河北省沙河市二十冶综合学校高中分校高中数学必修一.1.1《集合的含义与表示》学案

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高一数学必修一课件1.1.1集合的含义与表示 (1)

3≠x 3≠x² - 2x x≠x² - 2x
解得x ≠ -1， x ≠ 0，且x ≠ 3
例4 集合A={1,3,5}与集合B={3,1,5}是同一集合吗？解：根据集合的三要素，可以知道两个集合是同一集合．例5 若{1,2}={a－2,2h}，则求 a, h？解：由集合的三要素知道， 1=2h 1=a－2 或 2=2h 2=a－2 所以得到a=3或4，h=1或0.5．
意义
全体非负整数组
名称自然数集
记法 N
N＋ N* 或___
成的集合
所有正整数组成
的集合
全体整数组成的
正整数集
集合
全体有理数
整数集
Z
组成
的集合
全体实数组成的
有理数集
Q
集合
实数集
R
• 集合的分类： • （1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集 . • 例如，{ 1，1} 含有两个元素， • {1，3，5，7，9} 含有 5 个元素，它们都是有限集. • （2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集. • 例如，集合 { x│x – 3 > 2 } 就含有无限个元素，这个集合就是无限集.
（2）小于2003的数；
×
√
不确定性不确定性
（3）和2003非常接近的数；
×
（4）参加数学比赛的年龄较小的同学；
√ （6）立方根等于自身的数； √
（5）亚洲所有的国家；
（7）西湖里的漂亮的鱼；（8）较大的数．
×
不确定性不确定性
× ×
不确定性
例2 用符号“∊”或∉”填空：
∉ (1)3.14____Q;(2) π____Q; ∊
综上可知：a＝－1.

高中一年级数学必修一_第一章_知识点与习题讲解

..下载可编辑..必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲 §1.1.1 集合的含义与表示¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数. 解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=；用列举法表示为{0,1,3}-.（2）用描述法表示为：{|27}x Z x ∈<<；用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ；－5 A ； 17 B .解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈；由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉；由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈. 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4）（1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（3）反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合. 解：（1）3{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+⎧=⎨=-+⎩. （2）2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-. （3）2{|}{|0}x y x x x==≠.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】已知集合2{|1}2x aA a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．解：化方程212x a x +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种情况： ⑴方程有等根且不是 △=0，得94a =-，此时的解为12x =，合．2A BB A A B A B A ． B ．C ．D ．⑵方程有一解为2，而另一解不是2-：将2x =代入得2a =-，此时另一解12x =-，合． ⑶方程有一解为2-，而另一解不是2：将2x =-代入得2a =，此时另一解为21x =+，合．综上可知，9{,2,2}4A =--．点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.第2讲 §1.1.2 集合间的基本关系¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn 图表达集合间的关系.¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.2. 如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.3. 如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A ≠⊂B （或B ≠⊃A ）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：A A ⊆；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若A B A =I ，则A B ⊆；若A B A =U ，则B A ⊆. ¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.（2）∅ 2{|20}x R x ∈+=； 0 {0}； ∅ {0}； N {0}. 解：（1），；（2）=， ∈，，. 【例2】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（）.解：简单列举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222A =⋅⋅⋅---⋅⋅⋅，3113{,,,,,}2222B =⋅⋅⋅--⋅⋅⋅，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．另解：由21,}2{|n x n B x +=∈=Z ，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.解：由26023x x x +-=⇒=-或，因此，{}2,3M =-. （i ）若0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆；（ii ）若0a ≠时，得1{}N a =. 若N M ⊆,满足1123a a ==-或，解得1123a a ==-或. 故所求实数a 的值为0或12或13-. 点评：在考察“A B ⊆”这一关系时，不要忘记“∅” ，因为A =∅时存在A B ⊆. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值...下载可编辑..解：若22a b ax a b ax+=⎧⎨+=⎩⇒a +ax 2-2ax =0, 所以a (x -1)2=0，即a =0或x =1. 当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去；当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去. 若22a b ax a b ax⎧+=⎨+=⎩⇒2ax 2-ax -a =0. 因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有12x =-. 经检验，此时A =B 成立. 综上所述12x =-. 点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第3讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）¤学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到并集交集补集概念由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（union set ）由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的交集（intersection set ）对于集合A,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）记号A B U （读作“A 并B ”） A B I （读作“A 交B ”） U A ð（读作“A 的补集”）符号 {|,}A B x x A x B =∈∈U 或 {|,}A B x x A x B =∈∈I 且{|,}U A x x U x A =∈∉且ð图形表示¤例题精讲：【例1】设集合,{|15},{|39},,()U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<<I U 求ð. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤I ，(){|1,9}U C A B x x x =<-≥U 或，【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：（1）()A B C I I ；（2）()A A B C I U ð. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------Q . （1）又{}3B C =Q I ，∴()A B C =I I {}3；（2）又{}1,2,3,4,5,6B C =Q U ，得{}()6,5,4,3,2,1,0A C B C =------U . ∴ ()A A C B C I U {}6,5,4,3,2,1,0=------.【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =I ，求实数m 的取值范围. 解：由A B A =I ，可得A B ⊆.在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示：由图形可知，4m ≥.UA-2 4 m xB AA BB A I4点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B U ，()U C A B I ，()()U U C A C B I ， ()()U U C A C B U ，并比较它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}A B =U ，则(){6,7,9}U C A B =U . 由{5,8}A B =I ，则(){1,2,3,4,6,7,9}U C A B =I 由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =，则()(){6,7,9}U U C A C B =I ，()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B =U .由计算结果可以知道，()()()U U U C A C B C A B =U I ，()()()U U U C A C B C A B =I U .另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用Venn 图研究()()()U U U C A C B C A B =U I 与()()()U U U C A C B C A B =I U ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第4讲 §1.1.3 集合的基本运算（二）¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法.¤知识要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B =I U ,()()()U U U C A B C A C B =U I .2. 集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-U I .3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维. ¤例题精讲：【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9A B =I ，求实数a 的值. 解：由于{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，且{}9A B =I ，则有：当219 a -＝时，解得5a ＝，此时={4, 9, 25}={9, 0, 4}A B －，－，不合题意，故舍去；当29a ＝时，解得33a ＝或－.3 ={4,5,9} ={9,2,2}a A B ＝时，－，－－，不合题意，故舍去； 3={4, 7 9}={9, 8, 4}a A B ＝－，－－，，－，合题意.所以，3a ＝－.【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求A B U , A B I .（教材P 14 B 组题2）解：{1,4}B =.当3a =时，{3}A =，则{1,3,4}A B =U ，A B =∅I ；当1a =时，{1,3}A =，则{1,3,4}A B =U ，{1}A B =I ；当4a =时，{3,4}A =，则{1,3,4}A B =U ，{4}A B =I ；当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，则{1,3,4,}A B a =U ，A B =∅I .点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论. 罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若A I B =B ，求实数a 的值．解：先化简集合A ={4,0}-. 由A I B =B ，则B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-.(i )若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得a ＜1-； (ii )若0∈B ，代入得2a 1-=0⇒a =1或a =1-，当a =1时，B =A ，符合题意；..下载可编辑..当a =1-时，B ={0}⊆A ，也符合题意．(iii )若－4∈B ，代入得2870a a -+=⇒a =7或a =1，当a =1时，已经讨论，符合题意；当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意．综上可得，a =1或a ≤1-．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A =B 和B =∅的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A 与B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -= . （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为{|,}U C A x x x A =∈∉U 且”而拓展）解：根据题意可知，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，{0,2,5,6}B = 由定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，则{1,3,4,7,8}A B -=.点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素. 如果再给定全集U ，则A B -也相当于()U A C B I .第5讲 §1.2.1 函数的概念¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.¤知识要点：1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间；{x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）121y x =+-；（2）y =.解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-，所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞U U .（2）由3020x -≥⎧⎪≠，解得3x ≥且9x ≠，所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞U .【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）3254x y x+=-；（2）22y x x =-++. 解：（1）要使函数有意义，则540x -≠，解得54x ≠. 所以原函数的定义域是5{|}4x x ≠.32112813(45)233233305445445445444x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+≠-+=-----，所以值域为3{|}4y y ≠-.6（2）22192()24y x x x =-++=--+. 所以原函数的定义域是R ，值域是9(,]4-∞. 【例3】已知函数1()1xf x x-=+. 求：（1）(2)f 的值；（2）()f x 的表达式解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1(2)3f =-.（2）设11x t x -=+，解得11t x t -=+，所以1()1t f t t -=+，即1()1xf x x-=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例4】已知函数22(),1x f x x R x =∈+.（1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.解：（1）由2222222221111()()1111111x x x x f x f x x x x x x ++=+=+==+++++.（2）原式11117(1)((2)())((3)())((4)())323422f f f f f f f =++++++=+=点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.第6讲 §1.2.2 函数的表示法¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.又由20a x >－，解得2a x <. 所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2a x x <<.【例2】已知f (x )=333322x x x x-⎧++⎪⎨+⎪⎩ (,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.解：∵ 0(,1)∈-∞， ∴ f (0)=32.又 ∵ 32>1，∴ f (32)=(32)3+(32)-3=2+12=52，即f [f (0)]=52. 【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-；（教材P 26 练习题3）..下载可编辑..（2）|1||24|y x x =-++.解：（1）由绝对值的概念，有2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.（2）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.解：3, 2.522,211,10()0,011,122,233,3x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪--≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪=⎩. 函数图象如右：点评：解题关键是理解符号[]m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.第7讲 §1.3.1 函数的单调性¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.¤知识要点：1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性. 解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <. 则1221121212222()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以，函数2()1xf x x =-在（0，1）上是减函数.【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性.解：设任意12,x x R ∈，且12x x <. 则22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++.若0a <，当122b x x a <≤-时，有120x x -<，12bx x a+<-，即12()0a x x b ++>，从而12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(,]2b a -∞-上单调递增. 同理可得()f x 在[,)2ba-+∞上单调递减.【例3】求下列函数的单调区间：8（1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++.解：（1）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，其图象如右.由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数.（2）22223,02||323,0x x x y x x x x x ⎧-++≥⎪=-++=⎨--+<⎪⎩，其图象如右.由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例4】已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间. 解：∵ 3(2)55()322x f x x x +--==+++， ∴ 把5()g x x-=的图象沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到()f x 的图象，如图所示.由图象得()f x 在(,2)-∞-单调递增，在(2,)-+∞上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知()f x a b ++平移变换规律.第8讲 §1.3.1 函数最大（小）值¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值.¤知识要点：1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2. 配方法：研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成224()24b ac b y a x a a-=++后，当0a >时，函数取最小值为244ac b a -；当0a <时，函数取最大值244ac ba-.3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值.解：配方为2613()24y x =++，由2133()244x ++≥，得260813()24x <≤++. 所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x 元，则提高了(10)x -元，减少了10(10)x -g 件，所赚得的利润为(8)[10010(10)]y x x =---g g ...下载可编辑..即2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+. 当14x =时，max 360y =.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元. 【例3】求函数21y x x =+-的最小值.解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数，所以当1x =时，min 2112y =+-=，函数的最小值为2.点评：形如y ax b cx d =+±+的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令1x t -=，则0t ≥，21x t =+，所以22115222()48y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-；（2）|1||2|y x x =+--.解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2bx a=-，即1x =-. 画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max 4y =；当32x =时，min 94y =-.所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94-.（2） 3 (2)|1||2|2 1 (12)3 (1)x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩.作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第9讲 §1.3.2 函数的奇偶性¤学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.¤知识要点：1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）. 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）.2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系.¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性：（1）31()f x x x=-；（2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-. 解：（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有3311()()()()f x x x f x x x-=--=--=--，所以为奇函数.（2）原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=--+-+=-++=，所以为偶函数.（3）由于23()()f x x x f x -=+≠±，所以原函数为非奇非偶函数. 【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x .10解：∵ ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ∴ ()()f x f x -=-，()()g x g x -=.则1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪---=⎪-+⎩，即1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-+⎩.两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21()1g x x =-.【例3】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.解：作出函数22242(1)2,0y x x x x =-+=--+≥的图象，其顶点为(1,2). ∵ ()f x 是偶函数， ∴ 其图象关于y 轴对称.作出0x <时的图象，其顶点为(1,2)-，且与右侧形状一致， ∴ 0x <时，22()2(1)224f x x x x =-++=--.点评：此题中的函数实质就是224||y x x =-+. 注意两抛物线形状一致，则二次项系数a 的绝对值相同. 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.【另解】当0x <时，0x ->，又由于()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，所以，当0x <时，22()()2()4()24f x f x x x x x =-=--+-=--.【例4】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满足不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围.解：∵ ()f x 在区间(,0)-∞上是减函数， ∴ ()f x 的图象在y 轴左侧递减. 又 ∵ ()f x 是奇函数，∴()f x 的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减.又 (0)(0)f f -=-，解得(0)0f =，所以()f x 的图象在R 上递减.∵ 22(33)(32)f a a f a a +-<-，∴ 223332a a a a +->-，解得1a >. 点评：定义在R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.集合与函数基础测试一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)1．函数y ＝＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（） A ．递减函数 B ．递增函数C ．先递减再递增D ．选递增再递减．2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{3．已知集合A ={a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是（） A. a B. {a ，c } C. {a ，e } D.{a ，b ，c ，d } 4．下列图形中，表示N M ⊆的是（）M N A M N B N M C M N D....下载可编辑..5．下列表述正确的是（）A.}0{=∅B. }0{⊆∅C. }0{⊇∅D. }0{∈∅6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( )A.A∩BB.A ⊇BC.A ∪BD.A ⊆B7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则有（）A.（a+b ）∈ AB. (a+b) ∈BC.(a+b) ∈ CD. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个8．函数f （x ）＝－x 2＋2（a －1）x ＋2在（－∞，4）上是增函数，则a 的范围是（）A ．a ≥5B ．a ≥3C ．a ≤3D ．a ≤－59.满足条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是（） A. 8 B. 7 C. 6 D. 510.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是（）A. A B YB. B A IC. B C A C U U ID. B C A C U U Y11.下列函数中为偶函数的是（）A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y12. 如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（）A ．0B ．0 或1C ．1D ．不能确定二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上)13．函数f （x ）＝2×2－3｜x ｜的单调减区间是___________． 14．函数y ＝11＋x 的单调区间为___________． 15.含有三个实数的集合既可表示成}1,,{ab a ，又可表示成}0,,{2b a a +，则=+20042003b a . 16.已知集合}33|{≤≤-=x x U ，}11|{<<-=x x M ，}20|{<<=x x N C U 那么集合=N ，=⋂)(N C M U ，=⋃N M . 三、解答题(共4小题，共44分）17. 已知集合}04{2=-=x x A ，集合}02{=-=ax x B ，若A B ⊆，求实数a 的取值集合．18. 设f （x ）是定义在R 上的增函数，f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），f （3）＝1，求解不等式f （x ）＋f （x －2）＞1．1219. 已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式．20. 已知二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数)(x f 的单调递增区间.....下载可编辑..必修1 第一章集合测试集合测试参考答案：一、1~5 CABCB 6~10 ABACC 11~12 cB二、13 ［0，43］，（－∞，－43） 14 （－∞，－1），（－1，＋∞） 15 -1 16 03|{≤≤-=x x N 或}32≤≤x ；}10|{)(<<=⋂x x N C M U ；13|{<≤-=⋃x x N M 或}32≤≤x .三、17 .{0.-1,1}； 18. 解：由条件可得f （x ）＋f （x －2）＝f ［x （x －2）］，1＝f （3）．所以f ［x （x －2）］＞f （3），又f （x ）是定义在R 上的增函数，所以有x （x －2）＞3，可解得x ＞3或x ＜－1．答案：x ＞3或x ＜－1．19. ．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝-1．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1，∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．20. Θ二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称，∴1=m ，则1)(2+-=x x f ，函数)(x f 的单调递增区间为(]0,∞-. ．。

高一数学 1.1.1 集合的含义与表示新人教A版必修1

• 3．对给定的集合用图形(常见的有圆和矩形) 表示，图形上或图形内的点表示该集合的元素，图形外的点表示集合外的元素，这种表示集合的方法叫图示法，或称Venn图示．
思考感悟 (1)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}是否表示同一个集
合？提示：虽然两个集合的代表元素不同，但实质
上它们均表示大于3的所有实数，故是同一个集合．
• ⑤集合中的元素可以是任何事物．
变式体验1 用列举法表示下列集合：
(1)绝对值小于5的整数；
(2)满足a∈Z，且
6 3－a
∈N的a构成的集
合；
(3)满足x2＋y2＝25的点(x，y)，其中x∈
N，y∈N.
解：(1)绝对值小于5的整数有－4，－3，－2，
－1,0,1,2,3,4，所以满足条件的集合为{－4，－3，－
• 提示：一般来讲，有限集(当集合中元素的个数有限时，称为有限集；否则，当集合中元素的个数无限时，称为无限集)宜采用列举法，它具有直观明了的特点；无限集或不宜一一列举的集合，宜采用描述法，若无限集有规律，也可以用列举法．
• 自我检测
• 1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为
()
• 4．已知集合A＝{0,1,2,3,4}，试用描述法表示该集合为________．(答案不唯一，写出一个便可)
• 解析：A中含有0,1,2,3,4五个自然数，故可以用描述法表示为{x∈N|x<5}，也可以表示为{x∈Z|－1<x<5}等．
• 答案：{x∈N|x<5}
• 5．将大于0不大于15且能被3整除的整数组成的集合分别用列举法和描述法表示出来．
• 解：列举法：{3,6,9,12,15}；

2021-2022年高中数学《集合-1.1.1集合的含义与表示》说课稿2 新人教A版必修1

2021-2022年高中数学《集合-1.1.1集合的含义与表示》说课稿2 新人教A版必修1从容说课本课是章节第二课，主要是让学生把生活的群体抽象成集合以后，引导他们选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.集合作为一种基本的数学语言，学习并掌握它的最好方法是使用.因此，教学中要多引导学生使用集合语言描述对象，进行自然语言与集合语言间的转换练习.三维目标一、知识与技能1.继续体会元素与集合的从属关系.2.掌握集合的表示方法——列举法和描述法，并能进行自然语言与集合语言间的相互转换.3.会用集合语言表示有关数学对象.4.了解有限集与无限集的概念.二、过程与方法1.教学时不仅要关注集合的基本知识的学习，同时还要关注学生抽象概括能力的培养.2.教学过程中应努力创导培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力，训练学生分析问题和处理问题的能力.三、情感态度与价值观培养数学的特有文化——简洁精练，体会从感性到理性的思维过程.教学重点用集合语言（描述法）表达数学对象或数学内容.教学难点集合表示法的恰当选择.教具准备多媒体.教学过程一、复习旧知（1）集合元素的特性有哪些?（2）集合与元素的关系及表示怎样?二、讲解新课1.集合的表示方法通过学习提纲，师生共同归纳集合表示方法及其注意事项.（1）列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法称为列举法.列举法的优点是可以明确集合中具体的元素及元素的个数.使用列举法必须注意：①元素间用“，”分隔；②集合中元素必须满足三个特性；③对于含有有限个元素且个数较少的集合采取该方法较适宜，若元素个数较多或无限个且构成集合的这些元素有明显规律，也可用列举法，但必须把元素规律显示清楚后才能用省略号，如不超过1000的正整数构成的集合可表示为｛1，2，3，…，1000｝.（2）描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.它的形式为｛p∈D|p 适合的条件｝，其中p叫做代表元素，D为p的限制范围，其含义为所有适合该条件的对象构成的集合.如果从上下文的关系来看，p∈D是明确的，那么p∈D 可以省略，只写其元素p.例如A=｛x∈R|1≤x＜2｝也可表示为A=｛x|1≤x＜2｝；B=｛x∈Z|x=3k－1，k∈Z｝也可表示为B=｛x|x=3k－1，k∈Z｝.描述法的语言形式有三种：文字语言、符号语言、图形语言.如表示直线y=x 上所有的点组成的集合，可用下列三种形式表示：①文字语言形式：直线y=x上所有点组成的集合；②符号语言形式：｛（x，y）|y=x｝；③图形语言形式：在平面直角坐标系内画出Ⅰ、Ⅲ象限角平分线.使用描述法必须注意：①应写清该集合中元素的代表符号.如集合{x|x≥2}不能写成{x≥2}，这里便少了代表元.又如集合{（x，y）|y=x2}与集合{y|y=x2}便表示两个不同的集合，前者为点集，而后者为数集，区别就在于它们的代表元不同.②准确说明该集合中元素的特性.③应对代表元素进行说明.如下列表示方法便是错误的：{（x，y）|（1，2）}，事实上它应表示为{（x，y）|x=1，y=2}或表示为｛（1，2）｝.说明：教科书在介绍描述法前给出了第4页的“思考”，其目的是让学生认识到仅用列举法表示集合是不够的，由此说明学习描述法的必要性.学习描述法时，可让学生针对具体的集合，先用自然语言表述集合的元素具有的共同属性，再介绍用描述法表示集合的方法.2.有限集与无限集（1）有限集：集合中的元素个数是有限个的，如集合A=｛－1，2，4｝，是含有3个元素的有限集.（2）无限集：集合中的元素个数是无限个的，如集合A={x∈R|1≤x＜2}，便是一个无限集.3.例题讲解例1.【例1】教科书P4教科书中的例1，不仅要使学生明白用列举法表示集合的方法，同时还要让学生知道集合中元素的列举与元素顺序无关，即集合的无序性.教学时，还可以举一些别的例子，如用列举法表示甲、乙两个足球队比赛时所有甲方队员组成的集合等.例2.【例2】教科书P5教科书中的例2，不仅要让学生学习两种表示法，同时还要让学生体会如何恰当选择表示法表示集合.列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法.一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用列举法，它具有直观明了的特点；对无限集，一般采用描述法表示.教学时，可以让学生选择表示法表示本小节开始时的8个例子，并可完成教科书第6页练习第2题.【例3】把下列集合用另一种形式表示出来：（1）｛1，5｝；（2）｛x|x2+x－1=0｝；（3）｛2，4，6，8｝；（4）｛x∈N|3＜x＜7｝.解：（1）｛x|x=2n+1，n∈｛0，2｝｝或｛x|x表示10以内的两个正奇整数且它们的和为6｝或｛x|（x－1）（x－5）=0｝；（2）｛方程x2+x－1=0的两个根｝或｛，｝；（3）｛10以内的正偶数｝或｛x|x=2n，n∈N*，n＜5｝；（4）｛4，5，6｝.说明：集合的表示方法是多样的，同一个集合可用不同的形式表示出来，这有助于从不同的角度认识同一个集合.要教会学生在学习中，要注意在把握住元素特征的基础上，用最简洁直观、最有利于问题解决的形式来表示集合.三、课堂练习练习2.1.教科书P6答案：（1）｛－3，3｝；（2）｛2，3，5，7｝；（3）｛（1，4）｝；（4）｛x|x＜2｝.2.用列举法表示集合｛（x，y）|x+y=3，x，y∈N｝.答案：｛（0，3），（3，0），（1，2），（2，1）｝.3.用描述法表示集合｛1，，，｝.答案：｛x|x=，n∈N*，且n≤4｝.四、课堂小结1.集合的表示方法：列举法、描述法；2.有限集与无限集；3.注意选用“适当”的方法表示集合.五、布置作业习题1.1 A组第2题.1.教科书P132.方程组的解集是A.｛x=0，y=1｝B.｛0，1｝C.｛（0，1）｝D.｛（x，y）|x=0或y=1｝3.M=｛m|m=2k，k∈Z｝，X=｛x|x=2k+1，k∈Z｝，Y=｛y|y=4k+1，k∈Z｝，则A.x+y∈MB.x+y∈XC.x+y∈YD.x+yM4.下列各小题中，分别指出了一个集合的所有元素，用适当的方法把这个集合表示出来，然后说出它是有限集还是无限集：（1）组成中国国旗图案的颜色；（2）世界上最高的山峰；（3）由1、2、3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；（4）平面内到一个定点O的距离等于定长l（l＞0）的所有的点P.习题1.1 A组第3题.5.教科书P136.教科书P习题1.1 A组第4题.13板书设计gErPc:25355 630B 挋23122 5A52 婒#_23569 5C11 少}29820 747C 瑼g。

(完整word版)高中数学必修一集合的含义及其表示教案

第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1 集合的含义及其表示教学目的：（1）初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；（2）初步了解“属于”关系的意义；（3）初步了解有限集、无限集、空集的意义；教学重点：集合的含义与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法一一列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。

教学过程：一、问题引入：我家有爸爸、妈妈和我；我来自燕山中学；省溧中高一（1）班；我国的直辖市。

分析、归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义。

二、建构数学：1 •集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set）。

集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A、集合B .........集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）,简称元。

集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。

女口a、b、c、p、q ..........指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

（1）我国的直辖市；（2）省溧中高一（1）班全体学生；（3）较大的数（4）you ng中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。

2 •关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。

3 •集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a € A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A （“€”的开口方向，不能把a€ A颠倒过来写.）4 •有限集、无限集和空集的概念：5•常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合•记作N，N 0,1,2,（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+ N* 1,2,3,（3）整数集：全体整数的集合+记作Z , Z 0, 1, 2，（4）有理数集：全体有理数的集合+记作Q ,Q 整数与分数（5）实数集：全体实数的集合+记作R R 数轴上所有点所对应的数注：(1)自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数 0.(2)非负整数集内排除0的集.记作N *或N + *Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z6 •集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

高中数学1.1.1集合的含义与表示教案新人教A版必修1

(4) 小于 10 的所有自然数组成的集合；
高中数学 1.1.1 集合的含义与表示教案新人教 A 版必修 1
高中数学 1.1.1 集合的含义与表示教案新人教 A 版必修 1
(5)
方程
2
x
x 的所有实数根组成的集合；
(6) 由 1~20 以内的所有质数组成的集合。
问题 6：能否用列举法表示不等式 x-7<3 的解集 ? 由此引出描述法。
x+3<6 的解集 ?（可表示为 :x<3 ）
(III) 讲授新课
一、集合的表示方法
问题 4 中，方法 1 为图示法，方法 2 为列举法 .
1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来 , 写在大括号里的方法 .
说明： (1) 书写时，元素与元素之间用逗号分开；
(2) 一般不必考虑元素之间的顺序；
(3) 在表示数列之类的特殊集合时 , 通常仍按惯用的次序；
高中数学 1.1.1 集合的含义与表示教案新人教 A 版必修 1
R：全体实数的集合。（ III ）课堂练习
1. 课本 P2、 3 中的思考题
2. 补充练习：
(1) 考察下列对象是否能形成一个集合？
① 身材高大的人
②所有的一元二次方程
③ 直角坐标平面上纵横坐标相等的点
④细长的矩形的全体
Байду номын сангаас
⑤ 比 2 大的几个数
(4){x
N∣ 3<x<4};
f. 判断下列关系式是否正确 ?
(1) 2 (4) 2
Q;
(2) N
{{2},{1}}; (5)
R;
(3) 2
菱形 { 四边形与三角形 }; (6) 2

人教版高一数学必修一1.1.1《集合的含义与表示》课件ppt

一、引入
在生活中，有许多事物给我们以集体的印象，比如，你的家庭；你所在的班级；山东省的所有城市，等等，你还能举出一些这样的例子吗？
仙居中学2012届新高一的全体同学；仙居中学2012届高一（7）班全体女同学。
蓝蓝的天空中，一群鸟在欢快的飞翔
茫茫的草原上，一群羊在悠闲的走动
清清的湖水里，一群鱼在自由地游动；
思考3：高一19班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？
集合中的元素是没有顺序的
总结出集合的三大性质： ①确定性； ②互异性； ③无序性。
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。
（2）互异性：集合中的元素没有重复。
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
高中必修一：Chap 1
1.1.1 集合的含义与表示
思考问题： (1)上面这些图画都给我们什么样的印象?
动物生活在一起——有群居的特点。
(2)初中时,我们有学习到与“集合”有关的内容吗？
自然数的集合、有理数的集合、不等式x－7≤3 的解的集合、到定点的距离等于定长的点的集合（即球面）、到定直线的距离等于定长的点的集合（即圆柱面）
－－－－－
二、集合的概念
1、集合的概念
一般地，把研究的对象称为元素(element)；通常用小写拉丁字母a，b，c，…，表示；把一些元素组成的总体叫做集合(set), 简称集; 通常用大写拉丁字母A，B，C，…,表示.
练习1、请指出下列集合中的元素：
（1）“young”中的字母构成一个集合，该集合的元素是 y，o，u，n，g五个字母
记பைடு நூலகம்．

高中数学 1.1.1集合的含义与表示第一课时教案新人教A版必修1

1.1.1 集合的含义与表示一．教学目标1.知识与技能①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.②知道常用数集及其专用记号.③会用集合语言表示有关数学对象.2.过程与方法①让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.②让学生归纳整理本节所学的知识.3.情感、态度与价值观增强学生的社会责任感，增强学习的积极性.二．教学重点与难点1.重点：集合的含义与表示方法.2.难点：用描述法表示集合.三．教学设计（一）创设情境，揭示课题同学们看一下，这两个图形分别是什么？他们的定义是什么？那么，集合的含义是什么呢？我们这节课就来学习一下……（二）研探新知如果把昌江中学高一（1）班的每一个同学作为元素，这些元素的全体就是一个集合.请全体女生起立，如果把我们班的每一个女同学作为元素，这些元素的全体也是一个集合.思考：下面的例子也都能组成集合吗？他们的元素分别是什么？① 1~20以内的所有质数；②所有的正方形；③到直线L的距离等于定长d的所有的点；④方程x2+3x+2=0的所有实数根.1.集合的含义一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.给定一个集合，它的元素必须是确定的，例如，我们班的全体同学构成一个集合，你们每个同学都在这个集合中，隔壁班的同学不在这个集合中.“美女”能构成一个集合吗？不能.因为组成它的元素是不确定的.我们班有模样相同的两个同学吗？没有.说明集合中的元素是互不相同的.我们班每个星期都会换座位，我们班所有同学组成的集合改变了吗？没变.说明只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.思考：判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：①大于3小于11的偶数；②我国的小河流；③中国的直辖市；④身材较高的人.2.元素与集合的关系通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示集合，小写的拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素.如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就a A.说a不属于集合A，记作如果用A表示“我们班的所有女生”组成的集合，xx属于A，xxx不属于A.3.集合的表示方法①自然语言②字母表示常见的数集及其记法：自然数集N；正整数集N*或N+；整数集Z;有理数集Q；实数集R.记忆.随机提问③列举法:“我国的直辖市”组成的集合表示为{北京，天津，上海，重庆}像这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.注意：在花括号内不多，不漏，元素之间用“,”隔开.分组：男生一组，女生一组，分组讨论，比赛，输的一方要负责发动全校的同学为玉树地震灾区筹集资金.分组讨论：然后收集一些学生的答案，并分析.例1. 用列举法表示下列集合：①小于10的所有自然数组成的集合；②方程x2=x的所有实数根组成的集合；③由1~20以内的所有质数组成的集合.解:①{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.②{0，1}.③{2，3，5，7，11，13，17，19}.思考：你能用列举法表示不等式x-7<3 的解集吗？不能，因为这个集合中的元素是列举不完的.但是我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述.④描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再划一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.注意：表示元素的符号及取值范围，共同特征.例2. 试分别用列举法和描述法表示下列集合：①方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；②由大于10小于20的所有整数组成的集合.解：①用描述法表示为{ x∈R|x2-2=0}.用列举法表示为{2，-2}s②用描述法表示为{x∈Z|10<x<20}.用列举法表示为{11，12，13，14，15，16，17，18，19}通过例2，让学生发现，用描述法表示集合时，如果从上下文的关系来看，元素的取值范围是确定的，则可以省略范围，只写其元素．思考：试比较用列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用的对象.（三）巩固练习：选择适当的方法表示下列集合：1. 所有奇数组成的集合；2. 一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合.（四）小结1.集合的含义.2.元素与集合.3.集合的表示:①自然语言；②字母表示；③列举法；④描述法.（五）作业: P5 练习1.2.四．板书1.1.1 集合的含义与表示1.集合的含义. 3.集合的表示:集合相等①自然语言；2.元素与集合②字母表示；a∈Aa A ④描述法.五．教学反思。

人教版高一年级数学必修一1.1.1《集合的含义与表示》优质教案

1.1.1集合的含义与表示学习目标：要求学生初步理解集合的概念，理解元素与集合间的关系，掌握集合的表示法，知道常用数集及其记法.学习重点： 1、元素与集合间的关系2、集合的表示法学习难点：集合的表示方法学习过程：一、新授：1、集合的概念 2、实例引入：⑴ 1~20以内的所有质数;⑵我国从1991~2003的13年内所发射的所有人造卫星;⑶金星汽车厂2003年生产的所有汽车;⑷ 2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家;⑸所有的正方形; ⑹黄图盛中学2004年9月入学的高一学生全体.结论：一般地，我们把研究对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合，也简称集.2、集合元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素.（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写练习：判断下列各组对象能否构成一个集合⑴2，3，4 ⑵（2，3），（3，4）⑶三角形⑷2，4，6，8，…⑸1，2，（1，2），{1，2}⑹我国的小河流⑺方程x2+4=0的所有实数解⑻好心的人⑼著名的数学家⑽方程x2+2x+1=0的解3、集合相等构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等4、集合元素与集合的关系集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示：（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∈A5、常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N；除0的非负整数集，也称正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.练习：（1）已知集合M={a，b，c}中的三个元素可构成某一三角形的三条边，那么此三角形一定不是（）A直角三角形 B 锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形（2）说出集合{1，2}与集合{x=1，y=2}的异同点？6、集合的表示方式（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内；（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示的方法.（具体方法）二、例题分析例 1、用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；（3）由1~20以内的所有质数组成。

高中数学人教版必修1课件：1.1.1集合的含义及表示

（1）由 x2 x 2 0 的解组成集合.
{x | x2 x 2 0} {x | x 2或x 1} ={2，1}
（2）1,
1 2
,
1 3
,
1 4
,
={x |
x
1 n
, n Z}
(3)
方程组
3x 2x
2y 3y
2 27
的解集.
={( x,
y)
|
3x 2x
2y 3y
2 }
02345
x
五、回顾
• 知识回顾 • 集合与元素的定义
• 元素的性质
• 集合的表示
• 数学思想之分类讨论
1、设集合A={1，a，b}， B={a，a2，ab} 且A=B，求实数a，b。
2:1∈{a+2,(a+1)2,a2+3a+3}, 求实数a的值.
3、已知集合{x|ax2+2x+1=0} 只含一个元素，求a的值。
任意性
（1）集合中的元素有属性要求吗？
（2）所有素养好的人能否组成一个集确合？定性
（3）1223中的数字组成的集合中有几互个元异素性？
（4）小明到商店先买了a又买了b，小红到商店
先买了b又买了a。问小明买的东西组成的集合
与小红买的东西组成的集合一样吗？无序性
随堂练习
[练习1] 下面各组对象能否构成集合？（1）所有的好人；（2）小于2003的数；（3）和2003非常接近的数。（4）立方根等于自身的数
(3)抛物线 y x2 上点的纵坐标. {y | y x2}
3.2 一般集合的表示
⑶ 韦恩图法：就是用一条封闭的曲线的内部来表示集合的方法. 图1-1表示任意一个集合A；图1-2表示集合{1，2，3，4，5}.

2017人教a版数学必修一1.1.1集合的含义与表示一学案

河北省衡水中学高一数学必修一学案：1.1.1集合的含义与表示（一）一、学习要求：了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。

二、自学导引：1.集合的含义：一般的，咱们把研究统称为；把叫做集合（简称集）2.集合的相等关系：只要组成两个集合的元素是一样的，咱们就称这两个集合是相等的。

3.若是a是集合A的元素，就说a 集合A,记作：若是a不是集合A的元素，就说a 集合A,记作：4.常常利用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号5.注意：自然数集与非负整数集是相同的，即自然数集包括数0；集合还能够用文氏图来表示。

集合的概念常常利用数集属于（a A∈）集元素与集合的关系合不属于（a A∉）肯定性集合种元素的性质互异性无序性6.集合元素的三个性质：（1）肯定性：设A是一个给定的集合，x是某一具体对象。

则x或是A的元素，x或不是A 的元素，两种情形必有一种且只有一种情形成立。

（2）互异性：“集合的元素必需是互异的”，就是说“对于一个给定集合，它的任何两个元素都是不同的”。

如方程012=-x 的解组成的集合为{},1而不能记为{}1,1 （3）无序性：集合与它的元素的排列顺序无关，如集合{}c b a ,,与{}a c b ,,是同一集合。

三、典例剖析例1.考察下列每组对象可否组成一个集合：（1）著名的数学家；（2）某校2007年在校的所有高个子同窗；（3）不超过20的非负数；（4）方程092=-x 在实数范围内的解；（5）直角坐标平面内第一象限的一些点；（6） 3的近似值的全部。

变式训练1.下列各组对象：①接近于0的数的全部；②某一班级内视力较好的同窗；③平面内到点O 的距离等于2的点的全部；④所有锐角三角形；⑤太阳系内的所有行星。

其中能组成集合的组数是（）A. 2组B. 3组C. 4组D. 5组例2.（1）已知a ∈N ，b ∈N ，（a+b ）∈N 吗？（2）已知a ∈N ，b ∈Z ，（a+b ）∈Z 吗？变式训练：2.已知a ∈Q ，b ∈R ，试判断元素a+b 与集合Q ，R 的关系。

高一数学必修一 1.1.1集合的含义与表示(2)

§1.1.1集合的含义与表示一. 教学目标：l.知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；(2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；(4)会用集合语言表示有关数学对象；(5)培养学生抽象概括的能力.2. 过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.(2)让学生归纳整理本节所学知识.3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.二. 教学重点.难点重点：集合的含义与表示方法.难点：表示法的恰当选择.三. 学法与教学用具1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪.四. 教学思路(一)创设情景，揭示课题1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价.2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.（二）研探新知1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例：(1)1—20以内的所有质数；(2)我国古代的四大发明；(3)所有的正方形；(4)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；(5)到一个角的两边距离相等的所有的点；(6)方程2560x x -+=的所有实数根；(7)不等式30x ->的所有解；(8)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.2．教师组织学生分组讨论：这8个实例的共同特征是什么?3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出8个实例的特征，并给出集合的含义.一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）(简称为集)。

4.教师指出：集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…表示，元素常用小写字母,,,a b c d …表示.(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.2．教师组织引导学生思考以下问题：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：(1)大于3小于11的偶数；(2)我国的小河流.让学生充分发表自己的建解.3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.4.教师提出问题，让学生思考如果用A 表示高—(3)班全体学生组成的集合，用a 表示高一(3)班的一位同学，b 是高一(4)班的一位同学，那么,a b 与集合A 分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈.如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉.5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题：(1)要表示一个集合共有几种方式?(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么?(3)如何根据问题选择适当的集合表示法?使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。

高一数学必修1《集合的含义与表示》教案

高一数学必修1《集合的含义与表示》教案【教学目标】1. 理解集合的概念，能够用通俗易懂的语言描述集合的含义。

2. 熟悉常见集合符号的表示及其含义。

3. 能够运用集合的相关性质解决实际问题。

4. 能够分别用文字描述和图形表示集合。

【教学重点】1. 集合的概念与基本符号的熟练掌握。

2. 集合运算的理解和运用。

【教学难点】1. 集合的基本概念，包括空集、全集、子集等。

2. 集合运算的细节及其运用。

【教学方法】1. 演讲法：介绍集合的基本概念和相关性质。

2. 互动式教学：让学生根据实际问题思考集合的处理方法，提高学生的思维能力。

3. 提问式教学：通过提出问题，引导学生自己思考和总结。

【教学资源】1. 高一数学必修1教材。

2. PPT。

3. 多媒体教学设备。

【教学过程】一、导入（15分钟）1. 引入集合概念。

通过图片或文字向学生展示几个集合，引导学生了解集合的概念。

2. 创建集合。

让学生自己尝试创建几个集合，并用文字或图形表示出来。

二、集合的概念（30分钟）1. 什么是集合？集合是由一些互不相同的元素所组成的整体。

例如，由0、1、2、3、4这5个元素组成的集合可以用花括号表示：{0，1，2，3，4}。

2. 集合的符号表示。

集合用大写字母表示，元素用小写字母表示。

例如，集合A={a1，a2，…，an}。

3. 集合的基本概念。

有限集合、无限集合、空集、全集、真子集、超集。

4. 练习。

通过几个例题，让学生巩固集合的基本概念。

三、集合的运算（45分钟）1. 集合的运算符号。

并集、交集、差集、补集、对称差集等。

2. 集合的运算法则。

交换律、结合律、分配律、消去律、德摩根定律等。

3. 练习。

通过较易的例题，让学生理解集合运算的概念和运算法则。

四、作业布置（10分钟）1. 课后练习。

布置一定量的集合练习题，让学生掌握集合概念和运算法则，并合理运用集合来解决实际问题。

2. 知识巩固。

要求学生按照课上所学知识，撰写一篇500字的集合概念详解。

河北省沙河市二十冶综合学校高中分校高中数学必修一导

§1.1.2 集合间的基本关系【学法指导】：认真听讲，专心阅读，深度讨论思考，勤于练习。

【学习目标】：1. 了解集合之间包含与相等的含义；2. 理解子集、真子集的概念；3. 能利用Venn 图表达集合间的关系；4. 了解空集的含义。

【学习重难点】：理解集合间包含与相等的含义，空集的含义。

【学习难点】：理解空集的含义。

【教学过程】：一：基础知识填空（请你快速阅读课本6-7页，完成下列填空。

）1、子集的概念①一般地，对于两个集合A,B,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集合有关系，称集合A 是集合B 的，记作：，读作：A B ，或B A .② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为：()A B B A ⊆⊇或.2、集合相等：如果，且，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，称集合A 与集合B 相等，记做A B =。

3、真子集：若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的，记作：，读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.4、空集：叫做空集，记作 . 并规定：空集是任何集合的子集，5、子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即 .(2)对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么 .(3)规定是任何集合的子集，空集是任何非空集合的 .二、实战小题1、用适当的符号填空.（1）D=｛二十冶高中高一学生｝ C=｛二十冶高生｝（2）{,}a b {,,}a b c ，a {,,}a b c ；（3）∅ 2{|30}x x +=，∅ R ；（4）N {0,1}，Q N ；（5）{0} 2{|0}x x x -=.2、设{}13,A x x x Z =-<<∈,写出A 的所有子集，并指出哪些是它的真子集？知识拓展：如果一个集合含有n 个元素，那么它的子集有个，真子集有个 3、设集合A ＝{x|1<x<2}，B ＝{x|x<a}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围为________．4、（1）已知集合B=｛-1,3,2m-1｝,集合A=｛3，m 2｝,若A B ⊆,求实数m 的值.（2）若集合{|}A x x a =>，{|250}B x x =-≥，且满足A B ⊆，求实数a 的取值范围.四：作业:课本7页练习1、2、3；课本12页A 组第5题。