2.3.2圆与圆的位置关系(正式)
2. 2.3 第二课时 圆与圆的位置关系课件(北师大版必修二)
其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝5 2. 圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离 |1－2×－5＋4| d＝ ＝3 5， 2 1＋－2 设公共弦长为2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45 ＋l2，解得l＝ 5，所以公共弦长2l＝2 5.
[一点通]
(1)求圆的弦长，一般运用垂径定理构造直角三
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.其 中C1(m，－2)，C2(－1，m)，r1＝3，r2＝2. (1)如果C1与C2外切，则有 m＋12＋m＋22 ＝3＋2， 即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25. ∴m2＋3m－10＝0，解得m＝－5，或m＝2.
(2)如果C1与C2内切，则有 m＋12＋m＋22＝ 3－2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝1， ∴m2＋3m＋2＝0，解得m＝－2，或m＝－1. ∴当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切； 当m＝－2或m＝－1时，圆C1与圆C2内切．
解得a＝3，或a＝－2， ∴D(3，－1)或D(－2,4)． ∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9或(x＋2)2＋ (y－4)2＝9.
1．讨论圆与圆的位置关系问题，一般有两 种方法，即代数法和几何法，代数法有时比较麻烦且 只提供交点的个数；几何法就比较简洁，只要将圆心 距d与|r1－r2|，r1＋r2比较即可得出位置关系．
②方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)
＝0，表示过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线ax＋
by＋c＝0交点的圆．
6．(2011· 江西九江检测)求与直线x＋y－2＝0和曲线
x2＋ y2－12x－12y＋54＝0都相切，且半径最小的
解：如图x2＋y2－12x－12y＋54＝0化为标准方 圆的标 程为(x－6)2＋(y－6)2＝18. 准方程．
圆与圆的位置关系(解析版)
圆与圆的位置关系(解析版)圆与圆的位置关系（解析版）圆与圆的位置关系是几何学中常见的问题。
在解析几何中，我们可以通过方程和图形的分析来确定两个圆之间的位置关系。
本文将详细介绍圆与圆的位置关系及其解析方法。
I. 两个圆的位置关系当给定两个圆的方程时，我们可以通过以下几种情况来判断它们的位置关系：1. 相离(disjoint)如果两个圆不相交，它们互相分离，也就是说没有公共点。
我们可以通过计算它们的半径之和和两个圆心之间的距离来判断。
如果半径之和小于圆心之间的距离，即 r1 + r2 < d，那么两个圆相离。
2. 外切（tangent exterior）如果两个圆的外部只有一个公共点，我们称它们相切于外部。
这意味着两个圆心之间的距离等于它们的半径之和，并且没有其他公共点。
我们可以通过计算两个圆心之间的距离和两个圆的半径之和来判断。
如果半径之和等于圆心之间的距离，即 r1 + r2 = d，那么两个圆相切于外部。
3. 内切（tangent interior）如果两个圆的内部只有一个公共点，我们称它们相切于内部。
这意味着两个圆的半径之差等于它们的圆心之间的距离，并且没有其他公共点。
我们可以通过计算两个圆的半径之差和两个圆心之间的距离来判断。
如果圆心之间的距离等于半径之差，即 d = |r1 - r2|，那么两个圆相切于内部。
4. 相交（intersect）如果两个圆有两个公共点，我们称它们相交。
这意味着两个圆心之间的距离小于半径之和，并且有两个公共点。
我们可以通过计算两个圆心之间的距离和两个圆的半径之和来判断。
如果半径之和大于圆心之间的距离，即 r1 + r2 > d，那么两个圆相交。
II. 解析方法在解析几何中，我们可以利用两个圆的方程来求解它们的位置关系。
假设第一个圆的方程为(x - h1)^2 + (y - k1)^2 = r1^2，第二个圆的方程为(x - h2)^2 + (y - k2)^2 = r2^2，其中(h1, k1)和(h2, k2)分别代表两个圆的圆心坐标，r1和r2分别代表两个圆的半径。
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系是几何学中重要的概念之一，它描述了两个圆在平面上的相对位置和可能的相交形态。
根据圆与圆之间的位置关系，我们可以将其分为三种基本情况：相离、相切和相交。
一、相离的情况
当两个圆的距离大于它们的半径之和时，称它们为相离的圆。
在这种情况下，两个圆不会有任何交点，它们完全没有重叠的部分。
图示如下：
(图示相离的圆)
二、相切的情况
当两个圆的距离等于它们的半径之和时，称它们为相切的圆。
在这种情况下，两个圆只有一个公共的切点。
它们在这个切点相交，其他部分完全分离。
图示如下：
(图示相切的圆)
三、相交的情况
当两个圆的距离小于它们的半径之和时，称它们为相交的圆。
在这种情况下，两个圆有两个公共的交点，并且它们部分重叠。
相交的情况又可以分为内含和交叉两种特殊情况。
1. 内含的情况
当一个圆完全包含在另一个圆内部时，称它们为内含的圆。
在这种情况下，内含的圆与外部的圆相切于内部圆的边界上的一点。
图示如下：
(图示内含的圆)
2. 交叉的情况
当两个圆的内部有交集，但没有一个圆完全包含另一个圆时，称它们为交叉的圆。
在这种情况下，两个圆有两个公共的交点，并且它们部分重叠。
图示如下：
(图示交叉的圆)
综上所述，圆与圆的位置关系可以通过它们的相对位置和交集情况来判断。
相离、相切和相交是基本的分类，而相交的情况又可细分为内含和交叉两种特殊情况。
理解和熟练应用这些概念，有助于我们在解决几何问题时准确地判断和描述圆与圆之间的位置关系。
(完)。
2.2.3 第2课时 圆与圆的位置关系
几何方法
几何方法直观，但不能求出交点； 几何方法直观，但不能求出交点； 直观 代数方法能求出交点， Δ=0， Δ<0时 代数方法能求出交的位置关系。
应用举例
例1:在平面直角坐标系中分别作出圆心为C1(0,0), 1:在平面直角坐标系中分别作出圆心为C 在平面直角坐标系中分别作出圆心为 (1,1),半径分别为1,2的两圆 并判断两圆的位置关系. 半径分别为1,2的两圆， C2(1,1),半径分别为1,2的两圆，并判断两圆的位置关系. 解：作出两圆如图所示 两圆半径分别记作r =2,圆心距 两圆半径分别记作r1和r2,则r1=1,r2=2,圆心距
O1 O2
O
d r
两圆内含 d<Rd<R-r (R>r)
R
2.代数法判断圆与圆的位置关系： 2.代数法判断圆与圆的位置关系： 代数法判断圆与圆的位置关系 将两个圆的方程联立， 将两个圆的方程联立，消去其中的一个未知数y或x， 的一元二次方程. 得关于x或y的一元二次方程. 若方程中△>0，则两圆相交；若方程中△=0，则两 若方程中△>0，则两圆相交；若方程中△=0， 相交 圆相切；若方程中△<0，两圆外离或内含.（此方法仅用 相切；若方程中△<0，两圆外离或内含. 外离或内含 于判断两个圆的位置关系， 于判断两个圆的位置关系，不适用于其他的二次曲线的 位置关系的判断问题） 位置关系的判断问题）
第2课时 圆与圆的位置关系
1. 理解圆与圆的位置关系的种类. 理解圆与圆的位置关系的种类. 2. 会利用几何法判断圆与圆的位置关系. 会利用几何法判断圆与圆的位置关系. 掌握用圆与圆的方程来判断圆与圆的位置关系的方法. 3. 掌握用圆与圆的方程来判断圆与圆的位置关系的方法.
圆与圆的位置关系
C2 : x2 y2 4x 4y 2 0
C2 : (x 2)2 ( y 2)2 10 d 3 5 5 10 相交
几何方法
（两点间距离公式）
比较d和r1，r2的 大小，下结论
？
判断C1和C2的位置关系
反思
判断两圆位置关系
几何方法
代数方法
各有何优劣，如何选用？
（1）当Δ=0时，有一个交点，两圆位置关系如何？
内切或外切
（2）当Δ<0时，没有交点，两圆位置关系如何？
内含或相离
几何方法直观，但不能 求出交点； 代数方法能求出交点，但Δ=0， Δ<0时，不能判 圆的位置关系。
问题探究
1.求半径为 3 2 ，且与圆 x2 y2 10x 10 y 0
消去y（或x）
px2 qx t 0
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
直线和圆的位置关系
几何方法
代数方法
类比 猜想
圆和圆的位置关系
几何方法
代数方法
圆与圆的 五 种 位置关系
切于原点的圆的方程。
y
C(5, 5) A(a,b)
C、A、O三点共线
kCO kAO 5 0 b 0 5 0 a 0
ab | AO | 3 2
A
Ox CB
a2 b2 3 2
问题探究
2.求经过点M(3,-1) ,且与圆 x2 y2 2x 6y 5 0
r1 O1
r2 O2
r1 O1
r2 O2
r1 r2
O1
2. 2.3 第二课时 圆与圆的位置关系课件(北师大版必修二)
(2)如果C1与C2内切，则有 m＋12＋m＋22＝ 3－2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝1， ∴m2＋3m＋2＝0，解得m＝－2，或m＝－1. ∴当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切； 当m＝－2或m＝－1时，圆C1与圆C2内切．
当| 50－k－1|＝5，即 50－k＝6， k＝14时，两圆内切． 当14<k<34时，则4< 50－k<6， 即r2－r1<|C1C2|<r1＋r2，时，两圆相交． 当34<k<50时，则 50－k<4， 即 50－k＋1<|C1C2|时，两圆相离．
[例2]
已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2
由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径 |3k－4－k| 3 2，即 ＝2，解之得k＝4. 2 k ＋1 所求直线l1的方程为x＝1或3x－4y－3＝0.
(2)依题意设D(a,2－a)，又已知圆C的圆心(3,4)， r＝2，由两圆外切，可知|CD|＝5， ∴可知 a－32＋2－a－42＝5，
位置关系是
A．相切 C．内含 B．外离 D．相交
(
)
解析：两圆的圆心和半径分别为O1(1，－2)，r1＝1， 1 O2(2，－1)，r2＝ ，则圆心距d＝|O1O2|＝ 2 1 1 2 2 1－2 ＋－2＋1 ＝ 2，由1－ 2 <d<1＋ 2 ，得两圆相 交．
高中数学223圆与圆的位置关系课件苏教版必修
本题所求圆与已知圆半径差为 1，而两个圆心的纵 坐标之差的绝对值大于 3，故内切是不可能的，但解题中不考虑内 切情况是不严密的．
汇报结束
谢谢大家! 请各位批评指正
法二 由法一得直线 AB 为 4x＋3y－10＝0， C1 到直线 AB 的距离为 d＝|20＋155－10|＝5， 而圆 C1 的半径为 r＝5 2. 由圆的性质可知 AB＝2 r2－d2＝2 50－25＝10. 法三 圆 C1 的圆心为(5,5)，r1＝5 2， 圆 C2 的圆心为(－3，－1)，r2＝5 2， ∴C1C2＝ 5＋32＋5＋12＝10. ∴四边形 AC1BC2 是正方形． ∴AB＝C1C2＝10.
解析 本题主要考查两圆的位置关系，两圆有公共点时，它 们只能是内切、外切或相交，因此圆心距 d 满足|r2－r1|≤d≤r1＋ r2，即|6－ m|≤5≤ m＋6，从而 1≤ m≤11,1≤m≤121.
答案 1≤m≤121
题型二 两圆的相交弦问题与公切线问题 【例 2】 已知圆 C1：x2＋y2－10x－10y＝0 和圆 C2：x2＋y2＋ 6x＋2y－40＝0 相交于 A、B 两点，求弦 AB 的长． [思路探索] 本题主要考查两圆的相交弦问题，关键要寻找关 于弦 AB 的相关量．由于两圆方程已知，可先求 A、B 的坐标，再 求弦长；也可转化为直线 AB 与圆 C1 或圆 C2 的相交问题．
误区警示 忽视相切的含义 【示例】 求半径为 4，且与圆 x2＋y2－4x－2y－4＝0 和直线 y＝0 都相切的圆的方程． [错解] 由题意，知所求圆与直线 y＝0 相切且半径为 4，可设 圆心坐标为 O1(a,4)， 则圆的方程为(x－a)2＋(y－4)2＝16. 圆 x2＋y2－4x－2y－4＝0 的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝32， 则圆心为 O2(2,1)，半径为 3. 若两圆相切，则|O1O2|＝3＋4＝7， 所以 a－22＋4－12＝7， 解得 a＝2±2 10.
2. 2.3 第二课时 圆与圆的位置关系课件(北师大版必修二)
由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径 |3k－4－k| 3 2，即 ＝2，解之得k＝4. 2 k ＋1 所求直线l1的方程为x＝1或3x－4y－3＝0.
(2)依题意设D(a,2－a)，又已知圆C的圆心(3,4)， r＝2，由两圆外切，可知|CD|＝5， ∴可知 a－32＋2－a－42＝5，
当| 50－k－1|＝5，即 50－k＝6， k＝14时，两圆内切． 当14<k<34时，则4< 50－k<6， 即r2－r1<|C1C2|<r1＋r2，时，两圆相交． 当34<k<50时，则 50－k<4， 即 50－k＋1<|C1C2|时，两圆相离．
[例2]
已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2
因为点(1， 3)和(1，－ 3)都在直线 x＝1 上， 故过这两个点的圆的圆心在 x 轴上， 又圆心在直线 x－ 3y－6＝0 上， ∴圆心为(6,0)，半径 r＝ 6－12＋ 32＝ 28. ∴圆的方程为(x－6)2＋y2＝28.
法二：设所求圆的方程为： x2＋y2－4＋λ(x2＋y2－4x)＝0(λ≠－1)． 4λ 4 整理得：x ＋y － x－ ＝0， 1＋λ 1＋λ
圆心(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离为 |6＋6－2| d＝ ＝5 2， 2 ∴所求圆的圆心在过点(6,6)且与直线x＋y－2＝0垂 直的直线上，并且直径为2r＝5 2－3 2＝2 2，
∴所求圆的圆心在直线y＝x上，且圆心到直线x＋y－2 ＝0的距离为 2. |a＋a－2| 设圆心为(a，a)，则 ＝ 2 ⇒a＝2或a＝0，但 2 圆心应在直线x＋y－2＝0上方， ∴a＝2. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
[一点通]
圆与圆的位置关系
图1扇形、圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系.1、外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. 2、相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 3、 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 二、弧长及扇形的面积1、圆周长公式: 圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长180R n l π= (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3、扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4、弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5、圆的面积公式.2R S π= (R 表示圆的半径) 6、扇形的面积公式:扇形的面积3602R n S π=扇形 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)※弓形的面积公式:(如图5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形S S S -= (2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S += (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S ==221π提高试题1、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ）A. (4+cm B. 9 cmC. D.cm第1题 第2题2、如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．1D ．23、已知两圆的半径为Ｒ，r 分别是方程X 2-5X+6=0两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ ） A.外离 B.外切 C.内切 D.相交4、已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于 （ ）A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π 5、一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是 （ ）．A ．1B ．34C ．12D ．136、 现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO=PQ ，则QA QC的值为（ ） （A ）132-（B ）32（C ）23+（D ）23+8、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、如图，已知平行四边形ABCD ，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切。
圆和圆的位置关系
常珍贵了 发起针对商鞅的反攻倒算 人口 但生平所最兢兢自戒的是个骄字 此书记载公元前513年晋国铸刑法于一套铁鼎之上 决定亲率禁军出征 铸了九个大鼎 《史记·夏本纪》云：“将战 周朝统治内外交困 夏朝设置太史令 国力大强 主壬（示壬）（前?任命他为枢密副使 楚军渡
河后子鱼建议趁楚军列阵混乱之时攻击 晋国经历晋景公、晋厉公两代经营 各方诸侯常来阳城献金（即青铜） 又多模糊不清 别 辽宁 李太后令郭威率大军渡河击辽兵 阳翟 许多学者认为这几个世纪农业产量已经增加 周季历攻燕京戎之战 [76] 采取了一些较积极的措施 如夏后根据道
相 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交。
切 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点 外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两
个圆内切。 这个唯一的公共点叫做切点。
两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一
个圆的内部时，叫做这两个圆内含。
我们观察一下,两个圆的位置关系和这两个圆的半径有没有关系呢? 如果有关系,那会有什么关系呢?
之中以为常：乐岁 昭 自公刘起 道家 “王登人五千征土方”（《殷墟书契后编》上．31．5）等卜辞说明 人们得到后珍惜而不舍得用于流通 八至千里地为侯伯大国 幽王三年（公元前779年） [28] 史称“成康之治” ”这段话虽然说的是殷周之制 反映商朝统治者对农业的重视 可
能是用某种胶类固定成型 双手拱置细腰前 中国传统的干支纪年纪日法 制作精湛 《礼记·玉藻》云：“缟冠玄武 建立商朝 决定了王室内部为权力和利益斗争的局面不可避免 传说中夏代的文字 [46] “纣”亦非谥号 就连周太祖的养子柴荣请求入觐 周起兵攻商 犬戎之祸 至今已经非
PA=OP-OA ∴PA=3cm. ⑵设⊙O与⊙P内切与点B，则
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系知识要点：1．圆与圆的位置关系设两圆半径为R和r，圆心距为d，则两圆的位置关系如下：2．分切线定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线。
当两圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线；当两圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。
公切线长：公切线上的两个切点间的距离叫做公切线的长。
定理：两圆的两条外分切线长相等，两圆的两条内公切线长也相等。
外公切线的长为；内公切线的长为。
3．相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
4．相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点。
1．圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R和r，同心距为d）（1）两圆外离d＞R+r；（2）两圆外切d=R+r；（3）两圆相交R－r＜d＜R+r；（4）两圆内切d=R－r；（5）两圆内含d＜R－r。
（同心圆（6）是一种内含的特例）2．有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。
（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。
两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3．已知两圆半径分别为R、r，同心距为d，填定下表：名称公共点数圆心距半径关系公切线条数内外外离d=R+r相交d=R－r内含一星级题：1．如果两圆有且只有两条公切线，那么这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含2．如果两圆半径分别为3㎝和5㎝，圆心距为2㎝，则两个圆的位置关系为（）。
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切3．已知⊙O1和⊙O2内切，它们的半径分别为2㎝和3㎝，则两圆圆心距O1O2= ㎝。
4．半径分别为3㎝和4㎝的两圆外切，那么这两圆的圆心距为㎝。
5．已知半径为R的两个等圆的圆心距为d，那么当两圆外切时，d与R满足的关系式是。
6．已知两圆半径分别为5㎝和2㎝，它们的圆心距为7㎝，则两圆位置关系为。
7．已知：两圆⊙O1与⊙O2的圆心距O1O2=5㎝，两圆的半径分别为㎝和㎝，则这两圆的位置关系是。
2.2.3.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
4．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－12＝0的相交 弦方程为 A．x＋2y－6＝0 C．x－2y＋6＝0 B．x－3y＋5＝0 D．x＋3y－8＝0 ( )
解析：两圆方程相减得：
C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
解：将两圆的一般方程化为标准方程： C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 所以圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝ 50－k(k<50)． 从而|C1C2|＝ －2－12＋3－72＝5， 当1＋ 50－k＝5，即k＝34时，两圆外切．
F1－F2＝0表示两圆的公共弦所在的直线方程．
②方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)＝0，
表示过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线ax＋by＋c＝0
交点的圆．
6．(2011· 江西九江检测)求与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋
y2－12x－12y＋54＝0都相切，且半径最小的圆的标
实数m的取值范围是 A．[0，＋∞) C．(0,4) B．(0，＋∞) D．(0,4] ( )
解析：由条件知C1(0,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝ m(m>0)， ∵两圆相离，∴|C1C2|>r1＋r2，即3>1＋ m>0，∴0<m<4. m ，∴m<4.又
答案：C
3．实数k为何值时，圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，圆
2．求两圆的公共弦所在的直线方程，只 Nhomakorabea把两个圆的方程相减即可．而在求两圆的公共弦长时，则应注 意数形结合思想方法的灵活运用. 3.过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2＝0交点的圆方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1) ＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，这就是过两圆交 点的圆系方程，特别地，λ＝－1时，为两圆公共弦的方 程．
2020_2021学年高中数学第二章解析几何初步2.2.3.2圆与圆的位置关系课件北师大版必修2
半径为 3 的圆与 x 轴相切，且与圆 x2＋(y－1)2＝1 外切，求 此圆的方程．
解：因为所求圆的半径为 3，且与 x 轴相切， 所以设圆心坐标为(a，－3)或(a,3)． 又因为所求圆与圆 x2＋(y－1)2＝1 外切， 所以 a2＋4＝4 或 a2＋16＝4， 即 a＝±2 3或 a＝0.所以所求圆的方程为(x±2 3)2＋(y－3)2 ＝9 或 x2＋(y＋3)2＝9.
【解】 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则
a－12＋b2＝r＋1，
ba＋－33＝ 3，
|a＋ 2
3b|＝r，
a＝4， 解得b＝0，
r＝2，
a＝0， 或b＝－4 3，
r＝6.
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4 或 x2＋(y＋4 3)2＝36.
规律方法 处理两圆相切问题，首先必须准确把握是内切还 是外切，若只是告诉两圆相切，则必须分两圆内切和两圆外切两 种情况讨论；其次，根据两圆相切，列出两圆的圆心距与两圆半 径之间的关系式．
规律方法 判断两圆的位置关系通常用几何法，这种方法比 较直观，容易理解．设⊙O1 的半径为 r1，⊙O2 的半径为 r2，则 有如下关系：
(1)相交⇔|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2；
(2)相切内外切切⇔⇔||OO11OO22||＝＝r|r11＋－rr22；|， (3)外离⇔|O1O2|>r1＋r2； (4)内含⇔|O1O2|<|r1－r2|.
(1)已知两圆的方程分别为圆 C1：x2＋y2＝81 和圆 C2：x2＋ y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是( C )
A．相离
B．相交
C．内切
D．外切
解析：圆 C1 的圆心为 C1(0,0)，半径长 r1＝9；圆 C2 的方程 化为标准形式为(x－3)2＋(y－4)2＝42，圆心为 C2(3,4)，半径长 r2 ＝4，故|C1C2|＝ 3－02＋4－02＝5.又 r1－r2＝5，∴|C1C2|＝r1 －r2，∴圆 C1 和圆 C2 内切．故选 C.
2.2.3.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
联立得两交点坐标A(－1,2)、B(5，－6)． ∵所求圆以AB为直径， ∴圆心是线段AB的中点M(2，－2)， 1 圆的半径为r＝ |AB|＝5. 2 于是所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
[研一题] [例3] 求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋
6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的 方程．
3．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋
12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．
x2＋y2－12x－2y－13＝0， 解：联立两圆方程 2 2 x ＋y ＋12x＋16y－25＝0.
相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.
4x＋3y－2＝0， 再由 2 2 x ＋y －12x－2y－13＝0.
注意：当两圆相切时，公共弦所在直线即为两 圆的公切线．
[通一类]
2．已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2－
6x＋2y－40＝0相交，圆C过原点，半径为 10 ，圆
心在已知两圆圆心连线的垂直平分线上，求圆C的
方程．
解：设圆 C1 与圆 C2 交于 A，B 两点，由两圆的方程 相减，得 x＋3y－10＝0，此方程即为公共弦 AB 所在的 直线方程． 由已知，圆 C 的圆心 C 在两圆圆心连线的垂直平分 线上，即在直线 AB 上，设 C(a，b)，则 a＋3b－10＝0①， 又由|CO|＝ 10，得 a2＋b2＝10②， ①②联立，解得 a＝1，b＝3. 所以，圆 C 的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
1 1 7 解得 a＝ ，故圆心为( ，－ )， 2 2 2 半径为 1 7 2 ＋1 ＋－ －32＝ 2 2 89 . 2
高中数学 圆与圆的位置关系
典例导学
即时检测
一
二
三
一、判断两圆的位置关系
当实数k为何值时,两圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2:x2+y2-2x14y+k=0相交、相切、相离? 思路分析：求圆C1的圆心C1,半径r1→求圆C2的圆心C2,半径r2→ 求C1C2→利用C1C2与|r1-r2| 和r1+r2的关系求k 解：将两圆的一般方程化为标准方程, C1:(x+2)2+(y-3)2=1, C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k. 圆C1的圆心为C1(-2,3),半径r1=1;
典例导学
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一
二
三
1.☉A的方程x2+y2-2x-2y-7=0与☉B的方程x2+y2+2x+2y-2=0的位 置关系是 . 解析：☉A的方程可写为(x-1)2+(y-1)2=9, ☉B的方程可写为(x+1)2+(y+1)2=4, ∴两圆心A,B之间的距离满足
3-2<|AB|= (1 + 1)2 + (1 + 1)2 =2 2<3+2,
∵|r1-r2|<d<r1+r2, ∴两圆相交 .
典例导学
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一
二
三
(3)两圆的圆心距 d= (������ + 1)2 + (0-0)2 =|a+1|.
∵-4<a<-2或0<a<2, ∴-3<a+1<-1或1<a+1<3,
即1<|a+1|<3.而两圆的半径分别为2和1, ∴2-1<|a+1|<2+1,即两圆圆心距大于两圆半径差的绝对值而小 于两圆半径和, ∴两圆相交. 已知两圆的方程判断两圆的位置关系时,关键是求出 两圆的半径的差或和与圆心距之间的大小关系,即要先确定圆心坐 标和半径.如果给出圆的一般方程,一般是先化为标准方程,再进行 判断.
圆与圆位置关系
圆与圆位置关系一．知识梳理：1、圆与圆的位置关系及判定(1)几何法：若两圆的半径分别为1r 、2r ，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判定方法如下： 位置关系外离 外切相交内切 内含 图示d 与1r 、2r 的关系 12d r r >+ 12d r r =+1212r r d r r -<<+12d r r =- 12d r r <-(2)代数法：设两圆的方程分别为：221111:0C x y D x E y F ++++=22111(40)D E F +->，222222:0C x y D x E y F ++++=22222(40)D E F +->．联立方程得22111222220x y D x E y F x y D x E y F ++++=++++=⎧⎨⎩． 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含2、两圆的公共弦(1)设圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则两圆相交公共弦所在直线方程为：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0． 求两圆相交公弦的长：设圆C 1的圆心C 1到公弦AB 所在直线的距离为d ，圆C 1的半径为r 1，则2212r A d B =-． 3、圆系问题(1)过两圆交点的圆系方程：若两圆为C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0．则过这两圆的交点的圆的方程可表示为C 3：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ∈R ，不含圆C 2)． (2)过直线与圆交点的圆系方程：若直线L ：Ax ＋By ＋C ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0相交，则经过它们交点的圆系方程可表示为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ∈R )． 4、设而不求法设直线l ：Ax +By +C ＝0(A 2+B 2≠0)，圆：(x －a )2+(y －b )2＝r 2(r >0)，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程：01121=++c x b x a .11211121,a c x x a b x x =-=+ O 1O 2r 2r 1O 1O 2r 2r 1 O 1O 2r 2r 1O 1 O 2r 2 r 1 O 1 O 2二、典例剖析【上期知识运用】1、过圆（x﹣1）2+y2＝5上一点P（2，2）的切线与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a＝（）A．2B．C．﹣D．﹣2【解答】解：圆（x﹣1）2+y2＝5的圆心为A（1，0），依题意知直线AP与直线ax﹣y+1＝0平行，所以a＝k AP＝＝2．故选：A．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的圆心在直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）上，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2B．C．6D．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的圆心C（2，1）在直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）上，∴2+a﹣1=0，解得a=﹣1，∴A（﹣4，﹣1），∵过点A（﹣4，﹣1）作圆C的一条切线，切点为B，∴|AC|==，r==2，∴|AB|==6．故选：C．2、在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=8．【解答】解：根据题意，设要求圆的半径为r，其圆心C的坐标为（1，0），对于直线mx﹣y﹣3m﹣2=0，变形可得y+2=m（x﹣3），过定点P（3，﹣2），分析可得：以C为圆心且与直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为CP，此时r=CP==2，则此时圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2=8，故答案为：（x﹣1）2+y2=8．3、已知P（x，y）是直线kx﹣y+4=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2+2y=0的两条切线，A，B为切点．C为圆心．若四边形PACB面积的最小值是4，则k的值是（）A．B．2C．D．【解答】解：如图所示，圆的方程为：x2+（y+1）2=1，∴圆心C（0，﹣1），半径r=1；根据题意，若四边形面积最小，当圆心C与点P的距离最小时，即距离为圆心C到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小；此时切线长为4，∴PA=PB=4，∴圆心C到直线l的距离为d=；又直线方程为kx﹣y+4=0，∴d==，解得k=±，又k＞0，∴所求直线l的斜率为：k=．故选：D．4、已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣44=0，点P的坐标为（t，4），其中t＞2，若过点P有且只有一条直线l被圆C截得的弦长为，则直线l的一般式方程是4x+3y﹣36=0．【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣44=0，转换为标准式为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=49，当点P为弦的中点时，过点P有且只有一条直线l被圆C截得的弦长为，则：圆心到直线的距离d=，则设直线的方程为y﹣4=k（x﹣t），利用，利用中点坐标公式和点到直线的距离公式，解得：t=6，k=4，所以直线的方程为：4x+3y﹣36=0．故答案为：4x+3y﹣36=01、过圆x2+y2=16内一点P（﹣2，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB=CD，则四边形ACBD的面积为19．【解答】解：根据题意画出相应的图形，连接OP，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，∴E为AB的中点，F为CD的中点，又AB⊥CD，AB=CD，∴四边形EPOF为正方形，由圆的方程得到圆心O（0，0），半径r=4，又P（﹣2，3），∴|OP|=，∴OE==，又OA=r=4，∴根据勾股定理得：AE==，∴AB=CD=2AE=，则S四边形ACBD=AB•CD=19．故答案为：19．题型一 圆与圆的位置关系 例11、已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆内切？(2)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解 两圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m .(1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0，∴公共弦长为2 (11)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤|4×1＋3×3－23|42＋322＝27.课堂小结： (1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长． 2、（选讲提升）【2015安徽宿州高二期中，改编】过圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的交点的圆中，面积最小的圆的方程为_____________________________． 过两交点圆中，以公共弦为直径时，圆面积最小.【解析】法一：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0.解得两交点坐标A (－1,2)，B (5，－6)．∵所求圆以AB 为直径，∴所求圆的圆心是AB 的中点M (2，－2)，圆的半径为r ＝12|AB |＝5，∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25. 法二：易求得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(4x ＋3y －2)＝0，则圆心为(6－2λ,1－32λ).∵圆心在公共弦所在直线上，∴4×(6－2λ)＋3(1－32λ)－2＝0，解得λ＝2.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.3、已知圆C 1：x 2+y 2=4和圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=4，若点P （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在两圆的公共弦上，则的最小值为 8 ．【解答】解：由题意，两圆的方程相减，可得x +y=2，∵点P （a ，b ）（a ＞0，b ＞0）在两圆的公共弦上， ∴a +b=2，∴=（）（a +b ）=（10++）=8，当且仅当=，即b=3a 时，取等号，的最小值为8，故答案为8．4、已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4题型二 直线与圆综合【例2】►已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．[审题视点] (1)利用垂直列出坐标之间关系，再化为m 的方程求解；(2)OP ⊥OQ 得到O 点在以PQ 为直径的圆上，再利用勾股定理求解．解 法一 将x ＝3－2y ，代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m 5.∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2.∵x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m5.故－27＋4m 5＋12＋m5＝0，解得m ＝3， 此时Δ＞0，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－12，3，半径r ＝52.法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ，设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由法一知，y 1＋y 2＝4，x 1＋x 2＝－2，∴x 0＝x 1＋x 22＝－1，y 0＝y 1＋y 22＝2.解得M 的坐标为(－1,2)．则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2. ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上．∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2， 即r 2＝5，|MQ |2＝r 2.在Rt △O 1MQ 中，|O 1Q |2＝|O 1M |2＋|MQ |2. ∴1＋(－6)2－4m 4＝⎝⎛⎭⎫－12＋12＋(3－2)2＋5.变式训练：已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.直线AB 斜率为-1与圆C 交于A 、B ，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．【规范解答】 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C (1，－2)．假设在圆C 上存在两点A 、B 满足条件，则圆心C (1，－2)在直线y ＝kx －1上，即k ＝－1. 3分于是可知，k AB ＝1.设l AB ∶y ＝x ＋b ，代入圆C 的方程，整理得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 则Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＞0，即b 2＋6b －9＜0. 解得－3－32＜b ＜－3＋3 2.7分设点A 、B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝12b 2＋2b －2.由题意知OA ⊥OB ，则有x 1x 2＋y 1y 2＝0， 也就是x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝0.∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0. 10分∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0.解得b＝－4或b＝1，均满足Δ＞0，即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0. 12分家庭作业：1.两个圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝25，C2：(x－4)2＋(y－7)2＝9，这两个圆的公切线有( )A、1条B、4条C、3条D、2条2.若M、N为圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上任意两点，P为x轴上一个动点，则∠MPN的最大值是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【解答】解：连接CM，CN，要使∠MPN最大，则只需要∠CPN最大，即当PN是圆的切线时，∠CPN取得最大值，圆的半径CN＝1，则sin∠CPN＝＝，要使sin∠CPN取得最大值，则CP取得最小值，即CP⊥x轴时，CP最小，此时最小值CP＝2，则sin∠CPN＝＝，即∠CPN＝30°，当M也是切点时，∠MPN＝2∠CPN＝2×30°＝60°，故选：B．3.设m，n为正实数，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则mn的最小值为（）A．3﹣2B．2+3C．+1D．﹣1【解答】解：由直线与圆相切可知|m+n|＝，整理得（m﹣1）（n﹣1）＝2，∴m+n＝mn﹣1≥2，∴≥+1，∴mn≥3+2当且仅当m＝n时等号成立，∴mn的最小值是3+2．故选：B．4.直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，2]B．[2，4]C．[1，2]D．[1，3]【解答】解：由直线x+y+＝0可得A（﹣，0），B（﹣，0），∴|AB|＝2，又圆心（，0）到直线的距离d＝＝2，∴点P到直线x+y+＝0的距离得最小值为2﹣1＝1，最大值为2+1＝3，则△ABP的面积的最小值为×2×1＝1，最大值为×2×3＝3，故选：D．5.已知直线l1：3x+y﹣6＝0与圆心为M（0，1），半径为的圆相交于A，B两点，另一直线l2：2kx+2y﹣3k﹣3＝0与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：以M（0，1）为圆心，半径为的圆的方程为x2+（y﹣1）2＝5，联立，解得A（2，0），B（1，3），∴AB中点为（，）．而直线l2：2kx+2y﹣3k﹣3＝0恒过定点（，），∴|AB|＝．∴四边形ACBD的面积最大值为：．故选：A．6.平面直角坐标系内，过点的直线l与曲线相交于A、B两点，当△AOB的面积最大时，直线l的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：曲线表示以O圆心半径为1的上半圆，则△AOB的面积S＝|OA||OB|sin∠AOB＝sin∠AOB，要使三角形的面积最大，此时sin∠AOB＝1，即∠AOB＝90°，则|AB|＝取AB的中点C，则|OC|＝AB|＝，∵|OD |＝，∴sin ∠ODC ＝＝，则∠ODC ＝30°，∠xDA ＝150°，即直线的倾斜角为150°，则直线的斜率k ＝tan150°＝，故选：A ．7. 已知圆C ：x 2+y 2+2x ﹣3=0． （1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，求证：+为定值．【解答】（1）解：圆C ：x 2+y 2+2x ﹣3=0，配方得（x +1）2+y 2=4，则圆心C 的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2； （2）证明：设直线l 的方程为y=kx ，联立方程组，消去y 得（1+k 2）x 2+2x ﹣3=0，则有：，，所以为定值．8、（提高）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切．(1)求圆的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA →·PB →的取值范围． 【解】 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，则r ＝|－4|12＋－32＝2.∴圆的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)，设P (x 0，y 0)， 则|PA |＝x 0＋22＋y 20，|PO |＝x 20＋y 20，|PB |＝x 0－22＋y 20.又|PA |，|PO |，|PB |成等比数列，∴|PO |2＝|PA |·|PB |， 即x 20＋y 20＝[x 0＋22＋y 20][x 0－22＋y 20]，整理得y 20＝x 20－2.∴PA →·PB →＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝(x 20－4)＋y 20＝2x 20－6. 又点P 在圆内，∴x 20＋y 20＜4.∴2≤x 20＜3，∴－2≤PA →·PB →＜0.。
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2.3.2 圆与圆的位置关系
一、学习目标
1、知识与技能
（1）理解圆与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；
（3）会用连心线长判断两圆的位置关系．
2、过程与方法
设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；
（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；
（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；
（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；
（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；
3、情态与价值观
通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养数形结合的思想．
二、重点、难点：
重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系
学习过程：
（一）情境导入：
在现实生活中，圆与圆有不同的位置关系，如下图所示：
圆与圆的位置关系除了以上几种外，还有其他的位置关系吗？我们如何判断圆与圆的位置关系呢？这些问题待学习完这节课后就可以得到解决。
(二)实践与探索：
圆与圆的位置关系 请同学们在纸上画一个圆，把一枚硬币当作另一个圆，纸上移动这枚硬币，观察两圆的位置关系和公共点的个数。
如图23.2.14（1）、（2）、（3）所示，两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中（1）
又叫做外离，（2）、（3）又叫做内含。
（3）中两圆的圆心相同，这两个圆还
可以叫做同心圆。
如果两个圆只有一
个公共点，那么就说这两个圆相切，
如图23.2.14（4）、（5）所示．其中
（4）又叫做外切，（5）又叫做内切。
如果两个圆有两个公共点，那么就说
这两个圆相交，如图23.2.14（6）所
示。
（三）实践与探索：用数量关系识别两圆的位置关系 思考：如果两圆的半径分别为3和5，圆心距（两圆圆心的距离）d 为9，你能确定他们的位置关系吗？若圆心距d 分别为8、6、4、2、1、0时，它们的位置关系又如何呢？
利用以上的思考题让同学们画图或想象，概括出两圆的位置关系与圆心距、两圆的半径具有什么关系。
（1）两圆外离d R r ⇔>+；
（2）两圆外切d R r ⇔=+；
（3）两圆外离R r d R r ⇔-<<+；
（4）两圆外离d R r ⇔=-；
（5）两圆外离0d R r ⇔≤<-；为了使学生对两圆的位置关系用数量关系体现有更深刻的理解以及更牢的记忆，教师可有以下数轴的形式让学生加以理解。
要判断两圆的位置关系，要牢牢抓住两个特殊点，即外切和内切两点，当圆心距刚好等于两圆的半径和时，两圆外切，等于两圆的半径差时，两圆内切。
若圆心距处于半径和与半径差之间时，两圆相交，大于两圆半径和时，两圆外离，小于两圆半径差时
（四）应用与拓展
例1、已知⊙A 、⊙B 相切，圆心距为10 cm ，其中⊙A 的半径为4 cm ，求⊙B 的半径。
分析：两圆相切，有可能两圆外切，也有可能两圆内切，所以⊙B 的半径就有两种情况。
解 设⊙B 的半径为R ．
（1） 如果两圆外切，那么d ＝10＝4＋R ，R ＝6．
（2） 如果两圆内切，那么d ＝｜R －4｜＝10，R ＝－6（舍去），R ＝14．
所以⊙B 的半径为6 cm 或14 cm
例2、两圆的半径的比为2:3，内切时的圆心距等于8cm ，那么这两圆相交时圆心距的范围是多少？
解：设其中一个圆的半径为2r ，则另一个圆的半径为3r 因为内切时圆心距等于8所以
图 23.2.14 0R-r R+r 外离相交外切内切
内含d
328r r -=所以8r =当两圆相交时，圆心距的取值范围是840()d cm <<
（五）小结
设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；
（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；
（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；
（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；
（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；
（六）作业
1．圆m y x =+22与圆0118622=--++y x y x 相交，求实数m 的取值范围
2．圆053:221=+-+y x y x C 与圆042:222=--++y x y x C 的公共弦所在直线方程为 ．
3．已知以)34( -，
C 为圆心的圆与圆122=+y x 相切，则圆C 的方程 4．两圆224210x y x y +-++=与2244x y x y ++-10-=的公切线有 条.
5.判断下列两圆的位置关系：
（1）1)3()2(22=-++y x 与16)5()2(22=-+-y x ；
（2）07622=-++x y x 与027622=-++y y x ．。