内蒙古包头市一中2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题

命题人 ： 朱巴特尔 审题人：高三数学备课组
第Ⅰ卷
一.选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一
项是 符合要求的）
1.如图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分集
合．若,x y R ∈，{}A x y ==，{}3,0
x
B
y
y x =
=>，
则A *B =（ ）
A ．(2,)+∞
B ．[)0,1(2,)⋃+∞
C ．[]0,1(2,)⋃+∞
D ．[]0,1[2,)⋃+∞ 2. 给出以下结论： （1）命题“存在02,0
0≤∈x R x ”的否定是：
“不存在02,0
0>∈x R x ；
（2）复数i
z +=
11在复平面内对应的点在第二象限
（3）l 为直线，βα,为两个不同平面，若βαβ⊥⊥,l ，则α//l （4）已知某次高三模拟的数学考试成绩ξ～())0(,902
>σ
σ
N ,统计结果
显示()6.011070=≤≤ξp ，则()2.070=<ξp .其中结论正确的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1
3. 若()⎩
⎨⎧≤<≤≤-+=21 ,211 ,sin 3x x x x x f ，则()=⎰-dx x f 21
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
4. 对于使M x x ≤+-22
成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做2
2x x -+的上
确界,
若+
∈R b a 、，且1=+b a ，则122a
b
--
的上确界为（ ）
A.
9
2
B.9
2-
C.41
D.-4
5.已知已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(12
22
2>>=-
b a b
y a
x 上，C 的焦距为4，
则它的离心率为（ ）
A.2
B. 3
C. 22
D. 32 6.若(x
n
展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A ．10
B ．20
C ．30
D ．120
7.设,x y 满足约束条件0
4312
x y x x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，则231x y x +++的取值范围是（ ）
A ．[]1,5
B ．[]2,6
C ．[]3,10
D ．[]3,11
8. 设曲线2
1y x =+在其上任一点(,)x y 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少
选一门，则不同的选法共有( )
A. 48种
B. 42种 C . 35种 D. 30种 10. 的左、右焦点，A
是椭圆上位于第一象限内
的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0=+OB OA （O 为坐标原点），0212=⋅F F
AF ，则直线AB 的方程是 ( )
A
．
11. 在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量O P 按逆时针旋转34
π
后，得向量O Q
则点Q 的坐标是（ ）
A. (2)--
B.(2)-
C.(-
D. (-
12．设集合]2,1[),1,0[==B A ，函数=)(x f {
),
(,24),(,2B x x A x x
∈-∈,0A x ∈且,)]([0A x f f ∈
则0x 的取值范围是 ( ) A ．(1,32
) B ．[0，
4
3] C ．(1,2
3
log
2
) D ．(1,2log
3
)
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二.填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的 相应位置）
13．设点(2,3)A -，(3,2)B --，直线l 过点(1,1)P 且与线段A B 相交，则l 的斜率k 的取值范围是 .
14．经调查某地若干户家庭的年收入x (万元)和年饮食支出
y (万元)具有线性相关关系，
并得 到y 关于x 的线性回归直线方程：y
ˆ=0．254x +0．321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增 加l 万元.年饮食支出平均增加
__________ 万元．
15. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB =60°,[来源:学科网ZXXK] E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上 折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥的外接球的 体积为________.
16. 已知等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都是整数，前n 项和为n S ，若
9,3,1341≤>>S a a ，
设122,n n n n b a b b b =+++ 则的结果为 。

三、解答题（共6个题， 共70分，把每题的解答过程填在答卷纸的相应位置）
17.（本题满分
12
分）已知α
为锐角，且12tan -=
α，函数
)4
2sin(2tan 2)(π
αα+
+=x x f ，数列{n a }的首项)(,111n n a f a a ==+.
（Ⅰ）求函数)(x f 的表达式； （Ⅱ）求数列}{n a 的前n 项和n S .
18.（本题满分12分）今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋
志愿者，学生的名额分配如下：
（I ）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；
（II ）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择
是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.
19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AB ，M 、N 分别是PA 、BC 的中点．
(I)求证：MN∥平面PCD ； (II)在棱PC 上是否存在点E ，使得AE ⊥平面PBD?若存在，求出AE 与平面PBC 所成角的正弦值，若不存在，请说明理由．
20.（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P ⎝⎛⎭⎫1，12到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线 的距离为5
4.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两
动点，且线段AB 被直线OM 平分. （1）求p ，t 的值；
（2）求△ABP 面积的最大值.
21. （本小题满分12分）已知函数()(1)e (0)x
a f x x x
=-
>，其中e 为自然对数的底数.
（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积； （Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5
e ，求a 的值.
请考生在．．．．22．．、．23．．、．24．．三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．记分．．．作答时用2B 铅笔在答题纸上把所选题号涂黑.
22.（本小题满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》
如图，直线A B 过圆心O ，交⊙O 于,A B ，直线A F 交⊙O 于F
(不与B 重合)，直线l 与⊙O 相切于C ,交A B 于E ,且与A F 垂直，垂足为G ,连结A C . 求证：(1) B A C C A G ∠=∠;
(2) 2
A C A E A F =∙.
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
23.(本小题满分10分）《选修4—4：坐标系与参数方程》
在直角坐标系xo y 中，曲线1C 的参数方程为2co s 22sin x y α
α
=⎧⎨=+⎩ (α为参数) M 是1C 上
的动点，P 点满足2O P O M =
，P 点的轨迹为曲线2C .
(1)求2C 的方程；
(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
πθ=与1C 的异于极点的
交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求A B .
24.（本小题满分10分）《选修4—5：不等式选讲》
设函数()3f x x a x =-+,其中0a >.
（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值.
[来源:学科网ZXXK]。