2019届高考数学二轮复习高考大题专项练八不等式选讲B理2

八不等式选讲(B)
1.(2018·呼伦贝尔一模)已知a>0,b>0,且a+b=1.
(1)若ab≤m恒成立,求m的取值范围;
(2)若+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,求x的取值范围.
2.(2018·永州模拟)已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x-1|-|x-2|≥t成立.
(1)求满足条件的实数t的集合T;
(2)若m>1,n>1,且对于∀t∈T,不等式log3m·log3n≥t恒成立,试求m+n的最小值.
3.(2018·葫芦岛二模)已知函数f(x)=|x+1|+|2x-1|.
(1)若f(x)≥+(m>0,n>0)对任意x∈R恒成立,求m+n的最小值;
(2)若f(x)≥ax-2+a恒成立,求实数a的取值范围.
4.(2018·南平质检)已知函数f(x)=|x-1|+|x-3|.
(1)解不等式f(x)≤x+1;
(2)设函数f(x)的最小值为c,已知实数a,b满足a>0,b>0,a+b=c,求证:+ ≥1.
1.解:(1)因为a>0,b>0,且a+b=1,
所以ab≤()2=,当且仅当a=b=时“=”成立,
由ab≤m恒成立,故m≥.
(2)因为a,b∈(0,+∞),a+b=1,所以+=(+)(a+b)=5++≥5+2=9,
当且仅当a=2b时取等号,
故若+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,则|2x-1|-|x+2|≤9,
当x≤-2时,不等式化为1-2x+x+2≤9,解得-6≤x≤-2,
当-2<x<,不等式化为1-2x-x-2≤9,解得-2<x<,
当x≥时,不等式化为2x-1-x-2≤9,解得≤x≤12,
综上所述,x的取值范围为[-6,12].
2.解:(1)|x-1|-|x-2|≤|x-1-(x-2)|=1,
所以|x-1|-|x-2|≤1,
所以t的取值范围为(-∞,1],
即集合T=(-∞,1].
(2)由(1)知,对于∀t∈T,不等式log3m·log3n≥t恒成立,
只需log3m·log3n≥t max,
所以log3m·log3n≥1,
又因为m>1,n>1,
所以log3m>0,log3n>0.
又1≤log3m·log3n≤()2=(log3m=log3n时,取等号,此时m=n), 所以(log3mn)2≥4,
所以log3mn≥2,mn≥9,
所以m+n≥2≥6,
即m+n的最小值为6(此时m=n=3).
3.解:(1)由题意可知,f(x)=
函数f(x)的图象如图:
由图知f(x)min=,
所以+≤,即≤,
即m+n≤mn≤()2,
当且仅当m=n时等号成立,
因为m>0,n>0,解得m+n≥,
当且仅当m=n时等号成立,
故m+n的最小值为.
(2)令g(x)=ax-2+a=a(x+1)-2,其为过定点(-1,-2)的斜率为a的直线, 则f(x)≥g(x)表示函数y=f(x)恒在函数y=g(x)图象的上方,
由图象可知-3≤a≤.
4.(1)解:f(x)≤x+1,
即|x-1|+|x-3|≤x+1.
①当x<1时,不等式可化为4-2x≤x+1,x≥1.
又因为x<1,所以x∈ ;
②当1≤x≤3时,不等式可化为2≤x+1,x≥1.
又因为1≤x≤3,所以1≤x≤3.
③当x>3时,不等式可化为2x-4≤x+1,x≤5.
又因为x>3,所以3<x≤5.
综上可得,1≤x≤3,或3<x≤5,即1≤x≤5.
所以原不等式的解集为[1,5].
(2)证明:由绝对值不等式的性质得,
|x-1|+|x-3|≥|(1-x)+(x-3)|=2,
即c=2,即a+b=2,
令a+1=m,b+1=n,
则m>1,n>1,a=m-1,b=n-1,m+n=4,
+=+=m+n++-4=≥=1, 原不等式得证.。