陕西省高中数学必修四(北师大版)第一章学案正弦函数的图象和性质

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高中数学第一章三角函数1.5正弦函数的图像与性质学案北师大版必修4

1.5 正弦函数的图像与性质知识梳理1。

任意角的正弦函数（1）单位圆：圆心在原点O，半径等于1的圆称为单位圆.（2)定义如图1-4—1所示,单位圆与角α的终边交于P点.设P(a，b）,则P点纵坐标b是角α的函数,称为正弦函数，记为b=sinα（α∈R）。

通常用x、y表示自变量和因变量，将正弦函数表示为y=sinx（x∈R).图1—4-1（3)正弦线如图1—4-1所示,过点P作x轴的垂线PM，垂足为M.单位圆中的有向线段MP叫做角α的正弦线。

当角α的终边在x轴上时,M与P重合，此时正弦线变成一个点.（4)正弦线所表示的正弦值可如下确定：正弦线的方向是表示正弦值的符号，同y轴一致，向上为正,向下为负；正弦线的长度是正弦值的绝对值.(5)正弦函数定义的推广如图1—4—2所示，设P（x，y）是α的终边上任意一点,图1-4—2P 到原点的距离|OP|＝r ，有r=22y x ，则sinα＝ry 。

对于每一个确定的角α，总有唯一确定的正弦值与之对应，所以这个对应法则是以角α为自变量的函数，叫做正弦函数。

正弦函数值与点P 在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小。

2.周期函数一般地，对于函数y=f （x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f （x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周期.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如没特别指明,一般都是指它的最小正周期. 3.任意角的正弦值的符号(1）图形表示：各象限正弦函数符号,如图1—4—3所示.图1-4-3（2）表格表示.α的终边 sinα x 非负半轴 0 第一象限+y非负半轴+第二象限+x非正半轴0第三象限—y非正半轴-第四象限—4.正弦函数的图像和性质(1)图像：如图1-4-4所示.图1—4—4（2)性质.函数性质y=sinx 定义域R值域［-1,1］当x=2kπ+2π（k∈Z）时，y取最大值1;当x=2kπ-2π（k∈Z)时,y取最小值-1周期2π奇偶性奇函数单调性增区间［—2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z）减区间［—2π+2kπ,23π+2kπ］（k∈Z)5。

北师大版高中数学必修四陕西省西安第一章正弦函数的性质教案

第二课时正弦函数的性质教学思路【创设情境，揭示课题】同学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗？在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y ＝sinx 在R 上图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质？【探究新知】让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题：正弦函数的定义域是什么？正弦函数的值域是什么？它的最值情况如何？它的正负值区间如何分？ ƒ(x)＝0的解集是多少？师生一起归纳得出：定义域：y=sinx 的定义域为R值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1（有界性）再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以y ＝sinx 的值域为[-1，1]3．最值：1︒对于y ＝sinx 当且仅当x ＝2k π＋2π,k ∈Z 时 ymax ＝1当且仅当时x ＝2k π－2π, k ∈Z 时 ymin ＝－12︒当2k π＜x ＜(2k+1)π (k ∈Z)时 y ＝sinx ＞0 当(2k-1)π＜x ＜2k π (k ∈Z)时 y ＝sinx ＜04．周期性：（观察图象） 1︒正弦函数的图象是有规律不断重复出现的； 2︒规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现） 3︒这个规律由诱导公式sin(2k π＋x)＝sinx 也可以说明结论：y ＝sinx 的最小正周期为2π 5.奇偶性sin(－x)＝－sinx (x ∈R)是奇函数 6．单调性增区间为[－2π＋2k π， 2π＋2k π]（k ∈Z ），其值从－1增至1；减区间为[2π＋2k π， 23π＋2k π]（k ∈Z ），其值从1减至－1。

【巩固深化，发展思维】例题讲评例1．利用五点法画出函数y＝sinx－1的简图，根据函数图像和解析式讨论它的性质。

解：（略，见教材P26）2．课堂练习教材P27的练习1、2、3二、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

北师大版高中数学必修四第一章正弦曲线学案

1.4.1正弦函数图像预习案阅读课本P30，回答下列问题1、什么是正弦函数？指出其定义域.2、对一个新的函数，一般是先画出它的图象，再借助图像研究它的性质，那么作函数图像常用的方法是_____________，其步骤为（1）_____________（2）_____________（3）______________.3、试画出=sin [0, 2]y x x π∈，的图像（1）列表（3）连线1.4.1正弦函数图像学案学习目标1.能用描点法做出函数=sin R y x x ∈，图像，明确图像的形状；2.能用五点法作正弦函数=sin [0, 2]y x x π∈，的简图学习重难点重点：能用五点法作正弦函数的简图，明确图像的形状；难点：能用描点法得到=sin [0, 2]y x x π∈，的图像重难点探究：探究1：如何得到x y sin =在[]ππ4,2，[]0,2π-上的图象，进而得到R x x y ∈=,sin 的图象？2ππ 1∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 257435110 6323663236ππππππππππ探究2：观察函数=sin [0, 2]y x x π∈，的图象，起关键作用的点有哪几个？如何快速的画出=sin [0, 2]y x x π∈，的简图？拓展提升：画出函数[]π2,0,sin 1∈+=x x y 的简图归纳总结：课堂检测：30 222ππππ 1-1画出函数[]-sin ,0,2y x x π=∈的简图21∙∙∙∙ ∙ ∙∙∙∙∙ 30222ππππ30 222ππππ1-1∙∙∙∙∙。

北师大版高中数学高一必修4学案第一章5.2正弦函数的性质

5．2 正弦函数的性质预习课本P28～30，思考并完成以下问题 1．正弦函数取得最大值时x 的值是什么？2．正弦函数的单调区间是什么？3．怎样判断正弦函数是奇函数？[新知初探]正弦函数的性质函数 y ＝sin x 定义域 R 值域 [－1,1] 周期性最小正周期为2π最值当x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝1当x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－1单调性在每一个闭区间⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2上是增加的，在 ⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π上是减少的，k ∈Z 奇偶性奇函数[点睛] (1)利用正弦函数的周期性，可把正弦函数在一个周期内的性质，延拓到整个定义域上，这为研究函数的性质提供了很大的方便．(2)单调区间⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)表示的是一个个区间，即…，⎣⎡⎦⎤－π2，π2，⎣⎡⎦⎤3π2，5π2，…，而不表示成…∪⎣⎡⎦⎤－π2，π2∪⎣⎡⎦⎤3π2，5π2∪….要特别与集合表示⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π，k ∈Z 区别开来．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝2－sin x 的最小正周期为2π( ) (2)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2为奇函数( ) (3)当且仅当x ＝－π2时，y ＝3－sin x 取最大值( )答案：(1)√ (2)√ (3)×2．函数y ＝sin x 的一条对称轴是( )A ．x ＝π2B ．x ＝π4C ．x ＝0D ．x ＝π解析：选A 由图像知正弦函数的对称轴为x ＝π2＋k π(k ∈Z)．3．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π解析：选C 通过观察y ＝|sin x |的图像可得． 4．函数y ＝1－2sin x 的最大值为________．解析：当且仅当sin x ＝－1时，y max ＝3. 答案：3正弦函数的定义域、值域问题[典例] (1)求函数y ＝2sin x ＋3的定义域． (2)求下列函数的值域． ①y ＝－2sin x ＋1；②y ＝sin xsin x ＋2；③y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2.[解] (1)要使函数有意义，只需2sin x ＋3≥0，即sin x ≥－32.如图所示，在区间⎣⎡⎦⎤－π2，3π2上，适合条件的x 的取值范围是－π3≤x ≤4π3.所以该函数的定义域是⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋4π3，k ∈Z. (2)①[直接法]∵－1≤sin x ≤1，∴－2≤－2sin x ≤2. －1≤－2sin x ＋1≤3，即－1≤y ≤3， ∴值域为[－1,3]． ②[反解法]原式可化为y sin x ＋2y ＝sin x ， ∴sin x ·(y －1)＝－2y ，∴sin x ＝2y1－y，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y1－y≤1.解得－1≤y ≤13，故函数y ＝sin xsin x ＋2的值域为⎣⎡⎦⎤－1，13. ③[换元法]y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －542＋98. ∵－1≤sin x ≤1，∴y min ＝－2×(－1)2＋5×(－1)－2＝－9， y max ＝－2×12＋5×1－2＝1.故函数y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2的值域是[－9,1]．(1)求定义域时，常利用数形结合，根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集．注意灵活选择一个周期的图像．(2)与正弦函数有关的值域求法常见的有直接法、反解法、换元法． [活学活用]1．函数f (x )＝ln(1－2sin x )的定义域为____________．解析：要使函数有意义只需1－2sin x ＞0，即sin x ＜22. 在区间⎣⎡⎦⎤π2，5π2上，适合条件的x 的取值范围是3π4＜x ＜9π4. 所以该函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋3π4＜x ＜2k π＋9π4，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋3π4＜x ＜2k π＋9π4，k ∈Z 2．求下列函数的值域．(1)y ＝sin 2x －sin x ；(2)y ＝|sin x |＋sin x .解：(1)y ＝sin 2x －sin x ＝⎝⎛⎭⎫sin x －122－14. ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝12时，y 取最小值为－14；当sin x ＝－1时，y 取最大值为2. ∴y ＝sin 2x －sin x 的值域为⎣⎡⎦⎤－14，2. (2)当sin x ≥0时，|sin x |＝sin x ；当sin x ＜0时，|sin x |＝－sin x ，∴原式可化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x (sin x ≥0)，0(sin x ＜0).由－1≤sin x ≤1，可知0≤y ≤2， ∴函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域是[0,2].正弦函数的周期性与奇偶性问题[典例] (1)判断下列函数的奇偶性． ①f (x )＝x sin(π＋x )； ②f (x )＝2sin x －1.(2)求下列函数的最小正周期． ①f (x )＝sin 2x ； ②f (x )＝|sin x |.[解] (1)①f (x )＝－x sin x ，定义域为R. ∵f (－x )＝x sin(－x )＝－x sin x ＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．②由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，∴x ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z)．∴函数f (x )的定义域不关于原点对称， ∴f (x )为非奇非偶函数．(2)①∵sin 2(x ＋π)＝sin(2x ＋2π)＝sin 2x ， ∴f (x )＝sin 2x 的最小正周期为π. ②作出f (x )＝|sin x |的图像，观察知T ＝π.(1)判断与正弦函数有关的奇偶性问题时易忽视定义域关于原点对称这一前提条件． (2)有关正弦函数的最小正周期的求法：①定义法；②图像法． [活学活用]1．函数y ＝2sin 2x 的奇偶性为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇函数又偶函数D ．非奇非偶解析：选A f (－x )＝2sin(－2x )＝－2sin 2x ＝－f (x )． 2．函数y ＝12－sin 3x 的最小正周期为________．解析：利用定义或作出图像知T ＝2π3.答案：2π3正弦函数的单调性问题题点一：求单调区间1．求函数y ＝sin(－x )的单调递增区间．解：∵y ＝sin(－x )＝－sin x ，且函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上是增加的，在⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上是减少的，∴函数y ＝sin(－x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)．题点二：利用正弦函数单调性比较大小 2．比较大小：(1)sin4π7与sin 19π7； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－13π5与sin 19π5. 解：(1)∵sin 19π7＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋5π7＝sin 5π7， y ＝sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π上是减少的，且π2＜4π7＜5π7＜π， ∴sin 4π7＞sin 5π7.即sin 4π7＞sin 19π7.(2)∵sin ⎝⎛⎭⎫－13π5＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π＋3π5＝－sin 3π5 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π－2π5＝－sin 2π5， sin19π5＝sin ⎝⎛⎭⎫4π－π5＝－sin π5. 函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增加的，且0＜π5＜2π5＜π2，所以sin π5＜sin 2π5，－sin π5＞－sin 2π5.即sin ⎝⎛⎭⎫－13π5＜sin 19π5. 题点三：已知正弦函数的单调性求参数范围3．若函数y ＝sin x 在[0，a ]上为增函数，则a 的取值范围为________．解析：由函数y ＝sin x 的图像(图略)可知，函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上为增函数， ∴[0，a ]⊆⎣⎡⎦⎤0，π2，∴0＜a ≤π2.答案：⎝⎛⎦⎤0，π2(1)利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内．(2)已知正弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解．层级一学业水平达标1．M 和m 分别是函数y ＝13sin x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( )A.23 B ．－23C ．－43D ．－2解析：选D ∵M ＝y max ＝13－1＝－23，m ＝y min ＝－13－1＝－43，∴M ＋m ＝－23－43＝－2.2．下列函数是偶函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝－2sin xC ．y ＝1＋sin xD ．y ＝|sin x | 解析：选D 4个选项中，满足偶函数定义f (－x )＝f (x )的，只有选项D. 3．函数y ＝4sin x ＋3在[－π，π]上的单调递增区间为( )A. ⎣⎡⎦⎤－π，－π2 B. ⎣⎡⎦⎤－π2，π2 C. ⎣⎡⎦⎤－π，π2 D. ⎣⎡⎦⎤π2，π 解析：选B y ＝sin x 的单调递增区间就是y ＝4sin x ＋3的单调递增区间．故选B.4．函数y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫π6≤x ≤2π3的值域是( ) A ．[－1,1] B. ⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎣⎡⎦⎤12，32D.⎣⎡⎦⎤32，1 解析：选B 画出y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫π6≤x ≤2π3的图像，知其值域为⎣⎡⎦⎤12，1. 5．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°解析：选C ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，又sin 11°＜sin 12°＜sin 80°， ∴sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.6．若f (x )是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝sin x ，则f (x )的解析式是________．解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ，∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝－sin x ．故函数f (x )的解析式是f (x )＝sin|x |. 答案：f (x )＝sin|x |7．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间为________．解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π，得x ＋π∈⎣⎡⎦⎤π2，2π.令t ＝x ＋π，由函数y ＝sin t 在⎣⎡⎦⎤π2，2π上的图像，知其单调递增区间为⎣⎡⎦⎤3π2，2π，则3π2≤x ＋π≤2π，解得π2≤x ≤π. 答案：⎣⎡⎦⎤π2，π8．比较大小：sin 21π5________sin 42π5.解析：∵sin 21π5＝sin π5，sin 42π5＝sin 2π5，又0<π5<2π5<π2，y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增加的，∴sin 21π5<sin 42π5.答案：<9．求函数y ＝1－sin x2的单调递增区间．解：由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z.∴y ＝1－sin x2的单调递增区间为[4k π＋π，4k π＋3π](k ∈Z)．10．求函数y ＝3－2sin x 的最大值、最小值，并求出相应x 的集合．解：因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，y 有最大值5，相应x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y 有最小值1，相应x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋π2，k ∈Z . 层级二应试能力达标1．使函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为奇函数的φ的值可以是( ) A.π4 B.π2 C ．πD.3π2解析：选C 由函数f (x )是R 上的奇函数，知f (0)＝0，即sin(2×0＋φ)＝sin φ＝0，故φ ＝k π(k ∈Z)，故选C. 2．函数f (x )＝sin x －x 3x是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：选B 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数．3．已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |，x ∈R 为奇函数，则a 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．±1解析：选A 法一：易知y ＝sin x 在R 上为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝0.法二：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即sin(－x )－|a |＝－sin x ＋|a |，－sin x －|a |＝－sin x ＋|a |.∴|a |＝0，即a ＝0.4．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos α＞sin β，则α＋β与π2的大小关系是 ( ) A ．α＋β＞π2B ．α＋β＜π2C ．α＋β≥π2D ．α＋β≤π2解析：选B 由诱导公式得cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α.因为0＜α＜π2，所以0＜π2－α＜π2，又0＜β＜π2，cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＞sin β，且正弦函数y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增加的，所以π2－α＞β，即α＋β＜π2. 5．已知ω＞0，函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上单调递增，则ω的取值范围为________．解析：由－π2≤ωx ≤π2(ω＞0)，得－π2ω≤x ≤π2ω. 由题意⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω，∴⎩⎨⎧ －π3≥－π2ω，π4≤π2ω，∴0＜ω≤32. 答案：⎝⎛⎦⎤0，32 6．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________. 解析：f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1. 设g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (－x )＝－g (x )．又g (x )的定义域为R ，∴g (x )是奇函数，由奇函数图像的对称性，知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2.答案：27．分别求函数y ＝1－sin 2x ＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时x 的取值集合．解：y ＝1－sin 2x ＋4sin x＝－sin 2x ＋4sin x ＋1＝－(sin x －2)2＋5.∴当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝4，此时x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋π2，k ∈Z ；当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－4，此时x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π－π2，k ∈Z .8．已知a ＞0,0≤x ＜2π，若函数y ＝－sin 2x －a sin x ＋b ＋1的最大值为0，最小值为－4，试求a 与b 的值，并分别求出使y 取得最大值和最小值时x 的值．解：y ＝－⎝⎛⎭⎫sin x ＋a 22＋a 24＋b ＋1，－1≤sin x ≤1，a ＞0， ①若0＜a 2≤1，即0＜a ≤2，则当sin x ＝－a 2时，y max ＝a 24＋b ＋1＝0，当sin x ＝1时，y min ＝－⎝⎛⎭⎫1＋a 22＋a 24＋b ＋1＝－4， ∴a ＝2，b ＝－2.②若a 2＞1，即a ＞2， ∴当sin x ＝－1时，y max ＝－⎝⎛⎭⎫－1＋a 22＋a 24＋b ＋1＝0，当sin x ＝1时，y min ＝－⎝⎛⎭⎫1＋a 22＋a 24＋b ＋1＝－4， ∴a ＝2，b ＝－2，不合题意，舍去．综上，a ＝2，b ＝－2，当x ＝3π2时，y max ＝0；当x ＝π2时，y min ＝－4.。

高中数学北师大版必修四导学案：正弦函数的图像与性质导学案

正弦函数的图像与性质导学案问题1:如下图,设任意角α的终边与单位圆交于点P (a ,b ),过点P 作x 轴的垂线,垂足为M ,我们称 MP 为角α的 ,如果b>0,把MP 看作与y 轴 ,规定此时MP 具有正值b ;如果b<0,把MP 看作与y 轴反向,规定此时MP 具有负值b ,当角α的终边在x 轴上时,正弦线变成 .问题2:作正弦函数图像的一般方法 (1)描点法:列表,描点,连线.(2)几何法:几何法就是利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图像. (3)五点法:正弦函数y=sin x ,x ∈[0,2π]中,五个关键点为、、、、 . 问题3:根据曲线写出正弦函数的一些性质:问题4:《创设情境》中细沙在木板上形成的曲线是的曲线,可采用“五点法”作图画出该曲线的图像.1.y=sin x,x∈[π6,2π3]的值域为().A.[-1,1]B.[12,1]C.[12,32]D.[32,1]2.若sin x=2m+3,且x∈[-π6,π6],则m的取值范围为().A.[-1,1]B.[-5,-1]C.[-7,-5]D.[-7,1]3.用“五点法”作函数y=2+sin x,x∈[0,2π]的图像时的五个点分别是、、、、.4.观察正弦函数的图像,求满足sin x>0的x的取值范围.与正弦函数有关的函数的定义域求函数y=2sin x+1的定义域.与正弦函数有关的函数的值域求下列函数的值域.(1)y=(sin x-2)2+1;(2)y=m sin x+n(m≠0).正弦函数性质的运用求函数y=lo g 1sin x 的单调递增区间.求下列函数的定义域:(1)y=lg( 2sin x-1);(2)y= 2sin x +1+11−sin x.求f (x )=2sin 2x+2sin x-12,x ∈[-2π3,π3]的值域.求函数y=sin(-2x )的单调递增区间.1.点M (π4,m )在函数y=sin x 的图像上,则m 的值为( ). A .12B . 22C . 32D .12.函数y=sin x 的图像的一条对称轴方程可以是( ).A .x=-π6B .x=π6C .x=-π2D .x=π 3.函数y= 12+sin x 的定义域为 . 4.判断方程x+sin x=0的根的个数.函数y=sin 2x+sin x-1的值域为( ). A .[-1,1] B .[-5,-1] C .[-5,1] D .[-1,5] 考题变式(我来改编):第5课时正弦函数的图像与性质知识体系梳理问题1:有向线段正弦线同向一点问题2:(3)(0,0)(π2,1)(π,0)(3π2,-1)(2π,0)问题3:R[-1,1]2πx=π+2kπ(k∈Z)x=-π+2kπ(k∈Z)[-π+2kπ,π+2kπ](k∈Z)[π2+2kπ,3π2+2kπ](k∈Z)奇函数x=kπ+π2(kπ,0)问题4:正弦型函数基础学习交流1.B当x=π2时,y有最大值1,当x=π6时,y有最小值12.2.C∵x∈[-π,π],∴由y=sin x的图像可知y∈[-1,1],即-1≤2m+3≤1,解得-7≤m≤-5.故m的取值范围为[-7,-5].3.(0,2)(π2,3)(π,2)(3π2,1)(2π,2)4.解:如图,观察正弦曲线可得{x|2kπ<x<2kπ+π,k∈Z}.重点难点探究探究一:【解析】由题意知2sin x+1≥0,即sin x≥-12.在一周期[-π2,3π2]内满足的角为x∈[-π6,76π],由此可以得到函数的定义域为[2kπ-π6,2kπ+76π](k∈Z).【小结】此题等价于求解不等式sin x≥-1,注意数形结合,利用图像、正弦线可以快速、准确地得到答案.探究二:【解析】(1)设t=sin x,则有y=(t-2)2+1,t∈[-1,1],∴当t=-1时,y=(t-2)2+1取得最大值10;当t=1时,y=(t-2)2+1取得最小值2,∴y=(sin x-2)2+1的值域为[2,10].(2)∵sin x∈[-1,1],且m≠0,∴当m>0时,y=m sin x+n的值域是[n-m,n+m];当m<0时,y=m sin x+n的值域是[n+m,n-m].综上可知,函数y=m sin x+n的值域是[n-|m|,n+|m|].【小结】本题用到换元法,先设t=sin x,得出t的取值范围,从而将问题转化为我们熟悉的一、二次函数的值域问题.探究三:【解析】令u=sin x,则y=lo g12u,∵12∈(0,1),∴y=lo g 12u 是关于u 的减函数, 故只需求u=sin x 的单调递减区间即可,而u=sin x 的单调递减区间为{x|2k π+π2≤x ≤2k π+3π2,k ∈Z},∴y=lo g 1sin x 的单调递增区间为[2k π+π,2k π+3π](k ∈Z). [问题]sin x 可以小于等于0吗?[结论]sin x 不可以小于等于0,因为它是对数函数的真数,故sin x>0. 于是,正确解答如下: 令u=sin x ,则y=lo g 1u ,∵12∈(0,1),∴y=lo g 12u 是关于u 的减函数, 故只需求u=sin x 大于0的减区间即可,而u=sin x 的减区间为{x|2k π+π<x ≤2k π+π,k ∈Z}, ∴y=lo g 12sin x 的单调递增区间为[2k π+π2,2k π+π)(k ∈Z), 【小结】解决此题的关键是理解并掌握对数函数和正弦函数的性质.对于复合函数的单调性问题,注意“同增异减”.同时,注意对数函数的真数大于0. 思维拓展应用应用一:(1)由 2sin x-1>0,得sin x> 22. 作如图正弦曲线y=sin x 与直线y= 22, 可知所求定义域为(2k π+π,2k π+3π)(k ∈Z).(2)由 2sin x +1≥0,sin x ≠1,得 -12≤sin x<1,作如图正弦曲线 y=sin x 与直线y=-12,可知所求定义域为[2k π-π6,2k π+π2)∪(2k π+π2,2k π+7π6](k ∈Z).应用二:令t=sin x ,则f (t )=2(t+12)2-1, 又x ∈[-2π3,π3],∴t ∈[-1, 32],∴f(t)max=f(32)=1+,f(t)min=f(-12)=-1,∴f(x)=2sin2x+2sin x-12的值域是[-1,1+3].应用三:∵y=sin(-2x)=-sin2x,∴只需求sin2x的单调递减区间即可,即2kπ+π2≤2x≤2kπ+3π2(k∈Z),即kπ+π≤x≤kπ+3π(k∈Z),∴y=sin(-2x)的单调递增区间为[kπ+π4,kπ+3π4](k∈Z).基础智能检测1.B将(π4,m)代入y=sin x中,得m=sinπ4=22.2.C函数y=sin x图像的对称轴方程为x=kπ+π2(k∈Z).3.{x|2kπ-π6≤x≤2kπ+7π6,k∈Z}由12+sin x≥0得sin x≥-12,由正弦函数图像得{x|2kπ-π6≤x≤2kπ+7π6,k∈Z}.4.解:设f(x)=-x,g(x)=sin x,在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图像,由图知f(x)和g(x)的图像仅有一个交点,即方程x+sin x=0仅有一个根.全新视角拓展C y=sin2x+sin x-1=(sin x+1)2-5,∵-1≤sin x≤1,∴-5≤y≤1.思维导图构建五点法(kπ,0)(k∈Z)x=kπ+π(k∈Z)[-1,1][-π+2kπ,π+2kπ](k∈Z)[π2+2kπ,3π2+2kπ](k∈Z)奇函数。

高中数学北师大版必修4第1章5《正弦函数的性质》word导学案

陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》5正弦函数的性质导学案北师大版必修4【学习目标】1.会利用正弦函数的图像进一步研究和理解正弦函数的性质.2.能够灵活的应用正弦函数的性质解决相关问题.3.经历用正弦函数的图像研究正弦函数性质的过程，体会数形结合的思想.【重点难点】重点：正弦函数的性质及其应用.难点：应用正弦函数的性质解决相关问题.【使用说明】通过观察正弦函数的图像，总结正弦函数的性质，然后对照课本加以完善，最后通过小组讨论、合作探究进一步加深对正弦函数性质的理解.【自主学习】【合作探究】1. 利用五点法画出函数x y sin 1+=的简图，并根据图像讨论它的性质.2. 求下列函数的定义域：（1）1sin 1-=x y ；（2）1sin 2+=x y .3. 正弦函数的图像有对称轴吗？有对称中心吗？如果有，请写出对称轴方程及对称中心的坐标；如果没有，请说明理由.【课堂检测】1. 函数x y sin 3=，当],[ππ-∈x 时，在区间_______________上是增加的，在区间 ____________上是减少的；当=x ________时，y 取最大值______；当=x ______时，y 取最小值______.2. 与右图中曲线对应的函数是（）A. |sin |x y =B. ||sin x y =C. ||sin x y -=D. |sin |x y -=3. 求函数x y sin 21-=的单调增区间，并判断其奇偶性.【课堂小结】【课后训练】2. 函数x y sin 2-=的定义域为_______________.3. 讨论函数x y sin 211-=的性质.（定义域、值域、周期性、单调性和奇偶性）。

陕西省西安市高中数学第一章《正弦函数的性质》教案2 北师大版必修4

§4.4 正弦函数的性质〔2课时〕教学目标：知识与技能〔1〕进一步熟悉单位圆中的正弦线；〔2〕理解正弦诱导公式的推导过程；〔3〕掌握正弦诱导公式的运用；〔4〕能了解诱导公式之间的关系，能相互推导；〔5〕理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大〔小〕值、单调性、奇偶性；〔6〕能熟练运用正弦函数的性质解题。

过程与方法通过正弦线表示α,－α,π－α,π＋α,2π－α,从而体会各正弦线之间的关系；或从正弦函数的图像中找出α,－α,π－α,π＋α,2π－α，让学生从中发现正弦函数的诱导公式；通过正弦函数在R 上的图像，让学生探索出正弦函数的性质；讲解例题，总结方法，巩固练习。

情感态度与价值观通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾〞是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重、难点重点: 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。

难点: 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。

三、学法与教学用具在上一节课的基础上，运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系，引发学生探索出正弦函数的诱导公式；通过例题和练习掌握诱导公式在解题中的作用；在正弦函数的图像中，直观判断出正弦函数的性质，并能上升到理性认识；理解掌握正弦函数的性质；以学生的自主学习和合作探究式学习为主。

教学用具:投影机、三角板第一课时正弦函数诱导公式一、教学思路[创设情境，揭示课题]在上一节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数定义，以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即sin(2k π＋α)＝sin α (k ∈Z)，这一公式表达了求任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的正弦函数值。

如果还能把0°～360°间的角转化为锐角的正弦函数，那么任意角的正弦函数就可以查表求出。

这就是我们这一节课要解决的问题。

陕西省柞水中学高一数学必修四第一章学案正弦函数的图象和性质

【训练案1】正弦函数的图象和性质班级姓名组号编写人：王松涛1.sin α= 3－m ，则m 的取值范围是（）A ．416≤≤mB ．016≤≤mC ．m = 16或m = 4D ．04≤≤m2.函数y = ｜sin x ｜的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π3.已知sin α =－23，2π<α<23π，则角α等于（）A ．π34B ．π34或π43C ．π45D ．π354.函数y = sin x ，x ∈（π65-，6π）的值域是（）A ．（0，6π）B ．［－1，23) C ．（－1，21） D ．(－1，21)5.在［0，2π］上满足sin x ≥21的x 的取值范围是（）A ．［0，6π］ B ．［6π，65π］ C ．［6π，32π］ D ．［65π，π］6.函数y = sin x －|sin x|的值域是（）A ．｛0｝B ．［－2，2］C ．［0，2］D ．［－2,0］7、用五点法作2sin 2y x =的图象，首先应描的五点的横坐标可以是（）A.30,,,,222ππππ B. 30,,,,424ππππC. 0,,2,3,4ππππD. 20,,,,6323ππππ8、1sin ，2.1sin ，5.1sin 的大小关系是（）A ．5.1sin 2.1sin 1sinB ．2.1sin 5.1sin 1sinC ．1sin 2.1sin 5.1sin D.5.1sin 1sin 2.1sin9、已知函数5y=2sin x,x ,22ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．4πD ．2π10、方程5cos x-=lg x 2π（）的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10、函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=32,6,sin ππx x y 的值域是( ) A ．[]1,1- B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21 11、.函数y=sin x 的图像的一条对称轴方程可以是( ).A .x=-B .x=C .x=-D .x=π12、求下列函数的值域：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=43,3,1sin sin 2ππx x x y。

高中数学必修4北师大版正弦函数的性质与图像学案1

§5 正弦函数的性质与图像1．正弦线及五点法 (1)正弦线设任意角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，我们称线段MP 为角α的正弦线．(2)五点法用“五点法”作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像的五个点是______、______、______、______、______.它们是正弦曲线与x 轴的交点和函数取最大值、最小值时的点．预习交流1用“五点法”作y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像应注意哪些问题？ R [－1,1]当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝－π＋2k π(k ∈Z )时，y ＝－1正弦曲线是中心对称图形，其对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z )；正弦曲线是轴对称图形，其对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z )．预习交流2(1)用五点法作函数y ＝－sin x 的图像时，首先应描出的五点的横坐标是______________________．(2)函数y ＝11＋sin x 的定义域是__________；函数y ＝－3sin x ＋1的值域是______，单调递减区间是______．答案：1．(2)(0,0) ⎝⎛⎭⎫π2，1 (π，0) ⎝⎛⎭⎫3π2，－1 (2π，0) 预习交流1：提示：(1)明确正弦曲线的结构特征．由于用“五点法”作图时精确度较差，因此画图之前要做到心中有图，明确正弦曲线的变化趋势和规律．(2)弄清五个关键点的意义．其中，平衡点是正弦曲线凹凸方向改变的位置．最高点和最低点是正弦曲线上升或下降变化趋势改变的位置． (3)熟练画图的步骤．首先选取正弦函数的一个周期[0,2π]，再将其四等分，确定五个关键点的位置，最后用平滑曲线连接．预习交流2：(1)0，π2，π，3π2，2π(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠3π2＋2k π，k ∈Z [－2,4] ⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )1．正弦函数的图像(1)从函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图像来看，对应于sin x ＝12的x 有( )．A ．1个值B ．2个值C ．3个值D ．4个值(2)用“五点法”作函数y ＝－1＋sin x (x ∈[0,2π])的简图．1．正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图像的一条对称轴是( )． A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线x ＝π2D ．直线x ＝π2．用“五点法”作出y ＝2sin x ，x ∈[0,2π]的简图．作函数y ＝a sin x ＋b 的图像的步骤2．正弦函数的定义域问题求函数y ＝log 21sin x－1的定义域．思路分析：由于所求函数的定义域的解析式中含有根号，又含有对数，须保证被开方数大于等于0，且真数大于0，解答本题时可采用不等式组的形式由里向外把使函数有意义的式子罗列，然后求交集．求下列函数的定义域： (1)y ＝1－2sin x ； (2)y ＝log 2sin x ； (3)y ＝log 122sin x －1.求函数的定义域通常是解不等式组，在求解综合性强的含三角函数的复合函数的定义域时，则常利用数形结合，在函数图像或单位圆中表示，然后取各部分的公共部分(即交集)．3．正弦函数的值域、最值问题求下列函数的值域： (1)y ＝3－2sin 2x ；(2)y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，3π4.思路分析：对于(1)，直接利用y ＝sin x 的值域为[－1，1]分析求解；对于(2)，利用换元法，转化为二次函数的区间最值求解．求函数y ＝74＋sin x －sin 2x (x ∈R )的值域．求正弦函数的最值或值域的常用方法是：①利用sin x 的有界性，即|sin x |≤1；②利用换元法转化为二次函数的区间最值问题； ③化为sin x ＝f (y )的形式，通过|f (y )|≤1求解． 4．正弦函数的单调性及应用利用正弦函数的单调性，比较下列各对正弦值的大小． (1)sin 190°与sin 200°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－π10与sin ⎝⎛⎭⎫－π11； (3)sin15π8与sin 10π9. 思路分析：解答本题的关键是对函数解析式恰当化简，利用y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增加的来判断函数值的大小．不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零． (1)sin 135°－sin 144°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－π18－sin ⎝⎛⎭⎫－π10； (3)sin ⎝⎛⎭⎫－23π5－sin ⎝⎛⎭⎫－17π4.1.对正弦函数单调性的理解：(1)正弦函数在定义域R 上不是单调函数．(2)因为正弦函数是周期函数，周期为2π，所以研究正弦函数的单调性，只要研究一个周期内(如[0,2π])的单调性即可．2．利用单调性比较三角函数值的大小的步骤： (1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上． (3)利用函数的单调性比较大小．3．求函数的单调区间时，要充分利用正弦函数的递增、递减区间．在求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性． 5．三角函数的奇偶性问题判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x sin(π＋x )；(2)f (x )＝2sin x －1；(3)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．思路分析：解答本题要注意以下两个关键问题：(1)先判断定义域是否关于原点对称．(2)。

陕西省西安市高中数学第一章《正弦函数》教案1 北师大版必修4

陕西省西安市高中数学第一章《正弦函数》教案1 北师大版必修4教学目标：知识与技能（1）回忆锐角的正弦函数定义；（2）熟练运用锐角正弦函数的性质；（3）理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义；（4）掌握任意角的正弦函数的定义；（5）理解有向线段的概念；（6）了解正弦函数图像的画法；（7）掌握五点作图法，并会用此方法画出[0，2π]上的正弦曲线。

过程与方法初中所学的正弦函数，是通过直角三角形中给出定义的；由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆；利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法，在第二节课的正弦函数图像，以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，巩固练习。

情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学重、难点重点: 1.任意角的正弦函数定义，以及正弦函数值的几何表示。

2.正弦函数图像的画法。

难点: 1.正弦函数值的几何表示。

2.利用正弦线画出y ＝sinx ，x ∈[0， 2π]的图像。

三、学法与教学用具在初中，我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦，当把锐角放在直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标，当是任意角时，通过函数定义的形式引出正弦函数的定义；作正弦函数y ＝sinx 图像时，在正弦函数定义的基础上，通过平移正弦线得出其图像，再归结为五点作图法。

教学用具:投影机、三角板第一课时 §4.1 锐角的正弦函数 §4.2 任意角的正弦函数一、教学思路【创设情境，揭示课题】我们学习角的概念的推广和弧度制，就是为了学习三角函数。

【北师大版】高中数学必修4第一章：1.5.1正弦函数的图像教学设计

【北师大版】高中数学必修四正弦函数的图像教学设计教学设计一、教材分析《正弦函数的图像与性质》是数学必修四（北师大版）第一章三角函数第五节部分内容，其主要内容是正弦函数的图像与性质。

过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学过三角函数线，在此基础上来学习正弦函数的图像与性质，为今后余弦函数、正切函数的图像与性质、函数的图像的研究打好基础。

因此，本节的学习有着极其重要的地位。

本节共分两个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出x y sin =，[]π2,0∈x 的图像，考察图像的特点，介绍“五点作图法”，再利用图像研究正弦函数的主要性质（定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性）二、设计思想教法分析（1）教学模式：建构式教学法本节课应用这种教学模式的具体操作程序是：创设问题情景——小组协作探索——猜想尝试整理——动手画图验证——知识巩固应用——方法归纳整合。

这种教学模式的特点是：学生在一定的情境背景（已具备函数基础知识和三角函数线知识）下，借助老师和学习伙伴的帮助，利用必要的学习资料等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和首创精神，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构的目的（即在学习过程中帮助学生很好地掌握正弦函数的图像的画法，并对与正弦函数有关的图像平移变换和对称变换达到较深刻的理解）。

（2）教学手段：利用计算机多媒体辅助教学为了给学生认识理解“正弦函数的图像”提供更加形像、直观、清晰的材料，我准备利用电脑动画模拟演示利用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图像的过程。

运用多媒体教学手段使问题变得形像直观，易于突破难点，借以帮助学生完成对所学知识的过程建构学法分析引导学生认真观察“正弦函数的几何作图法”教学课件的演示，指导学生进行分组讨论交流，促进学生知识体系的建构和数学思想方法的形成，注意面向全体学生，培养学生勇于探索、勤于思考的精神，提高学生合作学习和数学交流的能力。

高中数学第一章三角函数 1.5 正弦函数的图像与性质

§5 正弦函数的图像与性质1．了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法．(重点)2．掌握“五点法”画正弦曲线的方法和步骤，能用“五点法”作出简单的正弦曲线．(难点)3．能用正弦函数的图像理解和记忆正弦函数的性质．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 “五点法”作正弦函数的图像阅读教材P 25～P 27“例1”以上部分，完成下列问题．在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像上，起着关键作用的有五个关键点：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．描出这五个点后，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线顺次将它们连接起来，就得到这个函数的简图．我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”．如图1－5－1.图1－5－1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin x 在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同．( ) (2)函数y ＝sin x 的图像介于直线y ＝－1和y ＝1之间．( ) (3)函数y ＝sin x 的图像关于x 轴对称．( ) (4)函数y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点．( )【解析】由函数y ＝sin x 的图像可知，y ＝sin x 的图像不关于x 轴对称，与y 轴只有一个交点，且图像介于直线y ＝－1和y ＝1之间，在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，而位置不同．【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 教材整理2 正弦函数的性质阅读教材P 28～P 29“例2”以上部分，完成下列问题．性质定义域 R 值域[－1,1]最大值与最小值当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝2k π＋3π2(k ∈Z )时，y min ＝－1周期性周期函数，T ＝2π单调性在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是增加的；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )上是减少的奇偶性奇函数对称性图像关于原点对称，对称中心(k π，0)，k ∈Z ；对称轴x ＝k π＋π2，k ∈Z判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数y ＝sin x 的定义域为R .( ) (2)正弦函数y ＝sin x 是单调增函数．( ) (3)正弦函数y ＝sin x 是周期函数．( )(4)正弦函数y ＝sin x 的最大值为1，最小值是－1.( )【解析】由正弦函数性质知，(1)(3)(4)均正确，对于(2)，正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是单调增函数，在R 上不具有单调性．【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]五点法作图用“五点法”画出函数y ＝3－sin x (x ∈[0,2π])的图像．【精彩点拨】借助于五点作图法按下列次序完成：列表―→描点―→连线成图【自主解答】 (1)列表，如下表所示：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝3－sin x32343(2)描点，连线，如图所示：1．解答本题的关键是要抓住五个关键点．使函数中x 取0，π2，π，3π2，2π，然后相应求出y 值，再作出图像．2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，作图过程中要注重整体代换思想的运用，特别是在取值、描点上，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持平滑，注意凸凹方向．[再练一题]1．作出函数y ＝－1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的简图．【解】按五个关键点列表：x0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 －1＋2sin x－11－1－3－1利用正弦函数的性质描点连线作图，如图：与正弦函数有关的定义域问题求下列函数的定义域． (1)y ＝1－2sin 2x ； (2)y ＝log 21sin x－1. 【精彩点拨】先根据条件，求出sin x 的取值范围，再借助于单位圆或正弦线或正弦函数的图像解决．【自主解答】 (1)为使函数有意义，需满足1－2sin 2x ≥0，即sin 2x ≤12，解得－22≤sin x ≤22，结合单位圆可知，－π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π或3π4＋2k π≤x ≤5π4＋2k π(k ∈Z )．∴原函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )．(2)为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0.正弦函数和单位圆如图所示：∴定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π<x ≤2k π＋π6，k ∈Z ∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z.1．求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行．在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域时，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成．2．求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后，要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都要保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．[再练一题]2．求函数y ＝ 2 sin x ＋3的定义域.【导学号：66470014】【解】要使函数有意义，只需2 sin x ＋3≥0. 即sin x ≥－32，如图所示，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2上，适合条件的x 的取值范围是－π3≤x ≤4π3.所以该函数的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋4π3(k ∈Z )．正弦函数的周期性与奇偶性求下列函数的周期，并判断其奇偶性．(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R )．【精彩点拨】 (1)利用代换z ＝2x ＋π3，将求原来函数的周期转化为求y ＝sin z 的周期求解，或利用公式求解．(2)作出函数图像观察求解．【自主解答】 (1)法一：令z ＝2x ＋π3，∵x ∈R ，∴z ∈R ，函数y ＝sin z 的最小正周期是2π，就是说变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数y ＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得，而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，从而函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的周期是π. 法二：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3中，ω＝2，∴T ＝2π|2|＝π.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3≠s in ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3≠－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3是非奇非偶函数． (2)作出y ＝|sin x |的图像如图：由图像可知，y＝|sin x|的周期为π.其图像关于y轴对称，∴y＝|sin x|是偶函数．1．利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x”增加到“x＋T”，函数值重复出现，T是函数的一个周期这一理论依据．2．常见三角函数周期的求法(1)对于形如函数y＝A sin(ωx＋φ)，ω≠0的周期求法，通常用定义T＝2π|ω|来求解；(2)对于形如y＝|A sin ωx|的周期情况，常结合图像法来解决．[再练一题]3．求下列函数的周期，并判断其奇偶性．(1)f(x)＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x2－π6；(2)f(x)＝|sin 2x|.【解】(1)在f(x)＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x2－π6中，∵ω＝12，∴T＝2π12＝4π.又f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，∴f(x)＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x2－π6是非奇非偶函数．(2)作出f(x)＝|sin 2x|的图像如图：由图知，y＝|sin 2x|的周期为π2，又其图像关于y轴对称，因而是偶函数．正弦函数的单调性(1)①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π5与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π4； ②sin 1，sin 2，sin 3，sin 4(由大到小排列)．(2)求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递增区间．【精彩点拨】 (1)将所给角通过诱导公式化到同一单调区间内，然后利用y ＝sin x 的单调性比较大小．(2)将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 视为z ，利用y ＝sin z 的单调性求解．【自主解答】 (1)①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π5＝－sin 2π5，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π4＝－sin π4，sin 2π5>sin π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π5<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π4.②因为sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)，且0<π－3<π－2<π2.函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增加的，所以sin(π－2)>sin 1>sin(π－3)>0，即sin2>sin 1>sin 3>sin 4.(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.由2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得2k π＋23π≤x ≤2k π＋53π，k ∈Z .所以原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋23π，2k π＋53π，k ∈Z .1．比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式，把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较．2．比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±β后，再依据单调性进行比较．3．当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较． 4．在求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间求原函数的单调区间．[再练一题]4．比较sin 215π与sin 42π5的大小．【解】 ∵sin 21π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π5＝sin π5，sin 42π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫8π＋2π5＝sin 2π5.∵0<π5<2π5<π2.又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增．∴sin π5<sin 2π5，即sin 21π5<sin 42π5.[探究共研型]与正弦函数有关的值域问题探究1 【提示】求解函数值域时首先应看函数的定义域，在函数定义域内来求值域．探究2 对于y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 型的函数怎样求值域？【提示】利用换元法转化为二次函数求最值．求下列函数的值域． (1)y ＝3－2 sin x ；(2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54.【精彩点拨】 (1)利用|sin x |≤1即可求解． (2)配方求解，要注意|sin x |≤1这一情况．【自主解答】 (1)∵－1≤sin x ≤1， ∴－1≤－sin x ≤1， 1≤3－2 sin x ≤5，∴函数y ＝3－2 sin x 的值域为[1,5]． (2)令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1，y ＝－t 2＋3t ＋54＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋2， ∴当t ＝32时，y max ＝2.此时sin x ＝32，即x ＝2k π＋π3或x ＝2k π＋2π3，k ∈Z . 当t ＝－1时，y min ＝14－ 3.此时sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .∴函数y ＝－sin 2x ＋ 3 sin x ＋54的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－3，2.此类求复合函数最大值、最小值问题关键在于依据函数值的计算过程，把原函数转化为两个基本初等函数的最大(小)值问题．解答过程要特别注意：内函数(本例中t ＝sin x )的值域恰好是外函数⎝⎛⎭⎪⎫本例中y ＝－t 2＋3t ＋54的定义域．[再练一题]5．求函数y ＝sin 2x －4 sin x －1的值域．【解】 y ＝sin 2x －4 sin x －1 ＝(sin x －2)2－5.由－1≤sin x ≤1，得当sin x ＝－1时函数的最大值为4，当sin x ＝1时，函数的最小值为－4，所以函数的值域为[－4,4] .[构建·体系]1．正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像上的一条对称轴是( )【导学号：66470015】A ．y 轴B ．x 轴C ．直线x ＝π2D ．直线x ＝π【解析】结合函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像可知直线x ＝π2是函数的一条对称轴．【答案】 C2．函数f (x )＝3＋sin x 的最小正周期是( )A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π【解析】由3＋sin(2π＋x )＝3＋sin x 知f (x )的最小正周期为2π.【答案】 D3．f (x )＝－2 sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值为________．【解析】 f (x )＝－2 sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减少的，所以f (x )max ＝－2·sin π4＝－ 2. 【答案】－ 24．函数f (x )＝sin 2x ＋1的奇偶性是________．【解析】 f (－x )＝[sin(－x )]2＋1＝sin 2x ＋1＝f (x )，所以f (x )为偶函数．【答案】偶函数5．比较下列各组数的大小．(1)sin 2 016°和cos 160°；(2)sin 74和cos 53. 【解】 (1)sin 2 016°＝sin(360°×5＋216°)＝sin 216°＝sin(180°＋36°)＝－sin 36°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.∵sin 36°<sin 70°，∴－sin 36°>－sin 70°，即sin 2 016°>cos 160°.(2)cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，又π2<34<π2＋53<3π2， y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减少的， ∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53，即sin 74>cos 53.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。

陕西省柞水中学高一数学必修四(北师大)第一章学案正弦函数的图象和性质

数学-北师大版-高中-必修4-第1章-第5节正弦函数的图像与性质(第1课时)

的终边
P
M1 x
2. 正弦函数的图像及作法
方法一：描点法
(1) 列表 y sin x, x 0,2
x
0
6
3
2 5
2
3
6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
y0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0
(2) 描点
y
1-
-
(3) 连线
0
2
1 -
3 2
2
x
2. 正弦函数的图像及作法方法二：几何法
正弦函数 y sin x 在R上的图像叫做正弦曲线.
y
1
2 3
2
2
o -1
2
3 2 5 3 7 4
222源自x3.用“五点法”作正弦函数的简图
y
（，1）
2
五个关键点
1-
（，0）（2，0）
-1
o
-
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
（0，0） -1-
（3 ， 1）
2
4. 例题与练习
3 2
2
10
1 0
21
0
1
y
y 1 sin x, x [0,2 ]
21-
o
2
3
2
2
x
1-
y sin x, x [0,2 ]
练习1.P28（1）
例2.画出函数 y sin x , x R 的简图.

高中数学必修四(北师大版)第一章学案正弦函数的图像

409【导学案】5.1正弦函数的图像班级姓名组号编写人：王松涛审核人：【学习目标】1、学习从不同角度观察、研究问题；2、体会正弦函数的周期性在画y＝sinx图像过程中的应用；3、理解利用单位圆画正弦函数的图像，会用五点法画函数y = sinx，x∈的图象。

【学习重点】用五点法绘制正弦函数图象【学习难点】利用单位圆画正弦函数图像【思想方法】能从图形观察、分析得出结论，体会数形结合的思想方法【知识链接】1、想一想正弦函数在单位圆中的定义：2、写出正弦函数的最小正周期：【学习过程】一、预习自学（把握基础）阅读课本第25～28页“练习”以上部分的内容，紧抓五点法作图的规律1、复习：正弦函数是一个周期函数，最小正周期是____，所以，关键就在于画出________上的正弦函数的图像。

2、预习：（1）正弦函数xy sin=，Rx∈的图像叫做（2）五点作图法：在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图。

我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法”，这五个关键点是：_________________________ ，描出这五个点后，函数y=sinx，x 的图像的形状就基本上确定了。

（3）几何法是什么？两种作图哪个更方便？二、合作探究（巩固深化，发展思维）例1．用“五点法”画出下列函数在区间上的简图。

（1）y=3sinx （2）y ＝－sinx例2.用五点法作出函数y ＝1＋sinx ，的图像，结合周期性研究它的增区间、取得最小值时自变量的集合。

三、达标检测（相信自我，收获成功）1.y ＝1＋sinx,的图像与直线y=23的交点个数为 2、画出下列函数y=2+sinx 在的图象（1）y=2+sinx （2）y=sinx-13、试写出函数y=-2sinx 的递减区间和取得最大值时相应自变量取值的集合。

【课外强化】函数sin y x x =-的部分图像是（ )四、学习体会1、知识方法:2、我的疑惑：。

高中数学必修四正弦图象和性质学案

必修四第一章基本初等函数（Ⅱ）制作人：班级姓名OyxOyxyxO -1 1 1.3.1(1)(2)学习目标：会用“五点法”作正弦函数的图象;理解并掌握正弦函数的性质并熟练应用. 重点：正弦函数的图象和性质，正弦函数性质的应用难点：利用正弦线画正弦函数图象预习案阅读理解：1. 研究三角函数的图象和性质时，我们采用弧度制来度量角，正弦函数是怎么表示的，定义域是多少？2. 在图中作出下列各角的正弦线.(1)3π;(2)43π;(3)67π;(4)35π.阅读课本37页，利用单位圆中的正弦线,如何作出函数x y sin =,[π2,0∈x 的图象?3. 如何作出函数x y sin =,R x ∈的图象?4. 如何利用“五点法”做出正弦函数的简图？5. 用“五点法”作函数[]π2,0,sin 2∈+=x x y 的图象，思考与函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象的位置关系如何?BAyxO -11OyxOyx6. 根据正弦函数作图过程及正弦函数定义，能得到正弦函数的哪些性质？7. 周期函数是如何定义的？函数),(,)(R x c c x f ∈=为常数是否为周期函数?有没有最小正周期?8. 函数),0,0)(sin(R x A x A y ∈>≠+=ωϕω其中的周期是多少？预习自测：1. 用五点法分别作下列函数在[]ππ2,2-上的图象,并与函数[]ππ2,2,sin -∈=x x y 的图象比较,说明它们之间的关系.(1)x y sin -= (2))sin(x y -=2. 下列等式成立吗？（1）3sin 2=x （2）5.0sin 2=x3. 观察x y sin =的图象，回答下列问题：（1）当x 从23π-变到π-时，x sin 的值增加还是减少？是正的还是负的？（2）对应于6π=x ，x sin 有多少个值？（3）对应于21sin =x ，x 有多少个值？写出x 的值？观察单位圆中的正弦线，是否也能解答上面三个问题？4. 等式()0030sin 12030sin =+是否成立？能否说明0120是正弦函数的周期？5. 求下列函数的周期:(1)x y 3sin = (2) 4sin3x y = (3))62sin(2π-=x y6. 判定下列函数的奇偶性:(1)sin 2y x =- (2)|sin |y x =探究案1. (1)设,,4sin 2R x m x ∈-=求m 的取值范围(2)已知)0(sin ≠+=a b x a y 的最大值为5,最小值为1,求a,b 的值2. 求下列函数的最值及取得最值时自变量x 的集合. (1)3sin 2x y +-= (2)2)23(sin 2--=x y(3)x y sin 2-= (4)45sin 3sin 2++-=x x y3.比较下列各组数的大小：（1）4sin π和32sinπ （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-16sin π和⎪⎭⎫⎝⎛-10sin π（3）1sin ，2sin ，3sin4.求下列函数的单调区间(1);,sin 1R x x y ∈-= (2) ;,2sin R x x y ∈= (3)R x xy ∈=,2sin .5.求下列函数的定义域：（1）xy sin 11+= （2）3sin 2-=x y知识方法体系重建1.正弦函数)(,sin R x x y ∈=的图象和性质.函数 )(,sin R x x y ∈=图象性质定义域 ∈x .值域∈y . 当x= 时,=max y ;当x= 时,=min y .周期性最小正周期: T= . 奇偶性单调性单调增区间: 单调减区间: 对称性对称轴: 对称点:2.周期函数的定义Oy x。

陕西省西安市高中数学第一章正弦函数教案2 北师大版必修4

第二课时 §4.3正弦函数y ＝sinx 的图像一、教学思路【创设情境，揭示课题】三角函数是一种重要的函数，从第一节我们就知道在实际生活中，有许多地方用到三角函数。

今天我们来学正弦函数y ＝sinx 的图像的做法。

在前一节，我们知道正弦函数是一个周期函数，最小正周期是2π，所以，关键就在于画出[0，2π]上的正弦函数的图像。

请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的？作函数图像的三步骤：列表，描点，连线。

【探究新知】正弦函数线MP 下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示．如右图所示，角α的终边与单位圆交于点P （x ，y ），提出问题 ①线段MP 的长度可以用什么来表示?②能用这个长度表示正弦函数的值吗?如果不能，你能否设计一种方法加以解决?引出有向线段的概念．有向线段：当α的终边不在坐标轴上时，可以把MPy ＞0时，把MP 看作与y 轴同向(一、二象限时MP 从M 到P 点的运动过程．让学生看清后定位，y ＜0时，把MP 看作与y轴反向(演示角α终边在三、四象限时MP 学生看清后定位，运动的方向表明与y 轴反向)．师生归纳：①MP 是从P →M 。

②不论哪种情况，都有MP ＝y ．③依正弦定义，有做α的正弦线．(投影仪出示反馈练习) 当α为特殊角，即终边在坐标轴上时，找出其正弦线。

演示运动过程，让学生清楚认识到：当α终边在x 轴上时，正弦线变为一个点，即 sin α＝0。

2．作图的步骤边作边讲（几何画法）y=sinx x ∈[0,2π]作单位圆，把⊙O 十二等分（当然分得越细，图像越精确）十二等分后得对应于0,6π, 3π,2π,…2π等角，并作出相应的正弦线，将x 轴上从0到2π一段分成12等份(2π≈6.28)，若变动比例，今后图像将相应“变形” （6）由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x ∈[2k π，2(k+1)π] （k ∈Z ，k ≠0）与函数y=sinx x ∈[0,2π]图像相同，只是位置不同——每次向左（右）平移2π单位长。

陕西省高中数学必修四(北师大版)第一章学案 正弦函数的图象和性质

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