21.2二次根式的加减(1)(新授课非概念课)
21.3 二次根式的加减(1)
二次根式的加减（一）教材依据人教版义务教育课程标准实验教科书«数学»九上教学设计说明本节课是二次根式的加减的第一节课，它是在二次根式乘除的基础上的进一步学习。
通过这节课的学习，学生将掌握二次根式的加减法的运算法则，并发现二次根式的加减法的实质就是合并被开方数相同的二次根式，这正如整式加减法的实质就是合并同类项一样。
在本节课的活动中，先通过对实际问题的解决来引入二次根式的加减运算，再由学生自主讨论并总结二次根式的加减法的运算法则。
继而通过类比整式加减法，使学生理解当化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并。
最后通过练习，使学生熟练掌握运算法则。
教学目标知识与能力：1。
会进行二次根式的加减法的运算。
2。
通过加减法的运算解决生活实际问题。
过程与方法：1。
学生经历由实际问题引入数学问题的过程，发展学生的抽象概括能力。
2。
引导学生经历观察-类比-总结这一探究过程，发展学生的归纳概括能力。
情感与价值观：学生经历探究、观察、类比、归纳、应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。
教学重点合并被开方数相同的二次根式教学难点二次根式的加减法的实际应用教学准备有关课件的制作，教例选择，教法研讨。
教学方法启发引导 、合作探究教学过程[活动1] 复习引入学生活动：计算下列各式．（1）2x+3x ； （2）2x 2-3x 2+5x 2； （3）x+2x+3y ； （4）3a 2-2a 2+a 3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．[活动2]创设情景，提出问题现有一块长75×dm ，宽5dm 的木板，能否采用如教科书图21。
3-1所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是82dm 和182dm 的正方形木板？ 学生分组讨论，探究方案。
教师倾听学生交流，引导探究。
学生在小组讨论的基础上总结计算过程：二次根式的加减，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式的加减法课件
02 二次根式的化简
合并同类二次根式
合并同类二次根式的方法是将具有相同底数的二次根式进行合并，将其系数相加减。 合并同类二次根式时，需要注意根式下的表达式是否相同，以确保合并的正确性。
合并同类二次根式可以简化表达式，使其更易于计算和理解。
二次根式的系数化 简
二次根式的系数化简是指将二次 根式前的系数进行简化，使其更
在日常生活中的应用
二次根式在解决几何问题时经常出现， 如计算图形的面积、周长等。
在解决实际问题时，如计算平均数、 标准差等，也需要用到二次根式的加 减法。
在物理学中的应用
在解决物理问题时，如计算力的合成 与分解、加速度等，也需要用到二次 根式的加减法。
04 二次根式的混合 运算
二次根式与有理数的混合运算
容易进行计算。
化简二次根式的系数时，可以通 过因式分解、提取公因数等方法
进行简化。
化简后的二次根式更易于计算， 也可以更好地理解其数学意义。
二次根式的分母化 简
二次根式的分母化简是指将二 次根式中的分母进行简化，使 其更容易进行计算。
化简二次根式的分母时，需要 注意分母不能为零，并且要确 保化简后的分母有意义。
二次根式的加减法课件
目录
• 二次根式的加减法概述 • 二次根式的化简 • 二次根式的加减运算 • 二次根式的混合运算 • 习题与解答
01 二次根式的加减 法概述
二次根式的定义与性质
总结词
理解二次根式的定义和性质是进行加减法运算的基础。
详细描述
二次根式是指形如√a（a≥0）的数学表达式，其中“√”表示平方根运算。二次根式具有非负性，即被开方数必 须是非负数。此外，二次根式还具有非负数的性质，即当a≥0时，√a≥0。
课题：二次根式的加减(1)
第7课时课题：二次根式的加减（1）教学目标:(1)使学生了解同类二次根式的概念, 掌握判断同类二次根式的方法；.(2)使学生能正确合并同类二次根式,进行二次根式的加减运算.教学重点：同类二次根式的概念及掌握合并同类二次根式的方法教学难点：同类二次根式的概念教学方法：讨论法教学过程：一、情境创设1．(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两列火车共运多少？(2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两列火车共运多少？2．以下问题你能用同样的方法计算吗？()24231+()252+()241883++二、探索活动。
1．运用以前所学知识进行总结：如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算；2．下列2组二次根式，每组二次根式的被开方数相同吗？可以相加吗？3．经过化简，这组的各个根式被开方数相同吗？那么原来这组数据可以相加吗？4．讨论：要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？5．(1)说出52的三个同类二次根式;(2)试举出一组同类二次根式.6．怎样合并同类二次根式？7．上面引例中第（3）小题该怎样计算？注意:不是同类二次根式的二次根式(如2与3不能合并)三、例题教学1．计算：（指名板演，然后集体批改评讲）2．例2四、练习： Ｐ70 练习 1、2、3补充：1.（ ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④2. 如果最简根式b-a 3b 和2b-a+2 是同类根式，那么a=_____,b =______.五、小结1.同类二次根式的定义;2.二次根式加减运算的步骤;3.如何合并同类二次根式,合并同类二次根式与合并同类项类似;六、作业Ｐ72教后感：。
《二次根式的加减》新授课课件
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效上好每节课·快乐上好每天学
高效学习 模型
高效学习模型-学习的 完整过程
方向
资料
筛选
认知
高效上好每节课·快乐上好每天学
高效学习模型-学习的 完整过程
消化
固化
模式
拓展
高效上好每节课·快乐上好每天学
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
超级记 忆法
高效上好每节课·快乐上好每天学
超级记忆法-记 忆规律
记忆前
选择记忆的黄金时段 前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息 后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
高效上好每节课·快乐上好每天学
超级记忆法-记 忆规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
反三
高效上好每节课·快乐上好每天学
什么是学习力
-含义
学习知识的能 力
（学习新知识
速度、质量等
）
管理知识的能 力 （利用现有知
识 解决问题
）
长久坚持的能 力
（自律性等）
高效上好每节课·快乐上好每天学
什么是学习力-常见错误
学习方式
案例
式学
习
顺序 式学
冲刺 式学
习
习
高效上好每节课·快乐上好每天学
记忆呢？
《二次根式的加减》课件
VS
详细描述
在进行二次根式的加减运算时，有时需要 对二次根式进行合并或简化。学生在合并 或简化过程中，容易出错，导致计算结果 错误。例如，将$sqrt{5} + sqrt{2}$错误 地合并为$sqrt{7}$，或将$sqrt{4} sqrt{9}$错误地简化为$3 - 2$。
PART 05
练习与巩固
2023 WORK SUMMARY
《二次根式的加减》 ppt课件
REPORTING
目录
• 二次根式的加减概述 • 二次根式的加减运算方法 • 二次根式的加减运算实例 • 二次根式的加减易错点解析 • 练习与巩固
PART 01
二次根式的加减概述
二次根式的加减定义
定义
二次根式的加减运算是指将具有 相同被开方数的二次根式进行合 并或分离的过程。
计算
$(sqrt{5} + 2sqrt{2})(sqrt{5} 2sqrt{2})$
计算
$(sqrt{3} + sqrt{2})^{2}$
计算
$(sqrt{5} - sqrt{3})^{2}$
综合练习题
解方程
$3sqrt{2}x = 4sqrt{3}x$
解方程
$(sqrt{3} + sqrt{2})x = 5$
THANKS
感谢观看
REPORTING
解方程
$(sqrt{5} - sqrt{3})x^{2} - (sqrt{5} + sqrt{3})x = 0$
解方程组
${begin{array}{l}sqrt{2}x - sqrt{6}y = 4 sqrt{3}x + sqrt{5}y = 7 end{array}$
初中数学教学课例《二次根式的加减(第1课时)》课程思政核心素养教学设计及总结反思
学科
初中数学
教学课例名
《二次根式的加减(第 1 课时)》
称
教材分析：本节是在上节学习的化简二次根式的基
础上，进一步学习二次根式的加减。在化简二次根式的
同时，引导学生概括出同类二次根式的概念。类比整式 教材分析
的加减运算中的合并同类项，给出二次根式的加减运算
误，即使纠正，加深学生对本节知识的印象。
学生学习能
学生是在二次根式的化简的基础上的进一步学习，
力分析 化简二次根式后，找出同类二次根式，通过类比学习，
学生能够指出二次根式的加减运算与整式加减运的联
系和区别。发展学生的抽象概括能力和体会类比数学思
想”。
重点是探索二次根式的加减运算法则。在设计本课
时教案时，先复习二次根式的化简，并由此引出同类二
争，按各组表现评出最优小组，激发学生学习积极性和
兴趣。
计算：（1）（2）
教学过程
在算（1）时，最后一个前的系数是 1，不能省略，
类比合并同类项，(2)中与不能合并
在课堂教学中引导学生自主探索，小组合作，在原
课例研究综 有知识建构的基础上发现学习规律，让所有学生都参与
述
其中，即使他们发现的规律是错误的，在课堂中展现错
次根式的定义，注意引导学生对同类二次根式和同类
项、二次根式的加减的合并同类项进行比较学习。在理
教学策略选 解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程
择与设计 中，逐步渗透类比、概括等数学思想，提高学生用数学
方法解决实际问题的能力。在学习过程中，采用小组学
习方式，探索出同类二次根式的加减运算法则；组间竞
《二次根式的加减(第1课时)》公开课课件-图
不同根式相加减
2
指数时，可以进行加法和减法运算。 只需将根式的系数相加或相减，保持
当两个二次根式具有不同的根数或根
根数和根指数不变。
指数时，无法直接进行加法和减法运
算。需要通过化简或找到共同的根式
进行转化。
3
加减混用
可以根据题目要求，将加法和减法运 算进行组合使用，灵活应用相应的法 则解决问题。
二次根式的乘法法则
二次根式的简化与展开
简化形式
通过将根式的内部数分解为互质的因子，并将 其中的平方数提取出来，可以将二次根式简化 为最简形式。
展开形式
通过将根式的内部数分解为质因数的乘积，并 将其中的因子移出根号，可以将二次根式展开 为多项式。
二次根式的加法和减法法则
1
同根式相加减
当两个二次根式具有相同的根数和根
《二次根式的加减(第1课 时)》公开课课件-图
在本课时中，我们将学习二次根式的加减法则，包括定义、简化与展开、乘 法法则、除法法则，以及解二次方程的基本步骤。我们将通过例题介绍和解 题技巧来深入理解这一重要的数学概念。
二次根式的定义
二次根式是指形如√a的数，其中a是非负实数。二次根式可以是简化形式或展 开形式，具体取决于根式中的数。
2
步骤二 - 消元
通过运用乘法逆元和平方根运算，将二次根式进行消去，使方程变为一元二次方程。
3
步骤三 - 因式分解
将一元二次方程因式分解为两个一次方程的乘积，使方程等于零。
4
步骤四 - 解方程
求解每个等于零的一次方程，得到二次方程的解。
例题介绍及解题技巧
例题一根据ຫໍສະໝຸດ 定的二次根式，计算其 简化形式和展开形式。
例题二
二次根式的加减(1)
2 3
2
.
②
2 a -3 a
；
2
2 3
2
.
③
3
12
；
12
18
4 ○
5
1 5
12
思考：（1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？
（2）二次根式的加减运算与整式的加减运算相同之处是什么？
（3） 什么样的二次根式能够合并？
（4）模仿整式的加减运算怎样进行二次根式的加减运算？
ห้องสมุดไป่ตู้
五、达标检测 必做：课本 P17：1、2、3 选做：课本 P18 ： 5 补充作业： 计算: （1） 3 2
2 ；
（2） 2 12
27 ；
（3）
18
9 2
；
（4） 4 x 2 2 x ；
2
（5）
2x
2a x
2
3
；
（6）
18
32
2
；
（7）
75
54
96
108
；
（8） 1
班级
学生姓名
编号
备课教师庆云四中 尹建梅
教学时间 教 学 目 标 过程 方法 情感 态度 知识 技能
课题
21.2 二次根式的加减（第 1 课时）
课型
新授
1.能 熟 练 将 二 次 根 式 化 简 成 最 简 二 次 根 式 . 2.会 运 用 二 次 根 式 加减法 法 则 进 行 二 次 根 式 的 加减运 算 . 类比整式加减得到二次根式加减的方法，从中体会有理数、整式、二次根式运算之间 的联系，
.补充： 1.下列各组二次根式中，化简后被开方数相同的是（） A. ab 与 ab 2 B. m n 与 m C. mn 与 1 1 D. 8 a b 与 9 a b
21.3二次根式的加减(1)(获奖教案)
21.3 二次根式的加减(1)---绵阳第一课时教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法．先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．重、难点分析1．重点：二次根式化简为最简根式并进行计算。
2．难点：会判定是否是最简二次根式．教材分析本节内容属于人教社数学九年级上册第二十一章《二次根式》第三节《二次根式的加减》第一课时内容。
在学习本节课之前学生已经学习了二次根式及二次根式的乘除。
本节课在教材上由应用实例引入，计算过程中先将二次根式化成最简二次根式，再利用分配律计算得出结果。
这种方法不利于初学者理解。
因此本人在设计本节课时选择从旧知识引入，选择学生掌握程度较好并且易于理解的多项式化简的引入，从多项式化简迁移到解决相同被开方数的二次根式的加减问题上，解决相同被开方数的二次根式的加减之后在尝试解决不同被开方数的二次根式的加减问题。
最后总结得出：二次根式加减时，先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
教学过程综述本节教学过程总体分为三大部分,即:课前小测（3-5分钟）；新知识学习（10-15分钟）；分层练习（15-20分钟）；习题点评（5分钟）。
其中课前小测是我校每节数学课都坚持的环节，小测内容主要是本节课以前学习的旧知识，与本节内容基本无关。
其目的是通过限时训练，让学生达到回顾旧知识、提高答题技能的目的。
新知识学习环节通过师生共性活动的方式进行对本节课内容的学习，新知识内容以学生掌握较好的旧有知识引入，通过迁移、总结、归纳等方式达到本节课的教学要求。
新知识讲解完成后进入分层练习环节，根据本班学生的实际情况，我们将本班学生分为三个层次，即A、B、C三层，A层学生是指学习能力较低、基础较薄弱、理解水平较差的学生，对他们设置的题目跟教学过程相一致，有旧知识铺垫、新知识分步练习等相关内容，以方便该层次的学生理解和掌握。
二次根式的加减法(优秀课件)
本课件将深入介绍二次根式的加减法。掌握二次根式的概念、简化方法以及 相加与相减法则，将帮助您在数学领域取得更大的进步。
二次根式的概念
了解二次根式是数学中的一个重要概念，它包含一个根号及一个或多个数的 乘积，并具有特定的运算规则和性质。
二次根式的简化方法
因式分解法
利用因式分解的方法将二次 根式简化为更简单的形式， 使计算更加方便高效。
二次根式的综合运用
例题分析与解答
通过解决实际例题，深入理解和 应用二次根式的各种运算法则， 提高计算和解题能力。
实战演练
在不同的数学问题中，应用二次 根式的运算法则，展示数学的智 慧与魅力。
竞赛辅导
通过竞赛辅导，帮助同学们理解 和掌握二次根式的加减法，取得 优异的成绩。
总结与归纳
通过本课件的学习，您已经了解了二次根式的加减法。掌握二次根式的概念、 简化方法、相加与相减法则、乘法与除法规则以及综合运用方法将帮助您在 数学学习中取得更大的进步。
可以通过展开及合并同类项的方法来实
3
特殊情况处理
现。
考虑特殊情况，如系数为0、符号相反等，
以确保计算的用乘法公式，将二次根式的乘法运算转化为 基本的数学运算，如多项式相乘。
除法规则
通过将除法运算转化为乘法运算，将二次根式 的除法问题转变为相应的乘法问题，并求出最 终的结果。
提取公因数法
通过提取二次根式中的公因 数，将其化简为最简形式， 简化计算过程。
合并同类项法
对于二次根式中的同类项， 将其合并为一个项，简化运 算步骤，减少出错机会。
二次根式的相加与相减法则
1
同类项相加减的方法
将二次根式中的同类项进行加减运算，
二次根式的加减法优秀教案(最新整理)
（3） 3 5 2 5 4 2 ；
（4） 2 75 3 27 12 ；
（5）
72
18 3
2
．
2
3
学 生 自 主 拓展提升 完成
A. 32, 50, 2 1 ; B. 4x3,2 2x, 8x2 x 0;
18
C. 3x, 3a2x3 a 0, xy2 y 0
3
（2）合并下列各式中的同类二次根式：
A. 3 5 5 4 5; B. 2 a 4 b 6 a 1 b.
2
2
小组讨论
3、二次根式相加减，应先把各个二次根式化成______,然后把_____分别合并。
课题：二次根式的加减法
授课时间
知识
1、 理解最简二次根式和同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则
教
与技能
2、会化简二次根式并进行简单的二次根式的加减运算
学
过程与方法 经历同类二次根式概念及加减法法则的发现过程，体验类比、猜想的思想方法。
目
标
情感态度与 类比思想探索新知，感受成功体验，增强数学学习的信心
（1） 4x 3 y2 y 0 ；（2） a2 b2 a b a b 0 ；
（3） m n m n 0
mn
练习 3、（1）判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式：
学生计算
鼓励学生 探究解 答，锻炼 团队合作 意识和分 析问题解 决问题能 力
1 , ab, 2c2 , y , 4a2 4a 1, a2 b2
3
x
（2）找出下列二次根式中的非最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：
14,
4, m
5 u2 v2 ,
a2b a2c a 0,
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（B） 3 2 2 3 （C）
5
2 5 10
（D） 2 5 10
【答案】C
1.同类二次根式的定义?
小结归纳
判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要 把这几个二次根式化为最简二次根式，然后再看 它们的被开方数，如果被开方数相同，那么原来 的几个二次根式就是同类二次根式．
2.二次根式加减运算的步骤?
8、如图，两个圆的圆心相同， 它们的面积分别是8cm2和18cm2，求圆 环的宽度d( 两圆半径之差).
解： R 18， r 8，
2 2
d R r 3
18
2
2
8
R-r
.
2
2
中考链接
2
（2010广西南宁）下列计算结果正确的是：
（A）
2 5 7
例1: 下列各式中,哪些是 同类二次根式?
2
75
1 27
1 50
3
2 3 8ab 3
6b
a 2b
解： 75 5 3 5 3
2 1 50 1 27 2 3
1 5 2 1 3 3 3
2 3
2 10 3 9 4 b 2 ab 3
8ab 2b 2ab
a 2b
6b
6b
13
2 4 2
2
5 2
3
8 18 4 2
运用以前所学知识进行总结
计算: 8 18 4 2
解：
8 18 4 2 2 2 3 2 4 2
如何合并 同类二次 根式?
2 3 4 2
9
2
与合并同类项类似,把同类二次根式的系 数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部 都不变.
21.1二次根式
21.3.二次根式的加减
二次根式计算、化简的结果符 合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号；
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
把下列各根式化简
12
2 3
1 2
48
4 3
18
3 2
50
5 2
1 1 3
32
45
2 2
4 2
3 5
2 3 3
创设情境
1
2 (1) 2， 2， 2 2， 2， 2 3 15 3 2 (2) 3 ,5 3 ,6 3 ,17 3 , 3 13
（2） 18 98 27） 10 2 3 3 （
1 6 2 4
1 （3）( 24 0. ( 5) 6) 3 8
1 1 (4) 32 3 10 0.08 48 4 2 3 3 2
5.在下列各组根式中，是同类二 次根式的是（ B ） A.
2 , 12
B.
2
2,
C.
6. 与
4ab , ab
D.
a 1, a 1
27
1 2
A.
12 是同类二次根式的是( D ) 1 32 B. 24 C. 125 D. 6
7.如果最简二次根式 m n 2 2 与 是同类二次根式,求m、n 的值.
mn
解：由题意得:m+n-2=2，m-n=2，所以m=3,n=1.
观察下列3组根式是否都是最简二次 根式，各组有什么特征?
1 (3) 2 , 8 ,5 18, 32, 2
理性提升
几个二次根式化成最简二次根式以 后，如果被开方数相同，这几个二 次根式就叫做同类二次根式. 思考：判断同类二次根式的关键是 什么？ (1)化成最简二次根式，
(2)被开方数相同（指数也相同）
先化简再合并
3.如何合并同类二次根式? 合并同类二次根式与合并同类项类似.
把根号外系数或字母相加减,根指数和被开方数不变 (不是同类二次根式的二次根式不能合并)
独立 作业
教材：P17习题21.3 1，2，3，5； 课本P16 练习2，3.
当堂测试
1、下列计算正确的是（ Ｄ (4)下列计算正确的是（ ）
方法构想
比较二次根式的加减与整式的加减，你能得 出什么结论？ 二次根式的加减实质是合并同类二次根式．
整式的加减的实质是合并同类项．
先化简,后合并
小结归纳
1
交流 归纳
二次根式加减法的步骤：
（1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）合并同类二次根式。
一化简（化最简） 二合并（找同类）
随堂练习
1.判断:下列计算是否正确?
1
3
× × 8 18 4 9 2 3 5× 2
(1) 18 8
2 3
5 ; 22 2 2 2 ;
2、P16 练习1 3、计算：
2
(2) 75 27 8 3 1 6 3 (3) 48 6 3
练习2计算： 4、计算：
（1） 80 20 5 5
a · 2b 2b · 2b
3 2ab
1 2， 50 1 75， 27 ，3 2 3
8ab ，b 6
3
a 2b
方法构想Βιβλιοθήκη 2和 - 2是否为同类二次根式
判断一组式子是否为同类二次 根式，只需看化为最简二次根式 后的被开方数是否相同，与最简 二次根式前面的因式及符号无 关．
创设情境
2
(1)两列火车分别运煤3x吨和4x吨,问这两 列火车共运多少？3x +4x=7x吨 _______________ (2)两列火车分别运煤3x吨和4y吨,问这两 (3x +4y)吨 列火车共运多少？_______________ 以下问题你能用同样的方法计算吗？
例2、计算： （1） 12 75; （2） 80 45; （3） 9a 25a .
解：
1.
2.
3.
12 75 2 3 5 3 (2 5) 3 7 3
80 45 4 5 3 5 (4 3) 5 5
9a 25a 3 a 5 a (3 5) a 8 a
）
A. 5 2 3 C.4 5 5 4
A. B.2a 2x
练习4下列计算正确的是（ 2、下列计算正确的是（ B ） 3x 5x x 3b x (2a 3b)
B.8 3 2 11 2 3 1 D. a a 2 2
a
）
x
C .4 5 5 5 20 5 14a D. 2 22b 7 a 11b
4.计算：
(1)3 2 3 2 2 3 3
解：原式 3 2 2 2） 3 3 3） （ （
2 2 3
(2) 8 18 12
解：原式 4 2 9 2 4 3 2 2 3 2 2 3 5 2 2 3