+2xl+6xl+12xl)=25kxl;地点选在点Q,其运到中转站的费用为k(10xl+xl+4xl+9xl)=24kxl;地点选在点R,其运到中转站的费用为k(15xl+2xl+2xl+6xl)=25kxl;地点选在点S,其运到中转站的费用为k(20xl+3xl+4xl+3xl)=30kxl.综上可知地点应选在Q,煤运到中转站的费用最少.【误区警示】本题易因不能准确确定采煤点和中转站的路程关系而导致错误.二、填空题(每小题5分,共20分)9.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=e kt(其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数),则k= ,经过5小时,1个病毒能繁殖为个. 【解析】由已知得2=,所以=ln2,即k=2ln2,当t=5时,y=e(2ln2)×5==210=1024.答案:2ln2 102410.(2014·衢州模拟)一高为H,满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为V1,则函数V1=f(h)的大致图象可能是图中的.【解析】当h=0时,V1=0可排除①③;由于鱼缸中间粗两头细,所以当h在附近时,体积变化较快;h小于时,体积增加越来越快;h大于时,体积增加越来越慢.答案:②11.如图,书的一页的面积为600cm2,设计要求书面上方空出2cm的边,下、左、右方都空出1cm 的边,为使中间文字部分的面积最大,这页书的长、宽应分别为.【思路点拨】设这页书的长为xcm,根据面积为600cm2将宽用x表示,再将中间文字部分的面积S用x表示,进而求函数最值.【解析】设这页书的长为xcm,宽为ycm,则xy=600,所以y=,则中间文字部分的长为:x-2-1=(x-3)cm,宽为:y-2=cm,所以其面积S=(x-3)=606-2.又解得3<x<300,所以S≤606-2×2=486,当且仅当=x,即x=30时,S max=486,此时y=20.答案:30cm,20cm12.(能力挑战题)某医院为了提高服务质量,对挂号处的排队人数进行了调查,发现:当还未开始挂号时,有N个人已经在排队等候挂号;开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人.假定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人,当开放一个窗口时,40分钟后恰好不会出现排队现象;若同时开放两个窗口时,则15分钟后恰好不会出现排队现象.根据以上信息,若要求8分钟后不出现排队现象,则需要同时开放的窗口至少应有个.【解析】设要同时开放x个窗口才能满足要求,则由①②,得代入③,得60M+8M≤8×2.5Mx,解得x≥3.4.故至少同时开放4个窗口才能满足要求.答案:4【加固训练】(2012·福建高考)某地区规划道路建设,考虑道路铺设方案,方案设计图中,点表示城市,两点之间连线表示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城市,并且铺设道路的总费用最小.例如,在三个城市道路设计中,若城市间可铺设道路的线路图如图1,则最优设计方案如图2,此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图3,则铺设道路的最小总费用为.【解析】根据题目中图3给出的信息及题意,要求的是铺设道路的最小总费用,且从任一城市都能到达其余各城市,可将图3调整为如图所示的结构(线段下方的数字为两城市之间铺设道路的费用).此时铺设道路的总费用为2+3+1+2+3+5=16.答案:16三、解答题(13题12分,14～15题各14分)13.某种出口产品的关税税率为t,市场价格x(单位:千元)与市场供应量p(单位:万件)之间近似满足关系式:p=,其中k,b均为常数.当关税税率t=75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.(1)试确定k,b的值.(2)市场需求量q(单位:万件)与市场价格x近似满足关系式:q=2-x,当p=q时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.【解析】(1)由已知⇒解得b=5,k=1.(2)当p=q时,=2-x,所以(1-t)(x-5)2=-x⇒t=1+=1+.而f(x)=x+在(0,4]上单调递减,所以当x=4时,f(x)有最小值,故当x=4时,关税税率的最大值为500%.【误区警示】本题在对f(x)=x+求最小值时,易误为f(x)≥2=10,原因是忽视了该函数的定义域(0,4],而用基本不等式求最小值.14.(2014·湖州模拟)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分,当t∈[14,40]时,曲线是函数y=log a(t-5)+83(a>0且a≠1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳.(1)试求p=f(t)的函数关系式.(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由.【解析】(1)t∈(0,14]时,设p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),将(14,81)代入得c=-,t∈(0,14]时,p=f(t)=-(t-12)2+82;t∈[14,40]时,将(14,81)代入y=log a(t-5)+83,得a=, 所以p=f(t)=(2)t∈(0,14]时,由-(t-12)2+82≥80,解得12-2≤t≤12+2,所以t∈[12-2,14],t∈(14,40]时,由lo(t-5)+83≥80,解得5<t≤32,所以t∈(14,32],所以t∈[12-2,32],即老师在t∈[12-2,32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳.15.(能力挑战题)某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间.(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.【解析】(1)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为T1(x),T2(x),T3(x),由题设有T1(x)==,T2(x)=,T3(x)=.其中x,kx,200-(1+k)x均为1到200之间的正整数.(2)完成订单任务的时间为f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定义域为.易知,T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数.注意到T2(x)=T1(x),于是①当k=2时,T1(x)=T2(x),此时f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max.由函数T1(x),T3(x)的单调性知,当=时f(x)取得最小值,解得x=.由于44<<45,而f(44)=T1(44)=,f(45)=T3(45)=,f(44)<f(45),故当x=44时完成订单任务的时间最短,且最短时间为f(44)=.②当k>2时,T1(x)>T2(x),由于k为正整数,故k≥3,此时≥=.记T(x)=,φ(x)=max{T1(x),T(x)},易知T(x)是增函数,则f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)}=φ(x)=max.由函数T1(x),T(x)的单调性知,当=时φ(x)取最小值,解得x=.由于36<<37,而φ(36)=T1(36)=>, φ(37)=T(37)=>,此时完成订单任务的最短时间大于.③当k<2时,T1(x)<T2(x),由于k为正整数,故k=1,此时f(x)=max{T2(x),T3(x)}=max.由函数T2(x),T3(x)的单调性知,当=时f(x)取最小值,解得x=,类似①的讨论,此时完成订单任务的最短时间为,大于.综上所述,当k=2时,完成订单任务的时间最短,此时,生产A,B,C三种部件的人数分别为44,88,68.。

高考数学一轮复习专题2.12 函数模型及其应用(讲)

专题2.12 函数模型及其应用【考纲解读】【直击考点】题组一常识题1．[教材改编] 函数模型：①y＝1.002x，②y＝0.25x，③y＝log2x＋1.随着x的增大，增长速度的大小关系是____________．【解析】根据指数函数、幂函数、对数函数的增长速度关系可得．①>②>③2．[教材改编] 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量的关系满足一次函数，已知销售量为1000件时，收入为3000元，销售量为2000件时，收入为5000元，则营销人员没有销售量时的收入是________元．【解析】设收入y与销售量x的关系为y＝kx＋b，则有3000＝1000k＋b，5000＝2000k ＋b，解得k＝2，b＝1000，所以y＝2x＋1000，故没有销售量时的收入y＝2×0＋1000＝1000.3．[教材改编] 某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________元．【解析】设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.题组二常错题4．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是________．【解析】y ＝0.2x ＋(4000－x )×0.3＝－0.1x ＋1200(0≤x ≤4000，x ∈N )，这里不能忽略x 的取值范围，否则函数解析式失去意义．5．等腰三角形的周长为20，腰长为x ，则其底边长y ＝f (x )＝________________．题组三常考题6．某市职工收入连续两年持续增加，第一年的增长率为a ，第二年的增长率为b ，则该市这两年职工收入的年平均增长率为______________．【解析】设年平均增长率为x ，则有(1＋a )(1＋b )＝(1＋x )2，解得x ＝（1＋a ）（1＋b ）－1.7．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e＝2.718 28…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是240小时，在22 ℃的保鲜时间是60小时，则该食品在11℃的保鲜时间是________小时．【解析】由题意，⎩⎪⎨⎪⎧240＝e b，60＝e 22k ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧240＝e b，2－1＝e 11k ，于是当x ＝11时，y ＝e 11k ＋b ＝e 11k ·e b ＝2－1×240＝120.8．要制作一个容积为16 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．【解析】设长方体底面边长分别为x ，y ，则y ＝16x，所以容器的总造价为z ＝2(x ＋y )×10＋20xy ＝20⎝⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋20×16，由基本不等式得，z ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋20×16≥40x ·16x＋320＝480，当且仅当x ＝y ＝4，即底面是边长为4的正方形时，总造价最低．【知识清单】1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 指数函数模型 f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2．三种函数模型性质比较y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x值增大，图像与y轴接近平行随x值增大，图像与x轴接近平行随n值变化而不同【考点深度剖析】解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；②建模：把自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③求模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将数学结论还原为实际问题的意义．【重点难点突破】考点1 一次函数与二次函数模型【1-1】某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差_________元．【答案】10【解析】依题意可设s A(t)＝20＋kt，s B(t)＝mt，又s A(100)＝s B(100)，∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元．【1-2】将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个_________元．【答案】95【思想方法】(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．【温馨提醒】1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．考点2 分段函数模型【2-1】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式．(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．【答案】(1) v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，200－x3，20<x ≤200.(2) 当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值．【解析】(1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；【2-2】某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．(1)分别写出国外市场的日销售量f (t )与上市时间t 的关系及国内市场的日销售量g (t )与上市时间t 的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．【答案】(1) f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30<t ≤40. g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)． (2) 上市后的第30天．【思想方法】(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2) 分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)．【温馨提醒】构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏．考点3 指数函数模型【3-1】一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？【答案】(1) x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110 (2) 5．(3)15.【3-2】某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，判定该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用). 【答案】略有亏损【解析】设该股民购这支股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n×(1－10%)n＝a ×1.1n×0.9n＝a ×(1.1×0.9)n＝0.99n·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．【思想方法】(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．(3)y ＝a (1＋x )n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．【温馨提醒】解指数不等式时，一定要化为同底，且注意对应函数的单调性．【易错试题常警惕】数学实际应用问题，一定要正确理解题意，选择适当的函数模型；合理确定实际问题中自变量的取值范围；必须验证答案对实际问题的合理性．如：如图所示，在矩形CD AB 中，已知a AB =，C b B =（a b >）．在AB 、D A 、CD 、C B 上分别截取AE 、AH 、CG 、CF 都等于x ，当x 为何值时，四边形FG E H 的面积最大？求出这个最大面积．【易错点】忽略实际问题中自变量的取值范围，造成与实际问题不相符合的错误结论．m的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧【练一练】某村计划建造一个室内面积为8002与后侧内墙各保留m宽的通道，沿前侧内墙保留m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？m．【答案】当矩形温室的边长各为40m，20m时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是6482。

高考数学一轮复习2.12函数模型及其应用文

第十二节函数模型及其应用一、基础知识批注——理解深一点1．常见的8种函数模型(1)正比例函数模型：f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0)； (2)反比例函数模型：f (x )＝kx(k 为常数，k ≠0)； (3)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； (4)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (5)指数函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)； (6)对数函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)； (7)幂函数模型：f (x )＝ax n＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)； (8)“对勾”函数模型：y ＝x ＋a x(a >0)．(1)形如f (x )＝x ＋a x(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质： ①该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减．②当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ，当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a . (2)函数f (x )＝x a ＋b x(a >0，b >0，x >0)在区间(0，ab ]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质 y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x 的增大，逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大，逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x >x 0时，有log a x <x n<a x幂函数模型y ＝xnn >0可以描述增长幅度不同的变化，当n ,值较小n ≤1时，增长较慢；当n 值较大n >1时，增长较快.二、基础小题强化——功底牢一点一判一判对的打“√”，错的打“×” (1)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( )(2)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )(3)幂函数增长比直线增长更快．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (二)选一选1．在某个物理实验中，测量后得变量x 和变量y 的几组数据，如表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D 由x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；由x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件解析：选B 设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )A ．减少7.84%B ．增加7.84%C ．减少9.5%D ．不增不减解析：选A 设某商品原来价格为a ，依题意得：a (1＋0.2)2(1－0.2)2＝a ×1.22×0.82＝0.921 6a ，所以(0.921 6－1)a ＝－0.078 4a ，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%. (三)填一填4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行程千米数x (km)之间的函数关系式是____________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0＜x ≤100，0.4x ＋10，x ＞100.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0＜x ≤100，0.4x ＋10，x ＞1005.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计)解析：设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x4 m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 (m 2)．答案：2 500考点一二次函数、分段函数模型[典例] 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解] (1)设每团人数为x ，由题意得0<x ≤75(x ∈N *)，飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，900－10x －30，30<x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，1 200－10x ，30<x ≤75.(2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，1 200x －10x 2－15 000，30<x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，－10x －602＋21 000，30<x ≤75.因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上为增函数，故当x ＝30时，S 取最大值12 000. 又S ＝－10(x －60)2＋21 000，x ∈(30,75]，所以当x ＝60时，S 取得最大值21 000. 故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润． [解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小． (3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．[题组训练]1．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B x －A ，x >A .已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份 4 m 34元二月份 25 m 3 14元三月份35 m 319元若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为( ) A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元D ．10元解析：选A 根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0<x ≤5，4＋12x －5，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5. 2．A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]． (2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000 ＝152⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10032＋50 0003，所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003.故核电站建在距A 城1003 km 处，能使月供电总费用y 最少．考点二指数函数、对数函数模型[典例] 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．[解] (1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4，得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．[解题技法]1．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．2．建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．以上过程用框图表示如下：[题组训练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况解析：选B 设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n×(1－10%)n＝a ×1.1n×0.9n＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．2．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg ⎝⎛⎭⎪⎫I 10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)． (1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m 2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m 2时，由公式Y ＝10lg ⎝⎛⎭⎪⎫I 10－12，得Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－610－12＝10lg 106＝60(分贝)．(2)当Y ＝0时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12，得10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12＝0. ∴I10－12＝1，即I ＝10－12W/m 2，则最低声强为10－12W/m 2.[课时跟踪检测]1．(2018·福州期末)某商场销售A 型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为( )A ．4B ．5.5C ．8.5D ．10解析：选C 由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －4)·40]＝－40⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1722＋1 210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13立方米 B ．14立方米 C ．15立方米D ．16立方米解析：选 C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，0≤x ≤10，30＋5x －10，x >10，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，0≤x ≤10，5x －20，x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则yx≥2x10·4 000x－30＝10，当且仅当x 10＝4 000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e－kt(k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是( )A.12小时 B.59小时C ．5小时D ．10小时解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物． ∵P ＝P 0e－kt，∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k，∴0.1＝e－5k，即－5k ＝ln 0.1，∴k ＝－15ln 0.1.由1%P 0＝P 0e－kt，即0.01＝e－kt，得－kt ＝ln 0.01，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫15ln 0.1t ＝ln 0.01，∴t ＝10. ∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．答案：3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19097．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位． 8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈20，35].(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．11。

第15讲函数模型及其应用(解析版)

第15讲函数模型及其应用【基础巩固】1．（2022·辽宁葫芦岛·二模）某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y 与温度x （单位：℃）的关系.现收集了7组观测数据()(),1,2,,7i i x y i L =得到下面的散点图：由此散点图，在20℃至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y 和温度x 的回归方程类型的是（） A ．y a bx =+ B ．by a x=+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+【答案】C【解析】由散点图可以看出红铃虫产卵数y 随着温度x 的增长速度越来越快，所以e x y a b =+最适宜作为红铃虫产卵数y 和温度x 的回归方程类型. 故选：C2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0lnMv v m=⋅计算火箭的最大速度(m /s)v ，其中0(m /s)v 是喷流相对速度，(kg)m 是火箭（除推进剂外）的质量，(kg)M 是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为1000m /s ，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（）（附：lge 0.434,lg 20.301≈≈） A ．5790m /s B ．6219m/s C ．6442m/s D ．6689m/s【答案】C【解析】0v v =4lg54(1lg 2)ln 1000ln 625100010006442m/s lge lgeMm -=⨯=⨯=⨯≈. 故选：C ．3．（2022·海南海口·二模）在核酸检测时，为了让标本中DNA 的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR 技术对DNA 进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA 的数量n X （单位：g /L μμ）与PCR 扩增次数n 满足0 1.6n n X X =⨯，其中0X 为DNA 的初始数量．已知某待测标本中DNA 的初始数量为0.1g /L μμ，核酸探针能检测到的DNA 数量最低值为10g /L μμ，则应对该标本进行PCR 扩增的次数至少为（）（参考数据：lg1.60.20≈，ln1.60.47≈）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】B【解析】由题意知00.1X =，10n X =，令100.1 1.6n =⨯，得1.6100n =，取以10为底的对数得lg1.62n =，所以210lg1.6n =≈．故选：B.4．（2022·北京·二模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=，其中0P ，k 是正的常数．如果在前10h 污染物减少19%，那么再过5h 后污染物还剩余（） A ．40.5% B ．54% C ．65.6% D ．72.9%【答案】D【解析】由题设，1000(119%)e kP P --=，可得5e 0.9k -=，再过5个小时，0005(0.81(119%)0.9)e 0.729kP P P P -=⨯==-，所以最后还剩余72.9%. 故选：D5．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而变成公共资源的一系列活动的总称．分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等几方面的效益．已知某种垃圾的分解率v 与时间t （月）满足函数关系式t v a b =⋅（其中,a b 为非零常数）．若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（）（参考数据lg 20.3≈）A ．40个月B ．32个月C ．28个月D ．20个月【答案】B【解析】依题意有()()61260.05,120.1,v ab v ab ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得162b =，0.025a =，故()160.0252tv t ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭．令()1v t =，得16240t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()16126610.6lg 4012lg 2log 403210.3lg 2lg 26t ⨯++===≈=. 故选B ．6．（2022·全国·高三专题练习）有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示），若围墙厚度不计，则围成的矩形最大面积为（）A ．22500mB ．22750mC ．23000mD ．23500m【答案】A【解析】设矩形的宽为m x ，则该矩形的长为()2004m x -，所以，矩形的面积为()()()2220044504252500S x x x x x =-=--=--+，其中050x <<，故当25x =时，S 取得最大值22500m . 故选：A.7．（2022·全国·高三专题练习）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为100.1,0101,102t at t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，函数的图象如图所示．如果商场规定9:30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（）A ．9:00B ．8:40C ．8:30D ．8:00【答案】A【解析】根据函数的图象，可得函数的图象过点(10,1)，代入函数的解析式，可得1121a-⎛⎫⎪⎝⎭=，解得1a =，所以1100.1,0101,102tt t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，令0.25y ≤，可得0.10.25t ≤或11020.251t -⎛⎝≤⎫ ⎪⎭，解得0 2.5t <≤或30t ≥，所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9:00. 故选：A.8．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A ：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B ：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t 小时后的电量为当前电量的12t倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A 模式，并在x 小时后，切换为B 模式，若使其在待机10小时后有超过5％的电量，则x 的取值范围是（） A ．12x << B ．12x <≤C ．89x <<D ．89x ≤<【答案】C【解析】由题意得，x 小时后的电量为(3000300)x -毫安，此时转为B 模式，可得10小时后的电量为101(3000300)2xx --⋅，则由题意可得101(3000300)30000.052xx --⋅>⨯，化简得101(10)0.52xx --⋅>，即9102x x -->令10m x =-，则12m m ->，由题意得010x <<，则010m <<，令m 分别为1，2时，这个不等式左右两边大小相等，由函数y x =和12x y -=的图象可知，该不等式的解集为12m <<，所以1102x <-<，得89x <<，故选：C9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg E =4.8+1.5M ，则下列说法正确的是（） A ．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级 B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍 C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为n （n =1，2，···，9，10），地震释放的能量为an ，则数列{an }是等比数列【答案】ACD【解析】对于A ：当15.310E =时，由题意得15.3lg10 4.8 1.5M =+，解得7M =，即地震里氏震级约为七级，故A 正确；对于B ：八级地震即8M =时，1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=，解得16.8110E =，所以16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠，所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 1.510倍，故B 错误；对于C ：六级地震即6M =时，2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=，解得13.8210E =，所以16.83113.821010100010E E ===，即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确；对于D ：由题意得lg 4.8 1.5n a n =+（n =1，2，···，9，10），所以 4.8 1.510nn a +=，所以 4.8 1.5(1) 6.3 1.511010n n n a ++++== 所以6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++==，即数列{an }是等比数列，故D 正确；故选：ACD10．（多选）（2022·山东日照·三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限()0r r >，劳累程度()01T T <<，劳动动机()15b b <<相关，并建立了数学模型0.141010r E T b -=-⋅，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（）A ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高B ．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低C ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱D ．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强【答案】AC【解析】设甲与乙的工人工作效率12,E E ，工作年限12,r r ，劳累程度12,T T ，劳动动机12,b b ，对于A ，0.141212122,,,15,01b b r r T T b b -=><<<<<℃210.140.421121,0r r b b T T -->>>，则()120.140.1412112210101010r r E E T b T b ---=-⋅--⋅()1200.1.1424211100r rT b T b --=⋅-⋅>，℃12E E >，即甲比乙工作效率高，故A 正确；对于B ，121212,,T T r r b b =>>，℃2210.0.140.140.141402.14121110,r r r b b b b b ----->>>>>，则()120.140.1412112210101010r r E E T b T b ---=-⋅--⋅()210.141210.14100r rT b b --=->，℃12E E >，即甲比乙工作效率高，故B 错误：对于C ，112221,,b b E E r r =><，℃()210.140.14122211100r r E E T b T b ---=⋅-⋅>，210.140.142211r rT b T b --⋅>⋅℃()()11220.140.41110.122141r r r r b b b T T ---->=>，所以1T T >2，即甲比乙劳累程度弱，故C 正确；对于D ，12121221,,,01r r E E b b b b =><<<， ℃()210.140.14122211100r r E E T b T b ---=⋅-⋅>，210.140.142211r rT b T b --⋅>⋅℃()()11220.140.41110.122141r r r r b b b T T ---->=>，所以1T T >2，即甲比乙劳累程度弱，故D 错误．故选：AC11．（2022·河北·模拟预测）劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x 件时，售价为s 元/件，且满足8202s x =-，每天的成本合计为60020x +元，请你帮他计算日产量为___________件时，获得的日利润最大，最大利润为___________万元.【答案】 200 7.94 【解析】由题意易得日利润()()()()260020820260020220079400y s x x x x x x =⨯-+=--+=--+，故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元，故答案为：200，7.94.12．（2022·全国·模拟预测）一种药在病人血液中的量保持1000mg 以上才有疗效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2000mg ，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：lg 20.3010≈，lg30.4771≈，精确到0.1h ）【答案】6.6【解析】设x h 后血液中的药物量为y mg ，则有()020001100xy =-，令1000y ≥得：lg 20.30106.612lg3120.4771x ≤≈≈--⨯故从现在起经过6.6h 内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效. 故答案为：6.613．（2022·北京东城·三模）某超市在“五一”活动期间，推出如下线上购物优惠方案：一次性购物在99元（含99元）以内，不享受优惠；一次性购物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以内，一律享受九折优惠；一次性购物在299元（不含299元）以上，一律享受八折优惠；小敏和小昭在该超市购物，分别挑选了原价为70元和280元的商品，如果两人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他们分别支付节省的钱，按照两人购买商品原价的比例分配，则小敏需要给小昭___________元. 【答案】61.6【解析】由题可得两人把商品合并由小昭一次性付款实际付款为()702800.8280+⨯=元，他们分别支付应付款为702800.9322+⨯=元，故节省32228042-=元，故小敏需要给小昭70704261.670280-⨯=+元.故答案为：61.6.14．（2022·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml ，已知一驾驶员某次饮酒后体内每100ml 血液中的酒精含量y （单位：mg ）与时间x （单位：h ）的关系是：当1103x <<时，227010801111y x x =-+；当113x ≥时，110y x=，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过__________h 才可驾车.【答案】5.5 【解析】当1103x <<时，2227010802701080(2)11111111y x x x =-+=--+，当2x =时，函数有最大值10802011>，所以当1103x <<时，饮酒后体内每100ml 血液中的酒精含量小于20mg/100ml ，当当113x ≥时，函数110y x =单调递减，令11020 5.5y x x==⇒=，因此饮酒后5.5小时体内每100ml 血液中的酒精含量等于20mg/100ml ，故答案为：5.515．（2022·全国·高三专题练习）迷你KTV 是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV 的横截面示意图，其中32AB AE ==，90A B E ∠=∠=∠=︒，曲线段CD 是圆心角为90︒的圆弧，设该迷你KTV 横截面的面积为S ，周长为L ，则SL的最大值为___________．（本题中取3π=进行计算）【答案】633-【解析】设圆弧的半径为3(0)2x x <≤，根据题意可得：32BC DE AB x x ==-=-()()22213339····422244x S AE DE AB DE AE x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+--+=⨯-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭226242x xL AB BC DE x ππ=+++=-+2913642x S L x π-=∴==-，29122S x L x-∴=-令122t x =-(912)t ≤<，则， 212912272624t t S t x L t t -⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=∴==-++ ⎪⎝⎭ 根据基本不等式，272723344t t +≥，当却仅当 274t t =，即63t =“=”.[)63912，， 63t ∴=633maxSL =-故答案为：633-16．（2022·全国·高三专题练习）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数()()()214000400280000400x x x R x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪⎩，＝，＞，其中x 是“玉兔”的月产量.(1)将利润f (x )表示为月产量x 的函数；(2)当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益＝总成本＋利润) 【解】(1)由题意，当0400x 时，2()4000.520000100f x x x x =---23000.520000x x =--；当400x >时，()8000010020000f x x =--60000100x =-；故2130020000,(0400)()210060000,(400)x x x f x x x ⎧-+-⎪=⎨⎪-+>⎩； (2)当0400x 时，2()3000.520000f x x x =--；当300x =时，max ()(300)25000f x f ==(元) 当400x >时，max ()(400)20000f x f <=(元)2500020000>，∴当300x =时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元．17．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）如图，某街道拟设立一占地面积为a 平方米的常态化核酸采样点，场地形状为矩形．根据防疫要求，采样点周围通道设计规格要求为：长边外通道宽5米，短边外通道宽8米，采样点长边不小于20米，至多长28米．(1)设采样点长边为x 米，采样点及周围通道的总占地面积为S 平方米，试建立S 关于x 的函数关系式，并指明定义域；(2)当300700a ≤≤时，试求S 的最小值，并指出取到最小值时x 的取值．【解】(1)由题意采样点及周围通道构成的矩形的长是(16)m x +，宽是(10)m a x+，故16(16)(10)10160,[20,28]aS x x a x xxa =++=+++∈； (2)由（1）知，1610160,[20,28]aS x a x x=+++∈，当300490a ≤≤时，161610160210160810160a aS x a x a a a x x=+++≥⋅+=+，当且仅当1610ax x=即85ax =8[20,28]5a x =8585a a故此时S 的最小值为810160a a +，此时85ax = 当490700a <≤时，令16()10160,[20,28]af x x a x x=+++∈，则222161016()10,[20,28]a x af x x x x -'=-+=∈，由于()0f x '=时，8285a x => ，故221016()0,[20,28]x af x x x -'=<∈，即16()10160,[20,28]af x x a x x=+++∈单调递减，故min 11()(28)4407af x f ==+，此时28x = ，满足a x x> , 故S 的最小值为114407a+，此时28x =. 18．（2022·全国·高三专题练习）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W (单位：千克)与施用肥料x (单位：千克)满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x 元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x (单位：元) (1)写单株利润()f x (元)关于施用肥料x (千克)的关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【解】(1)依题意()15()1020f x W x x x =--，又()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，℃27530225,02()75030,251x x x f x x x x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩． (2)当02x 时，2()7530225f x x x =-+，开口向上，对称轴为15x =， ()f x ∴在[0，1]5上单调递减，在1(5，2]上单调递增， ()f x ∴在[0，2]上的最大值为()2465f =．当25x <时，2525()78030(1)780302(1)48011f x x x x x =-++-⨯+++，当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立． ℃465480<，℃当4x =时，max ()480f x =．℃当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方形ABCD 中，|AB |=2，点M 从点A 出发，沿A →B →C →D →A 方向，以每秒2个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动：点N 从点B 出发，沿B →C →D →A 方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD 的边上运动.点M 与点N 同时出发，运动时间为t （单位：秒），℃AMN 的面积为f （t ）（规定A ，M ，N 共线时其面积为零，则点M 第一次到达点A 时，y =f （t ）的图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】℃0≤t≤1时，f （t ）=211222AM BN t t t ⋅=⋅⋅=； ℃12t <时，()()12122f t MN AB MN t t t =⋅==--=-； ℃23t <≤时，()()()122222f t MN BC MN t t t =⋅==---=-； ℃34t <≤时，()()][()21122322(4)22f t AM DN t t t ⎡⎤=⋅=--⋅--=-⎣⎦；所以22,012,12()2,23(4),34t t t t f t t t t t ⎧⎪-<⎪=⎨-<⎪⎪-<⎩，其图象为选项A 中的图象，故选：A ．2．（2022·全国·高三专题练习）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得部分．已知扇环周长300cm =，大扇形半径100cm OD =，设小扇形半径cm OA x =，AOB θ∠=弧度，则℃θ关于x 的函数关系式()x θ=_________．℃若雕刻费用关于x 的解析式为()101700w x x =+，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为________．【答案】 1002100x x++，()0,100x ∈； 3 【解析】由题意可知，AOB θ∠=，OA x = ，100OD =，所以AB x θ=⋅，100AD BC x ==-，DC 100θ=，扇环周长AB AD BC DC +++2002100300x x θθ=⋅+-+=，解得()1002,0,100100x x xθ+=∈+，砖雕面积即为图中环形面积，记为S ，则12DOC AOB S S S OD DC =-=⋅⋅扇形扇形12OA AB -⋅⋅ 22111002100100500050002222100x x x x x x θθθθ⎛⎫+=⨯⨯-⋅⋅=-=-⋅ ⎪+⎝⎭，即雕刻面积与雕刻费用之比为m ，则()()()()()()()210000*********()210101017000170x x w x m x x x x x S +-+=+-+==+，令170t x =+，则170x t =-，()()22701203901202701227039101010t t t t t m t tt ---+-⨯⨯∴===--+ 122702393639310t t⨯≤-⋅=-+= ，当且仅当180t =时（即10x =）取等号，所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为3. 故答案为：1002100x x++，()0,100x ∈；3。

2015高考数学(苏教版,理)一轮学案12 函数模型及其应用

学案12函数模型及其应用导学目标：1.能够应用函数知识构造函数模型，解决简单的实际生活中的优化问题.2.能利用函数与方程、不等式之间的关系，解决一些简单问题．自主梳理1．几种常见函数模型（1）一次函数模型：y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：y＝错误!＋b（k、b为常数，k≠0)；(3）二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，a≠0）,二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中是最为常见的;（4)指数函数模型：y＝ka x＋b(k、a、b为常数，k≠0，a〉0且a≠1)；(5）对数函数模型:y＝m log a x＋n（m、n、a为常数，m≠0,a〉0且a≠1)；（6）幂函数模型：y＝ax n＋b（a、b、n为常数,a≠0,n≠0)；(7）分式函数模型:y＝x＋错误!（k>0)；（8）分段函数模型．2．解应用题的方法和步骤用框图表示如下:自我检测1．某工厂八年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示,下列四种说法:①前三年中产量增长速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变．其中说法正确的是________．（填上正确的序号)2．(2011·广州模拟）计算机的价格大约每3年下降错误!，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位:万元）分别为L1＝5。

06x－0。

15x2和L2＝2x,其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为________．4．（2009·浙江)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量（单位:千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）50及以下的部分0.568超过50至200的部分0.598超过200的部分0。

2015高考数学复习资料考点热点讲解练习测试专题12函数与方程(新课标版)

y 轴对称 .
（ 3）函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 .
②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数
.
③若 f ( x) 为偶函数，则 f ( x) f ( x) f (| x |) .
特殊函数图象 :
(1) 函数 y
ax b (c
0, ad
bc) : 可由反比例函数
y
k (k
0) 图象平移、伸缩得到 . 图 1 示例 .
cx d
x
①图象是双曲线 , 两渐近线分别直线 x
d ( 由分母为零确定 ) 和直线 y a ( 由分子、分母中 x 的系数确
c
c
定) ；
②对称中心是点 ( d , a ) .
与命题结合，考查函数根的存在性，属于基础题
. 在 2014 年理科高考题，主要考查函数奇偶性，属于基础
题，而文科除考查函数奇偶性，还考查了分段函数，解不等式，使得题目难度较低
. 从这三年高考题可以看
出，函数的性质，不等式的解，函数与方程，函数零点是高考考查的热点，每过几年都要涉及，考查根的
存在性定理的题较基础，而函数零点往往结合函数性质与函数图像，作为把关题存在，主要考查转化与化
热点十二函数与方程
【名师精讲指南篇】
【高考真题再现】
1. 【 2012 新课标全国文】
设函数
f
(
x)=
(x+1) 2+sin
2
x的最大值为
M ，最小值为
m，则 M+ m=____
x +1
2. 【 2013 新课标全国】已知命题 p : x R ， 2 x 3x ；命题 q : x R ， x3 1 x2 ，则下列命题中为真

高三数学函数模型及其应用试题答案及解析

高三数学函数模型及其应用试题答案及解析1.某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌新墙所用材料最省时，堆料场的长和宽的比为()A．1B．2C．D．【答案】B【解析】设宽为x，长为kx，则kx2＝512，用料为y＝(k＋2)x＝(＋2)x＝2(＋x)≥4＝64(当且仅当x＝16时取“＝”)，所以k＝＝2.2.某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为(30－R)万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是() A．[4,8]B．[6,10]C．[4%,8%]D．[6%,100%]【答案】A【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，需(30－R)×160×R%≥128，整理得R2－12R ＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4,8]．3.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为()A．上午10：00B．中午12：00C．下午4：00D．下午6：00【答案】C【解析】当x∈[0,4]时，设y＝kx，1＝80，∴y＝80x.把(4,320)代入，得k1x＋b.当x∈[4,20]时，设y＝k2把(4,320)，(20,0)代入得解得∴y＝400－20x.∴y＝f(x)＝由y≥240，得或解得3≤x≤4或4<x≤8，∴3≤x≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.4.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到15—0.1x万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？【答案】（1）340(万元)（2）每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元【解析】解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x元时，由解得0<x<150.依题意，单套丛书利润P＝x－(30＋)＝x－－30，∴P＝－[(150－x)＋]＋120.∵0<x<150，∴150－x>0，由(150－x)＋≥2＝2×10＝20，＝－20＋120＝100.当且仅当150－x＝，即x＝140时等号成立，此时，Pmax∴当每套丛书售价定为100元时，书商获得总利润为340万元，每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．5.[2014·武汉模拟]国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为()A．3000元B．3800元C．3818元D．5600元【答案】B【解析】由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为y＝，显然由0.14(x－800)＝420，可得x＝3800.6.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．【答案】（1）当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元（2）当长为16米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 882元．【解析】(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米．则总造价f(x)＝400×(2x＋)＋248×2x＋80×162＝1 296x＋＋12 960＝1 296(x＋)＋12 960≥1 296×2 ＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元．(2)由限制条件知，∴10≤x≤16，设g(x)＝x＋(10≤x≤16)，g(x)在上是增函数，∴当x＝10时（此时），g(x)有最小值，即f(x)有最小值，即为1 296×＋12 960＝38 882元．∴当长为16米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 882元．7.为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨废弃物可得价值为万元的某种产品，同时获得国家补贴万元．（1）当时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？【答案】(1) 国家最少需要补贴万元，该工厂才能不会亏损；（2）30.【解析】（1）本题考查函数应用，属于容易题，解题的关键是列出收益函数，收益等于收入减成本，因此有利润，化简后它是关于的二次函数，利用二次函数的知识求出的取值范围，如果有非负的取值，就能说明可能获利，如果没有非负取值，说明不能获利，而国家最小补贴就是中最大值的绝对值. （2）每吨平均成本等于，由题意，我们根据基本不等式的知识就可以求出它的最小值以及取最小值时的值.试题解析：（1）根据题意得，利润和处理量之间的关系：2分，.∵，在上为增函数，可求得. 5分∴国家只需要补贴万元，该工厂就不会亏损． 7分（2）设平均处理成本为 9分11分当且仅当时等号成立，由得．因此，当处理量为吨时，每吨的处理成本最少为万元． 14分【考点】函数应用题，二次函数的值域，基本不等式的应用.8.设函数f（x）的定义域为D,若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D）有x+l∈D，且f（x ＋l）≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数，如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f （x）＝｜x－a2｜－a2，且f(x)为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，，则，即为上的8高调函数；当时，函数的图象如图所示，若为上的8高调函数，则，解得且.综上.【考点】1.新定义题；2.函数图像.9.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)．【答案】当r＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米．【解析】由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为＝1.2－2r，∴塑料片面积S＝πr2＋2πr(1.2－2r)＝πr2＋2.4πr－4πr2＝－3πr2＋2.4πr＝－3π(r2－0.8r)＝－3π(r－0.4)2＋0.48π.∴当r ＝0.4时，S有最大值0.48π，约为1.51平方米．10.要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？【答案】半圆直径与矩形的高的比为2∶1【解析】设半圆直径为2R,矩形的高为a，则2a＋2R＋πR＝L(定值)，S＝2Ra＋πR2＝－R2＋LR，当R＝时S最大，此时＝1，即半圆直径与矩形的高的比为2∶1时，窗户能够透过最多的光线．11.已知某种产品今年产量为1000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为________件．【答案】1331【解析】1000×(1＋10%)3＝1331.12.某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．(1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2＋4x＋8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y＝x－2lnx＋a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)【答案】（1）不符合（2）a的值为1.【解析】审题引导：正确理解三个条件：①要求模型函数在[2，10]上是增函数；②要满足y≥恒成立；③要满足y的最大值小于8.规范解答：解：(1)函数y＝0.05(x2＋4x＋8)在[2，10]上是增函数，满足条件①，(2分)当x＝10时，y有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件③.(4分)但当x＝3时，y＝，即y≥不恒成立，不满足条件②，故该函数模型不符合该单位报销方案．(6分)(2)对于函数模型y＝x－2lnx＋a，设f(x)＝x－2lnx＋a，则f′(x)＝1－＝≥0.∴f(x)在[2，10]上是增函数，满足条件①.由条件②，得x－2lnx＋a≥，即a≥2lnx－在x∈[2，10]上恒成立，令g(x)＝2lnx－，则g′(x)＝－＝，由g′(x)>0得0＜x<4，∴g(x)在(0，4)上是增函数，在(4，10)上是减函数．∴a≥g(4)＝2ln4－2＝4ln2－2.(10分)由条件③，得f(10)＝10－2ln10＋a≤8，解得a≤2ln10－2.另一方面，由x－2lnx＋a≤x，得a≤2lnx在x∈[2，10]上恒成立，∴a≤2ln2.(12分)综上所述，a的取值范围为[4ln2－2，2ln2]，∴满足条件的整数a的值为1.(14分)13.用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm时，容器的容积最大．【答案】10【解析】设容器的高为xcm，即小正方形的边长为xcm，该容器的容积为V，则V＝(90－2x)(48－2x)x＝4(x3－69x2＋1080x)，0<x<12，V′＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)，当0<x<10时，V′>0；当10<x<12时，V′<0.所以V在(0，10]上是增函数，在[10，12)上是减函数，故当x ＝10时，V最大．14.某同学从A地跑步到B地，随路程的增加速度减小．若以y表示该同学离B地的距离，x表示出发后的时间，则下列图象中较符合该同学走法的是____________．(填序号)【答案】③【解析】由于y表示该同学离B地的距离，所以答案在①③中选，又随路程的增加速度减小，一半的时间内所走的路程要大于总路程的一半，故选③.15.里氏震级M的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为__________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.【答案】6 10000【解析】由题意,在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则M=lgA-lgA=lg1000-lg0.001=3-(-3)=6.设9级地震的最大振幅是x,5级地震的最大振幅是y,9=lgx+3,5=lgy+3,解得x=106,y=102.所以==10000.16.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过小时,才能开车(精确到1小时).【答案】5【解析】设x小时后,该驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL,则有0.3·()x≤0.09,即()x≤0.3,估算或取对数计算得至少5小时后,可以开车.17.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,国家将给予补偿. (1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?【答案】(1) 国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损(2) 当每月的处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.【解析】(1)该项目不会获利.当x∈[200,300]时,设该项目获利为S,则S=200x-(x2-200x+80000)=-x2+400x-80000=-(x-400)2,所以当x∈[200,300]时,S<0,因此该项目不会获利.当x=300时,S取得最大值-5000,所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损.(2)由题意,可知二氧化碳的每吨处理成本为:=①当x∈[120,144)时,=x2-80x+5040=(x-120)2+240,所以当x=120时,取得最小值240.②当x∈[144,500]时,=x+-200≥2-200=200,当且仅当x=,即x=400时,取得最小值200.因为200<240,所以当每月的处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.18.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值Q(a)．【答案】（1）L＝(x－3－a)·(12－x)2，x∈[9,11]．（2）当每件售价为6＋a元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝43(万元)．【解析】(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L＝(x－3－a)·(12－x)2，x∈[9,11]．(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)＝(12－x)·(18＋2a－3x)．令L′＝0，得x＝6＋a或x＝12(不合题意，舍去)．∵3≤a≤5，∴8≤6＋a≤.在x＝6＋a两侧，L′的值由正变负．所以①当8≤6＋a<9，即3≤a<时，＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)；Lmax②当9≤6＋a≤，即≤a≤5时，＝L 2＝43，Lmax所以Q(a)＝故若3≤a<，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(万元)；若≤a≤5，则当每件售价为6＋a元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝43(万元)．19.设y＝f(x)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝h＋A sin (ω＋φ)的图象，写出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是______．【答案】y＝5.0＋2.5sin t.【解析】由数据可知函数的周期T＝12，又T＝12＝，所以ω＝，函数的最大值为7.5，最小值为2.5，即h＋A＝7.5，h－A＝2.5，解得h＝5.0，A＝2.5.所以函数为y＝f(x)＝5.0＋2.5sin又y＝f(3)＝5.0＋2.5sin＝7.5，所以sin ＝cos φ＝1，即φ＝2kπ，k∈Z，故y＝5.0＋2.5sin t20.某镇政府为了更好地服务于农民，派调查组到某村考察．据了解，该村有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员x(x＞0)户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高2x%，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入将为3 (a＞0)万元．(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前从事蔬菜种植的农民的总年收入，求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a的最大值．【答案】（1）0＜x≤50（2）5【解析】(1)由题意，得3(100－x)(1＋2x%)≥3×100，即x2－50x≤0，又x＞0，解得0＜x≤50.(2)从事蔬菜加工的农民总年收入为3x万元，从事蔬菜种植的农民的总年收入为3(100－x)(1＋2x%)万元．根据题意，得3x≤3(100－x)(1＋2x%)恒成立，即ax≤100＋x＋恒成立．因为0＜x≤50，所以a≤＋＋1恒成立，而＋＋1≥5，当且仅当x＝50时取等号，所以a的最大值为5.21.某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．【答案】30【解析】本题要列出总费用与的函数关系式，然后利用不等式知识或函数的性质解决.根据题意总费用，当且仅当，即时等号成立.【考点】函数的应用与基本不等式.22.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某栋建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度(单位:)满足关系：若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。

2015年高考数学总复习配套课件：专题研究专题研究函数模型及其应用(共33张PPT)

(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)
第十二页，编辑于星期五：十一点二十七分。
【解析】 (1)当 0<x≤10 时， W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－3x03 －10；当 x>10 时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－1 30x00－2.7x. ∴W＝89.81－x－1 330xx030－0－102.70x<xx≤>1100.，
第二十六页，编辑于星期五：十一点二十七分。
探究 3 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型 y＝N(1＋p)x(其中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基础数，x 为增长率，n 为时间) 的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．
(1)当 0≤x≤200 时，求函数 v(x)的表达式； (2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到 1 辆/小时)
第十八页，编辑于星期五：十一点二十七分。
【解析】 (1) 由题意：当 0≤x≤20 时， v(x) ＝ 60 ；当 20≤x≤200 时，设 v(x)＝ax＋b，
第五页，编辑于星期五：十一点二十七分。
【答案】 (1)年产量为 200 吨时，每吨平均成本最低，最低为 32 万元
(2)年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元
第六页，编辑于星期五：十一点二十七分。

2015年高考数学总复习精品课件：第3章第8讲函数模型及其应用

5．已知函数 y1＝2x 和 y2＝x2. 当 x∈(2,4]时，函数__y_2_＝_x_2_的值增长快；当 x∈(4，＋∞)时，函数___y_1_＝__2x的值增长快．
第十页，编辑于星期五：十一点二十六分。
考点 1 正比例、反比例和一次函数类的实际问题例 1：(2012 年上海)某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为 30 千米(忽略内、外环线长度差异)． (1)当 9 列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟，求内环线列车的最小平均速度； (2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为 25 千米/时，外环线列车平均速度为 30 千米/时．现内、外环线共有 18 列列
第二十页，编辑于星期五：十一点二十六分。
当 0≤t≤20 时，F(t)＝3t－230t2＋8t＝－290t3＋24t2， ∴F′(t)＝－2270t2＋48t＝t48－2270t≥0. ∴F(t)在[0,20]上是增函数． ∴F(t)在此区间上的最大值为 F(20)＝6000＜6300. 当 20＜t≤30 时，F(t)＝60－230t2＋8t. 由 F(t)＝6300，得 3t2－160t＋2100＝0，解得 t＝730(舍去)或 t＝30.
第二十一页，编辑于星期五：十一点二十六分。
当 30＜t≤40 时，F(t)＝60－230t2＋240.
由 F(t)在(30,40)上是减函数，得 F(t)＜F(30)＝6300.
故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于 6300 万元，为上市后的第 30 天．
【方法与技巧】分段函数主要是每一段自变量变化所遵循
小平均速度是 20 千ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ/时．
(2)设内环线投入 x 列列车运行，则外环线投入(18－x)列列

高考数学专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数热点题型和提分秘籍理-人教版高三全册数学试题

专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．了解任意角的概念2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义热点题型一象限角与终边相同的角例1、 (1)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________。

(2)如果α是第三象限的角，试确定－α，2α的终边所在位置。

【答案】（1）⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π（2）见解析解析：(1)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π。

(2)由α是第三象限的角得π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，所以－3π2－2k π＜－α＜－π－2k π(k ∈Z )，即π2＋2k π＜－α＜π＋2k π (k ∈Z )，所以角－α的终边在第二象限。

由π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，得2π＋4k π＜2α＜3π＋4k π(k ∈Z )。

所以角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴。

【提分秘籍】1．终边在某直线上角的求法步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线。

(2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角。

(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。

(4)求并集化简集合。

2．确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的X 围，再写出kα或αk的X 围，然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置。

【举一反三】设角α是第二象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2属于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限热点题型二扇形的弧长及面积公式例2、 (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。

高考数学专题课：构造函数模型秒杀

理科
y ln xf(x)
可以直接利用秒杀法求解f(x)的图像以及目标的复合函数吗
除此之外，你还能怎么办呢？
THANKS
②判定性质，复合函数为偶函数，找特殊点（1，0）和（-1，0）
③根据图像得到答案 - -1
或者 0 ,1
1.找模型（基本导数的函数模型8类组合导数的函数模型5类）
2.判性质
提醒
3.画图象
4.得答案
y=xf(x) y=f(x)/x y=lnxf(x) y=f(x)/lnx
y ex f x; y f (x)
导数模型：构造函数秒杀
教师：李飞月 2019年 4月18日21：30-22：00
难度系数：⭐⭐⭐ 高考分值：5分考试频率：30%
2015年全国2卷理科数学第12题
1.函数奇偶性 2.函数求导 3.解不等式
2015年全国2卷理科数学第12题
y f (x)
-1
1

解析
①构建函数模型y f (x) x
ex
y=sinxf(x) y=f(x)/sinx y=cosxf(x) y=f(x)/cosx
效率：60秒准确率：100% 推荐度：⭐⭐⭐
①.基本导数的函数模型
②画图：抛物线
2018年百强名校广东省中山一中、仲元中学等七校联考文科数学高三第二次联考11 月模拟卷
③判定单调性知道所以选择答案C

2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第二章第十一节函数模型及其应用理

第十一节函数模型及其应用知识梳理1．几类函数模型及其增长差异．(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题．1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．以上过程用框图表示如下：基础自测1．f (x )＝x 2，g (x )＝2x，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A ．f (x )＞g (x )＞h (x )B ．g (x )＞f (x )＞h (x )C ．g (x )＞h (x )＞f (x )D ．f (x )＞h (x )＞g (x )解析：根据三种函数模型的增长速度可知，选项B 正确．答案：B2x －2.0 －1.0 0 1.0 2.0 3.0y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02则x ，)A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋b x解析：由表格数据逐个验证知，模拟函数为y ＝a ＋b x .故选B. 答案：B3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品的数量为______万件．解析：利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．答案：184．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m 分钟后甲桶中的水只有a8升，则m 的值为________．解析：令a 8＝a e nt ，即18＝e nt ，①又∵12＝e 5n ，故18＝e 15n ，②比较①②知，t ＝15，∴m ＝15－5＝10. 答案：101．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式．(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大？并求出最大值(精确到1辆/小时)．解析：(1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60，0≤x ≤20，13(200－x )，20＜x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20＜x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎡⎦⎤x ＋(200－x )22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上所述，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．答案：见解析2．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x cm.(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (单位：cm 2)最大，试问：x 应取何值？(2)若厂商要求包装盒的容积V (单位：cm 3)最大，试问：x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解析：(1)根据题意有S ＝602－4x 2－(60－2x )2＝240x －8x 2＝－8(x －15)2＋1 800(0<x <30)，所以x ＝15 cm 时，包装盒侧面积S 最大．(2)根据题意有V ＝(2x )2·22(60－2x )＝22x 2(30－x )(0＜x ＜30)．而V ′＝62x (20－x )，当0＜x ＜20时，V ′＞0，V 单调递增；当20＜x ＜30时，V ′＜0，V 单调递减．所以当x ＝20时，V 取极大值也是最大值．此时，包装盒的高与底面边长的比值为22(60－2x )2x＝12，即当x ＝20时，包装盒容积V最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为12.答案：见解析1．某市的出租车的价格规定：起步费11元，可行3千米；3千米后按每千米2.1元计价，可再行7千米；以后每千米都按3.15元计价，设每一次乘车的车费由行车里程确定．(1)请写出一次乘车的车费y 元与行车的里程x 千米的函数关系； (2)计算如果一次乘车费为32元，那么汽车行程为多少千米？ (3)当行程为28千米时，请你设计一种乘车方案，使总费用最省．解析：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧11，0<x ≤3，11＋2.1(x －3)，3<x ≤10，11＋2.1×7＋3.15(x －10)，x >10，＝⎩⎪⎨⎪⎧11，0<x ≤3，2.1x ＋4.7，3<x ≤10，3.15x －5.8，x >10.(2)如果只计算10千米，则共需费用11＋7×2.1＝25.7＜32，故汽车行程x >10，所以3.15x －5.8＝32，解得x ＝12(千米)．(3)当行程为3千米时，平均每千米为113元，比较三种计费方程知，当行程为10千米时，费用最省，即行程10千米时下车，重新上车计费，故当行程为28千米时，两次分别行程10千米时下车，重新上车计费，其费用为2×(11＋7×2.1)＋(11＋5×2.1)＝72.9元．答案：见解析2．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例系数为k (k >0)．现已知相距18 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a ， b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC ＝x km.(1)试将y 表示为x 的函数；(2)若a ＝1，且当x ＝6时，y 取得最小值，试求b 的值．解析：(1)设C 处受A 污染源污染程度为ka x 2，C 受B 处污染源污染程度为kb(18－x )2，其中k 为比例系数，且k >0.从而C 处受污染程度y ＝ka x 2＋kb(18－x )2.(2)因为a ＝1，所以y ＝k x 2＋kb(18－x )2，y ′＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x 3＋2b (18－x )3，令y ′＝0，得x ＝181＋3b，又此时x ＝6，解得b ＝8，经验证符合题意．所以，污染源B的污染强度b的值为8. 答案：见解析。

2015高考数学二轮复习热点题型专题十二-函数模型及其应用

专题十二函数模型及其应用【高频考点解读】1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．【热点题型】题型一几类常见函数模型例1．据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系是( )A ．y ＝0.1x ＋800(0≤x ≤4 000)B ．y ＝0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)C ．y ＝－0.1x ＋800(0≤x ≤4 000)D ．y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)解析：y ＝0.2x ＋(4 000－x )×0.3＝－0.1x ＋1 200. 答案：D【提分秘籍】应用函数模型解应用题要注意 (1)正确理解题意，选择适当的函数模型．(2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． (3)在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．【举一反三】在某种新型材料和研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y ＝2x B ．y ＝log 2x C ．y ＝12(x 2－1)D ．y ＝2.61cos x解析：通过检验可知，y ＝log 2x 较为接近．答案：B 【热点题型】题型二三种增长型函数模型的图象与性质例2、f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A．f(x)>g(x)>h(x)B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)【提分秘籍】三种模型的增长差异在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，有log a x<x n<a x.【举一反三】物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()解析：由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故选B.答案：B【热点题型】题型三二次函数模型例3、(2013年高考陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．[15,20]B．[12,25]C．[10,30] 0,30]【提分秘籍】解决二次函数型实际应用问题时，除利用条件建立目标函数外，还要注意自变量的取值范围，如果涉及最值问题，要注意对称轴与定义区间的关系．【举一反三】某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元【热点题型】题型四分段函数模型例4、某旅游景点预计2014年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位；万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧35－2x x ∈N *，且1≤x ，160xx ∈N *，且7≤x(1)写出2014年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：人)与x 的函数关系式： (2)试问2014年第几个月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？【提分秘籍】分段函数模型的应用技巧(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数．(2)构建分段函数时，要做到分段合理，不重不漏，并要注意实际问题中各段自变量的取值范围，特别是端点值．(3)在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．【举一反三】如图，在平面直角坐标系中，AC 平行于x 轴，四边形ABCD 是边长为1的正方形，记四边形位于直线x ＝t (t >0)左侧图形的面积为f (t )，则f (t )的大致图象是( )【热点题型】题型五指数函数模型例5、将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e n t ．假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8升，则m ＝________.【提分秘籍】指数函数型多涉及增长率、减少率、银行利率．细胞分裂等一系列问题，通常可以表示为y ＝a ·(1＋p )x 的形式，利用指数运算与对数函数图象性质去求解．【举一反三】某电脑公司2012年的各项经营收入中经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2014年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2012年到2014年每年经营总收入的年增长率相同，则2013年预计经营总收入为________万元．【热点题型】题型六函数的实际应用问题例6、小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元．在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)；在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【提分秘籍】函数模型的应用有两个方面：一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解决实际问题．建立函数模型解应用问题的步骤如下：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中．【高考风向标】1．（2014·湖南卷）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－1【答案】D 【解析】设年平均增长率为x ，则有(1＋p )(1＋q )＝(1＋x )2，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1. 2．（2014·陕西卷）如图1-2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )图1-2A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－xD ．y ＝－3125x 3＋15x3．（2013·陕西卷）设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有 ( )A ．[－x]＝－[x]B ．[2x]＝2[x]C ．[x ＋y]≤[x]＋[y]D ．[x －y]≤[x]－[y]4．（2013·重庆卷）若a ＜b ＜c ，则函数f(x)＝(x －a)(x －b)＋(x －b)(x －c)＋(x －c)(x －a)的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b)和(b ，c)内B ．(－∞，a)和(a ，b)内C ．(b ，c)和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a)和(c ，＋∞)内【随堂巩固】1.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )2．国家规定某行业收入税如下：年收入在280万元及其以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( )A ．560万元B ．420万元C ．350万元D ．320万元3．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元的水费收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米4．某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为⎝⎛⎭⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( )A ．[4,8]B ．[6,10]C ．[4%,8%]D ．[6%,100%]5．某商店计划投入资金20万元经销甲、乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P (万元)和Q (万元)，且它们与投入资金x (万元)的关系是：P ＝x 4，Q ＝a2x (a ＞0)．若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中一种商品所获得的纯利润总和不少于5万元，则a 的最小值应为( )A.5 B ．5 C ．±5D ．－ 56．为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为________．7.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系为________________________________________________________________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．8．某公司有价值a 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值．改造需要投入，假设附加值y (单位：万元)与技术改造投入x (单位：万元)之间的关系满足：①y 与a －x 和x 2的乘积成正比例；②当x ＝a 4时，y ＝3a 316；③0≤xa －x≤t ，其中t 为常数，且t ∈[0,2]．(1)设y＝f(x)，求f(x)的表达式，并求y＝f(x)的定义域；(2)求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入x的值．。

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题2_第2讲_函数的应用(含答案)

第2讲函数的应用考情解读 1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．1．函数的零点与方程的根（1）函数的零点对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点．（2）函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．（3）零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．（4）二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是（1）阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；（2）数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；（3）解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；（4）实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.热点一函数的零点例1 （1）函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的区间是( )A ．(12，1) B ．(1，e －1) C ．(e －1,2) D ．(2，e)（2）已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx ，x ∈[0，12]，2x －1，x ∈(12，＋∞)，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A ．[14，23]∪[43，74]B ．[－34，－13]∪[14，23]C ．[13，34]∪[43，74]D ．[－34，－13]∪[13，34]思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决．思维升华函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．（1）已知函数f (x )＝(14)x －cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4（2）已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不确定热点二函数的零点与参数的范围例2 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( ) A ．(－2,1) B ．[0,1] C ．[－2,0) D ．[－2,1)思维启迪先确定函数f (x )的解析式，再利用数形结合思想求k 的范围．思维升华已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解．定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)的单调增区间为(－1,1)，若方程3a (f (x ))2＋2bf (x )＋c＝0恰有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．热点三函数的实际应用问题例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝|x x 2＋1－a |＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．（1）令t ＝xx 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值范围；（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？思维启迪 (1)分x ＝0和x ≠0两种情况，当x ≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f (x )转化成g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，再把函数g (t )写成分段函数后求M (a )．思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去． (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2 (0<x ≤10)，108x －1 0003x 2(x >10).（1）写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)1．函数与方程（1）函数f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点．（2）函数f (x )的零点存在性定理如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点．2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决． 3．应用函数模型解决实际问题的一般程序读题(文字语言)⇒建模(数学语言)⇒求解(数学应用)⇒反馈(检验作答)与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.真题感悟1．(2014·重庆)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3， x ∈(－1，0]，x ， x ∈(0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 B ．⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 C ．⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 D ．⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 2．(2014·北京)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a 、b 、c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟押题精练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )＋1]的零点有________个．2．函数f (x )＝x e x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围是________．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．函数f (x )＝log 2x －1x 的零点所在的区间为( )A ．(0，12)B ．(12，1) C ．(1,2) D ．(2,3)2．函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1，下列区间中，可能存在零点的是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3) 3．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若方程f (x )＝m 有三个不同的实根，则实数m 的取值范围为( )A ．[－12，1]B ．[－12，1]C ．(－14，0)D ．(－14，0]5．(2013·江西)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于E 、D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是()6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为( ) A ．－5 B ．－6 C ．－7 D ．－8 二、填空题7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．8．(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1， x <1，13x ， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________．10．我们把形如y ＝b|x |－a(a >0，b >0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x |的交点个数为n ，则n ＝________. 三、解答题11．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)．（1）当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；（2）若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围．12．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？例1 (1)C (2)A 变式训练1 (1)C (2)C 例2 D 变式训练2 a <－12例3 解 (1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x ≤24时，x ＋1x ≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝x x 2＋1＝1x ＋1x ∈(0，12]，即t 的取值范围是[0，12]．(2)当a ∈[0，12]时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，则g (t )＝⎩⎨⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在(a ，12]上单调递增，且g (0)＝3a ＋23，g (12)＝a ＋76，g (0)－g (12)＝2(a －14)．故M (a )＝⎩⎨⎧ g (12)，0≤a ≤14，g (0)，14<a ≤12.即M (a )＝⎩⎨⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12.当0≤a ≤14时，M (a )＝a ＋76<2显然成立；由⎩⎨⎧3a ＋23≤2，14<a ≤12，得14<a ≤49， ∴当且仅当0≤a ≤49时，M (a )≤2.故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．变式训练3 解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .∴W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10 (0<x ≤10)，98－1 0003x－2.7x (x >10).(2)①当0<x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，且当x ∈(0,9)时，W ′>0；当x ∈(9,10)时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取得最大值，且W max ＝8.1×9－130·93－10＝38.6.②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x·2.7x ＝38，当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38.综合①②知：当x ＝9时，W 取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．AB 1．4 2．(－1e ，0) 3．5 8CBBCDC7．(0,1] 8．(－∞，8] 9．m >1 10．4 11．解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. ∴函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根．∴b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4(4a )<0⇒a 2－a <0，所以0<a <1. 因此实数a 的取值范围是(0,1)．12．解设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则 y ＝(2a －x )(b ＋0.01bx )－0.4bx ＝－b100[x 2－2(a －70)x ]＋2ab .依题意得2a －x ≥34·2a ，所以0<x ≤a2.又140<2a <420，即70<a <210.(1)当0<a －70≤a2，即70<a ≤140时，x ＝a －70，y 取到最大值；(2)当a －70>a 2，即140<a <210时，x ＝a2，y 取到最大值．故当70<a <140时，公司应裁员(a －70)人，经济效益取到最大，当140<a <210时，公司应裁员a2人，经济效益取到最大．13．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．解令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9(a －89)2＋89>0，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0， ∴a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1. (2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a <－15或a >1.。