2020-2021学年高二数学单元测试卷必修5模块检测卷(能力提升)

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2021年高中数学模块能力检测卷(B)新人教版必修5

2021年高中数学模块能力检测卷（B）新人教版必修5一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝83，则S△ABC等于( )A．32 3 B．16C．323或16 D．323或163答案D解析由正弦定理asin A ＝bsin B，得sin B＝b sin Aa＝83×128＝32.∴B＝60°或120°.从而知C＝90°或C＝30°.∴S△ABC＝12ab sin C＝12×8×83sin90°＝323，或S△ABC＝12ab sin C＝12×8×83sin30°＝16 3.2．若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( ) A．△A1B1C1是△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1是△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形答案 D解析本题使用特殊值法．方法一设△A2B2C2三内角为120°，30°，30°，△A1B1C1三内角为60°，60°，60°，则sin120°＝cos60°.方法二 △A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，若△A 2B 2C 2是锐角三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sinπ2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sinπ2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1B 2＝π2－B 1，则A 2＋B 2＋C 2＝π2.C 2＝π2－C1所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＝15－a 5，则S 9等于( ) A ．60 B ．45 C ．36 D ．18答案 B解析 a 2＋a 8＝2a 5＝15－a 5，∴a 5＝5，S 9＝9a 5＝45. 4．数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于( ) A.23 B.12 C ．0 D ．－12答案 B 解析 ∵{1a n ＋1}是等差数列，∴1a 3＋1＋1a 11＋1＝2a 7＋1. 又a 3＝2，a 7＝1，∴代入后可解得a 11＝12.5．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14B.12C.18 D ．1答案 A 解析2a 1＋a 22a 3＋a 4＝2a 1＋a 1q 2a 1q 2＋a 1q 3＝2＋q 2q 2＋q 3＝1q 2＝14或2a 1＋a 22a 3＋a 4＝2a 1＋a 22a 1q 2＋a 2q 2＝1q 2＝14.6．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( ) A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2n D ．3n－1答案 C 解析 ∵a n ＝2·qn －1，∴a n ＋1＝2qn －1＋1.∵{a n ＋1}是等比数列，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2q n ＋12q n －1＋1＝q 2q n ＋12q n＋q为常数，仅当q ＝1时，符合题意； ∴S n ＝2n ，当q ≠1时a n ＋1＋1a n ＋1不为常数．故答案为C.7．若a >b >0，则下列不等式总成立的是( ) A.b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b>b ＋1aD.2a ＋b a ＋2b >a b答案 C解析由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a.8．下列各式：①a 2＋1>2a ，②|x ＋1x |≥2，③a ＋b ab ≤2，④x 2＋1x 2＋1≥1.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 ∵|x ＋1x |＝|x |＋1|x |≥2，且x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥1， ∴②④正确．9．设集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，B ＝{x |(x －k )(x －k －1)<0}，若A ∩B ＝∅，则k 的取值范围是( )A ．{k |k <－3或k >1}B ．{k |－2<k <2}C ．{k |k <－2或k >2}D ．{k |－3≤k ≤1}答案 C解析 A ＝{x |x 2－x －6>0}＝{x |x <－2或x >3}，B ＝{x |k <x <k ＋1}，若A ∩B ≠∅，则k ＋1>3或k <－2. 10．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3.则目标函数z ＝4x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．11C ．12D ．14答案 B解析只需画出线性规划区域，如下图．可知，z ＝4x ＋y 在A (2,3)处取得最大值11.11．(xx·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4答案 D解析由题意可设a ＝b ＋1，c ＝b －1.又∵3b ＝20a ·cos A ，∴3b ＝20(b ＋1)·b 2＋b －12－b ＋122b b －1，整理得，7b 2－27b －40＝0，解得b ＝5，故a ＝6，b ＝5，c＝4，即sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.12．(xx·新课标)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3 690B ．3 660C ．1 845D ．1 830答案 D解析 ∵a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝115－a 1.∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 3)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋...＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60) ＝10＋26＋42＋ (234)15×10＋2342＝1 830.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n 2＋n ＋1，则此数列的通项a n ＝________.答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5n ＝1，6n －2 n ≥2解析 n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n －2，上式中n ＝1时，a 1＝6×1－2＝4，而S 1＝5，∵a 1≠S 1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5n ＝1，6n －2n ≥2.14．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三边，且3a 2＋3b 2－3c 2＋2ab ＝0，则tan C ＝________. 答案－2 2解析 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－13，∴C >90°，sin C ＝223，∴tan C ＝sin Ccos C＝－2 2. 15．观察下面的数阵，则第20行最左边的数是________．1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25… … … … … …答案 362解析由题得每一行数字个数分别为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝5，…，a n ＝2n －1，它们成等差数列，则前19行总共有19a 1＋a n2＝191＋372＝361个数，因此第20行最左边的数为362. 16．(xx·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是________．答案 [10,30]解析设矩形另一边长为y ，如图所示.x 40＝40－y40，则x ＝40－y ，y ＝40－x .由xy ≥300，即x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，若△ABC 面积为32，c ＝2，A ＝60°，求a 、b 及角C 的值．解析因为S ＝12bc sin A ＝32，所以12b ·2sin60°＝32，得b ＝1.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以a 2＝12＋22－2×1×2cos60°＝3，则a ＝ 3. 又由正弦定理a sin A ＝csin C，得 sin C ＝c sin Aa＝2×323＝1，∴C ＝90°.18．(12分)山顶上有一座电视塔，在塔顶B 处测得地面上一点A 的俯角α＝60°，在塔底C 处测得A 点的俯角β＝45°，已知塔高为60 m ，求山高．(精确到1 m)解析如图所示，在△ABC 中，由正弦定理，得BCsin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ⇒60sin15°＝ACsin30°⇒AC ＝30sin15°＝60cos15°2sin15°cos15°＝60cos15°sin30°＝120cos15°.在△ADC 中，CD ＝AC ·sin∠CAD ＝120×cos15°×sin45°≈82(m)．19．(12分)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，S n 是14与(a n ＋1)2的等比中项．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)若b n ＝a n2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .(1)证明由S n 是14与(a n ＋1)2的等比中项，得S n ＝14(a n ＋1)2.当n ＝1时，a 1＝14(a 1＋1)2，∴a 1＝1.当n ≥2时，S n －1＝14(a n －1＋1)2，∴a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1)，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.∵a n >0，∴a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2. ∴数列{a n }是等差数列．(2)解析数列{a n }首项a 1＝1，公差d ＝2，通项公式为a n ＝2n －1. 则b n ＝2n －12n ，则T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n .① 两边同乘以12，得12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1.②①－②，得12T n ＝2×(12＋122＋123＋…＋12n )－2n －12n ＋1－12＝2×121－1n 1－12－2n －12n ＋1－12＝32－2n ＋32n ＋1，解得T n ＝3－2n ＋32n . 20．(12分)若a ≠0，解关于x 的不等式：x ＋2<a (2x＋1)．解析原不等式可化为x ＋2x －ax<0⇔(x ＋2)x (x －a )<0，(1)当a ≤－2时，解集为(－∞，－a )∪(－2,0)； (2)当－2<a <0时，解集为(－∞，－2)∪(a,0)； (3)当a >0时，解集为(－∞，－2)∪(0，a )．21．(12分)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解析设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6.此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)． ∵7>0，∴当x ＝4，y ＝6时z 取得最大值．所以，投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：{1S n}是等差数列；(2)求a n 的表达式；(3)若b n ＝2(1－n )a n (n ≥2)，求证：b 22＋b 23＋…＋b 2n <1. (1)证明当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，又a n ＋2S n ·S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n ·S n －1＝0. 若S n ＝0，则a 1＝S 1＝0与a 1＝12矛盾．故S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2.又1S 1＝2，所以{1S n}是首项为2，公差为2的等差数列．(2)解析由(1)得1S n＝2＋(n －1)·2＝2n ，故S n ＝12n(n ∈N ＋)．当n ≥2时，a n ＝－2S n ·S n －1＝－2·12n ·12n －1＝－12nn －1；当n ＝1时，a 1＝12.所以a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n ≥2.(3)证明当n ≥2时，b n ＝2(1－n )·a n ＝2(1－n )·12n 1－n ＝1n.b 22＋b 23＋…＋b 2n ＝122＋132＋…＋1n 2<11×2＋12×3＋…＋1n －1n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n) ＝1－1n<1.23904 5D60 嵠eY21503 53FF 叿35875 8C23 谣31326 7A5E 穞30879 789F 碟 .23458 5BA2 客29624 73B8 玸w38916 9804 頄WK。

2020_2021学年高中数学模块综合测评新人教A版必修5

模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－1，2)，则a ＋b 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．－2C [由已知得－b a＝－1＋2，2a＝－1×2，a <0，解得a ＝－1，b ＝1，故a ＋b ＝0，故选C.]2．已知一个等差数列{a n }的第8，9，10项分别为b －1，b ＋1，2b ＋3，则通项a n 等于( ) A ．2n －5 B ．2n －9 C ．2n －13D ．2n －17D [依题意得2(b ＋1)＝b －1＋2b ＋3，解得b ＝0，∴d ＝2，a 8＝－1，a n ＝a 8＋(n －8)d ＝－1＋(n －8)×2＝2n －17.]3．在△ABC 中，已知sin A cos B ＝sin C ＝cos C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形C [由sin A cos B ＝sin C 及正、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ，可得b 2＋c 2＝a 2，即A＝90°，由sin C ＝cos C 得C ＝45°.故△ABC 为等腰直角三角形．]4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝450，则a 4＋a 8的值为( ) A ．45 B ．75 C ．180D ．300C [a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝(a 4＋a 8)＋(a 5＋a 7)＋a 6＝5a 6＝450，∴a 6＝90. ∴a 4＋a 8＝2a 6＝2×90＝180.] 5．下列不等式中，恒成立的是( ) A ．x ＋1x≥2(x ≠0)B ．x 2－2x －3>0 C ．2x 2－x ＋2x 2－x ＋1>1D ．log 12(x 2＋1)≥0C [当x <0时，x ＋1x≥2不成立；当－1≤x ≤3时，不等式x 2－2x －3>0不成立；因为x2＋1≥1，则log 12(x 2＋1)≤log 121＝0，故D 项不成立；由于x 2－x ＋1>0，不等式等价于2x 2－x＋2>x 2－x ＋1，即x 2＋1>0，故C 项正确．]6．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C ．92D ．5C [∵2y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a ，又∵a >0，b >0，∴2y ≥5＋24a b ·b a＝9，∴y min ＝92，当且仅当b ＝2a 时“＝”成立．]7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B ＝( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4C [因为c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ，所以c －b c －a ＝ac ＋b，即(c －b )·(c ＋b )＝a (c －a )，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.]8．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( )A ．1210 B ．129 C ．110D ．15D [当n ≥2时，由已知得1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，∴2＝a n a n －1＋a n a n ＋1，∴2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，又∵a 1＝2，a 2＝1，∴1a 1＝12，1a 2＝1，d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a n ＝n 2，∴a n ＝2n ，∴a 10＝210＝15.]9．若关于x 的不等式x 2＋ax －a －2>0和2x 2＋2(2a ＋1)x ＋4a 2＋1>0的解集依次为A 和B ，那么，使得A ＝R 和B ＝R 至少有一个成立的实常数a ( )A ．可以是R 中的任何一个数B ．有无穷多个，但并不是R 中所有的实数都能满足要求C ．有且仅有一个D ．不存在B [若A ＝R ，则Δ1＝a 2＋4(a ＋2)<0成立，显然是不可能的，即这样的a ∈∅；若B ＝R ，则Δ2＝4(2a ＋1)2－8(4a 2＋1)<0成立，即(2a －1)2>0，因而存在无穷多个实常数a ，当a ＝12时，上述不等式不成立，从而选B.]10．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≤1x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1[答案] B11．若直线ax ＋2by －2＝0(a ，b ∈R ＋)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋22D [∵直线平分圆， ∴直线过圆心(2，1)，即2a ＋2b －2＝0，a ＋b ＝1，1a ＋2b ＝a ＋b a ＋2a ＋2b b ＝3＋b a ＋2ab≥3＋2 2.]12．如图所示，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，且货轮与灯塔S 相距20海里，货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(2＋6)海里/小时B ．20(6－2)海里 /小时C ．20(3＋6)海里/小时D ．20(6－3)海里/小时B [设货轮的速度为v 海里/小时，∠NMS ＝45°，∠MNS ＝105°，则∠MSN ＝30°，由MS ＝20，MN ＝v2，则v2sin 30°＝20sin 105°，v ＝20sin 105°＝20(6－2).]二、填空题(每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知x >1，y >1，且ln x ，1，ln y 成等差数列，则x ＋y 的最小值为． 2e [由已知ln x ＋ln y ＝2， ∴xy ＝e 2，x ＋y ≥2xy ＝2e.当且仅当x ＝y ＝e 时取“＝”，∴x ＋y 的最小值为2e.]14．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N ＋，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为．110 [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ＝16，S 20＝20a 1＋20×192d＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝162a 1＋19d ＝2，解得d ＝－2，a 1＝20.∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝200－90＝110.]15．在△ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →·AC →的值为． 2或－2 [∵S △ABC ＝12|AB →||AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ＝3，∴sin A ＝32.∴cos A ＝12或－12. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ， ∴AB →·AC →＝2或－2.]16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝吨．20 [设一年的总费用为y 万元，则y ＝4×400x ＋4x ＝1 600x＋4x ≥21 600x·4x ＝160.当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20时，等号成立．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在△ABC 中，cos A ＝－513，cos B ＝35.(1)求sin C 的值；(2)设BC ＝5，求△ABC 的面积．[解] (1)由cos A ＝－513，得sin A ＝1213，由cos B ＝35，得sin B ＝45.∴sin C ＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝1213×35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×45＝1665.(2)由正弦定理得AC ＝BC ·sin Bsin A ＝5×451213＝133.∴△ABC 的面积S ＝12·BC ·AC ·sin C ＝12×5×133×1665＝83.18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.[解] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.② 联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0，(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.所以b n ＝2n －1.(2)∵b 1＝1，T 3＝21，∴1＋q ＋q 2＝21. 解得q ＝4或q ＝－5.当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6；当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). [解] 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0. (1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a或x ≤－1；(3)当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a；②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a<－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a≤x ≤－1.综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a，＋∞.20．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cosB ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．[解] (1)由已知及正弦定理得， 2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A ) ＝sin C ，2cos C sin (A ＋B )＝sin C . 故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7.故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. ∴a ＋b ＝5.所以△ABC 的周长为5＋7.21．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2). (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2). 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n，∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n).又∵a 1－3＝2，∴a n －3n≠0，∴{a n －3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列， ∴a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n(n ∈N *).22．(本小题满分12分)某学校为了解决教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A (m 2)的宿舍楼．已知土地的征用费为2 388元/m 2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍．经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m 2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m 2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用．(总费用为建筑费用和征地费用之和)[解] 设楼高为n 层，总费用为y 元，则征地面积为2.5A n m 2，征地费用为5 970An元，楼层建筑费用为[445＋445＋(445＋30)＋(445＋30×2)＋…＋445＋30×(n －2)]·An＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15n ＋30n ＋400A 元，从而y ＝5 970A n ＋15nA ＋30A n ＋400A ＝(15n ＋6 000n ＋400)A ≥1 000A (元). 当且仅当15n ＝6 000n，即n ＝20(层)时，总费用y 最少．故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时，费用最少，最少总费用为1 000A 元．。

2020_2021学年高中数学模块综合评估测评含解析新人教A版必修5

模块综合评估时间：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知{a n }为等差数列，若a 3＋a 4＋a 8＝9，则S 9＝( B ) A ．24 B ．27 C ．15 D ．54解析：在等差数列中，由a 3＋a 4＋a 8＝9得3a 1＋12d ＝9，即a 1＋4d ＝a 5＝3，所以S 9＝9a 1＋a 92＝9×2a 52＝9×2×32＝27，故选B. 2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( D )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C.b a ＋a b >2D.b a<1解析：由1a <1b <0可知，b <a <0，所以ba>1，故选D.3．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin(A ＋B )＝13，a ＝3，c ＝4，则sin A ＝( B )A.23B.14C.34D.16解析：由sin(A ＋B )＝13得sin C ＝13，由正弦定理得sin A ＝a c sin C ＝34×13＝14，故选B.4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin2A ＝3a sin B ，且c ＝2b ，则a b等于( C )A.32B.43C. 2D. 3 解析：由2b sin2A ＝3a sin B ，得4sin B sin A cos A ＝3sin A sin B ，得cos A ＝34，因为c ＝2b ，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2，所以a b＝ 2.故选C.5．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ＋y －7≤0，x ≥1，则y x的最大值为( A )A ．6B ．3 C.95D ．1解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，A(1,6)，yx≤k OA＝6，故选A.6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样的一道题，大意是：把120个面包分成5份，使每份的面包个数成等差数列，且较多的3份之和恰好是较少的2份之和的7倍，则最少的那份面包个数为( C )A．4 B．3 C．2 D．1解析：设这5份面包的个数从小到大分别为a1，a2，…，a5，公差为d，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋a2＋…＋a5＝120，a3＋a4＋a5＝7a1＋a2，所以⎩⎪⎨⎪⎧5a3＝120，3a4＝7a1＋a2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d＝24，3a1＋3d＝72a1＋d，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝2，d＝11.7．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( A ) A.52B.72C.154D.152解析：本题考查一元二次不等式的解法．不等式x2－2ax－8a2<0的解集为(x1，x2)，则x1，x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两个根，所以x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.Δ＝4a2－4(－8a2)＝36a2>0.又x2－x1＝15，所以(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，即152＝(2a)2－4(－8a2)，整理得a2＝22536，因为a>0，所以a＝156＝52，选A.8．设首项为1，公比为23的等比数列{a n}的前n项和为S n，则( D ) A．S n＝2a n－1 B．S n＝3a n－2 C．S n＝4－3a n D．S n＝3－2a n解析：在等比数列中，a n＝a1q n－1＝⎝⎛⎭⎪⎫23n－1，Sn＝a1－qa n1－q＝1－23a n1－23＝3－2a n，故选D.9．已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上的一点，且AB→＋AC→＝AD→，则△ABC面积的最大值为( B)A ．3B ．4C ．3 3D ．4 3解析：由题设可知四边形ABDC 是平行四边形，由圆内接四边形的性质可知∠BAC ＝90°，且当AB ＝AC 时，四边形ABDC 的面积最大，此时△ABC 的面积最大，最大值为12AB ·AC ·sin90°＝12×(22)2＝4，故选B.10.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若2≤m ≤4，则目标函数z ＝y ＋mx 的最大值的变化范围是( D )A ．[1,3]B ．[4,6]C ．[4,9]D ．[5,9]解析：如图所示，画出不等式组所表示的平面区域，易知A (2,1)，B (1,2)，C (1，－1)，D ⎝⎛⎭⎪⎫52，－1，作直线l ：mx ＋y ＝0，m ∈[2,4]，将直线l 平移至l 1的位置，直线经过可行域上的A 点时，z 取得最大值，z max ＝2m ＋1∈[5,9]，故选D.11．设m ，n ，t 都是正数，则m ＋4n ，n ＋4t ，t ＋4m三个数( D )A ．都大于4B ．都小于4C ．至少有一个大于4D ．至少有一个不小于4解析：特值法：依题意，令m ＝n ＝t ＝2，则三个数为4,4,4，排除A ，B ，C.故选D. 12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则角B 的范围是( B )A ．0<B ≤π4 B ．0<B ≤π3 C.π3<B ≤π2 D.π2<B <π解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以b ＝a ＋c2≥ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a ＋c2－2ac －b22ac＝3b 2－2ac 2ac ＝3b 22ac －1≥3ac 2ac －1＝12，又0<B <π，所以0<B ≤π3，故选B.二、填空题(每小题5分，共20分)13．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝50.解析：因为{a n }为等比数列，所以由已知可得a 10a 11＝a 9a 12＝a 1a 20＝e 5，于是ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1a 2a 3…a 20)，而a 1a 2a 3…a 20＝(a 1a 20)10＝(e 5)10＝e 50，因此ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln e 50＝50.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为12.解析：由cos2A ＝sin A 可得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝－1(舍)或sin A ＝12，因为bc ＝2，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.15．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，kx －y －2k ＋1≥0k <0表示的区域的面积记为f (k )，则f (k )的最小值为4.解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，kx －y －2k ＋1≥0k <0表示的区域是一个直角三角形，如图所示．对于直线方程kx －y －2k ＋1＝0，令x ＝0，得y ＝1－2k ，令y ＝0，得x ＝2－1k，则区域的面积为f (k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k (1－2k )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k －4k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k －4k ＝4(k <0)．(当且仅当－1k ＝－4k 即k ＝－12时等号成立)16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 2n ＝n －a n ，a 2n ＋1＝a n ＋1，则S 100＝1_306. 解析：由题可得a 2n ＋a 2n ＋1＝n ＋1，令n ＝1,2,3，…，49，可得a 2＋a 3＝2，a 4＋a 5＝3，a 6＋a 7＝4，…，a 98＋a 99＝50，将以上49个等式相加可得a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋…＋a 98＋a 99＝2＋502×49＝1 274，因为a 100＝50－a 50＝25＋a 25＝25＋a 12＋1＝32－a 6＝29＋a 1＋1＝31，所以S 100＝1＋1 274＋31＝1 306.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(本小题10分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cosB ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解：(1)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45.因为a ＝2，b ＝4，所以2sin A ＝445，所以sin A＝25. (2)由S △ABC ＝12ac sin B ＝c ·45＝4，可解得c ＝5，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝4＋25－2×2×5×35＝17.所以b ＝17.18．(本小题12分)在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 4＋a 7＝9，a 3＋a 6＋a 9＝21. (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求数列{a n }的前9项和S 9；(3)若c n ＝2a n ＋3，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公差为d ，由a 1＋a 4＋a 7＝9，a 3＋a 6＋a 9＝21，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋9d ＝9，3a 1＋15d ＝21⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝3，a 1＋5d ＝7，解得a 1＝－3，d ＝2，所以a n ＝2n －5.(2)S 9＝9a 1＋36d ＝9(a 1＋4d )＝9×(－3＋4×2)＝45.(3)由(1)知c n ＝2a n ＋3＝22(n －1)＝4n －1，所以{c n }是首项c 1＝1，公比q ＝4的等比数列，所以T n ＝c 11－q n 1－q ＝4n－13.19．(本小题12分)(1)若两个正数s 和t 满足2s ＋t ＝3，求证：1s ＋8t≥6；(2)若实数p ，q ，r 满足p 2＋2q 2＋r 2＝4，证明：q (p ＋r )≤2.证明：(1)由题意得，1s ＋8t ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1s ＋8t (2s ＋t )＝13⎝⎛⎭⎪⎫10＋t s ＋16s t ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2t s ·16s t ＝6当且仅当t s ＝16s t ，即t ＝2，s ＝12时取等号． (2)因为p 2＋2q 2＋r 2＝4，故(p 2＋q 2)＋(q 2＋r 2)＝4，因为p 2＋q 2≥2pq ，当且仅当p ＝q 时等号成立，q 2＋r 2≥2qr ，当且仅当q ＝r 时等号成立，故(p 2＋q 2)＋(q 2＋r 2)＝4≥2pq ＋2qr ，故q (p ＋r )≤2(当且仅当p ＝q ＝r 时等号成立)．20．(本小题12分)如图，为对某失事客轮AB 进行有效援助，现在河岸MN 选择两处C 、D 用强光柱进行辅助照明，其中A 、B 、C 、D 在同一平面内．现测得CD 的长为100米，∠ADN＝105°，∠BDM ＝30°，∠ACN ＝45°，∠BCM ＝60°.(1)求△BCD 的面积； (2)求客轮AB 的长．解：(1)由题意得∠CBD ＝30°，∴BC ＝CD ＝100米，∠BCD ＝120°， ∴S △BCD ＝12CB ·CD ·sin∠BCD ＝12×100×100×32＝2 5003(平方米)．(2)由题意得∠ADC ＝75°，∠BDA ＝45°，∠CAD ＝60°，在△ACD 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝AD sin ∠ACD ，即100sin60°＝AD sin45°，∴AD ＝10036(米)，在△BCD 中，BD ＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝1002＋1002－2×100×100×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1003(米)，在△ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫100632＋10032－2×10063×1003×cos45°＝100153(米)．故客轮AB 的长为100153米．21．(本小题12分)已知数列{a n }是一个公差大于零的等差数列，且a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2b n －2.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)依题意，设等差数列{a n }的公差为d (d >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d a 1＋5d ＝55， ①2a 1＋7d ＝16， ②将②代入①得(16－3d )(16＋3d )＝220，即d 2＝4，∵d >0，∴d ＝2，a 1＝1.∴a n ＝2n －1.当n ＝1时，S 1＝2b 1－2，b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(2b n －2)－(2b n －1－2)＝2b n－2b n －1，∴b n ＝2b n －1.∴数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列，b n ＝2n.(2)∵c n ＝a n b n ＝2n －12n ，T n ＝12＋322＋…＋2n －12n ，③12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1，④③－④，得12T n ＝12＋222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1＝12＋12＋122＋…＋12n －1－2n －12n ＋1＝12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1， ∴T n ＝3－2n ＋32n .22．(本小题12分)已知f (x )＝x 2－abx ＋2a 2. (1)当b ＝3时，①若不等式f (x )≤0的解集为[1,2]时，求实数a 的值； ②求不等式f (x )<0的解集；(2)若f (2)>0在a ∈[1,2]上恒成立，求实数b 的取值范围．解：(1)f (x )＝x 2－3ax ＋2a 2.①由已知可得1,2是方程x2－3ax ＋2a 2＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝3a ，1×2＝2a 2，解得a ＝1.②因为x 2－3ax ＋2a 2<0，所以(x －a )(x －2a )<0.所以a >0时，此不等式解集为{x |a <x <2a }；a ＝0时，此不等式解集为空集；a <0时，此不等式解集为{x |2a <x <a }．(2)f (2)＝4－2ab ＋2a 2>0在a ∈[1,2]上恒成立，即b <a ＋2a在a ∈[1,2]上恒成立．又因为a ＋2a≥2a ·2a ＝22，当且仅当a ＝2a，即a ＝2时上式取等号．所以b <22，即实数b 的取值范围是(－∞，22)．。

2020-2021学年北师大版高中数学必修五模块测试卷及答案解析

（新课标）最新北师大版高中数学必修五必修五模块测试卷（150分，120分钟）一、选择题(每题5分，共60分）1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos 22A ＝ccb 2+，则△ABC 是( )A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形2.在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8等于( ) A.135 B.100 C.95 D.803.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3b －c)cos A ＝acos C ，则cos A 的值等于( ) A.23 B. 33 C. 43 D. 63 4.〈日照模拟〉已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t 25-⋅n －51，则实数t 的值为( ) A.4 B.5 C. 54 D. 515.某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是3 km ，那么x 的值为( )A.3B.23C.3或23D.3 6.设{a n }为各项均是正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则( ) A.44S a =66S a B. 44S a ＞66S a C. 44S a ＜66S a D. 44S a≤66S a 7.已知数列{a n }的首项为1，并且对任意n ∈N +都有a n >0.设其前n 项和为S n ，若以(a n ，S n )(n ∈N +)为坐标的点在曲线y ＝21x(x ＋1)上运动，则数列{a n }的通项公式为( ) A.a n ＝n 2＋1 B.a n ＝n 2C.a n ＝n ＋1D.a n ＝n8.设函数f(x)＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-.0,1,0,132＜x xx x 若f(a)<a ，则实数a 的取值范围为( )A.(－1，＋∞)B.(－∞，－1)C.(3，＋∞)D.(0,1)9.已知a>0，b>0，则a 1＋b1＋2ab 的最小值是( ) A.2 B.22 C.4 D.510.已知目标函数z=2x+y 中变量x,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-,1,2553,34x y x y x ＜则( )A.z max =12,z min =3B.z max =12,无最小值C.z min =3,无最大值D.z 无最大值,也无最小值 11.如果函数f(x)对任意a ，b 满足f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，则)1()2(f f ＋)3()4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)2013()2014(f f ＝( )A.4 018B.1 006C.2 010D.2 014 12.已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，且log c (ab)>1，则c 的取值范围是( ) A.0<c<1 B.1<c<8 C.c>8 D.0<c<1或c>8 二、填空题（每题4分，共16分）13.〈泉州质检〉△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列，则角B=.14.已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11的最小值为. 15.两个等差数列的前n 项和之比为12105-+n n ，则它们的第7项之比为.16.在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝31S n (n ≥1)，则a n ＝.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(17~20题每题12分，21~22题每题13分，共74分)17.已知向量m ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,sin A 与n ＝(3，sin A ＋3cos A)共线，其中A 是△ABC 的内角. (1)求角A 的大小；(2)若BC ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.18.已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n+1=2a n +1(n ∈N*) (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足11144421---n b b b Λ=n b n a )1(+ (n ∈N*),证明：{b n }是等差数列;19.如图1,A,B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？20.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).21.已知等差数列{a n}的首项a1＝4，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求数列{a n}的通项公式a n与前n项和S n；(2)将数列{a n}的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前三项，记{b n}的前n项和为T n，若存在m∈N＋，使对任意n∈N＋总有T n<S m＋λ恒成立，求实数λ的最小值.22.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 t，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元.(1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210 t时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由.参考答案及点拨一、1.A 点拨：因为cos 22A ＝c c b 2+及2cos 22A －1＝cos A ，所以cos A ＝cb .而cos A=bca cb 2222-+，∴b 2+a 2=c 2，则△ABC 是直角三角形.故选A.2.A 点拨：由等比数列的性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，…，a 7＋a 8仍然成等比数列，公比q ＝2143a a a a ++＝4060＝23，∴a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)14-q ＝40×323⎪⎭⎫ ⎝⎛＝135. 3.B 点拨：(3b －c)cos A ＝acos C ，由正弦定理得3sin Bcos A ＝sin Ccos A ＋cos Csin A⇒3sin Bcos A ＝sin(C ＋A)＝sin B ，又sin B ≠0，所以cos A ＝33.故选B. 4.B 点拨：∵a 1＝S 1＝51t －51，a 2＝S 2－S 1＝54t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数列.知254⎪⎭⎫⎝⎛t ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-5151t ×4t ，显然t ≠0，∴t ＝5.5.C 点拨：根据题意，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°，整理得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或23.6.B 点拨：由题意得公比q>0，当q ＝1时，有44S a －66S a ＝41－61>0，即44S a >66S a ；当q ≠1时，有44S a －66S a ＝()41311)1(q a q q a --－()61511)1(q a q q a --＝q 3(1－q)()()642111q q q ---⋅＝231q q +611q q --⋅>0，所以44S a >66S a .综上所述，应选B. 7.D 点拨：由题意，得S n ＝21a n (a n ＋1)，∴S n －1＝21a n －1(a n －1＋1)(n ≥2). 作差，得a n ＝21()1212---+-n n n n a a a a ，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0.∵a n >0(n ∈N +)，∴a n －a n －1－1＝0，即a n －a n －1＝1(n ≥2).∴数列{a n }为首项a 1＝1，公差为1的等差数列. ∴a n ＝n(n ∈N +).8.A 点拨：不等式f(a)<a 等价于⎪⎩⎪⎨⎧≥-0,132a a a ＜或⎪⎩⎪⎨⎧,1,0a aa ＜＜解得a ≥0或－1<a<0，即不等式f(a)<a的解集为(－1，＋∞). 9.C 点拨：依题意得a 1＋b 1＋2ab ≥2ab 1＋2ab ≥4ab ab ⋅1＝4，当且仅当a 1＝b1，且ab1=ab 时，取等号，故应选C. 10.C11.D 点拨：由f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，可得f(n ＋1)＝f(n)·f(1)，)()1(n f n f +＝f(1)＝2，所以)1()2(f f ＋)3()4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)2013()2014(f f ＝2×1 007＝2 014. 12.B 点拨：因为a ，b ，a ＋b 成等差数列，所以2b ＝a ＋(a ＋b)，即b ＝2a.又因为a ，b ，ab成等比数列，所以b 2＝a ×ab ，即b ＝a 2.所以a ＝2，b ＝4，因此log c (ab)＝log c 8>1＝log c c ，有1<c<8，故选B. 二、13.60° 点拨：依题意得acos C ＋ccos A ＝2bcos B ，根据正弦定理得sin Acos C ＋sin Ccos A ＝2sin Bcos B ，则sin(A ＋C)＝2sin Bcos B ，即sin B ＝2sin Bcos B ，所以cos B ＝21，又0°<B<180°，所以B ＝60°，14. 425 点拨：z ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11＝xy ＋xy 1＋x y ＋y x ＝xy ＋xy 1＋xy xy y x 2)(2-+＝xy 2＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ＝41.设f(t)＝t ＋t 2，t ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0，设41≥t 2>t 1>0，则f(t 1)－f(t 2)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+112t t －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+222t t ＝212121)2)((t t t t t t --. 因为41≥t 2>t 1>0，所以t 2－t 1>0，t 1·t 2<161.则t 1·t 2－2<0. 所以f(t 1)－f(t 2)>0.即f(t 1)>f(t 2).∴f(t)＝t ＋t 2在⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0上单调递减，故当t ＝41时f(t)＝t ＋t2有最小值433，所以当x ＝y ＝21时，z 有最小值425. 15.3∶1 点拨：设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，则n n T S ＝12105-+n n ，而77b a＝131131b b a a ++＝1313T S ＝113210135-⨯+⨯＝3. 16.21,114,233n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 点拨：∵3a n ＋1＝S n (n ≥1)，∴3a n ＝S n －1(n ≥2). 两式相减，得3(a n ＋1－a n )＝S n －S n －1＝a n (n ≥2)⇒n n a a 1+＝34(n ≥2) ⇒n ≥2时，数列{a n }是以34为公比，以a 2为首项的等比数列， ∴n ≥2时，a n ＝a 2234-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n .令n ＝1，由3a n ＋1＝S n ，得3a 2＝a 1，又a 1＝1⇒a 2＝31，∴a n ＝31234-⎪⎭⎫⎝⎛⋅n (n ≥2).故⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-.2,3431,112n n n ，三、17.解：(1)因为m ∥n ，所以sinA ·(sinA ＋3cosA)－23＝0. 所以22cos 1A -＋23sin2A －23＝0.即23sin2A －21cos2A ＝1，即sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πA ＝1. 因为A ∈(0，π)，所以2A －6π∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-611,6ππ，故2A －6π＝2π，即A ＝3π. (2)由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc ，又S △ABC ＝21bcsinA ＝43bc ，而b 2＋c 2≥2bc ，bc ＋4≥2bc ，bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)，所以S △ABC ＝21bcsinA ＝43bc ≤43×4＝3.当△ABC 的面积最大时，b ＝c ，又A ＝3π，故此时△ABC 为等边三角形. 18.(1)解：∵a n+1=2a n +1(n ∈N *),∴a n+1+1=2(a n +1).∴{a n +1}是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列.∴a n +1=2n.即a n =2n －1(n ∈N *). (2)证明：∵114-b 124-b …14-n b =()n bn a 1+.∴nb b b n -+++)(214Λ=nnb 2.∴2［(b 1+b 2+…+b n )－n ］=nb n ,①2［(b 1+b 2+…+b n +b n+1)－(n+1)］=(n+1)b n+1.②②－①，得2(b n+1－1)=(n+1)b n+1－nb n ,即(n －1)b n+1－nb n +2=0,③ ∴nb n+2－(n+1)b n+1+2=0.④④－③，得nb n+2－2nb n+1+nb n =0,即b n+2－2b n+1+b n =0,∴b n+2－b n+1=b n+1－b n (n ∈N *).∴{b n }是等差数列. 19.解：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理得，DAB DB ∠sin ＝ADBAB∠sin .∴DB ＝ADBDAB AB ∠∠⋅sin sin ＝︒︒⋅+105sin 45sin )33(5＝︒⋅︒+︒⋅︒︒⋅+45cos 60sin 60sin 45sin 45sin )33(5＝213)13(35++＝103(海里).又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203海里，在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×21＝900， ∴CD ＝30海里.则需要的时间t ＝3030＝1(小时). 答：救援船到达D 点需要1小时.20.解:原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0. (1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1.(2)当a ＞0时，原不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 2 (x ＋1)≥0⇒x ≥a2或x ≤－1； (3)当a ＜0时，原不等式化为⎪⎭⎫⎝⎛-a x 2 (x ＋1)≤0. ①当a 2＞－1，即a ＜－2时，原不等式的解集为－1≤x ≤a 2； ②当a 2＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为x ＝－1；③当a 2＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式的解集为a2≤x ≤－1.综上所述：当a ＜－2时，原不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a2,1；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,2a ；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1］；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1］∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a . 21.解:(1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，又a 1＝4，所以公差d ＝－1，所以a n ＝5－n ，从而S n ＝2)9(n n -. (2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列的公比为q ，则q ＝12b b ＝21，所以T n ＝2112114-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ＝8⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 211.令f(n)=n⎪⎭⎫ ⎝⎛21.因为f(n)＝n⎪⎭⎫⎝⎛21是关于自然数n 的减函数，所以{T n }是递增数列，得4≤T n <8.又S m ＝2)9(m m -＝－22921⎪⎭⎫⎝⎛-m ＋881，当m ＝4或m ＝5时，S m 取得最大值，即(S m )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N ＋，使对任意n ∈N ＋总有T n <S m ＋λ恒成立，则8≤10＋λ，得λ≥－2，所以λ的最小值为－2.22.解：(1)设该厂应每x 天购买一次面粉，则其购买量为6x t.由题意知，面粉的保管等其他费用为3［6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1］＝9x(x ＋1)元. 设每天所支付的总费用为y 1元，则 y 1＝x 1［9x(x ＋1)＋900］＋6×1 800＝x900＋9x ＋10 809≥2x x 9900⋅＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝x900，即x ＝10时取等号. 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.(2)若该厂接受此优惠条件，则至少每35天购买一次面粉.设该厂接受此优惠条件后，每x(x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝x 1［9x(x ＋1)＋900］＋6×1 800×0.90＝x900＋9x ＋9 729(x ≥35). 令f(x)＝x ＋x100(x ≥35)，x 2>x 1≥35，则f(x 1)－f(x 2)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+11100x x －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22100x x ＝212121)100)((x x x x x x --. 因为x 2>x 1≥35，所以x 1－x 2<0，x 1·x 2>100.所以x 1x 2－100>0. 所以f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2). 所以f(x)＝x ＋x100在［35，＋∞)内为增函数. 所以当x ＝35时，y 2有最小值，约为10 069.7. 此时y 2<10 989，所以该厂应该接受此优惠条件.。

本册综合测试(能力提升)-2020-2021学年高二数学单元测试定心卷(人教版选修2-1)(解析版)

本册综合测试能力提升卷班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。

其中1-8小题是单项选择题，9-12小题是多项选择题）1.若实数x，y满足x+y＞0，则“x＞0”是“x2＞y2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵实数x，y满足x+y＞0，若x＞0，则未必有x2＞y2；例如x＝1，y＝2时，有x2＜y2；反之，若x2＞y2，则x2﹣y2＞0，即（x+y）（x﹣y）＞0；由于x+y＞0，故x﹣y＞0，∴x＞y且x＞﹣y，∴x＞0；∴当x+y＞0时，“x＞0”推不出“x2＞y2”，“x2＞y2”⇒“x＞0”；∴“x＞0”是“x2＞y2”的必要不充分条件．故选：B．【知识点】充分条件、必要条件、充要条件2.设F为抛物线y2＝2px的焦点，斜率为k（k＞0）的直线过F交抛物线于A、B两点，若|F A|＝3|FB|，则直线AB的斜率为（）A．B．1C．D．【解答】解：假设A在第一象限，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形．由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，又∵|AF|＝3|BF|，∴|AD|＝|CE|＝3|BE|，即B为CE的三等分点，设|BF|＝m，则|BC|＝2m，|AF|＝3m，|AB|＝4m，即|AC|＝＝＝m＝2m，则tan∠ABC＝＝＝，即直线AB的斜率k＝故选：D．【知识点】抛物线的性质3.下列叙述正确的是（）A．函数的最小值是B．“0＜m≤4”是“mx2+mx+1≥0”的充要条件C．若命题p：∀x∈R，x2﹣x+1≠0，则D．“已知x，y∈R，若xy＜1，则x，y都不大于1”的逆否命题是真命题【解答】解：对于A，，的等号不成立，所以A错；对于B，当m＝0时，mx2+mx+1≥0也成立，所以B错；对于D，当时，xy＜1也成立，所以D错；故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用4.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，CD＝1，BC＝a，P为线段AD（含端点）上的一个动点，设，对于函数y＝f（x），下列描述正确的是（）A．f（x）的最大值和a无关B．f（x）的最小值和a无关C．f（x）的值域和a无关D．f（x）在其定义域上的单调性和a无关【解答】解：以B为原点，BA和BC分别为x和y轴建立如图所示的直角坐标系，则B（0，0），A（2，0），C（0，a），D（1，a），设P（m，n），因为，所以（m﹣2，n）＝x（﹣1，a），解得m＝2﹣x，n＝ax，所以点P的坐标为（2﹣x，ax），所以＝（1+a2）x2﹣（a2+4）x+4，x∈[0，1]，开口向上，对称轴为，当时，0＜≤1，而f（0）＝4，f（1）＝1，因此f（x）max＝f（0）＝4，当时，＞1，所以函数f（x）在[0，1]内单调递减，f（x）max＝f（0）＝4，综上所述，函数f（x）的最大值与a无关．故选：A．【知识点】命题的真假判断与应用、平面向量的正交分解及坐标表示5.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为椭圆+＝1（b2＜）的右顶点，直线l是抛物线C的准线，点A在抛物线C上，过A作AB⊥l，垂足为B，若直线BF的斜率k BF＝﹣，则△AFB的面积为（）A．10B．9C．8D．7【解答】解：∵抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为椭圆+＝1 的右顶点，∴＝a＝，即p＝3．设B（﹣，m），k BF＝＝﹣，可得m＝3．故A（x0，3）在抛物线y2＝6x上，∴27＝6x0，得．∴AB＝，则△AFB的面积S＝×6×3＝9．故选：B．【知识点】圆锥曲线的综合6.在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈（），则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．（，1）B．（）C．（0，）D．（0，）【解答】解：联立，解得y N＝，联立，解得y M＝．可得y N﹣y M＝＝a，化为：a＝，可得e＝＝；同理：把直线方程y＝，y＝x﹣a与椭圆方程分别联立，可得：y N﹣y M＝，化为a＝b，此时椭圆不存在．∴椭圆C的离心率的取值范围为（0，）．故选：D．【知识点】椭圆的性质7.设，，为空间的三个不同向量，如果λ1+λ2+λ3＝0成立的等价条件为λ1＝λ2＝λ3＝0，则称，，线性无关，否则称它们线性相关．若＝（2，1，﹣3），＝（1，0，2），＝（1，﹣1，m）线性相关，则m＝（）A．9B．7C．5D．3【解答】解：依题意知，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数x，y，z，使得x+y+z＝成立；即由得x＝z，y＝﹣3z，代入﹣3x+2y+mz＝0，得（m﹣9）z＝0；由于x，y，z不全为0，所以z≠0，所以m＝9．故选：A．【知识点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示8.已知四面体ABCD，＝，＝，＝，点M在棱DA上，＝3，N为BC中点，则＝（）A．﹣﹣﹣B．++C．﹣++D．﹣﹣【解答】解：连接DN，如图所示，四面体ABCD中，＝，＝，＝，点M在棱DA上，且＝3，∴＝，又N为BC中点，∴＝（+）；∴＝+＝﹣+（+）＝﹣++．故选：C．【知识点】空间向量及其线性运算9.在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面结论中正确的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面P AE⊥平面ABC【解答】解：∵D，F是对应边的中点，∴DF，是△ABC的中位线，则BF∥BC，可得BC∥平面PDF，故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面P AE，故B正确．∵O不在DF上，PO⊥平面ABC，∴PO与平面PDF相交，则平面PDF⊥平面ABC不成立，故C错误，由DF⊥平面P AE可得，平面P AE⊥平面ABC，故D正确，故选：ABD．【知识点】向量语言表述线面的垂直、平行关系10.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起．设折起后点A的位置为A′，并且平面A′BD⊥平面BCD．给出下面四个命题：（）A．A′D⊥BCB．三棱锥A′﹣BCD的体积为C．CD⊥平面A′BDD．平面A′BC⊥平面A′DC【解答】解：∵∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∵AD∥BC，∠BCD＝45°，∴BD⊥DC，∵平面A′BD⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，∵A′D⊂平面A′BD，∴CD⊥A′D，故A′D⊥BC不成立；故A错误，C正确；由AB＝AD＝1，∠BAD＝90°，可得BD＝，CD＝BD＝，三棱锥A′﹣BCD的体积为三棱锥C﹣A'BD的体积，即为CD•S△A'BD＝×××1×1＝，故B错误；折叠前，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°，∴△ABD为等腰直角三角形．又∵∠BCD＝45°，∠DBC＝45°，∴∠BDC＝90°．折叠后，∵平面BCD⊥平面A′BD，CD⊥BD，∴CD⊥平面A′BD．又∵A′B⊂平面A′BD，∴CD⊥A′B．又A′B⊥A′D，A′D∩CD＝D，∴A′B⊥平面A′DC．又A′B⊂平面A′BC，∴平面A′BC⊥平面A′DC．故D正确．故选：CD．【知识点】命题的真假判断与应用11.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线，则（）A．实轴长为2B．渐近线方程为C．离心率为2D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3【解答】解：由双曲线的方程可得，a2＝4，b2＝12c2＝a2+c2＝16，所以a＝2，b＝2，c＝4，所以实轴长2a＝4，离心率＝2，渐近线方程为y＝±x＝x，所以B，C正确，因为准线方程为x＝＝1，设渐近线y＝与渐近线的决定为A，两个方程联立可得A（1，），另一条渐近线的方程为：+y＝0，所以A到它的距离为d＝＝，故选：BC．【知识点】双曲线的性质12.已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为【解答】解：由向量的加法得到：，∵，∴，所以A正确；∵，AB1⊥A1C，∴，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；∵AB⊥AA1，∴，故＝0，因此D不正确．故选：AB．【知识点】空间向量的数量积运算二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年北师大版高中数学必修五模块质量检测2及答案解析

（新课标）最新北师大版高中数学必修五模块质量检测(二)(江西专用)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A ．45 B ．75 C ．180D ．300解析： ∵a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5， ∴由已知得5a 5＝450，∴a 5＝90 ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案： C2．在△ABC 中，若b ＝2asin B ，则角A 为( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．120°或60°D ．30°或150° 解析：根据正弦定理sin B ＝2sin Asin B ，所以sin A ＝12，所以A ＝30°或150°.答案： D3．a ∈R ，且a 2＋a ＜0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞－a 3＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 3C ．－a 3＞a 2＞－aD ．a 2＞－a ＞－a 3解析：由a 2＋a ＜0得－1＜a ＜0， ∴－a ＞a 2＞－a 3. 答案： B4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析： a 4＋a 6＝2a 5＝－6∴d ＝a 5－a 15－1＝2∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2·2＝n 2－12n故n ＝6时S n 取最小值．答案： A5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝( )A.1＋32B ．1＋ 3C.2＋32D ．2＋ 3解析： 2b ＝a ＋c ，S ＝12acsin B ＝32∴ac ＝6又∵b 2＝a 2＋c 2－2accos B ∴b 2＝(a ＋c)2－2ac －2accos 30° ∴b 2＝4＋23，即b ＝1＋3，故选B. 答案： B6．若数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)的值为( )A ．102B ．101C ．100D ．99解析：由lg x n ＋1＝1＋lg x n 得x n ＋1x n＝10，∴数列{x n }是公比为10的等比数列，又x 101＝x 1·q 100， x 102＝x 2·q 100，…，x 200＝x 100·q 100， ∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝q 100(x 1＋x 2＋…＋x 100) ＝10100·100＝10102.∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝102.7．已知△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，bsin B －csin C ＝0，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析： ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2， ∴△ABC 是直角三角形，A ＝90°.又∵bsin B －csin C ＝0，即bsin B ＝csin C ， ∴sin 2B ＝sin 2C ，又∵A ＝90°，∴B ＝C. ∴△ABC 是等腰直角三角形．答案： C8．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥0x －y ＋4≥0x ≤1表示的平面区域面积是( )A ．3B ．6 C.92D ．9解析：如图所示，不等式组表示的平面区域为△ABC 边界及其内部的部分，由⎩⎨⎧x ＝1x －y ＋4＝0可得A(1,5)，同理可得B(－2，2)，C(1，－1)，故AC ＝6，△ABC 的高h ＝3，所以S △ABC ＝12·AC ·h ＝9.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n－2(a 为常数且a ≠0)，则数列{a n }( ) A ．是等比数列B ．当a ≠1时是等比数列C ．从第二项起成等比数列D ．从第二项起成等比数列或等差数列解析： a n ＝⎩⎨⎧a －2 n ＝1，a n －1(a －1)n ≥2，当a ≠0，n ≥2，a n ＝an －1(a －1)，a ≠1是等比数列，当a ＝1，是等差数列．答案： D10．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y)．若不等式(x －a)⊗(x ＋a)＜1对任意实数x 均成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析： ∵(x －a)⊗(x ＋a)＝(x －a)(1－x －a)， ∴不等式(x －a)⊗(x ＋a)＜1对任意实数x 成立，即(x －a)(1－x －a)＜1对任意实数x 成立，即使x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，解得－12＜a ＜32，故选C.答案： C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：因为cos C ＝13，得sin C ＝223.因为S △ABC ＝12absin C ＝12×32×b ×223＝43，所以b ＝2 3. 答案： 2 312．在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程3x 2－11x ＋9＝0的两根，则a 5的值为________．解析：由a 3a 7＝3，知a 52＝3，所以a 5＝± 3. 答案： ± 313．设点P(x ，y)在函数y ＝4－2x 的图像上运动，则9x＋3y的最小值为________．解析： ∵y ＝4－2x ， ∴9x＋3y＝9x＋34－2x＝9x＋819x≥281＝18. 答案： 1814．若不等式组⎩⎨⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0x －y ＋m ≤0表示的平面区域是一个三角形，则实数m 的取值范围是________．解析：先画部分可行域⎩⎨⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0，设直线x －y ＋m ＝0与x 轴的交点为(－m,0)，另外A(3,0)，B(0,6)，由图形可知：当m ∈(－∞，－3]∪[0,6)时，可行域为三角形．故实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0,6)．答案： (－∞，－3]∪[0,6)15．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．解析： ∵三角形为钝角三角形，∴⎩⎨⎧a ＋a ＋1＞a ＋2－12≤a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)＜0，解得32≤a ＜3.答案：32≤a ＜3 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(12分)在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．解析：在△ACD 中，由余弦定理，得 cos C ＝AC 2＋CD 2－AD 22AC ·CD ＝72＋32－522×7×3＝1114.∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11142＝5143. 在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin C ＝ACsin B ，∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝7×5143sin 45°＝562.17．(12分)数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t(S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．解析： (1)由S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1得a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1(n ∈N *)；又a 1＝13，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)．从而，S n ＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)．(2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327.从而由S 1，t(S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得： 13＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫49＋1327＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋49t ，解得t ＝2.18．(12分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|x 2＋(a －1)x －a>0}，B ＝{x|(x ＋a)(x ＋b)>0(a ≠b)}，M ＝{x|x 2－2x －3≤0}．(1)若∁U B ＝M ，求a ，b 的值； (2)若－1<b<a<1，求A ∩B ；(3)若－3<a<－1，且a 2－1∈∁U A ，求实数a 的取值范围．解析：由题意，得A ＝{x|(x ＋a)(x －1)>0}，∁U B ＝{x|(x ＋a)(x ＋b)≤0}，M ＝{x|(x ＋1)(x －3)≤0}．(1)若∁U B ＝M ，则(x ＋a)(x ＋b)＝(x ＋1)(x －3)，所以a ＝1，b ＝－3，或a ＝－3，b ＝1. (2)若－1<b<a<1，则－1<－a<－b ＜1，所以A ＝{x|x<－a 或x>1}，B ＝{x|x<－a 或x>－b}．故A ∩B ＝{x|x ＜－a 或x ＞1}． (3)若－3<a<－1，则1<－a<3，所以A ＝{x|x<1或x>－a}，∁U A ＝{x|1≤x ≤－a}．又由a 2－1∈∁U A ，得1≤a 2－1≤－a ，即⎩⎨⎧a 2－2≥0a 2＋a －1≤0，解得－1－52≤a ≤－ 2.19．(12分)已知f(x)＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－3,2)时，f(x)>0； x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0. (1)求y ＝f(x)的解析式；(2)c 为何值时，ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R.解析： (1)由x ∈(－3,2)时，f(x)>0；x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0知：－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－b －8a ，－3×2＝－a －ab a，⇒⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝5.∴f(x)＝－3x 2－3x ＋18.(2)由a<0，知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下．要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c ≤0⇔c ≤－2512.∴当c ≤－2512时，ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R.20.(12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问：(1)乙船每小时航行多少海里？(2)甲、乙两船是否会在某一点相遇，若能，求出甲从A 1处到相遇点共航行了多少海里？解析： (1)如图，连接A 1B 2，A 2B 2＝102， A 1A 2＝2060×302＝102，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 12＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200B 1B 2＝10 2.因此乙船的速度的大小为10220×60＝302海里/小时．(2)若能在C 点相遇，则显然A 1C ＜B 1C.因为甲、乙两船的航速恰好相等，因此不可能相遇．21．(15分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2－a n ，n ＝1,2,3，…. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式； (3)设c n ＝n(3－b n )，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜8. 解析： (1)∵n ＝1时，a 1＋S 1＝a 1＋a 1＝2， ∴a 1＝1.∵S n ＝2－a n ，即a n ＋S n ＝2， ∴a n ＋1＋S n ＋1＝2.两式相减：a n ＋1－a n ＋S n ＋1－S n ＝0. 即a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝0 故有2a n ＋1＝a n ，∵a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝12(n ∈N ＋)，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)∵b n ＋1＝b n ＋a n (n ＝1,2,3，…)，∴b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.得b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝12，b 4－b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，…b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2(n ＝2,3，…)．将这n －1个等式相加，得b n －b 1＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2.又∵b 1＝1，∴b n ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2(n ＝1,2,3…)．(3)证明：∵c n ＝n(3－b n )＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴T n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.① 而12T n ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .② ①－②得12T n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－2×n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . T n ＝4×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－4×n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n&知识就是力量&＝8－82n －4×n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝8－8＋4n 2n (n ＝1,2,3，…)． ∴T n ＜8.。

2020学年高中数学模块综合检测苏教版必修5(2021-2022学年)

模块综合检测(时间120分钟满分150分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若f（x）=3ｘ2－x＋１,g(x)＝2x2+ｘ-1,则f(x）与g(ｘ)的大小关系为()A．ｆ(x)>g(ｘ）Ｂ.f(ｘ)=ｇ（x）Ｃ.f(x）＜g(ｘ）ﻩD．随x值变化而变化解析：选 A 因为f(x)－g(x）=(3x2-x+１)-（2x2+ｘ-１)=x２－2x＋2＝（x-１)2+１＞0,所以f(ｘ）〉g（ｘ).2.在△ＡBC中，角A,Ｂ，C所对的边分别为a,b,ｃ，若a=错误!未定义书签。

，b=错误!，Ｂ＝６0°,那么角Ａ等于（）A.1３５°Ｂ.90°C．４５° ﻩ D.3０°解析:选C由正弦定理知错误!＝错误!，∴siｎA=错误!未定义书签。

=错误!=错误!.又a<b，Ｂ＝６0°,∴A<６0°，∴A=45°.3．若a1＝1,a n+１=错误!未定义书签。

,则给出的数列｛a n｝的第4项是( ）A。

错误!ﻩＢ。

错误!未定义书签。

C.错误!ﻩD.错误!解析:选C a2=错误!＝错误!未定义书签。

=错误!，a３＝错误!=错误!未定义书签。

＝错误!，a4=错误!＝错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

．4.若关于x的不等式ｘ２－3ax+2>0的解集为（-∞，1)∪(ｍ，＋∞)，则ａ+m＝( ）Ａ．-１B．1C．2ﻩD．３解析:选D由题意,知1，ｍ是方程ｘ２－3ax+２=０的两个根,则由根与系数的关系，得错误!未定义书签。

解得错误!所以a+m＝３，故选D.5．已知x>0，y＞0，且x＋y＝８，则（1＋x)（1+ｙ)的最大值为（ )A．16 B.2５Ｃ．9 Ｄ.36解析：选Ｂ（1+x）（１＋y)≤错误!2=错误!2=错误!未定义书签。

2＝2５,因此当且仅当1+x=１＋y即x=ｙ＝4时，(1+x）(1＋y）取最大值25,故选Ｂ.6.已知数列｛aｎ}为等差数列，且ａ1＝2，a２+ａ3=13,则ａ4+ａ5+ａ6等于( )Ａ.4０ﻩＢ．42Ｃ.43 Ｄ．4５解析：选B设等差数列｛a n}的公差为d,则2a1＋３d＝13，∴d=3,故a4+a5+a6＝３a１+12d=３×2+12×3＝42。

2020年高中数学学业水平考试模块卷(必修五)

姓名学号本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分100分。

一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。

1.等比数列中，，则等于( ) A. B. C. D. 答案：C解：，故选C 。

2.在中，角的对边分别为，若，，。

答案：解：。

3.在中，角的对边分别为，若，，则。

答案：解：由正弦定理有，得，。

4.若数列的前项和为，则( )A. B. C. D. 答案：A解：，选C 。

5.已知，，那么下列判断中正确的是( ) A. B.C. D. 答案：C解：取，，则排除A 、B 、D ，故选C 。

6.已知中，，，，那么角等于( )A. B. C. D.答案：C解：由正弦定理得：，，，，故选C 。

7.若等差数列的前三项和，且，则等于( )A. B. C. D. 答案：A解：由，可得，，故选A 。

{}na 44a =26a a ⋅48163226a a ⋅2416a ==ABC ∆,,A B C ,,a b c 1a =b =c =B =56πcos B ==56B π∴=ABC ∆,,A B C ,,a b c 1a =c =3C π=A =6π1sin A =1sin 2A =6A π∴={}n a n 3n S n =3a =2791983a =33323219S S -=-=0a b >>0c d >>a c b d ->-a bd c<ac bd >ad bc >2a c ==1b d ==ABC ∆a =b =60B = A 135 90 45 30sin sin a b A B =⇒=sin 60A == a b A B <⇒< 45A ∴={}n a 39S =11a =2a 34563133339S a d d =+=+=2d =213a a d ∴=+=学业水平考试模块卷（必修５模块)8.已知等比数列的公比为正数，且，，则( ) A.D. 答案：B解：设公比为，由已知得，即，因为等比数列的公比为正数，所以，故，选B 。

2020-2021学年北师大版高中数学必修五模块质量检测1及答案解析

（新课标）最新北师大版高中数学必修五模块质量检测(一)(江西专用)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果a ＜0，b ＞0，那么，下列不等式中正确的是( ) A.1a ＜1b B.－a ＜ b C ．a 2＜b 2D ．|a|＞|b|解析：如果a ＜0，b ＞0，那么1a ＜0，1b ＞0，∴1a ＜1b . 答案： A2．已知两个正数a ，b 的等差中项为4，则a ，b 的等比中项的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16解析： ab ≤a ＋b 2＝4，故选B.答案： B3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝( )A. 6 B ．2 C. 3D. 2解析：由正弦定理，得6sin 120°＝2sin C，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝2，故选D. 答案： D4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＝12，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 9的值为( ) A ．48 B ．54 C ．60D ．66解析：因为a 4＋a 6＝a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝2a 5＝12，所以S 9＝a 1＋…＋a 9＝54. 答案： B5．不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．－14D ．14解析：不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，即方程ax 2＋bx ＋2＝0的解为x ＝－12或13，故⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a .解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14. 答案： C6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：由余弦定理，得a 2＋c 2－b 2＝2accos B ．由已知，得2accos B ·sin Bcos B ＝3ac ，即sin B ＝32，又B 是三角形的内角，所以B ＝π3或2π3.故选D. 答案： D7．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2,2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，若b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前5项和等于( )A ．1 B.56 C.16D.130解析： ∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2∴{a n }是等差数列又∵a 1＝1，a 2＝2∴a n ＝n又b n ＝1a n ·a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1∴b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－16 ＝1－16＝56，故选B. 答案： B8．实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则k ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 解析：作平面区域如图所示，k ＝y －1x ＋1表示点(x ，y)与点(－1,1)连线的斜率，故选D.答案： D9．等比数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n－1，则a 12＋a 22＋a 32＋…＋a n 2＝( )A ．(2n－1)2B.13(2n－1) C ．4n－1D.13(4n－1) 解析：由已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－1，所以a 1＝S 1＝1，a 2＝S 2－a 1＝2，所以公比q ＝2. 又因为a n ＋12a n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝q 2＝4，所以数列{a n 2}是以q 2＝4为公比的等比数列，所以a 12＋a 22＋a 32＋…＋a n 2＝1－4n1－4＝13(4n－1)．答案： D10．在△ABC 中，已知a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦值是32，则△ABC 的面积是( )A.154B.154 3C.2143 D.3543解析：由题可知a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，∴a ＝c ＋4. ∵sin A ＝32，∴A ＝120°. 又cos A ＝cos 120°＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(c ＋2)2＋c 2－(c ＋4)22c (c ＋2)＝c 2－4c －122c (c ＋2)＝－12，整理得c 2－c －6＝0，∴c ＝3(c ＝－2舍去)，从而b ＝5， ∴S △ABC ＝12bcsin A ＝154 3.故选B.答案： B二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．已知x ，y ∈R ＋，2x ＋y ＝2，c ＝xy ，那么c 的最大值为________．解析：由已知，2＝2x ＋y ≥22xy ＝22c ，所以c ≤12.答案：1212．不等式2x 2＋2x －4≤12的解集为________．解析：由2x 2＋2x －4≤12＝2－1得x 2＋2x －4≤－1即x 2＋2x －3≤0 ∴－3≤x ≤1∴原不等式的解集为{x|－3≤x ≤1}．答案： [－3,1]13．在等比数列{a n }中，若a 9·a 11＝4，则数列log 12a n 前19项之和为________．解析：由题意a n ＞0，且a 1·a 19＝a 2·a 18＝…＝a 9·a 11＝a 102，又a 9·a 11＝4，所以a 10＝2，故a 1a 2…a 19＝(a 10)19＝219. 故log 12a 1＋log 12a 2＋…＋log 12a 19＝log 12(a 1a 2…a 19)＝log 12219＝－19.答案：－1914．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________.解析： ∵c 2＝a 2＋b 2－2abcos ∠C ， ∴(3)2＝a 2＋12－2a ·1·cos 23π，∴a 2＋a －2＝0， ∴(a ＋2)(a －1)＝0 ∴a ＝1 答案： 115．设关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集为{x|x ＞1}，则关于x 的不等式ax ＋bx 2－5x －6＞0的解集为________．解析：由题意得：a ＞0且－ba＝1.又原不等式可变为(x －6)(x ＋1)(ax ＋b)＞0，故由右图可知{x|－1＜x ＜1或x ＞6}．答案： {x|－1＜x ＜1或x ＞6}三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(12分)解关于x 的不等式x 2－x －a(a －1)＞0(a ∈R)．解析：原不等式可以化为： (x ＋a －1)(x －a)＞0.若a ＞－(a －1)，即a ＞12时，则x ＞a 或x ＜1－a ；若a ＝－(a －1)，即a ＝12时，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＞0，即x ≠12，x ∈R ；若a ＜－(a －1)，即a ＜12时，则x ＜a 或x ＞1－a.综上所述，原不等式的解集是：当a ＞12时，{x|x ＞a 或x ＜1－a}；当a ＝12时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠12，x ∈R；当a ＜12时，{x|x ＜a 或x ＞1－a}．17．(12分)某单位在抗雪救灾中，需要在A ，B 两地之间架设高压电线，测量人员在相距6 000 m 的C 、D 两地(A ，B ，C ，D 在同一平面上)测得∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图)．假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约是A 、B 两地之间距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线(精确到0.1 m)？(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，7≈2.6)解析：在△ACD 中∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°， CD ＝6 000，∠ACD ＝45°，根据正弦定理，得AD ＝CDsin 45°sin 60°＝23CD. 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，CD ＝6 000，∠BCD ＝30°，根据正弦定理，得BD ＝CDsin 30°sin 135°＝22CD.又在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°，根据勾股定理，得AB ＝AD 2＋BD 2＝23＋12CD ＝1 00042，而1.2AB ≈7 425.6，则实际所需电线长度约为7 425.6 m. 18．(12分)设集合A 、B 分别是函数y ＝1x 2＋2x －8与函数y ＝lg(6＋x －x 2)的定义域，C＝{x|x 2－4ax ＋3a 2＜0}．若A ∩B ⊆C ，求实数a 的取值范围．解析：由x 2＋2x －8＞0，得x ＜－4或x ＞2，所以A ＝{x|x ＜－4或x ＞2}；由6＋x －x 2＞0，即x 2－x －6＜0，得－2＜x ＜3，所以B ＝{x|－2＜x ＜3}．于是A ∩B ＝{x|2＜x ＜3}．由x 2－4ax ＋3a 2＜0，得(x －a)(x －3a)＜0，当a ＞0时，C ＝{x|a ＜x ＜3a}，由A ∩B ⊆C ，得⎩⎨⎧a ≤23a ≥3，所以1≤a ≤2；当a ＝0时，不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0即为x 2＜0，解集为空集，此时不满足A ∩B ⊆C ；当a ＜0时，C ＝{x|3a ＜x ＜a}，由A ∩B ⊆C ，得⎩⎨⎧3a ≤2a ≥3，此不等式组无解．综上，满足题设条件的实数a 的取值范围为{a|1≤a ≤2}．19．(12分)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程ax 2－2c 2－b 2x －b ＝0(a ＞c ＞b)的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积S ＝103，c ＝7.(1)求角C ； (2)求a 、b 的值．解析： (1)设x 1，x 2为方程ax 2－2c 2－b 2x －b ＝0的两根，则x 1＋x 2＝2c 2－b 2a ，x 1·x 2＝－b a ，∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝4(c 2－b 2)a 2＋4ba ＝4. ∴a 2＋b 2－c 2＝ab. 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴cos C ＝12，∴C ＝60°.(2)由S ＝12absin C ＝103，∴ab ＝40①由余弦定理：c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，即c 2＝(a ＋b)2－2ab(1＋cos 60°)，∴72＝(a ＋b)2－2×40×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12，∴a ＋b ＝13②由①②得：a ＝8，b ＝5.20．(12分)某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：解析：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x ，y 台，总利润是z ，则z ＝6x ＋8y由题意有⎩⎨⎧30x ＋20y ≤300，5x ＋10y ≤110，x ≥0，y ≥0，x ，y 均为整数．由图知直线y ＝－34x ＋18z 过M(4,9)时，纵截距最大．这时z 也取最大值z max ＝6×4＋8×9＝96(百元)．故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9 600元．21．(15分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n (n ≥1)． (1)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是等比数列； (2)设数列{2n a n }的前n 项和为T n ，A n ＝1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n. 试比较A n 与2na n的大小．解析： (1)由a 1＝S 1＝2－3a 1得a 1＝12，当n ≥2时，由S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n 得S n －1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1＋1a n －1，于是a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1＋1a n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n ，整理得a n n ＝12×a n －1n －1(n ≥2)，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是首项及公比均为12的等比数列．(2)由(1)得a n n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n . 于是2n a n ＝n ，T n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2， 1T n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. A n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 又2na n ＝2n ＋1n 2，问题转化为比较2n ＋1n 2与2n n ＋1的大小，即2n n 2与n n ＋1的大小．设f(n)＝2n n 2，g(n)＝n n ＋1. ∵f(n ＋1)－f(n)＝2n [n (n －2)－1][n (n ＋1)]2，当n ≥3时，f(n ＋1)－f(n)＞0.∴当n ≥3时，f(n)单调递增，∴当n ≥4时，f(n)≥f(4)＝1，而g(n)＜1， ∴当n ≥4时，f(n)＞g(n)，经检验n ＝1,2,3时，仍有f(n)＞g(n)，因此，对任意正整数n ，都有f(n)＞g(n)，即A n ＜2na n .。

2020-2021学年高二数学上学期第5学段模块检测试题

2020-2021学年高二数学上学期第5学段模块检测试题第I卷（选择题共60分）一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．直线的倾斜角是（）A．B．C．D．2．若等差数列，且，，则的值为（）A．21 B．63 C．13 D．573．已知直线l过点且与直线垂直，则l的方程是（）A．B．C．D．4．若直线的方向向量，平面的法向量，则（）A．B．C． D．或5．已知数列的前项和为，若，则（）A．1 B．-1 C．0 D．26．已知过点和点的直线为，，．若，，则的值为（）A．B．C．0 D．87．在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（）A．B．C．D．8．我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为，数列的前项和为，则使得不等式成立的正整数的最小值为（）．A．9 B．10 C．11 D．12二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．与均为的最大值10．若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为（）A．B．C．D．11．设几何体是棱长为a的正方体，与相交于点O，则（）A．B．C．D．12．已知各项均为正项的等比数列,，,其前和为,下列说明正确的是（）A．数列为等差数列 B．若,则C． D．记,则数列有最大值.第II卷（非选择题共90分）三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设等差数列的前项和为，若，，则等于______.14．直线l过点P（1，5），且与以A（2，1），为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为______．15．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于________________．16．在下列命题中：①若，共线，则，所在的直线平行；②若，所在的直线是异面直线，则，一定不共面；③若，，三向量两两共面，则，，三向量一定也共面；④已知三向量，，，则空间任意一个向量总可以唯一表示为，其中不正确的命题为________．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本题满分10分)已知点，，．（1）若D为线段的中点，求线段的长；（2）若，且，求a的值，并求此时向量与夹角的余弦值．18．(本题满分12分)三角形的三个顶点为（1）求边上高所在直线的方程；（2）求边上中线所在直线的方程.19．(本题满分12分)设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．20．(本题满分12分)如图,棱锥的底面是矩形,PA 平面ABCD，,.(1)求证: 平面;(2)求点到平面的距离..21．(本题满分12分)设数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.22．(本题满分12分)如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．（）求与平面所成角的正弦．（）求平面MCB与平面CBP夹角的余弦值.2020—2021学年第一学期高二年级第5学段模块检测数学试题答案及评分标准选择题：每小题5分，共60分B 2. D 3.A 4.D 5.D 6.A 7.C 8.C 9.ABD 10.ABC 11.AC12.ABD二．填空题：每小题5分，共20分13．45 14．（-∞，-4]∪[5-，+∞） 15. 16．①②③④三. 解答题：本大题共6小题，17题10分，其它题每题12分，共70分.17．（1）由题意，点，且点D为线段的中点，可得，则，所以，即线段的长为．.................................5分（2）由点，，则，所以，解得，所以，则，即向量与夹角的余弦值为．．...............................10分18．（1）由题意可得则边上高所在直线的斜率为-3，又高线过所以边上高所在直线的方程为，即............................6分(2)由题知中点M的坐标为，所以中线所在直线的方程为即．..............12分19．（Ⅰ）an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）2n﹣1 2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列∴设其公比为q，q＞0 ∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2="2×q+4"解得q=2或q=﹣1 ∵q＞0∴q="2"∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n.......................6分（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2. 12分20．（1）建系如图所示的空间直角坐标系,则,,,在中, ,,∴,∴,,∴,,.∵,,即,.又,∴平面.........................6分（2）由（1）题得,,设平面的法向量为,则,,即,∴.故平面的法向量可取为.∵,∴到平面的距离为........................12分21．（1）因为，所以（，且），则（，且）.即（，且）.因为，所以，即.所以是以为首项，为公比的等比数列.故........................6分（2），所以.所以，故 12分22．（）∵是矩形，∴，又∵平面，∴，，即，，两两垂直，∴以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，由，，得，，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，∴，∴，故与平面所成角的正弦值为．.......................6分（）由（）可得，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，∴，∴，故平面MCB与平面CBP夹角的余弦值为．.......................12分2020-2021学年高二数学上学期第5学段模块检测试题第I卷（选择题共60分）一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．直线的倾斜角是（）A．B．C．D．2．若等差数列，且，，则的值为（）A．21 B．63 C．13 D．573．已知直线l过点且与直线垂直，则l的方程是（）A．B．C．D．4．若直线的方向向量，平面的法向量，则（）A．B．C． D．或5．已知数列的前项和为，若，则（）A．1 B．-1 C．0 D．26．已知过点和点的直线为，，．若，，则的值为（）A．B．C．0 D．87．在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（）A．B．C．D．8．我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为，数列的前项和为，则使得不等式成立的正整数的最小值为（）．A．9 B．10 C．11 D．12二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．与均为的最大值10．若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为（）A．B．C．D．11．设几何体是棱长为a的正方体，与相交于点O，则（）A．B．C．D．12．已知各项均为正项的等比数列,，,其前和为,下列说明正确的是（）A．数列为等差数列 B．若,则C． D．记,则数列有最大值.第II卷（非选择题共90分）三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设等差数列的前项和为，若，，则等于______.14．直线l过点P（1，5），且与以A（2，1），为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为______．15．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于________________．16．在下列命题中：①若，共线，则，所在的直线平行；②若，所在的直线是异面直线，则，一定不共面；③若，，三向量两两共面，则，，三向量一定也共面；④已知三向量，，，则空间任意一个向量总可以唯一表示为，其中不正确的命题为________．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本题满分10分)已知点，，．（1）若D为线段的中点，求线段的长；（2）若，且，求a的值，并求此时向量与夹角的余弦值．18．(本题满分12分)三角形的三个顶点为（1）求边上高所在直线的方程；（2）求边上中线所在直线的方程.19．(本题满分12分)设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．20．(本题满分12分)如图,棱锥的底面是矩形,PA平面ABCD，,.(1)求证: 平面;(2)求点到平面的距离..21．(本题满分12分)设数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.22．(本题满分12分)如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．（）求与平面所成角的正弦．（）求平面MCB与平面CBP夹角的余弦值.2020—2021学年第一学期高二年级第5学段模块检测数学试题答案及评分标准选择题：每小题5分，共60分B 2. D 3.A 4.D 5.D 6.A 7.C 8.C 9.ABD 10.ABC 11.AC 12.ABD二．填空题：每小题5分，共20分13．45 14．（-∞，-4]∪[5-，+∞） 15. 16．①②③④三. 解答题：本大题共6小题，17题10分，其它题每题12分，共70分.17．（1）由题意，点，且点D为线段的中点，可得，则，所以，即线段的长为．.................................5分（2）由点，，则，所以，解得，所以，则，即向量与夹角的余弦值为．．...............................10分18．（1）由题意可得则边上高所在直线的斜率为-3，又高线过所以边上高所在直线的方程为，即............................6分(2)由题知中点M的坐标为，所以中线所在直线的方程为即．..............12分19．（Ⅰ）an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）2n﹣1 2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列∴设其公比为q，q＞0 ∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2="2×q+4"解得q=2或q=﹣1 ∵q＞0∴q="2"∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n.......................6分（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2. 12分20．（1）建系如图所示的空间直角坐标系,则,,,在中, ,,∴,∴,,∴,,.∵, ,即,.又,∴平面.........................6分（2）由（1）题得,,设平面的法向量为,则,,即,∴.故平面的法向量可取为.∵,∴到平面的距离为........................12分21．（1）因为，所以（，且），则（，且）.即（，且）.因为，所以，即.所以是以为首项，为公比的等比数列.故........................6分（2），所以.所以，故 12分22．（）∵是矩形，∴，又∵平面，∴，，即，，两两垂直，∴以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，由，，得，，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，∴，∴，故与平面所成角的正弦值为．.......................6分（）由（）可得，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，∴，∴，故平面MCB与平面CBP夹角的余弦值为．.......................12分。

2021-2022年高二必修五数学测评卷答案

全品学练考|高中数学必修5 新课标（BS ）单元测评(一)1.C [解析] 逐个验证选项即可.2.C [解析] a 2+a 10=2a 6=16,则a 6=8,∴a 4+a 6+a 8=3a 6=24.故选C .3.A [解析] 由8a 2+a 5=0,得q 3=a 5a 2=-8,所以q=-2,所以S5S 2=a 1[1-(-2)5]1-(-2)a 1[1-(-2)2]1-(-2)=1-(-2)51-(-2)=-11.故选A .4.C [解析] ∵等差数列{a n }中,a 1,a 2,a 5成等比数列且a 1=1,∴由a 22=a 1a 5,得(1+d )2=1+4d ,∴d=2或0.5.B [解析] 设塔的顶层共有a 1盏灯,根据题意得a 1(1-27)1-2=381,解得a 1=3.6.B [解析] 两式相减得,3a 3=a 4-a 3,即a 4=4a 3,∴q=a4a 3=4.7.C [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ,显然q ≠1,所以9(1-q 3)1-q=1-q 61-q ,化简得1+q 3=9,所以q=2,所以{1a n}是首项为1,公比为12的等比数列,故其前5项和为1-(12)51-12=3116.8.C [解析]a m a n=2a m 2a n=2n -12m -1·2m -12·(a 1+a 2m -1)2n -12·(a 1+a 2n -1)=2n -12m -1·S 2m -1S 2n -1=2m -32n -3.9.C [解析] 由a 8=S 8-S 7,S 7=S 8,得a 8=0,由S 9-S 8<0,得a 9<0,∴d<0,故知C 选项中说法错误. 10.B [解析] 因为S n+1-S n =a n+1=2a n ,所以{a n }是以1为首项,2为公比的等比数列,所以a 10=a 1×29=29=512.故选B .11.C [解析] S n =21+1+22+3+...+2n +(2n-1)=(21+22+ (2))+(1+3+…+2n-1)=2×(1-2n )1-2+(1+2n -1)2·n=2n+1-2+n 2.12.A [解析] ∵a 1=1,a 1,a 3,a 13成等比数列,,∴(1+2d )2=1+12d ,解得d=2或d=0(舍去),∴a n =2n-1,∴S n =n(1+2n -1)2=n 2,∴2S n +16a n +3=2n 2+162n+2=n 2+8n+1,令t=n+1,则2S n +16a n +3=t+9t -2≥6-2=4,当且仅当t=9t ,即t=3时,等号成立.故选A .13.16 255 [解析] 由a 1=1,a n+1=2a n (n ∈N *)可知,数列{a n }是首项为1,公比为2的等比数列,故a n =2n-1,∴a 5=24=16,易知S 8=28-12-1=255.14.54 [解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d.由题意得4a 1+4×(4-1)2d=14,[10a 1+10×(10-1)2d]-[7a 1+7×(7-1)2d]=30,联立解得a 1=2,d=1,所以S 9=9×2+9×(9-1)2×1=54.15.4 [解析] 由已知可得a n +a 1=a n+1,∴{a n }是首项为19,公差为19的等差数列,∴a 36=4. 16.1318,+∞ [解析] 由题意可得a n =3n,b n =3+n-6=n-3,当(2λ-1)a n >36b n时,2λ-1>36(n -3)3n,∴λ>3n +36(n -3)2×3n=12+18(n -3)3n,n ∈N *,其中18(n -2)3n+1-18(n -3)3n=18(7-2n)3n+1,故当n=4时,3n +36(n -3)2×3n=1318取得最大值,则实数λ的取值范围是1318,+∞.17.解:(1)设数列{a n }的公比为q , 则{a 1q =3,a 1q 4=81,解得{a 1=1,q =3,∴数列{a n }的通项公式为a n =3n-1. (2)∵b n =log 3a n =log 3 3n-1=n-1,∴S n =(1+2+3+…+n )-n=n(n+1)2-n=n(n -1)2.。

2020-2021学年高中数学模块综合测评北师大版必修5

模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b,c．若c＝4，a＝4错误!,A ＝45°，则sin C等于( ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!A［由正弦定理得sin C＝c·sin Aa＝4×错误!＝错误!．］2．函数y＝错误!的定义域为( )A．（－4，－1）B．（－4,1）C．（－1，1) D．(－1，1］C[由题错误!⇒－1<x〈1．]3．已知等差数列{a n｝的前n项和为S n,若S1＝1,错误!＝4，则错误!的值为（）A．32B．错误!C．错误!D．4C[由题意知a1＝S1＝1，设公差为d，则S4＝4a1＋6d，S2＝2a1＋d，结合S4＝4S2得d＝2，∴S4＝16，S6＝36，∴错误!＝错误!．]4．当x〉1时,不等式x＋1x－1≥a恒成立,则实数a的取值范围是（）A．(－∞，2] B．[2,＋∞）C．［3,＋∞) D．(－∞，3] D[∵x〉1，∴x－1〉0．又x＋错误!＝x－1＋错误!＋1≥2＋1＝3，（当且仅当x＝2时取“＝”），要使x＋错误!≥a恒成立，只需a≤3．故选D．］5．已知p＝a＋错误!(a〉2),q＝（x∈R)，则p、q的大小关系为( ）A．p≥q B．p〉qC．p〈q D．p≤qA[p＝a＋错误!＝(a－2)＋错误!＋2≥4，当且仅当a＝3时等号成立；当且仅当x＝0时等号成立．显然,p≥q．］6．已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，那么cos C的值为（)A．－错误!B．错误!C．－错误!D．错误!A［由题意知，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝3∶2∶4，设a＝3k，b ＝2k，c＝4k,∴cos C＝错误!＝错误!＝－错误!．］7．设S n是等差数列{a n｝的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )A．5 B．7C．9 D．11A[a1＋a3＋a5＝3a3＝3⇒a3＝1，S5＝错误!＝5a3＝5．故选A．]8．已知数列｛log2x n｝是公差为1的等差数列,数列{x n}的前100项的和等于100，则数列{x n｝的前200项的和等于（）A．100×(1＋2100) B．100×2100C．1＋2100D．200A［由已知，得log2x n＋1－log2x n＝1，∴错误!＝2，∴数列{x n｝是以2为公比的等比数列．∵数列｛x n}的前100项的和等于100，由定义得，数列{x n}的前200项的和等于100×（1＋2100)．］9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，，y －3≤0，则目标函数z＝y －2x 的最小值为（）A ．－7B ．－4C ．1D ．2A [由x ，y 满足约束条件错误!画出可行域如图，容易求出A (2，0),B (5，3)，C （1,3)，可知z ＝y －2x 过点B (5,3）时，z 最小值为3－2×5＝－7．]10．等差数列｛a n ｝中，若3a 8＝5a 13,且a 1〉0,S n 为前n 项和，则S n 中最大的是( ）A ．S 21B ．S 20C ．S 11D ．S 10B [设数列｛a n }的公差为d ，因为3a 8＝5a 13，所以2a 1＋39d ＝0，即a 1＋a 40＝0，所以a 20＋a 21＝0,又a 1>0,d 〈0，故a 20>0,a 21〈0，所以S n 中最大的是S 20．] 11．如图，一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直接行驶至海岛C ，则此船沿方向行驶海里至海岛C （）A．北偏东60°；10错误!B．北偏东40°；10错误!C．北偏东30°；10错误!D．北偏东20°;10错误!B[由已知得在△ABC中，∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°，AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°，所以从A到C的航向为北偏东70°－30°＝40°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos∠ABC＝102＋102－2×10×10×错误!＝300，所以AC＝103．］12．若直线ax－y－a＋3＝0将x，y满足的不等式组错误!表示的平面区域分成面积相等的两部分，则z＝4x－ay的最大值是( ）A．－8 B．2C．4 D．8C[由直线ax－y－a＋3＝0，得a（x－1)＋（3－y）＝0，此直线恒过点C（1,3)．不等式组错误!表示的平面区域如图中阴影部分所示．由错误!解得B（3,4）．由错误!解得A(－1，2)，可得C(1，3)是AB的中点．若直线ax－y－a＋3＝0，将阴影部分所表示的平面区域分成面积相等的两部分，则直线过顶点M（0，1），将M(0,1)代入ax－y－a＋3＝0，解得a＝2．z＝4x－ay＝4x－2y，即y＝2x－错误!．易知当y＝2x－错误!经过点B时,目标函数取得最大值，且最大值为4×3－2×4＝4．故选C．］二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分．将答案填在题中的横线上）13．已知二次函数f(x）＝ax2－3x＋2，不等式f(x)＞0的解集为｛x｜x ＜1或x＞b｝，则b＝．2 ［由题意知1，b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，由根与系数的关系得错误!∴错误!］14．在等比数列｛a n}中，a1＝2，前n项和为S n，若数列{a n＋1｝也是等比数列,则S n＝．2n[因为数列{a n｝为等比数列，则a n＝2q n－1，又数列｛a n＋1}也是等比数列，则（a n＋1＋1）2＝（a n＋1）（a n＋2＋1)⇒a错误!＋2a n＋1＝a n a n＋2＋a n＋a n＋2，解得q＝1，a n＝2，所以S n＝2n．］15．如图,海岸线上有相距5海里的两座灯塔A,B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔A的北偏西75°,与A相距3错误!海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处，则两艘轮船之间的距离为海里．13 ［如图,连接AC,由题意知,AB＝BC＝5，∠ABC＝60°,所以△ABC为等边三角形，则AC＝5，在△ACD中,AD＝3错误!，∠DAC＝45°,由余弦定理得CD＝错误!．］16．实数x，y满足错误!，若x－2y≥m恒成立，则实数m的取值范围是．（－∞，4] [x，y满足的平面区域如图：设z＝x－2y，则y＝错误!x－错误!z，当经过图中的A时z最小,由错误!得到A（2,3），所以z的最小值为2－2×3＝－4，所以实数m的取值范围是(－∞，－4]．］三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分）已知数列｛a n｝满足a1＝－2，a n＋1＝2a n＋4．（1）求证{a n＋4}是等比数列,并求数列{a n｝的通项公式；（2）求数列｛a n｝的前n项的和S n．［解] （1)证明：a n＋1＝2a n＋4，变形为a n＋1＋4＝2(a n＋4）．又∵a1＝－2，∴a1＋4＝2，∴数列｛a n＋4｝是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n＋4＝2n，a n＝2n－4．(2）由（1）可知，a n＝2n－4，∴S n＝2＋22＋…＋2n－4n＝错误!－4n＝2n＋1－4n－2．18．(本小题满分12分）已知a，b,c分别为△ABC三个内角A,B，C的对边,2b＝3a sin B＋b cos A，c＝4．(1)求A;（2）若D是BC的中点，AD＝错误!,求△ABC的面积．[解] (1)∵2b＝3a sin B＋b cos A，可得:2sin B＝错误!sin A sin B＋sinB cos A，由sin B≠0，可得2＝错误!sin A＋cos A，∴sin错误!＝1，∵A∈（0,π），可得:A＋错误!∈错误!，∴A＋错误!＝错误!,解得:A＝错误!．（2）设BD＝CD＝x，则BC＝2x，由于cos A＝错误!＝错误!，可得：4x2＝b2－4b＋16，①∵∠ADB＝180°－∠ADC，∴cos∠ADB＋cos∠ADC＝0,∵错误!＋错误!＝0，可得：2x2＝b2＋2，②联立①②可得：b2＋4b－12＝0，解得b＝2．∴S△ABC＝错误!bc sin A＝错误!×2×4×错误!＝2错误!．19．(本小题满分12分）某蔬菜基地种植甲、乙两种无公害蔬菜．生产一吨甲种蔬菜需用电力9千瓦时,耗肥4吨，3个工时；生产一吨乙种蔬菜需用电力5千瓦时，耗肥5吨，10个工时，现该基地仅有电力360千瓦时,肥200吨，工时300个．已知生产一吨甲种蔬菜获利700元，生产一吨乙种蔬菜获利1 200元，在上述电力、肥、工时的限制下，问如何安排甲、乙两种蔬菜种植，才能使利润最大？最大利润是多少?［解] 设种植甲种蔬菜x吨，乙种蔬菜y吨，利润为z元,根据题意可得错误!目标函数为：z＝700x＋1 200y，作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图，作直线：700x ＋1 200y＝0，即7x＋12y＝0，平移直线，当直线过A点时目标函数取最大值．解方程组错误!得x＝20，y＝24．所以点A的坐标为（20,24）．所以z max＝700×20＋1 200×24＝42 800．即种植甲种蔬菜20吨，乙种蔬菜24吨，才能使利润最大,最大利润为42 800元．20．（本小题满分12分）解关于x的不等式ax2－2（a＋1)x＋4〉0．［解］当a＝0时,－2x＋4〉0，解集为{x｜x〈2｝．当a≠0时，原不等式可化为（ax－2)·(x－2)〉0，则(1)a<0时，原不等式等价于x－错误!·（x－2）<0，又错误!〈0<2，所以解集为错误!;（2)a>0时,原不等式等价于x－错误!·(x－2）〉0，令错误!＝2，则a＝1，则①当a＝1时，不等式解集为｛x｜x≠2}；②当a>1时,错误!<2，不等式解集为错误!；③当0<a<1时,错误!〉2，不等式解集为错误!．21．(本小题满分12分）等差数列｛a n｝的前n项和为S n,且a2＝4，S5＝30,数列｛b n｝满足b1＋2b2＋…＋nb n＝a n．(1)求a n;（2）设c n＝b n·b n＋1，求数列｛c n｝的前n项和T n．[解] （1）设等差数列{a n}的公差为d,∵a2＝4，S5＝30，∴错误!，解得a1＝d＝2．∴a n＝2＋2(n－1）＝2n．（2)∵b1＋2b2＋…＋nb n＝a n，∴当n＝1时，b1＝a1＝2;当n≥2时，b1＋2b2＋…＋(n－1)b n－1＝a n－1，∴nb n＝a n－a n－1＝2，解得b n＝错误!．∴c n＝b n·b n＋1＝错误!＝4错误!．∴数列{c n｝的前n项和22．(本小题满分12分）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．(1）求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值．［解] (1)由题设，得S＝（x－8)错误!＝－2x－错误!＋916，x∈(8，450）．(2）因为8〈x<450,所以2x＋错误!≥2错误!＝240．当且仅当2x＝错误!，即x＝60时等号成立．从而S≤－240＋916＝676．故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2．- 11 -。

2020-2021学年高二数学北师大版必修5模块综合评估1 Word版含解析

模块综合评估(一)时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．数列1,3,7,15，…的通项公式a n 可能是( C ) A ．2nB ．2n＋1 C ．2n－1 D ．2n －1解析：取n ＝1时，a 1＝1，排除A 、B ，取n ＝2时，a 2＝3，排除D. 2．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x <2}，则A ∩B ＝( A ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2) C ．[－1,1] D ．[1,2)解析：由已知，可得A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，则A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1]．故选A.3．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为( A ) A ．5 2 B ．5 3 C ．2 5 D ．3 5解析：依题意，知三角形的最大边为b .由于A ＝30°，根据正弦定理，得bsin B ＝a sin A ，所以b ＝a sin B sin A ＝5sin135°sin30°＝5 2.4．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( A ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2 D ．1<m <3解析：因为f (x )＝－x 2＋mx －1有正值，所以Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.5．已知c <d ，a >b >0，则下列不等式中必成立的一个是( B ) A ．a ＋c >b ＋d B ．a －c >b －d C ．ad >bc D.a c >b d解析：由不等式的性质可知c <d ，∴－c >－d .又a >b >0，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )，即a －c >b －d .6．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( D )A ．－9B ．－15C ．15D ．±15解析：因为a 24＋a 27＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9，所以a 4＋a 7＝±3，所以a 1＋a 10＝±3，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝±15. 7．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g 药品，他先将5 g 的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5 g 的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( B )A ．小于10 gB ．大于10 gC ．大于等于10 gD ．小于等于10 g解析：设左、右臂长分别为t 1，t 2(t 1≠t 2)，第一次称的药品为x 1 g ，第二次称的药品为x 2 g ，则有5t 1＝x 1t 2，x 2t 1＝5t 2，所以x 1＋x 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t 1t 2＋t 2t 1>5×2＝10，即大于10 g.8．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx 的取值范围是( C )A ．(3,6) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫95，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，6 D ．(3，＋∞)解析：作出可行域，如图阴影部分所示．目标函数z ＝y x ＝y －0x －0的几何意义是可行域内的点(x ，y )与原点(0,0)间连线的斜率．由图可知k OC ≤z ≤k OB .易求得B (1,6)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，92，因为k OC ＝95，k OB ＝61＝6，所以95≤z ≤6. 9．在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一。

2020年高中数学人教A版必修五模块综合测评1 Word版含答案

模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是()A.1a>1b B.ba>1C．a2<b2D．ab<a＋b 【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则1a<1b，A错；ba<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】 D2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有()A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2【解析】∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.【答案】 A3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于()A．3∶2∶1 B.3∶2∶1C.3∶2∶1 D．2∶3∶1【解析】∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°.∴a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1.【答案】 D4．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322 D ．2【解析】由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B ，C 两点横坐标分别为－1，12.∴S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－(－1)＝32.【答案】 B5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.32 D. 3【解析】根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.【答案】 D6．(2016·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，又∵a 2·a 6＝a 23，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，∴d ＝－2a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.【答案】 A7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，∵x ＋1x ≥52，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.【答案】 C8．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0. 【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝( )A ．189B ．186C ．180D ．192【解析】由a n ＋1＝2a n ，知{a n }为等比数列， ∴a n ＝2n . ∴2b n ＝2n ＋2n ＋1，即b n ＝3·2n －1，∴S 6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189. 【答案】 A10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc >0，T ＝1a ＋1b ＋1c ，则( ) A ．T >0 B ．T <0 C ．T ＝0 D ．T ≥0【解析】法一取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，则T＝－32<0，排除A，C，D，可知选B.法二由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，不妨设a>0，b<0，c<0，则T＝1a＋1b＋1c＝ab＋bc＋caabc＝ab＋c(b＋a)abc＝ab－c2abc.∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0，应选B.【答案】 B11．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝()A．2 3 B．2 C. 2 D．1【解析】由正弦定理得：asin A＝bsin B，∵B＝2A，a＝1，b＝3，∴1sin A＝32sin A cos A.∵A为三角形的内角，∴sin A≠0.∴cos A＝3 2.又0＜A＜π，∴A＝π6，∴B＝2A＝π3.∴C＝π－A－B＝π2，∴△ABC为直角三角形．由勾股定理得c＝12＋(3)2＝2.【答案】 B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()A．13项B．12项C．11项D．10项【解析】设该数列的前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1q n－3，a1q n －2，a1q n－1.所以前三项之积a31q3＝2，后三项之积a31q3n－6＝4，两式相乘，得a61q3(n－1)＝8，即a21q n－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1q n－1＝64，所以a n1·q n(n－1)2＝64，即(a21q n－1)n＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C ＝________. 【导学号：05920086】【解析】由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12.【答案】 1214．(2015·湖北高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值是________．【解析】画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.【答案】 1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．【解析】设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.【答案】 [2,8] 16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝________. 【解析】分n 为奇数、偶数两种情况．第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n2×(3＋2n －1)2＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式为 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2 ＝(－1)n＋1n (n ＋1)2.【答案】 (－1)n ＋1n (n ＋1)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a 2＋c 2－b 2，－3a )，n ＝(tan B ，c )，且m ⊥n ，求∠B 的值．【解】由m ⊥n 得(a 2＋c 2－b 2)·tan B －3a ·c ＝0，即(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，得a 2＋c 2－b 2＝3ac tan B ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B ，即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32，所以∠B ＝π3或∠B ＝2π3.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7, 求b 6. 【导学号：05920087】【解】 ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4， ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8. ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5 ·a 7＝32. ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 【导学号：05920088】【解】原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ；②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a <－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a ≤x ≤－1. 综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．【解】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4. ∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158. ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)(2016·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n＋1＝－2a n＋5×3n，∴a n＋1－3n＋1＝－2(a n－3n)．又∵a1－3＝2，∴a n－3n≠0，∴{a n－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴a n－3n＝2×(－2)n－1，即a n＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品，制造1 t A,1 t B产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：原料每种产品所需原料(t)现有原料数(t)A B甲2114乙1318利润(万元/t)53—(2)每吨B产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【解】(1)生产A，B两种产品分别为x t，y t，则利润z＝5x＋3y，x，y满足⎩⎨⎧2x＋y≤14，x＋3y≤18，x≥0，y≥0，作出可行域如图：当直线5x＋3y＝z过点B⎝⎛⎭⎪⎫245，225时，z取最大值3715，即生产A产品245t，B 产品225t时，可得最大利润．(2)设每吨B产品利润为m万元，则目标函数是z＝5x＋my，直线斜率k＝－5m，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点，则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15，则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245 t ，B 产品225 t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品6 t ，若B 产品利润低于52万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word 文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

【创新设计】2022-2021学年高二数学北师大版必修5 模块检测

模块检测一、选择题1．假如a <0，b >0，那么，下列不等式中正确的是( ) A.1a <1b B.－a <b C ．a 2<b 2 D ．|a |>|b |答案 A解析假如a <0，b >0，那么1a <0，1b >0，∴1a <1b. 2．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则sin A 的值是( ) A.5719 B.217 C.338D.2319答案 A解析由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6×(－12)＝76，∴c ＝76＝219.又依据正弦定理a sin A ＝csin C ，得sin A ＝a sin C c ＝4×32219＝5719.3．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( ) A ．12 B ．18 C ．22 D ．44 答案 C解析 S 11＝(a 1＋a 11)×112＝11×(a 2＋a 10)2＝22.4．若x <0，则函数f (x )＝x 2＋1x 2－x －1x 的最小值为( )A ．－94B ．0C ．2D ．4答案 D解析 f (x )＝(x 2＋1x 2)＋(－x )＋(1－x)≥2x 2·1x2＋2(－x )·1－x＝4.当且仅当x 2＝1x 2且－x ＝－1x，即x ＝－1时取“＝”．5．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( )A ．－9B ．－15C ．15D ．±15 答案 D解析 a 24＋a 27＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9，∴a 4＋a 7＝±3，∴a 1＋a 10＝±3， ∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝±15.6．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C 等于( )A.32 B.12 C.33D.34答案 B解析由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12，选B.7．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形答案 A解析 ∵lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2， ∴lgsin Acos B sin C＝lg 2.∴sin A ＝2cos B sin C .∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sin(B ＋C )＝2cos B sin C ， ∴sin(B －C )＝0.∴B ＝C ，∴△ABC 为等腰三角形．8．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( ) A ．(0,2) B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2) 答案 B解析 ∵x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0， ∴x 2＋x －2<0.∴－2<x <1. 9．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40，x ＋2y ≤50，x ≥0，y ≥0.则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．90B ．80C ．70D ．40 答案 C解析作出可行域如图所示．由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2、－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10,20)时，z 有最大值，z 的最大值为70.10．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为 ( )A ．0 B.98 C ．2 D.94答案 C解析 ∵x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0， ∴得z ＝x 2－3xy ＋4y 2.又x ，y ，z 为正实数，∴z xy ＝x y ＋4yx －3≥2x y ·4yx－3＝1(当且仅当x ＝2y 时取“＝”) 即x ＝2y (y ＞0)，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y － (x 2－3xy ＋4y 2)＝4y －2y 2＝－2(y －1)2＋2≤2. ∴x ＋2y －z 的最大值为2.故选C. 二、填空题11．已知0<x <6，则(6－x )·x 的最大值是________．答案 9解析 ∵0<x <6，∴6－x >0. ∴(6－x )·x ≤(6－x ＋x 2)2＝9.当且仅当6－x ＝x ，即x ＝3时，取等号． 12．观看下列等式： 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n ＋1n 2＝________. 答案 (－1)n ＋12n (n ＋1)解析分n 为奇数、偶数两种状况．第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n ＋1n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n2×(3＋2n －1)2＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式为－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n个等式：12－22＋32－…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)． 13．2010年11月12日广州亚运会上进行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最终一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B的距离为106米，则旗杆的高度为________米．答案 30解析由题意，可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理，得AN sin 45°＝106sin 30°，解得AN ＝203米，在Rt △AMN 中，MN ＝203sin 60°＝30米．故旗杆的高度为30米． 14．设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0，若z 的最大值为12，则实数k ＝________.答案 2解析可行域如图阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝02x －y －4＝0，得A (4,4)，同样，得B (0,2)，目标函数z ＝kx ＋y 变形为y ＝－kx ＋z ，①当－k <12时，由图可看出z 在x ＝4，y ＝4时取最大值，即直线z ＝kx ＋y 在y 轴上的截距z 最大，此时，12＝4k ＋4，故k ＝2.②当－k ≥12时，目标函数z ＝kx ＋y 在x ＝0，y ＝2时取最大值，即直线z ＝kx ＋y 在y 轴上的截距z 最大，此时，12≠0×k ＋2，故k 不存在．综上，k ＝2.故答案为2. 三、解答题15．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知13S 3，14S 4的等比中项为15S 5；13S 3，14S 4的等差中项为1，求数列{a n }的通项公式．解设等差数列{a n }的首项为a 1＝a ，公差为d ，则S n ＝na ＋n (n －1)2d .依题意有⎩⎪⎨⎪⎧13⎝⎛⎭⎫3a ＋3×22d ×14⎝⎛⎭⎫4a ＋4×32d ＝125⎝⎛⎭⎫5a ＋5×42d 2，13⎝⎛⎭⎫3a ＋3×22d ＋14⎝⎛⎭⎫4a ＋4×32d ＝1×2，整理得⎩⎪⎨⎪⎧3ad ＋5d 2＝0，2a ＋52d ＝2，∴a ＝1，d ＝0或a ＝4，d ＝－125.∴a n ＝1或a n ＝325－125n ，经检验a n ＝1和a n ＝325－125n 均合题意．∴所求等差数列的通项公式为a n ＝1或a n ＝325－125n .16．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 由于B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin(A －π6)＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.17．如图，某校有一块形如直角三角形ABC 的空地，其中B 为直角，AB 长为40米，BC长为50米，现欲在此空地上建筑一间健身房，其占地外形为矩形，且B 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．解如图，设矩形为EBFP , FP 长为x 米，其中0＜x ＜40，健身房占地面积为y 平方米．由于△CFP ∽△CBA ，以FP BA ＝CF CB ，x 40＝50－BF50，求得BF ＝50－54x ，从而y ＝BF ·FP ＝(50－54x )x ＝－54x 2＋50x＝－54(x －20)2＋500≤500,当且仅当x ＝20时，等号成立．答该健身房的最大占地面积为500平方米．18．已知数列{a n }满足3na n ＋1＝(a n ＋2n )(n ＋1)，n ∈N ＋，且a 1＝43.(1)设数列{b n }满足b n ＝a nn －1，求证：数列{b n }是等比数列；(2)若S n 为数列{a n }的前n 项和，求证：4S n ＜2n 2＋2n ＋3. 证明 (1)b n ＝a nn －1,3na n ＋1＝(a n ＋2n )(n ＋1)，n ∈N ＋，b n ＋1＝a n ＋1n ＋1－1＝(a n ＋2n )(n ＋1)3n n ＋1－1＝(a n ＋2n )3n －1＝a n 3n ＋23－1＝13·a n n －13＝13(a n n －1)＝13b n ，故{b n }是以13为公比的等比数列．(2)由(1)知a n n －1＝(a 11－1)·(13)n －1＝(13)n ⇒a n ＝n3n ＋n ，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(131＋1)＋(232＋2)＋…＋(n 3n ＋n )＝(131＋232＋…＋n3n )＋(1＋2＋…＋n )，设T n ＝131＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n 3n ，①则13T n ＝132＋233＋…＋n －23n －1＋n －13n ＋n3n ＋1，② ①－②，得23T n ＝131＋132＋…＋13n －n 3n ＋1＝12(1－13n )－n3n ＋1，所以T n ＝34(1－13n )－n 2×3n，所以S n ＝T n ＋n (n ＋1)2＝34(1－13n )－n2×3n ＋n (n ＋1)2，即4S n ＝3－33n －2n3n ＋2n (n ＋1)＝2n 2＋2n ＋3－2n ＋33n＜2n 2＋2n ＋3.。

2020高中数学人教A必修5模块综合测评2 Word版含解析

模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列1,3,7,15，…的通项a n可能是( )A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2n－1【解析】取n＝1时，a1＝1，排除A、B，取n＝2时，a2＝3，排除D.【答案】 C2．不等式x2－2x－5>2x的解集是( )A．{x|x≤－1或x≥5}B．{x|x<－1或x>5}C．{x|1<x<5}D．{x|－1≤x≤5}【解析】不等式化为x2－4x－5>0，所以(x－5)(x＋1)>0，所以x<－1或x>5.【答案】 B3．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( )A．16 B．32C．64 D．256【解析】∵{a n}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝a210(a n>0)，∴a8·a10·a12＝a310＝64.【答案】 C4．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【解析】5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12B.32 C ．1D.34【解析】 ∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ， ∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12，故选 A.【答案】 A6．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 25【解析】由等比数列的性质得a 3a 6a 18＝a 6a 10a 11＝a 8a 9a 10＝a 39，而T 17＝a 179，故T 17为常数．【答案】 C7．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3【解析】由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3. 【答案】 A8．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n ＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S 7＝381.请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a 1.代入公式S n ＝a 11－q n 1－q ，即381＝a 11－271－2，∴a 1＝381127＝3.∴此塔顶有3盏灯．【答案】 B9．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则y x 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0的相关区域如图中的阴影部分所示． y x 表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，y x 的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 C10．在△ABC 中，若c ＝2b cos A ，则此三角形必是( ) A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形D ．有一角为30°的直角三角形【解析】由正弦定理得sin C ＝2cos A sin B ， ∴sin (A ＋B )＝2cos A sin B ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ，即sin A cos B－cos A sin B＝0，所以sin (A－B)＝0.又因为－π<A－B<π，所以A－B＝0，即A＝B.【答案】 A11．函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值是( )A．23＋2 B．23－2 C．2 3 D．2【解析】∵x>1，∴x－1>0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2≥23＋2. 【答案】 A12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tan B＝2－3a2－b2＋c2，BC→·BA→＝12，则tan B等于( )A.32B.3－1C ．2D ．2－ 3【解析】由BC →·BA →＝12，得ac cos B ＝12，∴2ac cos B ＝1.又由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－1， ∴a 2－b 2＋c 2＝1， ∴tan B ＝2－31＝2－ 3.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x ＋by ＋1>0表示的平面区域内，则b 的取值范围是______. 【导学号：05920089】【解析】点P (1，－2)关于原点的对称点为点P ′(－1，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2×1－2b ＋1>0，－2＋2b ＋1>0，解得12<b <32.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3214．(2015·江苏高考)设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．【解析】由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝n －12＋n2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n 2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式， ∴a n ＝n 2＋n 2(n ∈N *)．∴1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.【答案】 201115．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sinA －sinB )＝(c －b )sinC ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ， ∴a 2－b 2＝c 2－bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°.∵在△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.【答案】316．若1a <1b<0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab >2；⑤a 2>b 2；⑥2a >2b .其中正确的不等式的序号为______．【解析】 ∵1a <1b<0，∴b <a <0，故③错；又b <a <0，可得|a |<|b |，a 2<b 2，故②⑤错，可证①④⑥正确．【答案】 ①④⑥三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．【解】 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0， ∴－247<d <－3.(2)∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7>0，a 7<0， ∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．18．(本小题满分12分)已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值．【解】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝－a ，αβ＝2b ，∴⎩⎨⎧a ＝－α＋β，b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2， ∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤－1，0≤b ≤1，建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．取B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32. 故b －3a －1的最大值是32，最小值是12. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，试求当△ABC 的面积取最大值时，△ABC 的形状. 【导学号：05920090】【解】 (1)∵(2b －c )cos A －a cos C ＝0，由余弦定理得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝0，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π， ∴A ＝π3.(2)由(1)得b 2＋c 2－bc ＝3及b 2＋c 2≥2bc 得bc ≤3. 当且仅当b ＝c ＝3时取等号． ∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334.从而当△ABC 的面积最大时，a ＝b ＝c ＝ 3.∴当△ABC 的面积取最大值时△ABC 为等边三角形．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.【解】 (1)∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立． ①当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；②当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0.∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ，即0≤a <12时， a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解； ③当1－a <a ，即12<a ≤1时， 1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为(a,1－a )；当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为(1－a ，a )． 21．(本小题满分12分)若数列{a n }满足a 2n ＋1－a 2n ＝d ，其中d 为常数，则称数列{a n }为等方差数列．已知等方差数列{a n }满足a n >0，a 1＝1，a 5＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和．【解】 (1)由a 21＝1，a 25＝9，得a 25－a 21＝4d ，∴d ＝2.a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∵a n >0，∴a n ＝2n －1.数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝(2n －1)12n ，设S n ＝1·12＋3·122＋5·123＋…＋(2n －1)·12n ，① 12S n ＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n －1)· 12n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －(2n －1)·12n ＋1 ＝12＋2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n －1)·12n ＋1，即S n ＝3－2n ＋32n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和为3－2n ＋32n .。

2021-2022高二数学北师大版必修5 模块综合测评 Word版含解析

模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( )A .8B .10C .12D .14解析:由于S 3=3a 1+3×(3-1)2d=3×2+3×22d=12,所以d=2.所以a 6=a 1+(6-1)d=2+5×2=12.故选C .答案:C2.已知c<d ,a>b>0,则下列不等式中必成立的一个是 ( )A.a+c>b+dB.a-c>b-dC.ad>bcD.a c>b d解析:由不等式的性质可知,c<d ,∴-c>-d.又a>b>0,∴a+(-c )>b+(-d ),即a-c>b-d.答案:B3.在△ABC 中,B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为( ) A.5√2B.5√3C.2√5D.3√5解析:依题意,知三角形的最大边为b.由于A=30°,依据正弦定理,得b sinB=a sinA ,所以b=asinB sinA =5sin135°sin30°=5√2.答案:A4.在△ABC 中,若AB=√5,AC=5,且cos C=910,则BC 为 ( )A.4B.5C.4或5D.3解析:设BC=x ,由余弦定理得5=x 2+25-2·5·x ·910,即x 2-9x+20=0,解得x=4或x=5. 答案:C5.若△ABC 中,sin B ·sin C=cos 2A2,则△ABC 的外形为 ( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形解析:由sin B ·sin C=cos 2A 2可得2sin B ·sin C=2cos 2A 2=1+cos A ,即2sin B ·sin C=1-cos(B+C )=1-cos B cos C+sin B sin C , 则sin B sin C+cos B cos C=1,即cos(B-C )=1, 又-π<B-C<π.所以B-C=0,即B=C.答案:C 6.假如不等式2x 2+2mx+m4x 2+6x+3<1对一切实数x 均成立,则实数m 的取值范围是( )A.(1,3)B.(-∞,3)C.(-∞,1)∪(2,+∞)D.(-∞,+∞) 解析:∵4x 2+6x+3=(2x +32)2+34>0,∴原不等式⇔2x 2+2mx+m<4x 2+6x+3⇔2x 2+(6-2m )x+(3-m )>0,x ∈R 恒成立⇔Δ=(6-2m )2-8(3-m )<0,解得1<m<3. 答案:A7.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d=2,S k+2-S k =24,则k=( ) A.8B.7C.6D.5解析:∵S k+2-S k =24,∴a k+1+a k+2=24,∴a 1+kd+a 1+(k+1)d=24, ∴2a 1+(2k+1)d=24.又∵a 1=1,d=2,∴k=5.答案:D8.已知a ,b ,c ,d 成等比数列,且曲线y=x 2-2x+3的顶点是(b ,c ),则ad 等于( ) A.3B.2C.1D.-2解析:∵y=x 2-2x+3的顶点为(1,2),∴b=1,c=2.又∵a ,b ,c ,d 成等比数列,∴a=12,d=4,∴ad=2. 答案:B9.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y 的最小值是( )A.3B.4C.92D.112解析:本题主要考查不等式的解法及最值的求法等学问.∵x+2y+2xy=8,∴(x+2y )+(x+2y 2)2≥8,解得x+2y ≥4.∴x+2y 的最小值为4.答案:B10.已知a>0,x ,y 满足约束条件{x ≥1,x +y ≤3,y ≥a (x -3).若z=2x+y 的最小值为1,则a=( )A.14B.12C.1D.2解析:由题意作出{x ≥1,x +y ≤3所表示的区域如图阴影部分所示,作直线2x+y=1,由于直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1),结合题意知直线y=a (x-3)过点(1,-1),代入得a=12,所以a=12. 答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为三个内角A ,B ,C 所对的边,设向量m =(b-c ,c-a ),n =(b ,c+a ),且m ⊥n ,b 和c 的等差中项为12,则△ABC 面积的最大值为 .解析:由m ⊥n 得(b-c )b+(c-a )(c+a )=0,整理得b 2+c 2-a 2=bc ,则cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,所以A=π3,sin A=√32.由于b 和c 的等差中项为12,所以b+c=1. 所以bc ≤(b+c 2)2=14,当且仅当b=c=12时取等号.从而S △ABC =12bc sin A ≤12×14×√32=√316. 答案:√31612.已知函数f (x )={x -1x ,x ≥2,x ,x <2,若使不等式f (x )<83成立,则x 的取值范围为 .解析:当x ≥2时,由x-1x <83化简得,3x 2-8x-3<0,解得-13<x<3,∴2≤x<3.当x<2时,x<83,∴x<2,∴x<3.答案:{x|x<3}13.若变量x ,y 满足约束条件{y ≤x ,x +y ≤4,y ≥k ,且z=2x+y 的最小值为-6,则k= .解析:画出可行域如图:画直线l 0:y=-2x ,平移直线l 0,当过A (k ,k )时,使得z 最小,由最小值为-6,可得3k=-6,解得k=-2. 答案:-214.设x ,y ∈R ,a>1,b>1,若a x =b y =3,a+b=2√3,则1x+1y的最大值为 . 解析:由于a>1,b>1,a x =b y =3,a+b=2√3,所以x=log a 3,y=log b 3.1x +1y=1log a 3+1log b 3=log 3a+log 3b=log 3ab ≤log 3(a+b 2)2=log 3(2√32)2=1,当且仅当a=b 时,等号成立.即1x+1y的最大值为1. 答案:115.设{a n }为公比q>1的等比数列,若a 2 013和a 2 014是方程4x 2-8x+3=0的两根,则a 2 015+a 2 016= . 解析:∵a 2021和a 2022是方程4x 2-8x+3=0的两根,而方程的两个根是x=12,x=32,又{a n }的公比q>1,∴a 2021=12,a 2022=32,∴q=3.∴a 2021+a 2022=a 2021q 2+a 2022q 2=(a 2021+a 2022)q 2=(12+32)×32=18.答案:18三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.(本小题满分12分)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c. (1)若a ,b ,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C ); (2)若a ,b ,c 成等比数列,求cos B 的最小值. 解:(1)∵a ,b ,c 成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.∵sin B=sin[π-(A+C )]=sin(A+C ), ∴sin A+sin C=2sin(A+C ).(2)∵a ,b ,c 成等比数列,∴b 2=ac. 由余弦定理得cos B=a 2+c 2-b22ac=a 2+c 2-ac 2ac≥2ac -ac 2ac =12,当且仅当a=c 时等号成立.∴cos B 的最小值为12.17.(本小题满分12分)已知关于x 的不等式x+2m >1+x -5m 2. (1)当m>0时,解这个不等式;(2)若此不等式的解集为{x|x>5},试求实数m 的值. 解:(1)原不等式可化为m (x+2)>m 2+x-5,(m-1)x>m 2-2m-5,若0<m<1,不等式的解集为 {x |x <m 2-2m -5m -1}; 若m=1,则不等式的解集为R ; 若m>1,则不等式的解集为 {x |x >m 2-2m -5m -1}. (2)由题意和(1)知,m>1且满足 {x |x >m 2-2m -5m -1}={x|x>5}, 于是m 2-2m -5m -1=5,解得m=7.18.(本小题满分12分)在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c.向量m =(1,cos B ),n =(sin B ,-√3),且m ⊥n .(1)求角B 的大小;(2)若△ABC 的面积为10√3,b=7,求此三角形周长. 解:(1)∵m ⊥n ,∴m ·n=0.∴m ·n=sin B-√3cos B=0. ∵△ABC 为锐角三角形, ∴tan B=√3.∵0<B<π2,∴B=π3.(2)∵S △ABC =12ac sin B=√34ac , 由题设知√34ac=10√3,得ac=40.由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,即49=a 2+c 2-ac ,∴(a+c )2=(a 2+c 2-ac )+3ac=49+120=169. ∴a+c=13,∴三角形周长是20.19.(本小题满分13分)在等差数列{a n }中,已知公差d=2,a 2是a 1与a 4的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =a n (n+1)2,记T n =-b 1+b 2-b 3+b 4-…+(-1)n b n ,求T n .解:(1)由题意知(a 1+d )2=a 1(a 1+3d ),即(a 1+2)2=a 1(a 1+6), 解得a 1=2,所以数列{a n }的通项公式为a n =2n.(2)由题意知b n =a n (n+1)2=n (n+1),所以T n =-1×2+2×3-3×4+…+(-1)n n ·(n+1).由于b n+1-b n =2(n+1), 可得当n 为偶数时,T n =(-b 1+b 2)+(-b 3+b 4)+…+(-b n-1+b n )=4+8+12+…+2n=n2(4+2n )2=n (n+2)2, 当n 为奇数时,T n =T n-1+(-b n )=(n -1)(n+1)2-n (n+1)=-(n+1)22.所以T n ={-(n+1)22,n 为奇数,n (n+2)2,n 为偶数.20.(本小题满分13分)如图,某学校拟建一块周长为400 m 的操场,操场的两头是半圆形,中间区域是矩形,同学做操一般支配在矩形区域.为了能让同学的做操区域尽可能大,试问如何设计矩形的长和宽? 解:设中间矩形区域的长、宽分别为x m,y m,中间的矩形区域面积为S m 2,则半圆的周长为πy2m .∵操场周长为400m, ∴2x+2×πy2=400,即2x+πy=400(0<x <200,0<y <400π). ∴S=xy=12π·(2x )·(πy )≤12π·(2x+πy 2)2=20000π. 由{2x =πy ,2x +πy =400,解得{x =100,y =200π.∴当且仅当{x =100,y =200π时,等号成立.即当矩形的长和宽分别设计为100m 和200πm 时,矩形区域面积最大.21.(本小题满分13分)设等差数列{a n }的公差为d ,点(a n ,b n )在函数f (x )=2x 的图像上(n ∈N +). (1)证明:数列{b n }为等比数列;(2)若a 1=1,函数f (x )的图像在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2-1ln2,求数列{a n b n 2}的前n 项和S n .(1)证明:由已知,b n =2a n >0.当n ≥1时,bn+1b n=2a n+1-a n=2d . 所以,数列{b n }是首项为2a 1,公比为2d 的等比数列.(2)解:函数f (x )=2x 在(a 2,b 2)处的切线方程为y-2a 2=(2a 2ln 2)(x-a 2),它在x 轴上的截距为a 2-1ln2.由题意,a 2-1ln2=2-1ln2. 解得a 2=2.所以,d=a 2-a 1=1,a n =n ,b n =2n ,a n b n 2=n ·4n .于是,T n =1×4+2×42+3×43+…+(n-1)·4n-1+n ·4n , 4T n =1×42+2×43+…+(n-1)×4n +n ·4n+1. 因此,T n -4T n =4+42+…+4n -n ·4n+1=4n+1-43-n ·4n+1=(1-3n )4n+1-43. 所以,T n =(3n -1)4n+1+49.。