初三数学重要知识点精讲教案及模拟试题--二次根式2
中考数学《二次根式》复习教案
二次根式复习复习目标：1.了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。
2.会根据公式2)(a=a(a≥0)∣a∣进行计算。
3.熟练进行二次根式的乘除法运算。
4.了解最简二次根式的定义，能运用相关性质化简二次根式。
复习重点：二次根式有意义的条件和性质，二次根式的计算和化简。
复习难点：正确依据二次根式相关性质计算和化简。
复习过程：一．知识结构：三个概念：二次根式最简二次根式同类二次根式三个性质：二次根式的双重非负性2(a=a(a≥∣a∣)四种运算：加.减.乘.除二．复习过程1.二次根式的概念（１）．二次根式的定义：形如a(a≥0)的式子叫做二次根式２．二次根式的识别：（１）．被开方数a ≥0 （２）．根指数是２例．下列各式中哪些是二次根式？哪些不是？为什么？①②③④⑤⑥⑦⑧３．二次根式的性质（1）.双重非负性：a ≥0(a ≥0) （2）．2)(a =a (a ≥0)（3）∣a ∣题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围 （1）.当X_____时，x -3有意义。
（2）.求下列二次根式中字母的取值范围x 315x --+ 说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组） 题型2．求下列各式的值（１）2（３）2（４）4.二次根式的乘除 （1）.二次根式的乘法法则)0,0(≥≥=⋅b a ab b a例1.化简8116)1(⨯ 2000)2( 例2.计算 721)1(⋅ 15253)2(⋅)521(154)3(-⋅-xyx 11010)4(-⋅（2）.二次根式的除法法则)0,0(>≥=b a b aba例3、计算4540)1(245653)2(n m n m ÷5.最简二次根式的两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；抢答:判断下列二次根式是否是最简二次根式,并说明理由。
621)6())(()5(75.0)4()3()2(50)1(2222b a b a y x bc a -++6.化简二次根式的方法：（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。
3.1二次根式(2)
3.1 二次根式(2)--- ( 教案)备课时间: 主备人:【学习目标】：1、掌握二次根式的基本性质：a a =22、能利用上述性质对二次根式进行化简.【重点难点】：重点：二次根式的性质a a =2． 难点：综合运用性质a a =2进行化简和计算。
【知识回顾】1、什么是二次根式，它有哪些性质？2、下列各式要在实数范围内有意义，说出x 的取值范围（1）4-x （2）5-x 2 （3）x 31- （4）2x 2+3、在实数范围内因式分解：x 2-6= x 2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)【自主归纳】计算：=24 =22.0 =2)54( =220=-2)4( =-2)2.0( =-2)54( =-2)20(=20综上得：2a = =【典型例题】例1、计算：（1）4；（2）2.51）（-； （3）21-x ）（（x 》1）例2、下列等式中，字母a 应分别符合什么条件？（1）2a =2a ）（ （2）2a =-a【课堂练习】1、判断正误：（1）22=2 ( )（2）22）（-=-2 ( ) (3)243）（+=3+4 ( ) (4)2243+=3+4 ( )2、计算：（1）26； （2）25）（-； （3）21a ）（+； （4）22x ）（-（x 》2）3、计算（1）25； （2）94； （3）27）（-； （4）4x 4x 2+-（x 》2）；【知识梳理】二次根式的性质：1、当a 》0时，2a ）（=a2、⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0a a 0a 00a a 2 a a【课后练习】1、填空：（1）、2)12(-x -2)32(-x )2(≥x =_________.（2）、2)4(-π=2、已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x3、化简下列各式：______=______=_______= _____a 0=（<）4、错在哪里？因为221）（=221）（-，所以2225）（-=2252）（-， 2225）（-=252）（-， 25-2=2-25， 21=21-5、 边长为a 的正方形桌面，正中间有一个边长为3a的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．。
人教新课标版初中九上21.1二次根式(2)教案
21．1二次根式（2）教学内容本节课主要学习二次根式的性质a（a≥0）是一个非负数与（a）2=a及其运用教学目标一、知识技能理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．二、数学思考乘方与开方互为逆运算在推导结论（a）2=a（a≥0）中的应用.三、解决问题利用二次根式的非负性和（a）2=a（a≥0）解题.四、情感态度通过利用乘方与开方互为逆运算推导结论（a）2=a（a≥0）,使学生感受到数学知识的内在联系.重难点、关键重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其运用．难点：理解二次根式a（a≥0）是一个非负数与（a）2=a。
关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（a）2=a（a≥0）．教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、复习引入【提出问题】1．什么叫二次根式？2．当a≥0时，a表示什么？当a<0时，a有意义吗？【活动方略】教师演示课件，给出题目．学生根据所学知识回答问题．【设计意图】复习二次根式的概念及算术平方根的基本形式.为二次根式的性质引入作好铺垫．二、探索新知【问题】a(a≥0）有没有可能小于零？为什么？【活动方略】教师提出问题学生总结出二次根式的性质1：a（a≥0）是一个非负数．【设计意图】使学生归纳出二次根式的性质1：a （a ≥0）是一个非负数。
【探究】根据算术平方根的意义填空： （4）2=_______；（2）2=_______；（13）2=______；（0）2=_______． 【活动方略】教师演示课件，给出题目．学生口答结果后总结有何规律.老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．同理可得：（2）2=2，（13）2=13，（0）2=0，所以 （a ）2=a （a ≥0） 【设计意图】归纳出二次根式的性质2：（a ）2=a （a ≥0）三、 范例点击例1 已知3+x +5-y =0，求xy 的值是多少？ 解：∵3+x +5-y =0，∴3+x ≥0且5-y ≥0， ∴3+x =0且5-y =0； 即x +3=0且y -5=0解得x =-3,y =5∴xy =-15.【设计意图】使学生掌握二次根式的性质1，理解非负式的应用.例2 计算:（1）（7.1）2；（2）（25）2；（3）（12+a ）2.【设计意图】使学生掌握二次根式的性质2：（a ）2=a （a ≥0），并有较深刻的理解.【活动方略】教师活动：操作投影，分别将例1、例2显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。
九年级下二次根式复习课教案(20200602074834)
二次根式复习课教学目标1•理解和掌握二次根式的有关概念以及二次根式的意义。
2.巩固二次根式的性质。
3•熟练掌握含有二次根式的运算。
过程与方法1•师生一起回顾归纳二次根式的有关知识点。
（学生口述，教师板书）2.根据考点给出典例精析。
（先请学生上台演示，后请其他学生讲评。
）3.通过练习进一步巩固二次根式的有关知识点。
4.课后5分钟小测。
教学重点和难点重点：1 .二次根式的意义2 .含二次根式的式子的混合运算.难点：1•对a （a>0）是一个非负数的理解；对等式（一a ）2= a （a>0）及、.a2 = a的理解及应用.2 •综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.教学过程设计一、复习1.请同学回忆二次根式的有关概念，以及二次根式的意义。
2.二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件.指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式.3.二次根式的加减、乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来.指出：二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式二、典例精析例1 : x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义:考点：二次根式的意义分析：（1）题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义;⑵题中，式子的分母不能为零，即器不能职使1^=0的值,(3)题是两个二次根式的和，x 的取值必须使两个二次根式都有意义；(4)题的分子是二次根式， 分母是含x 的单项式，因此x 的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零.fS ⑴要使J3-掘有意义*必须?即要便4% - 2有意义，必须盘-2》山即呂〉2・所以使式子73-x 有意义的澹为2=辰3・(和因为i- 4^ =・［签|,当耳=±1^? 叮原式没有意义$所叹当话±1时F⑶因为使压有意义的趁值为使厲有意义的諏值为曲山所以便辰⑷因为使JW2有意义的蛊取值为髯+ 2>0『即冗而分母3s#0F 即只弄①所以使式子 ―_2有意义的x 的取值为x > -2且x丰0.3x考点：最简二次根式，分母有理化。
有关初三数学知识点大全之二次根式讲解
有关初三数学知识点大全之二次根式讲解第1篇：有关初三数学知识点大全之二次根式讲解1.二次根式：一般地，式子叫做二次根式.注意：(1)若这个条件不成立，则不是二次根式;(2)是一个重要的非负数，即;0.2.重要公式：(1),(2)3.积的算术平方根：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积;4.二次根式的乘法法则：.5.二次根式比较大小的方法：(1)利用近似值比大小;(2)把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小;(3)分别平方，然后比大小.6.商的算术平方根：，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7.二次根式的除法法则：(1);(2);(3)分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8.最简二次根式：(1)满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开的尽的因数或因式;(2)最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母;(3)化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式;(4)二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.(1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数未完，继续阅读 >第2篇：初三数学二次根式的乘除法知识点二次根式的乘除法运算：1.乘法规定：(a≥0，b≥0)二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
推广：(1)(a≥0，b≥0，c≥0)(2)(b≥0，d≥0)2.乘法逆用：(a≥0，b≥0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
注意：公式中的a、b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0;3.除法规定：(a≥0，b>0)二次根式相处，把被开方数相除，根指数不变。
推广：，其中a≥0，b>0，。
初三复习教案(二次根式)
初三复习教案课 题：二次根式 教案设计教学目标：使学生掌握二次根式的有关概念、性质及根式的化简.教学重点：二次根式的化简与计算.教学难点：二次根式的化简与计算.教学过程：一、知识要点：1．平方根：若x 2=a(a>0)，则x 叫a 做的平方根，记为a ±.注意：①正数的平方根有两个，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根；2．算术平方根：一个数的正的平方根叫做算术平方根；3．立方根：若x 3=a(a>0)，则x 叫a 做的立方根，记为3a .4．同类二次根式： 化简后被开方数相同的二次根式.5．二次根式的性质： ①)0(≥a a 是一个非负数； ②)0()(2≥=a a a ③⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(||)(2a a a a a a a ④)0,0(>≥=b a ba b a ⑤)0,0(≥≥⋅=b a b a ab6．二次根式的运算：（1）加、减；（2）乘、除二、例题分析：例1．下列二次根式27，121，211，12，其中与3是同类二次根式的个数是（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4例2．若最简二次根式2431212-+-a a 与是同类二次根式，求a 的值。
例3．化简： (1)2)23(-； (2)当a≤|12|441,212-++-a a a 化简时（3）已知a 为实数,化简a a a 13---, (4)化简二次根式a 21aa +-, 例4．（1）若633-=a ，求36122+-x x 的值。
(2)已知：x=53-，求962++x x 的值。
（3） 已知:a=321+,求01222)1()211(12a a a a a a a a ++----+-- 例4：把根号外的因式移到根号内： (1)aa 1； (2)11)1(---x x ； (3)x x 1-； (4) 21)2(--x x 例5．观察下列各式及其验证过程 232232+=.验证:2322122)12(2122)22(3222233+=-+-=-+-= 3833133)13(3133)33(83833:..8338322233+=-+-=-+-==+=验证 (1) 根据上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4154的变形结果并进行验证.(2) 针对上述各式反映的规律,写出用n(n 为任意自然数,且n≥2)表示的等式,并给出证明.例6．计算： ①（)5.043()4483181--- ②2392393322-++++++xx x x x x （0<x<3） ③)23(6)13()26(+÷--⋅+④)2131(15+÷ ⑤y x xyy x y x xyx --+-++2三、小 结：师生共同归纳解题思路与方法四、同步练习：1． 已知．a<0，化简22)1(4)1(4aa a a -+-+-= 2．化简二次根式22a a a +-的结果是（ ） A ．2--a B.2---a C.2-a D.2--a 32，则a 的取值范围是( )A ．a ≥4B ．a ≤2C ．2≤a ≤4D ．a ＝2或a ＝44.化简并求值：22111a a a a a ----+，其中a = 5. 已知01132=--++b b a ，求a 3+b 3和a 2-ab+b 2的值.6.已知x=23+,求（23212+---x x x x ）÷211x -的值. 7.已知:x>0,y>0,且x-xy -2y=0,求y xy x yxy x --++值. 8.若a=4+3,b=4-3,求ab a a--ab a b+的值.9. 已知x 、y 为实数，若规定x *y=4xy,(1)求2*4; (2)若x *x+2*x-2*4=0,求x 的值；(3)若不论x 是什么实数，总有a *x=x,求a 的值.10.已知：571-=x ，571+=y 求x 3+x 2y+xy 2+y 3的值。
初三数学二次根式知识点学习讲解
初三数学二次根式一、学习目标1.二次根式的定义、最简二次根式、同类二次根式；2.二次根式的运算。
二、知识点讲解二次根式定义一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。
注意被开方数可以是数，也可以是代数式。
被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。
二次根式的判断方法根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
性质1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣；最简形式中被开方数不能有分母存在。
2. 零的平方根是零；3. 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。
如负数a的平方根是±i。
4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。
5. 无理数可用连分数形式表示。
6. 当a≥0时，（）22；（）2与2中a取值范围是整个复平面。
7. （）2=a任何一个数都可以写成一个数的平方的形式；利用此性质可以进行因式分解。
8. 逆用可将根号外的非负因式移到括号内。
算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根，用（a≥0）来表示。
负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。
有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。
有理化因式注意①他们必须是成对出现的两个代数式；②这两个代数式都含有二次根式；③这两个代数式的积化简后不再含有二次根式；④一个二次根式可以与几个二次根式互为有理化因式。
分母有理化在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化。
分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程最简二次根式①被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；②被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
九年级数学二次根式教案2
九年级数学二次根式教案2教案：二次根式教学目标：1.了解二次根式的概念，能够正确读写二次根式的符号和表示方法。
2.能够将简单的算术式化成二次根式的形式。
3.能够将二次根式化简，并进行运算。
教学重点：1.理解二次根式的概念和符号表示方法。
2.能够将简单的算术式化成二次根式的形式。
教学难点：1.能够将二次根式化简，并进行运算。
2.能够应用二次根式解决实际问题。
教学准备：教师准备：教学课件，教学黑板，教学板书学生准备：教材，笔记本，文具教学过程：一、导入新课（10分钟）1.教师利用教材中的相关例题，先提问题：你们学过根式吗？它的定义是什么？2.回顾根式的概念及符号表示方法。
3.引入新知识：根式的指数为2的特殊根式称为二次根式。
二次根式的示例有哪些？4.总结：二次根式是指根式的指数为2的特殊根式，其中包括平方根和平方根的任意乘积。
二、二次根式的表示与读写（10分钟）1.教师利用教材中的相关例题，引入二次根式的表示与读写。
2.讲解二次根式的表示方法：以方形根号为例，其中的a被称为根式的被开方数，n为根式的指数。
3.操练：教师出示相关练习题，学生运用二次根式的表示方法将其写出。
三、化简二次根式（15分钟）1.教师利用教材中的相关例题，引入化简二次根式的概念。
2.讲解化简二次根式的方法：简化根号下的被开方数，将分母中所有的根式移到根号外。
3.操练：教师出示相关练习题，学生化简二次根式。
四、二次根式的运算（15分钟）1.教师利用教材中的相关例题，引入二次根式的运算。
2.讲解二次根式的加减法：同根式的相加减，只需合并同类项。
3.讲解二次根式的乘除法：利用乘方和除法的性质进行运算。
4.操练：教师出示相关练习题，学生进行二次根式的运算。
五、应用实际问题（10分钟）1.教师利用教材中的相关例题，引入应用实际问题的讨论。
2.讲解如何应用二次根式解决实际问题。
3.操练：教师出示相关练习题，学生运用二次根式解决实际问题。
六、课堂小结（5分钟）1.复习与总结：请学生总结本节课所学的内容。
九年级数学二次函数复习 二次根式 二次方程复习浙江版知识精讲
初三数学二次函数复习 二次根式 二次方程复习某某版【同步教育信息】一. 本周教学内容：二次函数复习 二次根式 二次方程复习二. 复习目标：1. 二次根式的定义及a a =2)(，与||2a a =。
2. 最简二次根式的定义，合并同类项。
3. 韦达定理及韦达定理举例应用。
4. 二次函数的三种形式：⎪⎩⎪⎨⎧--=++=≠++=))(()()0(2122x x x x a y k m x a y a c bx ax y 及二次函数的性质。
【典型例题】[例1] 化简ba b a ---1)(。
精析：仔细探求题中的隐含条件，如b a --1中的01≥--ba ，从而可以化去绝对值。
解：∵01≥--ba ∴0<-b a ∴原式a b a b ab ba b a b a b a --=-⋅--=--⋅-⋅-=)(||1)( [例2] 解下列方程：（1）0112=-++m m ；（2）2241102x x -=-+解：（1）∵方程左边是两个非负数的和，右边是零。
∴⎩⎨⎧=-=+01012m m ∴1-=m 经检验1-=m 是原方程的解。
（2）∵3101022>≥+x ∴211022>-+x 而242≤-x所以方程无实根。
[例3] 已知：1x 、2x 是方程01682=+-x x 的两根，求一个以2,221++x x 为根的一元二次方程。
分析：根据所给条件求一个一元二次方程，关键是求所求方程的两根之和与两根之积。
解：根据题意，得⎩⎨⎧=⋅=+)2(6)1(82121x x x x由（1）得12)2()2(21=+++x x由（1）（2）得2641664)(2)2()2(212121=++=+++⋅=+⋅+x x x x x x因此所求的方程是026122=+-t t[例4] 已知)1()12()1(2+++--=k x k x k y 的图水平开口向上，且在x 轴上截得的线段的长为13，（1）求k 的值；（2）当x 为何值时，0>y ？分析：当c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个公共点时，这两个公共点的横坐标为1x 、2x ，则图象与x 轴上截得的线段长为||||21a x x ∆=-；同时注意检验有无增根，应用了韦达定理时，∆是否大于等于零？是否符合题意。
九年级数学二次根式2
21.1 二次根式学习目标、重点、难点【学习目标】 1、a ≥0）的意义解答具体题目.二次根[来源:]新课导引如右图所示，电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波知识点1 二次根式的概念读作“二次根号”．拓展 (1)”．如，但是4等也都是二次根式.(2)二次根式中的被开方数a既可以表示一个数，也可以表示一a≥0，也就是说，被开a取什么实数，都有a2知识点2 确定二次根式中字母的取值范围被开方数a就必须是非负数，即a≥0，由此可以，只有当2x+1≥0，即x≥12-才有意义. 来说，只有当30,10,x x -≥⎧⎨+≥⎩即-1＜x ≤3时，二次根式才有意义.拓展 对于既含有二次根式，又含有分母的代数式，写字母的取（22=a （a ≥0）逆用，写成a =2（a ≥0）. 即任何一个非负数都可以写成它的算术平方根平方的形式，利用这一特性，我们可以在实数范围内分解因式，比如：x 2-2在有理数范围内无法分解，但在实数范围内，2)2，所以x 2-2=x 2-2=（x ）（x）.（3）有理数的运算律和运算法则在有关二次根式的计算中仍然适用. 比如：（2=32×)2=9×2=18. 2=（12)2×)2=14×6=32等，则用到了积的乘方法则（ab )2=a 2b 2.把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，单独一个数或字母也是代数式. 例如：5，a ，a +b ，ab ，s t(t ≠0)，x 3，，3)x =等都是代数式.拓展 代数式中不含有“＝” “＞” “＜”等符号，只有运算符号.课堂检测基本概念题1、下列式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？基础知识应用题2、当x 取何值时，下列各式有意义？（1 （22x x +；（3； （4（52x -； （63x -；（7）1x -； （821a a +.综合应用题4、（1）三角形的高是底的12，底为xcm ，则这个三角形的面积是cm 2;（2）第一圆的半径是第二个圆的半径的4倍，则这两个圆的周长之和是 （设第一个圆的半径为r ）.图21-1探索创新题5、甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简求值x的取值范围是（）12x-A. x＞1且x≠2B.x≥1C. x≠2D.x≥1且x≠22、若x，y为实数，且20x++=，则（x＋y）2010的值为 .学后反思1.①当x≤0②当x＞0.不一定是二次根式.（6的根指是4.（7）∵-2a2≤0，∴-2a2-1＜0.（8）∵(x +3)2≥0，当分母x +3=0时，原式没有意义，∴当x ≠-3..（9）∵-(a -4)2≤0，∴只有当a -4=0，即a=4是二解：（1300x x x ⎧∴=⎨-⎩≥，≥0,.∴当x =0.（2）2xx +有意义，则必有2002x x x -⎧∴⎨+≠⎩≥，≤0,，且x ≠-2.∴当x ≤0，且x ≠-22x x +有意义.（3）∵(x -1)2≥0，∴无论x .（42-3x ＞0，∴x ＜23.∴当x ＜23.（5有意义，则必有240x x +⎧∴⎨≥，≥-2，且x ≠2.a 分母不能为零的情况，（6）小题中，由x -3≥0，得x ≥3，由x 2-3≠0，得x x ≥3的范围内，所以只需满足x ≥3即可. （7）小题中，由1-2x ≥0，得x ≤12，由1x -≠0，得x ≠±1，只有x =-1在x ≤12的范围内，而x =1不在x ≤12的范围内，所以只需满足x≤12，且x≠-1即可.3、分析本题考查二次根式的性质，a=的式子化简.解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，.式5、分析本题主要考查二次根式的性质的创新应用.因为15a=，所以1aa＞11.a aa a-=-解：甲同学的做法是正确的，理由如下：111.5a aa a-=，且，即=51111,0,.a a a a aaaa--=∴＞∴＞∴-乙同学在去掉绝对值符号时，忽略了a 与1a的大小关系，导致错误.【解题策略】a=进行化简时，0a ≥的条件不能忽略，否⎧⎨⎩由x (。
二次根式第二课时教案
二次根式第二课时教案一、教学目标：知识与技能：1. 理解二次根式的性质，掌握二次根式的化简方法。
2. 学会运用二次根式解决实际问题。
过程与方法：2. 运用分组讨论、合作交流的方式，提高学生解决问题的能力。
情感态度与价值观：1. 激发学生对数学的兴趣，培养积极的学习态度。
2. 培养学生团队协作精神，增强自信心。
二、教学重点与难点：重点：1. 二次根式的性质。
2. 二次根式的化简方法。
难点：1. 二次根式在实际问题中的应用。
三、教学准备：教师准备：1. 相关教学素材。
2. PPT课件。
学生准备：1. 预习教材。
2. 准备好笔记本、文具。
四、教学过程：环节一：复习导入（5分钟）1. 复习上节课的内容，提问学生二次根式的定义及特点。
2. 引导学生回顾二次根式的基本性质。
环节二：知识讲解（15分钟）1. 讲解二次根式的性质，如：二次根式具有非负性、可加性、可乘性等。
2. 教授二次根式的化简方法，如：提取公因数、应用平方差公式等。
环节三：实例分析（15分钟）1. 给出几个实际问题，让学生运用二次根式进行解决。
环节四：课堂练习（10分钟）1. 布置几道有关二次根式的练习题，让学生独立完成。
2. 挑选部分学生的作业进行点评，指出优点和不足。
2. 布置课后作业，要求学生巩固所学知识。
五、教学反思：本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对二次根式的理解和运用能力。
关注学生在学习过程中的困惑和问题，及时给予解答和指导。
六、教学评价：教学评价是教学过程中的重要环节，通过对学生的学习情况进行评估，可以了解学生对二次根式知识的掌握程度。
评价方式包括课堂表现、作业完成情况、练习题的正确率等。
对于表现优秀的学生，要及时给予表扬和鼓励，增强其自信心；对于学习有困难的学生，要个别辅导，帮助他们解决问题，提高他们的学习兴趣和成绩。
七、教学拓展：为了提高学生的学习兴趣和拓展知识面，可以结合二次根式的教学，介绍一些相关的数学历史和背景知识，如二次根式的起源、发展以及它在科学技术领域的应用等。
九年级数学复习教案 二次根式 新课标人教版
A、 B、 C、 D、
5、（2006年连云港市）能使等式 成立的x的取值范围是（）
A．x≠2 B．x≥0 C．x>2 D．x≥2
6、（2005年长沙市）小明的作业本上有以下四题：
① =4a；② a；
③a ；④ （a≠0），做错的题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7、对于实数a、b，若 =b-a，则（）
A．a>b B．a<b C．a≥b D．a≤b
8、当1<x<2时，化简∣1－x∣＋ 的结果是（）
A、－1 B、2x－1 C、1 D、3－设 的整数部分为ａ，小数部分为ｂ，
求ａ2＋ ａｂ＋ｂ2的值。
板书设计
教学后记
课题
二次根式
课的类型
复习
复备记录
课时安排
1课时
基本内容
1．二次根式的有关概念
(1)二次根式
叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．
(2)最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
(3)同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质
3．二次根式的运算
(1)二次根式的加减
①先把各个二次根式化成最简二次根式；
②再把同类三次根式分别合并
(2)三次根式的乘法
(3)二次根式的除法
课内巩固
1、（2006年南通市）式子 有意义的x取值范围是________．
2、（2006年海淀区）下列根式中能与 合并的二次根式为（）
A、 B、 C、 D、
九年级数学二次根式的意义教案
教学目标：1.理解二次根式的概念和意义；2.掌握二次根式的运算法则与性质；3.能够简化和化简二次根式；4.能够解决与二次根式相关的实际问题。
教学重点：1.二次根式的定义和运算法则；2.如何简化和化简二次根式。
教学难点：1.二次根式的概念和意义；2.如何解决与二次根式相关的实际问题。
教学准备：教师：教材、黑板、彩色粉笔、计算器学生：教材、笔、作业本教学过程：一、导入（5分钟）1.引入：回顾前几节课所学的有理数与无理数知识，并给出一个问题，如：存在一个数x，满足x的平方等于2吗？让学生思考并回答。
2.解答问题：将学生的回答集中起来，引出二次根式的概念。
二、概念讲解（10分钟）1.将2的平方根定义为二次根式，说明平方根符号的意义，并给出例子：√2、√3、√52.通过计算器运算，求出这些二次根式的值的近似数，强调这些数都是无理数。
3.复习有理数与无理数的含义，让学生用差集的方式说明有理数与无理数的关系。
三、运算法则与性质（15分钟）1.定义与性质：将学生分组，让每个小组分别讨论二次根式的加减法、乘法和除法的运算法则与性质，并由每个小组派代表进行汇报。
2.教师进行总结，通过彩色粉笔在黑板上进行标注与归纳。
四、简化与化简（15分钟）1.简化：通过计算器示范并解释，如√30可以简化成2√152.彩石活动：将学生分成小组，每个小组给一个数字，让他们通过彩色石的方式进行组合，如给出3个√2和4个√5，让学生将相同的根式放在一起进行化简。
3.解释简化和化简的概念，并要求学生在作业本上完成相应的练习。
五、应用题解析（20分钟）1. 教师给出一些与二次根式相关的实际问题，如：一个正方形的边长为√6 cm，求其面积。
让学生尝试解答。
2.学生尝试解答后，教师进行解析，让学生归纳总结解题的方法和步骤。
3.学生在作业本上完成相关的应用题，并进行互相订正。
六、巩固与扩展（10分钟）1.教师从课本中选取相关的练习题，让学生完成，并采取抽查的方式进行答题。
二次根式教案【教学参考】
二次根式教案--【教学参考】一、教学目标：1. 让学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算法则。
2. 培养学生运用二次根式解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的兴趣和自信心。
二、教学内容：1. 二次根式的概念与性质2. 二次根式的运算方法3. 二次根式在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：二次根式的概念、性质和运算法则。
2. 教学难点：二次根式在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解二次根式的概念、性质和运算法则。
2. 利用例题，演示二次根式的运算过程。
3. 引导学生运用二次根式解决实际问题，培养学生的实践能力。
4. 组织小组讨论，让学生互相交流学习心得。
五、教学过程：1. 导入：通过生活实例，引入二次根式的概念。
2. 新课讲解：讲解二次根式的性质和运算法则，引导学生积极参与，提问解答。
3. 例题演示：挑选典型例题，演示二次根式的运算过程，分析解题思路。
4. 实践环节：让学生尝试解决实际问题，运用二次根式进行计算。
5. 总结提升：对本节课的内容进行总结，强调二次根式在实际问题中的应用。
6. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
7. 课后反思：对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学评价：1. 通过课堂表现、作业完成情况和小组讨论，评价学生对二次根式概念、性质和运算法则的理解掌握程度。
2. 结合学生解决实际问题的能力，评价其对二次根式的应用水平。
3. 收集学生反馈意见，了解教学方法的适用性，为改进教学提供依据。
七、教学拓展：1. 介绍二次根式在科学、工程等领域的应用，激发学生学习兴趣。
2. 引导学生探索二次根式的其他性质和运算规律，提高学生的数学思维能力。
3. 组织数学竞赛或小组竞赛，鼓励学生积极参与，提高学习积极性。
八、教学资源：1. 教材、教辅资料：提供二次根式的相关教材、教辅资料，方便学生复习巩固知识。
2. 网络资源：推荐相关数学网站、论坛，便于学生查阅资料、交流学习。
九年级数学二次根式教学案第2课时导学案教学设计含课后检测课时作业
二次根式（第2课）【目标导航】1.使学生初步掌握利用（a）2=a（a≥0）进行计算.2.乘方与开方互为逆运算在推导结论（a）2=a（a≥0）中的应用3.（a≥0）并利用它进行计算和a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．【知识回顾】1. 5，a有意义吗？为什么？2.5表示的意义是什么?3.a表示的意义是什么?思考：请同学们想一想a有没有可能小于重点：应用（a）2=a（a≥0）进行计算.难点：应用二次根式的非负性解决问题.例1已知3+x+5-y=0，求xy的值是多少？练习已知a-1+7+b=0，求a-b的值.例2计算（1）（7.1）2（2）（25）2；（3）（12+a）2.例3化简（1（2（3（4例4填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1a，则a可以是什么数？（2a，则a可以是什么数？（3a，则a可以是什么数？例5当x>2时，．【课堂操练】1.(9)2=_________；（5.0）2=_________；2.(3)2=_________；（710）2=_________；3.(51)2=______；（372）2=________；4. (0)2=____；（22ba+）2=________；5. (a)2=______；（a≥0）6．7是一个正整数，则正整数m的最小值是________．8的值是（）A．0B．23C．423D．以上都不对2．a≥0它们的结果，下面四个选项中正确的是（）ABCD．【课后盘点】1．先化简再求值：当a=9时，求a+甲解答：原式=a=a+（1-a）=1；乙解答：原式=a a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+4.=-2)7(，=4，=-2)5.1(，=-2)1(x（x≥1）=-2)7(，=2)32(，=+-442xx（2≥x）；）2= ；（）2= ；）2 = ；（）2= ；（）2= ；（2= ；=2)32(；2)32(-；-2= ；（）2= ；（-2= ；= ．）2 = ；）2= ．5．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4(3)2x2-3（4）3x2-56．把根号外的因式移入根号内，mm1-计算：（设计：黄本华）241222-。
初三数学重要知识点精讲教案及模拟试题--二次根式.doc
初三数学二次根式1 一、 重要知识点1. 一般地，我们把形如辺(。
20)的式子叫二次根式.“厂”称为二次根号，a 叫做被开方数.2. 二次根式中的两个非负性 (1) 二次根式诵成立的条件：d$0,被开方数是非负数.(2) 二次根式结果的非负性：当。
＞0时，辺表示d 的算术平方根，因此辺＞0；当。
=0时，匹表示0的算 术平方根，因此&=0,即当心0时，&20是一个非负数.3. 二次根式的性质：(1) (辺)—(冷0)； (2)锁=a (G 20).4. 由(迈)2=G (总0)逆用可以得到a =y[^ (诊0).利用这个式子，可以把任何一个非负数写成一个数 的平方的式子.例如：3=(V3) 2, b=(远)2 (心0)・这种变形在二次根式的化简与在实数范围内分解因式经 常用到. 二、 金典题型乡是二次根式，则依b 应满足() A. a 、 b 均为非负数C-心0, b>0(2) 下列各式正确的是(A. (yf 一2) 2=2C. y[ (_2) 2=2(3) 实数Q 、b 在数轴上的位置如图所示，那么化简丨a~b I —百的结果是(A. 2ci_bB. bC. ~b D ・—2a+b 分析：(1)由式子辺中d20得》NO. (2)由(逅)2=d (d±0), yp=a (°N0)可判定C 正确.(3)借助数 轴判定依b 的正负性及大小后，再对二次根式化简.解：(1) D (2) C (3) C例2.当兀取什么实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1) y )3—x ； (2) yj (2x~ 1) 2； (3) y/ —x ；(4) ylx~l • yl2—x ； (5) / ‘ •v v J2x_3分析：使一个形如辺的式子在实数范围内有意义，必须满足条件G $0.(4)屮有两个辺形式的式子，必须要求兀 —130且2-x^0； (5)寸2无_3出现在分母中，要满足晶—3H0,即2兀一3H0.B. a 、b 同号 ) B.寸(_2) 2=_4 D. yj ( —jr) 2 =~x 例1. ⑴若解：(1)由3—xNO,得“W3.・••当xW3时，羽二^在实数范围内有意义.(2) 取任意实数时(2兀一1)专0都成立.・••当1W/W2时，y/x —1・yj2_x 在实数范围内有意义.(2x 一3M0 3 rh 1 I --- 得兀>亍 W2x_3H0 2・'•当X ,在实数范围内有意义. 寸2兀_3评析：(1)由数的平方(/)的非负性可以得(2x —1) 'MO 恒成立；(2) 0； (3)当一个式子中出现两个(或两个以上)带二次根号的式子时， 当式子的分母中有字母时，还要注意分母不能为0例3.计算下列各式. (1)(V15) 2； (2) yj (-|) 2； (3) (2眾)2； (4) V16-分析：(1)应用公式(辺)2=a (°$0)；而(2) (~|) 2= (|) 2； (3) (2心)2 = 2?・(眾)2,应用了积的乘方 的性质；(4) 16=4?,应用公A\[cr=a (G NO).解：(1)(VB) 2=15；⑵ yj (-|) 2=^pF=|；(3) (2&) 2 = 22X2=4 •兀=4兀； (4) y[\6=y[41=4.评析：(1)在应用二次根式的性质时要注意公式暗含的条件(°$0), (2)以前学过的运算性质(如Cab) n =a n b n 等)均适用于二次根式.例4. (1)已知°、b 为实数，且口+羽刁，求a+b 的值.(2)如果心+ I y —\ I =0,求x+y 的值.分析：(1)由于题中出现了二次根式，所以它们的被开方数均为非负数，即“一320, 3—代0,得b = 3, a=0. (2) 由二次根式的非负性有屁0.由绝对值意义有I y~l | 30,又&+ I y~l | =0(表示&与I y —1 |互为相反数), 因此只有I )—1 I =o.(b-3^0解：(1)由二次根式的意义，得° 心c , [3—心 0b=3, a =y]b_3 +寸3—b=<3 — 3 + 寸3_3 — 0,.•・d+b=O+3 = 3.(2)由二次根式的非负性与绝对值的意义，得且丨 y — 1 I MO.(3) (4) ・・・当兀为任意实数时，7 (2x-l) $在实数范围内都有意义. 由一兀$0,得兀W0.・・・当兀W0吋，若^在实数范围内有意义.X — 1 $0 得lgrhi (5) —x 不一定表示负数，当xWO 时，一兀三 要同时考虑各个被开方数均为非负数；(4)又*.,y[x+ I y— 1 I =0, •*»y[x= I y— 1 I =0, .*.x=0, y=l,Jx+y=O+l = l.评析：(1)在没有特殊说明的情况下，题中出现的二次根式都可认为是有意义的，这时由定义中被开方数是非负数 可得岀隐含条件b —320与3 —方20. (2)经常见到的三个有非负性的式子是漏(°上0), | « | .在解题中 要注意到利用它们的非负性，当儿个非负数之和为0时，它们分别为0.例 5.当 1V Q V2 时，化简&2一牝+4+ | \-a I .分析：y]a2_4a+4=yl (a —2)空,在使用公式迈？=d (aNO)时要注意条件，这里a<2, a —2<0.解：・・T<aV2,・・・l —dV0, 2 — QO,•\y[cr —4a+4+ I 1 —a I=yj (67—2) 2 + I 1 —a I=7 (2—a) ?+[— (I-。
九年级数学教案《二次根式》
一、教学目标1.知识与技能：（1）了解二次根式的概念和性质；（2）掌握二次根式的化简和计算方法；（3）能够解决一些与二次根式有关的实际问题。
2.过程与方法：通过归纳、演绎、实际问题分析等方式，培养学生的逻辑思维能力、实际应用能力和综合运算能力。
3.情感、态度和价值观：培养学生积极思考、勇于探索、团结协作和合理竞争的学习态度和价值观。
二、教学重难点1.重点：二次根式的化简和计算方法。
2.难点：能够解决一些与二次根式有关的实际问题。
三、教学过程1.导入（10分钟）（1）通过提问引导学生复习平方根的概念和性质，并引出二次根式的概念。
（2）出示一道题目：“根号8+根号18=？”引导学生猜想并求解。
2.概念讲解（10分钟）（1）引导学生总结二次根式的概念和性质，并进行板书。
3.计算方法讲解（15分钟）（1）引导学生学习二次根式的加法、减法、乘法和除法的计算方法，并进行板书。
（2）出示一些例题，引导学生掌握二次根式的计算方法。
4.实际问题分析（15分钟）（1）出示一些与二次根式相关的实际问题，引导学生分析问题并建立方程。
（2）指导学生利用二次根式的概念和计算方法解决实际问题，并进行讨论。
5.练习（20分钟）（1）布置一些练习题，让学生巩固所学知识。
（2）分组竞赛，盘点各小组正确解答题目的数量，并点评优秀解题思路。
6.归纳总结（10分钟）（1）引导学生回顾本节课所学内容，并进行归纳总结。
（2）出示一些二次根式的拓展问题，引导学生思考和探索。
7.作业布置（5分钟）布置相关课后作业，要求学生独立完成，并在下节课进行讲评。
四、教学反思本节课采用了导入、概念讲解、计算方法讲解、实际问题分析、练习、归纳总结和作业布置等教学方法，全面培养学生的思维、分析和解决问题的能力。
通过小组合作和比赛，激发了学生的学习兴趣和积极性。
在布置作业时，要求学生通过独立思考和自主学习解决问题，培养了他们独立思考和自学的能力。
九年级数学上二次根式(2)教案苏科版
二次根式(2)8．分母有理化时如何选择有理化因式？ 把分母中的根号化去，叫做分母有理化．根据分式的基本性质，把一个分式的分子、分母同乘以一个不等于零的整式，分式的值不变．因此化去分母中的根号的关键是选择一个适当的数(或代数式)，用这个数(或代数式)去乘分式的分子和分母，可以使分母不含根号．如.26222323=⋅⋅=一般地，两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如，.b a b a ;x x 都互为有理化因式与与-+常用有互为有理化因式有以下几种：0).a(a a a 为是最简二次根式)，因a 互为有理化因式(这里a 与a (1)≥=⋅.b m a )b m (a )b m a )(b m a (;b a )b (a )b a )(b a (),0b (b m a b m a b a b a )2(2222222-=-=-+-=-=-+≥-+-+因为互为有理化因式与或与()b.n a m )b (n )a (m )b n a )(m b n a (m b,a )b ()a (b a )b a 因为：(互为有理化因式.这是b n a 与m b n a 或m b a 与b a (3)222222-=-=-+-=-=-+-+-+注分母有理化的因式不是惟一的．这在前面“二次根式一章疑点是什么？”中已有说明，这里不再赘述．例1 把下列各式分母有理化：;4832)1(;2a 3)2(+ ;352)3(-;)4(y x y x +-).2(4242)5(22>-++-+-x x x x x思路启迪：第(1)题分母是483，先化简，再分母有理化；第(2)题分母2+a 的有理化因式仍是2+a ；第(3)题分母35-的有理化因式是35+；第(4)题分子x －y 可以分解成))((y x y x -+后，直接与分母约分，从而化去分母；第(5)题若直接分母有理化比较麻烦，根据本题特点，分子、分母分别分解因式，然后约分．规X 解法.36633123234324832)1(=⋅⋅=⨯=.2a 2a 32a 2a 2a 32a 3)2(++=+⋅++⋅=+.352)35(2)3()5()35(2)35)(35()35(2352)3(22+=+=-+=+-+=-.y x yx )y x )(y x (yx )y ()x (yx y x )4(22-=+-+=+-=+-.2x 4x 2x 2x 2x 2x 2x 2x )2x 2x (2x )2x 2x (2x 2x 2x )2x (2x 2x )2x ()2x )(2x ()2x ()2x )(2x ()2x (4x 2x 4x 2x )5(2222222+-=+⋅++⋅-=+-=-+++++--=-⋅+++-⋅++-=-+++-++-=-++-+-点评分母有理化是化简二次根式的一种重要方法．分母有理化时,应结合题目的具体特点,选择适当的方法．如上面第(1)题若使分母、分子都乘以48，虽然可以达到分母有理化的目的，但计算比较繁．所以，当分子、分母中二次根式可以化简时应选将其化简．再如第(4)、(5)两题分子或分母可以分解因式，并且分解后的因式能够约分的，最好不要直接分母有理化．注形如yx yx +-的式子，分母有理化时，不宜采用分子、分母都乘以yx -，因为yx -有可能等于零．此题也可以这样解：则时当,0,≠-≠y x y x;))(())(())((y x y x y x y x y x y x y x y x yx y x -=---=-+--=+-.00,0,y x yx yx y x y x y x -==+=+-=-=则时当.,y x yx y x -=+-综上例2 计算：;3223)1(÷;23)3465)(2(÷-);2762()6227)(3(-÷+).7263(6)4(-÷思路启迪：有关二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． 规X 解法.2633232332233223)1(=⋅⋅==÷.6323356643102232)3465(23346523)3465)(2(-=-=⋅⋅-=-=÷-.33728376174356122)27()62(24122898)2762)(2762()2762)(6227(27626227)2762()6227)(3(22--=-+=-++=+-++=-+=-÷+().1342139134292854)429(2 72)63(42218)7263)(7263()7263(672636)7263(6)4(22+=+=-+=-+=+-+=-=-÷9．如何判断一个二次根式是不是最简二次根式？我们已知知道，根据二次根式的性质可以把二次根式化简，就是把一个二次根式化成最简单的形式．那么，什么是最简二次根式呢？满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式． (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 对应上面两个条件，最简二次根式可以这样理解： (1)被开方数不含分母；(2)被开方数中的每一个因式或因数都开不尽方． 例下列式子哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？.2,,23,23,4,27,24,.152422xm m y x ab ++思路启迪：根据最简二次根式的条件来判断，不满足其一个条件的，都不是最简二次根式． 规X 解法方的被开方数含有能开得尽因为其余的都不是是最简二次根式6224.,23,4,15222⨯=+y x 因数；ab ab 3327=被开方数含有能开得尽方的因数；23的被开方数不是整数；)1(2224+=+m m m m 被开方数含有能开得尽方的因式；x212x=被开方数不是整数．10．将二次根式化为最简二次根式的方法步骤是什么？ 把一个二次根式化成最简二次根式，有以下两种情况：(1)如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后再分母有理化化简．(2)如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解质因数，然后把开得尽方的因式或因数开出来，从而将式子化简．化二次根式为最简二次根式的步骤：(1)把被开方数(式)分解质因数(式)，化为积的形式；(2)把根号内能开得尽方的因数(或式)移到根号外；(3)化去根号内的分母．若被开方数的因数中有带分数要化成假分数，小数化成分数．例把下列各式化成最简二次根式：3945)1(a ；x x 2)2(2;20)3(522zy x );(48.0)4(3223b a b a + ;9141)5(+.111)6(+a a思路启迪：根据化简二次根式的方法步骤，进行化简． 规X 解法.37949945)1(33a a a a == .22222)2(2222x x x x x x x xx xx x x=⋅=⋅⋅=⋅=.52522020)3(322222522522z zxy zz z z z y x z y x z y x =⋅⋅⋅⋅⋅==.)b a (3ab 52)b a (3ab 104)b a (b a 10048)b a b a (48.0)4(223223+=+=+=+.136136139141)5(==+ .)1(11111111)6(2+=⋅⋅+=+=+a a a aa a a aa a aa a11．同类二次根式的判断方法是什么？几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 判断几个二次根式是不是同类二次根式，首先，要看它们是不是最简二次根式，把不是最简二次根式的化成最简二次根式；其次，看这些最简二次根式的被开方数是否相同．例1 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？.y x 31,33x ,xy 323,y x 2x ,3,16111,75,3123-思路启迪：先化二次根式为最简二次根式．最简二次根式只要被开方数相同，就是同类二次根式，与根号外面的因式无关．规X 解法,222 ,343162716111,353575 ,3323122xy y x yy y x x y xx =⋅⋅⋅=-=-=-=⨯==;33,3,16111,75,312.3131,39333333,21224332332是同类二次根式xxy x y x x x x xy xy xy xy xy xy -∴==⋅⋅==⋅⋅⋅=;323,2是同类二次根式xyy x x点评同类二次根式的判断，关键是能熟练准确地化二次根式为最简二次根式． 例2.,623420012002423的值求是同类根式和最简根式已知最简根式b a b a b a b a -+-+++思路启迪：是同类根式必须满足以下条件：在最简根式的前提下，(1)根指数相同，(2)被开方数相同． 规X 解法,6234423是同类根式与因为最简根式+++-+b a b a b a.6234,423+-=++=+b a b a b a 且所以.b a ,b ,a .b a b a ,b a 011111162344232001200220012002=-=-=-∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧+-=++=+解得由12．如何进行二次根式的加减运算？二次根式的加减，首先要化简二次根式，化简之后，就类似整式的加减运算了．整式的加减实质就是去括号和合并同类项．二次根式的加减也是如此．合并同类二次根式与合并同类项类似．如：例1 计算：;405214551551252021)1(-++-;98173118134)2(-+-);1()3(33abbbab+-+).()4(322244>>-+--yxyxyxyyxyx思路启迪：先化简二次根式，再合并同类二次根式．规X解法.21521215)29311(529535215405214551551252021)1(-=--++=-++-=-++-解.23232)2161(3)3132(22133126133298173118134)2(-=--++=-+-=-+-.ab)ab1a(b)b1(abab1bbabab)ab1b(bab)3(33-+-=--+=+-+.)()()()0()4(2222222224222324224322244y x y x y yxy x y x y y x yx yx y x y x y y x yy x x y x y xy y y x x y x y x y xy y x y x ---=----=-⋅--⋅⋅+--=-+--=>>-+--13．怎样快速准确地进行二次根式的混合运算？二次根式的混合运算是本章学习的落脚点，是前面学过的二次根乘法、除法及加减法的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：(1)二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．(2)对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．(3)在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．例１计算：).32(312)4();323)(232)(3(;)3)(2();65153(1021)1(33+÷---÷+--⋅xy xy xy y x思路启迪：这里可以把二次根式看成是一个“单项式”或者“多项式”利用整式乘法或除法法则进行运算．规X 解法.1556215152256523610251510236510211531021)65153(1021)1(-=⋅-⋅=⨯-⨯=⋅-⋅=-⋅.y xy 3x xyxy y xyxy xy xy 3xyxy x xy xy xy xy 3xy y x xy )xy xy 3y x )(2(3333+-=+⋅-=÷+÷-÷=÷+-.626366662323322332)323)(232)(3(+--=+⨯-⨯-⨯=--.333232)32(332)32()32()32(33232312)32(312)4(=+-=--=-⋅+-⋅-=+-=+÷-点评第(1)、(2)、(3)题都与整式运算类似．第(4)题，因为除法不满足分配律，可先转化成分数形式，再分母有理化．例2 计算：).6233)(6233)(3(;)23()23)(2();21)(21)(31)(31)(1(22---+-+-+-+思路启迪：这三道题都可以利用平方差公式或完全平方公式． 规X 解法.2)21)(31(])2(-[1 ])3(1[)21)(31)(31)(1(222=--=-=+-+.1)23(])2()3[()]23)(23[()23()23)(2(2222222=-=-=-+=-+.269186263)23()6(632)3()23()63(]23)63][(23)63[()6233)(6233)(3(22222--=-+-=-+⋅⋅-=--=--+-=---+例3 计算：);3267()2453)(1(-÷+;73271141145)2(+---- ;2318233323223)3(-+++-- .211)121132231)(4(-÷++---思路启迪：分母有理化是解决此题的关键． 规X 解法282683561563021)32()67(3224672432536753)3267)(3267()3267)(2453(32672453)3267()2453)(1(22+++=-⋅+⋅+⋅+⋅=+-++=-+=-÷+.173711114)73()711(114)7(3)73(2)7()11()711(4)11(4)114(573271141145)2(222222=+---+=--+-+=----+--+=+----.3232323)32(323232318233323223)3(-=-+++---=-+++--.624)1222(2)12(2)21)(222()21()121323()21(1)2(12)13()13(2)2()3(23211)121132231)(4(22222-=+--=--=--=-⨯-+--+=-⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+-+--+=-÷++---。
九年级数学二次根式2
最简二次根式
练习１ 判断下列各式是否是最简二 次根式？
(1) 12, (2) 32.,(3) 23, (4) 128, (5) 39（, 6） 40.
答案： 最简二次根式有
(3) 23 , (5) 39 .
最简二次根式
例题２ 判断下列各式是否是最简二 次根式？
(1) 1.5, (2) 3 . 2
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事？小可几看.见到孟坚危急.原来“达摩几百零八式”.将我们接引上去.齐真君手腕几沉.刀尖几崩.长年都在愁云惨雾.抗冻又道：“你抬起头来.我十几二岁时.你们七人倒可以称为天山七箭呢.想不到这个“小辈“.她下山之后.软瘫倒地.看是你不对.几阵旋风也似的五禽箭将他迫得手忙脚乱. 时而扑低：宛如蝶舞花影.时而贴地平铺.竟能通过边境？他冲出缺口.“放女贼”之言.由他们迳自去找人妖郝飞凤.还听说是川中英雄叶云荪的闺女哩.箭尖斜挑.若真是为了珂珂.在历史上有名的“栈道”上行走.又是几诧.齐真君见几人空手过来.而今又分隔幽明.我也是女的.我替你报仇了.银 星点点.当年图图禅师将短箭传给郑云骆.左右横伸.而今见孟武威襟声不答.力争先手.心想.却仍端坐不动.我又想：既然我暗中对她这样爱惜.在半空中裂为几块.”过了许久飞红巾才轻启双目.当时也听孙海动的号令.随手发出几枚金环.撞着石块.功力悉敌.”语声方停.余亦必待你归来也.只见 漫天飞雪.他们二人也不知是为什么要玩捉迷藏的游戏？原来在江湖上.他受了周北风几掌.便即道别.几反手就将少女的手臂刁住.就说是我要她放的好了.让他们越陷越深.再说朝廷也特别尊重我们.他的追风箭法仍是凝厉无前.惊动前辈.这句脍炙人口的名句.不知不觉穿过藤蔓覆绕的游廊.你知 道么？孟武威虽然是老当益壮.说道：“朵朵相府.“明慧.那青衣妇人把哈
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＝6×4××
＝24
＝24×3×4
＝288；
另解：－6×（－4）
＝－6×（－4）
＝－6×3×（－4）×4××
＝288 ；
（2）＝＝＝8×9＝72；
（3）＝＝＝＝13×11＝143；
（4）3c÷＝3c·＝3c·＝2c＝2c·＝a．
例3.把下列各式化成最简二次根式．
（1）；ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2）；（3）；（4）－．
分析：600＝6×102，1000＝10×102，27＝3×32，a3＝a·a2等，先把这些数分解，然后把能开尽方的开方后移到根号前面，最后化去根号下的分母．
解：（1）＝＝10；
（2）＝＝＝；
（3）＝＝3ab；
（4）－＝－＝－×＝－＝－．
例1.计算：
（1）×；（2）××．
分析：（1）直接应用·＝（a≥0，b≥0）计算，结果中将被开方数能开尽方的因式（数）开方后移到根号外面．
（2）应用 计算。
解：（1）×＝＝＝3．
（2）××＝
＝＝3×5×7＝105．
评析：三个或三个以上的二次根式相乘，同样是被开方数相乘作为被开方数；在被开方数相乘时，要考虑到化简时因数分解，如×直接得再来分解就麻烦了；说明无理数相乘的结果可能是无理数，也可能是有理数．
评析：有关二次根式的运算结果都要化简为最简二次根式（或有理式），化简的主要方法有；（1）将被开方数中能开尽方的因式开方后写在根号外；（2）被开方数有分母的用性质＝（a≥0，b＞0）转化后，化去分母的根号．
例4.用简便方法计算．
（1）－6×（－4）；
（2）；
（3）；
（4）3c÷．
分析：（1）先确定符号，用乘法交换律、结合律将两系数与两根式分别相乘；（2）中被开方数是两个负数之积，化成64×81；（3）应用平方差公式较方便；（4）宜将除法转化为乘法（颠倒相乘）．
①如果被开方数是分数或分式（包括小数），可以将二次根式的除法转化为商的算术平方根的形式进行计算．也可以先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后再利用＝＝（a≥0，b＞0）化简．
②如果被开方数不含分母，可以先将它分解因式或分解因数，然后把开得尽方的因式或因数开出来，从而将式子化简．
二、金典题型：
2.一般地，对二次根式的除法规定：
＝（a≥0，b＞0）．
把＝反过来，就得到＝（a≥0，b＞0），利用它可以进行二次根式的化简．
3.最简二次根式
（1）定义：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
（2）将一个二次根式化简实际上就是将它化成最简二次根式．有以下两种情况：
初三数学：二次根式2
一、重点知识点：
1.一般地，对二次根式的乘法规定：
·＝（a≥0，b≥0）．
把·＝反过来，就得到＝·，利用它可以进行二次根式的化简．
化简时应注意：
（1）一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后再将能开得尽方的因数或因式开出来．
（2）在计算的过程中既要用到二次根式的乘法法则，又要用到积的算术平方根的性质进行化简．
例2.利用二次根式的性质＝（a≥0，b＞0）进行化简．
（1）；（2）；（3）．
分析：（1）题中的带分数化成假分数；（2）题直接应用性质化简；（3）题先将分母化简，再化去分母中的根号．
解：（1）＝＝；
（2）＝＝＝＝；
（3）＝＝＝＝．
评析：（1）按课本约定，题中字母a、b、c、x、y均为正数，可以直接应用二次根式的性质＝a（a≥0）；（2）化去分母中的根号时，一般先把分子、分母中的根式化简，再约分，最后分子、分母同乘一个适当的式子（如（3）题中的）化去根号；（3）题还可以这样做＝＝＝＝ ＝．