高一数学抽象函数常见题型

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抽象函数常见题型

抽象函数的对称性、奇偶周期性常用结论及题型归纳

3、等价定义法

设函数的定义域为D，在定义域内任取 , ，且，

若 >0，则函数单调递增；若有<0，则函数单调递减(证明从略)，以上是函数单调性的第二定义。

数形结合法

赋值法

例1 若奇函数

))((R x x f ∈，满足1)2(=f ，)2()()2(f x f x f +=+，则=)1(f （）

A. 0

B. 1

C.21-

D.2

1 解：由)2()()2(f x f x f +=+联想到原型函数)0()(≠=k kx x f ，又1)2(=f ，21,12=

=∴k k ，x x f 21)(=，则2

1)1(=f ，选D 。

2012届高考冲刺专题4--抽象函数的周期性与对称性

知识点梳理

一、抽象函数的对称性

定理1. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x b f x a f -=+，则函数)

(x f y =的图象关于直线2

a x +=

对称。推论1. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x a f x a f -=+，则函数)

(x f y =的图像关于直线a x =对称。

推论2. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)2()(x a f x f -=),则函数)

(x f y =的图像关于直线a x =对称。

总结：x 的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程

推论 3. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x a f x a f -=+，又若方程

高一必修一数学抽象函数定义域求法专题讲解及专项练习

函数定义域求法总结

一、定义域是函数)(x f y =中的自变量x 的范围。

（1）分母不为零

（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1。

（5）x y tan =中2ππ+

≠k x 。

（6）0x 中0≠x 二、复合函数的定义域

题型一、已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出()][x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

例1、已知函数)(x f 的定义域为[]5,2，函数)3(+x f 的定义域为。例2、已知函数)(x f 的定义域为[]4,1，函数)2(x f 的定义域为。

题型二、已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域

方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <

例3、已知函数)3

(x f 的定义域为[]6,3-，函数)(x f 的定义域为。例4、已知函数)23(-x f 的定义域为[]7,4，函数)(x f 的定义域为。题型三、已知复合函数()][x g f 的定义域，求()][x h f 的定义域

结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得)(x f 的定义域，再由)(x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。

高一期中抽象函数知识点

高一期中考试即将来临，作为数学科目的一部分，抽象函数是需要

重点掌握的知识点之一。抽象函数作为高中数学的重要内容，其概念

和特点需要认真理解与掌握。本文将从抽象函数的定义、图象与性质、常见的抽象函数类型等多个方面进行论述，以帮助同学们更好地理解

和掌握抽象函数的知识。

一、抽象函数的定义

抽象函数是指其中一个函数的自变量包含了另一个函数。通常，我

们把包含有另一个函数的函数称作「外层函数」，而另一个函数称作「内层函数」。举个例子，f(g(x))中的f(x)就是外层函数，g(x)就是内

层函数。

二、抽象函数的图象与性质

抽象函数的图象一般来说比较复杂，因为它是内外两个函数共同作

用的结果。要绘制抽象函数的图象，需要先绘制内层函数和外层函数

的图象，然后观察两个图象的叠加效果。在绘制图象时，需要注意变

量的定义域和值域范围，以确保图象的正确性。

关于抽象函数的性质，可以通过以下几个方面进行分析：

1. 定义域和值域的确定：抽象函数的定义域取决于内外两个函数的

定义域，并且需要满足内层函数的值域在外层函数的定义域范围内。

对于值域而言，抽象函数的值域取决于内层函数。

2. 函数的奇偶性：抽象函数的奇偶性取决于外层函数的奇偶性，而

与内层函数的奇偶性无关。具体来说，如果外层函数是奇函数，则抽

象函数也是奇函数；如果外层函数是偶函数，则抽象函数也是偶函数。

3. 函数的增减性：抽象函数的增减性取决于内外两个函数的增减性。一般来说，如果外层函数是递增函数，且内层函数的导数存在且大于0，那么抽象函数是递增函数；如果外层函数是递减函数，且内层函数的

抽象函数常见题型的思维导图讲解及其针对性测试题.docx

永年县第二中学高一数学

抽象函数常见题型的思维导图讲解及其针对性测试题

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给岀了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

例1・已知函数/（■?）的定义域是[1,2],求/（x）的定义域。

思维导图：第一步：审题，/（/）的定义域是[1,2],即XW[1,2]T第二步：由xe[l,2] 求l^t = x2的值域T第三步：确定/（x）的定义域。

解析：•・•/（〒）的定义域是[1,2],即1<%<2,贝ijl

/. f（x）的定义域是[1,4] o

评析：一般地，已知函数/（從兀））的定义域是A,求/（兀）的定义域问题，相当于已

知/@（兀））中x的取值范围为A,据此求0（兀）的值域问题。

例2・已知函数/（Q的定义域是|-,2|,求函数/（2^）的定义域。

思维导图：第一步：审题，/（兀）的定义域是[丄,2],即凡是被“ / ”作用的对象都在[丄,2]

2 2

内T第二步：令丄52^52 T第三步：解出兀的范围T第四步：确定

2 /（2A_1）的定义域。

解析：/（无）的定义域是[-1,2],由此可得^<2X_1<2,

即2_, < 2r_l < 2 ,

.\-1

所以函数/（2V-'）的定义域是[0,2] o

评析：这类问题的一般形式是：已知函数/（x）的定义域是A,求函数/（俠劝）的定义域。正确理解两数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质

上相当于已知0（兀）的值域B,且Be A,据此求x的取值范围。例2和例1形式

上正相反。

二、求函数值问题

例3・已知定义域为疋的函数/(兀)，同吋满足下列条件：@/(2) = 1, /(6)=-；②

/(x-y) = /(x) + /(y),求/(3),/(9)的值。

解析：取兀=2, y = 3，得/(6) = /(2) + /(3)

1 4

因为/(2) = 1,几6)二右，所以f(3) = -~

又取兀二y = 3,得/(9) = /(3) + /(3) = --o

评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取兀=2,〉，= 3,这样便把已知条件/(2), /(6)与欲求的/(3)沟通了起來。赋值法是解此类问题的常用技巧。四、解析式问题

例4・设对满足x H 0的所有实数x ,函数/(兀)满足2 f (工)+ /(—) = 1 +兀，求/(x)的

解析式。

思维导图：第一步：令x =—,则有2/(—) + /(x) = 1 ------------ 第二步：把两式联

X X X

立起来，解方程组，求得/(%) O

(请同学们根据思维导图完成解题过程)：

评析：如杲把兀和丄分别看作两个变量，怎样实现由两个变虽向一个变虽的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系屮“消失”，进而保留一

个变量，是实现这种转化的重要策略。

五、单调性、奇偶性证明问题

例5・设/(兀)定义于实数集上的函数，且对于任意实数X、y都有/(x+y) = /U) + /(y), 求证：

(1) /(兀)为奇函数；

(2)若当兀>0时，有/(%) > 0 ,则/(兀)在R上为增函数。

思维导图：(1)第一步：判断定义域T第二步：令y = -Jt,得/(0) = /(x)+ /(-%)

T第三步：令兀= y = o,求/(0)T第三步：下结论。

(2)按照利用定义证明函数单调性步骤：取值、作差、变形、判号、下结论进行即可。

解析：(1)由已知得/(兀)的定义域为R,关于原点对称，

令X=y = O,则/(0) = 0,

令y = -兀,得/(0) = /(x) + /(-%)

・・./(—兀)=_/(兀)，・・./(兀)为奇函数。

(2) 设在只上任取, x2 ,且坷V%2，则兀2一兀1>0，

又 /(兀2)一/<>】)=/(兀2)+/(一兀1)=：/(兀2 一兀】)

已知当兀>0时,有/(x) > 0 , f(x2 -xj > 0 ,

/. /(x2) > /(xj ,・・JO)在R上为增函数。

评析：一般地，抽彖函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。

针对性测试题：

1.若奇函数/(兀)(施/?),满足/⑵二l,/(x +2) = /(%) + /⑵，则/⑴等于()

A. 0

B. 1

C. ------------

D.—

2 2

2.若函数/(兀)满足/(x+刃二/(劝十/(刃,(x,yw/?),则下列各式不恒成立的是()

A. /(0) = 0

B. /⑶= 3/(1)

C. /(|) = |/(1)

D. /(-%)•/(x)<0

3.若函数分别为R上的奇函数、偶函数,且满足fM-g(x) = e x，则有

A. /⑵⑶ vg(0)

B. g(0)

C. /⑵ vg(0)v/⑶

D. g(0) < /(2) < f⑶

4.已知函数y = /(lg(x+l))的定义域为(0,99],求函数y = /(log2(x + 2))的定义域。

5•设/(x)是R上的函数，且/(0) = 11并且对任意x,ye R都有f(x-y) = f(x)-y(2x-y+\)

求/(x)的解析式。

6.己知函数/(兀)对任意x.ye R，总有f(x+y) = f(x) + f(y),且当兀>0时,

重难点2-4-抽象函数及其性质8大题型(解析版) (1)

重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。

抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。

一、抽象函数的赋值法

赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；

3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；

4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：

（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;

（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.

①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：

()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或

()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;

②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：

()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

⋅=-或()()()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

⋅-

=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型

1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；

高一数学之抽象函数专题集锦-含详细解析

高一数学之抽象函数专题集锦

一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）

1. 设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(−2)，f(−π)，f(3)的大小顺序是( )

B. C. D.

2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x +2)关于x =−2对称，若f(−2)=1，则f(x −2)≤1的x 的取值范围

是( )

A. [−2,2]

B. (−∞,−2]∪[2,+∞)

C. (−∞,0]∪[4,+∞)

D. [0,4]

3. 已知函数y =f(x)定义域是[−2,3]，则y =f(2x −1)的定义域是( )

A. [0,52]

B. [−1,4]

C. [−12,2]

D. [−5,5]

4. 函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x −2)≤1的x 的取值范围是

( )

A. B. C. [0,4] D. [1,3]

5. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x −1)⩾0的x 的取值范围是( )

A. [−1,1]∪[3,+∞)

B. [−3,−1]∪[0,1]

C. [−1,0]∪[1,+∞)

D. [−1,0]∪[1,3] 6. 已知f(x)={x 2+4x x ≥0 , 4x −x 2 , x <0

若f(2−a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (−2 , 1)

B. (−1 , 2)

C. (−∞ , −1)⋃(2 , +∞)

D. (−∞ , −2)⋃(1 , +∞)

高一数学抽象函数常见题型解法综述 (下)

抽象函数常见题型解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f （x ）的定义域是［1，4］

评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。

例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 2

1x f -的定义域。

解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，

由此可得4

111)

1(3)2

(2)3(log 11

1≤

≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2

1x f -的定义域是]4

111[，

评析：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。例2和例1形式上正相反。

二、求值问题

例3. 已知定义域为+

R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①5

)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

高一抽象函数练习题

高一数学课程中，抽象函数是一个重要的概念。它是一种特殊的函数，其自变

量和因变量都可以是函数。抽象函数的引入，使得数学问题的描述和解决更加

灵活和简洁。为了帮助同学们更好地理解和掌握抽象函数，以下将给出一些高

一抽象函数练习题，希望能够对同学们的学习有所帮助。

1. 已知函数f(x) = x^2 + 3x - 2，求抽象函数g(x) = f(f(x))的表达式。

解析：首先，我们需要求出f(f(x))的表达式。根据抽象函数的定义，我们可以将

f(f(x))展开为f(x^2 + 3x - 2)。将f(x) = x^2 + 3x - 2代入，得到f(f(x)) = (x^2 +

3x - 2)^2 + 3(x^2 + 3x - 2) - 2。化简后，得到g(x) = x^4 + 7x^3 + 16x^2 +

13x - 6。

2. 已知函数f(x) = 2x - 1，求抽象函数g(x) = f^3(x)的表达式。

解析：根据抽象函数的定义，我们需要求出f^3(x)的表达式。f^3(x)表示f(f(f(x)))，即将f(x)连续作用三次。根据给定的函数f(x) = 2x - 1，我们可以计算出f(f(x))和

f(f(f(x)))的表达式，进而得到g(x) = 8x - 9。

3. 已知函数f(x) = x^2 + 2x，求抽象函数g(x) = f(f^2(x))的表达式。

解析：根据抽象函数的定义，我们需要求出f(f^2(x))的表达式。f^2(x)表示f(f(x))，即将f(x)连续作用两次。根据给定的函数f(x) = x^2 + 2x，我们可以计算出f(f(x))的表达式，进而得到g(x) = (x^2 + 2x)^2 + 2(x^2 + 2x)。

高一数学抽象函数常见题型解法综述

抽象函数常见题型解法综述

一、定义域问题

例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2

x 满足412≤≤x

从而函数f （x ）的定义域是［1，4］

评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。

例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21

[，-，求函数)]3([log 2

1x f -的定义域。解：)(x f 的定义域是]21

[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得4

111)

1(3)2

(2)3(log 11

1≤

≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2

1x f -的定义域是]4

111[，

二、求值问题

例3. 已知定义域为+

R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①5

)6(1)2(=

高一必修一数学抽象函数计算专题练习

抽象函数f（）=f（）f（）

一．选择题（共3小题）

1．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f （y），若动点P（x，y）满足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，则x+y的最大值为（）A．2﹣5B．﹣5C．2+5D．5

2．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）

A．f（x）=x B．f（x）=x3C．f（x）=（）x D．f（x）=3x

3．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）

A．f（x）=x3B．f（x）=3x C．f（x）=x D．f（x）=（）x

二．解答题（共15小题）

4．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f （y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）=1，

（1）求证：f（1）=0；

（2）求f（）；

（3）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤1．

5．已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1．

（1）求证：f（x）是偶函数；

（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；

（3）解不等式f（2x2﹣1）＜2．

6．定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（xy）=f

（x）+f（y），且f（x）是区间（0，+∞）上的递增函数

（1）求f（1），f（﹣1）的值；

（2）求证：f（﹣x）=f（x）；

（3）解关于x的不等式：．

专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案

一、选择题

1．设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式

()121f x -≤-≤的解集为

A . []1,1-

B ． []0,4

C ． []2,2-

D ． []1,3

【答案】D

2．若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（）

A . 2

B . 4

C . 6

D . 8

【答案】C

【解析】函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故有()132{

3212

a a a a +>--++＝，求得2a =，故选A .

3．已知()f x 是偶函数，它在[

)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（） A . 1,110⎛⎫

⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫

⋃+∞ ⎪⎝⎭

D . ()()0,110,⋃+∞ 【答案】B

【解析】试题分析：偶函数

()

f x 在

[)0,+∞上是减函数，则在(],0-∞上为增函数，由()()lg 1f x f >可知

，得

，故选项B 正确．

考点：偶函数的单调性及其运用．

【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等

式

，解得

，没有正确的选项可选．偶函数的图象关于y 轴对称，则其在原点两侧对称区

高一数学必修1抽象函数常见题型解法归纳

对于刚上高一的学生而言，掌握好抽象函数常见题型的解法，有助于他们在高考数学的考试中发挥的更加出色。下面是店铺为大家整理的高一数学必修1常见题型解法，希望对大家有所帮助!

高一数学抽象函数常见题型

高一数学填空题解题方法

一、直接法

从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。

二、特殊化法

当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。

三、数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。

四、等价转化法

将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。

解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。

高一数学复习答疑

问题1：我的基础还可以，上课老师讲的也都能听懂，但是一到自己做就做不出来了，帮忙分析一下原因。

答：数学这个东西是靠着逻辑吃饭的，是靠着逻辑演绎向前推进和发展的。当一个老师把你抱到了逻辑的起点上，告诉你这个逻辑关系是怎样的，比如说饿了就应该找饭吃，下雨了就应该找伞来打，告诉你了这个逻辑规则，你自己肯定会按照逻辑的顺序往前跑，这就叫为什么上课听得懂。

为什么课下自己不会做了呢?是因为课下你找不到逻辑的起点，就像一个运动员空有一身本领，跑得飞快，没有找到起点，没有到起点做好认真的准备，结果人家一发令，你没反应。

有两种学习的模式，一种是靠效仿，老师给我变一个数，出两道类似的练习题，照老师的模子描下来，结果做对了，好象我学会了，这就是效仿的方式来学数学，这种方式在小学是主要手段，在初中，这种手段还占着百分之六七十的分量，但是到了高中就不行了，靠模仿能得到的分数也就是五六十分，其他的分数都要靠你的理解。

高一数学函数常见题型及考点梳理

高一数学函数常见梳理考点01：定义域

模块01思维导图：

模块02考法梳理：

考法01：已知解析式求定义域

例1-1函数(

)()2

lg 31f x x =

++的定义域是。

【解析】∵函数

2，∴10310

x x -⎧⎨+⎩＞＞；解得﹣1

3＜x＜1，∴函数f（x）的定义域是

（﹣

，1）．例1-2函数102

()(1)(21)f x x x -=-+-的定义域是

。

【解析】将()1

21x --

化为

所以定义域为1x <因为()0

21x -，所以12x ≠综上，定义域为11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪

⎝

⎭⎝⎭例1-3

函数()ln sin f x x =+【解析】根据二次根式与对数函数有意义的条件可得2160

sin 0x x ⎧-≥⎨>⎩，解得，

()44

22x k k k Z ππππ-≤≤⎧⎨

<<+∈⎩

0,1k k ==-时，不等式解集为[)()4,0,ππ--⋃，

故ln sin y =[)()4,0,ππ--⋃，

例1-4函数()

(21)log 322x

x y -=-的定义域为________.

【解析】要使原式有意义，则3220210211

x x x ⎧->⎪-⎨⎪-≠⎩

＞，解得x ∈1,1(1,5)2⎛⎫ ⎪⎝⎭ ．故答案为：1,1(1,5)2⎛⎫

⎪⎝⎭ ．

考法02：抽象函数求定义域

例1-5已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为

。

【解析】因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-

高一数学必修1抽象函数常见题型解法归纳

一、直接法

从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。

二、特殊化法

当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。

三、数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。

四、等价转化法

将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。

解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。

问题1：我的基础还可以，上课老师讲的也都能听懂，但是一到

自己做就做不出来了，帮忙分析一下原因。

答：数学这个东西是靠着逻辑吃饭的，是靠着逻辑演绎向前推进和发展的。当一个老师把你抱到了逻辑的起点上，告诉你这个逻辑

关系是怎样的，比如说饿了就应该找饭吃，下雨了就应该找伞来打，告诉你了这个逻辑规则，你自己肯定会按照逻辑的顺序往前跑，这

就叫为什么上课听得懂。

为什么课下自己不会做了呢?是因为课下你找不到逻辑的起点，

就像一个运动员空有一身本领，跑得飞快，没有找到起点，没有到

起点做好认真的准备，结果人家一发令，你没反应。

有两种学习的模式，一种是靠效仿，老师给我变一个数，出两道类似的练习题，照老师的模子描下来，结果做对了，好象我学会了，这就是效仿的方式来学数学，这种方式在小学是主要手段，在初中，这种手段还占着百分之六七十的分量，但是到了高中就不行了，靠

模仿能得到的分数也就是五六十分，其他的分数都要靠你的理解。

(完整)高一数学抽象函数常见题型

抽象函数常见题型解法综述

一、定义域问题

例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f （x ）的定义域是［1，4］

例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 2

1x f -的定义域。

解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得

4111)21(3)21(2)3(log 1122

1≤≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2

1x f -的定义域是]4111[，二、求值问题

例3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①5

1)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=

因为5

1)6(1)2(=

=f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x 得5

8)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题

例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。

专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类高一数学热点培优练(人教A版2019必修第一册)(原卷版)

二、抽象函数判断或者证明奇偶性的思维和技巧
证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。 1.可赋值，得到一些特殊点函数值，如 f（0），f（1）等， 2.尝试适当的换元字母，构造出 x 和-x，如 f（x+y），可令 y= -x，f（xy），可令 y= -1 等等
3.通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。
3.定义在非零实数集上的函数 f (x) 对任意非零实数 x, y 满足: f (xy) f (x) f ( y) ,且当 0 x 1 时 f (x) 0 .
(1)求 f (1) 及 f (1) 的值；
(2)求证: f (x) 是偶函数；
(3)解不等式：
f
(2)
f
x
2
1 2
0
.
【题型三】类指数函数：形如 f（a+b）=f（a）f（b）单调性
【题型十】形如 f（a）+f（a）=f（ a b ）单调性与奇偶性 .............................................................................9 1 ab
【题型十一】形如 f（a）+f（a）= f (a b)[1 f (a)f (b)] 单调性与奇偶性 ....................................................... 9 【题型十二】形如 f（a-b）= 1 f (a)f (b 单调性与奇偶性 ................................................................................. 10

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