4-气体内的输运现象

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1、气体分子按自由程的分布函数f()
dN ( ) f ( ) Nd 其物理意义：气体分子中自由程介于~+d范围内 单位自由程内的分子数占总分子数的比率；或者气 体中任意一个分子的自由程介于~+d 单位自由程 内的概率。
自由程介于 ~+d 的分子数目 dN() 占总分子数 N 的百分比：
2
2
m
这时分子的碰撞不用考虑重复计算问题。
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例 估算氢气分子在标准状态下的平均碰撞频率。 解 在标准状态下，有
v 8 RT

1.70 10 m/s
3
n 2.7 10 m
25
3
对氢气分子取d =2×10−10m，则
Z 2d 2vn 8.16 109 s 1

第4章 气体内的输运现象
4.1 气体分子碰撞和平均自由程 4.2 输运过程的宏观规律 4.3 气体输运现象的微观解释
1
§4.1 气体分子碰撞和平均自由程
气体分子之间的碰撞对于气体中发生的过程有
重要的作用，如在气体中建立分子按速率或速度分 布的麦克斯韦分布律，确立能量按自由度均分定理 等，都是通过气体分子的频繁碰撞加以实现并维持 的。因此，分子间的碰撞时气体中建立并维持平衡
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z
引入比例系数：
du df ( z0 ) ( ) z0 dS dz
z0 df u=u(z)
u0
df ( z0 ) du 或 x ( ) z0 dS dz u=0 x是作用在面元dS单位面积上的黏滞力，称为黏滞 切应力；比例系数 称为动力学黏滞系数。
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（2）实际问题中三种过程往往同时发生，而且还 会因为一种输运过程的存在而引起另一种输运过程。
如：温度的不均匀可以引起热传导，同时在多元系 气体中会引起扩散，称为热扩散。浓度分布不均匀 也可导致温度分布不均匀，称为杜伏效应。
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输运过程的讨论方法： （1）由于稳定的输运过程相应系统状态为稳定态。 可以用描述平衡态的参量对状态进行描述。平衡态中 推导出的相应结果可以直接使用。
如果考虑气体是由A和B两种分子组成，分子直径和 质量分别为dA、mA和dB、mB，则单位时间内A、B 两种分子之间的碰撞次数： m AmB d A dB 为分子折合质量 m 2 d m A mB 2
Z AB (d A d B )2 2 4 8kT 2 2 kT n A nB (d A d B ) n A nB 2 2
Z v 2 nA A
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四、气体分子按自由程的分布
思考：在平均自由程为 的平衡态气体中，自由程 介于 ~+d 的分子数目 dN() 占总分子数 N 的百分
比多大？或者说，在这样的气体中，任意一个分子
的自由程介于 ~+d 的概率多大？又或者说，一 个分子自由飞越了路程后，再飞越d距离后与其 他分子发生碰撞的概率多大？。
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分析：函数P()应具有如下性质：
(1) 当=0时，P(0)=0；刚完成碰撞 的分子不再立刻发生碰撞； (2) P(∞)=1；自由程介于0~∞的概率 为 1；
(3) P()应是如图所示的连续单调增 函数；
(4) P()的具体函数形式确定后，应 用以下公式可求得分布函数
dP ( ) f ( ) d
现象：先使B盘转动， 不久A盘也开始转动， 但转过一个角度后 便停下来。
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2. 规律： 实验表明：黏滞力的大小与 流层上下接触面的速度差和 流层接触面积成正比。将沿 着流速增大方向单位距离的 流速差称为速度梯度。
z
u0
z0
df
u=u(z) df u=0
x
黏滞力与速度梯度、接触面积有关
du df dS dz
——分子的有效直径
碰撞时两分子质心距离的平均值称为分子的平均有 效直径d
4
2、分子的有效碰撞截面 当两分子质心之间垂直距离b<d 时，两分子发生碰撞。 d 2 2 d 4 ( ) 2 这里的σ就是弹性刚球的有效碰撞截面，是一个分 子截面的4倍。
5
二、平均自由程和平均碰撞频率
热运动分子之间 频繁碰撞，分子的运 动路径曲折复杂 分子在与其它分 子的相邻两次碰撞之 间所经历路程的平均 值为平均自由程 分子在单位时间内 与其它分子的平均碰 撞次数称为平均碰撞 频率
6
一个分子在单位时间内和其他分子碰撞的次数 是偶然的、不可预测的。 平均自由程 和平均碰撞频率 Z ： 反映了分子间碰撞的频繁程度，是对大量分子、 多次碰撞的统计平均值。 二者关系：
v Z
7
1、分子间的相对运动速率 u 设分子运动速度满足麦克斯韦分布律，根据统计 规律，假设所有分子均以平均速率 v 运动。则分子
N (0 ~ ) P ( ) 0 f ( )d N 物理意义：一个分子在自由飞行了距离后与其他分 子发生碰撞的概率。 N ( ~ ) 1 P ( ) f ( )d N 物理意义：一个分子在自由飞行了距离后仍未与其 他分子发生碰撞的概率。
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这也是为什么促使系统从非平衡态过渡到平衡
态的过程称为输运过程或内迁移过程的原因。 输运过程的特点：
（1）描述系统状态的宏观参量在空间的分布不随 时间改变的输运过程，称为稳定的输运过程，相 应系统状态为稳定态。 描述系统状态的宏观参量在空间的分布随时 间改变的输运过程，称为非稳定的输运过程，相 应系统状态为非稳定态。
1 7 2.08 10 m 2 2d n
常温常压下，一个分子在一秒内平均要碰撞几十亿次， 可见气体分子之间的碰撞是多么的频繁！
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三、有效碰撞截面的概率解释
如图所示的气体层。 一个分子以相对速度u沿x方向 入射气体层，层内其他分子看做 相对静止。问：
A
n

x
入射分子与气层内分子发生碰撞的概率有多大？
（2）讨论稀薄气体中发生的输运过程，将三种过程 分开讨论，忽略可能出现的交叉现象。
（3）输运现象不仅在气体中发生，在一切未达到热 力学平衡态的系统中都会发生，而且规律相同。 后面介绍的牛顿定律、傅里叶定律和斐克定律对固 体和液体等凝聚态物质也成立。
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一. 黏滞（内摩擦）现象
1. 现象： 实验表明：气体类似于液体也有黏滞性。 流动的气体，如果各气层的流 速不均匀，则在两个气层之间的接 触面上形成的一对阻碍两气层相对 运动的等值反向的摩擦力。 这种力称为“内摩擦力”或 “黏滞力”，这种现象称为黏 滞现象或内摩擦现象。
Z 2d
2
kT 8kT p 2 4d p 2 2 d p m kT mkT
11
4) 平均自由程与压强、温度的关系 kT T 2 2d p p T = 273K： p(atm) (m)
1 10−7 10−11 ～7×10−8 ～0.7（灯泡内） ～7×103（几百公里高空）
时气体分子可以从容器的一壁出发，无碰撞地飞到
容器的另一壁。这种气体多处的状态称为真空。 真空是一个相对的概念，随着容器线度的减小，
形成真空态的压强值提高。真空容器中所包含的气
体是高度稀薄的气体，通常称为克努森气体，这种
气体流动称为分子流。
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6) 单位体积内气体分子相互碰撞次数 假设分子是两两相碰的，单位体积内的分子相 互碰撞的总次数为 1 2 2 2 2 4kT Z AA nZ d v n d n
d u n
2
先假设其它分子静止
2
平均碰撞频率为
Z 2d vn 2vn
10
3、分子的平均自由程 v 1 2 Z 2d n 讨论：
1 2n
1) 分子的平均自由程与分子的有效碰撞截面σ和分 子的数密度n成反比，与平均速率无关。 2) 平衡态下，对确定的气体，平均自由程和平均 碰撞频率有确定的值。 3) 用宏观量 p、T表示的平均碰Fra Baidu bibliotek频率和平均自由程：
d f ( ) [1 P ( )] d
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一个分子在自由飞行了距离后仍未与其他分子发生 碰撞的概率为[1−P()]。继续飞行d距离后仍未与其 他分子发生碰撞的概率为
[1 P (d )] [1 P (0) d ] 1 d dP ( ) [ ] 0 是一个与自由程无关的常数。 d 分子在自由飞行了d的概率为


f ( )
1

e

相应的气体分子按自由程的分 布律为
dN ( ) 1 f ( )d e N

d

P() 63%
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§4.2 输运过程的宏观规律
非平衡态下气体各部分性质不均匀。 处于非平衡态的系统的基本特 征是：在没有外界影响的条件下， 系统的各部分宏观性质会自发地发 生变化，直到在系统中建立平衡态 为止。 气体不平衡 输运 过程 气体平衡
态的保证。 概念：有效碰撞截面、平均碰撞频率、平均自由程
2
一、有效碰撞截面
1、分子的有效直径 由分子力与分子距离的关系，有
f 0
斥力
r r0 r r0 r r0
r0 10 m
分子力表现为引力 分子力表现为斥力
r0
引力
-10
r
(分子力与分子间距离的关系)
3
分子碰撞过程：
引力作用 下，分子 加速靠近 设动能为零时，r＝d r0处引力 为零，仍 具动能 斥力作用 下，减速 靠近
dN ( ) f ( )d N
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dN ( ) f ( )d N
其几何意义是如图所示的在附
近宽为d长条的面积。
满足归一化条件： f ( )d 1
0
平均自由程：
0 f ( )d

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2、气体分子自由程介于0~的概率P() 由分布函数的定义：气体分子中自由程介于0~范 围内气体分子数占总分子数的百分比或任意分子自 由程介于0~ 的概率为：
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设气体足够稀薄，在入射方向上不 同气层内的分子不重叠，则气层内所有 分子的总碰撞截面为 A nxA
n
A
A 发生碰撞的概率为 nx A

x
穿越单位距离与其他分子发生碰撞的概率为 A 1 Z n Ax 2 2v 一个速度为v的分子穿过单位截面穿越单位距离实际 碰撞数与可能发生的总碰撞数的比率为
实验表明，在数密度恒定（温度恒定）的气体 中平均自由程对温度仍有微弱的依赖关系，随温度 的升高，平均自由程增加。这是由于有效碰撞截面 随温度的升高而减小，从而使平均自由程增加。
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5) 平均自由程与真空度 在室温下，当空气压强为10−7atm时，平均自由 程已达到m的量级，如果大于气体容器的线度，这
促使系统从非平衡态过渡到平衡态的过程称为输运 过程。
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三种输运现象： 1.当气体各层流速不均匀时发生的—— 黏滞现象
2.当气体温度不均匀时发生的——热传导现象 3.当气体密度不均匀时发生的——扩散现象 热运动+碰撞 、p、m 的迁移
T不 均 匀 ε热的 迁 移 ； 热 传 导 ： 温 度 向 度u不 均 匀 内 摩 擦 （ 黏 滞 ） ： 定 速 输运过程 定向动量的迁移； 扩 散 ： 密 度 ρ 不 均 匀 m的 迁 移 。
[1 P ( )](1 d ) [1 P ( d )]
应用边值条件：P(0) 0，可得方程的解与分布函数
P ( ) 1 e

f ( ) e

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平均自由程
0 f ( )d 0 e



d
1
P ( ) 1 e
之间具有相对运动速率 u 。
两个分子的相对运动的速度： u v2 v1
2 2 按三角关系： u 2 v1 v2 2v1v2 cos
2 2 取统计平均值： u2 v1 v2 2v1v2 cos
因为
2 v1

2 v2
v
2
v1v2 cos 0
u 2 2v 2
8
由于分子运动速度满足麦克斯韦分布律，其相对运动 速度也满足麦克斯韦速度分布律：
u2 u 2 v2 v
u 2v
2、分子的平均碰撞频率 统计假设： 1)同种分子：分子有效直径为d 2)所有分子静止，特定分子运动以平均相对运动 速率运动
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3)分子间弹性碰撞 4) 分子数密度为n 单位时间内与分子 A 发 生碰撞的分子数为