初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第20讲直线与圆

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直线与圆的方程例题及解析

直线与圆的方程例题及解析1. 直线方程的求解例题一已知直线上两点坐标分别为 A（2，3）和 B（-1，4），求直线 AB 的方程。

解析：设直线的方程为 y = mx + c，其中 m 为斜率，c 为 y 轴截距。

首先，求解斜率 m：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)根据题意，A（2，3），B（-1，4），带入公式计算斜率：m = (4 - 3) / (-1 - 2) = 1 / (-3) = -1/3将斜率 m 替换到直线方程中：y = -1/3x + c接下来，我们需要求解截距 c。

将点 A（2，3）代入上式，得到：3 = -1/3 * 2 + c解得 c = 4/3。

将 c 替换到直线方程中，得到直线 AB 的方程：y = -1/3x + 4/32. 圆的方程的求解例题二已知圆心坐标为 O（2，-1），半径为 r = 3 的圆，求圆的方程。

解析：圆的方程一般形式为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中，（h，k）为圆心坐标，r 为半径。

根据题意，圆心坐标为 O（2，-1），半径为 r = 3。

代入上式，得到圆的方程：(x - 2)² + (y + 1)² = 3²化简得：(x - 2)² + (y + 1)² = 9总结本文介绍了直线与圆的方程的求解方法，并给出了两个例题的解析过程。

在求解直线方程时，通过已知的两个点的坐标计算斜率，然后带入截距公式得到直线方程。

在求解圆的方程时，根据圆的一般形式，将圆心坐标和半径代入方程中得到圆的方程。

希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解直线与圆的方程。

九年级奥数：直线与圆

九年级奥数：直线与圆阅读课标圆心到直线的距离与圆的半径的大小量化确定直线与圆的相离、相切、相交的三种位置关系．直线与圆相切是直线与圆位置关系讨论的重点．与切线相关的知识包括切线的性质和判定、切线长定理等．证明一直线是圆的切线是一种常见问题，证明的基本方法有：（1）利用定义，证明直线与圆只有一个交点；（2）当所证直线与圆有一个公共点时，连结圆心和这个公共点，证明这条半径与所证直线垂直；（3）当所证直线与圆没有确定的公共点时，过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．熟悉一下基本图、基本结论：问题解决例1 如图，以等腰三角形ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点G ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ．根据以上条件写出三个正确结论（除AB =AC 、AO =BO 、∠ABC =∠ACB 外）是：例2 如图，直线P A 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 分别为切点，∠APB =120°，OP =10cm ，则弦AB 的长为（）．A ．B ．C ．D ．例3 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，以AC 为直径作⊙O ，交AB 于D ，过点O 作OE ∥AB ，交BC 于E ．（1）求证：ED 为⊙O 的切线；．（2）如果⊙O 的半径为，ED =2， AB 的长；（3）在（2）的条件下，延长EO 交⊙O 于F ，连接DF ，AF ，求△ADF 的面积．cm 35cm 310cm 5cm 23532例4 如图，直线与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，已知点C （0，-1）、D （0，k ），且0<k <3，以点D 为圆心、CD 为半径作⊙D ．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）当k 为何值时，⊙D 与直线AB 相切?（3）当k 为何值时，⊙D 与直线AB 相离?例5 如图，形如量角器的半圆O 的直径DE =12cm ，形如三角板的△ABC 中，∠ACB =90°， ∠ABC =30°，BC =12cm ．半圆O 以2cm ／s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点D 、E 始终在直线BC 上．设运动时间为t （s ），当t =0（s ）时，半圆O 在△ABC 的左侧，OC =8cm ．问：当t 为何值时，△ABC 的一边所在的直线与半圆O 所在的圆相切？数学冲浪知识技能广场1．如图，已知直线CD ．与⊙O 相切于点C ，AB 为直径，若∠BCD =40°，则∠ABC 的度数是___________．2．如图，OM 与x 轴相交于点A （2，0），B （8，0），与y 轴相切于点C ，则圆心M 的坐标是___________．3．如图，在同心圆．中，大圆的弦AB 与小圆相切，若大圆的半径是13cm ，弦AB 的长是24cm ，则小圆的半径是___________．343+=xy4．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于点P ，那么∠P 等于（）．A ．15°B ．20°，C ．25°D ．30°5．如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠P =50°，那么∠ACB 等于（）．A ．40°B ．50°C ．65°D ．130°6．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =a ，以斜边AB 上的点O 为圆心的圆分别与AC 、BC 相切于点E 、F ，与AB 分别相交于点G 、H ，且EH 的延长线与CB 的延长线交于点D ，则CD 的长为（）．A ．B ． C． D ． 7．如图，⊙O 的直径AB =4，∠ABC =30°，BC =，D 是线段BC 的中点．（1）试判断点D 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DE ⊥AC 于E ，求证：直线DE 是⊙O 的切线．8．如图，P 为正比例函数图象上的一个动点，OP 的半径为3，设点P 的坐标为（x ，y ）（1）求⊙P 与直线x =2相切时点P 的坐标．（2）请直接写出⊙P 与直线x =2相交、相离时x 的取值范围．9．（1）如图1，OA 、OB 是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 是OB 延长线上任意一点，过点C 作CD 切⊙O 于点D ，连结AD 交OC 于点E ．求证：CD =CE（2）若将图2中的半径OB 所在直线向上平行移动交OA 于F ，交⊙O 于B ′，其他条件不变（如图2），那么上述结论CD =CE 还成立吗？为什么？a 2122-a 212+a 2a )412(-32y x =（3）若将图3中的半径OB 所在直线向上平行移动到⊙O 外的CF ，点E 是DA 的延长线与CF 的交点，其他条件不变（如图3），那么上述结论CD =CE 还成立吗？为什么？思想方法新天地10．如图，已知AB 为⊙O 的直径，CB 切⊙O 于B ，CD 切⊙O 于D ，交BA 的延长线于E ，若AB =3，ED =2，则BC 长为___________．11．如图，一圆内切于四边形ABCD ，且AB =16，CD =10，则四边形的周长是___________．12．如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点为D 、F 、E ，若AF 、BE 的长度是方程 x 2-13 x +30=0的两个根，则△ABC 的面积是___________．13．如图，以定线段AB 为直径作半圆O ，P 为半圆上任意一点（异于A 、B ），过点P 作半圆O 的切线，分别交过A 、B 两点的切线于D 、C ，AC 、BD 相交于N 点，连结ON ，NP ，下列结论：①四边形ANPD 是梯形；②ON =NP ；③DP ·PC 为定值；④P A 平分∠NPD ．其中一定成立的是（）．A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①④14．如图，在等腰△ABC 中，O 为底边BC 的中点，以O 为圆心作半圆与AB 、AC 相切，切点分别为D 、E ．过半圆上一点F 作半圆的切线，分别交AB 、AC 于M ，N ，那么的值等于（）．A ．B ．C ．D ．115．直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD +BC <DC ，若腰DC 上有一点P ，使AP ⊥BP ，则这样的P 点（）．2BN CN BC ⋅814121A ．不存在B ．只有一个C ．只有两个D ．有无数个16．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，其中⊙O 1，⊙O 2，⋅⋅⋅，⊙O n 为n 个（n ≥2）相等的圆，⊙O 1与⊙O 2相外切，⊙O 2与⊙O 3相外切，⋅⋅⋅，⊙O n -1与⊙O n 相外切，⊙O 1，⊙O 2，⋅⋅⋅，⊙O n 都与AB 相切，且⊙O 1与AC 相切，⊙O n 与BC 相切．求这些等圆的半径r （用n 表示）．17．如图，P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，过点A 作PB 的平行线交⊙O 于点C ，联结PC 交⊙O 于点E ，联结AE ，并延长AE 交PB 于K ．求证：PE ⋅AC =CE ⋅KB ．18．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AD 、BD 为⊙O 的切线，作DE ∥BC ，交AC 于E ，连结EO 并延长交BC 于F ．求证：BF =FC ．应用探究乐园19．已知⊙O 的半径为1，以 O 为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形ABCD ，顶点B 的坐标为（，0），顶点A 在x 轴上方，顶点D 在⊙O 上运动．（1）当点D 运动到与点A ，O 在一条直线上时，CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD 所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；（2）设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，并求出S 的最大值和最小值．。

九年级数学直线和圆的位置关系

高档题型解析及思路拓展
例题3
解析
思路拓展
已知直线$l_{1}$和圆$O_{1}$相切于点 $P$，直线$l_{2}$过点$P$且与圆 $O_{1}$相交于另一点$Q$，求直线 $l_{2}$的方程。
由于直线$l_{1}$和圆$O_{1}$相切于点 $P$，因此点$P$是切点，且直线 $l_{1}$在点$P$处的切线斜率与直线 $l_{2}$的斜率相等。我们可以通过求出点$P$的坐标和切线斜率，再利用点斜式求出直线$l_{2}$的方程。
若直线与圆相切，则直线到圆心的距离等于半径，由此可求出切线方程。
直线与圆的交点坐标
联立直线方程和圆方程求解，可得交点坐标。若有两个交点，则它们关于圆心对称。
02
直线与圆的位置关系分类
相离关系
定义
直线与圆没有公共点，称为相离。
判定方法
通过比较圆心到直线的距离与圆的半径大小来判断。若圆心到直线的距离大于圆的半径，则直线与圆相离。
直线与圆的交点个数
通过观察图形或计算，确定直线与圆的交点个数。若有两个交点，则直线与圆相交；若有一个交点，则直线与圆相切；若没有交点，则直线与圆相离。
综合应用举例
解法一
联立直线l和圆C的方程，消去一个未知数得到一个一元二次方程。根据判别式的值判断位置关系。
解法二
计算圆心(a,b)到直线l的距离d，根据d与半径r的大小关系判断位置关系。
圆的性质
圆上任意一点到圆心的距离等于半径；圆的任意弦所对的圆周角等于弦所对圆心角的一半。
圆的切线
与圆有且仅有一个交点的直线称为圆的切线，切线与半径垂直。
直线与圆的交点问题
直线与圆的位置关系
直线与圆的切线问题

初中数学竞赛直线与圆(含答案)

14．直线与圆A 卷1．已知Rt △ABC 的斜边AB=5cm ，直角边AC=3cm ，则此三角形内切圆半径是_________。

2．如图1，AB 是⊙O 的直径，∠CAB=30°，过点C 作圆的切线交AB 的延长线于点D 。

若OD=43cm ，那么弦AC 的长是___________。

(1) (2) (3)3．如图2，△ABC 是⊙O 的外切三角形，D 、E 、F 是切点，若∠BAC=65°，∠ACB=35°，则∠DOE=__________度。

4．如图3,等腰梯形ABCD 是⊙O 的外切四边形，O 是圆心，腰长4cm ，则∠BOC=________度，梯形中位线长__________。

5．在△ABC 中，∠B=25°，∠C=75°，O 是△ABC 的外心，过A 作OA 的垂线交BC 的延长线于P ，则∠P=_________度。

6．圆外切四边形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，CD=c ，则AD=_________。

7．在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则以B 为圆心，以BC 为半径的圆与AC 的位置关系是__________。

8．AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ∥BC 交AC 于D ，OD=1cm ，则BC=_________。

9．在⊙O 中，AB 是直径，F 是圆周上异于A 、B 的一点，过F 作切线l ，作AC ⊥l 于C ，若∠ABF=40°，则∠FAE=_______度。

10．在△ABC 中，AB=5cm ，AC=4cm ，BC=3cm ，以AC 为直径的⊙交AB 于D ，则DC=_______。

C 卷一、选择题1．如图4，两圆的圆心分别是P 、R ，并且相交于O 和Q 点，如果正△PQR 的一边PQ=3，则阴影部分的周长是（）A ． 29 B ．9π C ．8π D ．12π(4) (5) (6)2．如图5，两个圆与三个半圆彼此相切，它们的半径都是1单位，并且它们又都与一个大半圆相切，则阴影部分的面积为（） A ．π B ．2π C ．65π D ．67π 3．如图6，AB 与AC 是⊙O 的两条等弦，过C 作⊙O 的切线与BA 的延长线相交于点D ，DE 垂直于AC 交CA 延长线于E ，则CD ：BD=（） A ．1：5 B ．1：4 C ．1：3 D ．1：24．在锐角△ABC 中，AC=1，AB=C ，∠A=60°，△ABC 外接圆半径R ≤1，则C 的取值范围是（） A ．221≤<c B ．210≤<c C ．c > 2 D ．c = 2 二、填空题1．在⊙O 的进径AB 的延长线上取一点C ，作⊙O 的切线CD ，D 是切点，⊙O 在B 点的切线交CD 于E ，若CD=2·DE ，则AC ：CD=__________。

初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题20 直线与圆的位置关系_答案

专题20 直线与圆的位置关系（1）例1、B 提示：连接OD ，则~ODE CBE ∆∆例2、（1）AC =AB = （2）提示：若PA 是⊙O 的切线，则PA ⊥AO ，又BO ⊥AO ，得PA ∥BD ，PB AD BC DC∴=，9030AOD OAC ∠=︒∠=︒，， 120AOC ∠=︒，22AD OD DC ∴==，2PB BC ∴=，即当2PB BC =时，PA 是 ⊙O 的切线例3、提示（1）证明~PFA PBE ∆∆ （2）当P 为BA 延长线上一点时，第（1）题的结论仍成立例4、（1）略（2）AF AP AN AD ≠，理由如下：假设AF AP AN AD≠，则MN ∥CD 。

90D ∠=︒， CD ∴⊥AD ，MN ⊥AD ，A 与P 关于MN 对称，MN ∴⊥AP ，而P 与D 不重合，这与“过一点（A ）”只能作一条直线与已知直线（MN ）垂直”矛盾，∴假设不成立，即AF AP AN AD≠ （3）证明ABM ∆≌MCP ∆，得4MC AB ==，设PD x =，则4CP x =-， 4BM PC x ∴==-，连接HO 并延长交BC 于J ，则四边形HDCJ 为矩形，OJ ∴ ∥CP ，~MOJ MPC ∴∆∆得12OJ MO CP MP ==，1(4)2OJ x ∴=--，12OH MP == 14(4)2OJ x -=+，222MC MP CP =-，22(4)(4)16x x ∴+--=，解得1x = 即1PD =，3PC =，7BC BM MC PC AB ∴=+=+=，由此画图例6 连切点半径IS ，IM 和ID ，得D A E O ，，，四点共圆，得SI DI MI ==，PSI ∠= 90IMC IMB ∠=∠=︒，设2B A C B α∠=∠=，则PCB α∠= ，SPI B PCB ∠=∠+∠ 3α=，则90903S I P S P I α∠=︒-∠=︒-，MD ∥AC ，2DMB ACB α∴∠=∠=， 90902IMD DMB IDM α∠=︒-∠=︒-=∠1804DIM IDM IMD α∴∠=︒-∠-∠=，而9090MIC ICM α∠=︒-∠=︒-，180903DIP DIM MIC α∴∠=︒-∠-∠=︒-= SIP ∠，在PIS ∆与PID ∆中，PI PI =，SIP DIP ∠=∠，SI DI =，PIS ∆≌PID ∆， 90PDI PSI ∠=∠=︒，故PD 是⊙I 的切线A 级1、51︒或129︒2、AB AC =3、62︒或118︒4、D 提示：以AB 为直径的圆与DC 相交5、A6、D7、（1）略（2）满足条件的点有两个：①过点C 作1CP ∥AB 交AE 于点P ，则1A PC ∆~ 1BCA ∆，这时18AP BC cm ==； ②过点C 作⊙O 的切线交AE 于点2P ，则2AP C ∆~CAB ∆，这时1252AP cm = 8、（1）提示：连接OE ，证明90OED ∠=︒，12OD AB =，2BC DE = （2）在R t A C B ∆中，2BC BE AB =，又2B C D E =，2(2)DE BE AB =，又AB =2OD ，2(2)2DE BE OD ∴=，22DE BE OD ∴=9、（1）由已知，得2(4)4(2)0x c x c -+++=，由两根关系得4a b c +=+，2ab c =+， 22222()2(4)8(2)a b a b ab c c c ∴+=+-=+-+=，ABC ∴∆是直角三角形（2）提示：连接OE ，则OE ∥BC ，6a =，8b =，10c =，5AE =10、（1）连接OD ，OE ，BD ，AB 是⊙O 的直径，90CDB ADB ∴∠=∠=︒， E 是BC 的中点，DE CE BE ∴==，OD OB =，OE OF =，ODE ∴∆≌OBE ∆，90ODE OBE ∴∠=∠=︒，∴直线DE 是⊙O 的切线（2）作OH ⊥AC 于点H ，由（1）知BD ⊥AC ，EC =EB ．∵OA =OB ，∴OE ∥AC 且OE =12AC ，∴∠CDF =∠OEF ，∠DCF =∠EOF ．∵CF =OF ，∴△DCF ≌△EOF ，∴DC =OE =AD ，∴BA =BC ，∴∠A =45°． ∵OH ⊥AD ，∴OH =AH =DH ，∴CH =3OH ，故tan ∠ACO =13OH CH =． 11．（1）略（2）连接DO 并延长与⊙O 相交于点E ，连接BE ．设AH =3k ．∵tan ∠ADB =34，P A AH ，AC ⊥BD 于点H ．∴DH =4k ，AD =5k ，P A =3)k ，PH =P A +AH =．∴tan ∠P =DH PH =P =30°，PD =8k ． ∵BD ⊥AC ，∴∠P +∠PDB =90°．∵PD ⊥DE ，∴∠PDB +∠BDE =90°．∴∠BDE =∠P =30°．∵DE 是直径，∴∠DBE =90°，DE =2r =50．∴BD =DE ·cos ∠BDE =50·cos30°=．（3）连接CE ．∵DE 是直径，∴∠DCE =90°．∴CD =DE ·sin ∠CED =DE ·sin ∠CAD =450=405⨯． ∵∠PDA =∠ABD =∠ACD ，∠P =∠P ，∴△PDA ∽△PCD ．∴PD DA PA PC CD PD==．∴8540k k PC ==．解得PC =64，k =3-．∴AC =PC －P A =64－23)3)7k ==+∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △CBD =1111253(79002222BD AH BD CH BD AC +==⨯+=+ B 级1．86° 2．45°3．连接BP ，MQ ，PC ，QN ，由PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，PQ ⊥BC 可得P ，Q ，C ，N 四点共圆，P ，Q ，B ，M 四点共圆．由△MPQ ∽△QPN 得PQ 26MP NP =．4．C5．B 【提示】连接OB ，过C 作CH ⊥BD 交BD 于点H ．∴OBHC 是正方形，CH =1．∵∠ABC =30°，∴∠OAC =60°=∠D ．在Rt △CDH 中，=sin CH D CD ∠，∴CD=． 6．D7．提示：（1）连接OD ，由△BDO ∽△BCA ，得BD =12BC ，又BD 2=BP ·BC ．（2）由（1）可知BC =2BD ，BD =2BP ，得BC =4BP ，∴PC +BP =4BP ，∴PC =3BP ．8．（1）∵直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，∴PD ∥QC ．∴当PD =QC 时，四边形PQCD 是平行四边形．由题意可知AP =t ，CQ =2t ， ∴8－t =2t ，3t =8，t =83时，四边形PQCD 为平行四边形．（2）设PQ 与⊙O 相切于点H ，过P 作PE ⊥BC 于E ．∵直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，∴PE =AB ．有题意可知AP =BE =t ，CQ =2t ，∴BQ =BC －CQ =22－2t ，EQ =BQ －BE =22－2t －t =22－3t ．∵AB 为⊙O 的直径，∠ABC =∠DAB =90°，∴AD 、BC 为⊙O 的切线．∴AP =PH ，HQ =BQ ．∴PQ =PH +HQ =AP +BQ =22－t ．在Rt △PEQ 中，PE 2+EQ 2=PQ 2，∴122+(22－3t )2=(22－2t )2，即8t 2－88t +144=0，t 2－11t +18=0，∴t1=2，t2=9．∵P在AD边运动时间为8811ADs==，而t=9＞8，∴t=9舍去．∴当t=2时，PQ与⊙O相切．9．提示：AB=4，BC=CD=3，S△AOD=32．作BH⊥AC于H，则Rt△AOD∽Rt△ABH，得OD AO BH AB=．∴12,5BH=S△BCD=185．10．（1）过点O作OD⊥PB于点D，连接OC．∵P A切⊙O于点C，∴OC⊥P A．又∵点O在∠APB的平分线上，∴OC=OD，∴PB与⊙O相切．（2）过点C作CF⊥OP于点F．在Rt△PCO中，PC=4，OC=3，OP5，∵OC·PC=OP·CF=2S△POD，∴CF=125．在Rt△COF中，95 OF．∴EF=EO+OF=245，∴CE=11．（1）AC=165．（2）连接AC，则A，O’，C共线．设OC=a，则AC2=a2+42，又AC2=（a+3）2－52，即a2+42=（a+3）2－52，解得a=163，∴O’8 (2)3，．（3）如图，设⊙O’交x轴于点C，交BA的延长线于D．∵O’A平分∠OAD，∴∠OAC=∠DAC，∴CO CD=，∴OC=CD．∵∠AOC =90°，∴AC 是⊙O ’的直径．∴∠D =90°，∴△AOC ≌△ADC ，∴AD =AO =4．设OC =DC =a ，在Rt △BCD 中，BC =a +3，BD =9，CD =a ， ∴（a +3）2=a 2+92，解得a =12，∴AC 2=OA 2+OC 2=42+122=160，AC =∴⊙O ’的半径长为12．连接AD ，由△CDE ∽△CAD ，有CD CA DE AD =①．又由△ADE ∽△BDA ，有AE AB DE DA=②．由①②及AB =AC ，得AE =CD ．由∠DAE =∠EDC ，知CD 是△ADE 外接圆的切线．故CD 2=CE ·CA ，即AE 2=CE ·CA ．设AE =x ，则CE =d －x ，∴2()x d d x =-，即x 2+dx －d 2=0，解方程并取正根得AE =x ．。

九年级数学第20课知识点

九年级数学第20课知识点在九年级数学中，第20课是一个非常重要的章节，涉及到了一些基础的数学知识点，如平行线、相交线等。

本文将通过一系列例子和解释，深入探讨这些知识点的概念和应用。

希望通过这篇文章，能够帮助同学们更好地理解和掌握这些数学知识。

平行线是几何学中一个基础的概念，对于初学者来说可能有些抽象。

在几何图形中，两条线如果不相交且在同一个平面内，那么它们就被称为平行线。

我们可以用符号“||”来表示平行关系。

比如，若线段AB与线段CD平行，则可以表示为AB || CD。

这种平行的关系在现实生活中有许多应用，比如铁路、公路等。

通过平行线的定义，可以导出许多重要的性质，例如平行线之间的夹角相等、平行线上的对应角相等等。

相交线是另一个重要的概念。

两条线如果在同一个平面内相交，那么它们就被称为相交线。

通过相交线的性质，我们可以得到许多有趣的结论。

例如，相交线之间的夹角可以分为四类：对顶角、同位角、内错角和外异角。

对顶角是指两条直线相交时，位于相交点两侧的两个角，它们的度数相等。

同位角是指两条直线被第三条直线切割时，同位相应的两对内角或外角，它们的度数相等。

内错角是指两条平行线被一条穿过时，位于平行线之间的两个内角，它们的度数相等。

外异角是指两条平行线被一条穿过时，位于平行线外部的两个角，它们的度数相等。

在实际应用中，平行线和相交线的概念经常被用到。

例如，在制图中，我们需要绘制平行线来表示道路、建筑物等。

在计算机图形学中，平行线和相交线的概念也被广泛运用，用于绘制三维场景、计算光线路径等。

此外，平行线和相交线的概念还在几何推理、数学证明等方面起着重要的作用。

除了平行线和相交线，第20课还涉及到了一些其他的知识点，如实数和方程。

实数是数学中一个广义的概念，包括有理数和无理数。

有理数是可以表示为整数的比值的数字，如1/2、3/4等。

无理数是不能表示为有理数的比值的数字，如π、√2等。

方程是一个数学等式，其中包含了未知数和已知数之间的关系。

直线与圆培优讲义

培优讲义一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向；②平行：α=0°；③围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tan α 〔α≠90°〕；②垂直：斜率k 不存在；③围：斜率 k ∈ R 。

3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形〔数形结合〕；②斜率k 值于两点先后顺序无关；③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=①相交：斜率21k k ≠〔前提是斜率都存在〕特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即；<2> 斜率都存在时：121-=•k k 。

②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=；<2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。

③重合：斜率都存在时：2121,b b k k ==；二、方程与公式：1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将点k y x 与斜率),(00直接带入即可；②斜截式：b kx y += 将截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中，将两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ④截距式：1=+b y a x 将截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0用得比拟多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式： ①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA CBy Ax d +++= ③平行直线间距离：2221B A C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。

直线与圆知识点总结及例题

直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：1定义：在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角;当直线l 与x 轴重合或平行时,规定倾斜角为0；2倾斜角的范围[)π,0;如1直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____答：5[0][)66，，πππ；倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.2过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______答：42≥-≤m m 或2、直线的斜率：1定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ,即k ＝tan αα≠90°；倾斜角为90°的直线没有斜率；2斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；3直线的方向向量(1,)a k =,直线的方向向量与直线的斜率有何关系 4应用：证明三点共线： AB BC k k =;如1 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件答：既不充分也不必要；2实数,x y 满足3250x y --= 31≤≤x ,则x y 的最大值、最小值分别为______答：2,13- 3、直线的方程：1点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ,则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线;直线的斜率0=k 时,直线方程为1y y =；当直线的斜率k 不存在时,不能用点斜式求它的方程,这时的直线方程为1x x =.2斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ,则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线;3两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为121121x x x x y y y y --=--,它不包括垂直于坐标轴的直线;若要包含倾斜角为00或090的直线,两点式应变为))(())((121121y y x x x x y y --=--的形式.4截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+by a x ,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线;5一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=A,B 不同时为0的形式;如1经过点2,1且方向向量为v=－1,3的直线的点斜式方程是___________答：12)y x -=-；2直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=,不管m 怎样变化恒过点______答：(1,2)--；3若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点,则a 的取值范围是_______答：1a >提醒：1直线方程的各种形式都有局限性.如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢；2直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点;如过点(1,4)A ,且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条答：34.设直线方程的一些常用技巧：1知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+；2知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+它不适用于斜率为0的直线；3知直线过点00(,)x y ,当斜率k 存在时,常设其方程为00()y k x x y =-+,当斜率k 不存在时,则其方程为0x x =；4与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；5与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解;5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：1点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =；2两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为d =;6、直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系：1平行⇔12210A B A B -=斜率且12210B C B C -≠在y 轴上截距；2相交⇔12210A B A B -≠；3重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=;提醒：1 111222A B C A B C =≠、1122A B A B ≠、111222A B C A B C ==仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件为什么 2在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；3直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=垂直⇔12120A A B B +=;如1设直线1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=,当m ＝_______时1l ∥2l ；当m ＝________时1l ⊥2l ；当m _________时1l 与2l 相交；当m ＝_________时1l 与2l 重合答：－1；12；31且m m ≠≠-；3；2已知直线l 的方程为34120x y +-=,则与l 平行,且过点—1,3的直线方程是______答：3490x y +-=；3两条直线40ax y +-=与20x y --=相交于第一象限,则实数a 的取值范围是____答：12a -<<；4设,,a b c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长,则直线sin 0A x ay c ++=与sin sin 0bx B y C -+=的位置关系是____答：垂直；5已知点111(,)P x y 是直线:(,)0l f x y =上一点,222(,)P x y 是直线l 外一点,则方程1122(,)(,)(,)f x y f x y f x y ++＝0所表示的直线与l 的关系是____答：平行；6直线l 过点１,０,且被两平行直线360x y +-=和330x y ++=所截得的线段长为9,则直线l 的方程是________答：43401x y x +-==和7、特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：1当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,互相平行；2当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直．8、对称中心对称和轴对称问题——代入法：如1已知点(,)M a b 与点N x 轴对称,点P 与点N y 轴对称,点Q 与点P 直线0x y +=对称,则点Q 的坐标为_______答：(,)b a ；3点Ａ４,５直线l 的对称点为Ｂ－2,7,则l 的方程是_________答：3y=3x ＋；4已知一束光线通过点Ａ－３,５,经直线l :3x －4y+4=0反射;如果反射光线通过点Ｂ２,15,则反射光线所在直线的方程是_________答：18x 510y -=＋；5已知ΔABC 顶点A3,－１,ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y －59=0,∠B 的平分线所在的方程为x －4y+10=0,求ＢＣ边所在的直线方程答：29650x y +-=；6直线2x ―y ―4=0上有一点Ｐ,它与两定点Ａ4,－1、Ｂ3,4的距离之差最大,则Ｐ的坐标是______答：5,6；7已知A x∈轴,:B l y x ∈=,C2,1,ABC 周长的最小值为______答：提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解;9.1直线过定点;如直线3m+4x+5-2my+7m-6=0,不论m 取何值恒过定点-1,22直线系方程1与已知直线Ax+By+C=0平行的直线的设法: Ax+By+m=0 m ≠C2 与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线的设法: Bx-Ay+m=03经过直线1l ∶1A x+1B y+1C =0,2l ∶2A x+2B y+2C =0交点的直线设法：1A x+1B y+1C +λ2A x+2B y+2C =0λ为参数,不包括2l3对称 1点点对称中点坐标公式2线点对称转化为点点对称,或代入法,两条直线平行3点线对称点和对称点的连线被线垂直平分,中点在对称轴上、kk’= -1二个方程4线线对称求交点,转化为点线对称10、圆的方程：⑴圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=; ⑵圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>,特别提醒：只有当22D E 4F 0＋－>时,方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22D E --,半径为的圆二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是什么 0,A C =≠且0B =且2240D E AF +->；⑶圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+θ为参数,其中圆心为(,)a b ,半径为r ;圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0x r y r r θθ→==≤≤;⑷()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=如1圆C 与圆22(1)1x y -+=直线y x =-对称,则圆C 的方程为____________答：22(1)1x y ++=；2圆心在直线32=-y x 上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________答：9)3()3(22=-+-y x 或1)1()1(22=++-y x ；3已知(P -是圆{cos sin x r y r θθ==θ为参数,02)θπ≤<上的点,则圆的普通方程为________,P 点对应的θ值为_______,过P 点的圆的切线方程是___________答：224x y +＝；23π；40x -+=；4如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x-4y=0平分,且不过第四象限,那么l 的斜率的取值范围是____答：0,2；5方程x 2+y ２－x+y+k=0表示一个圆,则实数k 的取值范围为____答：21<k ；6若{3cos {(,)|3sin x M x y y θθ===θ为参数,0)}θπ<<,{}b x y y x N +==|),(,若φ≠N M ,则b 的取值范围是_________答：(－11、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b rr +-=>,1点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->；2点M 在圆C 内⇔ ()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<；3点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=;如点P5a+1,12a 在圆x －１２＋y 2=1的内部,则a 的取值范围是______答：131||<a 12、直线与圆的位置关系：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、相切;可从代数和几何两个方面来判断：1代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况：0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；2几何方法比较圆心到直线的距离与半径的大小：设圆心到直线的距离为d ,则d r <⇔相交；d r >⇔相离；d r =⇔相切;提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷;如1圆12222=+y x 与直线sin 10(,2x y R πθθθ+-=∈≠k π+,)k z ∈的位置关系为____答：相离；2若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(1,2)P -,则ab 的值____答：2；3直线20x y +=被曲线2262x y x y +--150-=所截得的弦长等于答：4一束光线从点A －1,1出发经x 轴反射到圆C:x-22+y-32=1上的最短路程是答：4；5已知(,)(0)M a b ab ≠是圆222:O x y r +=内一点,现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线2:l ax by r +=,则A ．//m l ,且l 与圆相交 B ．l m ⊥,且l 与圆相交C ．//m l ,且l 与圆相离D ．l m ⊥,且l 与圆相离答：C ；6已知圆C ：22(1)5x y +-=,直线L ：10mx y m -+-=;①求证：对m R ∈,直线L 与圆C 总有两个不同的交点；②设L 与圆C 交于A 、B 两点,若AB =求L 的倾斜角；③求直线L 中,截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. 答：②60或120 ③最长：1y =,最短：1x =13、圆与圆的位置关系用两圆的圆心距与半径之间的关系判断：已知两圆的圆心分别为12O O ，,半径分别为12,r r ,则1当1212|O O r r |>+时,两圆外离；2当1212|O O r r |=+时,两圆外切；3当121212<|O O r r r r -|<+时,两圆相交；4当1212|O O |r r |=|-时,两圆内切；5当12120|O O |r r ≤|<|-时,两圆内含;如双曲线22221x y a b-=的左焦点为F 1,顶点为A 1、A 2,P 是双曲线右支上任意一点,则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为答：内切14、圆的切线与弦长：1切线：①过圆222x y R +=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200xx yy R +=,过圆222()()x a y b R -+-=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200()()()()x a x a y a y a R --+--=,一般地,如何求圆的切线方程抓住圆心到直线的距离等于半径；②从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条件,运用几何方法抓住圆心到直线的距离等于半径来求；③过两切点的直线即“切点弦”方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆,该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆220x y Dx Ey F ++++=222()()x a y b R -+-=外一点00(,)P x y 如设A 为圆1)1(22=+-y x 上动点,PA 是圆的切线,且PA=1,则P 点的轨迹方程为__________答：22(1)2x y -+=；2弦长问题：①圆的弦长的计算：垂径定理常用弦心距d ,半弦长12a 及圆的半径r 所构成的直角三角形来解：2221()2r d a =+；②过两圆1:(,)0C f x y =、2:(,)0C g x y =交点的圆公共弦系为(,)(,)0f x y g x y λ+=,当1λ=-时,方程(,)(,)0f x y g x y λ+=为两圆公共弦所在直线方程.;15.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等16. 圆的切线和圆系方程1．过圆上一点的切线方程：圆222r y x =+,圆上一点为00,y x ,则过此点的切线方程为0x x+ 0y y= 2r 课本命题．圆222r y x =+,圆外一点为00,y x ,则过此点的两条切线与圆相切,切点弦方程为200r y y x x =+;2．圆系方程：①设圆C1∶011122=++++F y E x D y x 和圆C2∶022222=++++F y E x D y x ．若两圆相交,则过交点的圆系方程为11122F y E x D y x +++++λ22222F y E x D y x ++++=0λ为参数,圆系中不包括圆C2,λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程．②设圆C ∶022=++++F Ey Dx y x 与直线l ：Ax+By+C=0,若直线与圆相交,则过交点的圆系方程为F Ey Dx y x ++++22+λAx+By+C=0λ为参数．例题 1经过点P 2,m 和Q 2m ,5的直线的斜率等于错误!,则m 的值是 BA ．4B ．3C ．1或3D ．1或4变：的取值范围的斜率的直线求经过点 )1,cos (),sin ,2( k l B A θθ--2. 已知直线l 过P －1,2,且与以A －2,－3、B3,0为端点的线段相交,求直线l 的斜率的取值范围．点评：要用运动的观点,研究斜率与倾斜角之间的关系答案：错误!∪5,＋∞ 3.已知坐标平面内三点A (－1，1)，B (1，1)，C (2，3＋1)，若D 为△ABC 的边AB 上一动CD 斜率k 的变化范围．答案：错误!∪5,＋∞1.求a 为何值时,直线l 1：a ＋2x ＋1－ay －1＝0与直线l 2：a －1x ＋2a ＋3y ＋2＝0互相垂直答案：a=-12.求过点P 1,－1,且与直线l 2：2x ＋3y ＋1＝0垂直的直线方程．答案：3x －2y －5＝0.例2.求过定点P 2,3且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．例3.已知△ABC 的顶点A 1,－1,线段BC 的中点为D 3,23． 1求BC 边上的中线所在直线的方程；2若边BC 所在直线在两坐标轴上的截距和是9,求BC 所在直线的方程．例4.方程m 2－2m －3x ＋2m 2＋m －1y ＝2m －6满足下列条件,请根据条件分别确定实数m的值．1方程能够表示一条直线；答案：m 1-≠2方程表示一条斜率为－1的直线．答案：m 2-=例5.直线l 的方程为a －2y ＝3a －1x －1a ∈R ．1求证：直线l 必过定点；答案：错误!,错误!2若直线l 在两坐标轴上的截距相等,求l 的方程；答案：5x ＋5y －4＝03若直线l 不过第二象限,求实数a 的取值范围．答案：分斜率存在与不存在例1：求点A-2,3到直线 l :3x+4y+3=0的距离 d= ;例2：已知点a,2到直线l: x-y+1=0的距离为2,则a= ; a ＜0 例3:求直线 y=2x+3直线l : y=x+1对称的直线方程;类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．变式1：求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且被直线0=y 平分的圆的标准方程.变式2：求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆上所有的点均直线0=y 对称的圆的标准方程. 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例4 已知圆422=+y x O ：,求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上,∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-k k .解得43=k ,所以()4243+-=x y ,即01043=+-y x 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．类型三：弦长、弧问题例7、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.例8、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得,弦心距3=d ,故弦长2222=-=dr AB ,从而△OAB 是等边三角形,故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB . 例9、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例10、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ,判断此直线与已知圆的位置关系.类型五：圆与圆的位置关系例13、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系,例14：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有条;类型六：圆中的最值问题例15：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是例16 1已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：,),(y x P 为圆O 上的动点,求22y x d +=的最大、最小值． 2已知圆1)2(222=++y x O ：,),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值,求y x 2-的最大、最小值．例17：已知)0,2(-A ,)0,2(B ,点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动,则22PB PA +的最小值是 .解：设),(y x P ,则828)(2)2()2(222222222+=++=+-+++=+OP y x y x y x PB PA .设圆心为)4,3(C ,则325min =-=-=r OC OP ,∴22PB PA +的最小值为268322=+⨯.。

直线与圆知识点及经典例题(含答案)

圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 (一) 圆的标准方程(x a)2 (y b)2『这个方程叫做圆的标准方程。

-____ 2 2 2说明：1、若圆心在坐标原点上，这时 a b 0，则圆的方程就是 x y r 。

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a ，b ，r 三个量确定了且r > 0,圆的方程就给定了。

就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件-确定a ，b ，r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。

(二) 圆的一般方程2 2 2 2 2 2 2 2将圆的标准方程(x a) (y b) r ，展开可得x y 2ax 2by a b r。

可见，任何一个2圆的方程都可以写成：X2y Dx Ey F 02 2问题：形如xy DxEy F 0的方程的曲线是不是圆？2 2FD 2E 2 J D ‘ E 4F将方程X y Dx Ey左边配方得：2)2) 2D E0表示以 22为圆2 2(1)当 D E 4F >° 时，方程(1 )与标准方程比较，方程xyDx Ey FD 2E 2 4F心，以2为半径的圆。

DE DE⑵当DmE —4F=Q 时,方fc a +y a +Dx+Ey+F = OR 有实数解汁亍厂亍所以表示一个点(亍-計2 2(3)当D 2E 24F v 0时，方程x y Dx Ey F °没有实数解，因而它不表示任何图形。

圆的一般方程的定义：2 2当D 2 E 2 4F >°时，方程x y Dx Ey F °称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：22(1) X 和y 的系数相同，不等于零；(2) 没有xy 这样的二次项。

(三) 直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类 (1)相离---求距离； ⑵相切---求切线； (3)相交---求焦点弦长。

九年级数学奥数知识点专题精讲---直线和圆的位置关系

知识点、重点、难点直线与圆有三种位置关系：相交，相切，相离．与圆相交的直线叫做圆的割线，与圆相切的直线叫做圆的切线。

设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为R .直线与圆相离d r ⇔>⇔直线与圆无公共点。

直线与圆相切d r ⇔=⇔直线与圆有唯一公共点。

直线与圆相交d r ⇔<⇔直线与圆有两个公共点。

圆的切线垂直于过切点的半径，圆的切线与圆心的距离等于半径。

从圆外一点P 引圆的两条切线长相等，且P 与圆心的连线平分这两条切线所夹的角。

弦切角等于它所夹的弧上的圆周角。

圆幂定理：包括相交弦定理、切割线定理和切线长定理。

处理直线和圆的有关几何问题的基本方法是由位置关系确定线段或角之间的数量关系，反之也可由数量关系确定直线与圆的位置关系。

例题精讲例1：如图，已知D 是△ABC 的边AC 上的一点，AD ：DC =2：1，∠C = 45°，∠ADB = 60°，求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线。

证明：如图，作△BCD 的外接圆，设圆心为O ，连结OB 、OC 、OD 、OD 交BC 于E .因为∠DCB 是BD 所对的圆周角，∠BOD 是BD 所对的圆心角， ∠BCD =45°，所以∠BOD ＝90°.又因为∠ADB 是△BCD 的一个外角，所以∠DBC =∠ADB －∠ACB ＝60°－45°＝15°．于是∠DOC ＝30°，故∠BOC ＝120°. 因为OB = OC ，所以∠BCO =∠CBO =30°.在△OEC 中，因为∠EOC －∠ECO =30°，所以OE =EC .在△BOE 中，因为∠BOE = 90°，∠EBO = 30°，所以BE =2OE =2EC .又AD = 2CD ，所以12C EC D B E A D ==，于是AB ∥OD ，故∠ABO ＝90°.所以AB 是△BCD 的外接圆的切线。

直线与圆知识点及经典例题(含答案)

圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 这个方程叫做圆的标准方程。

说明：1、若圆心在坐标原点上，这时0a b ==，则圆的方程就是222x y r +=。

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。

就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定,,a b r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。

（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得02222222=-++--+r b a by ax y x 。

可见，任何一个圆的方程都可以写成 :220x y Dx Ey F ++++= 问题：形如220x y Dx Ey F ++++=的方程的曲线是不是圆？将方程022=++++F Ey Dx y x 左边配方得：22224()()222D E D E Fx x +-+++=（1）当F E D 422-+＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程022=++++F Ey Dx y x 表示以(,)22D E--为圆心，以2242D E F+-为半径的圆。

,（3）当F E D 422-+＜0时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。

圆的一般方程的定义：当224D E F +-＞0时，方程220x y Dx Ey F ++++=称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，不等于零；（2）没有xy 这样的二次项。

（三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离； (2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。

2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断: 当d>r 时，直线与圆相离；当d ＝r 时，直线与圆相切;当d<r 时，直线与圆相交。

九年级数学直线与圆

九年级数学直线与圆
目录
• 直线的基本性质 • 圆的性质与方程 • 直线与圆的交点 • 直线与圆的综合问题
01 直线的基本性质
直线的定义与表示
定义
直线是无限长的，没有端点，可以向两个方向无限延伸。在平面直角坐标系中，直线可以用方程来表示。
表示方法
直线的表示方法有两种，一种是点斜式，一种是两点式。点斜式方程为 $y - y_1 = m(x - x_1)$，其中 $(x_1, y_1)$ 为直线上的一点，$m$ 为直线的斜率。两点式方程为 $frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = frac{x x_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 为直线上的两点。
1 2
直线与圆相切的条件
当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切。此时，圆心到直线的距离等于圆的半径。
直线与圆相交的条件
当直线与圆有两个公共点时，称直线与圆相交。此时，圆心到直线的距离小于圆的半径。
3
直线与圆相离的条件
当直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离。此时，圆心到直线的距离大于圆的半径。
04
圆具有对称性，即关于任意一条直线对称的两条线段都是等长的。
03 直线与圆的交点
直线与圆的位置关系
相交
01
直线与圆有两个交点
相切
02
直线与圆有一个交点
相离
03
直线与圆没有交点
直线与圆的交点求解
代数法
通过解方程组求得交点坐标
几何法
通过观察直线和圆的相对位置，利用几何性质求得交点
直线与圆的实际应用
02 圆的性质）的距离等于给定长度（半径）的点的集合。

数学竞赛辅导讲义——直线与圆的方程

数学竞赛辅导讲义——直线与圆的方程一、例题例1求函数3cos 02sinf，的值域.例2当实数x ，y 满足2211xy 时，不等式0xy m恒成立，求实数m的取值范围.例3过直线:5l x上一动点M 作圆22:16C xy的两条切线，切点分别为1T ，2T ，试求12MTT 的垂心H 的轨迹方程.xl:x=5y HT 1T 2OM二、练习题1. 若直线1:440l xy ，2:0l mxy与3:2340l x my 能围成一个三角形，则实数m 的取值范围是_________________________. 2. 方程2||111x y 表示的曲线是_______________________.3. 以两圆221:410C xyxy 与222:2210C xyx y 的公共弦为直径的圆的方程为__________________________. 4. 已知当aR 且1a时，圆2222(2)20xyax a y 总与直线l 相切，则直线l 的方程是______________________.5. 在平面直角坐标系中，横纵坐标都是有理数的点称为有理点，则过点(20)，且其上至少存在两个有理点的直线的条数为__________.6. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，则平面上的整点到直线54:35l yx的距离的最小值是___________.7. 已知矩形ABCD 的顶点C 的坐标为(4,4)，顶点A 在圆22:9(,0)O xyx y 上移动，且AB ，AD 两边始终分别平行于x 轴，y 轴，求矩形ABCD 面积的最小值，以及取得最小值时点A 的坐标.xyD B C OA8. 已知直线:l y x b 与圆22:(1)1C xy 相交于A ，B 两点，点P 在l 上，且||||2PA PB .当b 变化时，求点P 的轨迹方程.9.（2012年全国联赛）在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的边长为4，且||||6OB OD .（1）求证：||||OA OC 为定值；（2）当点A 在半圆22:(2)4(24)M x yx 上运动时，求点C 的轨迹.x yMDBAOC10. 直线l 与O 相离，点P 为l 上任意一点，过点P 引O 的两条切线，切点分别为A ，B ，求证：直线AB 过定点.数学竞赛辅导讲义——直线与圆的方程参考答案1.1214.63m m，，，2.两个半圆. 3.2261210.55x y x y 4.0.xy5.答案：1.分析：显然，若存在这样的直线，则该直线必有斜率.下面用反证法证明斜率必为零.假设斜率不为零，设点11()A p q ，与22()B p q ，为该直线上的两个不同的有理点，则有1212112q q q p p p ，注意到等号的左边是个无理数，而右边是有理数，矛盾.因此假设错误，即满足条件的直线的斜率必为零. 注：此题属竞赛级别. 6.答案：34.85分析：平面上的整点()a b ，到直线54:35l yx的距离lABOP22|251512||5(53)12|(,)5342515a b a b d a b ，因5(53)a b 为5的倍数，故当且仅当5(53)10a b ，即532a b ，亦即32ak ，54bk（kZ ）（根据数论中的孙子定理，当然若想简单一点，取1a b 便可）时，(,)d a b 取最小值.注：此题属竞赛级别. 7.当且仅当点A 的坐标为424222，或424222，时，矩形ABCD 面积最小且最小值为72.8.答案：点P 的轨迹方程为22(1)3(2121)x y y x .分析：易见点P 在圆C 的外部，即点P 在点A 、B 的同侧.否则，若点P 在线段AB 上，则22||||22||||122PA PB r PA PB （这里r 为圆C 的半径），矛盾.利用切割线定理，设直线PT 与圆C 相切于点T ，则有2||||||2PT PA PB ，于是222||||213PC PT r，这表明点P 在以(0,1)C 为圆心，3为半径的圆上，但不能说这个圆就是点P 的轨迹，因为点P 还有其他约束条件，即点P 在直线l 上，而l 是要与圆C 相交的.9.（1）（从几何关系入手）设点E 为菱形ABCD 的对角线的交点，则222222222222||||(||||)(||||)||||(||||)||=||(||||)||||6420.OA OC OE AE OE EC OE AE OB BE AE OB BE AE OB AB 注：此题的条件可以简化一下.（2）（利用圆的参数方程）因点A 在半圆22:(2)4(24)M x yx 上运动，故可设点A 的坐标为(22cos 2sin)([])22，，，再利用（1）的结论，可得点C 的参数方程为55tan2x y，（为参数，且[]22，），l13.yx -1PTBA P C O即点C 的轨迹是一条线段，端点为(55)，，(55)，.10. 如图建立直角坐标系，设圆O 的半径为r ，直线l 的方程为()xa ar ，l 上的动点()P a t ，，切点1122()()A x y B x y ，，，，则切线PA ，PB 的方程分别为211x xy yr ，222x xy yr ，因点()P a t ，在切线PA ，PB 上，故211x ay tr ，222x ay tr ，上述两个方程表明A B ，都在直线2ax ty r 上，这恰是直线AB 的方程.据此方程可知，直线AB 恒过定点2(0)ra，.换个角度，由于OA AP ，OB BP ，故点A ，B 在以OP 为直径的圆M 上，从而直线AB 成为圆O 与圆M 的公共弦所在的直线了.注：直线AB （也称切点弦）的方程与圆的切线方程非常类似，能记住最好不过了.第一种方法妙不可言，将来可以移植到椭圆、抛物线上.l 15.y xarA(x 1,y 1)B(x 2,y 2)OP(a,t)。

直线与圆知识点总结及例题

直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：1定义：在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角.当直线l 与x 轴重合或平行时,规定倾斜角为0；2倾斜角的范围[)π,0.如1直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____答：5[0][)66，，πππ；倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.2过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______答：42≥-≤m m 或2、直线的斜率：1定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ,即k ＝tan αα≠90°；倾斜角为90°的直线没有斜率；2斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；3直线的方向向量(1,)a k =,直线的方向向量与直线的斜率有何关系4应用：证明三点共线： AB BC k k =.如1 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件答：既不充分也不必要；2实数,x y满足3250x y --= 31≤≤x ,则x y 的最大值、最小值分别为______答：2,13-3、直线的方程：1点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ,则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线.直线的斜率0=k 时,直线方程为1y y =；当直线的斜率k 不存在时,不能用点斜式求它的方程,这时的直线方程为1x x =.2斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ,则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线.3两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为121121x x x x y y y y --=--,它不包括垂直于坐标轴的直线.若要包含倾斜角为00或090的直线,两点式应变为))(())((121121y y x x x x y y --=--的形式.4截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+by a x,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.5一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=A,B 不同时为0的形式.如1经过点2,1且方向向量为v=－1,3的直线的点斜式方程是___________答：12)y x -=-；2直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=,不管m 怎样变化恒过点______答：(1,2)--；3若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点,则a 的取值范围是_______答：1a > 提醒：1直线方程的各种形式都有局限性.如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢；2直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点.如过点(1,4)A ,且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条答：34.设直线方程的一些常用技巧：1知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+；2知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+它不适用于斜率为0的直线；3知直线过点00(,)x y ,当斜率k 存在时,常设其方程为00()y k x x y =-+,当斜率k 不存在时,则其方程为0x x =；4与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；5与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解.5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：1点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =；2两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为d =6、直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系：1平行⇔12210A B A B -=斜率且12210B C B C -≠在y 轴上截距；2相交⇔12210A B A B -≠；3重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=.提醒：1 111222A B C A B C =≠、1122A B A B ≠、111222A B C A B C ==仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件为什么2在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；3直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=垂直⇔12120A A B B +=.如1设直线1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=,当m ＝_______时1l ∥2l ；当m ＝________时1l ⊥2l ；当m _________时1l 与2l 相交；当m ＝_________时1l 与2l 重合答：－1；12；31且m m ≠≠-；3；2已知直线l 的方程为34120x y +-=,则与l 平行,且过点—1,3的直线方程是______答：3490x y +-=；3两条直线40ax y +-=与20x y --=相交于第一象限,则实数a 的取值范围是____答：12a -<<；4设,,a b c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长,则直线sin 0A x ay c ++=与sin sin 0bx B y C -+=的位置关系是____答：垂直；5已知点111(,)P x y 是直线:(,)0l f x y =上一点,222(,)P x y 是直线l 外一点,则方程1122(,)(,)(,)f x y f x y f x y ++＝0所表示的直线与l 的关系是____答：平行；6直线l 过点１,０,且被两平行直线360x y +-=和330x y ++=所截得的线段长为9,则直线l 的方程是________答：43401x y x +-==和7、特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：1当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,互相平行；2当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直．8、对称中心对称和轴对称问题——代入法：如1已知点(,)M a b 与点N x轴对称,点P 与点N y 轴对称,点Q 与点P 直线0x y +=对称,则点Q 的坐标为_______答：(,)b a ；3点Ａ４,５直线l 的对称点为Ｂ－2,7,则l 的方程是_________答：3y=3x ＋；4已知一束光线通过点Ａ－３,５,经直线l :3x －4y+4=0反射.如果反射光线通过点Ｂ２,15,则反射光线所在直线的方程是_________答：18x 510y -=＋；5已知ΔABC 顶点A3,－１,ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y －59=0,∠B 的平分线所在的方程为x －4y+10=0,求ＢＣ边所在的直线方程答：29650x y +-=；6直线2x ―y ―4=0上有一点Ｐ,它与两定点Ａ4,－1、Ｂ3,4的距离之差最大,则Ｐ的坐标是______答：5,6；7已知A x ∈轴,:B l y x ∈=,C2,1,ABC 周长的最小值为______答：提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解.9.1直线过定点.如直线3m+4x+5-2my+7m-6=0,不论m 取何值恒过定点-1,22直线系方程1与已知直线Ax+By+C=0平行的直线的设法: Ax+By+m=0 m ≠C2 与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线的设法:Bx-Ay+m=03经过直线1l ∶1A x+1B y+1C =0,2l ∶2A x+2B y+2C =0交点的直线设法：1A x+1B y+1C +λ2A x+2B y+2C =0λ为参数,不包括2l3对称 1点点对称中点坐标公式2线点对称转化为点点对称,或代入法,两条直线平行3点线对称点和对称点的连线被线垂直平分,中点在对称轴上、kk’=-1二个方程4线线对称求交点,转化为点线对称10、圆的方程：⑴圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=.⑵圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>,特别提醒：只有当22D E 4F 0＋－>时,方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22D E --,半径为的圆二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是什么 0,A C =≠且0B =且2240D E AF +->；⑶圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+θ为参数,其中圆心为(,)a b ,半径为r .圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0x r y r r θθ→==≤≤.⑷()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=如1圆C 与圆22(1)1x y -+=直线y x =-对称,则圆C 的方程为____________答：22(1)1x y ++=；2圆心在直线32=-y x 上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________答：9)3()3(22=-+-y x 或1)1()1(22=++-y x ；3已知(P -是圆{cos sin x r y r θθ==θ为参数,02)θπ≤<上的点,则圆的普通方程为________,P 点对应的θ值为_______,过P 点的圆的切线方程是___________答：224x y +＝；23π；40x -+=；4如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x-4y=0平分,且不过第四象限,那么l 的斜率的取值范围是____答：0,2；5方程x 2+y ２－x+y+k=0表示一个圆,则实数k 的取值范围为____答：21<k ；6若{3cos {(,)|3sin x M x y y θθ===θ为参数,0)}θπ<<,{}b x y y x N +==|),(,若φ≠N M ,则b 的取值范围是_________答：(－11、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>,1点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->；2点M 在圆C 内⇔ ()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<；3点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=.如点P5a+1,12a 在圆x －１２＋y 2=1的内部,则a 的取值范围是______答：131||<a12、直线与圆的位置关系：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-= ()0r >有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断：1代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况：0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；2几何方法比较圆心到直线的距离与半径的大小：设圆心到直线的距离为d ,则d r <⇔相交；d r >⇔相离；d r =⇔相切.提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷.如1圆12222=+y x 与直线sin 10(,2x y R πθθθ+-=∈≠k π+,)k z ∈的位置关系为____答：相离；2若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(1,2)P -,则ab 的值____答：2；3直线20x y +=被曲线2262x y x y +--150-=所截得的弦长等于答：4一束光线从点A －1,1出发经x 轴反射到圆C:x-22+y-32=1上的最短路程是答：4；5已知(,)(0)M a b ab ≠是圆222:O x y r +=内一点,现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线2:l ax by r +=,则A ．//m l ,且l 与圆相交 B ．l m ⊥,且l 与圆相交C ．//m l ,且l 与圆相离D ．l m ⊥,且l 与圆相离答：C ；6已知圆C ：22(1)5x y +-=,直线L ：10mx y m -+-=.①求证：对m R ∈,直线L 与圆C总有两个不同的交点；②设L 与圆C 交于A 、B 两点,若AB =求L 的倾斜角；③求直线L 中,截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. 答：②60或120 ③最长：1y =,最短：1x =13、圆与圆的位置关系用两圆的圆心距与半径之间的关系判断：已知两圆的圆心分别为12O O ，,半径分别为12,r r ,则1当1212|O O r r |>+时,两圆外离；2当1212|O O r r |=+时,两圆外切；3当121212<|O O r r r r -|<+时,两圆相交；4当1212|O O |r r |=|-时,两圆内切；5当12120|O O |r r ≤|<|-时,两圆内含.如双曲线22221x y a b-=的左焦点为F 1,顶点为A 1、A 2,P 是双曲线右支上任意一点,则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为答：内切14、圆的切线与弦长：1切线：①过圆222x y R +=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200xx yy R +=,过圆222()()x a y b R -+-=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200()()()()x a x a y a y a R --+--=,一般地,如何求圆的切线方程抓住圆心到直线的距离等于半径；②从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条件,运用几何方法抓住圆心到直线的距离等于半径来求；③过两切点的直线即“切点弦”方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆,该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆220x y Dx Ey F ++++=222()()x a y b R -+-=外一点00(,)P x y 所引圆的切线的长为如设A 为圆1)1(22=+-y x 上动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则P 点的轨迹方程为__________答：22(1)2x y -+=；2弦长问题：①圆的弦长的计算：垂径定理常用弦心距d ,半弦长12a及圆的半径r 所构成的直角三角形来解：2221()2r d a =+；②过两圆1:(,)0C f x y =、2:(,)0C g x y =交点的圆公共弦系为(,)(,)0f x y g x y λ+=,当1λ=-时,方程(,)(,)0f x y g x y λ+=为两圆公共弦所在直线方程..15.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等16. 圆的切线和圆系方程1．过圆上一点的切线方程：圆222r y x =+,圆上一点为00,y x ,则过此点的切线方程为0x x+ 0y y= 2r 课本命题．圆222r y x =+,圆外一点为00,y x ,则过此点的两条切线与圆相切,切点弦方程为200r y y x x =+.2．圆系方程：①设圆C1∶011122=++++F y E x D y x 和圆C2∶022222=++++F y E x D y x ．若两圆相交,则过交点的圆系方程为11122F y E x D y x +++++λ22222F y E x D y x ++++=0λ为参数,圆系中不包括圆C2,λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程．②设圆C ∶022=++++F Ey Dx y x 与直线l ：Ax+By+C=0,若直线与圆相交,则过交点的圆系方程为F Ey Dx y x ++++22+λAx+By+C=0λ为参数．例题 1经过点P 2,m 和Q 2m ,5的直线的斜率等于12,则m 的值是 BA ．4B ．3C ．1或3D ．1或4变：的取值范围的斜率的直线求经过点 )1,cos (),sin ,2( k l B A θθ--2. 已知直线l 过P －1,2,且与以A －2,－3、B3,0为端点的线段相交,求直线l 的斜率的取值范围．点评：要用运动的观点,研究斜率与倾斜角之间的关系答案： ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪5,＋∞ 3.已知坐标平面内三点A (－1，1)，B (1，1)，C (2，3＋1)，若D 为△ABC 的边AB 上一动CD 斜率k 的变化范围．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪5,＋∞ 1.求a 为何值时,直线l 1：a ＋2x ＋1－ay －1＝0与直线l 2：a －1x ＋2a ＋3y ＋2＝0互相垂直答案：a=-12.求过点P 1,－1,且与直线l 2：2x ＋3y ＋1＝0垂直的直线方程．答案：3x －2y －5＝0.例2.求过定点P 2,3且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．例3.已知△ABC 的顶点A 1,－1,线段BC 的中点为D 3,23．1求BC 边上的中线所在直线的方程；2若边BC 所在直线在两坐标轴上的截距和是9,求BC 所在直线的方程．例4.方程m 2－2m －3x ＋2m 2＋m －1y ＝2m －6满足下列条件,请根据条件分别确定实数m 的值．1方程能够表示一条直线；答案：m 1-≠2方程表示一条斜率为－1的直线．答案：m 2-=例5.直线l 的方程为a －2y ＝3a －1x －1a ∈R ．1求证：直线l 必过定点；答案：15,352若直线l 在两坐标轴上的截距相等,求l 的方程；答案：5x ＋5y －4＝0 3若直线l 不过第二象限,求实数a 的取值范围．答案：分斜率存在与不存在例1：求点A-2,3到直线 l :3x+4y+3=0的距离 d= . 例2：已知点a,2到直线l: x-y+1=0的距离为2,则a= . a ＜0例3:求直线 y=2x+3直线l : y=x+1对称的直线方程.类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．变式1：求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且被直线0=y 平分的圆的标准方程. 变式2：求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆上所有的点均直线0=y 对称的圆的标准方程.类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例4 已知圆422=+y x O ：,求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上,∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y根据r d =∴21422=++-k k .解得43=k ,所以()4243+-=x y ,即01043=+-y x 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．类型三：弦长、弧问题例7、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长. 例8、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得,弦心距3=d ,故弦长2222=-=d r AB ,从而△OAB 是等边三角形,故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB . 例9、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例10、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ,判断此直线与已知圆的位置关系.类型五：圆与圆的位置关系例13、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系,例14：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有条. 类型六：圆中的最值问题例15：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是例16 1已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：,),(y x P 为圆O 上的动点,求22y x d +=的最大、最小值．2已知圆1)2(222=++y x O ：,),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值,求y x 2-的最大、最小值．例17：已知)0,2(-A ,)0,2(B ,点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动,则22PB PA +的最小值是 . 解：设),(y x P ,则828)(2)2()2(222222222+=++=+-+++=+OP y x y x y x PB PA .设圆心为)4,3(C ,则325min =-=-=r OC OP ,∴22PB PA +的最小值为268322=+⨯.。

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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。

解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。

【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。

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