易学通·重难点一本过高一数学 (人教版必修4)：第三章 三角函数的图像的变换及应用 含解析
人教版 高中数学 必修4 第三章 三角恒等变换 知识整理
升幂公式：1 cos 2 2cos2 ，1 cos 2 2sin2 ；
降幂公式： cos2 1 cos 2 ,sin2 1 cos 2 .
2
2
2. 半角的正弦、余弦和正切
在二倍角余弦公式中，令 得 cos 2 cos2 1 1 2sin2 ，将公式变形
2
2
2
可得半角的余弦公式： cos 1 cos ；半角的正弦公式： sin 1 cos .
sin sin 1 [cos( ) cos( )] 2
2. 积化和差公式的特点
必修四
（1）同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半，异名函数之积化为两角和与
差正弦的和（差）的一半；
（2）等式左边为单角、 ，等式右边是它们的和（差）角；
（3）如果左端两函数中有余弦函数，那么右端系数为正，无余弦函数，系数为负.
2 sin
2
致的.因为分母是单项式，所以在化简、证明中应优先考虑使用有理表达式.
3.3 三角函数的积化和差与和差化积
1. 三角函数的积化和差公式 sin cos 1 [sin( ) sin( )] 2 cos sin 1 [sin( ) sin( )] 2
cos cos 1 [cos( ) cos( )] 2
tan
tan
1
tan tan tan( )
tan tan tan( )
1
（3）公式中，角、、 均不为 k , k Z ，使用公式时应注意
2
【如】
tan(
2
)
tan 2
1 tan
tan tan
.
2
若、、 中有 k , k Z 的形式，就不能使用两角和与差的正切公式，而
高中数学必修4第三章_三角恒等变换知识点(K12教育文档)
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高中数学必修4第三章 三角恒等变换知识点1、同角关系:⑴商的关系:①sin tan cos y x θθθ== ②cos cot sin x y θθθ== ③sin cos tan y r θθθ==⋅ ④cos sin cot x rθθθ==⋅ ⑵倒数关系：tan cot 1θθ⋅=⑶平方关系：22sin cos 1θθ+=2、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-;⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+） ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-） 3、二倍角的正弦、余弦和正切公式:⑴sin22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-= ⑶22tan tan 21tan ααα=- 4、万能公式： ①22tan sin 21tan θθθ=+ ②221tan cos 21tan θθθ-=+ ③22tan tan 21tan θθθ=- ④222tan sin 1tan θθθ=+ ⑤221cos 1tan θθ=+5、半角公式cos 2α=sin 2α=sin 1cos tan 21cos sin ααααα-===+ ⇒ （后两个不用判断符号，更加好用） 6、)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a（其中辅助角ϕ与点(,)a b 在同一象限，且tan b a ϕ=）。
三角函数图像变换方法
三角函数图像变换方法是数学和工程领域中非常重要的概念，其应用范围广泛，包括但不限于信号处理、图像处理、机械振动分析等领域。
下面将详细介绍三角函数图像变换的原理、方法和应用。
一、三角函数图像变换的基本原理三角函数图像变换的核心是通过调整三角函数的参数（如振幅、频率、相位等），从而改变其图像的形状和位置。
具体来说，可以通过以下几种方式来实现三角函数图像的变换：1. 振幅变换：通过改变三角函数的振幅参数，可以改变图像在垂直方向上的大小。
振幅增加时，图像的高度增加；振幅减小时，图像的高度减小。
2. 频率变换：通过改变三角函数的频率参数，可以改变图像在水平方向上的周期性。
频率增加时，图像的周期减小，图像变得更密集；频率减小时，图像的周期增加，图像变得更稀疏。
3. 相位变换：通过改变三角函数的相位参数，可以改变图像在水平方向上的平移。
相位增加时，图像向右平移；相位减小时，图像向左平移。
二、三角函数图像变换的常见方法1. 振幅变换法：通过直接调整三角函数的振幅参数，实现图像在垂直方向上的大小变化。
例如，将正弦函数y=sin(x)的振幅扩大2倍，得到y=2sin(x)的图像，其高度变为原来的2倍。
2. 频率变换法：通过调整三角函数的频率参数，实现图像在水平方向上的周期性变化。
例如，将正弦函数y=sin(x)的频率增加2倍，得到y=sin(2x)的图像，其周期变为原来的1/2。
3. 相位变换法：通过调整三角函数的相位参数，实现图像在水平方向上的平移。
例如，将正弦函数y=sin(x)的相位增加π/2，得到y=sin(x+π/2)的图像，其向右平移π/2个单位。
此外，还可以结合使用上述方法，实现更复杂的图像变换。
例如，可以同时调整振幅、频率和相位参数，得到不同形状和位置的三角函数图像。
三、三角函数图像变换的应用三角函数图像变换在各个领域有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用示例：1. 信号处理：在信号处理中，三角函数图像变换常用于分析信号的频率成分和相位关系。
三角函数图像的变换与特征
三角函数图像的变换与特征三角函数图像的变换是数学中一个重要的概念，它描述了三角函数图像相对于原始函数图像的位置、形状和特征的变化。
在本文中，我们将探讨三角函数的变换和它们的特征。
一、平移变换平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动的操作。
对于三角函数而言，平移的规律如下：1. 正弦函数（Sine Function）的平移：a. 沿横轴平移：f(x) = sin(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向右平移；若a < 0，则向左平移。
b. 沿纵轴平移：f(x) = a + sin(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。
2. 余弦函数（Cosine Function）的平移：a. 沿横轴平移：f(x) = cos(x - a)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向右平移；若a < 0，则向左平移。
b. 沿纵轴平移：f(x) = a + cos(x)，其中a为平移的距离，若a > 0，则向上平移；若a < 0，则向下平移。
二、伸缩变换伸缩是指对函数图像进行拉伸或压缩的操作。
对于三角函数而言，伸缩的规律如下：1. 正弦函数的伸缩：a. 沿横轴伸缩：f(x) = sin(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1，则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。
b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * sin(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。
2. 余弦函数的伸缩：a. 沿横轴伸缩：f(x) = cos(kx)，其中k为伸缩的系数，若k > 1，则图像水平方向收缩；若0 < k < 1，则图像水平方向拉伸。
b. 沿纵轴伸缩：f(x) = a * cos(x)，其中a为伸缩的系数，若a > 1，则图像垂直方向收缩；若0 < a < 1，则图像垂直方向拉伸。
最新人教版高中数学必修4第三章《第三章三角恒等变换》本章概览
第3章三角恒等变换
本章概览
内容提要
本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式以及运用这些公式进行简单的三角恒等变换.
三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习,要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中,发展推理能力和运算能力,使学生体会三角恒等变换的工具性作用,学会它们在数学中的一些应用.
学法指导
1.重视公式的推导:本章公式比较多,要重视公式的推导过程,体会数学知识形成过程,并据此发现公式间的内在联系,有益于形成完整的公式体系结构.
2.重视公式的记忆:对课本中出现的公式要做到真正理解、记准、记熟、用活,解决问题时究竟使用哪一个公式或哪几个公式,要抓住问题的实质，善于联想,需用公式时信手拈来.
3.重视化归思想的运用:转化与化归思想是本章应用的最重要、最基本的思想方法,它贯穿于本章内容的始终,要认真体会、理解,解题中注意灵活运用.。
高中数学三角变换知识点总结
高中数学三角变换知识点总结三角变换是高中数学中一个重要的概念，它涉及到三角函数的性质、图像和方程的变换，是解决各类三角函数问题的基础。
本文将对高中数学中常见的三角变换知识点进行总结和归纳，以帮助学生更好地理解和掌握这一内容。
1. 三角函数的周期性变换三角函数的周期性变换是指通过改变角度的取值范围，可以得到相同函数值的新角度。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的周期性变换分别如下：正弦函数：f(x) = sin(x)周期：2π周期性变换：f(x + 2π) = f(x)余弦函数：f(x) = cos(x)周期：2π周期性变换：f(x + 2π) = f(x)正切函数：f(x) = tan(x)周期：π周期性变换：f(x + π) = f(x)通过理解和掌握这些周期性变换的性质，可以简化三角函数的求解过程，同时也能更好地理解三角函数的图像特征。
2. 三角函数图像的变换三角函数的图像变换是指通过改变系数和常数的值，可以改变函数图像在坐标平面上的位置和形状。
常用的图像变换包括平移、伸缩、翻转和相位差变换。
平移变换：将函数图像沿x轴或y轴方向上下左右平移，改变函数的位置。
平移变换可用函数的形式来表示，如f(x) + a、f(x - b)等。
伸缩变换：将函数图像在x轴或y轴方向上进行拉伸或压缩，改变函数的形状。
伸缩变换可用函数的系数来表示，如af(x)、f(bx)等。
翻转变换：将函数图像关于x轴或y轴进行翻转，改变函数的对称性。
翻转变换可用函数的负号来表示，如-f(x)、f(-x)等。
相位差变换：将函数图像在x轴方向上进行平移，改变函数的起始位置。
相位差变换可用函数的参数表示，如f(x - c)、f(x + c)等。
通过掌握这些图像变换的规律，可以更清晰地观察和分析三角函数图像的各个特点，从而更准确地解决相关问题。
3. 三角方程的变换和解法三角方程是指含有三角函数的方程，解决三角方程需要通过变换和求解来得到最终结果。
高中数学必修四 三角函数的图像变换
y sin( x ) 3x
5
y 3sin x
3
6
1
o
3
-1
-3
5
6
y sin(2x )
3
y sin( x ) 3x
5
y 3sin x
3
6
1
o
3
-1
-3
y 3sin(2x )
3
5
6
y sin(2x )
3
y sin( x ) 3x
5
y 3sin x
先平移后伸缩
y 3sin(2x )
3
3
y 3sin 2x
1 o
6-1
5
6 y sin 2x
x
y sin x
-3 先伸缩后平移
练习1. 作下列函数在一个周期的闭区间上的简图，并指 出它的图象是如何由函数 y＝sinx 的图象而得到的.
练习2. 完成下列填空 ⑴ 函数y=sin2x图象向右平移
高中数学 必修四
1.5 三角函数的图像变换
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三角函数的图像变换
y sin x
沿x轴平移：左加右减 y sin( x （) ＞0）
沿y轴平移：上加下减 y sin x （c c＞0）
？
y A sin x( A＞0 )
？
y sin( x（) ＞0）
y sin 2x
y
1
任意一个
y，每个
x
值乘以������
������
O －1
2
易学通·重难点一本过高一数学 (人教版必修4)：第四章 三角恒等变换 含解析
重点列表：重点详解： 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝____________________.(2)cos(α±β)＝____________________.(3)tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝______________．(2)cos2α＝___________＝___________＝___________．(3)tan2α＝.3．半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2＝±1－cos α2. (2)cos α2＝±1＋cos α2. (3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 4．几个常用的变形公式(1)升幂公式：1±sinα＝；1＋cosα＝；1－cosα＝．(2)降幂公式：sin2α＝；cos2α＝．(3)tanα±tanβ＝______________________；tanαtanβ＝tanα－tanβtan（α－β）－1＝1－tanα＋tanβtan（α＋β）.(4)辅助角公式：asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝，或tanφ＝，φ角所在象限与点(a，b)所在象限________．【答案】1．(1)sinαcosβ±cosαsinβ(2)cosαcosβ∓sinαsinβ(3)tanα±tanβ1∓tanαtanβ2．(1)2sinαcosα(2)cos2α－sin2α2cos2α－1 1－2sin2α(3)2tanα1－tan2α4．(1)⎝⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22 2cos 2α2 2sin 2α2 (2)1－cos2α2 1＋cos2α2(3)tan(α±β)(1∓tan αtan β) (4)a a 2＋b 2 b a 2＋b 2 b a一致 重点1：非特殊角求值问题【要点解读】“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数，有时，虽不能转化为特殊角，但可通过分子分母的约分、正负项的相互抵消达到化简求值的目的．【考向1】角度配凑【例题】求值：(1)sin18°cos36°；(2)2cos10°－sin20°cos20°.【评析】对于给角求值问题，如果所给角是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：(1)化非特殊角为特殊角；(2)化为正负相消的项，消去后求值；(3)化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；(4)当有α，2α，3α，4α同时出现。
三角函数图像变换规律
三角函数图像变换规律三角函数图像变换是数学和物理学中重要的一部分，它将函数变换为图像表示。
这里，我们将探讨三角函数图像变换的各种变换规律。
首先，让我们来讨论一下sin (x)的变换规律。
三角函数的变换可以分为一次变换、二次变换和三次变换，其中一次变换是指对于给定的sin (x)来说，将x作为一次变换的函数。
图像中的sin (x)图像变换规律是在坐标原点(0，0)的情况下，假设原函数的值是一定的，则在做一次函数变换时，原点会绕着y轴旋转，由此形成一个新的弧线，该弧线形状与原函数形状是一致的，只是位置发生了变化。
图像变换后，原点在原来函数上恒定距离处又会产生新的一点，经过多次变换后，这样的模式称为周期性振荡模式，它定义了以一定周期性振荡的模式运行，在未来将得到更多的研究。
其次，我们讨论一下cos (x)的变换规律。
cos (x)的变换规律与sin (x)的变换规律大致相同，也分为一次变换、二次变换和三次变换。
但是，cos (x)的图像变换与sin (x)的变换还是有一些不同之处。
首先，cos (x)的图像变换规律是在坐标原点（0，0）的情况下，当处于一次变换过程中时，原点会绕着x轴旋转，形成一个新的抛物线，与原抛物线的形状相同，只是位置发生了变化。
其次，当cos (x)进行二次变换时，其图像变换规律会发生变化，该函数会绕着原点旋转，而不是绕着x轴旋转，即原点会在函数上恒定距离处产生新的点，不断重复，形成一个新的抛物线，与原函数形状大体相同;最后，在三次变换时，cos (x)变换规律将会有所不同，在此条件下，函数会绕着x轴旋转，而不是绕着原点旋转，形成一个新的抛物线，该抛物线上点的位置会比原函数上更加密集。
最后，我们来讨论一下tan (x)的变换规律。
类似于sin (x)和cos (x)，tan (x)也可以进行一次、二次和三次变换，其图像变换的规律也大致相同。
在一次变换时，原点绕着y轴旋转，形成一个新的弧线，该弧线形状与原函数形状大体相同;二次变换时，原点绕着原点旋转，而不是绕着y轴旋转，形成一个新的弧线，与原函数形状大体相同;三次变换时，原点绕着x轴旋转，而不是绕着原点旋转，形成一个新的弧线，与原函数形状大体相同。
易学通·重难点一本过高一数学人教版必修：第三章三角函数的图像的变换及应用含解析
重点列表：重点详解：1．用五点法画y ＝Asin (ωx ＋φ)在一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示.2.图象变换(ω＞0)路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移________个单位长度，得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． 路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ωx 的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． 【参考答案】 1.2. ||φ 1ω A 1ω ⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω A 重点1：三角函数图像的认识与应用 【要点解读】了解三角函数解析式的参数代表的几何意义 根据图像求三角函数解析式要注意步骤 【考向1】作图【例题】作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的图象． 解：周期T ＝2π12＝4π，振幅A ＝2.按五个关键点列表：描点作图：【评析】用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设X ＝ωx ＋φ，由X ＝0，π2，π，32π，2π来求出相应的x 值，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．【考向2】图像的应用【例题】已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”在图中画出(1)中函数在一个周期上的图象．(2)按五个关键点列表：描点作图：重点2：三角函数图像的变换 【要点解读】三角函数图象变换中应注意的问题(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； (2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y ＝A sin x 到y ＝A sin(x ＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y ＝A sin ωx 到y ＝A sin(ωx ＋φ)时，变换量是⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位． 【考向1】图像的伸缩翻折【例题】说明由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换就能得到下列函数的图象． (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3； (2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π；(3)y ＝||sin x ；(4)y ＝sin ||x .【评析】(1)本题主要考查图象的平移、伸缩、对称变换．三角函数的图象变换，有两种选择．一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；(2)三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换． 【考向2】图像的平移【例题】为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度解：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋56π，因此只需将y ＝sin x 的图象向左平移56π个单位长度．故选C .重点3：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象及其变换【要点解读】关于三角函数的图象变换的方法 (1)平移变换①沿x 轴平移：由y ＝f (x )变为y ＝f (x ＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移．②沿y 轴平移：由y ＝f (x )变为y ＝f (x )＋k 时，“上加下减”，即k >0，上移；k <0，下移． (2)伸缩变换①沿x 轴伸缩：由y ＝f (x )变为y ＝f (ωx )时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1|ω|倍．②沿y 轴伸缩：由y ＝f (x )变为y ＝Af (x )时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A |倍． 【考向1】根据性质求参数【例题】函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋a cos(2x ＋φ)，其中a 为正常数且0<φ<π，若f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，f (x )的最大值为2.(1)求a 和φ的值；(2)求f (x )的振幅、周期和初相；(3)用五点法作出它的长度为一个周期的闭区间上的图象；(4)由y ＝f (x )的图象经过怎样的平移得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象？(2)由(1)可知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6， 所以函数f (x )的振幅为2，周期T ＝2π2＝π，初相为7π6.(3)列表，并描点画出图象.(4)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋76π＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋712π，要得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，只需将y ＝2sin(2x ＋76π)的图象向右平移512π个单位长度即可．【评析】(1)用辅助角法，将较复杂的三角式转化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用f (x )的最值，可解出a ，再根据三角函数对称轴方程的性质及φ的范围可确定φ.(2)根据解析式，由振幅、周期和初相的定义即可求．(3)五点法作图，关键是找出与x 相对应的五个点．(4)要看清由谁平移到谁，注意自变量的系数不为1时，要将系数先提出来，再平移． 【考向2】奇偶性的应用【例题】 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后所对应的函数是偶函数．(2)解法一：由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4. 依题意，T 2＝π3，T ＝23π，ω＝2πT＝3.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后所对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3（x ＋m ）＋π4.g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )，从而，最小正实数m ＝π12. 解法二：亦可根据偶函数的定义求．难点列表：难点详解：1．在现实生活中，许多变化的现象都具有周期性，因此，可以用三角函数模型来描述．如：气象方面有温度的变化，天文学方面有白昼时间的变化，物理学方面有各种各样的振动波，生理方面有人的情绪、智力、体力变化等．研究这些应用问题，主要有以下三种模式：一是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；二是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数，再解决其他问题；三是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数式，进一步用函数性质来解决相应的实际问题．2．三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，利用三角函数的周期性、有界性等，可以解决很多问题，其解题流程大致是：审读题意→设角建立三角函数模型→分析三角函数的性质→解决实际问题．其中根据实际问题的背景材料，建立三角函数关系，是解决问题的关键．3．在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活运用三角函数的图象和性质进行解答．难点1：三角函数解析式的几何意义【要点解读】函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的物理意义简谐运动的图象所对应的函数解析式y＝A sin(ωx＋φ)，x∈0，＋∞)，其中A>0，ω>0.在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f＝1T＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝________时的相位φ称为初相．2πω ω2π0 【考向1】三角函数图像的翻折【例题】画出函数y ＝|cos x |的图象并观察其周期.【评析】利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法．【考向2】三角函数参数的物理意义【例题】弹簧挂着的小球作上下振动，时间t (s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h (cm)之间的函数关系式是h ＝2sin(2t －π4)，t ∈0，＋∞)．(1)以t 为横坐标，h 为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)小球开始振动的位置在哪里？(3)小球最高点、最低点的位置及各自距平衡位置的距离分别是多少？ (4)小球经过多长时间往复振动一次？(5)小球1s 能振动多少次？ 解：(1)画出h ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t －π4的简图(长度为一个周期)． 按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，即得h ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －π4(t ≥0)在一个周期的简图，如图所示．(2)t ＝0时，h ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－2，即小球开始振动时的位置为(0，－2)(平衡位置的下方2cm 处)．难点2：三角函数的实际应用 【要点解读】【考向1】三角函数的实际应用【例题】受日月引力影响，海水会发生涨落，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在不至搁浅时返回海洋，某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)．下面是该港口在某季节每天水深的数据：(1)根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面距离)为6.5米，如果该船在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?【评析】(1)这是一道根据生活中的实例编拟的题目，由表中数据抽象出数学问题(求解析式、解不等式)，从而得出船在港内最多停留的时间，这一过程体现了数学建模的思想；(2)许多实际问题可以根据以前的记录数据寻找模拟函数，再结合几个关键数据求出解析式．【考向2】拟合性问题【例题】某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)而周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：(1)试画出散点图；(2)观察散点图，从y＝at＋b，y＝A sin(ωt＋φ)＋b，y＝A cos(ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定在白天7 时～19时当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． 解：(1)【趁热打铁】1．为了得到函数y ＝sin(2x －π3)的图象，只需把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位2．将函数f ()x ＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A ．13B ．1C ．53D ．23．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π64．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20 5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ等于( ) A.π6B.5π6C.7π6D.11π66．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移π6个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则f (x )的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称 B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0对称 D ．关于直线x ＝π12对称 7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________．8．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________. 9．已知，如图表示电流强度I 与时间t 的关系I ＝A sin(ωt ＋φ)(t ≥0，－π2＜φ＜π2)的图象．(1)试根据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)为了使I ＝A sin(ωt ＋φ)中t 在任意一段1100秒的时间内电流强度I 能同时取得最大值||A 与最小值-||A ，那么正整数ω的最小值是多少？10．已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：时)的函数，记作：y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b .(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？第三章1解：∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－π4，∴只需将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的图象向右平移π4个长度单位，即可得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．故选B .2解：函数f ()x 的图象向右平移π4个单位长度得函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象，由于此时函数g (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝sin πω2＝0，即πω2＝k π，ω＝2k ，k ∈Z .∵ω>0，∴ω的最小值为2.故选D .3解：依题意得T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，ω＝2，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝1，故23π＋φ＝2k π＋π2，φ＝2k π－π6，k ∈Z .又|φ|＜π2，因此φ＝－π6，故选D .5解：由题意得sin(x ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，∴x ＋φ＝x －π6＋2k π，即φ＝－π6＋2k π，k ∈Z .又0≤φ<2π，故φ＝11π6.故选D .6解：由已知得ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)，设平移后的函数为g (x )，则g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2且为奇函数，∴φ＝－π3，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2x －π3＝k π＋π2，易得图象关于直线x ＝5π12对称．故选B . 7解：由图象知T ＝2π3，则ω＝2πT ＝2π2π3＝3.故填3.8解：y ＝cos(2x ＋φ)的图象−−−−−→−个单位向右平移2 πy =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-φ x 22cos π＝cos(2x －π＋φ) ＝－cos(2x ＋φ)的图象．∵y ＝－cos(2x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π2与y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 的图象重合，∴φ－π2＝π3＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝5π6＋2k π，又－π≤φ＜π，∴φ＝5π6.故填5π6.10解：(1)由题意知T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6.由t ＝0，y ＝1.5得A ＋b ＝1.5；由t ＝3，y ＝1.0得b ＝1.0， ∴A ＝0.5，y ＝12cos π6t ＋1，t ∈0，24]．(2)由题意知，当y >1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1>1，cos π6t >0. ∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z .①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0，1，2， 得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24.∴在规定的8：00至20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪运动，即9：00至15：00.。
三角函数图像变换总结
三角函数图像变换总结三角函数是高中数学中非常重要的一个概念，它在几何、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
在学习三角函数时，我们经常会接触到三角函数的图像变换。
图像变换是指通过对原始函数的一系列操作，得到一个新的函数的过程。
一、平移变换平移变换是指将函数的图像沿着横轴或纵轴方向平移一定的距离。
当我们将函数沿着横轴平移时，可以通过将自变量加上一个常数来实现。
例如，若将函数f(x)沿着横轴向右平移a个单位，则新函数为f(x-a)。
同样，当我们将函数沿着纵轴平移时，可以通过将因变量加上一个常数来实现。
二、伸缩变换伸缩变换是指通过改变函数的自变量或因变量的取值范围来改变函数的图像形状。
当我们将函数的自变量进行伸缩时，可以通过改变自变量的比例系数来实现。
例如，若将函数f(x)的自变量x进行伸缩，新函数为f(kx)，其中k是一个正常数。
当k 大于1时，函数图像会水平压缩；当0<k<1时，函数图像会水平拉伸。
同样，我们可以将函数的因变量进行伸缩，通过改变因变量的比例系数来实现。
三、翻折变换翻折变换是指通过改变函数的自变量或因变量的正负号来改变函数的图像形状。
当我们将函数的自变量进行翻折时，可以通过将自变量取相反数来实现。
例如，若将函数f(x)的自变量进行翻折，新函数为f(-x)。
同样，我们可以将函数的因变量进行翻折，通过将因变量取相反数来实现。
四、迭加变换迭加变换是指将多个变换效果叠加在一起，从而得到一个新的函数的图像。
例如，我们可以将平移、伸缩和翻折等变换操作应用于原始函数，得到一个经过多次变换的新函数的图像。
通过迭加变换，我们可以获得更加丰富多样的函数图像。
总结起来，三角函数的图像变换是通过对函数的自变量和因变量进行平移、伸缩、翻折等操作来改变函数的图像形状。
通过合理地应用这些图像变换，我们可以更好地理解和应用三角函数，并在解决实际问题时提供便利。
因此，掌握三角函数的图像变换是非常重要的数学技能之一，也是我们在数学学习中需要重点关注和掌握的内容之一。
三角函数图像变换总结
三角函数图像变换总结三角函数是数学中的重要内容，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
三角函数的图像变换是三角函数研究中的一个重要内容，通过对三角函数图像的变换，可以更直观地理解三角函数的性质和特点。
本文将对三角函数图像的平移、垂直伸缩和水平伸缩等变换进行总结，希望能够帮助读者更好地理解三角函数图像的变换规律。
1. 平移变换。
平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行平移。
对于三角函数图像而言，平移包括水平平移和垂直平移两种情况。
水平平移是指将函数图像沿着横坐标轴的方向进行平移，而垂直平移则是指将函数图像沿着纵坐标轴的方向进行平移。
对于三角函数y=sin(x)而言，将其图像沿着横坐标轴平移a个单位，则新的函数图像为y=sin(x-a)；将其图像沿着纵坐标轴平移b个单位，则新的函数图像为y=sin(x)+b。
同样的规律也适用于三角函数y=cos(x)和y=tan(x)的图像平移变换。
2. 垂直伸缩变换。
垂直伸缩是指将函数图像沿着纵坐标轴的方向进行伸缩。
对于三角函数图像而言，垂直伸缩可以分为垂直方向的拉伸和压缩两种情况。
对于三角函数y=sin(x)而言，将其图像沿着纵坐标轴方向进行拉伸k倍，则新的函数图像为y=ksin(x)；将其图像沿着纵坐标轴方向进行压缩k倍，则新的函数图像为y=(1/k)sin(x)。
同样的规律也适用于三角函数y=cos(x)和y=tan(x)的图像垂直伸缩变换。
3. 水平伸缩变换。
水平伸缩是指将函数图像沿着横坐标轴的方向进行伸缩。
对于三角函数图像而言，水平伸缩可以分为水平方向的拉伸和压缩两种情况。
对于三角函数y=sin(x)而言，将其图像沿着横坐标轴方向进行拉伸k倍，则新的函数图像为y=sin(kx)；将其图像沿着横坐标轴方向进行压缩k倍，则新的函数图像为y=sin(x/k)。
同样的规律也适用于三角函数y=cos(x)和y=tan(x)的图像水平伸缩变换。
通过以上对三角函数图像变换的总结，我们可以发现三角函数图像的变换规律其实并不复杂。
三角函数图像的变换
三角函数图像的变换三角函数是一类重要的基础函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在数学中，我们经常遇到需要对三角函数进行图像变换的情况，比如平移、伸缩、翻转等。
本文将介绍三角函数图像的常见变换以及它们对函数图像的影响。
一、平移变换平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动一段距离。
以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴向右平移a个单位，新函数为y=sin(x-a)。
当a取正值时，函数图像向右平移；当a取负值时，函数图像向左平移。
平移变换后的图像与原图像形状相同，只是位置不同。
二、伸缩变换伸缩是指将函数图像进行横向或纵向的比例拉伸或压缩。
以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴方向进行压缩b倍，新函数为y=sin(bx)。
当b大于1时，函数图像横向压缩；当0<b<1时，函数图像横向拉伸。
同样，沿纵轴方向进行伸缩也可得到相应的函数图像变换。
三、翻转变换翻转是指将函数图像沿着横轴或纵轴进行翻转，也称为镜像变换。
以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴进行翻转，新函数为y=-sin(x)。
同样地，纵向翻转可得到相应的函数图像变换。
四、混合变换除了单一的平移、伸缩和翻转变换，我们还可以通过组合这些变换来得到更复杂的函数图像变换。
比如，可以将平移、伸缩和翻转变换相结合，得到更丰富多样的变换效果。
以上是对三角函数图像常见变换的简要介绍，下面我们将进一步讨论这些变换对函数图像的具体影响。
1.平移变换的影响：平移变换只改变了函数图像的位置，不改变其形状。
假设原函数图像位于坐标系上方，若平移后函数图像向右移动，则新函数图像将出现在原来的右侧；若平移后函数图像向左移动，则新函数图像将出现在原来的左侧。
平移变换对函数图像的垂直位置没有影响。
2.伸缩变换的影响：横向伸缩会拉伸或压缩函数图像。
当b大于1时，函数图像在x轴方向上被压缩，变得更加陡峭；当0<b<1时，函数图像在x轴方向上被拉伸，变得更加平缓。
三角函数的像变换规律总结
三角函数的像变换规律总结三角函数是数学中的重要概念，它们在数学和物理等领域中有广泛的应用。
像变换规律是描述三角函数在图像上的移动、拉伸和反转等变化规律。
在本文中，我们将总结常见的三角函数的像变换规律。
一、正弦函数的像变换规律正弦函数是最常见的三角函数之一，其一般式为y =A*sin(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数参数。
1. 水平方向平移：当C改变时，函数图像在水平方向上发生平移。
当C>0时，向左平移；当C<0时，向右平移。
平移的距离等于C的绝对值除以B。
2. 垂直方向平移：当D改变时，函数图像在垂直方向上发生平移。
当D>0时，向上平移；当D<0时，向下平移。
平移的距离等于D。
3. 垂直方向拉伸或压缩：当A改变时，函数图像在垂直方向上发生拉伸或压缩。
当|A|>1时，发生纵向拉伸；当|A|<1时，发生纵向压缩。
拉伸或压缩的程度与|A|的大小有关。
二、余弦函数的像变换规律余弦函数也是常见的三角函数之一，其一般式为y =A*cos(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数参数。
1. 水平方向平移：与正弦函数类似，余弦函数在改变C时在水平方向上发生平移。
当C>0时，向左平移；当C<0时，向右平移。
平移的距离等于C的绝对值除以B。
2. 垂直方向平移：与正弦函数类似，余弦函数在改变D时在垂直方向上发生平移。
当D>0时，向上平移；当D<0时，向下平移。
平移的距离等于D。
3. 垂直方向拉伸或压缩：与正弦函数类似，余弦函数在改变A时在垂直方向上发生拉伸或压缩。
当|A|>1时，发生纵向拉伸；当|A|<1时，发生纵向压缩。
拉伸或压缩的程度与|A|的大小有关。
三、正切函数的像变换规律正切函数是另一个常见的三角函数，其一般式为y =A*tan(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数参数。
由于正切函数在某些点上无定义，因此在图像上会有一些特殊的性质。
高中数学必修4知识点总结第三章三角恒等变换
高中数学必修4知识点总结第三章三角恒等变换高中数学必修4知识点总结：第三章三角恒等变换高中数学必修4知识点总结第三章梯形恒等变换24、两角和与差的指数函数、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan（tantantan1tantan）；1tantantantan（tantantan1tantan）．1tantan⑹tan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．1sin2sin2cos22sincos(sincos)2⑵cos2cos2sin22co s2112sin2,1cos2sin2升幂公式1cos2cos222cos211cos22，sin．降幂公式cos222⑶tan22tan．21tan万能公式:αα2tan1tan22;cosα2sinααα1tan21tan222:26、半角公式α1cosαα1cosαcos;sin2222α1cosαsin1cosααtan21cosα1cos αsinα（后两个不用判断符号，更加好用）x)B27、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的yAsin(形式。
sincos22sin，其中tan．28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角近似能力，要学会创设条件，灵活运用三角近似值，掌握运算，化简的方法和技能．常用的为人所知数论思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往少许出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①2是的二倍；4是2的二倍；是的二倍；是的二倍；22430o；cos；②1545306045；问：sin12122③()；④42(4)；⑤2()()(4)(4)；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
人教版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》教材分析与教学建议
人教版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》教材分析与教学建议本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上. 通过本章的学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.一、课程标准内容1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用. 2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括尝试导出）.二、知识框图三、教学要求四、教学建议2．重点难点3.1节重点是通过探索和讨论交流，导出两角和与差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系.难点是两角差的余弦公式的探索和证明.3.2节重点是掌握三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点.难点是公式的灵活应用.3．分析说明本章内容的重点之一是两角差的余弦公式的推导及在推导过程中体现的思想方法，同时它也是难点.为了突出重点、突破难点，教学中可以设计一定的教学情景，引导学生从数形结合的角度出发，利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立包含α，β，αβ-的正弦、余弦值的等量关系.前一章中已经明确指出，向量的数量积是解决距离与夹角问题的工具，在两角差的余弦公式的推导中能够体现它的作用.由于学生刚接触向量，他们还不太习惯用向量工具解决问题，因此这里需要教师作引导.教学时应当注意下面四个要点：①在需要学生联系已学过的其它知识时，有意识的引导学生联想向量知识；②充分利用单位圆，分析其中有关几何元素（角的终边及其夹角）的关系，为向量方法的运用做好准备；③探索过程的安排，应当先把握整体，然后逐步追求细节，在补充完善细节的过程中，需要运用分类讨论思想，突破两角差的余弦公式的推导这一难点后，其他所有公式都可以通过学生自己的独立探索而得出.④本章不仅关注使学生得到差（和）角公式，而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法.在两角差的余弦公式的推导中体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中，始终引导学生体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、类比、特殊化、化归等思想方法.特别是充分发挥了“观察”“思考”“探究”等栏目的作用，对学生解决问题的一般思路进行引导.教材还对三角变换中的数学思想方法作了明确的总结.例如，在旁白中有“‘倍’是描述两个数量之间关系的，2α是α的二倍……是的二倍，这里蕴含着换元的思想”“这两个式子的左右两边在结构上有什么不同”等，这些都可以成为我们加强对思想方法渗透的一个重要的内容，也是我们开展研究性学习的好素材.本章强调了用向量方法推导差角的余弦公式，并用三角函数之间的关系推导和（差）角公式、二倍角公式.要把重点放在培养学生的推理能力和运算能力上，降低变换的技巧性要求.教学时应当把握好这种“度”，遵循“标准”所规定的内容和要求，不要随意补充知识点（如半角公式、积化和差与和差化积公式，这些公式只是作为基本训练的素材，结果不要求记忆，更不要求运用）.三角恒等变换与代数恒等变换、圆的几何性质等都有紧密联系，推导两角差的余弦公式的过程比较集中地反映了这种联系，从中体现了丰富的数学思想.从数学变换的角度看，三角恒等变换与代数恒等变换既有相同之处又有各自特点.相同之处在于它们都是运用一定的数学工具对相应的数学式子作“只变其形不变其质”的数学运算，对其结构形式进行变换.由于三角函数式的差异不仅表现在其结构形式上，而且还表现在角及其函数类型上，因此三角恒等变换常常需要先考虑式子中各个角之间的关系，然后以这种关系为依据来选择适当的三角公式进行变换，这是三角恒等变换的主要特点.教学中应当引导学生以一般的数学（代数）变换思想为指导，加强对三角函数式特点的观察，在类比、特殊化、化归等思想方法上多作引导，同时要注意体会三角恒等变换的特殊性.五．注意问题（1）精心设计，突出重点.（2）准确把握、控制难度.（3）加强联系，强调思想.（4）问题引导，提高能力.。
高中数学必修四知识点总结归纳
高中数学必修四第一章：三角函数1.1任意角和弧度制考点1：任意角的概念考点2：终边相同的角考点3：象限角与轴线角1.1.2弧度制考点1：弧度制考点2：弧度制与角度制考点3：用弧度表示有关角考点4：扇形的弧长与面积1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数考点1：任意角的三角函数的定义考点2：三角函数值的符号考点3：诱导公式（一）考点4：三角函数式的化简与证明考点5：三角函数线考点6：三角函数的定义域与值域1.2.2同角三角函数的基本关系考点1：同角三角函数的基本关系考点2：三角函数式的化简考点3：利用sinα，cosα，sinαcos α之间的关系求值考点4：三角函数恒等式的证明1.3三角函数的诱导公式考点1：诱导公式考点2：运用诱导公式化简、求值考点3：诱导公式的综合运用1.4三角函数的图像与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图像1.4.2正弦函数。
余弦函数的性质考点1：函数的周期性考点2:正弦函数与余弦函数的图像考点3：正弦函数与余弦函数的定义域和值域考点4：正弦函数与余弦函数的奇偶性考点5：正弦函数与余弦函数的单调性考点6：正弦函数与余弦函数的对称性1.4.3正切函数的性质与图像考点1：正切函数的图像考点2：正切函数的性质考点3：正切函数的综合问题1.5函数y=Asin（ωx+φ）的综合应用考点1：用“五点法”作函数y=Asin（ωx+φ）的图像考点2：用变换作图法作函数y=Asin（ωx+φ）的图像考点3：由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图像确定其解析式考点4：简谐运动的有关概念考点5：函数y=Asin（ωx+φ）的综合应用1.6三角函数模型的简单应用考点1：利用三角函数定义建立三角函数模型考点2：用拟合法建立三角函数模型考点3：三角函数模型应用的综合问题考法整合：考法1：任意角三角函数定义的灵活运用考法2：山脚函数图像的对称性考法3：三角函数的值域与最值问题考法4：利用图像解题第二章：平面向量2.1平面向量的事件背景及基本概念考点1：平面向量的概念考点2：平行向量（共线向量）、相等向量与相反向量考点3：平面向量的应用2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义2.2.2向量减法运算及其集合意义考点1：向量的加法考点2：向量的减法考点3：向量的化简考点4：响亮的加减法应用2.2.3向量数乘运算及其集合意义考点1：向量的数乘运算考点2：向量的线性运算考点3：向量的共线问题考点4：利用向量解决平面几个问题2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量的基本定理考点1：平面向量的基本定理考点2：平面向量基本定理的应用考点3：两个平面向量的夹角2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示考点1：平面向量的坐标表示考点2：平面向量的坐标运算考点3：平面向量贡献的坐标表示考点4：线段的定比分点考点5：平面向量坐标表示的应用2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义考点1：平面向量的数量积考点2：数量积的性质及其运算律考点3：两向量的夹角考点4：数量积的应用2.4.2平面向量数量积的坐标表示。
易学通·重难点一本过高一数学 (人教版必修4)：第二章 三角函数的图像及性质 Word版含解析
重点列表：重点详解：1．“五点法”作图(1)在确定正弦函数y ＝sin x 在0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 ，， ， ， ．(2)在确定余弦函数y ＝cos x 在0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 ，， ， ， ．2．周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有________________，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的________________． 3．三角函数的图象和性质【参考答案】1．(1)(0，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 (π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1 (2π，0)(2)(0，1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 (π，－1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0 (2π，1) 2．f (x ＋T )＝f (x ) 最小正周期3．①R ②R ③⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ④－1，1] ⑤－1，1] ⑥x ＝k π＋π2(k ∈Z )⑦(k π，0)(k ∈Z )⑧x ＝k π(k ∈Z )⑨⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) ⑩⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z ) ○112π ○122π ○13π ○14⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) ○15⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )○16 2k π－π，2k π](k ∈Z ) ○17 2k π，2k π＋π](k ∈Z ) ○18⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) ○19奇函数 ○20偶函数 ○21奇函数 重点1：三角函数的定义域 【要点解读】三角函数的定义域、值域 (1)三角函数的定义域的求法三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)．一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解．列三角不等式时，要考虑全面，避免遗漏，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域(如正切函数等)．(2)三角函数值域的求法三角函数的值域问题，大多是含有三角函数的复合函数值域问题，常用的方法为：化为代数函数的值域，也可以通过三角恒等变形化为求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的值域；或化为关于sin x (或cos x )的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域．【考向1】利用三角函数图像求定义域 【例题】求y ＝lg(sin x －cos x )的定义域． 解：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ＞0.解法二：利用三角函数线，如图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sin x ＞cos x ，则π4＜x ＜5π4(在0，2π]内)． ∴定义域为{x |π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z }.解法三：sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＞0，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π＜x －π4＜π＋2k π，解得2k π＋π4＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z . ∴定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|π4＋2k π＜x ＜5π4＋2k π，k ∈Z .【评析】①求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)；②求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴；③对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集．【考向2】三角函数的值域 【例题】求下列函数的定义域： (1)y ＝sin （cos x ）； (2)y ＝lgsin x 2sin x －3.重点2：三角函数的周期性 【要点解读】 三角函数的周期性(1)求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．(2)三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成y ＝A sin(ωx ＋φ)，或y ＝A tan(ωx ＋φ)等类型后，用基本结论T ＝2π|ω|或T ＝π|ω|来确定；③根据图象来判断．【考向1】三角函数周期的判断 【例题】求下列函数的最小正周期． (1)y ＝(a sin x ＋cos x )2(a ∈R )；(2)y ＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ；(3)y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3.【评析】①求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．②注意带绝对值的三角函数的周期是否减半，可用图象法判定，y ＝2|sin(4x －π3)|的图象即是将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴的上方去． 【考向2】三角函数周期的应用 【例题】已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos2α，求α的大小．解：(1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为{x|x ≠π8＋k π2，k ∈Z }．f (x )的最小正周期T ＝π2. (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0，因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12.重点3：三角函数的奇偶性 【要点解读】 三角函数的奇偶性判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性． 【考向1】三角函数奇偶性的判断 【例题】判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x.【评析】判断三角函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间，如果是，再验证f (-x )是否等于－f (x )或f (x )，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．另外，对较复杂的解析式，可选择先化简再判断，也可直接用－x 取代x ，再化简判断，还可利用f (－x )±f (x )＝0是否成立来判断其奇偶性．难点列表：难点详解：根据图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的方法(1)在一个周期内(或者从最高点到相邻的最低点，即半个周期内)，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m2.特别地，当k ＝0时，A ＝M ＝－m .(2)ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出．常用的确定T 值的方法如下：①曲线与x 轴的相邻两个交点之间的距离为T 2；②最高点和与其相邻的最低点横坐标之间的距离为T2；③相邻的两个最低点(最高点)之间的距离为T ；④有时还可以从图中读出T 4或者是3T4的长度来确定ω.(3)φ的求法通常有以下两种：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω，B 已知)，或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.难点1：三角函数对称性 【要点解读】利用复合函数的方法求三角函数的对称轴与对称中心 特别注意三角函数的对称轴与对称中心有无数个 【考向1】轴对称【例题】(1)已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________．解：y ＝f (x ＋φ)＝2sin(x ＋π3＋φ)的图象关于x ＝0对称，即f (x ＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z ，又|φ|≤π2，所以φ＝π6.故填π6.(2)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象的一个对称中心的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0B.⎝⎛⎭⎪⎫3π8，1C.⎝⎛⎭⎪⎫π8，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，－1 解：对称中心的横坐标满足2x ＋π4＝k π，解得x ＝－π8＋k π2，k ∈Z .当k ＝1时，x ＝3π8，y ＝1.故选B . 【评析】①解此类选择题最快捷的方式往往是代入验证法；②对于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，如果求f (x )图象的对称轴，只需解方程sin(ωx ＋φ)＝±1，也就是令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )求x ；如果求f (x )图象的对称中心，只需解方程sin(ωx ＋φ)＝0，也就是令ωx＋φ＝k π(k ∈Z )；③对于较复杂的三角函数表达式，有时可以通过恒等变换为②的情形，这一部分将在“三角恒等变换”中涉及． 【考向2】中心对称【例题】已知函数g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2m ＋2的图象关于点(0，2)对称，求m 的最小正值．难点2：三角函数的单调性与最值 【要点解读】 三角函数的单调性(1)三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性见“2.2函数的单调性与最大(小)值”．(2)利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较，与1比较等)求解． 【考向1】三角函数的单调性 【例题】(1)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间；(2)求y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的最小正周期及单调区间．【评析】若函数y ＝sin(ωx ＋φ)中ω＜0，可用诱导公式将函数变为y ＝－sin(－ωx －φ)的形式(目的是将x 的系数变为正)，将“－ωx －φ”视为一个整体，那么y ＝－sin(－ωx －φ)的增区间为y ＝sin(－ωx －φ)的减区间，其减区间为y ＝sin(－ωx －φ)的增区间．对于函数y ＝cos(ωx ＋φ)，y ＝tan(ωx ＋φ)(ω＜0)等的单调性的讨论同上．【考向2】三角函数的最值(1)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最大值和最小值． (2)求y ＝cos x －2cos x －1的最小值； (3)求y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的最值． 解：(1)∵－π2≤x ≤0，∴－34π≤2x ＋π4≤π4， ∴当2x ＋π4＝－34π，即x ＝－π2时，f (x )有最小值，f (x )min ＝－1； 当2x ＋π4＝0，即x ＝－π8时，f (x )有最大值，f (x )max ＝2， 即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值为－1，最大值为 2. (2)解法一：∵y ＝cos x －2cos x －1＝cos x －1－1cos x －1＝1＋11－cos x， ∴当cos x ＝－1时，y min ＝1＋12＝32. 解法二：由y ＝cos x －2cos x －1，得cos x ＝y －2y －1， 又∵－1≤cos x ＜1，∴－1≤y －2y －1＜1. ∴y ≥32.∴函数的最小值为32. (3)原式＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －232－13， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12， 从而当cos x ＝－12，即x ＝23π时，y 有最大值154. 当cos x ＝12，即x ＝π3时，y 有最小值－14. 【评析】(1)先求出ωx ＋φ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的范围，然后根据单调性求解．(2)这里把cos x 整体看作自变量，把三角函数式看成关于cos x 的分式函数、二次函数，用代数的方法来求最值，当然还要注意余弦函数性质的运用．这种在知识交汇处的小综合，是值得引起我们重视的热点问题．【趁热打铁】1．函数f (x )＝1－cos4x 4是( ) A ．周期为π2的非奇非偶函数 B ．周期为π的奇函数C ．周期为π2的奇函数 D ．周期为π2的偶函数 2．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 3．已知ω>0，0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f ()x ＝sin ()ωx ＋φ图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3C.π2D.3π44．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( ) A ．0 B.π6 C.π4 D.π35．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减 B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增 D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递增 6．已知ω>0，函数f ()x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.(]0，27．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________．8．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ＝________.9．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)若函数y ＝f (x ＋θ)⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2为偶函数，求θ的值． 10．已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值； (2)求f (x )的最大值和最小值．第二章1解：T ＝2π4＝π2且为偶函数．故选D .3解：由题意知T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，ω＝2πT ＝1，∴f ()x ＝sin ()x ＋φ.又∵π4＋φ＝π2＋k π，∴φ＝π4＋k π，k ∈Z . ∵0<φ<π，∴φ＝π4.故选A . 4解：若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经检验符合题意．故选B . 5解：由条件得f (x )＝2cos(ωx ＋φ)cos π4＋sin(ωx ＋φ)sin π4]＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π4，由于f (x )的最小正周期为π且f (x )为偶函数，∴ω＝2，φ＝π4，即f (x )＝2cos2x .由余弦函数性质知f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减．故选A .7：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x ＝22sin2x －22cos2x －22×1－cos2x 2＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，故该函数的最小正周期为T ＝2π2＝π.故填π. 8解：函数f (x )的定义域为R ，且f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝3cos θ＋sin θ＝0(使cos θ＝0的θ值不满足题设条件，故cos θ≠0)，得tan θ＝－ 3.故填－ 3.9解：(1)令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 解得单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . (2)f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π3. 根据三角函数图象性质可知，y ＝f (x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2在x ＝0处取最值， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝±1， ∴2θ－π3＝k π＋π2，θ＝k π2＋5π12，k ∈Z . 又0＜θ＜π2，解得θ＝5π12. 10解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos 23π＋sin 2π3－4cos π3 ＝－1＋34－2＝－94. (2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －232－73，x ∈R . 因为cos x ∈－1，1]，所以当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；2 3时，f(x)取最小值－73.当cos x＝。
高中数学知识点总结三角函数的变换与性质
高中数学知识点总结三角函数的变换与性质三角函数是高中数学中的重要部分，它在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
掌握三角函数的变换与性质对于解题和理解数学概念都具有重要的意义。
本文将对高中数学中的三角函数的变换与性质进行总结。
1. 正弦函数与余弦函数的图像变换正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数之一，它们的图像变换具有以下特点：- 幅度变换：改变函数的幅度可以使得函数的振幅变大或变小。
当幅度为正数时，函数的振幅变大；当幅度为负数时，函数的振幅变小。
- 周期变换：改变函数的周期可以使得函数的图像在横轴上拉长或压缩。
周期为正数时，函数的图像在横轴上压缩；周期为负数时，函数的图像在横轴上拉长。
- 相位变换：改变函数的相位可以使得函数的图像在横轴上左移或右移。
相位为正数时，函数的图像在横轴上左移；相位为负数时，函数的图像在横轴上右移。
通过改变幅度、周期和相位，可以对正弦函数和余弦函数的图像进行灵活的变换，使其适用于不同的数学问题。
2. 正切函数与余切函数的图像变换正切函数和余切函数是三角函数中的另外两个重要函数，它们的图像变换具有以下特点：- 幅度变换：改变函数的幅度可以使得函数的振幅变大或变小。
当幅度为正数时，函数的振幅变大；当幅度为负数时，函数的振幅变小。
- 周期变换：改变函数的周期可以使得函数的图像在横轴上拉长或压缩。
周期为正数时，函数的图像在横轴上压缩；周期为负数时，函数的图像在横轴上拉长。
- 图像翻转：通过将函数的图像进行上下翻转或左右翻转，可以得到正切函数和余切函数的不同变换形式。
正切函数和余切函数的图像变换与正弦函数和余弦函数的变换类似，可以通过改变幅度、周期和图像翻转来得到不同形式的图像。
3. 三角函数的性质除了图像变换外，三角函数还具有以下重要的性质：- 周期性：正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数的周期都是360度或2π弧度。
这意味着这些函数的图像在一定角度范围内会重复出现，可以利用这一性质简化问题的求解。
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重点列表：
重点详解：
1．用五点法画y ＝Asin(ωx ＋φ)在一个周期内的简图
用五点法画y ＝Asin(ωx ＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示.
2.图象变换(ω＞0)
路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移________个单位长度，得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，
得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的
________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的
倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sinωx的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝Asin(ωx ＋φ)的图象．
【参考答案】
1.
2. ||φ1
ω A
1
ω⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
φ
ω A
重点1：三角函数图像的认识与应用
【要点解读】
了解三角函数解析式的参数代表的几何意义根据图像求三角函数解析式要注意步骤【考向1】作图
【例题】作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫x 2＋π3的图象．
解：周期T ＝
2π12
＝4π，振幅A ＝2.
按五个关键点列表：
描点作图：
【评析】用“五点法”作y ＝Asin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设X ＝ωx ＋φ，由X ＝0，π
2，π，32π，2π来求出相应的x 值，通过列表，计算得
出五点坐标，描点后得出图象． 【考向2】图像的应用
【例题】已知曲线y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π
8
，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫3π8，0，且φ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2，π2.。