圆锥曲线与方程质量检测

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高中数学第二章圆锥曲线与方程单元质量评估

"【全程温习方略】2021-2021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程单元质量评估课时作业新人教A 版选修2-1 "(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的) 1.(2021·长沙高二检测)抛物线x 2=4y 的核心坐标为( ) A.(0,-1)B.(0,1)C.(1,0)D.(-1,0)【解析】选B.由题意知p=2,且核心在y 轴正半轴上,选B.2.(2021·江西高考)过双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1的右极点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A.假设以C 的右核心为圆心、半径为4的圆通过A,O 两点(O 为坐标原点),那么双曲线C 的方程为 ( ) x 24y 212=1 x 27y 29=1 x 28y 28=1x 212y 24=1 【解题指南】设右核心为F,|OF|=|AF|=4.【解析】选A.设右核心为F.由题意得|OF|=|AF|=4,即a 2+b 2=16, 又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b 2=16, 故a=2,b 2=12,因此方程为x 24-y 212=1.3.假设抛物线的准线方程为x=-7,那么抛物线的标准方程为( ) =-28y =28x =-28x=28y【解析】选B.由准线方程为x=-7,因此可设抛物线方程为y 2=2px(p>0),由p 2=7,因此p=14,故方程为y 2=28x.【变式训练】抛物线y=2x 2的准线方程为( )=18=-18=12 =-12【解析】选B.由y=2x 2,得x 2=12y,因此p=14,p 2=18,故准线方程为y=-18.4.(2021·温州高二检测)“m>0”是“方程x 23+y 2m=1表示椭圆”的( )A.充分没必要要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.x 23+y 2m=1表示椭圆的充要条件是m>0且m ≠3.应选B.5.假设椭圆x 216+y 2b 2=1过点(-2,√3),那么其焦距为( )√5B.2√3√5【解析】选 C.由椭圆过点(-2,√3),因此(−2)216+(√3)2b2=1,解得b 2=4,因此c 2=a 2-b 2=12,因此c=2√3,2c=4√3.6.设F 1,F 2是椭圆E:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右核心,P 为直线x=3a2上一点,△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形,那么E 的离心率为( ) A.12B.23C.34D.45【解析】选C.设直线x=3a 2与x 轴交于点M,那么∠PF 2M=60°,在Rt △PF 2M 中,PF 2=F 1F 2=2c,F 2M=3a 2-c,故cos60°=F 2M PF 2=32a −c 2c=12,解得c a =34,故离心率e=34.7.(2021·邯郸高二检测)设双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2√3,那么双曲线的渐近线方程为( )=±√22x=±√2x1=±2x =±2x【解析】选A.由{2b =2,2c =2√3,得{b =1,c =√3,因此a=√c 2−b 2=√2,因此双曲线的方程为x 22-y 2=1,因此渐近线方程为y=±√22x.8.(2021·唐山高二检测)已知双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右核心别离为F 1,F 2,以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),那么此双曲线的方程为( )x 29y 216=1x 23y 24=1x 216y 29=1x 24y 23=1【解析】选A.以|F 1F 2|为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2,点(3,4)在圆上,可得c 2=25,又双曲线的渐近线方程为y=±b ax,又过点(3,4),因此有b a =43,结合a 2+b 2=c 2=25,得a 2=9,b 2=16,因此双曲线的方程为x 29-y 216=1.9.(2021·重庆高考)设双曲线C 的中心为点O,假设有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2,使|A 1B 1|=|A 2B 2|,其中A 1,B 1和A 2,B 2别离是这对直线与双曲线C 的交点,那么该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.(2√33,2]B.[2√33,2) C.(2√33,+∞)D.[2√33,+∞)【解题指南】依照双曲线的对称性找到渐近线与直线A 1B 1和A 2B 2的斜率之间的关系即可.【解析】选A.由题意知,直线A 1B 1和A 2B 2关于x 轴对称,又所成的角为60°,因此直线方程为y=±√33x 或y=±√3x.又因为有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2,使|A 1B 1|=|A 2B 2|,因此渐近线斜率知足√33<b a≤√3,解得2√33<e ≤2.应选A.10.(2021·北京高二检测)设a>b>0,k>0且k ≠1,那么椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1和椭圆C 2:x 2a2+y 2b2=k 具有相同的( ) A.极点 B.焦点 C.离心率D.长轴和短轴【解析】选C.椭圆C 2:x 2a 2+y 2b2=k,即x 2ka2+y 2kb2=1,离心率e 22=ka 2−kb 2ka 2=a 2−b 2a 2=e 12. 11.(2021·江西高考)已知点A(2,0),抛物线C:x 2=4y 的核心为F,直线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,那么|FM|∶|MN|=( ) ∶√5∶2∶√5∶3【解题指南】由抛物线的概念把|FM|转化为点M 到准线的距离,再结合直线的斜率,借助直角三角形进行求解.【解析】选C.设直线FA 的倾斜角为θ,因为F(0,1),A(2,0),因此直线FA 的斜率为-12,即tan θ=-12,过点M 作准线的垂线交准线于点Q,由抛物线概念得|FM|=|MQ|,在△MQN 中|MQ ||QN |=12,可得|MQ ||MN |=√5,即|FM|∶|MN|=1∶√5.12.(2021·扬州高二检测)假设椭圆C:mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n)与直线l :x+y-1=0交于A,B 两点,过原点与线段AB 中点的直线的斜率为√22,那么m n=( )B.12C.√2D.√22【解析】选D.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点M(x 0,y 0),{mx 2+ny 2=1,x +y −1=0⇒(m+n)x 2-2nx+n-1=0, x 1+x 2=2nm +n,x 0=x 1+x 22=nm +n,y 0=1-x 0=mm +n.由k OM =√22,得y 0x 0=√22,又y 0x 0=m n,因此m n=√22.二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.(2021·山东高考)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b >0)的焦距为2c,右极点为A,抛物线x 2=2py (p>0)的核心为F,假设双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA |=c,那么双曲线的渐近线方程为 .【解题指南】此题考查了双曲线知识,利用双曲线与抛物线准线的交点为冲破口求出a,b 之间的关系,进而求得双曲线的渐近线方程. 【解析】由题意知p2=√c 2−a 2=b,抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为(c ,−p 2),即(c ,−b ),代入双曲线方程为c 2a 2-b 2b 2=1,得c 2a 2=2,因此b a =√c 2a 2−1=1,因此渐近线方程为y=±x.答案:y=±x14.(2021·兰州高二检测)已知点P(a,0),假设抛物线y 2=4x 上任一点Q 都知足|PQ|≥|a|,那么a 的取值范围是 .【解析】关于抛物线y 2=4x 上任一点Q 都知足|PQ|≥|a|,假设a ≤0,显然适合;假设a>0,点P(a,0)都知足|PQ|≥|a|,确实是a 2≤(a −y 24)2+y 2,解得0<a ≤2.综上知:实数a 的取值范围是a ≤2.答案:a ≤215.假设椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的两核心关于直线y=x 的对称点均在椭圆内部,那么椭圆的离心率e 的取值范围为 .c2 b2<1,得c2a2−c2<1,【解析】由已知得两核心为(±c,0),其关于直线y=x的对称点为(0,±c)均在椭圆内部,那么e 21−e2<1,解得0<e<√22,因此e ∈(0,√22).答案:(0,√22)16.(2021·青岛高二检测)已知椭圆x 24+y 22=1,过点P(1,1)作直线l ,与椭圆交于A,B 两点,且点P 是线段AB 的中点,那么直线l 的斜率为 .【解析】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),那么{x 124+y 122=1,①x 224+y 222=1,②①-②,得(x 1+x 2)(x 1−x 2)4+(y 1+y 2)(y 1−y 2)2=0,又点P(1,1)是AB 的中点, 因此x 1+x 2=2,y 1+y 2=2,因此2(x 1−x 2)4+2(y 1−y 2)2=0,从而x 1−x 22+y 1-y 2=0,又x 1≠x 2,因此直线l 的斜率k=y 1−y 2x 1−x 2=-12.答案:-12三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤)17.(10分)设抛物线y 2=2px(p>0),Rt △AOB 内接于抛物线,O 为坐标原点,AO ⊥BO,AO 所在的直线方程为y=2x,|AB|=5√13,求抛物线方程.【解题指南】依照AO ⊥BO,直线AO 的斜率为2,可知直线BO 的斜率为-12,进而得出直线BO 的方程.把这两条直线方程代入抛物线方程,别离求出A,B 的坐标.依照两点间的距离为5√13求得p. 【解析】因为AO ⊥BO,直线AO 的斜率为2, 因此直线BO 的斜率为-12,即方程为y=-12x,把直线y=2x 代入抛物线方程解得A 坐标为(p 2,p ),把直线y=-12x 代入抛物线方程解得B 坐标为(8p,-4p).因为|AB|=5√13, 因此(p 2)2+p 2+64p 2+16p 2=25×13,因此p 2=4,因为p>0,因此p=2.故抛物线方程为y 2=4x.18.(12分)(2021·郑州高二检测)已知通过点A(-4,0)的动直线l 与抛物线G:x 2=2py(p>0)相交于B,C,当直线l 的斜率是12时,AC →=14AB →.(1)求抛物线G 的方程.(2)设线段BC 的垂直平分线在y 轴上的截距为b,求b 的取值范围.【解析】(1)设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),由已知当k l =12时,l 方程为y=12(x+4),即x=2y-4.由{x 2=2py ,x =2y −4,得2y 2-(8+p)y+8=0,因此{y 1y 2=4,y 1+y 2=8+p 2,又因为AC →=14AB →,因此y 2=14y 1或y 1=4y 2. 由p>0得:y 1=4,y 2=1,p=2,即抛物线方程为x 2=4y. (2)设l :y=k(x+4),BC 中点坐标为(x 0,y 0),由{x 2=4y ,y =k (x +4)得x 2-4kx-16k=0.①因此x 0=x 1+x 22=2k,y 0=k(x 0+4)=2k 2+4k.因此BC 的中垂线方程为y-2k 2-4k=-1k(x-2k),因此BC 的中垂线在y 轴上的截距为b=2k 2+4k+2=2(k+1)2, 关于方程①由Δ=16k 2+64k>0得k>0或k<-4. 因此b ∈(2,+∞).【变式训练】(2021·潍坊高二检测)过动点M(a,0)且斜率为1的直线l 与抛物线y 2=2px(p>0)交于不同的两点A,B,试确信实数a 的取值范围,使|AB|≤2p. 【解析】由题意知,直线l 的方程为y=x-a, 将y=x-a 代入y 2=2px, 得x 2-2(a+p)x+a 2=0.设直线l 与抛物线的两个交点的坐标为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{4(a +p )2−4a 2>0,x 1+x 2=2(a +p ),x 1x 2=a 2.又y 1=x 1-a,y 2=x 2-a,因此|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =√8p (p+2a ).因为0<|AB|≤2p,8p(p+2a)>0, 因此0<√8p (p +2a )≤2p.解得-p 2<a ≤-p4.故a ∈(−p 2,−p4]时,有|AB|≤2p.19.(12分)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右极点别离为A,B,点P 在椭圆上且异于A,B 两点,O 为坐标原点.(1)假设直线AP 与BP 的斜率之积为-12,求椭圆的离心率.(2)假设|AP|=|OA|,证明直线OP 的斜率k 知足|k|>√3. 【解析】(1)设点P 的坐标为(x 0,y 0).由题意得,x 02a 2+y 02b2=1.①由A(-a,0),B(a,0),得k AP =y 0x 0+a,k BP =y 0x 0−a.由k AP ·k BP =- 12,可得x 02=a 2-2y 02,代入①并整理得(a 2-2b 2)y 02=0.由于y 0≠0,故a 2=2b 2.于是e 2=a 2−b 2a 2=12,因此椭圆的离心率e=√22.(2)依题意,直线OP 的斜率存在,设直线OP 的方程为y=kx,点P 的坐标为(x 0,y 0).由条件得{y 0=kx 0,x 02a2+y 02b2=1,消去y 0并整理得x 02=a 2b 2k 2a 2+b2. ② 由|AP|=|OA|,A(-a,0)及y 0=kx 0,得(x 0+a)2+k 2x 02=a 2.整理得(1+k 2)x 02+2ax 0=0.而x 0≠0, 于是x 0=−2a1+k2,代入②,整理得(1+k 2)2=4k2(a b)2+4.由a>b>0,故(1+k 2)2>4k 2+4,即k 2+1>4,因此k 2>3.因此|k|>√3.【一题多解】依题意,直线OP 的方程为y=kx,可设点P 的坐标为(x 0,kx 0),由点P 在椭圆上,有x 02a 2+k 2x 02b 2=1.因为a>b>0,kx 0≠0,因此x 02a 2+k 2x 02a2<1,即(1+k 2)x 02<a 2.③由|AP|=|OA|,A(-a,0),得(x 0+a)2+k 2x 02=a 2,整理得(1+k 2)x 02+2ax 0=0,于是x 0=−2a 1+k 2.代入③,得(1+k 2)4a 2(1+k 2)2<a 2,解得k 2>3,因此|k|>√3.20.(12分)(2021·西安高二检测)已知双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为2√33,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为√32.(1)求双曲线C 的方程.(2)直线y=kx+m(km ≠0)与该双曲线C 交于不同的两点C,D,且C,D 两点都在以点A 为圆心的同一圆上,求m 的取值范围.【解析】(1)依题意{c a =2√33,√a 2+b 2=√32,a 2+b 2=c 2,解得a 2=3,b 2=1.因此双曲线C 的方程为x 23-y 2=1.(2){y =kx +m ,x 23−y 2=1,消去y 得,(1-3k 2)x 2-6kmx-3m 2-3=0,由已知:1-3k 2≠0且Δ=12(m 2+1-3k 2)>0⇒m 2+1>3k 2 ① 设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),CD 的中点P(x 0,y 0), 那么x 0=x 1+x 22=3km1−3k2,y 0=kx 0+m=m1−3k2,因为AP ⊥CD,因此k AP =m1−3k2+13km 1−3k2−0=m +1−3k 23km =-1k ,整理得3k 2=4m+1 ②, 联立①②得m 2-4m>0,因此m<0或m>4,又3k 2=4m+1>0, 因此m>-14,因此-14<m<0或m>4.【变式训练】已知椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率e=12,短轴长为2√3.(1)求椭圆C 的方程.(2)从定点M(0,2)任作直线l 与椭圆C 交于两个不同的点A,B,记线段AB 的中点为P ,试求点P 的轨迹方程.【解析】(1)由已知得{e =c a=12,2√3=2b ,a 2=b 2+c 2⇒a=2,b=√3,那么椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)设P(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 假设直线l 与x 轴垂直,那么P(0,0).假设直线l 与x 轴不垂直,设直线l 的方程为y=kx+2(k ≠0).由{x 24+y 23=1,y =kx +2⇒(3+4k 2)x 2+16kx+4=0 ①则{2x =x 1+x 2=−16k3+4k 2,y =kx +2,将其消去k, 得3x 24+(y-1)2=1,由①中Δ=(16k)2-16(3+4k 2)>0,解得k 2>14,那么x=−8k3+4k2=−84k +3k∈[−2√33,0)∪(0,2√33],y=−8k23+4k2+2=63+4k2∈(0,32),综上,所求点P 的轨迹方程为3x 24+(y-1)2=1(y ∈[0,32)).21.(12分)已知点F 1,F 2别离是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右核心,A 是椭圆C 的上极点,B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点,∠F 1AF 2=60°. (1)求椭圆C 的离心率.(2)已知△AF 1B 的面积为40√3,求a,b 的值.【解析】(1)由题意知△AF 1F 2为正三角形,a=2c,e=c a =12.(2)直线AB 的方程为y=-√3(x-c),{x 2a 2+y 2b2=1,y =−√3(x −c )⇒(3a 2+b 2)x 2-6a 2cx+3a 2c 2-a 2b 2=0①由a=2c,得a 2=4c 2,b 2=a 2-c 2=3c 2. 代入①中得5x 2-8cx=0,x=0或x=8c 5,得A(0,√3c),B (8c 5,−3√35c ).|AB|=16c 5.由△AF 1B 的面积为40√3,得12|AB||AF 1|sin60°=40√3,12·16c 5·a ·√32=40√3,由a=2c,得a 2=4c 2,b 2=a 2-c 2=3c 2.解得c=5,a=10,b=5√3.22.(12分)(2021·北京高二检测)已知A,B 是椭圆x 24+y 23=1的左、右极点,椭圆上异于A,B 的两点C,D 和x轴上一点P ,知足AP →=13AD →+23AC →.(1)设△ADP ,△ACP ,△BCP ,△BDP 的面积别离为S 1,S 2,S 3,S 4,求证:S 1S 3=S 2S 4. (2)设P 点的横坐标为x 0,求x 0的取值范围. 【解题指南】(1)依照AP →=13AD →+23AC →,可得CP →=13CD →,从而C,P ,D 共线,可得出S 1S 2=|PD →||CP →|=S 4S 3.(2)由(1)P 为CD 与x 轴交点,可设出CD 的方程与椭圆联立,找出P 点横坐标所知足的式子,成立关于P 点横坐标的不等式求解. 【解析】(1)由AP →=13AD →+23AC →知,AP →=13AD →+(1−13)AC →,即AP →-AC →=13(AD →-AC →),因此CP →=13CD →,故C,D,P 三点共线,且C,D 在P 点的双侧,因此S 1S 2=|PD →||CP →|=S 4S 3,即S 1S 3=S 2S 4.(2)由(1)知,C,D,P 三点共线,且C,D 在P 点的双侧,且C,D 异于A,B 的两点,故-2<x 0<2,且直线CD 不平行于x 轴,可设直线CD 的方程为:x=my+x 0,由{x =my +x 0,x 24+y 23=1,得(3m 2+4)y 2+6mx 0y+3x 02-12=0, 当-2<x 0<2时,显然直线与椭圆有两个交点,设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),故y 1+y 2=-6mx 03m 2+4,y 1y 2=3x 02−123m 2+4,又CP →=13CD →,故y 2=-2y 1,联立三式,消去y 1,y 2得-72m 2x 02(3m 2+4)2=3x 02−123m 2+4,化简得(27x 02-12)m 2=4(4-x 02),因为-2<x 0<2,m 2>0,故27x 02-12>0,因此x 0>23或x 0<-23,综上知,x 0的取值范围是(−2,−23)∪(23,2).。

2021-2022年高中数学第二章圆锥曲线与方程质量评估检测新人教B版

2021-2022年高中数学第二章圆锥曲线与方程质量评估检测新人教B版7．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 答案：B8．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，又OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2－2b ＝0，解得b ＝0(舍)或b ＝2. 答案：A9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F (－6,0)是双曲线的左焦点，即a 2＋b 2＝36，又双曲线的一条渐近线方程是y ＝3x ，所以ba＝3，解得a 2＝9，b 2＝27，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故选B.则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t2，则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得 x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－42t 2－8]＝8－t24＋t2≤6，即|PQ |的最大值为6.19．(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，＝123，求双曲线的标准方程．解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵e ＝ca＝2，∴c ＝2a .由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝c ，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|(1－cos60°)，即4c 2＝c 2＋|PF 1||PF 2|.又S △PF 1F 2＝123，∴12|PF 1||PF 2|sin60°＝123，即|PF 1||PF 2|＝48.由①②，得c 2＝16，c ＝4，则a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝12， ∴所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1.20．(本小题满分12分)已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知此抛物线上一点A (4，m )到焦点的距离为6.(1)求此抛物线的方程；∴|CD |＝1＋－22|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故＝12|CD |·d ＝4910.22．(本小题满分12分)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，椭圆与x轴交于两点A (a,0)，B (－a,0)，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； (2)当点P 异于点B 时，求证：OP →·OQ →为定值．解析：(1)由已知得b ＝1，c a ＝32，解得a ＝2，c ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.椭圆的右焦点为(3，0)，此时直线l 的方程为y ＝－33x ＋1，代入椭圆方程化简得7x 2－83x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝837，代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝－17，所以D 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫837，－17.故|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫837－02＋⎝⎛⎭⎪⎫－17－12＝167.(2)证明：当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0且k ≠12)，代入椭圆方程化简得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0，。

2018-2019学年高二数学选修2-1阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程

阶段质量检测(二)　圆锥曲线与方程 [考试时间：120分钟　试卷总分：160分]二题　号一151617181920总　分得　分一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．(江苏高考)双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________________________．x 216y 292．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－＝1的渐近线的距离是________．y 233．方程＋＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是x 2(a －1)2y 2a 2_____________．4．(辽宁高考)已知F 为双曲线C ：－＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的x 29y 216长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．5．设点P 是双曲线－＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝2a 2的一个交点，F 1，F 2分别是x 2a 2y 2b 2双曲线的左、右焦点，且PF 1＝3PF 2，则双曲线的离心率为________．6．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是____________________________．7．已知双曲C 1＝－＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦x 2a 2y 2b 2点到双曲线C 1的渐进线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________________________．8．过抛物线x 2＝8y 的焦点F 作直线交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝8，则P 1P 2的值为________．9．椭圆＋＝1的右焦点到直线y ＝x 的距离是________．x 24y 233310．已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两x 2a 2y 2b 2点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝，则C 的离心率为________．4511．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F x 2a 2y 2b 2的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________________________．12．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于__________________________．13．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．14．给出如下四个命题：①方程x 2＋y 2－2x ＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆＋＝1的离心率e ＝；③抛物线x ＝2y 2的准线的方程是x ＝－；④双曲线x 23y 225318－＝－1的渐近线方程是y ＝±x .y 249x 22557其中所有不正确命题的序号是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)求与椭圆＋＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，x 2144y 2169并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．16．(本小题满分14分)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，求直线l 的方程．17.(本小题满分14分) 如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线x 2a 2y 2b 2AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为40，求a ，b 的值．318．(浙江高考)(本小题满分16分)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：＋＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的x 2a 2y 2b 2直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．9．(陕西高考)(本小题满分16分)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．20．(湖南高考)(本小题满分16分)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明：· <2p 2；FM FN(2)若点M 到直线l 的距离的最小值为，求抛物线E 的方程．755答案1．解析：令－＝0，解得y ＝±x .x 216y 2934答案：y ＝±x342．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，所以所3求距离为＝.|±3×1－0|1＋332答案：323．解析：由题意得Error!解之得a <，且a ≠0，12即a 的取值范围是(－∞，0)∪.(0，12)答案：(－∞，0)∪(0，12)4．解析：由题意因为PQ 过双曲线的右焦点(5,0)，所以P ，Q 都在双曲线的右支上，则有FP －PA ＝6，FQ －QA ＝6，两式相加，利用双曲线的定义得FP ＋FQ ＝28，所以△PQF 的周长为FP ＋FQ ＋PQ ＝44.答案：445．解析：由Error!得PF 1＝3a ，PF 2＝a ，设∠F 1OP ＝α，则∠POF 2＝180°－α，在△PF 1O 中，PF ＝OF ＋OP 2－2OF 1·OP ·cos α　①，2121在△OPF 2中，PF ＝OF ＋OP 2－2OF 2·OP ·cos(180°－α)　②，22由cos(180°－α)＝－cos α与OP ＝a ，2①＋②得c 2＝3a 2，∴e ＝＝＝.ca 3aa 3答案：36．解析：设P (x ，y )，动圆P 在直线x ＝1的左侧，其半径等于1－x ，则PC ＝1－x ＋1，即＝2－x .(x ＋2)2＋y 2∴y 2＝－8x .答案：y 2＝－8x7．解析：∵双曲线C 1：－＝1(a >0，b >0)的率心率为x 2a 2y 2b 22.∴＝＝2，∴b ＝a .∴双曲线的渐近线方程为 x ±y ＝0.∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)c a a 2＋b 2a33的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2.(0，p2)|3×0±p 2|2∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .答案：x 2＝16y8．解析：由题意知p ＝4，由抛物线的定义得P 1P 2＝P 1F ＋P 2F ＝＋＝(y 1＋y 2)＋p ＝8＋4＝12.(y 1＋p2)(y 2＋p2)答案：129．解析：∵椭圆＋＝1的右焦点为(1,0)，x 24y 23∴右焦点到直线x －3y ＝0的距离d ＝＝.333＋912答案：1210．解析：在△ABF 中，AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×＝36，则AF ＝6.由45AB 2＝AF 2＋BF 2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝OF ＝＝5.设椭AB2圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以BF ＝AF 1＝8.由椭圆的性质可知AF ＋AF 1＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝＝.c a 57答案：5711．解析：因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝(x －3)，12代入椭圆方程＋＝1消去y ，得x 2－a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，x 2a 2y 2b 2(a 24＋b 2)3294所以AB 的中点的横坐标为＝1，即a 2＝2b 2，32a 22(a 24＋b 2)又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3.所以E 的方程为＋＝1.x 218y 29答案：＋＝1x 218y 2912．解析：令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由Error!得4x 2－8x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝，∴AB ＝＝14(1＋22)(x 1－x 2)2＝.5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]15答案：1513．解析：如图，设椭圆的方程为＋＝1(a ＞b ＞0)，焦半径为x 2a 2y 2b 2c .由题意知∠F 1AF 2＝90°，∠AF 2F 1＝60°.∴AF 2＝c ，AF 1＝2c ·sin 60°＝c .3∴AF 1＋AF 2＝2a ＝(＋1)c .3∴e ＝＝＝－1.ca 23＋13答案：－1314．解析：①表示的图形是一个点(1,0)；②e ＝；33④渐近线的方程为y ＝±x .75答案：①②④15．解：椭圆＋＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y 轴上，x 2144y 2169于是设双曲线方程是－＝1(a >0，b >0)，y 2a 2x 2b 2又双曲线过点(0,2)，∴c ＝5，a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝25－4＝21，∴双曲线的标准方程是－＝1，实轴长为4，y 24x 221焦距为10，离心率e ＝＝，c a 52渐近线方程是y ＝±x .2212116．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，当直线l 斜率不存在时，|AB |＝4，不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知k ≠0，则x 1＋x 2＝.2k 2＋4k 2由抛物线定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2，∴x 1＋x 2＋2＝8，即＋2＝8.2k 2＋4k 2解得k ＝±1.所以直线l 的方程为y ＝±(x －1)，即x －y －1＝0，x ＋y －1＝0.17．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝.12(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－(x －c )．3代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B .(85c ，－335c)所以|AB |＝·|c －0|＝c .1＋385165由S △AF 1B ＝|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝a ·c ·＝a 2＝40，解得a ＝10，b ＝5.12121653223533法二：设AB ＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义BF 1＋BF 2＝2a 可知，BF 1＝3a －t .由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝a .85由S △AF 1B ＝a ·a ·＝a 2＝40知，1285322353a ＝10，b ＝5.318．解：(1)由题意得Error!所以椭圆C 1的方程为＋y 2＝1.x 24(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝，1k 2＋1所以AB ＝2＝2 .4－d 24k 2＋3k 2＋1又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由Error!消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－，y 0＝－1.8k4＋k 284＋k 2所以PD ＝.8k 2＋14＋k 2设△ABD 的面积为S ，则S ＝AB ·PD ＝，1284k 2＋34＋k 2所以S ＝≤＝，324k 2＋3＋134k 2＋33224k 2＋3·134k 2＋3161313当且仅当k ＝±时取等号．102所以所求直线l 1的方程为y ＝±x －1.10219．解：(1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意d ＝2|MN |.由此得|4－x |＝2，(x －1)2＋y 2化简得＋＝1，x 24y 23所以，动点M 的轨迹方程为＋＝1.x 24y 23(2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋3代入＋＝1中，x 24y 23有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0，故k 2>.32由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－，①24k3＋4k 2x 1x 2＝.②243＋4k 2又因为A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③将③代入①，②，得x 1＝－，x ＝，8k3＋4k 221123＋4k 2可得2＝，且k 2＞，(－8k3＋4k 2)123＋4k 232解得k ＝－或k ＝，3232所以直线m 的斜率为－或.3232法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵A 是PB 的中点，∴x 1＝，①x 22y 1＝.②3＋y 22又＋＝1，③x 214y 213＋＝1，④x 24y 23联立①，②，③，④解得Error!或Error!即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)，所以直线m 的斜率为－或.323220．解：(1)证明：由题意，抛物线E 的焦点为F，(0，p 2)直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋.p 2由Error!得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk ＋p .21所以点M 的坐标为，＝(pk 1，pk )．(pk 1，pk 21＋p 2)FM 21同理可得点N 的坐标为，＝(pk 2，pk )．(pk 2，pk 2＋p 2)FN 2于是·＝p 2(k 1k 2＋k k )．FM FN 212因为k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，所以0<k 1k 2<2＝1.(k 1＋k 22)故·<p 2(1＋12)＝2p 2.FM FN (2)由抛物线的定义得FA ＝y 1＋，FB ＝y 2＋，p 2p 2所以AB ＝y 1＋y 2＋p ＝2pk ＋2p ，21从而圆M 的半径r 1＝pk ＋p .21故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋2＝(pk ＋p )2，(y －pk 21－p 2)21化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k ＋1)y －p 2＝0.2134同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k ＋1)y －p 2＝0.234于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k －k )y ＝0.221又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0.因为p >0，所以点M 到直线l 的距离d ＝＝|2pk 21＋pk 1＋p |5p |2k 21＋k 1＋1|5＝.p [2(k 1＋14)2＋78]5故当k 1＝－时，d 取最小值.147p 85由题设，＝，解得p ＝8.7p 85755故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y .。

天水市第二中学2012-2013学年圆锥曲线与方程质量检测1

圆锥曲线与方程质量检测(考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 2．设P 是椭圆x 2169＋y 2144＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于( )A ．22B ．21C ．20D ．133．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)4．若抛物线x 2＝2py 的焦点与椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点重合，则p 的值为( )A ．4B ．2C ．－4D ．－25．若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 7．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45 B.35 C ．－35D ．－458．F 1、F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.72 C.74D.7529．已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x >1)B ．x 2－y 28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)10．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C ．2D ．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．若双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方程是________．12．若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．13.如图，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．14．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线方程．16．(本小题满分12分)设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32.已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程．17．(本小题满分12分)设λ＞0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q 满足BQ→＝λQA →，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM →＝λMP →，求点P 的轨迹方程．18．(本小题满分14分)已知椭圆的长轴长为2a ，焦点是F 1(－3，0)、F 2(3，0)，点F 1到直线x ＝－a 23的距离为33，过点F 2且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得|F 2B |＝3|F 2A |.(1)求椭圆的方程； (2)求直线l 的方程．。

高二数学苏教版选修2-1阶段质量检测(二)圆锥曲线与方程Word版含解析

阶段质量检测(二)圆锥曲线与方程［考试时间：120分钟试卷总分：160分］、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分•将答案填在题中的横线上 )2 21. _____________________________________________________________________ (江苏高考)双曲线务■— y 9 = 1的两条渐近线的方程为 ______________________________________2x 2 — ― 1 的渐近线的距离是3x 轴上的椭圆，贝U a 的取值范围是 . 2 2X9 — ^6= 1的左焦点，P , Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ 上，则△ PQF 的周长为 _____________ .2 25. 设点P 是双曲线拿一*= 1(a>0, b>0)与圆x 2 + y 2= 2a 2的一个交点，F 1, F 2分别是双曲线的左、右焦点，且 PF 1 = 3PF 2，则双曲线的离心率为 _________ .6. _________________________________________ 已知动圆P 与定圆C : (x + 2)2+ y 2= 1相外切，又与定直线I : x = 1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是 .2 27. 已知双曲C 1 = *—器=1(a>0, b>0)的离心率为2.若抛物线C 2： x 2= 2py(p>0)的焦点到双曲线C 1的渐进线的距离为 2，则抛物线C 2的方程为 ______________________________ .&过抛物线x 2= 8y 的焦点F 作直线交抛物线于卩畑，y”, P2g y 2)两点，若y 1 + ¥2 =8，贝U P 1P 2的值为 ________ .2 29. 椭圆；+二=1的右焦点到直线2 210. 已知椭圆C :拿+猪=1(a>b>0)的左焦点为F , C 与过原点的直线相交于连接 AF , BF.若 AB = 10, BF = 8, cos / ABF = 4,贝U C 的离心率为52 211.(新课标全国卷I 改编)已知椭圆E ： *+ * = 1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交E 于A , B 两点.若AB 的中点坐标为(1 ,— 1),贝U E 的方程为2.抛物线y 2= 4x 的焦点到双曲线2 23. 方程a — 1 2+拿=1表示焦点在4. (辽宁高考)已知F 为双曲线C :A ,B 两点,12 .抛物线y2= 12x截直线y = 2x+ 1所得弦长等于______________________________132214 2 2x2 y2 2x 1 0x与1e x 2y21x -2y 2 x1384925 5y 尹.( 6)15 ( 14 ) 902 2丄丄1144 169(0,2)16 (14 )2C y2 4x F F l C A B AB| 8 l17.(14 )F1 F2C2a22b丿I1(a>b>0)A C B AF2cF1AF2 60 .(1) CAF1B 40.318( )(22x孑b^1(a>b>0)12PC1D(1)C1⑵ABD16 ) P(0 1)C i C2 x2 y2 411 C2 A Bl iC i9 ()(16 )M(x y)l x 42(1)M C⑵P(0,3)m C A B A PBN(1,0)20 ()(16) E x2 2py(p>0) F k2l1 l2k1 k2 2 h E A B l2E1.k1 C DAB CD M N(M N)1 T(1)k1>0 k2>0FM FN<2p7 j 5(2)M l52 21. 解析：令話—9=0，解得y=护答案：y=2. 解析：因为抛物线的焦点坐标为（1,0），而双曲线的渐近线方程为y= ±. 3x,所以所求距离为I ± % 1-0| =£3寸1 + 3 2答案：2（a — 1 2>a2,13. 解析：由题意得a丰1, 解之得a<-，且a z0,| 2a丰0,即a的取值范围是（一a, 0）U 1 i.答案：―汽0 U 0, 24. 解析：由题意因为PQ过双曲线的右焦点（5,0），所以P, Q都在双曲线的右支上，则有FP —PA= 6, FQ —QA = 6,两式相加，禾U用双曲线的定义得FP + FQ = 28,所以△ PQF 的周长为FP + FQ+ PQ = 44.答案：44PF1—PF2= 2a,5. 解析：由｛得PF1 = 3a, PF2= a,|PF 1= 3PF2设/ FQP = a 则/ POF2= 180°— a,在厶PFQ中，PF2= OF2+ OP2—2OF1 OP cos a ①，在厶OPF2中，PF2= OF2+ OP2—2OF2 OP cos（180 —a②，由cos（180 一a）=—cos a与OP= 2a,①+②得c2= 3a2,.'. e= ' 3a =、：3a a32P(x y) x PCa. y 28x. y 28. x 2 y 2)10 36 AF AB OF AB 11125.6. AB2 x.8x,3C 12 x -2 a1(a>0 b>0) 2. 0.C 2 x 22py(p>0)0p)16y12.2 x_ 42.16y.P 1P 2 P 1F P 2Fy 12)y 2 (y 13x ABF2 x2a2 y- 1 3y 0AF 2 AB 2 (1,0)BF 2 2ABAB 2 AF 2 BF 2ABFF 1 BFAB8.F(3,0) (1 1 2.BF c os AB AF 1) ABF 10282OFFF 1AF 114 2a?AB10ABAFBF 1 ；(xc 5a 7.3)Jb 29 2 4aa 2b 2 03 2 2a2 」1 a b 2)a 2 2b 22 2又乙b 2+ c 2,所以b = c =3.所以E 的方程为盒+y =1答案： 2 2X8 + i= 112.解析：令直线与抛物线交于点A (X 1, y i ), B(X 2, Y 2)1 ___得 4x — 8x + 1 = 0,…X 1 + X 2 = 2, X 1X 2= 4 …AB = \ 11 ■1 °\/5[(X 1+x 2 2— 4X1X 2] = ^15.答案：15/ AF 2F 1 = 60° ••• AF 2= C , AF 1 = 2c sin 60 = ^3C .•- AF 〔 + AF ?= 2a = (.j 3 + 1)C . •- e = C = 2— = — 1. a .3+ 1 ' 答案：3— 1④渐近线的方程为y = 答案：①②④2 215. 解：椭圆也+嵩=1的焦点是(0，— 5), (0,5)，焦点在y 轴上,2 2于是设双曲线方程是拿―j^= 1(a>0, b>0), 又双曲线过点(0,2), • C = 5, a = 2, •- b 2= C 2 — a 2= 25— 4 = 21,2 2•双曲线的标准方程是丁 — 21= 1，实轴长为4, 焦距为10,离心率e =C = 5a 2渐近线方程是y =异Q J X .16. 解:抛物线y 2 = 4x 的焦点为F(1,0),当直线l 斜率不存在时，|AB|= 4,不合题意.设直线 l 的方程为 y = k(x — 1)，代入 y 2= 4x ,整理得 k 2x 2 — (2k 2 + 4)x + k 2= 0.y = 2x + 1, y 2= 12x ,+ 22(X 1 - X2 (= C.13.解析：如图，设椭圆的方程为 2 2拿+寺=1(a > b > 0)，焦半径为由题意知/ F 1AF 2= 90°14.解析：①表示的图形是个占 I(1,0):② e =于;设 A(x i , y”，B(x 2, y 2),由题意知 k z 0,2 ,,2k + 4k 2 .由抛物线定义知,|AB|= |AF|+ |BF|= x i + 1 + X 2 + 1 = X i + X 2 + 2,解得k =±1.所以直线l 的方程为y = ±x — 1), 即 x — y - 1 = 0, x + y - 1 = 0. 117. 解：(1)由题意可知，△ AF 1F 2为等边三角形，a = 2c ,所以e =?.2 2 2 2(2)法一：a = 4c , b = 3c , 直线AB 的方程为y =—3(x -c).代入椭圆方程3x 2 + 4y 2 = 12c 2，得B 8c 所以 |AB|= 1+ 3 |5c - 0|=衆.由 S A AF 1B = 2-|AF 1| |AB|sin / F 1AB = ~a •^rc •23= 253a 2= 40,3，解得 a = 10, b = 5 3. 2 2 52 5 法二：设 AB = t.因为 |AF 2|= a ,所以 |BF 2| = t — a. 由椭圆定义 BF 1+ BF 2 = 2a 可知，BF 1= 3a — t. 由余弦定理得(3a —1)2= a 2+12— 2atcos 60可得，由 S A AF 1B = 2a |a 子253a 2= 40 3知, 2 5 2 5 a = 10, b = 5 . 3. [b= 1,18.解：(1)由题意得 a = 2.2所以椭圆C 1的方程为7+y 2= 1.4 (2)设 A(X 1, y 1), B(X 2, y 2), D(X 0, y o ). 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为 k ,则直线l 1的方程为y = kx — 1.又圆 C 2： x 2 + y 2= 4,1故点。

高中数学第二章圆锥曲线与方程质量评估检测新人教B版选修2-1(new)

第二章圆锥曲线与方程质量评估检测时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知抛物线的方程为y＝2ax2，且过点(1，4），则焦点坐标为（)A．错误!B．错误! C．（1,0） D．(0,1)解析:∵抛物线过点（1，4)，∴4＝2a，∴a＝2,∴抛物线方程为x2＝错误!y，焦点坐标为错误!。

答案：A2．已知0＜θ＜错误!，则双曲线C1：错误!－错误!＝1与C2：错误!－错误!＝1的（) A．实轴长相等 B．虚轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等解析：先确定实半轴和虚半轴的长，再求出半焦距．双曲线C1和C2的实半轴长分别是sinθ和cosθ，虚半轴长分别是cosθ和sinθ，则半焦距c都等于1,故选D.答案：D3．中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，－2)，则它的离心率为( ）A。

错误! B.错误!C。

错误! D。

错误!解析：设双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1(a＞0,b＞0），所以其渐近线方程为y＝±错误!x，因为点（4，－2）在渐近线上，所以错误!＝错误!，根据c2＝a2＋b2,可得错误!＝错误!,解得e2＝错误!，e＝错误!.答案：D，∴焦点是F1(－错误!，0）,F2(错误!，0）,因此双曲线的焦点也是F1(－错误!，0），F(错误!，0)，设双曲线方程为错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)，由题设条件及双曲线的性质，2得错误!解得错误!故所求双曲线的方程为错误!－y2＝1.18．（本小题满分12分）已知动圆C过定点F(0，1)，且与直线l:y＝－1相切，圆心C的轨迹为E。

(1)求动点C的轨迹方程；（2）已知直线l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点的纵坐标为2，则|PQ|的最大值为多少?解析：(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，∴所求轨迹的方程为x2＝4y。

章末质量检测(三) 圆锥曲线与方程

章末质量检测(三) 圆锥曲线与方程(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y 2＝－2x 的准线方程为( )A ．x ＝12B ．x ＝－12C ．y ＝12D ．y ＝－122．[2022·湖南望城高二期末]若双曲线x 2a－y 2＝1(a >0)的实轴长为2，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2 xB ．y ＝±22 x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x 3.中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的．它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美，现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为( )A ．83B ．23C ．43D ．44．已知双曲线C ：x 29 －y 227＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，双曲线C 上有一点P ，若||PF 1 ＝7，则||PF 2 ＝( )A ．25B ．13C ．1或13D ．11或255．[2022·湖南嘉禾一中高二期末]已知椭圆C 的长轴的顶点分别为A 、B ，点F 为椭圆C 的一个焦点，若|AF |＝3|BF |，则椭圆C 的离心率为( )A ．13B ．22C ．12D ．326．曲线x 216 ＋y 225 ＝1与曲线x 216－k ＋y 225－k＝1(k <16)的( ) A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等7．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 24 －y 22＝1的渐近线相交于A 、B 两点，若△ABF 的周长为42 ，则p ＝( )A ．2B ．22C ．8D ．48．[2022·湖南雅礼中学高二月考]已知双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52 x ，且与椭圆x 212 ＋y 23＝1有公共焦点．则C 的方程为( ) A ．x 28 －y 210 ＝1 B ．x 24 －y 25＝1 C ．x 25 －y 24 ＝1 D ．x 24 －y 23＝1 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．[2022·湖南石门高二期末]已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C.给出下列四个判断正确的是( )A ．当1<t <4时，曲线C 表示椭圆B ．当t >4或t <1时，曲线C 表示双曲线C ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52D ．若曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，则t >410．已知双曲线C ：x 24－y 2＝1的左右焦点分别为F 1，F 2则以下说法正确的是( ) A ．双曲线C 的离心率为52B ．过点F 2的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为4C ．双曲线C 上存在点P ，使得PF 1·PF 2＝0D ．P 为双曲线C 上一点，Q 为圆x 2＋y 2＝1上一点，则点P ，Q 的最小距离为111．已知椭圆C ：x 29 ＋y 28＝1的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一动点，M (1，1)，则下列结论正确的有( )A ．△PF 1F 2的周长为8B ．△PF 1F 2的最大面积为22C ．存在点P 使得PF 1·PF 2＝0D ．|PM |＋|PF 1|的最大值为512．已知斜率为3 的直线l 经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线C 交于点A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AB |＝8，则以下结论正确的是( )A ．1|AF | ＋1|BF |＝1 B ．|AF |＝6 C ．|BD |＝2|BF | D ．F 为AD 中点三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．焦点坐标为(0，1)的抛物线的标准方程是________．14．已知双曲线y 24 －x 2m＝1的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的离心率为________． 15．已知△ABC 的底边长为12，其中点B (－6，0)，C (6，0)，其他两边AB ，AC 上的中线之和为30，则三角形重心G 的轨迹方程为________．16．如图，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线，与抛物线及其准线分别交于A ，B ，C 三点，若FC → ＝3FB → ，则直线AB 的方程为________，|AB |＝________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知椭圆C的两焦点分别为F1(－22，0)、F2(22，0)，长轴长为6.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．18．(本小题满分12分)[2022·湖南长沙明德中学高二月考]已知双曲线C的右焦点与抛物线E：y2＝8x的焦点F重合，且双曲线的一条渐近线为l：y＝33x.(1)求双曲线C的方程；(2)若过点F且与l平行的直线m交抛物线E于A，B两点，求线段AB的长．19．(本小题满分12分)[2022·河北张家口高二期末]已知双曲线C 的方程为x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝4，双曲线C 的一个焦点到渐近线的距离为1.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)P 是双曲线C 上一点，O 是坐标原点，且|OP → |＝2，求△PF 1F 2的面积．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2＋4y 2＝4，斜率为－1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点且|AB |＝825. (1)求椭圆C 的离心率；(2)求直线l 的方程．21．(本小题满分12分)[2022·湖南永州高二期末]已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点P (1，y 0)在抛物线C 上，|PF |＝5y 04. (1)求抛物线C 的标准方程；(2)已知直线l 交抛物线C 于点A ，B ，且P A ⊥PB ，证明：直线l 过定点．22．(本小题满分12分)已知椭圆W ：x 24m ＋y 2m＝1的长轴长为4，左、右顶点分别为A ，B ，经过点P (1，0)的动直线与椭圆W 相交于不同的两点C ，D (不与点A ，B 重合).(1)求椭圆W 的方程及离心率；(2)求四边形ACBD 面积的最大值．。

人教A高中数学选修21新课改地区阶段质量检测二圆锥曲线与方程含解析

阶段质量检测（二）圆锥曲线与方程(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知一动圆P 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：选A 由题意，知圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，则圆C 与圆O 相离，设动圆P 的半径为R .∵圆P 与圆O 外切而与圆C 内切，∴R >1, 且|PO |＝R ＋1，|PC |＝R －1.又|OC |＝3，∴|PO |－|PC |＝2<|OC |，即点P 在以O ，C 为焦点的双曲线的右支上．2．若a ＞1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.3．如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为( )A.25 B.35 C.235D.255解析：选B 由题图知2b ＝16.4,2a ＝20.5，则b a ＝45，则离心率e ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.故选B.4．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x .5．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．8解析：选C 双曲线x 2a 2－y 29＝1的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，故a ＝2.又P 是双曲线上一点，故||PF 1|－|PF 2||＝4，而|PF 1|＝3，则|PF 2|＝7.6．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32解析：选A 设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k .若曲线C 为椭圆，则2a ＝6k,2c ＝3k ，∴e ＝12；若曲线C 为双曲线，则2a ＝2k,2c ＝3k ，∴e ＝32.7.我们把离心率为黄金分割系数5－12的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C 的中心在坐标原点，F 为左焦点，A ，B 分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：选A 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由已知，得A (a,0)，B (0，b )，F (－c,0)，则BF ―→＝(－c ，－b )， BA ―→＝(a ，－b )． ∵离心率e ＝ca ＝5－12，∴c ＝5－12a ，b ＝a 2－c 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12a 2＝5－12a ， ∴BF ―→·BA ―→＝b 2－ac ＝0，∴∠ABF ＝90°.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 解析：选D 不妨设点A 在第一象限，由题意可知c ＝2，点A 的坐标为(1，3)，所以b a ＝3，又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝1，b 2＝3，故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选 D.9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 解析：选D 因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±25b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1.10．已知|AB ―→|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP ―→＝13OA ―→＋23OB ―→，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1解析：选A 设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|AB ―→|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝⎛⎭⎫32x 2＋(3y )2＝9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454x C ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y解析：选C 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p ×40，即2p ＝452，所以所求抛物线方程为y 2＝452x .虽然选项中没有y 2＝452x ，但C 中的2p ＝452符合题意．12．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3D ．3 3解析：选C 法一：由题意，得F (1,0)，则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方，得M (3,23)，由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形，所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. 法二：依题意，得直线FM 的倾斜角为60°，则|MN |＝|MF |＝21－cos 60°＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形，所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．以双曲线x 24－y 212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．答案：x 216＋y 212＝114．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．解析：由题意知|F 1F 2|＝26－2＝4，设P 点坐标为(x ，y )．由⎩⎨⎧x 26＋y 22＝1，x23－y 2＝1，得⎩⎨⎧x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×22＝ 2.答案： 215．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.解析：设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得|BF |＝8，所以△ABF 为直角三角形，又因为斜边AB 的中点为O ，所以|OF |＝c ＝5，连接AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以|AF 1|＝|BF |＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.答案：5716．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知 |AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py 消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .答案：y ＝±22x三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．解：①焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，且c ＝13.设双曲线为x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)，m ＝a －4.因为e 双e 椭＝73，所以a m ＝73，解得a ＝7，m ＝3.因为椭圆和双曲线的半焦距为13，所以b 2＝36，n 2＝4. 所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.②焦点在y 轴上，椭圆方程为x 236＋y 249＝1，双曲线方程为y 29－x 24＝1.18．(本小题12分)已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ―→＝OA ―→＋λOB ―→，求λ的值．解：(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x . (2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0 可简化为x 2－5x ＋4＝0.从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC ―→＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.19．(本小题12分)如图所示，F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的左、右两个焦点，A ，B 为两个顶点，已知椭圆C 上的点⎝⎛⎭⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P ，Q 两点，求△F 1PQ 的面积．解：(1)由题设知，2a ＝4，即a ＝2，将点⎝⎛⎭⎫1，32代入椭圆方程得122＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，解得b 2＝3，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知A (－2,0)，B (0，3)，所以k PQ ＝k AB ＝32，所以PQ 所在直线方程为 y ＝32(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝32(x －1)，x 24＋y23＝1，得8y 2＋43y －9＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－32， y 1·y 2＝－98，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝34＋4×98＝212，所以S △F 1PQ ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2×212＝212. 20．(本小题12分)已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝1，F 是焦点，过点 A (－2,0)的直线与抛物线交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，直线PF ，QF 分别交抛物线于点M ，N .(1)求抛物线的方程及y 1y 2的值；(2)证明：若直线PQ ，MN 的斜率都存在，记直线PQ ，MN 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1k 2为定值．解：(1)依题意，设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，由准线x ＝p2＝1，得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝－4x .由题意，设直线PQ 的方程为x ＝my －2，代入y 2＝－4x . 消去x ，整理得y 2＋4my －8＝0，从而y 1y 2＝－8. (2)设M (x 3，y 3)，N (x 4, y 4)，则k 1k 2＝y 1－y 2x 1－x 2·x 3－x 4y 3－y 4＝y 1－y 2y 21－4－y 22－4·y 23－4－y 24－4y 3－y 4＝y 3＋y 4y 1＋y 2. 设直线PM 的方程为x ＝ny －1，代入y 2＝－4x ，消去x ，整理得y 2＋4ny －4＝0，所以y 1y 3＝－4，同理y 2y 4＝－4.故k 1k 2＝y 3＋y 4y 1＋y 2＝－4y 1＋－4y 2y 1＋y 2＝－4y 1y 2＝－4－8＝12，为定值． 21．(本小题12分)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为233，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32. (1)求双曲线C 的方程；(2)直线y ＝kx ＋m (km ≠0)与该双曲线C 交于不同的两点C ，D ，且C ，D 两点都在以点A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围．解：(1)x 23－y 2＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，消去y 得，(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，由已知，1－3k 2≠0且Δ＝12(m 2＋1－3k 2)＞0⇒m 2＋1＞3k 2.① 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，CD 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2，因为AP ⊥CD ，所以k AP ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2－0＝m ＋1－3k 23km＝－1k ，整理得3k 2＝4m ＋1.② 联立①②得m 2－4m ＞0，所以m ＜0或m ＞4，又3k 2＝4m ＋1＞0，所以m ＞－14，因此－14＜m ＜0或m ＞4.故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－14，0∪(4，＋∞)． 22．(本小题12分)已知抛物线C 1：x 2＝4y的焦点F 也是椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点．C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且BD ―→与AC ―→同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为：x 2＝4y ，由此可知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②得a 2＝9，b 2＝8，故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，因AC ―→与BD ―→同向，且|AC |＝|BD |，所以AC ―→＝BD ―→，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 3－x 4＝x 1－x 2，于是(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.③ 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2，⑤将④、⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2. 即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64。

高中数学第二章圆锥曲线与方程单元质量测评新人教A版选修21

高中数学第二章圆锥曲线与方程单元质量测评新人教A 版选修21第二章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率是( )A.52 B.32C. 3D. 5 答案 A解析由题意知，渐近线方程为kx ±y ＝0，所以k ＝14，所以e ＝52.2．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( ) A.2m －1m －1 B.－2－m mC.2mmD ．－21－m m －1答案 C解析椭圆方程可化为x 211＋m ＋y 21m＝1，由题意知m >0，∵11＋m <1m ，∴a ＝mm ，∴椭圆的长轴长2a ＝2mm.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 答案 D解析根据题意画出草图如图所示⎝⎛⎭⎪⎫不妨设点A 在渐近线y ＝bax 上.由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2. 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b ax 上， ∴b a＝tan60°＝ 3.又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3， ∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D.4．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m ≥1或0<m <1C ．m ≥1且m ≠5D ．0<m <5且m ≠1答案 C解析直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，所以025＋1m≤1，解得m ≥1.又m ≠5，故选C.5．设椭圆C 1的离心率为715，焦点在x 轴上且长轴长为30.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于10，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 224－y 225＝1 B.x 225－y 224＝1 C.x 215－y 27＝1 D.x 225＋y 224＝1 答案 B解析由题意知在椭圆C 1中，c a ＝715，2a ＝30，∴a ＝15，c ＝7，曲线C 2是双曲线，2a 1＝10，c ＝7， ∴b 2＝c 2－a 21＝72－52＝24，∴双曲线C 2的标准方程为x 225－y 224＝1.6．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 D解析易知抛物线的焦点为F (1,0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1,2)代入曲线y ＝k x(k >0)得k ＝2.7．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2 答案 D解析设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图所示，|AB |＝|BM |＝2a ，∠MBA ＝120°，过M 作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，|BH |＝a ，|MH |＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.8．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 答案 A解析由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－1.如图所示，过A 作AA 1⊥y 轴于点A 1，过B 作BB 1⊥y 轴于点B 1，则S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB 1||AA 1|＝|BF |－1|AF |－1. 9．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43 答案 D解析因为A (－2,3)在抛物线y 2＝2px 的准线上，所以－p2＝－2，所以p ＝4，所以y 2＝8x .由于直线AB 的斜率不为0.设直线AB 的方程为x ＝k (y －3)－2，联立直线AB 与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k (y －3)－2，y 2＝8x ，消元得y 2－8ky ＋24k ＋16＝0①，所以Δ＝(－8k )2－4(24k ＋16)＝0，即2k 2－3k －2＝0，解得k ＝2或k ＝－12(舍去)．将k ＝2代入①，解得y ＝8，所以x ＝8，所以B (8,8)．又F (2,0)，所以k BF ＝8－08－2＝43.10．设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，若以AB 为直径的圆过点P (－1,2)，且与x 轴交于M (m ，0)，N (n,0)两点，则mn ＝( )A ．3B ．2C ．－3D ．－2 答案 C解析解法一：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A ，B 坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x 得y 2－4ty －4＝0，所以y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，x 1＋x 2＝ty 1＋1＋ty 2＋1＝t (y 1＋y 2)＋2＝4t 2＋2，所以x 1＋x 22＝2t 2＋1，y 1＋y 22＝2t ，则圆心D (2t 2＋1,2t )．由抛物线的性质可知：|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4(t 2＋1)，点P 到圆心的距离d ＝[2t 2＋1－(－1)]2＋(2t －2)2. 由题意可知d ＝12|AB |，解得t ＝1，则圆心为(3,2)，半径为4.所以圆的标准方程为(x －3)2＋(y －2)2＝42.当y ＝0时，求得与x 轴交点坐标，假设m <n ，则m ＝3－23，n ＝3＋23，所以mn ＝－3.解法二：设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝ty ＋1，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t . 又以AB 为直径的圆过点P (－1,2)，P 点在准线上，故P 为切点，故AB 中点的纵坐标为2.因此y 1＋y 22＝2t ＝2，即t ＝1.所以直线l 的方程为x ＝y ＋1，圆心为(3,2)，因此圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16. 令y ＝0得x 2－6x －3＝0，故mn ＝－3.11．已知|AB →|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP →＝13OA →＋23OB →，则动点P的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1 答案 A解析设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|AB →|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.12．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB →＝－3AF →，则双曲线C 的离心率e 等于 ( )A.103 B.52 C. 5 D.343答案 D解析设F (c,0)，则过双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为－1的直线l的方程为y ＝－(x －c )，而渐近线方程是y ＝±b ax ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝c －x ，y ＝－b a x 得B ⎝⎛⎭⎪⎫ac a －b ，－bc a －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝c －x ，y ＝b ax 得A ⎝⎛⎭⎪⎫ac a ＋b ，bc a ＋b ， AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ，由AB →＝－3AF →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫bca ＋b ，－bc a ＋b ，则2abc a 2－b 2＝－3·bc a ＋b ，即b ＝53a ，则c ＝a 2＋b 2＝343a ，则e ＝c a ＝343. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．答案 9解析由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1,0)，准线为x ＝－1，设点M 的坐标为(x ，y)，则x ＋1＝10，所以x ＝9.故M 到y 轴的距离是9.14．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为________．答案513解析因为线段PF 1的中点在y 轴上，所以PF 2与x 轴垂直，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，±53，所以|PF 2|＝53，则|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，|PF 2||PF 1|＝513.15．过双曲线x 216－y 29＝1的一个焦点F 作弦AB ，则1|AF|＋1|BF|＝________.答案 89解析采用特例法即可求得．不妨设焦点F 为右焦点，则F(5,0)．当AB⊥x 轴时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－94，所以|AF|＝|BF|＝94，故1|AF|＋1|BF|＝89. 16．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，线段F 1F 2被点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．答案22解析由题意，得b 2＋c c －b 2＝3⇒b 2＋c ＝3c －32b ⇒b ＝c ，因此e ＝ca＝c 2a2＝c 2b 2＋c2＝12＝22. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．解由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的实数解．消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0.解得0＜a ＜2且a≠1.所以双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a2＋1. 因为0＜a ＜2且a≠1，所以e ＞62且e≠ 2. 故离心率e 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)． 18．(本小题满分12分)平面内与两定点A 1(－a,0)，A 2(a ，0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 1，A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线．求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系．解设动点为M ，其坐标为(x ，y)．当x≠±a 时，由条件可得kMA1·kMA2＝y x ＋a ·y x －a ＝y 2x 2－a 2＝m ，即mx 2－y 2＝ma 2(x≠±a)．又A 1(－a,0)，A 2(a,0)的坐标满足mx 2－y 2＝ma 2，故依题意，曲线C 的方程为mx 2－y 2＝ma 2. 当m<－1时，曲线C 的方程为x 2a 2＋y 2－ma 2＝1，C 是焦点在y 轴上的椭圆；当m ＝－1时，曲线C 的方程为x 2＋y 2＝a 2，C 是圆心在原点的圆；当－1<m<0时，曲线C 的方程为x 2a 2＋y2－ma 2＝1，C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m>0时，曲线C 的方程为x 2a 2－y2ma2＝1，C 是焦点在x 轴上的双曲线．19．(本小题满分12分)已知向量m 1＝(0，x )，n 1＝(1,1)，m 2＝(x,0)，n 2＝(y 2,1)(其中x ，y 是实数)，又设向量m ＝m 1＋2n 2，n ＝m 2－2n 1，且m ∥n ，点P (x ，y )的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，过点M 作一条直线l 与曲线C 交于另一点N ，当|MN |＝423时，求直线l 的方程．解 (1)由已知，得m ＝(0，x )＋(2y 2，2)＝(2y 2，x ＋2)，n ＝(x,0)－(2，2)＝(x －2，－2)．因为m ∥n ，所以2y 2(－2)－(x ＋2)(x －2)＝0，即所求曲线C 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)由(1)求得点M (0,1)，显然直线l 与x 轴不垂直．故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－4k 1＋2k2(x 1，x 2分别为点M ，N 的横坐标)．由|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 1＋2k 2＝423，解得k ＝±1. 所以直线 l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0. 20．(本小题满分12分)已知双曲线的方程为2x 2－y 2＝2. (1)求以点A (2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)过点B (1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1，Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．解 (1)设以点A (2,1)为中点的弦的两端点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，x 1≠x 2.由P 1，P 2在双曲线上，得2x 21－y 21＝2,2x 22－y 22＝2，两式相减，得2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0.则2×4(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝4，故中点弦所在的直线方程为y －1＝4(x －2)，即4x －y －7＝0.(2)假设直线l 存在，可利用(1)中的方法求出直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2，2x －y －1＝0，消去y ，得2x 2－4x ＋3＝0，方程的判别式Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，所以方程无实根，因此直线l 与双曲线无交点．故满足条件的直线l 不存在．21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中， △ABC 的两个顶点为B (0，－1)，C (0,1)，平面内两点P ，Q 同时满足：①PA →＋PB →＋PC →＝0；②|QA →|＝|QB →|＝|QC →|；③PQ →∥BC →.(1)求顶点A 的轨迹E 的方程；(2)过点F (2，0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2；直线l 1，l 2与点A 的轨迹E 的相交弦分别为A 1B 1，A 2B 2，求四边形A 1A 2B 1B 2的面积S 的最小值．解 (1)∵PB →＋PC →＝2PO →，由①知PA →＝－2PO →， ∴P 为△ABC 的重心．设A (x ，y )，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，y3. 由②知Q 是△ABC 的外心， ∴Q 在x 轴上．由③知Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x3，0. 由|QC →|＝|QA →|，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 32＋y 2，化简整理，得x 23＋y 2＝1(x ≠0)．(2)F (2，0)恰为x 23＋y 2＝1的右焦点，当直线l 1，l 2的斜率存在且不为0时，设直线l 1的方程为my ＝x －2，由⎩⎨⎧my ＝x －2，x 2＋3y 2－3＝0⇒(m 2＋3)y 2＋22my －1＝0，设A 1(x 1，y 1)，B 1(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－22m m 2＋3，y 1y 2＝－1m 2＋3，所以|A 1B 1|＝m 2＋1|y 1－y 2|＝23(m 2＋1)m 2＋3.同理|A 2B 2|＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋11m2＋3＝23(m 2＋1)3m 2＋1，则S ＝6·(m 2＋1)2(m 2＋3)(3m 2＋1)≥6·(m 2＋1)2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(m 2＋1)22＝32，当m 2＋3＝3m 2＋1，即m ＝±1时取等号．当直线l 1，l 2有一条直线斜率不存在时，另一条直线的斜率一定为0，此时S ＝2>32.所以四边形A 1A 2B 1B 2的面积的最小值为32.22．(本小题满分12分)过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 的斜率为2，问抛物线C 上是否存在点M ，使得MA ⊥MB ？并说明理由．解 (1)由抛物线的定义得|AF |等于点A 到准线y ＝－p 2的距离，所以1＋p2＝2，解得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)因为抛物线C 的焦点为F (0,1)，所以直线l 的方程为y ＝2x ＋1，设点A ，B ，M 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 204，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4y ，y ＝2x ＋1，消去y 得x 2＝4(2x ＋1)，即 x 2－8x －4＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝－4.因为MA ⊥MB ，所以MA →·MB →＝0. 所以(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 214－x 204⎝ ⎛⎭⎪⎫x 224－x 204＝0. 所以(x 1－x 0)(x 2－x 0)＋116(x 1－x 0)(x 2－x 0)(x 1＋x 0)(x 2＋x 0)＝0. 因为M 不与A ，B 重合，所以(x 1－x 0)(x 2－x 0)≠0.所以1＋116(x 1＋x 0)(x 2＋x 0)＝0，所以x 1x 2＋(x 1＋x 2)x 0＋x 20＋16＝0，所以x 20＋8x 0＋12＝0.因为Δ＝64－48＞0，所以方程x 20＋8x 0＋12＝0有解，即抛物线C 上存在点M ，使得MA ⊥MB .。

高中数学第二章圆锥曲线与方程学业质量标准检测

第二章圆锥曲线与方程时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线x 2－5y 2＝5的焦距为导学号 03624597( B ) A ． 6 B ．2 6 C ．2 3D ．4 3[解析] 双曲线方程化为标准方程为x 25－y 2＝1，∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝6，∴c＝ 6.∴焦距为2c ＝2 6.2．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是导学号 03624598( C ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y[解析] ∵抛物线过点(－4,4)，∴设其方程为：y 2＝－2px 或x 2＝2py (p >0)，将(－4,4)代入可得p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .3．若椭圆x 29＋y 2m2＝1(m >0)的一个焦点坐标为(1,0)，则m 的值为导学号 03624599( D )A ．5B ．3C ．2 3D ．2 2[解析] 由题意得9－m 2＝1，∴m 2＝8，又m >0，∴m ＝2 2.4．3<m <5是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的导学号 03624600( A )A ．充分但非必要条件B ．必要但非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件[解析] 当3<m <5时，m －5<0，m 2－m －6>0，∴方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线．若方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线，则(m －5)(m 2－m －6)<0，∴m <－2或3<m <5，故选A ．5．已知双曲线x 2a －y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于导学号 03624601( C )A ．31414B ．324C ．32D ．43[解析] 由条件知，a 2＋5＝9，∴a 2＝4，∴e ＝c a ＝32.6．如果点P (2，y 0)在以点F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上，则|PF |＝导学号 03624602( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 根据抛物线的定义点P 到点F 的距离等于点P 到其准线x ＝－1的距离d ＝|2－(－1)|＝3，故C 正确．7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m为边长的三角形一定是导学号 03624603( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形[解析] 双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a ，椭圆的离心率e 2＝m 2－b 2m ，由a 2＋b 2a ·m 2－b 2m＝1得a 2＋b 2＝m 2，故为直角三角形．8．(2015·全国卷Ⅰ文)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝导学号 03624604( B )A ．3B ．6C ．9D ．12[解析] 如图：∵抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴椭圆E 的右焦点为(2,0)，∴c ＝2，∵c a ＝12，∴a ＝4， ∴b 2＝a 2－c 2＝12.∵抛物线的准线为x ＝－2， ∴|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.9．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有导学号 03624605( C )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3| [解析] ∵2x 2＝x 1＋x 3， ∴2(x 2＋p 2)＝(x 1＋p 2)＋(x 2＋p2)， ∴2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|，故选C ．10．(2016·山东济宁高二检测)已知F 1、F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A 、B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为导学号 03624606( A )A ．6B ．5C ．4D ．3[解析] 由椭圆方程可知，a 2＝16，∴a ＝4.在△ AF 1B 中，由椭圆定义可知周长为4a ＝16，若有两边之和是10，∴第三边的长度为6.11．已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心P 的轨迹是导学号 03624607( D )A ．线段B ．直线C ．圆D ．椭圆[解析] 如下图，设动圆P 和定圆B 内切于M ，则动圆的圆心P 到两点，即定点A (－3,0)和定圆的圆心B (3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8.∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，故选D ．12．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为导学号 03624608( B )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0[解析] ∵直线与圆无交点，∴4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<4，∴点P 在⊙O 内部，又⊙O 在椭圆内部，∴点P 在椭圆内部， ∴过点P 的直线与椭圆有两个交点．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．(2016·广东河源市高二检测)抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 到y 轴的距离为__2__.导学号 03624609[解析] 如图所示，F 为抛物线x 2＝4y 的焦点，直线y ＝－1为其准线，过点P 作准线的垂线，垂足为A 且交x 轴于点B ．∵|PF |＝3，∴|PA |＝3，∴|PB |＝2.14．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为 12.导学号 03624610[解析] ∵AB ＝2c ＝4，∴c ＝2.又AC ＋CB ＝5＋3＝8＝2a ，∴a ＝4.∴椭圆离心率为c a ＝12.15．(2017·山东文，15)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为 y ＝±2x .导学号 03624611 [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pb 2a2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |， ∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ， ∴2pb2a 2＝p ，即b 2a 2＝12， ∴b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 16．(2016·山东青岛高二检测)设抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，直线l 过F 与C 交于A 、B 两点，若|AF |＝3|BF |，则l 2导学号 03624612[解析] 由题意得，抛物线y 2＝2x 的焦点F (12，0)．设l ：y ＝k (x －12)，A (x 1，y 2)、B (x 2，y 2)，则由|AF |＝3|BF |得x 1＋12＝3(x 2＋12)，即x 1＝3x 2＋1；联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝k x －12，得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0，则x 1x 2＝x 2(3x 2＋1)＝14，解得x 2＝16，又x 1＋x 2＝4x 2＋1＝1＋2k 2，即k 2＝3，k ＝±3，即直线l 的方程为y ＝±3(x －12)．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)求下列双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线；(2)以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±x2为渐近线的双曲线.导学号 03624613[解析] (1)∵双曲线x 216－y 24＝1的焦点为(±25，0)，∴设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 220－a2＝1(20－a 2>0)又点(32，2)在双曲线上， ∴18a2－420－a2＝1，解得a 2＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.(2)椭圆3x 2＋13y 2＝39可化为x 213＋y 23＝1，其焦点坐标为(±10，0)， ∴所求双曲线的焦点为(±10，0)，设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)∵双曲线的渐近线为y ＝±12x ，∴b a ＝12，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝10－a 2a 2＝14，∴a 2＝8，b 2＝2，即所求的双曲线方程为：x 28－y 22＝1.18．(本题满分12分)根据下列条件求抛物线的标准方程：导学号 03624614 (1)已知抛物线的焦点坐标是F (0，－2)； (2)焦点在x 轴负半轴上，焦点到准线的距离是5.[解析] (1)因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且－p2＝－2，所以p ＝4，所以，所求抛物线的标准方程是x 2＝－8y .(2)由焦点到准线的距离为5，知p ＝5，又焦点在x 轴负半轴上，所以，所求抛物线的标准方程是y 2＝－10x .19．(本题满分12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.导学号 03624615 [解析] (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x . (2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1、x 2＝4，y 1＝－22、y 2＝42，从而A (1，－22)、B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.20．(本题满分12分)已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (32，1)，离心率e ＝32，直线l 与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，向量m ＝(ax 1，by 1)、n ＝(ax 2，by 2)，且m ⊥n .(1)求椭圆的方程；导学号 03624616(2)当直线l 过椭圆的焦点F (0，c )(c 为半焦距)时，求直线l 的斜率k .[解析] (1)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝321a 2＋34b 2＝1a 2＝b 2＋c2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1.∴椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)依题意，设l 的方程为y ＝kx ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3y 24＋x 2＝1，消去y 得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0，显然Δ>0，x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4，由已知m ·n ＝0得， a 2x 1x 2＋b 2y 1y 2＝4x 1x 2＋(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝(4＋k 2)x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋3＝(k 2＋4)(－1k ＋4)＋3k ·－23k k ＋4＋3＝0，解得k ＝± 2. 21．(本题满分12分)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32.导学号 03624617 (1)求双曲线C 的方程；(2)直线y ＝kx ＋m (km ≠0)与该双曲线C 交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在以点A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围．[解析] (1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝233ab a 2＋b2＝32a 2＋b 2＝c2，解得a 2＝3，b 2＝1.所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 23－y 2＝1，消去y 得，(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，由已知：1－3k 2≠0且Δ＝12(m 2＋1－3k 2)>0⇒m 2＋1>3k 2① 设C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，CD 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝3km1－3k， y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k2，因为AP ⊥CD ，所以k AP ＝m1－3k ＋13km 1－3k2－0＝m ＋1－3k 23km ＝－1k，整理得3k 2＝4m ＋1② 联立①②得m 2－4m >0，所以m <0或m >4，又3k 2＝4m ＋1>0，所以m >－14，因此－14<m <0或m >4.22．(本题满分12分)(2017·山东文，21)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆C 截直线y ＝1所得线段的长度为2 2.导学号 03624618(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值．[解析] (1)由椭圆的离心率为22，得a 2＝2(a 2－b 2)，又当y ＝1时，x 2＝a 2－a 2b2，得a 2－a 2b2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2. 因此椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y22＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0. 由Δ>0得m 2<4k 2＋2，(*) 且x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，因此y 1＋y 2＝2m2k 2＋1，所以D (－2km 2k 2＋1，2m2k 2＋1)．又N (0，－m )，所以|ND |2＝(－2km 2k 2＋1)2＋(m 2k 2＋1＋m )2，整理得|ND |2＝4m2＋3k 2＋k 4k 2＋2.因为|NF |＝|m |，所以|ND |2|NF |2＝k 4＋3k 2＋k 2＋2＝1＋8k 2＋3k 2＋2.令t ＝8k 2＋3，t ≥3，故2k 2＋1＝t ＋14. 所以|ND |2|NF |2＝1＋16t ＋t2＝1＋16t ＋1t＋2. 令y ＝t ＋1t，由函数单调性可知y ＝t ＋1t在[3，＋∞)上单调递增，因此t ＋1t ≥103，等号当且仅当t ＝3时成立，此时k ＝0，所以|ND |2|NF |2≤1＋3＝4.由(*)得－2<m <2且m ≠0，故|NF ||ND |≥12. 设∠EDF ＝2θ，则sin θ＝|NF ||ND |≥12，所以θ的最小值为π6，从而∠EDF 的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0.综上所述，当k ＝0，m ∈(－2，0)∪(0，2)时，∠EDF 取到最小值π3.。

数学-阶段质量检测第二章圆锥曲线与方程

阶段质量检测(二）（A卷学业水平达标)(时间120分钟,满分150分）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．抛物线y＝4x2的准线方程是( ）A．x＝1 B．x＝－1C．y＝错误!D．y＝－错误!解析：选D 由抛物线方程x2＝错误!y，可知抛物线的准线方程是y＝－错误!。

2．“1〈m〈3"是“方程错误!＋错误!＝1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B 当方程错误!＋错误!＝1表示椭圆时，必有错误!所以1〈m<3；但当1<m<3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m＝2时，方程变为x2＋y2＝1，它表示一个圆．3．（全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的错误!，则该椭圆的离心率为（）A 。

错误!B 。

错误!C 。

23D 。

错误!解析:选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F （c,0），则直线l 的方程为x c＋错误!＝1，即bx ＋cy －bc ＝0。

由题意知错误!＝错误!×2b ,解得错误!＝错误!，即e ＝错误!.故选B.4．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是（ )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：选C 由于θ∈R ，对sin θ的值举例代入判断．sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0,这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．5．设双曲线错误!－错误!＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为2错误!，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±错误!xB ．y ＝±2xC ．y ＝±错误!xD ．y ＝±错误!x解析：选C 由已知得到b ＝1，c ＝3，a ＝c 2－b 2＝2，因为双曲线的焦点在x轴上,故渐近线方程为y＝±错误!x＝±错误!x。

高中数学《圆锥曲线与方程》单元质量测评

《圆锥曲线与方程》单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．以x24－y212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A.x216＋y212＝1 B.x212＋y216＝1C.x216＋y24＝1 D.x24＋y216＝1答案 D解析方程可化为y212－x24＝1，∴焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．从而椭圆方程中，a＝4，c＝23，∴b＝2.∵焦点在y轴上，∴椭圆方程为x24＋y216＝1.2．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是()A.2m－1m－1B.－2－mmC.2mm D．－21－mm－1答案 C解析椭圆方程可简化为x211＋m＋y21m＝1，由题意知m>0，∴11＋m<1m，∴a＝mm，∴椭圆的长轴长2a＝2mm.3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(x0,8)到焦点的距离是10，则x0等于() A．1或8 B．1或9 C．2或8 D．2或9答案 C解析因为抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(x0,8)到焦点的距离是10，所以由抛物线的定义可知：x 0＋p2＝10，又因为M (x 0,8)在抛物线上，所以82＝2px 0，联立方程组并解之可得x 0＝2或8，故选C.4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±2xC ．y ＝±13x D ．y ＝±12x答案 A解析双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，因为离心率e ＝c a ＝10，所以b a ＝c 2－a 2a 2＝c 2a 2－1＝10－1＝3，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x .5．设椭圆C 1的离心率为715，焦点在x 轴上且长轴长为30.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于10，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 224－y 225＝1 B.x 225－y 224＝1 C.x 215－y 27＝1 D.x 225＋y 224＝1答案 B解析由题意知在椭圆C 1中，c a ＝715，2a ＝30， ∴a ＝15，c ＝7，曲线C 2是双曲线，2a 1＝10，c ＝7，∴b 2＝c 2－a 21＝72－52＝24，∴双曲线C 2的标准方程为x 225－y 224＝1.6．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 D解析易知抛物线的焦点为F (1,0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1,2)代入曲线y ＝kx (k >0)得k ＝2.7．已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是( )A.62B.32 C.3 D ．2 答案 A解析由已知可得c ＝2，a ＝1，∴b ＝1. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝1(x ≤－1)．将y ＝12代入，可得点P 的横坐标为x ＝－52. ∴点P 到原点的距离为⎝ ⎛⎭⎪⎫－522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝62.8．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 答案 A解析由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－1.如图所示，过A 作AA 1⊥y 轴于点A 1，过B 作BB 1⊥y 轴于点B 1，则S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB 1||AA 1|＝|BF |－1|AF |－1.9．如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是( )A.13B.23C.15D.25 答案 B解析由题意知，|F 1F 2|＝|F 1A |＝4， ∵|F 1A |－|F 2A |＝2，∴|F 2A |＝2， ∴|F 1A |＋|F 2A |＝6，∵|F 1F 2|＝4， ∴C 2的离心率是46＝23.10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1B.x 228－y 221＝1C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1答案 D解析由题意，得b a ＝32，∵抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，∴c ＝7， ∴a 2＋b 2＝c 2＝7， ∴a ＝2，b ＝3，∴双曲线的方程为x 24－y 23＝1.11．设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，若以AB 为直径的圆过点P (－1,2)，且与x 轴交于M (m ，0)，N (n,0)两点，则mn ＝( )A ．3B ．2C ．－3D ．－2 答案 C解析抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A ，B 坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x 得y 2－4ty －4＝0，所以y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，x 1＋x 2＝ty 1＋1＋ty 2＋1＝t (y 1＋y 2)＋2＝4t 2＋2，所以x 1＋x 22＝2t 2＋1，y 1＋y 22＝2t ，则圆心D (2t 2＋1,2t )．由抛物线的性质可知：|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4(t 2＋1)， P 到圆心的距离d ＝[2t 2＋1－(－1)]2＋(2t －2)2.由题意可知d ＝12|AB |，解得t ＝1，则圆心为(3,2)，半径为4.所以圆的标准方程为(x －3)2＋(y －2)2＝42.当y ＝0时，求得与x 轴交点坐标，假设m <n ，则m ＝3－23，n ＝3＋23，所以mn ＝－3.12．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB →＝－3AF →，则双曲线C 的离心率e 等于 ( )A.103B.52C. 5D.343 答案 D解析设F (c,0)，则过双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为－1的直线l 的方程为y ＝－(x －c )，而渐近线方程是y ＝±ba x ，由⎩⎨⎧ y ＝c －x ，y ＝－ba x 得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫aca －b ，－bc a －b ，由⎩⎨⎧y ＝c －x ，y ＝b a x得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫aca ＋b ，bc a ＋b ， AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2abca 2－b 2，－2abc a 2－b 2，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ，由AB →＝－3AF →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ，则2abc a 2－b 2＝－3·bc a ＋b，即b ＝53a ，则c ＝a 2＋b 2＝343a ，则e ＝c a ＝343.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．答案 9解析由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，设点M 的坐标为(x ，y )，则x ＋1＝10，所以x ＝9.故M 到y 轴的距离是9.14．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为________．答案 513解析因为线段PF 1的中点在y 轴上，所以PF 2与x 轴垂直，且点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，±53，所以|PF 2|＝53，则|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，|PF 2||PF 1|＝513. 15．过双曲线x 216－y 29＝1的一个焦点F 作弦AB ，则1|AF |＋1|BF |＝________. 答案 89解析采用特例法即可求得．不妨设焦点F 为右焦点，则F (5,0)．当AB ⊥x 轴时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－94，所以|AF |＝|BF |＝94，故1|AF |＋1|BF |＝89.16．以下四个关于圆锥曲线的命题：①设A ，B 为两个定点，K 为非零常数，若|P A |－|PB |＝K ，则动点P 的轨迹是双曲线；②方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ③双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点；④已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的一条弦AB 为直径作圆，则此圆与准线相切．其中真命题为________(写出所有真命题的序号)．答案 ②③④解析 A ，B 为两个定点，K 为非零常数，若|P A |－|PB |＝K ，当K ＝|AB |时，动点P 的轨迹是两条射线，故①错误；方程2x 2－5x ＋2＝0的两根为12和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确；双曲线x 225－y 29＝1的焦点坐标为(±34，0)，椭圆x 235＋y 2＝1的焦点坐标为(±34，0)，故③正确；设AB 为过抛物线焦点F 的弦，P 为AB 中点，A ，B ，P 在准线l 上射影分别为M ，N ，Q ，∵AF ＋BF ＝AM ＋BN ，∴PQ ＝12AB ，∴以AB 为直径作圆则此圆与准线l 相切，故④正确．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知一个椭圆中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为213.一双曲线和这个椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的标准方程．解 ①若焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，c ＝13，a 2－b 2＝13，设双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，m ＝a －4， m 2＋n 2＝13，∵e 双e 椭＝73，易知a ＝7，m ＝3. ∴b 2＝36，n 2＝4.∴椭圆的标准方程为x 249＋y 236＝1，双曲线的标准方程为x 29－y 24＝1.②若焦点在y 轴上，同理可得椭圆的标准方程为x 236＋y 249＝1，双曲线的标准方程为y 29－x 24＝1.18．(本小题满分12分)平面内与两定点A 1(－a,0)，A 2(a,0)(a >0)连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 1，A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线．求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系．解设动点为M ，其坐标为(x ，y )．当x ≠±a 时，由条件可得k MA 1·k MA 2＝y x ＋a ·y x －a ＝y 2x 2－a 2＝m ，即mx 2－y 2＝ma 2(x ≠±a )．又A 1(－a,0)，A 2(a,0)的坐标满足mx 2－y 2＝ma 2，故依题意，曲线C 的方程为mx 2－y 2＝ma 2.当m <－1时，曲线C 的方程为x 2a 2＋y 2－ma 2＝1，C 是焦点在y 轴上的椭圆；当m ＝－1时，曲线C 的方程为x 2＋y 2＝a 2，C 是圆心在原点的圆；当－1<m <0时，曲线C 的方程为x 2a 2＋y 2－ma 2＝1，C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m >0时，曲线C 的方程为x 2a 2－y 2ma 2＝1，C 是焦点在x 轴上的双曲线．19．(本小题满分12分)如图线段AB 过x 轴正半轴上一定点M (m,0)，端点A ，B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A ，O ，B 三点作抛物线．(1)求抛物线方程；(2)若OA →·OB →＝－1，求m 的值．解 (1)设直线AB 为y ＝k (x －m )(k ≠0)，抛物线方程为y 2＝2px (p >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )，y 2＝2px 消去x ，得ky 2－2py －2pkm ＝0. ∴y 1y 2＝－2pm .又∵y 1y 2＝－2m ，∴p ＝1， ∴抛物线方程为y 2＝2x . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 224＋y 1y 2＝m 2－2m .又OA →·OB →＝－1，∴m 2－2m ＝－1，解得m ＝1.20．(本小题满分12分)已知双曲线的方程为2x 2－y 2＝2. (1)求以点A (2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)过点B (1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1，Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．解 (1)设以点A (2,1)为中点的弦的两端点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，x 1≠x 2.由P 1，P 2在双曲线上，得2x 21－y 21＝2,2x 22－y 22＝2，两式相减，得2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0.则2×4(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝4，故中点弦所在的直线方程为y －1＝4(x －2)，即4x －y －7＝0.(2)假设直线l 存在，可利用(1)中的方法求出直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2，2x －y －1＝0，消去y ，得2x 2－4x ＋3＝0，方程的判别式Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，所以方程无实根，因此直线l 与双曲线无交点．故满足条件的直线l不存在．21．(本小题满分12分)如图，已知抛物线C1：y＝14x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线P A，PB分别与抛物线C1和圆C2相切于A，B两点．(1)求点A，B的坐标；(2)求△P AB的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．解(1)由题意知直线P A的斜率存在，故可设直线P A的方程为y＝k(x－t)，由⎩⎨⎧y＝k(x－t)，y＝14x2消去y，整理得x2－4kx＋4kt＝0，由于直线P A与抛物线相切，得k＝t，因此，点A的坐标为(2t，t2)．设圆C2的圆心为D(0,1)，点B的坐标为(x0，y0)，由题意知点B，O关于直线PD对称，故⎩⎨⎧y02＝－x02t＋1，x0t－y0＝0，解得⎩⎨⎧x0＝2t1＋t2，y0＝2t21＋t2，因此，点B的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2t1＋t2，2t21＋t2.(2)由(1)知|AP|＝t·1＋t2，直线P A 的方程tx －y －t 2＝0.点B 到直线P A 的距离是d ＝t 21＋t 2.设△P AB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AP |·d ＝t 32. 22．(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，点P (2，3)，Q (2，－3)在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当A ，B 运动时，满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线y ＝－2上，∴b ＝2，又c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝4，c ＝23，∴椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(2)为定值．理由如下：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵∠APQ ＝∠BPQ ，∴直线P A ，PB 的斜率互为相反数，可设直线P A 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为－k ，直线P A 的方程为y －3＝k (x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k (x －2)，x 2＋4y 2＝16，消去y ，得(1＋4k2)x2＋8k(3－2k)x＋4(3－2k)2－16＝0，∴x1＋2＝8k(2k－3) 1＋4k2，同理可得x2＋2＝－8k(－2k－3)1＋4k2＝8k(2k＋3)1＋4k2，∴x1＋x2＝16k2－41＋4k2，x1－x2＝－163k1＋4k2，∴k AB＝y1－y2x1－x2＝k(x1＋x2)－4kx1－x2＝36，即直线AB的斜率为定值36.。

(浙江专版)高中数学阶段质量检测(二)圆锥曲线与方程新人教A版选修2_1

阶段质量检测（二）圆锥曲线与方程(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(安徽高考)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1解析：选C 由双曲线焦点在y 轴上，排除选项A 、B ，选项C 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选C.2．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析：选C 由于θ∈R ，对sin θ的值举例代入判断．sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．3．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( )A.12或32B.23或2 C.12或2D.23或32解析：选A 设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k .若曲线C 为椭圆，则2a ＝6k,2c ＝3k ，∴e ＝12；若曲线C 为双曲线，则2a ＝2k,2c ＝3k ，∴e ＝32.4．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，·的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选B 设P (x 0，y 0)，又F 1(－2,0)，F 2(2,0)， ∴＝(－2－x 0，－y 0)，＝(2－x 0，－y 0)．|F 1F 2|＝4，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝2，∴|y 0|＝1.又x 203－y 20＝1，∴x 20＝3(y 20＋1)＝6，∴·＝x 20＋y 20－4＝6＋1－4＝3.5．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]解析：选C 准线x ＝－2，Q (－2,0)，设l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，x ＝0，即交点为(0,0)，当k ≠0时，Δ≥0，－1≤k ＜0或0＜k ≤1. 综上，k 的取值范围是[－1,1]．6．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B.7．已知||＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，＝13＋23，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1D ．x 2＋y 29＝1解析：选A 设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为||＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.8．(四川高考)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)解析：选D 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (5＋r cos θ，r sin θ)则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2.两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．当直线l 的斜率不存在时，显然符合条件的直线l 有两条．当直线l 的斜率存在时，可得2r sin θ(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2) ⇒k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2r sin θ. 又∵k MC ＝r sin θ－05＋r cos θ－5＝sin θcos θ.∴k AB ＝－1k MC ＝－cos θsin θ. ∴2r sin θ＝－cos θsin θ⇒r ＝－2cos θ>2.由于M 在抛物线的内部，∴(r sin θ)2<4(5＋r cos θ)＝20＋4r cos θ＝20＋4×(－2)＝12.∴|r sin θ|<2 3.∴|r sin θ|＝r ·r 2－4r＝r 2－4<23⇒r 2<16⇒0<r <4.因此2<r <4.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 9．以双曲线x 24－y 212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．答案：x 216＋y 212＝110．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，则a＝________.F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 29＝1的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，故a ＝2.又P 是双曲线上一点，故||PF 1|－|PF 2||＝4，而|PF 1|＝3，则|PF 2|＝7.答案：2 711．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．解析：由题意知|F 1F 2|＝26－2＝4，设P 点坐标为(x ，y )．由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，x 23－y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×22＝ 2.答案： 212．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，则F 的坐标为________．若|FA |＝2|FB |，则k ＝________.解析：抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，将y ＝k (x ＋2)代入y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，设A (x 1，y 1), B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－4k2k2，x 1x 2＝4，由|FA |＝2|FB |及抛物线定义得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2＋2x 2，代入x 1x 2＝4，整理得x 22＋x 2－2＝0，解得x 2＝1或x 2＝－2(舍去)．所以x 1＝4，8－4k 2k 2＝5，解得k 2＝89，又因为k >0，所以k ＝223.答案：(2,0)22313．抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________，抛物线上横坐标为3的点到准线的距离为________．解析：依题意，设抛物线的焦点为F ，点Q 的横坐标是x 0(x 0≥0)，则有|QF |＝x 0＋p2的最小值是p 2＝1，则p ＝2.横坐标为3的点到准线的距离为3＋p2＝4.答案：2 414．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.则双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为________，若渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为____________．解析：由题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±x .因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±25 b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25 b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1. 答案：y ＝±xx 220＋y 25＝1 15．已知二次曲线x 24＋y 2m＝1，当m ∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．解析：∵m ∈[－2，－1]，∴曲线方程化为x 24－y 2－m＝1，曲线为双曲线，∴e ＝4－m2. ∵m ∈[－2，－1]， ∴52≤e ≤62. 答案：52，62三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P ⎝⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．解：依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上， ∴6＝2p ×32.∴p ＝2，∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上， ∴94a 2－6b2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.17．(本小题满分15分)已知抛物线方程为y 2＝2x ，在y 轴上截距为2的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，O 为坐标原点．若OM ⊥ON ，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋2消去x 得ky 2－2y ＋4＝0.∵直线l 与抛物线相交，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝4－16k >0，解得k <14且k ≠0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1y 2＝4k，从而x 1x 2＝y 212·y 222＝4k 2.∵OM ⊥ON ， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即4k 2＋4k＝0，解得k ＝－1符合题意，∴直线l 的方程为y ＝－x ＋2.18．(本小题满分15分)已知椭圆x 24＋y 29＝1及直线l ：y ＝32x ＋m ，(1)当直线l 与该椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求直线l 被此椭圆截得的弦长的最大值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋m ，x 24＋y29＝1，消去y ，并整理得9x 2＋6mx ＋2m 2－18＝0.①Δ＝36m 2－36(2m 2－18)＝－36(m 2－18)． ∵直线l 与椭圆有公共点，∴Δ≥0，据此可解得－3 2≤m ≤3 2. 故所求实数m 的取值范围为[－3 2，3 2 ]． (2)设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由①得：x 1＋x 2＝－6m 9，x 1x 2＝2m 2－189，故|AB |＝1＋k 2· x 1＋x 22－4x 1x 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 92－4×2m 2－189 ＝133· －m 2＋18，当m ＝0时，直线l 被椭圆截得的弦长的最大值为26.19．(本小题满分15分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32.(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E (－1,0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点，请说明理由．解：(1)直线AB 的方程为：bx －ay －ab ＝0.依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，ab a 2＋b 2＝32，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)假若存在这样的k 值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋3y 2－3＝0，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0. ∴Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0.① 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2.②而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4.要使以CD 为直径的圆过点E (－1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时，则y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1. 即y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0.∴(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝0.③将②式代入③整理解得k ＝76.经验证k ＝76使①成立．综上可知，存在k ＝76，使得以CD 为直径的圆过点E .20．(本小题满分15分)已知椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)，(1)若椭圆的上顶点A (0,1)到焦点的距离为3，求椭圆的离心率．(2)Rt △ABC 以A (0,1)为直角顶点，边AB ，AC 分别与椭圆交于点B ，C .若△ABC 面积的最大值为278，求a 的值．解：(1)∵A (0,1)到焦点的距离为3， ∴a ＝3，c ＝a 2－b 2＝2，e ＝c a＝23＝63. (2)不妨设直线AB 斜率k >0，则AB ：y ＝kx ＋1，AC ：y ＝－1kx ＋1由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，解得x B ＝－2a 2k 1＋a 2k 2，同理x C ＝2a 2kk 2＋a 2，则|AB |＝x 2B ＋y B －2＝2a 2k 1＋k 21＋a 2k2，同理可得，|AC |＝2a21＋k2a 2＋k 2.S ＝12|AB ||AC |＝2a 4×k ＋k2a 2k 4＋a 4k 2＋k 2＋a2 ＝2a 4×k ＋1ka 2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋a 2－2，令k ＋1k＝t ≥2，则S ＝2a 4×ta 2t 2＋a 2－2＝2a4a 2t ＋a 2－2t≤a 3a 2－1，当且仅当t ＝a 2－1a≥2，即a ≥1＋2时取等号(a ≤1－2舍去)．由a 3a 2－1＝278，解得a ＝3，或a ＝3±29716(舍去)．∴a ＝3.。

【苏教版】高二数学(选修2-1)阶段质量检测(二)：圆锥曲线与方程(含答案)

阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程 [考试时间：120分钟试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．(江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________________________．2．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________．3．方程x 2(a －1)2＋y 2a 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是_____________．4．(辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．5．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝2a 2的一个交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且PF 1＝3PF 2，则双曲线的离心率为________．6．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是____________________________．7．已知双曲C 1＝x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐进线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________________________．8．过抛物线x 2＝8y 的焦点F 作直线交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝8，则P 1P 2的值为________．9．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝33x 的距离是________．10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．11．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________________________．12．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于__________________________． 13．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．14．给出如下四个命题：①方程x 2＋y 2－2x ＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆x 23＋y 22＝1的离心率e ＝53；③抛物线x ＝2y 2的准线的方程是x ＝－18；④双曲线y 249－x 225＝－1的渐近线方程是y ＝±57x .其中所有不正确命题的序号是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)求与椭圆x 2144＋y 2169＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．16．(本小题满分14分)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，求直线l 的方程．17.(本小题满分14分) 如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．18．(浙江高考)(本小题满分16分)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．9．(陕西高考)(本小题满分16分)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．20．(湖南高考)(本小题满分16分)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明：FM u u u u r ·FN u u u r <2p 2；(2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．答案1．解析：令x 216－y 29＝0，解得y ＝±34x .答案：y ＝±34x2．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为|±3×1－0|1＋3＝32.答案：323．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)2>a 2，a ≠1，a ≠0，解之得a <12，且a ≠0，即a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，0)∪(0，12 4．解析：由题意因为PQ 过双曲线的右焦点(5,0)，所以P ，Q 都在双曲线的右支上，则有FP －P A ＝6，FQ －QA ＝6，两式相加，利用双曲线的定义得FP ＋FQ ＝28，所以△PQF 的周长为FP ＋FQ ＋PQ ＝44.答案：445．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2a ，PF 1＝3PF 2得PF 1＝3a ，PF 2＝a ，设∠F 1OP ＝α，则∠POF 2＝180°－α，在△PF 1O 中，PF 21＝OF 21＋OP 2－2OF 1·OP ·cos α ①，在△OPF 2中，PF 22＝OF 22＋OP 2－2OF 2·OP ·cos(180°－α) ②，由cos(180°－α)＝－cos α与OP ＝2a ， ①＋②得c 2＝3a 2，∴e ＝c a ＝3aa ＝ 3.答案： 36．解析：设P (x ，y )，动圆P 在直线x ＝1的左侧，其半径等于1－x ，则PC ＝1－x ＋1，即(x ＋2)2＋y 2＝2－x . ∴y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x7．解析：∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的率心率为2.∴ca＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a .∴双曲线的渐近线方程为 3 x ±y ＝0.∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝⎛⎭⎫0，p2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2.∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y . 答案：x 2＝16y8．解析：由题意知p ＝4，由抛物线的定义得P 1P 2＝P 1F ＋P 2F ＝⎝⎛⎭⎫y 1＋p 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋p2＝(y 1＋y 2)＋p ＝8＋4＝12.答案：129．解析：∵椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点为(1,0)，∴右焦点到直线3x －3y ＝0的距离d ＝33＋9＝12. 答案：1210．解析：在△ABF 中，AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则AF ＝6.由AB 2＝AF 2＋BF 2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝OF ＝AB2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以BF ＝AF 1＝8.由椭圆的性质可知AF ＋AF 1＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝c a ＝57.答案：5711．解析：因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3.所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案：x 218＋y 29＝112．解析：令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，y 2＝12x ，得4x 2－8x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14，∴AB ＝(1＋22)(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝15. 答案：1513．解析：如图，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦半径为c .由题意知∠F 1AF 2＝90°， ∠AF 2F 1＝60°.∴AF 2＝c ， AF 1＝2c ·sin 60°＝3c . ∴AF 1＋AF 2＝2a ＝(3＋1)c . ∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1.答案：3－114．解析：①表示的图形是一个点(1,0)；②e ＝33； ④渐近线的方程为y ＝±75x .答案：①②④15．解：椭圆x 2144＋y 2169＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y 轴上，于是设双曲线方程是y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，又双曲线过点(0,2)，∴c ＝5，a ＝2， ∴b 2＝c 2－a 2＝25－4＝21，∴双曲线的标准方程是y 24－x 221＝1，实轴长为4，焦距为10，离心率e ＝c a ＝52，渐近线方程是y ＝±22121x .16．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，当直线l 斜率不存在时，|AB |＝4，不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知k ≠0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.由抛物线定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2， ∴x 1＋x 2＋2＝8，即2k 2＋4k 2＋2＝8.解得k ＝±1.所以直线l 的方程为y ＝±(x －1)，即x －y －1＝0，x ＋y －1＝0.17．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c .所以|AB |＝1＋3·|85c －0|＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设AB ＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义BF 1＋BF 2＝2a 可知，BF 1＝3a －t . 由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得， t ＝85a . 由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.18．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以AB ＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1.又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4，消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k 4＋k 2，y 0＝84＋k 2－1. 所以PD ＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12AB ·PD ＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 19．解：(1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意d ＝2|MN |.由此得|4－x |＝2(x －1)2＋y 2，化简得x 24＋y 23＝1，所以，动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0，故k 2>32.由根与系数的关系得， x 1＋x 2＝－24k3＋4k 2，①x 1x 2＝243＋4k 2.② 又因为A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③ 将③代入①，②，得 x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k 2，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2＞32，解得k ＝－32或k ＝32，所以直线m 的斜率为－32或32.法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点， ∴x 1＝x 22，①y 1＝3＋y 22.②又x 214＋y 213＝1，③ x 224＋y 223＝1，④ 联立①，②，③，④解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)，所以直线m 的斜率为－32或32.20．解：(1)证明：由题意，抛物线E 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pk 1x －p 2＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 21＋p .所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫pk 1，pk 21＋p 2，FM u u u u r ＝(pk 1，pk 21)．同理可得点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫pk 2，pk 22＋p 2，FN u u u r ＝(pk 2，pk 22)．于是FM u u u u r ·FN u u u r ＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)．因为k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，所以0<k 1k 2<⎝⎛⎭⎪⎫k 1＋k 222＝1. 故FM u u u u r ·FN u u u r <p 2(1＋12)＝2p 2. (2)由抛物线的定义得F A ＝y 1＋p 2，FB ＝y 2＋p 2，所以AB ＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 21＋2p ，从而圆M 的半径r 1＝pk 21＋p .故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋⎝⎛⎭⎫y －pk 21－p 22＝(pk 21＋p )2，化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 21＋1)y －34p 2＝0. 同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0. 于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 21)y ＝0.又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p >0，所以点M 到直线l 的距离d ＝|2pk 21＋pk 1＋p |5＝p |2k 21＋k 1＋1|5＝p ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫k 1＋142＋785. 故当k 1＝－14时，d 取最小值7p 85. 由题设，7p 85＝755，解得p ＝8. 故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y .。

天水市第二中学2012-2013学年圆锥曲线与方程质量检测1

圆锥曲线与方程质量检测(考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝12．设P 是椭圆x 2169＋y 2144＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于()A ．22B ．21C ．20D ．133．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为()D ．(3，0)4．若抛物线x 2＝2py 的焦点与椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点重合，则p 的值为()A ．4B ．2C ．－4D ．－25．若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A ．(0,1)，12D.22，7．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝()A.45B.35C ．－35D ．－458．F 1、F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为()A ．7B.72C.74 D.7529．已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为()A ．x 2－y 28＝1(x >1)B ．x 2－y 28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)10．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为()A.2B.3C ．2D ．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．若双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方程是________．12x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．13.如图，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．14．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率145，求双曲线方程．16．(本小题满分12分)设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32.已知点P 到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程．17．(本小题满分12分)设λ＞0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q 满足BQ→＝λQA →，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM →＝λMP →，求点P的轨迹方程．18．(本小题满分14分)已知椭圆的长轴长为2a ，焦点是F 1(－3，0)、F 2(3，0)，点F 1到直线x ＝－a 23的距离为33，过点F 2且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得|F 2B |＝3|F 2A |.(1)求椭圆的方程；(2)求直线l 的方程．。

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