高二数学竞赛模拟试卷(2)

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高二数学竞赛试题及答案

班级_____________________ 姓名____________________ 考场号____________ 考号___________----------------------------------------------------密--------------------------------封--------------------------------线------------------------------------------------ 新源县第二中学高二年级数学竞赛试题（说明：1.本试卷由46道填空题共50个空构成，每空2分满分100分，考试时间为120分钟。

2.由于本试卷侧重竞赛故难易程度较分散，考生可以根据自己的特点选择自己擅长的题目争取在规定的时间内做对较多的题。

3.考生必须将答案准确的填写在答题卡上。

）1. 如果命题“若A 则Ｂ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则Ａ是B 的条件．2. 已知p ：1∈｛1，2｝，q ：｛1｝∈｛1，2｝，则①“p 且q ”为假； ②“p 或q ”为真；③“非p ”为真，其中的真命题的序号为 .3. （1）“p 且q 是真命题”是“p 或q 为真命题”的条件；（2）“非p 是真命题”是“p 或 q 为真命题”的条件；（3）“p 或q 为假命题”是“非p 为真命题”的条件；4. 命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是。

5. 12:,A x x 是方程20(0)axbx c a ++=≠的两实数根；12:bB x x a+=-,则A 是B 的条件。

6. 用“充分、必要、充要”填空：①p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的_____________________条件； ②p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的_____________________条件；③:23A x -<, 2:4150B x x --<, 则A 是B 的___ ___ ___ __条件。

高中数学竞赛模拟题(十六套)

模拟试题一 2010年全国高中数学联赛模拟试题一试一、填空题（每小题８分，共６４分）1．方程错误！未找到引用源。

2．如图，在错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

，则m+2n 的值为错误！未找到引用源。

３．错误！未找到引用源。

4．单位正方体错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

这八个面截这个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为 .５．设数列错误！未找到引用源。

6．已知实数x ，y ，z 满足xyz=32，x+y+z=4，则|x|+|y|+|z|的最小值为错误！未找到引用源。

7．若错误！未找到引用源。

8．空间有100个点，任4点不共面，用若干条线段连结这些点，如果不存在三角形，最多可连错误！未找到引用源。

条线段．二、解答题（共５６分） 9．（16分）设错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

之和为21，第2项、第3项、第4项之和为33．（1）求数列错误！未找到引用源。

的通项公式；（2）设集合错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，求证：错误！未找到引用源。

． 10．（20分）过抛物线错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

的距离均不为整数．11．（20分）已知二次函数错误！未找到引用源。

有两个非整数实根，且两根不在相邻两整数之间．试求a ， b 满足的条件，使得一定存在整数k ，有错误！未找到引用源。

成立．二试一．（40分）如图，已知错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

求证：错误！未找到引用源。

N DCAMBPEFA二．（40分）设错误！未找到引用源。

．三. （50分）已知n 个四元集合错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，试求n 的最大值．这里错误！未找到引用源。

四．（50分）设错误！未找到引用源。

为正整数错误！未找到引用源。

的二进制表示数的各位数字之和，错误！未找到引用源。

为数列错误！未找到引用源。

的前n 项和. 若存在无穷多个正整数n ，满足错误！未找到引用源。

2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(2)

加试模拟训练题（2）1、设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值．2、设 ,,,,21a a a k为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 11213、一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。

加试模拟训练题（2）1、设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值．解：令112123123412341,5,14,30,y x y x x y x x x y x x x x =-⎧⎪=+-⎪⎨=++-⎪⎪=+++-⎩ 则 0(1,2,3,4)i y i ≤=，112123234341,4,9,16,x y x y y x y y x y y =+⎧⎪=-++⎪⎨=-++⎪⎪=-++⎩ 于是 ()()()()112223411114916234U y y y y y y y =++-+++-+++-++ 123411*********10.y y y y =++++≤ 当 1121231234123410,50,140,300,y x y x x y x x x y x x x x =-=⎧⎪=+-=⎪⎨=++-=⎪⎪=+++-=⎩即12341,4,9,16x x x x ====时，max 10.U = 2、设 ,,,,21a a a k为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 1121 证明: 设a a ab b b n n ,,,,,,2121 是的从小到大的有序排列,即 b b b n ≤≤21,因为b i是互不相同的正整数.则n b b b n ≥≥≥,,2,121又因为n 222111132>>>>所以由排序不等式得:n a a a n 22212+++ (乱序) n bb b n22212+++≥ (倒序) n 1211+++≥即 ∑∑==≥n k n k k k k a 1121 成立. 3、一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．【证】将人看作平面上的点，得到一个有3n ＋1个点的图(假定任意三点都不在一直线上)，当两个人玩网球或象棋或乒乓球时，我们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线，需要证明的是，一定存在一个三条边的颜色互不相同的三角形．自一点引出的3n 条线段中，如果某两条线段的颜色不同，就称它们构成一个“异色角”．考虑异色角的个数．由于自每一点引出n 条红线，角形中有3个异色角．这个三角形的三条边颜色互不相同，即相应的三个人之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。

高中数学竞赛模拟试题二

高中数学竞赛模拟试题二一、选择题：1.设a 、b 、c 为实数，0,024<++>+-c b a c b a ，则下列四个结论中正确的是（ D ）（A ）ac b ≤2（B ）ac b >2（C ）ac b >2且0>a （D ）ac b >2且0<a提示：若0=a ,则0≠b ,则02=>ac b .若0≠a ,则对于二次函数c bx ax x f +-=2)(,由0)1(,0)2(<->f f 可得结论.2.在△ABC 中，若a BC AB A ===∠,2,450，则2=a 是△ABC 只有一解的（ A ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件3.已知向量)1,sin 42cos 3(),1sin 22cos ,(-+-=-+=x x x x m ,定义函数x f ⋅=)(.若对任意的]2,0[π∈x ，不等式0)(>x f 恒成立，则m 的取值范围是（ A ）（A ）),81(+∞（B ）)81,0[（C ）)2,81(（D ）),2(+∞4.设E 、F 、G 分别是正四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 的中点，则二面角C —FG —E 的大小是（ D ）（A ）36arcsin （B ）33arccos 2+π（C ）2arctan 2-π（D ）22cot arc -π5.把数列}12{+n 依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（ A ）（A ）1992 （B ）1990 （C ）1873 （D ）18916.设n i n x i ,,2,1},,,2,1{ =∈，满足2)1(1+=∑=n n x ni i ，!21n x x x n =⋅⋅⋅ ，使1x ，2x ，…，n x 一定是n ,,2,1 的一个排列的最大数n 是（ C ）（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9二、填空题：7. 若实数x 、y 满足条件122=-y x ，则x yx 212+的取值范围是___________________. 【答案】)2,2(-.提示:令ααtan ,sec ==y x .8. 对于给定的正整数4≥n ，等式423n m C C =成立，则所有的m 一定形如_____________.（用n 的组合数表示）【答案】21-=n C m (4≥n ).提示:由423n m C C =得222)13()12(+-=-n n m ,从而21-=n C m (4≥n ).9. 一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数ξ的数学期望ξE =_________________.【答案】3.0 提示: ξ取值为0,1,2,3，且有43)0(11219===C C P ξ，4492)1(2121913===C C C P ξ，22092)2(3121923===C C C P ξ，22012)3(4121933===C C C P ξ. 3.022013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE . 10. 设点F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点、以F 2为焦点。

高二数学竞赛模拟试题及答案

高二数学竞赛模拟试题考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =，N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（）(A)．9 ( B)．6 (C)．18 (D)．162．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是（）(A)．0 (B)．1 (C)．2 (D)．3 3、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6(π平移后，它的一条对称轴是4π=x ，则θ的一个可能的值是（） (A)125π (B)3π (C)6π (D)12π4.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有()200823f x f x x ⎛⎫⎪⎝⎭+=，则()2f 等于（） ﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012.5.已知,αβ分别满足100411004,10g βααβ=⋅=⋅，则αβ⋅等于( )﹙A﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C﹚ ﹙D ﹚2008.6.直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是（）（A ）相离（B ）相交（C ）相切（D ）不确定7.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（）(A)．100 (B). 101 (C).200 (D).2018．()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（）(A)．()f x 的图像关于x ＝2对称 (B)．()f x 的图像关于点(4,0)-对称 (C)．()f x 的周期为4 (D)．()f x 的周期为8 二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，满分42分． 9．已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，5|1,2Px x Z x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则P M 等于 10．在区间[]1,1-上随机任取两个数y x ,，则满足4122<+y x 的概率等于11.已知函数()()()()()2110,11xa x x f x a a a x -+<⎧⎪=>≠⎨≥⎪⎩且是R 上的增函数，那么a 的取值范围是 .12．已知定点()2,0A ，点(),P x y 的坐标满足430,35250,0.x y x y x a -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩||OA （O 为坐标原点）的最小值是2时，实数a 的值是13．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，若7()128381f x x =+，则a b += .14．已知函数()2xf x =,等差数列{}n a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅=15、如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形， ∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是___________三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤C 1B 1A16. (本小题12分) 在⊿ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若1=∙=∙BC BA AC AB . (1)求证：A=B ； (2)求边长c 的值；(3)6=+，求⊿ABC 的面积。

数学竞赛模拟试题

数学竞赛模拟试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 32. 如果一个数的平方等于其自身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 所有选项3. 一个圆的半径是5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 以下哪个是二次方程的解？A. x = 2B. x = -2C. x = 3D. x = 1/25. 一个数列的前三项是1, 1, 2，如果每一项都是前两项之和，那么第四项是多少？B. 4C. 5D. 66. 以下哪个是勾股定理的表达式？A. a² + b² = c²B. a² - b² = c²C. a² * b² = c²D. a² / b² = c²7. 如果一个三角形的三个内角分别是40°，60°和80°，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形8. 一个数的立方根等于它自己，这个数可能是：A. 1B. -1C. 0D. 所有选项9. 以下哪个是等差数列的通项公式？A. an = a1 + (n-1)dB. an = a1 - (n-1)dC. an = a1 * (n-1)dD. an = a1 / (n-1)d10. 如果一个函数f(x) = x² + 2x + 1，那么f(-1)的值是：B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。

12. 如果一个数列的前n项和为S，且S = n²，那么这个数列是________。

13. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么斜边的长度是________。

14. 一个函数f(x) = 3x - 2，当x = 1时，函数的值是________。

高中数学竞赛模拟试卷二试题

2021年HY 高级中学高中数学竞赛模拟试卷二一、制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日二、选择题：a 、b 、c 为实数，0,024<++>+-c b a c b a ，那么以下四个结论中正确的选项是〔〕〔A 〕ac b ≤2〔B 〕ac b >2〔C 〕ac b >2且0>a 〔D 〕ac b >2且0<a △ABC 中，假设a BC AB A ===∠,2,450，那么2=a 是△ABC 只有一解的〔〕〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分又不必要条件)1,sin 42cos 3(),1sin 22cos ,(-+-=-+=x x b x x m a ,定义函数b a x f ⋅=)(.假设对任意的]2,0[π∈x ，不等式0)(>x f 恒成立，那么m 的取值范围是〔〕〔A 〕),81(+∞〔B 〕)81,0[〔C 〕)2,81(〔D 〕),2(+∞4.设E 、F 、G 分别是正四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 的中点，那么二面角C —FG —E的大小是〔〕〔A 〕36arcsin〔B 〕33arccos 2+π〔C 〕2arctan 2-π〔D 〕22cot arc -π}12{+n 依次按一项、二项、三项、四项循环分为〔3〕，〔5，7〕，〔9，11，13〕，〔15，17，19，21〕，〔23〕，〔25，27，〕，〔29，31，33〕，〔35，37，39，41〕，…，在第100个括号内各数之和为〔〕〔A 〕1992 〔B 〕1990 〔C 〕1873 〔D 〕1891n i n x i ,,2,1},,,2,1{ =∈，满足2)1(1+=∑=n n x ni i ，!21n x x x n =⋅⋅⋅ ，使1x ，2x ，…，n x 一定是n ,,2,1 的一个排列的最大数n 是〔〕〔A 〕4 〔B 〕6 〔C 〕8 〔D 〕9三、填空题：7. 假设实数x 、y 满足条件122=-y x ，那么x yx212+的取值范围是___________________.8. 对于给定的正整数4≥n ，等式423n m C C =成立，那么所有的m 一定形如_____________.〔用n 的组合数表示〕9. 一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在获得正品前已取出的废品数ξ的数学期望ξE =_________________.10. 设点F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点、以F 2为焦点。

高二数学竞赛试题及答案.doc

高二数学竞赛试题及答案高二数学竞赛模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AF1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不BE同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA共线的向量共有( )A.2个B. 3个C.6个D. 7个213CD2.若(3a -2a) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是( )A.4B.5C. 6D. 83. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为( )3311A. 20B. 10C. 20D. 104.抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标是( )A.(3，0)B.(2，0)C.(1，0)D.(-1，0)5.已知向量m=(a，b)，向量n⊥m，且|n|=|m|，则n的坐标可以为( )A.(a，-b)B.(-a，b)C.(b，-a)D.(-b，-a)6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )DCAB A B③②①④111A.①④B.②③C.②④D.①②7.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A.36种B.48种C.72种D.96种8.已知直线l、m，平面?、β，且l⊥?,m?β.给出四个命题：(1)若?∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则?∥β;(3)若?⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则?⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.29.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上递增，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，4)B.(-4，4]C.(-∞，-4)∪[2，+∞)D.[-4，2)10.4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。

假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为( )A54A54A44A44 A、4 B、4 C、5 D、5 5544二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上.11.从?a?b?的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有的二项式系1 7数的概率为。

浙江省高二数学竞赛模拟试卷二

浙江省高二数学竞赛模拟试卷二一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1．函数()y f x =与()y g x =的定义域和值域都是R ，且都有反函数，则函数()()()11y f g f x --=的反函数是（）()()()1. A y f g f x -= ()()()11. B y f g f x --= ()()()1. C y f g f x -= ()()()11. D y f g f x --=2．集合M 由满足如下条件的函数()f x 组成：当[]12, 1, 1 x x ∈-时，有()()12124f x f x x x -≤-，对于两个函数()2125,f x x x =-+()2f x =，以下关系中成立的是（）12. ,;A f M f M ∈∈ 12. ,;B f M f M ∉∉ 12. ,;C f M f M ∉∈ 12. ,;D f M f M ∈∉3. ABC ∆中，,,,BC a AC b AB c ===则比式()()()::b c a a c b a b c +-+-+-等于. sin:sin :sin . cos :cos :cos 222222A B C A B CA B . tan :tan :tan 222A B C C . cot :cot :cot 222A B C D4．抛物线22y x =上两点()()1122,, ,A x y B x y 关于直线y x m =+对称，若1221x x =-，则2m 的值是（）.. 3, . 4, . 5, . 6A B C D5．椭圆()2222 1 0x y a b a b+=>>的中心，右焦点，右顶点，右准线与x 轴的交点依次为,,,O F G H，则FGOH的最大值为（）.111. ,. ,. ,.234A B C D不能确定.6．函数()f x=的值域为（）[]3. 1,. 1, C. 1, D. 1, 22A B⎡⎤⎡⎡⎢⎥⎣⎣⎣⎦二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7．若21cos14sin2θθ-=+，则()()334cos3sinθθ+⋅+= .8．数列{}: 1,3,3,3,5,5,5,5,5,nx由全体正奇数自小到大排列而成，并且每个奇数k连续出现k次，1,3,5,k =，如果这个数列的通项公式为nx a d=+则a b c d+++=9．,x y为实数，满足221x y+≤，则222x xy y+-的最大值为 .10．若集合A中的每个元素都可表为1,2,,9中两个不同的数之积，则集A中元素个数的最大值为 .11．作出正四面体每个面的中位线，共得12条线段，在这些线段中，相互成异面直线的“线段对”有个.12．用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色，则不同的染色方法有种.三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设12,,,na a a为正数，证明：233n n n na a a a a a a+++++++++++2n n a ≥++14．已知二次函数222y x mx n =+-（1）若m n ，变化时，它们的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，过这三个交点作圆，证明这些圆都经过同一定点，并求出这个定点的坐标。

高二数学竞赛试题及答案

高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数$ f(x) = 2x^2 - 3x + 5 $，则$ f(-1) $的值为多少？A. 12B. 10C. 8D. 62. 已知圆的半径为5，圆心在原点，求圆上一点到原点的距离最远是多少？A. 10B. 5C. 15D. 203. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求这个数列的第20项是多少？A. 47B. 49C. 52D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度？A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知$ \sin(\alpha) = \frac{3}{5} $，求$ \cos(\alpha) $的值（假设$ \alpha $在第一象限）？A. $ \frac{4}{5} $B. $ -\frac{4}{5} $C. $ \frac{3}{5} $D. $ -\frac{3}{5} $6. 一个函数$ g(x) $满足$ g(x) = x^2 + 2x + 3 $，求$ g(-1) $的值？A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知$ a $和$ b $是方程$ x^2 + 5x + 6 = 0 $的根，求$ a + b $的值。

______（答案：-5）8. 一个数列的前五项为1, 1, 2, 3, 5，这个数列是斐波那契数列，求第10项的值。

______（答案：55）9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，求这个三角形的面积。

______（答案：6）10. 已知$ \tan(\beta) = 2 $，求$ \sin(\beta) $的值。

______（答案：$ \frac{2\sqrt{5}}{5} $）三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数$ x $，不等式$ e^x \ge x + 1 $恒成立。

高二数学竞赛模拟试题附答案

高二数学竞赛模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA 共线的向量共有（）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．若(3a 2 －312a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是（）A ．4B ．5C ． 6D ． 8 3．从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为（）A ． 203B ． 103C ． 201D ． 1014．抛物线y 2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（） A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（-1，0） 5．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（） A.（a ，－b ） B.（－a ，b ） C.（b ，－a ） D.（－b ，－a ）6．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△P AC 在该正方体各个面上的射影可能是（）A ．①④B ．②③C ．②④D ．①②7．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种8．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m ⊂β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m ; (2)若l ⊥m ,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m ;(4)若l ∥m ,则α⊥β,其中正确的命题个数是()A.4B.1C.3D.29．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（） A.(－∞，4) B.(－4，4] C.(－∞，－4)∪[2，＋∞) D.[－4，2) 10．4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。

高二数学下学期竞赛摸底考试试题

江西省泰和中学高二数学竞赛摸底考试一.选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.已知集合,,若则的取值是（） 2．设函数，则的值为（）3．函数的最大值为，最小值为，则的值是（） 4．函数的最大值等于（）5．在中，分别是角所对边的边长，若则的值是（） 6．已知的三边长为所在平面内一点，若，则点是的（）外心内心重心垂心二．填空题（本题满分54分，每小题9分）7．若函数是奇函数，则实数对_______}123),{(+=--=a x y y x A }15)1()1(),{(2=-+-=y a x a y x B ,Φ=B A a 1,1.-A 25,1.-B 25,1.±C 25,4,1.-±D ⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4),1(4,)21()(x x f x x f x)3log 2(2+f 31.A 61.B 121.C 241.D 3121)(-+-=x x x f a b b a +)33(63.+A )22(63.+B )23(63.+C )32(63.+D x x x y cos sin cos 23-+=2732.A 2716.B 278.C 274.D ABC ∆c b a ,,CB A ,,0sin cos 2sin cos =+-+BB A A cba +1.A 2.B 3.C 2.D ABC ∆,,,c ABb AC a BC ===O ABC ∆=++c b a O ABC ∆.A .B .C .D )10)(2(log )(22≠>++=a a a bx x x f a 且=),(b a8．数列中，，则_________________9.在等式的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是_________10．已知两个向量且与的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是_______________________11．的值是____________12．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______三、解答题（本小题满分60分，每小题20分）13．已知数列满足，求的值14．设求的最小值15．已知奇函数在区间上是增函数，且，当有，求不等式的解集}{n a )()21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+=2007S ()()()1941=++21,e e 1221==e e 1e 2e602172e e t +21e t e +t10tan 50sec +]1,(--∞∈x 0124)(2>++-xx m m m }{n a ,221==a a )2(0)1()23(211≥=+++--+n a n a n na n n n 2007a ,,,+∈R c b a ba ca cbc b a 239483+++++)(x f )0,(-∞0)1(,1)2(=-=-f f 0,021>>x x )()()(2121x f x f x x f +=01)(log 2<+x f泰和中学2019界数学竞赛摸底考试卷答案一.选择题:1.解：当时,,满足条件当时,,欲使,则只需满足以下两种情形中的一种即可:(1).斜率相等,即(2).交点为,则,解得或,综上选(D) 2. 解：∴ 又 ∴ 所以答案选D 3.解法一:令,则,而所以,故答案选D. 解法二:设,, 1=a Φ=B Φ=B A 1≠a })1(115),{(x a a y y x B +--==Φ=B A 11)1(-=⇒+=+-a a a )3,2(15)1(3)1(22=-+-a a 25=a 4-=a 44log 23log 222=+<+ )3log 3()13log 2()3log 2(222+=++=+f f f 42log 33log 322=+>+ 241)21()21()21()3log 3(241log 24log 3log 322122====++f 31,21-=-=x v x u 6122=+v u )(2)(22222v u v u v u +≤+≤+)22(63,61,31+=+==b a b a ),()31,21(),1,1(t s x x d c =--==61,66222=+==t s又图可知:,∴,∴ ∴,故选D. 4．解法一：，∴，故选A 解法二：，令，则令得当时，；当时，，∴，故选A 5．解：，∴∴即 ∴∴，∴，，故选B 6．解：∴><>=<⋅⋅=><=⋅=d c d c d c d c x f ,cos 33,cos 662,cos )(4,0π>≤≤<d c 1,cos 22>≤<≤66,33==b a )22(636633+=+=+b a x x x x x x y cos cos 1cos cos sin cos 2323--+=-+=)cos 1()1(cos cos 2x x x -+-=)cos 1)(cos 1()cos 1)(cos 1(22x x x x +-=--=2732)3cos 12cos 12cos 1(4)cos 1(2cos 12cos 143=++-+-⋅≤+⋅-⋅-⋅=x xx x xx 2732max =y x x x x x x y cos cos 1cos cos sin cos 2323--+=-+=1cos cos cos 23+--=x x x x t cos =11,123≤≤-+--=t t t t y ,01232'=--=t t y 311-==t t 或1=t 0=y 31-=t 2732=y 2732max =y 2sin cos 2sin cos =+-+BB A A 2)sin )(cos sin (cos =++B B A A 2sin sin cos sin sin cos cos cos =+++B A B A B A B A 2)sin()cos(=++-B A B A 1)sin(,1)cos(=+=-B A B A ︒=+=90,B A B A b a =2=+cba =++cb a )()(=++++c b a∴∴分别是和方向上的单位向量，设，则平分，又共线，知平分，同理可证：平分，平分，从而是的内心二．填空题7．解：由奇函数的性质，知即，解得（舍去负值）于是，又于是恒成立，故，所以答案填__________ 8.解：由已知，易得，又，则，两式相除，得，故数列的奇数项和偶数项都分别成公比为的等比数列则 9．解：设依次填入的三个数分别为，则 0)(=++++AC c AB b OA c b a cb a cc b a b +++++=ACAB c b a bc ++=AB AC +=AP BAC ∠,AO BAC ∠BO ABC ∠CO ACB ∠O ABC ∆02log )0(2==a f a122=a 22=a )1(log)(222++=bx x x f )()(0x f x f +-=)1(log )1((log222222+++++-=bx x bx x ]1)1[(log 222+-=x b 0)1(2=-x b 1=b )1,22(612=a n n n a a )21(1=⋅+11)21(--=⋅n n n a a 2111=-+n n a a }{n a 21211])21(1[61211])21(1[3)()(100310042006422007312007--+--=+++++++=a a a a a a S 1002)21(35319⋅-=z y x ,,)111)((zy x z y x z y x ++++=++当时，所求最小值为 10．解：由两向量的夹角为钝角知，则即即又当时，和方向相反，故，所以的取值范围是 11．解： 12．解：恒成立∴设∴∴ ∴ ∴13．解： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 369429242149494941=⋅+⋅⋅+⋅+≥++++++++=zy y z x z z x y x x y z y y z x z z x y x x y 18,12,6===z y x 360)()72(2121<+⋅+e t e e e t 07)27(22221221<+⋅++e t e e t e t 060cos 12)27(782<⨯⨯⨯+++︒t t t 217071522-<<-⇒<++t t t 214-=t 2172e e t +21e t e +214-≠t t )21,214()214,7(---- 380sin 10cos 380sin 10sin 10sin 10cos 380sin 80cos 40cos 280sin 40sin 80cos 40sin 80sin 80sin 80cos 40sin 110cos 10sin 50cos 110tan 50sec ==+-=+=+=+=+=+︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒0124)(2>++-xxm m xx m m 4122+->-xt )21(=]1,(--∞∈x 2≥t 641)21(222-≤++-=-->-t t t m m 62->-m m 32<<-m )2(0)1()23(211≥=+++--+n a n a n na n n n 0)1()1(2211=+-+=--+n n n n a n a n na na )2)(1()2(11-+-+=-n n n n a a n a a n ()1)222(21)2(23112121211+=-⨯⋅+=-⋅-⋅+=-+=--+n n a a n n n n a a n n a a n n n n 121+=-+n a a n n )1()(21--=-+n a n a n n )]1([211--=-+n a n a n n 21)21()21(2)1(--=⋅=--n n n n a∴ ∴14．解：设解之得于是所求式 15．解：由得所以或为奇函数，且在区间上是增函数，知在上是增函数，且于是得，从而，所以所以解集为1)21(2-+=-n a n n 2006)21(20052007+=a ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+z b a y a c x c b 23483z y x c z y x b z y x a 12116161,4116321,618131-+=+-=++-=48474316331832212412431633116942362843169234116321618131=---⋅+⋅+⋅≥---+++++=-+++-+++-=z y y z z x x z y x x y z zy x y z y x x z y x 01)(log 2<+x f 11)(0<+<x f 1)(2-<<-x f 0)(1<<-x f )(x f )0,(-∞)(x f ),0(+∞1)2(=f )21()2()212()1(f f f f +=⋅=1)21(-=f 2)21()21()41(-=+=f f f )1()()21(),21()()41(f x f f f x f f <<<<121,2141<<<<x x )1,21()21,41(。

数学模拟试卷-2

模模拟拟试试卷卷二二一、选择题1. 已知复数z=(m 2-m-2)+(m 2-3m+2)i ，对应点z 位于复平面的虚轴上，则实数m 等于（）（Ａ） 1 （Ｂ）-1 （Ｃ） 2 （Ｄ）-1和22. 已知N={x ｜x ≤5}，6=a ，则下列关系中正确的是（）（Ａ） a 包含于N （Ｂ） a 不属于N （Ｃ） {a}∈N （Ｄ） {a}真包含于N3. 若函数 f(x)=log 2x+3 (x ≥1) ，则)(x fx- 为（）（Ａ） 32-=x y (x ∈R) （Ｂ）32-=x y (x ∈[3，+∞)) （Ｃ） 32-=x y (x ∈R) （Ｄ） 32-=x y (x ∈[3，+∞)) 4. 直线122=-by a x 在 y 轴上的截距是（）（Ａ）｜b ｜（Ｂ） ±b （Ｃ） b 2（Ｄ） -b 25. 公比是 54tg的数列是（）（Ａ）递增数列（Ｂ）递减数列（Ｃ）摆动数列（Ｄ）以上结论都不对6. 已知a 、b 、c 、d ∈R ，且a ＞b ，c ＞d ，下列不等式中一定成立的是（）（Ａ）a-c ＞b-d （Ｂ）da ＞cb （Ｃ）ac ＞bd （Ｄ）a+c-b-d ＞07. 函数 y=sinx-2cosx 的最小正周期是（）（Ａ） 2π （Ｂ）2π （Ｃ） π （Ｄ） 58. sin20°cos70°+cos80°cos40°的值是（）（Ａ）41 （Ｂ） 23 （Ｃ）21 （Ｄ）439. 下列四个命题(1) 若直线m ∥平面α，平面α⊥平面β，则m ⊥β。

(2) 若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则α⊥γ。

(3) 若平面m ⊥平面α，平面α⊥平面β，则m ∥β。

(4) 若平面α∥平面β，直线m 在平面α内，则m ∥β。

其中正确命题的个数是（）（Ａ） 1个（Ｂ） 2个（Ｃ） 3个（Ｄ） 4个10. 从6个男同学和4个女同学中选出3人参加数学竞赛，其中男生甲必须参加，且选出3人中至少有一个女同学，共有选法的种数有（）（Ａ） 1426·C C （Ｂ）15C ²14C （Ｃ） 36310C C - （Ｄ） 15C ²0514C C +²24C 11. 如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 8π-=x 对称，则a 等于（）（Ａ） 2 （Ｂ） 2- （Ｃ） 1 （Ｄ） -112. 抛物线 02122=++x y 的焦点坐标是（）（Ａ）)0,83(- （Ｂ）(0，83-)（Ｃ）(85-，0) （Ｄ）(0，85-)13. (a+b+c+d+e)5 的展开式中，ab 3c 的系数是（）（Ａ） 10 （Ｂ） 20（Ｃ） 24 （Ｄ） 2814. 在棱长为1的正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，M 和N 分别为A 1B 1 和BB 1 的中点，则直线AM 和CN 所成角的余弦是（）（Ａ）23 （Ｂ） 1010（Ｃ） 53 （Ｄ） 5215. 要制造一个底面半径为4cm ，母线长为6cm 的圆锥，用一块长方形铁皮剪出它的侧面，这样的长方形铁皮的最小长、宽尺寸为（）（Ａ） )(12)336(2cm ⨯+ （Ｂ） )(6362cm ⨯ （Ｃ） )(9362cm ⨯ （Ｄ） )(9122cm ⨯二、填空题16. 数列 2312++=n n a n (n=1,2,3…) 的各项和为 ( )。

安徽省高二下学期数学竞赛试题(解析版)

太和中学2022-2023学年度高二下学期数学竞赛试卷满分:150分考试时间:120分钟一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列导数运算正确的是（）A. B.2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()122x x x -'=⋅C. D. ()cos sin x x '=()22ln xx'=【答案】D 【解析】【分析】根据基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则逐项计算即可判断【详解】；；；. 2111x x x'⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()22ln 2x x '=()cos sin x x '=-()2222ln x x x x '==故选：D.2. 已知数列满足，且，则（）{}n a 214a =1212n n na a a +-=2023a =A.B.C.D.141-3223【答案】B 【解析】【分析】计算，，，，，确定为周期是的数列，计算得到123a =214a =31a =-432a =523a ={}n a 4答案.【详解】，故，，，， 1212n n n a a a +-=12121124a a a -==123a =2322112a a a -==-34321322a a a -==，，故为周期是的数列，. 45421223a a a -==L {}n a 4202331a a ==-故选：B3. 函数在上的图象大致为（）()sin f x x x =-[0,2π]x ∈A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】根据导数与函数的单调性的关系及导数的几何意义结合图象即得.【详解】因为，所以在为增函数，()1cos0f x x'=-≥()f x[]0,2π令，且，()()g x f x'=()sing x x='当时，，为增函数，图象上切线的斜率逐渐增大；[]0,πx∈()0g x'≥()g x()f x当时，，为减函数，图象上切线的斜率逐渐减小.[]π,2πx∈()0g x'≤()g x()f x故选：D．4. 在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（）A. 11.5尺B. 13.5尺C. 12.5尺D. 14.5尺【答案】B 【解析】【分析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为,则立冬到冬至增加,冬至到雨水减少4,()0d d >3d d 冬至的晷长为,根据题意，结合等差数列的性质，列出方程组求解即得.x 【详解】解：设相邻两个节气晷长减少或增加的量为,则立冬到冬至增加,冬至到雨水减少4()0d d >3d ,冬至的晷长为,则,解得,d x 49.510.53x d d x -=⎧⎨+=⎩113.5d x =⎧⎨=⎩故选：B.5. 在等差数列中，若，，则和的等比中项为（）{}n a 38137a a a ++=2111414a a a ++=8a 9a A.B.C. D.±【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质计算出，再根据等比中项的定义即可求出答案 89,a a 【详解】由题意得：，所以，，所以.3813837a a a a ++==873a =211149314a a a a ++==9143a =，所以和的等比中项为 89989a a ⋅=8a 9a 故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质（若则），以及等比中项，属于m n p q +=+m n p q a a a a +=+基础题。

高二数学竞赛测试题参考答案

参考答案1．18【解析】sin10sin50sin70︒︒︒=000001sin80sin10cos10cos20cos4018sin10cos20cos40cos10cos108===2．8【解析】由f(x)=x 2−1，得f ′(x)=2x ，则x n+1=x n −x n2−12x n =x n2+12x n，所以x n+1−1==(x n −1)22x n，x n+1+1==(x n +1)22x n，所以x n+1−1x n+1+1=(x n −1)2(x n+1)2，所以ln xn+1−1x n+1+1=ln (x n −1)2(x n+1)2＝2ln x n −1x n+1，即，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，则．3．{}1,0-【解析】当()0,12x ∈时， ()1212x f x x -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=1200x -⎡⎤⨯=⎢⎥⎣⎦当[)12,20x ∈时， ()1212x f x x -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=()111⨯-=- 所以值域为{}1,0-4．1322i -± 【解析】由题意可设(),,,0,x yi x y R y x yi αβ=+∈≠=- ，由2R αβ∈得()()232322303x yi x yi R x y y y x x yix y++=∈⇒-=⇒=±-+所以αβ= ()()2222234x xi x yi x yi x yi x y x ±++===-+ 1322i -± 5．【解析】【分析】由正弦定理得，，由此能sinβ，cosβ，tanα＝sin∠BAC＝sin（α+β）得cosα，sinα，从而得到cos∠BAC，由此利用余弦定理能求出BC．【详解】∵在△ABC中，AB＝2，AC＝4，是的中点，记∠CAD＝α，∠BAD＝β，∴，，∴sin，sin＝CD sin∠ADC，∵BD＝CD，sin∠ADB＝sin∠ADC，∴sinα：sinβ＝：CD sin∠ADC2：1．即得sinβ，cosβ，∴tanα＝sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝sinα，∴，∴cos2α+cosα2，解得cosα，或cosα（舍），sinα，∴sin∠BAC，cos∠BAC，∴BC．故答案为．【点睛】本题考查三角形边长的求法，解题时要认真审题运算，注意正弦定理和余弦定理的合理运用,是中档题. 6．【解析】【分析】如图建立空间坐标系，利用长度关系明确P 点坐标，借助向量夹角公式得到结果. 【详解】,设∵∴,故答案为：【点睛】本题以棱锥为背景，考查角的大小的度量，考查空间坐标法，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题. 7．223x y +=【解析】设点P 为()11,x y ，则1l 方程为()11y y k x x -=- ，与2212x y +=联立方程组得()()()2221111124220k x k y kx x y kx +--+--= ，所以()222111102210k x kx y y ∆=⇒--+-= ，由题意得()22211112210k x kx y y --+-=的两根乘积为-1，所以222111211132y x y x -=-⇒+=-，当1l 的斜率不存在时也满足，因此点P 轨迹方程为223x y += 8．()2,4【解析】设直线方程x ty m =+ ,与抛物线方程联立得()22440160y ty m t m --=∴∆=+>中点()2222,2,13230MC l M t m t k k m t t +=-∴=-∴->当0t = 时,显然有两条直线满足题意,因此0t ≠时,还有两条直线满足题意,即()2,4r ==点睛：解析几何范围问题，一般解决方法为设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在计算推理的过程中列不等关系，从而得到取值范围． 9．165【解析】由题意得22112t at b a b t t ⎛⎫⎛⎫+++++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即][()22211120,2,,22,4t a t b b u au u t u t t t ⎛⎫⎛⎫++++=∴-=+=+∈-∞-⋃+∞⇒≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此224a b +()()()()246422342222414112121141u u u u u a au u u u u u+-=+++≥==++-+++ 116142145≥++-=+ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10．32,e e --（）【解析】令()()()()23,xxf x f xg xh x ee==，则()()()()()()23230,0xxf x f x f x f xg xh x e e --=>=''<'()()()()220162201732016320172016201720162017,f f f f e e e e ⨯⨯⨯⨯∴()()()()2320162016,,20172017f f e e f f --∴即()()20162017f f 的范围是32,e e --（）点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e=，()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等11．【解析】试题分析：()1由柯西不等式得()2333b c a ab bc ac a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭⎭，再次代入得a b c ==时，取等号()2由（1）知， a b c ==时， 0∆=，此时()f x 仅有一个零点；当a b c 、、不全相等时， 0∆<，此时()f x 零点个数为0 解析：（1）由柯西不等式得()2333b c a ab bc ac a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭⎭()()22223332222a b c b c ac b a a b c ab bc ac++=++⇒++≥++，当且仅当222222b c a a b c==，即a b c ==时，取等号.12．（1）2， 1；（2）()813y x =--. 【解析】试题分析：（1）在1C ， 2C 的方程中，令0y =，可得1b =，且()1,0A -， ()1,0B是上半椭圆1C 的左、右顶点，设1C 半焦距为c ，由c a =及2221a c b -==，联立解得a ；（2）由（1）知，上半椭圆1C 的方程为()22104y x y +=≥，由题意知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为()1y k x =-（0k ≠），代入1C 的方程，整理得：()2224240kx kx k +-+-=，设点P 的坐标为(),P P x y ，由根公式，得点P 的坐标为22248,44k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理，得点Q 的坐标为()21,2k k k ----．由 10AP AQ ⋅=，即可得出k 的值，从而求得直线方程.试题解析（1）在1C ， 2C 的方程中，令0y =，可得1b =，且()1,0A -， ()1,0B 是上半椭圆1C 的左、右顶点，设1C 半焦距为c ，由c a =及2221a c b -==可得设1C 半焦距为c ，由c a =2221a c b -==可得2a =，∴2a =， 1b =．（2）由（1）知，上半椭圆1C 的方程为()22104y x y +=≥，易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为()1y k x =-（0k ≠），代入1C 的方程，整理得： ()2224240k x kx k +-+-=（*）设点P 的坐标为(),P P x y ，∵直线l 过点B ，∴点P 的坐标为22248,44k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理，由()()()210,{10,y k x k y x y =-≠=-+≤得点Q 的坐标为()21,2k k k ----．依题意可知AP AQ ⊥，∴()22,44kAP k k =-+， ()1,2AQ k k =-+． ∵AP AQ ⊥，∴0AP AQ ⋅=，即()2224204k k k k -⎡⎤-+=⎣⎦+， ∵0k ≠，∴()420k k -+=，解得83k =-，经检验， 83k =-符合题意，故直线l 的方程为()813y x =--． 13．见解析【解析】试题分析:根据平角得R A S 、、三点共线，根据同弦所对角相等得 F R S E 、、、四点共圆．根据四点共圆性质得MRB FRA ∠=∠，即得MB FA =，同理可得NB AE =，根据等量性质得MN AE AF =+．试题解析:解：延长1BO 、2BO 分别与圆1O 、圆2O 相交于点R S 、，连结RM RF RB SA SE SN AB 、、、、、、．则90BAR BAS ∠=∠=︒，所以R A S 、、三点共线．又90RFS SER ∠=∠=︒，于是F R S E 、、、四点共圆．故MRF MBF EFB ERS ∠=∠=∠=∠，从而MRB FRA ∠=∠，因此MB FA =，同理NB AE =．所以MN AE AF =+．14．见解析【解析】试题分析：放缩证明：先证12n a n ≤+，再证()111xn x x ++＞．前面用数学归纳法证明，后面用导数求证，再令11x n =+，则有()()112112n n n n n +-++＜．由裂项相消法求和可得结论试题解析:下面用数学归纳法证明：当2n ≥， n N ∈时， 12n a n ≤+， ①当2n =时， 222111111124422a a a a ⎛⎫=-=--+≤= ⎪+⎝⎭，上述结论成立；②设n k = 2k ≥（）时， 12k a k ≤+成立，则当1n k =+时 21k k k a a a +=-+=2211112422k a k ⎛⎫⎛⎫--+≤-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭211444k k k ++=++＜ 2114312k k k k +=++++，（）所以当1n k =+时，结论也成立．综合①②得，对任意的2n ≥， n N ∈都有12n a n ≤+．当1n =时， 11121113S a n+==+＜；当2n ≥时， 2112nn i S i =++∑＜．下面证明： 21211123ni n n i =++++∑＜，即证明212123ni n n i =++∑＜ 2n ≥（）．设函数()()111xf x n x x =+-+ 0x （＞），则 ()()()22110111x f x x x x =-=+++'＞，所以()f x 在0+∞（，）上是增函数，所以()()00f x f =＞恒成立，即()111xn x x ++＞．令11x n =+，则有()()112112n n n n n +-++＜．故()()22121211123nn i i n n n n n n i ==+⎡⎤+-+=⎣⎦+∑∑＜所以2121123ni n n i =+++∑＜．综上可得2113nn S n +≤+．。

高二数学竞赛试题 (2)

高二数学竞赛试题题目一已知函数 $y = \\frac{1}{3}x^2 + 2$ ，求函数在区间[−2,2]上的平均值。

解析：首先，我们需要确定函数在区间[−2,2]上的值域。

由题目中的函数表达式可知，函数为一个二次函数，开口朝上，所以最低点就是函数的最小值。

函数的最小值可以通过求导数的方法得到，导数为 $y' = \\frac{2}{3}x$，令导数为零，我们可以得到最小值点为(0,2)。

由此可知，函数的值域为 $[2,+\\infty)$。

接下来，我们需要求函数在区间[−2,2]上的定积分，以确定其在该区间上的积分值。

定积分的计算可以通过积分的性质和基本公式进行，我们将函数代入定积分的公式中进行求解：$$ \\int_{-2}^{2} \\frac{1}{3}x^2 + 2 dx $$按照积分的性质可得：$$ = \\frac{1}{3} \\int_{-2}^{2} x^2 dx + \\int_{-2}^{2} 2 dx $$对第一项求解定积分可得：$$ = \\frac{1}{3} [\\frac{1}{3}x^3]_{-2}^{2} + [2x]_{-2}^{2} = \\frac{1}{3}[(\\frac{8}{3}) - (-\\frac{8}{3})] + (4-(-4)) =\\frac{16}{9} + 8 = \\frac{52}{9} $$最后，我们需要求出函数在区间[−2,2]上的长度，也就是区间的长度。

区间[−2,2]的长度为2−(−2)=4。

综上所述，函数在区间[−2,2]上的平均值可以通过将函数的积分值除以区间的长度来得到：$$ \\text{平均值} = \\frac{\\frac{52}{9}}{4} = \\frac{13}{9} $$答案：函数在区间[−2,2]上的平均值为 $\\frac{13}{9}$。

题目二已知等差数列 $a_1, a_2, a_3, \\cdots, a_n, \\cdots$ 的公差为d，且该数列的前d项和为d d。

高二数学竞赛试题及答案(精品)

高二数学竞赛拔高试题（二）时间：120分钟满分150分命题人：张付涛审题人：郝庆全一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1．在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 42．已知数列{}n a的通项公式2245n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（）A ．1aB ．2aC ．3aD ．4a3．已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N.若OMN 为直角三角形，则|MN|= （）A. B. 3C.D. 44、若关于x 的方程323()25x aa +=-有负数根，则实数a 的取值范围为（） A.2(,)(5,)3-∞-+∞ B. 3(,)(5,)4-∞-+∞ C. 2(,5)3- D.23(,)34- 5．关于x 的不等式02022<--a ax x 任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是（）. （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1- 6．设抛物线C ：y2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则 = ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7已知数列{an}满足3an+1+an=4(n ≥1)，且a1=9，其前n 项之和为Sn 。

则满足不等式|Sn-n-6|<1251的最小整数n 是（）A ．5B ．6C ．7D ．88．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 ( )A.B.C.D. 9.已知等差数列{an}的公差为d ，前n 项和为Sn ，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10.函数 ()y f x = 的图像按向量 (,2)4a π= 平移后, 得到的图像的解析式为 sin()24y x π=++. 那么 ()y f x = 的解析式为 ( )A. sin y x =B. cos y x =C. sin 2y x =+D. cos 4y x =+11．设，是双曲线：（，）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为( )A. B. 2C.D.12．已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有（）. （A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）无数个二填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak 后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k ＝14.若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab ++的最小值为___________.15. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 . 16圆锥曲线|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是．三解答题（17题10分，其他题目满分12分，共计70）17．已知数列的各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和 .18. 已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.19．某公司试销一种成本单价为500元／件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元／件．经试销调查，发现销售量y （件）与销售单价x （元／件）之间近似于如图所示的一次函数y ＝kx ＋b 的关系．（1）根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b 的解析式；（2）设公司获得毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为S 元．① 试用销售单价x 表示毛利润S ．② 试问销售单价定为多少时，此公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？20.设F 是抛物线x y 42=的焦点，B A 、为抛物线上异于原点O 的两点，且满足0=⋅FB FA ．延长BF AF 、分别交抛物线于点D C 、（如图）．求四边形ABCD 面积的最小值．21.已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2 （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.22．已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．nT高二数学竞赛拔高试题（二）答案1【答案】C 2．（B）3【答案】B 4、（d）5．（C）．6．【答案】D7 c 8．【答案】A 9. 【答案】C10,B , 即. 故选B 11．【答案】C 12故选（D）．二填空题13 k＝11．14.【答案】15. 的取值范围是或．16 ．三解答题17．【答案】（1）a_n=2n+1,n∈N^*（2）T_n=1+〖(-1)〗^(n-1) (n+1) （1）由〖a_n〗^2-2na_n-(2n+1)=0得[a_n-(2n+1)](a_n+1)=0，所以a_n=2n+1或a_n=-1，又因为数列{a_n }的各项均为正数，负值舍去，所以a_n=2n+1,n∈N^*.（2）因为b_n=〖(-1)〗^(n-1)a_n=〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)，所以T_n=3-5+7-9...+〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)由T_n=3-5+7-9...+〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)①(-1)T_n=-3+5-7+9...+〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)+〖(-1)〗^n(2n+1)②由①-②得：2T_n=3-2[1-1+9...+〖(-1)〗^(n-1) ]-〖(-1)〗^n(2n+1)=3-2[1-〖(-1)〗^(n-1) ]/(1-(-1))=2+〖(-1)〗^(n-1)-〖(-1)〗^n(2n+1)=2+〖(-1)〗^(n-1) (2n+2)∴T_n=1+〖(-1)〗^(n-1) (n+1)点睛：本题考查了数列递推关系、错位相减法、分组求和方法、等比数列的求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18..解由题，……5分，，即，上单调减，且. ……10分，n是方程的两个解，方程即=0，解方程，得解为1，，.，，. ……15分19解：（1）把（600，400），（700，300）两点的坐标分别代入y＝kx＋b，得解得∴y＝－x＋1000，其中x的取值范围是500≤x≤800．（2）①S＝xy－500y＝x（－x＋1000）－500（－x＋1000），即S＝－x2＋1500x－500000（500≤x≤800）．②S＝－x2＋1500x－500000＝－（x－750）2＋62500．当x＝750时，S最大值＝62500．此时y＝－x＋1000＝－750＋1000＝250（件）．故当销售单价定为750件时，此公司获得最大毛利润62500元；此时的销售量是250件．2020.解析：设，由题设知，直线的斜率存在，设为．因直线过焦点，所以，直线的方程为．联立方程组，消得由根与系数的关系知：，……5分于是……10分又因为，所以直线的斜率为，从而直线的方程为：，同理可得．……15分故当时等号成立．所以，四边形的最小面积为32．……20分21.（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……,由(I)得记梯形的面积为.由题意，所以……+= ……+ ①又……+ ②①-②得=所以【答案】（1）（2）或详解：（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.①；由题设得，故.（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或.点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得到,求出m得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思想，考察学生的计算能力，难度较大。

高二数学竞赛试题

高二数学竞赛试题本文是一份为高二数学竞赛准备的试题。

试题分为四个部分，分别是代数、几何、概率与统计以及综合运用。

每个部分包含若干个问题，通过这些问题的解答，考察学生在不同领域的数学能力。

一、代数1. 解方程：求解方程2x + 3 = 7，并写出解的步骤。

2. 复数运算：计算复数z = 3 + 2i与w = -1 + 4i的积，并将结果标准化。

3. 多项式展开：将(x + 2y)(3x - y)展开，化简并写出结果。

二、几何1. 直角三角形：已知直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

2. 三角函数：已知sinθ = 0.6，求cosθ的值，并利用三角函数关系式求tanθ的值。

3. 平行四边形：已知平行四边形ABCD中，AB = 5cm，BC = 7cm，AC的长度为√58cm，求AD的长度。

三、概率与统计1. 概率计算：有一个有六个红球和四个白球的盒子，从中随机抽两个球，求至少抽出一个红球的概率。

2. 统计图表解读：下表是某班级学生的数学成绩统计表，请根据表格回答问题：成绩区间（分数）人数60-69 570-79 880-89 1290-99 7100 3a) 该班级学生的平均数学成绩是多少？b) 有多少学生的数学成绩高于80分？四、综合运用1. 数列问题：已知等差数列的前五项依次为3, 7, 11, 15, 19，求该数列的通项公式。

2. 函数求值：已知函数f(x) = 2(x + 1) - 3x^2，求f(2)的值。

3. 证明问题：证明在任意三角形ABC中，三角形的内心到三边的距离之和等于这个三角形的半周长。

以上就是本次高二数学竞赛试题的内容。

希望考生们认真思考，仔细解答每一个问题，展现自己的数学才华。

祝大家取得优异的成绩！。

高二数学竞赛（含答案）

高二数学竞赛试题一、选择题（本题满分60分，每题5分）1．复数()()212z i i =++的虚部为() A. 2i- B. 2- C. 4iD. 42．已知集合A ＝{(x ，y)|x ＋a 22y ＋6＝0}，集合B ＝{(x ，y)|(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0}，若A ∩B ＝Ø，则a 的值是() A. 3或-1 B. 0 C. －1 D. 0或－1 3．()423a b c +-的展开式中2abc 的系数为（）A. 208 B. 216 C. 217 D. 218 4.某公司在2013-2017年的收入与支出情况如下表所示：根据表中数据可得回归直线方程为0.8y x a ÙÙ=+，依此估计如果2018年该公司收入为7亿元时的支出为() A. 4.5亿元B. 4.4亿元C. 4.3亿元D. 4.2亿元5. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 的方程为20x y -=）的点的个数的估计值为( ) A. 5000 B. 6667 C. 7500 D. 7854 6. 函数2cos 3sin cos y x x x =+在区间,64p p éù-êúëû上的值域是（）A. 1,12éù-êúëû B. 122,3éù-êúëûC. 0,32éùêúëû D. 2,301é+ùêúëû7．小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”.已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一.根据以上信息可以判断出得第一名的人是（）A. 小明B. 小马C. 小红D. 小方8.一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为收入x （亿元） 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 支出y （亿元）0.2 1.5 2.0 2.5 3.8 A. 94pB. 9pC. 4pD. p 9．我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202-1261)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n =，1v =，2x =，则程序框图计算的是（）开始结束是,,n v x1i n =-0?i ³输出v 1i i =-1v v x =×+否输入A ．5432222221+++++B ．5432222225+++++C ．654322222221++++++D ．43222221++++10．设O 点在ABC D 内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC D 的面积与AOC D 的面积的比为（） A. 2 B. 3 C. 32D. 5311．已知抛物线C ： 22(0)y px p =>和动直线l ： y kx b =+（k ， b 是参变量，且0k ¹， 0b ¹）相交于()11,A x y ， ()22,B x y 两点，直角坐标系原点为O ，记直线OA ， OB 的斜率分别为OA k ， OB k ，若3O A OB k k ×=恒成立，则当k 变化时直线l 恒经过的定点为（恒经过的定点为（）A. ()3,0p -B. ()23,0p - C. 3,03p æö-ç÷ç÷èø D. 23,03p æö-ç÷ç÷èø12. 已知函数13,1()22ln ,1x x f x x x ì+£ï=íï>î（lnx 是以e 为底的自然对数，e=2.71828...），若存在实数m,n(m<n)，满足f(m)=f(n)，则n-m 的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、填空题二、填空题（本题满分20分，每题5分）分） 13.已知实数,x y 满足约束条件222441x y x y x y +³ìï+£íï-³-î，则目标函数3z x y =+的取值范围为的取值范围为. 14. 如图，矩形ABCD 中，AB=2AD ，E 为边AB 的中点，将V ADE 沿直线DE 翻折成V A 1DE ，若M 为线段A 1C 的中点，则在V ADE 翻折过程中，下列命题正确的是翻折过程中，下列命题正确的是．（写出所有正确的命题的编号）（写出所有正确的命题的编号）①线段BM 的长是定值；的长是定值；②存在某个位置，②存在某个位置，②存在某个位置，使使DE ^A 1C ；③点M 的运动轨迹是一个圆；的运动轨迹是一个圆；④存在某个位置，④存在某个位置，④存在某个位置，使使 MB P 平面A 1DE ．15. 已知双曲线22221x y a b-= （0a > ， 0b > ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线交双曲线右支于P ，Q 两点，且1PQ PF ^ ，若1512PQPF = ，则双曲线的离心率为__________ . 16．九个连续正整数自小到大排成一个数列129,,...,a a a ，若13579a a a a a ++++是一个平方数，2468a a a a +++是一个立方数，则1239...a a a a ++++的最小值是 . 三、解答题（本题满分70分）分）17．（本小题满分10分）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cosA BC A B +=+,sin()cos B A C -=.（1）求,A C ；（2）若33ABC S D =+,求,a c .18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N *+=+Î. （1）求数列{}n a 的通项公式；的通项公式；（2）证明：12231 (2)n n a a a na a a ++++<. 19．（本小题满分12分）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，哈市面向全市征召《扶贫政策》义务宣传志愿者，从年龄在[]20,45的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示．名，其年龄频率分布直方图如图所示．的值；（1）求图中x的值；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿的分布列及数学期望．者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．20. （本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，⊙O是△BEF的外接圆，⊙O交BC于点D．的切线；（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；长．（3）在（2）条件下，若CD=1，EH=3，求BF及AF长．21．（本小题满分12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，并且过点P（2，﹣1）的方程；（1）求椭圆C的方程；（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C于两点A（x1，y1），B（x2，y2），若的斜率是定值，并求出这个定值．直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．22. （本小题满分12分）已知函数()ln mx n f x x x-=-，,m n R Î. （1）若函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，求实数n 的值；的值；（2）试讨论函数()f x 在区间[1,)+¥上最大值；上最大值；（3）若1n =时，函数()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<，求证：122x x +>. 高二数学竞赛试题参考答案1．D 2．D 3．B 4．B 5. B 6. C 7．A 8．A 9．A 10．B 11．D 12. C13. []1,6 14．①③ 15．37516．1800017．解：(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-. ....................2分所以C A B C -=-,或()C A B C p -=--(不成立). ．即 2C A B =+, 得3C p =，所以.23B A p +=.................. 4分又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A p-=，或56B A p-=（舍去）得5,412A B p p == ．.................. 6分(2)162sin 3328ABC S ac B ac D +===+，又sin sin a c AC=, 即2322a c =，．.................. 8分得22,2 3.a c == .................. 10分（1）由已知6B p=， 2220a ab b --=结合正弦定理得：22sin sin 10A A --=，于是sin 1A =或1sin 2A =-（舍）．因为0A p <<，所以2A p=， 3C p =．（2）由题意及余弦定理可知22196a b ab ++=，由（1）2220a ab b --=得()()20a b a b +-=即2a b =，联立解得27b =， 47a = 所以， 1sin 1432ABC S ab C D ==. 18．（1）∵.∴，∴是以为首项，2为公比的等比数列.∴，即................... 6分（2）证明：∵1121212112122112(21)2k k kn k k k n a a ++---=<==-×---，，∴................... 12分19．（1）根据频率分布直方图可得()0.010.020.040.0751x ++++´=，解得0.06x =.........2分（2）用分层抽样的方法，从100名志愿者中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，.................. 4分故X 的可能取值为0,1,2,3．()343101030CP X C ===， ()12643103110C CP X C ===， ()2164310122C CP X C ===， ()36310136CP X C ===．故X 的分布列为Y0 123P1303101216.................. 10分()13110123 1.8301026E Y =´+´+´+´=．..................12分 20.证明：（1）如图，连接OE ． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠CBE=∠OBE ， ∵OB=OE ，∴∠OBE=∠OEB ， ∴∠OEB=∠CBE ， ∴OE ∥BC ， ∴∠AEO=∠C=90°，∴AC 是⊙O 的切线；．..................3分（2）如图，连结DE ．∵∠CBE=∠OBE ，EC ⊥BC 于C ，EH ⊥AB 于H ， ∴EC=EH ．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE ．在△CDE 与△HFE 中，90CDE HFE C EHF EC EH Ð=ÐÐ=Ð=ïíî=ìï， ∴△CDE ≌△HFE （AAS ）， ∴CD=HF ．．..................7分（3）由（2）得，CD=HF ．又CD=1 ∴HF ＝1在Rt △HFE 中，EF =2231+＝10 ∵EF ⊥BE ∴∠BEF =90° ∴∠EHF =∠BEF =90° ∵∠EFH =∠BFE ∴△EHF ∽△BEF ∴EF HF BF EF =，即10110BF =∴BF =10∴152OE BF ==, 514OH =-=,∴在Rt △OHE 中， 4cos 5EOA Ð=,∴在Rt △EOA 中， 4cos 5OE EOA OA Ð==,∴545OA = ∴254OA = ∴255544AF =-=. ．..................12分 21．（1）解：由，得，即a 2=4b 2，∴椭圆C 的方程可化为x 2+4y 2=4b 2．又椭圆C过点P （2，﹣1），∴4+4=4b 2，得b 2=2，则a 2=8．∴椭圆C 的方程为；..................4分（2）证明：由题意，直线PA 斜率存在，设直线PA 的方程为y +1=k （x ﹣2），联立，得（1+4k 2）x 2﹣8（2k 2+k ）x +16k 2+16k ﹣4=0．∴，即．∵直线PQ 平分∠APB ，即直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数，设直线PB 的方程为y+1=﹣k （x ﹣2），同理求得． ..........8分又，∴y 1﹣y 2=k （x 1+x 2）﹣4k ．即=，.................. 10分∴直线AB 的斜率为．..................12分22.（1）由'2()n x f x x -=，'2(2)4n f -=，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，故214n -=，解得6n =. .................. 2分（2）'2()(0)n xf x x x -=>，由'()0f x <时，x n >；'()0f x >时，x n <，所以①当1n £时，()f x 在[1,)+¥上单调递减，故()f x 在[1,)+¥上的最大值为(1)f m n =-；②当1n >，()f x 在[1,)n 上单调递增，在(,)n +¥上单调递减，故()f x 在[1,)+¥上的最大值为()1ln f n m n =--；综上①当1n £时，()f x 在[1,)+¥上的最大值为(1)f m n =-；②当1n >，()f x 在[1,)+¥上的最大值为()1ln f n m n =--；.................. 6分（3）函数()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<，则1211221211()ln 0,()ln 0mx mx f x x f x x x x --=-==-=，可得121211ln ln m x x x x =+=+. 于是21221121ln ln ln x x x x x x x x -=-=.令211x t x =>，则1111ln ,ln t t t x txt t --==，于是21211(1)ln t x x x t t t-+=+=，.................. 8分∴21212(ln )22ln t t t x x t--+-=，记函数21()ln 2t h t t t -=-，因2'2(1)()02t h t t -=>， ∴()h t 在(1,)+¥递增，∵1t >，∴()(1)0h t h >=，又211x t x=>，ln 0t >，故122x x +>成立. .................. 12分。

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