数学建模第三讲

例 求极限
x →1 / y y →∞
lim e −1/( y
2
+x
2
sin 2 x 1 x+a2 y2 ) (1 + 2 ) 2 x y
syms x y a; f=exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2); L=limit(limit(f,x,1/sqrt(y)),y,inf)
命令形式2：pp=spline(x,y) 功能：得到样条插值的分段多项式 命令形式3：[b,c]=unmkpp(pp) 功能： b显示样条函数的结点, c显示样条函数的各个分段三次多项式的系数。 更简单的用下面命令： 命令形式4：S=csapi(x,y) y=fnval(S,x)
1 例 对 y = 2 ,−5 ≤ x ≤ 5 ，用21个节点作三种样条插值，并比较 结果。 x x0=-5:0.5:5;y0=1./(1+x0.^2); x=-5:0.2:5; y1=interp1(x0,y0,x,'linear'); y2=interp1(x0,y0,x,'spline'); y3=interp1(x0,y0,x,'cubic'); plot(x,y1,'-',x,y2,'ok',x,y3,'*r')
4、积分运算
（1）一元函数的不定积分 命令形式1：int(f) 功能：求函数f 对默认变量的不定积分，f为符号函数。 命令形式2：int(f,v) 功能：求函数f 对v的不定积分，f为符号函数。
1 例 求 ∫ dx sin x cos x
syms x; f=1/(sin(x)*cos(x)); int(f)
（3）多重积分的数值方法 命令形式2： triplequad(‘fun’,xmin,xman,ymin,ymax,zmin,zmax) 功能：计算
∫
x max
x min
∫
y max
y min
∫
z max
z min
f ( x, y, z )dxdydz
三、Matlab中求和及求极值
1、求和 (1)向量或矩阵的求和 命令形式：sum(x) 功能：求向量x的和或矩阵x每一列向量的和。 (2)级数求和 命令形式：symsum(s,v,a,b) 功能：对表达式s的符号变量v从v=a到v=b求和。
5、Taylor展开
命令形式1：taylor(f) 功能：将函数f展开成默认变量的6阶麦克劳林公式。 命令形式2：taylor(f,n) 功能：将函数f展开成默认变量的n阶麦克劳林公式。 命令形式3：taylor(f,n,v,a) 功能：将函数f展开成在v=a处的n阶Talor公式。
f ( x) = 1 / x 2 展开为关于x-2 的最高次数为4的幂级数。 例 将
（2）多元函数的偏导数 命令形式1：diff(f, xi) 功能：多元函数f对 xi 一阶偏导数。 命令形式2：diff(f, xi,n) 功能：多元函数f对 xi 的n阶偏导数
2 例 设 z = x sin y ,求 z x
syms x y; z=x^2*sin(y); diff(z,x)
例 已知
三次样条插值
3、一维插值的matlab实现 命令形式1：Y1=interp1(X,Y,X1,’method’) 功能：根据已知的数据点X和Y，用method方法进行插值，然 后计算X1对应的函数值Y1。 method是指定插值方法： linear spline cubic 线性插值 三次样条插值 三次插值
roots([1 2 0 -5])
例 求方程
sin x = 0.1x
在[2，6]中的实根
fzero('sin(x)-0.1*x',[2,6])
命令形式： solve (s) 功能：求方程s的根 命令形式： solve (s,v) 功能：求方程s的指定变量v的根 命令形式： solve (s1,s2,…sn,v1,v2,…vn) 功能：求方程组的指定变量的根
3
例 求方程 x
+ 2 x − 5 = 0 的根
2
t=solve('x^3+2*x^2-5=0') vpa(t)
例 求方程组
x + y = 10 3 x − 2 y = 10
的根
[x,y]=solve('x+y=10','3*x2*y=10','x','y')
五、曲线插值与拟合
1、一维插值 函数在区间[a,b]上有n+1个节点，记为 xi (i = 0,1, L , n) 其对应的函数值为 yi (i = 0,1, L , n) 。 求一个足够光滑的、简单的函数 ϕ (x ) 逼近函数 f (x ) 满足 ϕ ( x ) = y (i = 0,1, L , n)
第三讲
数学建模中的高等数学方 法及其在Matlab Matlab中的实现 法及其在Matlab中的实现
1.1 微积分基础知识及在Matlab中的实现
一、极限、导数、积分等在Matlab中的实现 1、极限运算
命令形式1：limit(f,x,a) 功能：计算 lim f ( x) x →a 命令形式2： limit(f,x,inf) 功能：计算 lim f ( x) x →∞ 命令形式3： limit(f,x,a,‘right’), limit(f,x,a,‘left’) 功能：计算 lim+ f ( x) lim− f ( x)
f ( x, y, z ) = sin( x y )e
2
− x2 y− z 2
求
∂ f ( x, y , z ) ∂x 2 ∂y∂z
4
syms x y z; f=sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2); df=diff(diff(diff(f,x,2),y),z); df=simple(df)
k3 例 求∑
kபைடு நூலகம்=0 n −1
syms k n;f=k^3;symsum(f,k,0,n-1)
四、代数方程（组）求根
命令形式：roots(p) 功能：求多项式方程的根 命令形式：fzero(fun,x0) 功能：求一元函数在x0的实根,x0是向量。 例
x 3 + 2 x 2 − 5 = 0 的根 求方程
i i
ϕ ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n
a0 + a1 x0 + L + an x0 n = y0 L n a0 + a1 xn + L + an xn = yn
2、分段线性插值 思想：将区间[a,b]分成一些小区间，在每一个小区间上用 低次多项式进行插值。 区间的划分可以是任意的，而各个区间上的多项式的次数 选择要视具体情况而定。 优点：收敛性、稳定性好。 缺点：光滑性差。
ans=exp(a^2)
3、求导运算
（1）一元函数求导 命令形式1：diff(f) 功能：求函数f的一阶导数，f为符号函数。 命令形式2：diff(f,n) 功能：求函数f的n阶导数，f为符号函数。
2 例 设 y = x + 3 x ,求 y′ |x = 2
syms x; y=3*x+x^2; b=diff(f); x=2; eval(b) ans = 7
syms x; f=1/x^2; taylor(f,4,x,2)
二、数值微分与数值积分在Matlab中的实现
1、数值微分 向前差分
f ( a + h) − f ( a ) f ′( a ) ≈ h
向后差分
f ( a ) − f ( a − h) f ′(a) ≈ h
中心差分
f ′( a ) ≈
f ( a + h) − f ( a − h) 2h
4、二维插值的matlab实现 命令形式：z1=interp2(x,y,z,x1,y1,’method’) 功能：根据已知的数据点(x,y,z)，用method方法进行插值，然 后计算(x1,y1)对应的函数值z1。
5、曲线的拟合 命令形式：p=polyfit(x,y,n) 功能：根据已知的数据点(x,y) 进行n次多项式拟合。其中p为 多项式的系数矩阵。 可用polyval(p,x0)计算多项式在x0的值。 例 x=[100 110 120 130 140 150 160 170 180 190]; y=[45 51 54 61 66 70 74 78 85 89]; close; plot(x,y) p=polyfit(x,y,1)
5
例 求
∫
2
ln x dx 的近似值。 2 x
f=inline(‘log(x)./x.^2’,’x’); t=quad(f,2,5) t=quadl(f,2,5)
内联函数inline
FunctionName=inline(‘任何有效的matlab表达式’, ‘p1’,’p2’ ,….) 其中‘p1’,’p2’ ,…是出现在表达式中的所有变量的名字。 在matlab命令 命令窗口、程序 程序或函数中创建局部函数时，可用inline。 程序 优点:不必将其储存为一个单独文件。 限制:(1)不能调用另一个inline函数，只能由一个matlab表达式组成， 并且只能返回一个变量---显然不允许[u,v]这种形式。 (2)表达式不能出现乘法运算，若出现的话，按照向量的乘法规则 进行。
x →a x →a
例 求极限 lim(1 + 4 x) x →0 syms x; y=(1+4*x)^(1/x); limit(y,x,0)