部编版人教初中数学九年级上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系同步检测题(含答案解析)

合集下载

2019—2020年最新人教版九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》同步测试及解析.docx

新人教版数学九年级上册第二十一章一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系同步训练一、选择题1、关于的方程的两根同为负数，则（）。

A、且B、且C、且D、且2、若关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且满足=，则的值为（）A、－1或B、－1C、D、不存在3、已知实数a、b满足等式，那么的值为（）A、－6B、2C、－6或2D、无法计算4、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）B、3C、6D、95、已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则式子的值是（）A、B、C、D、6、已知为方程的两实根，则的值为（）A、B、－28C、20D、287、方程与方程的所有实数根的和为（）A、3B、5C、－2D、08、关于x的方程的两个实数根同号，则a的取值范围是（）A、B、a＞0D、a≤19、一元二次方程的两实数根相等，则的值为（）A、B、或C、D、或10、以3和－2为根的一元二次方程是（）A、B、C、D、11、设方程的两根分别为，且，那么m的值等于（）A、B、－2C、D、12、已知方程的两个根为、，那么的值（）A、3B、1C、－1D、－613、已知两根之和等于两根之积，则m的值为（）B、－1C、2D、－214、设α、β是方程的两个实数根，则的值为（）A、－2014B、2014C、2013D、－201315、已知关于的一元二次方程有两个实数根和，当时，的值为（）A、2B、或C、D、二、填空题16、如果是一元二次方程的两个实数根，则________．17、一元二次方程两根的倒数和等于________．18、关于x的方程的根为，则p＝________，q＝________．19、若是方程的两根，那么 ________ ，________ ．20、已知方程的两根之比为2，则k的值为________．三、解答题21、不解方程，求下列方程的两根的和与积．(1)(2)22、已知是一元二次方程的两个实数根，且满足不等式，求实数m的取值范围．23、已知关于x的方程的两根是一个矩形两邻边的长．(1)k为何值时，方程有两个实数根；(2)当矩形的对角线长为时，求k ．24、已知关于x的一元二次方程有两个非零实数根．(1)求m的取值范围；(2)两个非零实数根能否同为正数或同为负数？若能，请求出相应的m的取值范围，若不能，请说明理由．答案解析部分一、选择题1、【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】根据根与系数的关系可知：关于的方程两根的和为－p ，积为q ，又∵两根同为负数，∴－p＜0，q＞0，∴p＞0，q＞0．【分析】对于一元二次方程的一般形式，方程两根之和为，两根之积为．2、【答案】C【考点】解一元二次方程-因式分解法，根与系数的关系【解析】【解答】根据根与系数的关系可知：，又∵，∴∴，∴，又∵当时，，∴舍去，∴．【分析】k的值不仅须满足，更须在一元二次方程有根的大前提下才有意义，即k的值必须使得才可以．3、【答案】C【考点】完全平方公式，根与系数的关系【解析】【解答】∵a、b满足等式，∴a、b是方程的两个根或，当a、b是方程的两个根时，，∴；当时，，综上所述，的值为－6或2．【分析】关键在于理解：a、b满足等式即a、b是方程的两个根．4、【答案】B【考点】完全平方公式，根与系数的关系【解析】【解答】将方程的两根分别记为，那么，∴直角三角形的斜边长为．【分析】如果直接解方程，可以得到直角三角形的两条直角边的长，再运用勾股定理求出直角三角形的斜边长，但由于方程的两根是无理数，计算十分麻烦.因此应充分利用一元二次方程根与系数的关系进行简便求解．5、【答案】C【考点】完全平方公式，根与系数的关系【解析】【解答】∵a、b是方程的两个根，∴，∴对所求式子进行变形有：．【分析】在利用根与系数的关系求代数式的值时，常常利用完全平方公式对所求代数式进行变形．6、【答案】D【考点】完全平方公式，根与系数的关系【解析】【解答】∵为方程的两实根，∴，∴对所求式子进行变形有：．【分析】利用根与系数的关系求代数式的值时关键在于对所求代数式的变形．7、【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】设方程的两个根分别为，方程的两个根分别为，∴，，∴这两个方程的所有实数根的和．【分析】在计算前应根据根的判别判断方程根的存在情况．8、【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】∵关于x的方程的两个实数根同号，∴且，∴．【分析】注意一元二次方程有两个同号的实数根必须同时满足△≥0．9、【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】∵一元二次方程的两实数根相等为x ，∴，∴，∴或．【分析】也可以用根的判别式解题：∵一元二次方程的两实数根相等，∴，∴或．10、【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【解答】以3和－2为根的一元二次方程中，含x项系数为，常数项的系数为3－2＝－6，所以所求的方程为．【分析】逆用根与系数的关系可以不必解逐一解选项中的方程．11、【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】∵方程的两根分别为，∴，又∵，∴，∴．【分析】根据根与系数的关系及求得，再由m与的关系求得m的值．12、【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】根据题意得，∴．【分析】利用根与系数的关系可以简化计算．13、【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】∵方程两根之和等于两根之积，∴，∴．【分析】方程的两根之和为，两根之积为．14、【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【解答】根据题意有α＋β＝－1，αβ＝2012，∴对所给代数式进行变形得：.【分析】根据α、β的关系对进行适当的变形．15、【答案】D【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【解答】当时，即,∴或.当时，依据一元二次方程根与系数的关系可得,∴,∴，又∵方程有两个实数根，∴△＝，∴,∴不成立,故无解；当时，,方程有两个相等的实数根,∴△＝,∴．【分析】本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，注意所求的值一定须在一元二次方程有根的大前提下才有意义，这一点是同学们常常容易忽略出错的地方．二、填空题16、【答案】6【考点】根与系数的关系【解析】【解答】根据根与系数的关系可知：．【分析】对于一元二次方程的一般形式，根与系数的关系为．17、【答案】【考点】根与系数的关系【解析】【解答】将一元二次方程两根分别记为，那么，∴两根的倒数和为．【分析】对于所给的代数式进行变形，使其与两根的和与积有联系，再利用根与系数的关系进而求得代数式的值．18、【答案】－2；－1【考点】平方差公式，根与系数的关系【解析】【解答】根据根与系数的关系有：，，∴．【分析】对于一元二次方程的一般形式，根与系数的关系为．19、【答案】39；53【考点】完全平方公式，根与系数的关系【解析】【解答】根据题意有，，∴，∴．【分析】对于所给的代数式进行变形，使其与两根的和与积有联系，再利用根与系数的关系进而求得代数式的值．20、【答案】【考点】根与系数的关系【解析】【解答】记方程的两根分别为，根据题意有，根据根与系数的关系有，由，解得，∴．【分析】根据根与系数的关系可知k的值为两根的积，再利用两根和为1、比为2可以求得两根的值，进而可求k的值．三、解答题21、【答案】（1）根据根与系数的关系可得：，.（2）根据根与系数的关系可得：，．【考点】根与系数的关系【解析】【解答】(1)根据根与系数的关系可得：，.(2)根据根与系数的关系可得：，．【分析】对于一元二次方程的一般形式，根与系数的关系为．22、【答案】解：根据根与系数的关系可知：，，又∵，∴，∴．【考点】根与系数的关系，解一元一次不等式【解析】【解答】解：根据根与系数的关系可知：，，又∵，∴，∴．【分析】先根据根与系数的关系求得两根的积与两根和，再解所给不等式，进而可求m的取值范围．24、【答案】（1）解：方程有两个不相等的实数根，那么，解得，∴时方程有两个实数根；（2）解：记方程的两个实数根分别为，∴，∵呈矩形的对角线长为时，∴，∴，∴，∴，∴，又∵方程有两个实数根需满足，∴．【考点】完全平方公式，根的判别式，根与系数的关系【解析】【解答】（1）解：方程有两个实数根，那么，解得，∴时方程有两个实数根；（2）解：记方程的两个实数根分别为，∴，∵呈矩形的对角线长为时，∴，∴，∴，∴，∴，又∵方程有两个实数根需满足，∴．【分析】在根据根与系数的关系的时候，常常需要考虑根的判别式是否可以大于或等于0．25、【答案】（1）解：关于x的一元二次方程有两个非零实数根，∴且，∴；（2）解：假设两个非零的实数根同号，那么两根的积为正即，∴，又由（1）可知：，∴．【考点】根的判别式，根与系数的关系【解析】【解答】（1）解：关于x的一元二次方程有两个非零实数根，∴且，∴；（2）解：假设两个非零的实数根同号，那么两根的积为正即，∴，又由（1）可知：，∴．【分析】（1）的关键在于非零实数根即常数项不为0；（2）的关键在于务必结合（1）中的m的取值范围确定m的最终取值范围，因为只有这样才可以保证方程有两个实数根．。

人教版九年级数学上册：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学设计2

人教版九年级数学上册：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学设计2一. 教材分析人教版九年级数学上册第21章是关于一元二次方程的学习，而21.2.4节主要讲解了一元二次方程的根与系数的关系。

这部分内容是在学习了根的判别式、求根公式等知识的基础上进行的，对于学生来说，这部分内容比较抽象，需要通过实例分析、自主探究等方法来理解和掌握。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一元二次方程的求解已经有了一定的了解。

但是，对于一元二次方程的根与系数的关系，学生可能还比较陌生，需要通过实例分析、小组讨论等方式来帮助学生理解和掌握。

三. 教学目标1.理解一元二次方程的根与系数的关系。

2.能够运用根与系数的关系来解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的根与系数的关系。

2.难点：如何运用根与系数的关系来解决实际问题。

五. 教学方法1.实例分析：通过具体的例子，让学生理解一元二次方程的根与系数的关系。

2.自主探究：让学生通过自主学习，探索一元二次方程的根与系数的关系。

3.小组讨论：让学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作能力。

4.练习巩固：通过课堂练习，让学生巩固所学知识。

六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，帮助学生更好地理解知识。

2.练习题：准备一些相关的练习题，用于课堂练习和巩固知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的一元二次方程，引导学生思考根与系数的关系。

例如，给出方程x^2 - 4x + 3 = 0，让学生观察它的根与系数之间的关系。

2.呈现（15分钟）利用PPT课件，呈现一元二次方程的根与系数的关系的定义和性质。

通过图示和举例，让学生直观地理解这个关系。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组解决一个实际问题，运用一元二次方程的根与系数的关系来求解。

例如，给出问题：一个二次函数的图象与x轴相交于点(1,0)和点(3,0)，求这个二次函数的解析式。

九年级数学上册21.2.4+一元二次方程的根与系数的关系同步测试+新人教版

一元二次方程的根与系数的关系■A且础逃标 *1已知X i, X2是一元二次方程x2— 2x= 0的两根，贝U X1 + X2的值是（B ）A . 0 B. 2 C. - 2 D . 42. [2013 湘潭]一元二次方程x2 + x— 2= 0 的解为Xi, X2,则Xi - X2= （ D ）A. 1B. - 1C. 2D. — 23. [2013包头]已知方程x2— 2x— 1= 0,则此方程（C ）A. 无实数根B. 两根之和为一2C. 两根之积为—1D. 有一根为一1 +艘4. 已知一元二次方程x2— 6x + c= 0有一个根为2,则另一根为（C ）A. 2B. 3C. 4D. 85. 已知方程x2— 5x+ 2 = 0的两个解分别为x1, x2,则X1 + x2— X1x2的值为（D ）A. - 7B. - 3C. 7D. 3【解析】由根与系数的关系得X1+ X2= 5 , X1 X2= 2,所以X1+ X2 —X1X2= 5—2 = 3.6. [2012攀枝花]已知一元二次方程x2— 3x— 1= 0的两个根分别是x〔，X2,贝U X12X2 + xg2的值为（A ）A. - 3B. 3C. - 6D. 6【解析】一元二次方程X2— 3x— 1 = 0的两个根分别是x1, x2, •■- X1 + x2= 3, x1x2= — 1 ,. 2 , 2X1 X2+ X1X2 = X1X2（X〔+ X2） = —1 >3= — 3.7. 设X1, X2是方程x2 + 3x— 3= 0的两个实数根，贝U癸+ "的值为（B .）X1 X2A. 5B. -5C. 1 D . - 18. 若X1, X2是方程X2 + x- 1 = 0的两个根，贝U X12+ X22= 3 .【解析】由根与系数的关系得X1 + X2 = —1 , X〔X2= —1,所以x/ + *2 =（X1 + X?）2 —2x〔X2=（一1）2— 2X（- 1） = 3.2 1 1 59 .已知m和n是方程2x — 5x — 3= 0的两根，贝U + = __々.m n _3—【解析】m和n是方程2x2— 5x-3= 0的两根，5. .m+n=== 5, mn— 3, ..【+ 1 = * = -22 2 2 m n mnX2⑶(X〔+〔)(X2+ 1) .解：由根与系数的关系得x1 + x2= — 6, x1x2= 3.(1)X12+ 展=(X1 + X2)2— 2x1X2= (—6)2— 2X3 5 3.10.已知X1, X2是方程X2+ 6x+ 3= 0的两实数根,试求下列代数式的值: (1)x12+ X22；⑵富 +=36 — 6= 30;2 , 2 __ x 2 , x 〔 x 2 + x 1 30(2)—-1 -- .. ----------- -- —= 10； x 1 x 2 x 1x 2 3 x 的一元二次方程x 1 2 3— 4x+ C= 0的一个根，求方程的另一个根. x 〔，由 x 〔 + 2—寸5 = 4,得 x 〔 = 2 + 寸5. x 2— mx-3 = 0的两实数根为x 〔，x 2,若x 1 + x 2= 2,求x 1, x 2的值.解：x 〔 + x2= 2, ■- m = 2. .■.原方程为 x — 2x — 3= 0,即(x — 3)(x+ 1) = 0,解得 x 〔 = 3, 乂2=— 1 或 x 〔=— 1, x ?= 3.13. 关于x 的一元二次方程 x 2— mx+ 2m — 1 = 0的两个实数根分别是 x 〔，x ?,且x 〔2+ x ?2=乙则(x 〔一 x 2)2的值是(C )A. 1 B . 12C. 13D. 25【解析】由根与系数的关系知：x 1 + x 2= m, x 1x 2 = 2m —1,x/ + x^ = (x 〔 + x z)? — 2x 1x 2= m^ — 2(2 m — 1) = m? — 4m + 2,m 2— 4m+ 2 = 7, m 2— 4m — 5 = 0,解得m = 5或m= — 1.当m = 5时，原方程为 x 2— 5x+ 9 = 0,△ = (- 5)2 — 4X 1 X 9 = 25- 36= - 11<0,此时方程无实根.当m = — 1时，原方程为 x + x — 3= 0,方程有实根，.■.当 m = — 1 时，x 〔 + x 2= — 1, x 〔x 2= — 3,2 2• (x 1- x 2) = (x 1 + x 2) — 4x 1x 2=(—1)2—4X(— 3) = 1 + 12= 13,故选 C.14. 设 a,A. 2 011C. 2 013 【解析】 17.设【解析】 —3, a 一4 4. x 〔 + 乂2 = — =, m m x 2 c 4 . 八 --—2= , • .m = — 2. m 3是一元二次方程 x 2 + 3x-7= 0的两个根，则因为 a, 3是一兀二次方程 x 2 + 3x — 7= 0的两个根，贝U / + 3 a — 7= 0 , a + 6= 2+ 4 a+ 片 a 2 + 3 a+ a+ 片 4. 元二次方程 x 2+ 3x+ m-1 = 0的两个实数根分别为 x 1, x 2. a, 18 .关于x 的a 2+ 4 a+ A _________ 4 _ ⑶(x i+ 1)(x2+ 1) =xi x 2 + (玉 + 乂2)+ 1 =3 — 6+ 1=— 2.11. 已知2 一寸5是关于解：设方程的另一个根为 12. 已知关于x 的方程 b 是方程x 2 + x- 2 012 = 0的两个实数根，贝U a 2+ 2a+ b 的值为(A )B. 2 012D. 2 014••• a 是方程 x 2 + x-2 012= 0 的根，a 2+ a — 2 012= 0, a 2+ a= 2 012.又由根与a + b=- 1, ..a 2+ 2a+b = a 2 + a+ (a + b)= 2 012- 1= 2 011,故选 A.n 是方程x 2 + 2*x+ 1 = 0的两根，则代.数式^m 2+ n 2+ 3mn 的值为(C )C. 3D. 5x 的一元二次方程mx2— 4x+ 6= 0的两根为 x 1, x 2，且 x 1 + x 2= — 2,贝U m=(1)求m的取值范围；⑵若2(X1 + X2)+ X1X2 + 10 = 0,求m 的值.解：(1)：原方程有两个实数根，13. . △ = 9— 4(m— 1) >Q 解碍m^4，⑵由根与系数的关系，得X1 + x2=—3, X1X2= m—4 5 ,2 x (— 3) + (m — 1) + 10 = 0,解得m= — 3,符合题意.而履削新【解析】系数的关系得15. 已知m,A . 9B . 416. 已知关于(2) 若此方程有两个实数根X1, X2,且|X〔一X2 1=2,求k的值.解：(1)证明：△ = [ —(3k— 1)]2— 4k 2(k — 1) = k2+ 2k+ 1 = (k+ 1)2>0, 所以无论k为何实数，方程总有实数根；k(2)由根与系数关系，得X1+ X2=丝m, X1X一， 2 2• • (X1 —X2) = 4,即(X1 + X2) — 4X1X2= 4,整理，得3k2—2k—1 = 0. k ' k故(冷)2— (1)解碍k〔 = 1, k2 = 一三.3经检验，k〔= 1, k2= —1都是原分式方程的解，3. 」. 1• k1 = 1, k2= 一19.已知：关于X 的方程kX2- (3k- 1)X+ 2(k- 1)= 0.5 求证：无论k为何实数，方程总有实数根；。

人教版九年级数学上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系(教案)

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的根与系数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这个知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.培养学生的数学建模素养，通过运用根与系数的关系解决实际问题，使学生能够建立数学模型，感受数学与现实生活的联系，提高数学应用意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心知识：一元二次方程的根与系数的关系，特别是根的判别式Δ=b²-4ac的应用。
-重点内容：
-判别式Δ的物理意义及其与方程根的关系。
-根与系数的关系式x₁+x₂=-b/a和x₁x₂=c/a的推导和应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.能够运用根与系数的关系解决实际问题，如求解二次方程的根、判断根的符号等。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过探索一元二次方程的根与系数的关系，使学生能够运用逻辑推理分析问题，从而提高解决问题的能力。
2.培养学生的数学抽象素养，让学生从具体的方程实例中抽象出根与系数之间的关系，培养学生对数学规律的抽象概括能力。

21.2.4 一元二次方程根与系数的关系人教版数学九上同步课堂教案

21.2.4一元二次方程根与系数的关系一、教学目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.二、教学重难点重点：一元二次方程的根与系数的关系.难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度．三、教学过程【新课导入】[复习导入]1.一元二次方程的求根公式是什么？x=―b±b2―4ac2a，b2―4ac≥02.如何用判别式b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程：ax2 + bx +c = 0(a≠0)b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.[思考]方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其他关系吗？[课件展示]解下列方程并完成填空：（1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.两根一元二次方程x1x2两根关系x2 + 3x -4= 0-41x1+x2=-3，x1 · x2=-4ax2-5x +6= 023x1+x2=5，x1 · x2=62x2 + 3x -2= 012-2x1+x2=-32，x1 · x2=-1[思考]通过上表猜想，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么，你可以发现什么结论？x1+x2=-ba ，x1 · x2=Ca【新知探究】[思考]若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？[课件展示]把方程(x-x1)(x-x2)=0，化成一般形式，得到x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，由x2+px+q=0得x1+x2= -p , x1 ·x2=q.[归纳总结]如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q.[交流讨论]一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，二次项系数a未必是1，前面我们猜想的它的两根的和、积与系数的关系成立吗？如何证明呢？[课件展示]根据求根公式：x 1+x 2=―b +b 2―4ac 2a +―b ―b 2―4ac 2a=―b +b 2―4ac ―b ―b 2―4ac 2a=―2b 2a ==―ba x 1·x 2=―b +b 2―4ac 2a ×―b ―b 2―4ac 2a=b 2―（b 2―4ac ）4a 2=4ac 4a 2==ca[归纳总结]一元二次方程的根与系数的关系如果 ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1+x 2=―b a ,x 1·x 2=c a一元二次方程的根与系数的关系是法国数学家韦达发现的，所以我们又称之为韦达定理.[归纳总结]在使用根与系数的关系时，注意：（1）不是一般式的要先化成一般式；（2）在使用时，x 1+x 2=―b a ,注意“－”不要漏写；（3）满足上述关系的前提条件b 2-4ac ≥0.[课件展示]另外几种常见的变形求值:1.1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 22.x 1x 2+x 2x 1=x 21+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2―2x 1x 2x 1x 23.(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+(x 1+x 2)+14.|x 1―x 2|=(x 1―x 2)2=(x 1+x 2)2―4x 1x 2【新知应用】例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根x 1，x 2的和与积.（1）x 2 + 7x + 6 = 0;（2）2x 2 - 3x - 2 = 0.解：（1） x 1 + x 2 = -7 , x 1 x 2 = 6.（2） x 1 + x 2 = 1.5 , x 1 x 2 = -1 .例2 已知方程5x 2+kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.解：设方程的两个根分别是x 1、x 2，其中x 1=2.所以x 1·x 2=2x 2=―65, 即x 2=―35 由于x 1+x 2=2―35=―k 5，得k =－7.【课堂训练】1.设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:（1）x1+x2= 4,（2）x1·x2= 1 ,（3）x21+x22=14,（4）(x1―x2)2=12.解得：k=-7；2）因为k=-7,所以x1+x2=7,x1·x2=―4.则(x1―x2)2=(x1+x2)2―4x1x2=72―4×(―4)=65.6.设x1，x2是方程x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 ,即-8k + 4 ≥ 0.∴k≤12由根与系数的关系得x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2.∴x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.由x12 + x22 = 4，得2k2 - 8k + 4 = 4,解得k1= 0 , k2 = 4 .经检验，k2 = 4 不合题意，舍去.【布置作业】【教学反思】教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.。

人教版九年级数学上册 21.2.4 一元二次方程根与系数的关系同步练习

一元二次方程根与系数的关系一、选择题1．若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+4=0的两根，则x1+x2与x1•x2的值分别是（）A ．﹣，﹣2 B．﹣，2 C．，2 D．，﹣22．若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一个解为x＝－1，则另一个解为 ( ) A．1 B．－3 C．3 D．43．若关于x的方程x2－(m2－4)x＋m＝0的两个根互为相反数，则m等于( ) A．－2 B．2 C．±2 D．44．若关于x的方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是( )A．－2或3 B．3 C．－2 D．－3或25.关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，则a的值是（）A ．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2二、填空题6．若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则x 1＋x 2＋x 1x 2＝________． 7．一元二次方程x 2－4x ＋2＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 12－4x 1＋2x 1x 2的值为________．8. 设x 1，x 2是方程x 2﹣x ﹣2013=0的两实数根，则2111x x = _________ ．9. 若x 1，x 2是方程x 2+x ﹣1=0的两个根，则x 12+x 22= _________ ．10. 方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则（x 1﹣1）（x 2﹣1）= _________ ．三、解答题11．已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋a ＝0的两个实数根x 1，x 2满足x 1x 2＋x 1＋x 2＞0，求a 的取值范围.。

12．已知关于x 的方程x 2+x+n=0有两个实数根﹣2，m ．求m ，n 的值．13．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2m －2)x ＋(m 2－2m )＝0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根分别为x 1，x 2，且x 12＋x 22＝10，求m 的值．1、最困难的事就是认识自己。

人教版九年级上数学《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》同步习题(含答案)

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系01 基础题知识点1 利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1．(钦州中考)若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋10x ＋16＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是(A)A ．－10B ．10C ．－16D ．162．(怀化中考)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －3＝0的两个根，则x 1x 2的值是(D)A ．2B ．－2C ．4D ．－33．(凉山中考)已知x 1，x 2是一元二次方程3x 2＝6－2x 的两根，则x 1－x 1x 2＋x 2的值是(D)A ．－43B.83 C ．－83 D.434．(眉山中考)已知一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根为x 1，x 2，则(x 1－1)(x 2－1)的值是－4．5．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 1＋x 2；解：x 1＋x 2＝3.(2)x 1x 2；解：x 1x 2＝－1.(3)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝32－2×(－1)＝11.(4)1x 1＋1x 2；解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.(5)(x 1－1)(x 2－1)；解：(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝－1－3＋1＝－3.(6)x 2x 1＋x 1x 2. 解：x 2x 1＋x 1x 2＝x 21＋x 22x 1x 2＝11－1＝－11.知识点2 利用根与系数的关系求方程中待定字母的值6．(雅安中考)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x －k －1＝0的两根，且x 1x 2＝－3，则k 的值为(B)A ．1B ．2C ．3D ．47．(新疆中考)已知关于x 的方程x 2＋x －a ＝0的一个根为2，则另一个根是(A)A ．－3B ．－2C ．3D ．68．已知关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的两根为－3和－1，则p ，q 的值分别为4，3．9．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(4m ＋1)x ＋2m －1＝0.(1)求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根分别为x 1，x 2，且满足1x 1＋1x 2＝－12，求m 的值．解：(1)证明：∵a ＝1，b ＝4m ＋1，c ＝2m －1，∴Δ＝(4m ＋1)2－4(2m －1)＝16m 2＋8m ＋1－8m ＋4＝16m 2＋5.∵16m 2≥0，∴Δ＞0.∴不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．(2)根据题意，得x 1＋x 2＝－(4m ＋1)，x 1x 2＝2m －1，∵1x 1＋1x 2＝－12，∴x 1＋x 2x 1x 2＝－12. ∴－（4m ＋1）2m －1＝－12， ∴m ＝－12.易错点忽视隐含条件10．若关于x 的方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0的两个根互为倒数，求a 的值．解：因为方程的两根互为倒数，所以两根的积为1．由根与系数的关系，得a 2＝1．解得a ＝±1．当a ＝1时，原方程化为x 2＋1＝0，根的判别式Δ<0，此方程没有实数根，所以舍去a ＝1．所以a ＝－1．02 中档题11．(易错题)下列一元二次方程两实数根和为－4的是(D)A ．x 2＋2x －4＝0B ．x 2－4x ＋4＝0C ．x 2＋4x ＋10＝0D ．x 2＋4x －5＝012．(烟台中考)若x 1，x 2是方程x 2－2mx ＋m 2－m －1＝0的两个根，且x 1＋x 2＝1－x 1x 2，则m 的值为(D)A ．－1或2B ．1或－2C ．－2D ．113．(达州中考)设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2 018＝0的两个实数根，则m 2＋3m ＋n ＝2__016．14．在解某个关于x 的一元二次方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两个根为8，2，则这个方程为x 2－10x ＋9＝0．15．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，且m ≠n ，则n m ＋m n ＝－225． 16．(十堰中考)已知关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求实数k 的取值范围；(2)若x 1，x 2满足x 21＋x 22＝16＋x 1x 2，求实数k 的值．解：(1)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2，∴Δ＝(2k －1)2－4(k 2－1)＝－4k ＋5≥0，解得k ≤54. ∴实数k 的取值范围为k ≤54. (2)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝1－2k ，x 1x 2＝k 2－1.∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16＋x 1x 2，∴(1－2k)2－2(k 2－1)＝16＋(k 2－1)，即k 2－4k －12＝0，解得k ＝－2或k ＝6(不符合题意，舍去)．∴实数k 的值为－2.17．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋4k －3＝0.(1)求证：无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当Rt △ABC 的斜边长a 为31，且两条直角边的长b 和c 恰好是这个方程的两个根时，求△ABC 的周长．解：(1)证明：Δ＝[－(2k ＋1)]2－4(4k －3)＝4k 2－12k ＋13＝(2k －3)2＋4.∵(2k －3)2≥0，∴(2k －3)2＋4＞0，即Δ＞0，∴无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根．(2)∵b ，c 是方程x 2－(2k ＋1)x ＋4k －3＝0的两个根，∴b ＋c ＝2k ＋1，bc ＝4k －3.∵a 2＝b 2＋c 2，a ＝31，∴k 2－k －6＝0.∴k 1＝3，k 2＝－2.∵b ，c 均为正数，∴4k －3＞0.∴k ＝3.此时原方程为x 2－7x ＋9＝0，∴b ＋c ＝7.∴△ABC 的周长为7＋31.03 综合题18．(换元思想)阅读材料：材料1 若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a. 材料2 已知实数m 、n 满足m 2－m －1＝0，n 2－n －1＝0，且m ≠n ，求n m ＋m n的值．解：由题知m ，n 是方程x 2－x －1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1，得m ＋n ＝1，mn ＝－1.∴n m ＋m n ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn ＝1＋2－1＝－3. 根据上述材料解决下面的问题：(1)一元二次方程x 2－4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－3；(2)已知实数m ，n 满足2m 2－2m －1＝0，2n 2－2n －1＝0，且m ≠n ，求m 2n ＋mn 2的值；(3)已知实数p ，q 满足p 2＝3p ＋2，2q 2＝3q ＋1，且p ≠2q ，求p 2＋4q 2的值．解：(2)∵m ，n 满足2m 2－2m －1＝0，2n 2－2n －1＝0，∴m ，n 可看作方程2x 2－2x －1＝0的两实数根．∴m ＋n ＝1，mn ＝－12. ∴m 2n ＋mn 2＝mn(m ＋n)＝－12×1＝－12. (3)设t ＝2q ，代入2q 2＝3q ＋1化简为t 2＝3t ＋2，则p 与t(即2q)为方程x 2－3x －2＝0的两实数根，∴p ＋2q ＝3，p·2q ＝－2，∴p 2＋4q 2＝(p ＋2q)2－2p·2q ＝32－2×(－2)＝13.。

九年级上册数学《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》同步练习含答案详解

*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系测试时间:15分钟一、选择题1.(2018湖北武汉武昌月考)方程x2-6x+10=0的根的情况是()A.两个实根之和为6B.两个实根之积为10C.没有实数根D.有两个相等的实数根2.已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0有两个不相等的实数根α,β,且α,β满足+=1,则m的值为()A.-3B.1C.-3或1D.23.(2018江苏徐州丰县月考)下列方程中,两根之和是正数的是()A.3x2+x-1=0B.x2-x+2=0C.3x2-5x+1=0D.2x2-5=04.(2018河南南阳淅川月考)已知m,n是方程x2+2x-1=0的两根,则代数式-的值为()A.9B.C.3D.±二、填空题5.(2018四川宜宾模拟)已知x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根,且x1+x2=-2,x1·x2=1,则b a的值是.6.(2018湖北武汉黄陂月考)若一元二次方程x2-(m2-7)x+m=0的两根之和为2,则m=.三、解答题7.已知x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根,求下列代数式的值.(1)+;(2)+;(3)(x1-1)(x2-1).8.(2017江苏无锡宜兴期中)已知关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+1=0.(1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围;(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线的长.*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1.答案C假设方程有两实根x1,x2,则x1+x2=6,x1·x2=10,此时选项A、B都正确,与一个正确答案矛盾;又知Δ=(-6)2-4×10=-4<0,∴该方程无实数根,故选C.2.答案A由根与系数的关系得α+β=3-2m,αβ=m2,∵+=1,∴=1,∴-=1,∴m2+2m-3=0,(m+3)(m-1)=0,∴m=-3或m=1.把m=-3代入方程得x2-9x+9=0,Δ=(-9)2-4×1×9>0,此时方程有两个不相等的实数根;把m=1代入方程得x2-x+1=0,Δ=(-1)2-4×1×1<0,此时方程无解,∴m=1舍去.故选A.3.答案C选项A,∵Δ=12-4×3×(-1)=13>0,∴该方程有两个不相等的实数根,易知两根之和为-,选项A不符合题意;选项B,∵Δ=(-1)2-4×1×2=-7<0,∴该方程没有实数根,选项B不符合题意;选项C,∵Δ=(-5)2-4×3×1=13>0,∴该方程有两个不相等的实数根,易知两根之和为,选项C符合题意;选项D,∵Δ=02-4×2×(-5)=40>0,∴该方程有两个不相等的实数根,易知两根之和为0,选项D不符合题意.故选C.4.答案C∵m,n是方程x2+2x-1=0的两根,∴m+n=-2,mn=-1,∴-=-=---=3.故选C.二、填空题5.答案解析∵x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根,x1+x2=-2,x1·x2=1,∴x1+x2=-a=-2,x1·x2=-2b=1,解得a=2,b=-,∴b a=-=.6.答案-3解析∵一元二次方程x2-(m2-7)x+m=0的两根之和为2,∴m2-7=2,解得m=3或m=-3.当m=3时,方程为x2-2x+3=0,此时Δ=(-2)2-4×1×3=-8<0,则方程无实数根,不合题意;当m=-3时,方程为x2-2x-3=0,此时Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0,则方程有两个不相等的实数根.综上,m=-3.三、解答题7.解析∵x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根,∴x1+x2=-4,x1x2=2.(1)+==-=-2.(2)+=(x1+x2)2-2x1x2=16-4=12.(3)(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=2-(-4)+1=7.8.解析(1)∵方程x2-(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根,∴Δ=[-(2k+1)]2-4×1×(k2+1)=4k-3>0,∴k>.(2)当k=2时,原方程为x2-5x+5=0,设方程的两根为m、n,∴m+n=5,mn=5,∴-=,即该矩形的对角线的长为。

人教版九年级数学上册 21.2.4一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系【基础知识精讲】1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根，则12b x x a+=-，a c x x =•21 2．设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根，则：0,0)1(21>>x x 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=•>-=+002121a c x x a b x x 0,0)2(21<<x x 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=•<-=+002121a c x x a b x x0,0)3(21<>x x 时，有021<=•acx x3．以两个数21x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：212120x (x x )x x x -++= 【例题巧解点拨】1．探索韦达定理例1：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，求21x x +， 21x x •的值。

例2.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m-1）x+m 2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m 的取值范围；（2）当x 12-x 22=0时，求m 的值．2．已知一个根，求另一个根.例3.已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。

3．求根的代数式的值例4：设x 1，x 2是方程x 2-3x ＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1) x 13 x 24+ x 14 x 23；2112)2(x x x x +4．求作新的二次方程例4：1．以2，－3为根的一元二次方程是_________________________.2．已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分别为a ，b ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是：a+1、b+1 5．由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。

人教版九年级上册数学同步练习21.2.4 一元二次方程根与系数的关系

人教版九年级上册数学同步练习21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
◆要点归纳一元二次方程的根与系数的关系：结论1：如果ax 2
+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1+ x 2＝－b a ,x 1 x 2＝c
a
如果把ax 2
+bx+c=0（a ≠0）变形为x 2
+ b a x+ c
a
＝0，我
们就可把它写成x 2
+px+q=0的形式，从而得出结论2：如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2=q ．
◆典型例题已知方程2x 2＋kx-4＝0的根是-4，求它的另一根及k 的值．
◆同步练习 1.已知关于x 的方程x 2-kx-6=0的一个根为x=3,则实数k 的值为____.
2.
如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为x 1=2,x 2=1,那么p,q 的值分别是_____
3.
若方程x 2
+(m 2
-1)x+m=0的两根互为相反数,则
m= .
4. 已知一元二次方程x 2-3x-1
=0的两个根分别是
x 1 ,x 2 ,
则2
2
12
21x x x
x +的值为 .
5. 设x 1
,x 2
是方程x 2
-3x-3=0的两个实数根,则2
1
1
2
x x x
x
+
的值为 .。

数学人教版九年级上册21.2.4 根与系数的关系同步训练(解析版)

数学人教版九年级上册21一、选择题1. ( 2分) 关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为﹣2，那么另一个根是〔〕A. ﹣6B. ﹣3C. 3D. 62. ( 2分) 设x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，那么x1+x2的值是〔〕A. 2B. ﹣2C.D. ﹣3. ( 2分) 假设关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根区分为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是〔〕A. x2+3x+4=0B. x2﹣4x+3=0C. x2+4x﹣3=0D. x2+3x﹣4=0α、为方程的两个实数根，那么的值为〔〕4. ( 2分) 假定βA. B. 12 C. 14 D. 155. ( 2分) α，β是关于x的一元二次方程x2+ (2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实数根，且满足= -1，那么m的值是〔〕.A. 3或-1B. 3C. -1D. -3 或16. ( 2分) 关于x的方程的两根互为相反数，那么k的值是〔〕A. 2B. ±2C. -2D. -37. ( 2分) x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1=0的两根，且x1x2=﹣3，那么k的值为〔〕A. 1B. 2C. 3D. 48. ( 2分) α，β是方程x2+2021x+1=0的两个根，那么〔1+2021α+α2〕〔1+2021β+β2〕的值为〔〕．A. 1B. 2C. 3D. 49. ( 2分) 定义：假设一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为〝谐和〞方程；假设一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为〝美妙〞方程，假设一个一元二次方程既是〝谐和〞方程又是〝美妙〞方程，那么以下结论正确的选项是〔〕A. 方有两个相等的实数根 B. 方程有一根等于0 C. 方程两根之和等于0 D. 方程两根之积等于010. ( 2分) a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，m≠n，那么〔m﹣1〕2+〔n﹣1〕2的最小值是〔〕A. 6B. 3C. ﹣3D. 0二、填空题11. ( 1分) 关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，且该方程与x2+mx﹣1=0有一个相反的根．当k为契合条件的最大整数时，m的值为________．12. ( 1分) 方程x2－mx－3m＝0的两根是x1、x2，假定x1＋x2＝1，那么x1x2＝________．13. ( 1分) 关于x的一元二次方程有两个实数根和．假定时，那么m= ________ ．14. ( 1分) 当关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为〝倍根方程〞. 假设关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0是〝倍根方程〞，那么m的值为________.15. ( 1分) 我们知道假定关于x的一元二次方程有一根是1，那么a+b+c=0，那么假设，那么方程有一根为________16. ( 1分) 假定关于x的一元二次方程的两个不等实数根区分为，且，那么的值为________.三、解答题17. ( 10分) 设x1、x2是一元二次方程2x2﹣7x+5=0的两根，应用一元二次方程根与系数的关系，求以下各式的值．〔1〕x12x2+x1x22；〔2〕〔x1﹣x2〕218. ( 10分) 关于x的方程x2﹣2〔m+1〕x+m2﹣3=0．〔1〕当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？〔2〕设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，务实数m的值．19. ( 10分) 关于x的方程x2﹣〔m+3〕x+ =0.〔1〕假定方程有实根，务实数m的取值范围．〔2〕假定方程两实根区分为x1、x2且满足x12+x22=|x1x2|+ ，务实数m的值．20. ( 10分) x1，x2是一元二次方程〔a﹣6〕x2+2ax+a=0的两个实数根．〔1〕能否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？假定存在，求出a的值；假定不存在，请你说明理由；〔2〕求使〔x1+1〕〔x2+1〕为正整数的实数a的整数值．21. ( 10分)〔1〕解方程：；〔2〕关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c区分为△ABC三边的长．①假设x＝－1是方程的根，试判别△ABC的外形，并说明理由；②假设方程有两个相等的实数根，试判别△ABC的外形，并说明理由；③假设△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．22. ( 15分) 关于x的方程x2﹣〔m+n+1〕x+m〔n≥0〕的两个实数根为α、β，且α≤β．〔1〕试用含α、β的代数式表示m和n；〔2〕求证：α≤1≤β；〔3〕假定点P〔α，β〕在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标区分为A〔1，2〕、B〔，1〕、C〔1，1〕，问能否存在点P，使m+n= ？假定存在，求出点P的坐标；假定不存在，请说明理由．答案解析局部一、选择题1.【答案】B【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解：设方程的另一个根为n，那么有﹣2+n=﹣5，解得：n=﹣3．故答案为：B．【剖析】依据一元二次方程根与系数之间的关系，由两根之和等于-即可得出答案。

人教版数学九年级上册学案21.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》(含答案)

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（第一课时）导学探究：阅读教材，回答下列问题：1、回忆：一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)的求根公式是_____________.由求根公式可知, 一元二次方程的根的大小由系数a、b、c决定。

2.(1)方程（x-x1）(x-x2)= 0 与方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0是同一个方程吗？_____(答“是”或“否”)。

(2)方程（x-x1）(x-x2)= 0的两个根据是_________________.方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0的两个根是_____________________(3)方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0的二次三项式系数为______, 一次项系数p=______, 常数项q=_____,反之，方程x2+px +q =0 两根x1x2的和、积分别与系数的关系是x1+ x2=______, x1x2=_______.3、一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)的两根为x1=__________,x2 =___________.(1) 计算x1+ x2和 x1x2的值。

（2）请你根据（1）的结果，试着用文字表述这一结论。

归纳梳理1、若一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)的两根为x1，x2，它们与系数a、b、c的关系是x1+ x2=________, x1x2=__________.一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程有实数根，那么两根的和等于_______________,两根的积等于____________________.2、运用一元二次方程根与系数的关系的前提条件是方程有实数根，即△______0.典例探究1．不解方程求两个根之和与积【例1】不解方程，求方程3x2+2=1﹣4x两根的和与积．总结：在使用根与系数的关系时，应注意：不是一般式的要先化成一般式；2．已知一元二次方程的两根求系数【例2】关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根是0和﹣3，求p和q的值．总结：对于含有字母系数的一元二次方程，已知两根的值求字母系数的值，通常根据一元二次方程根与系数的关系求解，并用根的判别式进行检验．此方法要比直接将根代入求系数方便快捷得多．练2．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．23．已知一元二次方程的一个根求另一个根【例3】已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为．总结：已知含字母系数的一元二次方程的一根求另一根，一般有两种方法：把已知根代入方程，求得字母的值，解一元二次方程求出另一根；（2）根据方程系数中的已知数，利用根与系数的关系，选用两根之和或两根之积，直接求另一根．4．根据一元二次方程的系数判断两根的正负【例4】方程2x2+3x﹣5=0的两根的符号（）A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．两根都为负总结：不解方程判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定；首先计算判别式，看是大于0还是等于0，如果是等于0，则两根相等，同号；练4．方程ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的两个根的符号为（）A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定21.2.4 一元二次方程根与系数的关系(第二课时)导学探究1．一元二次方程的一般形式是_______________.2. 一元二次方程的求根公式是______________________.3. 判别式与一元二次方程根的情况：4. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2与系数a,b,c的关系是什么？典例探究1．已知一元二次方程两根的关系求参数或参数的范围总结：已知一元二次方程两根x1，x2的不等关系求原方程中的字母参数时，一般考虑韦达定理和根的判别式，尤其是根的判别式不要忘记，这是保证方程有根的基本条件.练1．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0的两个实数根，且x1，x2满足x1•x2﹣x12﹣x22≥0，求k的取值范围.【例2】已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0（1）当m取何值时，方程有两个实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1﹣x2）2﹣x1x2=26，求m的值．总结：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况与判别式△的关系如下：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．课堂小练一、选择题1.已知关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是( )A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1 2.若关于x的一元二次方程(k﹣2)x2﹣2kx+k=6有实数根，则k的取值范围为( )A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠23.一元二次方程 x2﹣3x+5=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4.下列一元二次方程没有实数根的是( )A.x2＋2x＋1=0B.x2＋x＋2=0C.x2－1=0D.x2－2x－1=05.已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根是2，则另一个根是( )A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣36.若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．1 B．5 C．﹣5 D．67.若x、x2是方程x2+3x﹣5=0的两个根，则x1•x2的值为（）1A．﹣3 B．﹣5 C．3 D．58.设方程x2﹣5x﹣1=0的两个根是x和x2，则x1+x2﹣x1x2的值是（）1A.﹣6B.6C.﹣4D.4二、填空题9.方程x2﹣(k+1)x+k+2=0有两个相等的实数根.则k= .10.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+3=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．11.如果方程kx2+2x+1=0有实数根，则实数k的取值范围是 .12.已知x和x2分别为方程x2+x﹣2=0的两个实数根，那么x1+x2= ；x1•x2= ．113.若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x=﹣1，x2=2，则b+c的值1是．三、解答题14.若﹣2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，求方程的另一个根和k的值．15.已知关于x的方程x2+x+n=0(1)若方程有两个不相等的实数根，求n 的取值范围(2)若方程的两个实数根分别为﹣2，m，求m，n的值.参考答案16.答案为：D17.答案为：D.18.D19.B20.答案为：A21.B22.答案为：B23.B24.答案是：7或﹣1.25.答案为：k．26.答案为：k≤1.27.答案为：﹣1；﹣2．28.答案为：﹣3．29.解：设方程的另一个根为x，2根据题意，得：，解得：，∴方程的另一个根位5，k的值为﹣10．30.解：(1)∵方程x2+x+n=0有两个不相等的实数根，∴△=12﹣4n＞0，解得：n＜0.25.(2)由题意，得：m+(﹣2)=﹣1，∴m=1.又∵﹣2m=n，∴n=﹣2.。

人教版九年级数学上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题(含答案,教师版)

人教版九年级数学上册第21 章*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题一、选择题1．一元二次方程x2－2x＋b＝0的两根分别为x1和x2，则x1＋x2为(C)A．－2 B．b C．2 D．－b2．若一元二次方程x2－4x－3＝0的两根是m，n，则下列说法正确的是(D) A．m＋n＝－4，mn＝3 B．m＋n＝－4，mn＝－3C．m＋n＝4，mn＝3 D．m＋n＝4，mn＝－33．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两根，且x1x2＝－3，则k的值为(B) A．1 B．2 C．3 D．44．已知一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根分别为2和3，则b，c的值分别为(D) A．5，6 B．－5，－6 C．5，－6 D．－5，65.若关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为(A)A．m＝－2 B．m＝3 C．m＝3或m＝－2 D．m＝－3或m＝26．若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一个解为x＝－1，则另一个解为(C) A．1 B．－3 C．3 D．47．若一元二次方程x2－7x＋5＝0的两个实数根分别是a，b，则一次函数y＝abx＋a＋b的图象一定不经过(D)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个根为x1，x2，则x21＋3x2＋x1x2－2的值是(D) A．10 B．9 C．8 D．7二、填空题9．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：(1)4x 2＋1＝7x ，x 1＋x 2＝74，x 1x 2＝14； (2)3x 2－1＝0，x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－13． 10．设x 1，x 2是一元二次方程x 2－x －1＝0的两根，则x 1＋x 2＋x 1x 2＝0．11．若关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是m ＞12． 12.已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m ＋m n 的值是452或2． 13．已知关于x 的方程x 2－(2k 2－3)x ＋k ＋7＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且x 1＝5－x 2，则k 的值为－2．三、解答题14．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 21＋x 22； (2)1x 1＋1x 2. 解：(1)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝32－2×(－1)＝11. (2)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3. 15．若关于x 的方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0的两个根互为倒数，求a 的值．解：因为方程的两根互为倒数，所以两根的积为1．由根与系数的关系，得a 2＝1．解得a ＝±1．当a ＝1时，原方程化为x 2＋1＝0，根的判别式Δ<0，此方程没有实数根，所以舍去a ＝1．所以a ＝－1．16．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)若a 为正整数，求a 的值；(2)若x 1，x 2满足x 21＋x 22－x 1x 2＝16，求a 的值．解：(1)由题意，得Δ＝[－2(a －1)]2－4(a 2－a －2)＞0，解得a ＜3.∵a 为正整数，∴a ＝1或2.(2)∵x 21＋x 22－x 1x 2＝16，∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝16.∵x 1＋x 2＝2(a －1)，x 1x 2＝a 2－a －2，∴[2(a －1)]2－3(a 2－a －2)＝16.解得a 1＝－1，a 2＝6.∵a ＜3，∴a ＝－1.17．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0有两个实数根α，β.(1)求m 的取值范围；(2)若1α＋1β＝－1，求m 的值．解：(1)由题意知，(2m ＋3)2－4×1×m 2≥0，解得m ≥－34. (2)由根与系数的关系，得α＋β＝－(2m ＋3)，αβ＝m 2.∵1α＋1β＝－1，∴α＋βαβ＝－1. ∴－（2m ＋3）m 2＝－1.变形得m 2－2m －3＝0，解得m 1＝－1，m 2＝3.经检验，m 1＝－1和m 2＝3是原分式方程的解．由(1)知m ≥－34，∴m 1＝－1应舍去． ∴m 的值为3.18．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两个实数根．(1)若(x 1－1)(x 2－1)＝19，求m 的值；(2)已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．解：(1)根据题意，得x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋5. (x 1－1)(x 2－1)＝19整理，得x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝19.把x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋5代入x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝19，得 m 2＋5－2(m ＋1)＋1＝19.整理，得m 2－2m －15＝0.解得m 1＝－3，m 2＝5.∵由Δ＝4(m ＋1)2－4(m 2＋5)≥0，得m ≥2，∴m 1＝－3不合题意，应舍去．∴m 的值为5.(2)若等腰△ABC 的腰长为7，把x ＝7代入方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0，得 49－14(m ＋1)＋m 2＋5＝0，解得m 1＝4，m 2＝10.若m＝4，则原方程为x2－10x＋21＝0，解得x1＝7，x2＝3.△ABC三边为7，7，3(符合题意)．若m＝10，则原方程为x2－22x＋105＝0，解得x1＝7，x2＝15.△ABC三边为7，7，15(不合题意，舍去)．若等腰△ABC的底边长为7，则Δ＝[－2(m＋1)]2－4(m2＋5)＝8m－16＝0，解得m＝2.原方程为x2－6x＋9＝0.解得x1＝x2＝3.△ABC三边为3，3，7(不合题意，舍去)．综上可知：△ABC三边为7，7，3，周长为7＋7＋3＝17，即这个三角形的周长为17.。

人教版数学九年级上册教案21.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》

人教版数学九年级上册教案21.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》一. 教材分析《一元二次方程的根与系数的关系》是人教版数学九年级上册第21.2章的一部分。

这部分内容是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的定义和根的判别式的基础上进行学习的。

通过这部分内容的学习，学生将能够理解一元二次方程的根与系数之间的关系，并能够运用这一关系来解决问题。

二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经具备了一定的数学基础，能够理解和运用方程的解法、一元二次方程的定义和根的判别式。

但是，对于一些学生来说，可能对于根与系数之间的关系还有一定的困惑，需要通过实例和练习来加深理解。

三. 教学目标1.理解一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.能够运用根与系数之间的关系来解决问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.教学难点：理解和运用根与系数之间的关系来解决问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过问题引导学生的思考，通过案例让学生理解和运用根与系数之间的关系，通过小组合作学习法培养学生的合作和沟通能力。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.相关案例和练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引导学生思考一元二次方程的根与系数之间的关系。

例如，设计一个问题：一个农夫有一块土地，他想要种植两种作物，一种需要阳光充足，另一种需要阴凉的环境。

如果土地的一边是阳光充足的地方，另一边是阴凉的地方，那么如何分配这两种作物的种植区域呢？2.呈现（15分钟）通过PPT课件呈现一元二次方程的根与系数之间的关系。

解释根的判别式、根与系数之间的关系，并通过示例来说明。

3.操练（10分钟）让学生分组合作，解决一些实际问题，运用根与系数之间的关系来解决问题。

例如，设计一些关于土地分配、投资收益等问题，让学生分组讨论和解决。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题来巩固学生对一元二次方程的根与系数之间的关系的理解。

人教版九年级数学上册同步练习 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系(含答案)

一元二次方程的根与系数的关一、选择题1．[一元二次方程x 2－2x ＝0的两根分别为x 1和x 2，则x 1x 2的值为( )A ．－2B ．1C ．2D ．02．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有一个解为x ＝－1，则另一个解为 ( )A ．1B ．－3C ．3D ．43．若α，β是一元二次方程3x 2＋2x －9＝0的两个根，则βα＋αβ的值是 ( ) A.427 B ．－427 C ．－5827 D.58274．已知一元二次方程2x 2＋2x －1＝0的两个根分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2，下列结论正确的是( )A ．x 1＋x 2＝1B ．x 1·x 2＝－1C ．|x 1|＜|x 2|D ．x 12＋x 1＝125．若关于x 的方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或26．若关于x 的方程x 2－(m 2－4)x ＋m ＝0的两个根互为相反数，则m 等于( )A ．－2B ．2C ．±2D ．4二、填空题7．若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则x 1＋x 2＋x 1x 2＝________．8．写出以3，－5为根且二次项系数为1的关于x 的一元二次方程是____________________．9．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－mx －6＝0的两个根，且x 1<x 2，x 1＋x 2＝1，则x 1＝________，x 2＝________．10．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，则12x 1＋1＋12x 2＋1的值是________.11．一元二次方程x 2－4x ＋2＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 12－4x 1＋2x 1x 2的值为________．12．若关于x 的方程x 2－(2m －1)x ＋m 2－1＝0的两实数根分别为x 1，x 2，且x 12＋x 22＝3，则m ＝________．三、解答题13．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0的两个实数根x1，x2满足x1x2＋x1＋x2＞0，求a的取值范围.14．已知关于x的一元二次方程x2－(2m－2)x＋(m2－2m)＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝10，求m的值．15．已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝p(p＋1)．(1)求证：无论p取何值，此方程总有两个实数根；(2)若原方程的两个根x1，x2满足x12＋x22－x1x2＝3p2＋1，求p的值．16．关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程的两个实数根x1，x2满足|x1|＋|x2|＝x1x2，求k的值．17．若关于x 的一元二次方程x 2＋(k ＋3)x ＋k ＝0的一个根是－2，求k 的值与方程的另一个根．18．已知关于x 的方程x 2＋2x －k ＝0有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若α，β是这个方程的两个实数根，求α1＋α＋β1＋β的值．18 已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋4k －3＝0.(1)求证：无论k 取什么实数，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当Rt △ABC 的斜边长a ＝31，且两条直角边长b 和c 恰好是这个方程的两个根时，求△ABC 的周长．答案1．D.2．C.3．C.4．D.5．C.6．A.7．－3.8．x2＋2x－15＝09．x1＝－2，x2＝3.10．6.11．2.12．[0.13．解：∵该一元二次方程有两个实数根，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×a＝4－4a≥0，解得a≤1.由韦达定理可得x1x2＝a，x1＋x2＝2.∵x1x2＋x1＋x2＞0，∴a＋2＞0，解得a＞－2，∴－2＜a≤1.14．解：(1)证明：∵b2－4ac＝[－(2m－2)]2－4(m2－2m)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵x1＋x2＝2m－2，x1x2＝m2－2m，x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝10，∴(2m－2)2－2(m2－2m)＝10，∴m2－2m－3＝0，∴m＝－1或m＝3.15．解：(1)证明：原方程可变形为x2－5x＋6－p2－p＝0.∵b 2－4ac ＝(－5)2－4(6－p 2－p)＝25－24＋4p 2＋4p ＝4p 2＋4p ＋1＝(2p ＋1)2≥0， ∴无论p 取何值，此方程总有两个实数根．(2)∵原方程的两个根分别为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝6－p 2－p.又∵x 12＋x 22－x 1x 2＝3p 2＋1，∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝3p 2＋1，∴52－3(6－p 2－p)＝3p 2＋1，∴25－18＋3p 2＋3p ＝3p 2＋1，∴3p ＝－6，∴p ＝－2.16．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＝(2k ＋1)2－4(k 2＋1)＝4k 2＋4k ＋1－4k 2－4＝4k －3＞0，解得k ＞34. (2)∵k ＞34，∴x 1＋x 2＝－(2k ＋1)＜0. 又∵x 1x 2＝k 2＋1＞0，∴x 1＜0，x 2＜0，∴|x 1|＋|x 2|＝－x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)＝2k ＋1.∵|x 1|＋|x 2|＝x 1x 2，∴2k ＋1＝k 2＋1，解得k 1＝0，k 2＝2.又∵k ＞34，∴k ＝2. 17．解：将x ＝－2代入原方程中，得4－2(k ＋3)＋k ＝0，解得k ＝－2.∵两根之积为k ，∴方程的另一个根为k －2＝－2－2＝1. 即k 的值为－2，方程的另一个根为1.18．解：(1)b 2－4ac ＝4＋4k.∵方程有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＞0，即4＋4k ＞0，∴k ＞－1.(2)由根与系数的关系可知α＋β＝－2，αβ＝－k ，∴α1＋α＋β1＋β＝α（1＋β）＋β（1＋α）（1＋α）（1＋β）＝α＋β＋2αβ1＋α＋β＋αβ＝－2－2k 1－2－k＝2. 17 解：(1)证明：∵b 2－4ac ＝[－(2k ＋1)]2－4(4k －3)＝4k 2－12k ＋13＝4(k －32)2＋4＞0恒成立， ∴无论k 取什么实数，该方程总有两个不相等的实数根．(2)根据勾股定理，得b 2＋c 2＝a 2＝31.∵两条直角边长b 和c 恰好是这个方程的两个根，∴b ＋c ＝2k ＋1，bc ＝4k －3.∵(b ＋c)2－2bc ＝b 2＋c 2＝31，∴(2k ＋1)2－2(4k －3)＝31，整理，得4k 2＋4k ＋1－8k ＋6－31＝0，即k 2－k －6＝0，解得k 1＝3，k 2＝－2(舍去)．∵b ＋c ＝2k ＋1＝7，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝31＋7.。

人教版九年级数学上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系同步测试及答案-最佳新修版

一元二次方程的根与系数的关系1已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x ＝0的两根，则x 1＋x 2的值是( B )A ．0B ．2C ．－2D ．42．[2013·湘潭]一元二次方程x 2＋x －2＝0的解为x 1，x 2，则x 1·x 2＝( D )A ．1B ．－1C ．2D ．－23．[2013·包头]已知方程x 2－2x －1＝0，则此方程( C )A ．无实数根B ．两根之和为－2C ．两根之积为－1D ．有一根为－1＋ 2 4．已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根为( C ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．85．已知方程x 2－5x ＋2＝0的两个解分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1x 2的值为( D )A ．－7B ．－3C ．7D ．3【解析】由根与系数的关系得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝2，所以x 1＋x 2－x 1x 2＝5－2＝3.6．[2012·攀枝花]已知一元二次方程x 2－3x －1＝0的两个根分别是x 1，x 2，则x 12x 2＋x 1x 22的值为( A )A ．－3B ．3C ．－6D ．6【解析】 ∵一元二次方程x 2－3x －1＝0的两个根分别是x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－1，∴x 12x 2＋x 1x 22＝x 1x 2(x 1＋x 2)＝－1×3＝－3.7．设x 1，x 2是方程x 2＋3x －3＝0的两个实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为( B ) A ．5 B ．－5C ．1D ．－18．若x 1，x 2是方程x 2＋x －1＝0的两个根，则x 12＋x 22＝__3__．【解析】由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－1，所以x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－1)2－2×(－1)＝3.9．已知m 和n 是方程2x 2－5x －3＝0的两根，则1m ＋1n ＝__－53__．【解析】 ∵m 和n 是方程2x 2－5x －3＝0的两根，∴m ＋n ＝－－52＝52，mn ＝－32，∴1m ＋1n ＝m ＋n mn ＝52－32＝－53. 10．已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，试求下列代数式的值：(1)x 12＋x 22；(2)x 2x 1＋x 1x 2； (3)(x 1＋1)(x 2＋1)．解：由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6，x 1x 2＝3.(1)x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－6)2－2×3＝36－6＝30；(2)x 2x 1＋x 1x 2＝x 22＋x 12x 1x 2＝303＝10； (3)(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝3－6＋1＝－2.11．已知2－5是关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根，求方程的另一个根．解：设方程的另一个根为x 1，由x 1＋2－5＝4，得x 1＝2＋ 5.12．已知关于x 的方程x 2－mx －3＝0的两实数根为x 1，x 2，若x 1＋x 2＝2，求x 1，x 2的值．解： ∵x 1＋x 2＝2，∴m ＝2.∴原方程为x 2－2x －3＝0，即(x －3)(x ＋1)＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1或x 1＝－1，x 2＝3.13．关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 12＋x 22＝7，则(x 1－x 2)2的值是( C )A ．1B ．12C ．13D ．25【解析】由根与系数的关系知：x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m －1，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝m 2－2(2m －1)＝m 2－4m ＋2，∴m 2－4m ＋2＝7，∴m 2－4m －5＝0，解得m ＝5或m ＝－1.当m ＝5时，原方程为x 2－5x ＋9＝0，Δ＝(－5)2－4×1×9＝25－36＝－11<0，此时方程无实根．当m ＝－1时，原方程为x 2＋x －3＝0，方程有实根，∴当m ＝－1时，x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－3，∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－1)2－4×(－3)＝1＋12＝13，故选C.14．设a ，b 是方程x 2＋x －2 012＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为( A )A ．2 011B ．2 012C ．2 013D ．2 014【解析】 ∵a 是方程x 2＋x －2 012＝0的根，∴a 2＋a －2 012＝0，∴a 2＋a ＝2 012.又由根与系数的关系得a ＋b ＝－1，∴a 2＋2a ＋b ＝a 2＋a ＋(a ＋b )＝2 012－1＝2 011，故选A.15．已知m ，n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根，则代数式m 2＋n 2＋3mn 的值为( C )A ．9B ．4C ．3D ．516．已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋6＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＋x 2＝－2，则m ＝__－2__．【解析】 ∵x 1＋x 2＝－－4m ＝4m ，∴－2＝4m，∴m ＝－2. 17．设α，β是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝__4__．【解析】因为α，β是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则α2＋3α－7＝0，α＋β＝－3，α2＋4α＋β＝α2＋3α＋α＋β＝4.18．关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2.(1)求m 的取值范围；(2)若2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋10＝0，求m 的值．解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝9－4(m －1)≥0，解得m ≤134. (2)由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝m －1，∴2×(－3)＋(m －1)＋10＝0，解得m ＝－3，符合题意．19．已知：关于x 的方程kx 2－(3k －1)x ＋2(k －1)＝0.(1)求证：无论k 为何实数，方程总有实数根；(2)若此方程有两个实数根x 1，x 2，且│x 1－x 2│＝2，求k 的值．解：(1)证明：Δ＝[－(3k －1)]2－4k ·2(k －1)＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2≥0，所以无论k 为何实数，方程总有实数根；(2)由根与系数关系，得x 1＋x 2＝3k －1k ，x 1x 2＝2（k －1）k， ∵│x 1－x 2│＝2，∴(x 1－x 2)2＝4，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4，故(3k －1k )2－8（k －1）k＝4，整理，得3k 2－2k －1＝0. 解得k 1＝1，k 2＝－13. 经检验，k 1＝1，k 2＝－13都是原分式方程的解，1∴k1＝1，k2＝－3.。