初三动点问题

动点问题五（四边形）例1、（2011•山西，26）如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、C 两点．点A 的坐标为（8，o ），点B 的坐标为（11.4），动点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O 一C ﹣B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒（t ＞0）．△MPQ 的面积为S ． （1）点C 的坐标为 ，直线l 的解析式为．（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围． （3）试求题（2）中当t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值．（4）随着P 、Q 两点的运动，当点M 在线段CB 上运动时，设PM 的延长线与直线l 相交于点N ．试探究：当t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？请直接写出t 的值．分析：（1）由平行四边形的性质和点A 、B 的坐标便可求出C 点坐标，将C 点坐标代入正比例函数即可求得直线l 的解析式；（2）根据题意，得OP=t ，AQ=2t ，根据t 的取值范围不同分三种情况分别进行讨论，得到三种S 关于t 的函数，解题时注意t 的取值范围；（3）分别根据三种函数解析式求出当t 为何值时，S 最大，然后比较三个最大值，可知当当t =83时，S 有最大值，最大值为1289； （4）根据题意并细心观察图象可知；当t =6013时，△QMN 为等腰三角形． 解答：解：（1）由题意知：点A 的坐标为（8，0），点B 的坐标为（11.4），且OA=BC ，故C 点坐标为C （3，4），设直线l 的解析式为y=kx ，将C 点坐标代入y=kx ，解得k=43， ∴直线l 的解析式为y=43x ；故答案为（3，4），y=43x ； （2）解：根据题意，得OP=t ，AQ=2t ．分三种情况讨论： ①当0＜t ≤52时，如图l ，M 点的坐标是（t ，43t ）．过点C 作CD ⊥x 轴于D ，过点Q 作QE ⊥x 轴于E ，可得△AEO ∽△ODC ∴AQ AE QE OC OD CD ==，∴2534t AE QE ==，∴AE =65t ，EQ =85t ∴Q 点的坐标是（8+65t ，85t ），∴PE =8+61855t t t -=+ ∴S =21141216(8)2235153MP PE t t t t =⨯⨯+=+②当52＜t ≤3时，如图2，过点q 作QF ⊥x 轴于F ，∵BQ=2t ﹣5，∴OF =11﹣（2t ﹣5）=16﹣2t ∴Q 点的坐标是（16﹣2t £¬4），∴PF =16﹣2t ﹣t =16﹣3t ∴S=211432(163)22233MP PF t t t t =⨯⨯-=-+③当点Q 与点M 相遇时，16﹣2t =t ，解得t =163．当3＜t ＜163时，如图3，MQ =16﹣2t ﹣t =16﹣3t ，MP =4．S =12MP MF ∙=12•4•（16﹣3t ）=﹣6t +32（3）解：①当0＜t ≤52时，S=222162160(20)153153t t t +=+-∵a =215＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线t =20，∴当0＜t ≤52时，S 随t 的增大而增大．∴当t =52时，S 有最大值，最大值为856．②当52＜t ≤3时，S =﹣2t 2+23281282()339t t =--+． ∵a =﹣2＜0，抛物线开口向下．∴当t =83时，S 有最大值，最大值为1289．③当3＜t ＜163时，S =﹣6t +32，∵k =﹣6＜0．∴S 随t 的增大而减小．又∵当t =3时，S=14．当t=163时，S =0．∴0＜S ＜14．综上所述，当t =83时，S 有最大值，最大值为1289．（4）当t =6013时，△QMN 为等腰三角形．例2、（2011梧州，26，12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=6cm ，AB=8cm ，BC=14cm ．动点P 、Q 都从点C 出发，点P 沿C →B 方向做匀速运动，点Q 沿C →D →A 方向做匀速运动，当P 、Q 其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． （1）求CD 的长；（2）若点P 以1cm/s 速度运动，点Q 以22cm/s 的速度运动，连接BQ 、PQ ，设△BQP 面积为S （cm 2），点P 、Q 运动的时间为t （s ），求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）若点P 的速度仍是1cm/s ，点Q 的速度为acm/s ，要使在运动过程中出现PQ ∥DC ，请你直接写出a 的取值范围．分析：（1）过D 点作DH ⊥BC ，垂足为点H ，则在Rt △DCH 中，由DH 、CH 的长度，运用勾股定理即可求出CD 的长；（2）由于点P 在线段CB 上运动，而点Q 沿C →D →A 方向做匀速运动，所以分两种情况讨论：①点Q 在CD 上；②点Q 在DA 上．针对每一种情况，都可以过Q 点作QG ⊥BC 于G ．由于点P 、Q 运动的时间为t （s ），可用含t 的代数式分别表示BP 、QG 的长度，然后根据三角形的面积公式即可求出S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）令DQ=CP ，Q 点在AD 边上，求出a 的取值范围． 解答：解：（1）过D 点作DH ⊥BC ，垂足为点H ，则有DH=AB=8cm ，BH=AD=6cm ． ∴CH=BC ﹣BH=14﹣6=8cm ．在Rt △DCH 中，∠DHC=90°，CD =DH 2+CH 2=82cm ．（2）当点P 、Q 运动的时间为t （s ），则PC=t ．①当点Q 在CD 上时，过Q 点作QG ⊥BC ，垂足为点G ，则QC =22²t ．又∵DH=HC ，DH ⊥BC ，∴∠C=45°．∴在Rt △QCG 中，QG =QC ²sin ∠C =22t ³sin 45°=2t ． 又∵BP=BC ﹣PC=14﹣t ，∴S△BPQ =BP ³QG=（14﹣t ）³2t=14t ﹣t 2．当Q 运动到D 点时所需要的时间t===4．∴S=14t ﹣t 2（0＜t ≤4）．②当点Q 在DA 上时，过Q 点作QG ⊥BC ，垂足为点G ，则：QG=AB=8cm ，BP=BC ﹣PC=14﹣t ，∴S △BPQ =BP ³QG=（14﹣t ）³8=56﹣4t ．当Q 运动到A 点时所需要的时间t===4+．∴S=56﹣4t （4＜t ≤4+）．综合上述：所求的函数关系式是：S=14t ﹣t 2（0＜t ≤4），S=56﹣4t （4＜t ≤4+）；（3）要使运动过程中出现PQ ∥DC ，a 的取值范围是a ≥1+432．．例3（2011•株洲，23，）如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点，PO 的延长线交BC 于Q ．（1）求证：OP=OQ ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）．设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形．分析：（1）本题需先根据四边形ABCD 是矩形，得出AD ∥BC ，∠PDO=∠QBO ，再根据O 为BD 的中点得出△POD ≌△QOB ，即可证出OP=OQ ．（2）本题需先根据已知条件得出∠A 的度数，再根据AD=8厘米，AB=6厘米，得出BD 和OD 的长，再根据四边形PBQD 是菱形时，证出△ODP ∽△ADB ，即可求出t 的值，判断出四边形PBQD 是菱形． 解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ∴∠PDO=∠QBO ，又OB=OD ，∠POD=∠QOB ∴△POD ≌△QOB ∴OP=OQ（2）PD=8﹣t ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，∵AD=8cm ，AB=6cm ， ∴BD=10cm ，∴OD=5cm ．当四边形PBQD 是菱形时，PQ ⊥BD ，∴∠POD=∠A ，又∠ODP=∠ADB ∴△ODP ∽△ADB ，∴BD AD PD OD =，即10885=-t ， 解得t=47，即运动时间为47秒时，四边形PBQD 是菱形．例4、（2011•丹东，25，12分）己知：正方形ABCD ．（1）如图1，点E 、点F 分别在边AB 和AD 上，且AE=AF ．此时，线段BE 、DF 的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．（2）如图2，等腰直角三角形FAE 绕直角顶点A 顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE 、DF ，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，等腰直角三角形FAE 绕直角顶点A 顺时针旋转∠α，当a=90°时，连接BE 、DF ，猜想沟AE 与AD 满足什么数量关系时，直线DF 垂直平分BE ．请直接写出结论．（4）如图4，等腰直角三角形FAE 绕直角顶点A 顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD 、DE 、EF 、FB 得到四边形BDEF ，则顺次连接四边形BDEF 各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论．分析：（1）根据正方形的性质，AB=AD ，由AE=AF ，可得BE=DF 且BE ⊥DF ； （2）通过证明△DFA ≌△BEA ，可得（1）中的结论依然成立；（3）连接BD ，直线DF 垂直平分BE ，可得AD+AE=BD ，BD=2AD ，解答出即可；（4）如图，通过证明△DAF ≌△BAE ，可得DF=BE ，结合（2）中结论，可得到各边中点所组成的四边形的形状；解答：证明：（1）BE=DF 且BE ⊥DF ；（2）在△DFA 和△BEA 中，∵∠DAF=90°﹣∠FAB ，∠BAE=90°﹣∠FAB ，∴∠DAF=∠BAE ， 又AB=AD ，AE=AF ，∴△DFA ≌△BEA ，∴BE=DF ；∠ADF=∠ABE ，∴BE ⊥DF ； （3）AE=（2﹣1）AD ； （4）正方形．例5、（2011天水，26）在梯形O ABC 中，CB ∥O A ，∠A O C =60°，∠O AB =90°，O C =2，BC =4，以点O 为原点，O A 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边△D EF ，D E 在x 轴上（如图（1）），如果让△D EF 以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D 与点A 重合，当点D 到达坐标原点时运动停止．（1）设△D EF 运动时间为t ，△D EF 与梯形O ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（2）探究：在△D EF 运动过程中，如果射线D F 交经过O 、C 、B 三点的抛物线于点G ，是否存在这样的时刻t ，使得△O A G 的面积与梯形O ABC 的面积相等？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．分析：（1）根据F 与B 重合前后及E 与A 重合前后，分三种情况求S 关于t 的函数关系式； （2）依题意得D （4﹣t ，0），求出直线O C 解析式，根据D F ∥O C 确定直线D F 解析式，再由△O A G 的面积与梯形O ABC 的面积相等，求出G 点纵坐标，根据G 点在抛物线上求G 点横坐标，代入直线D F 解析式求t ，判断是否符号t 的取值范围即可． 解答：解：（1）依题意得O A =5，当0≤t ＜1时，t 2，当1≤t ＜2时，2﹣t ）2=t 2当2≤t ≤5时， （2）不存在．依题意，得C （1，B （5，抛物线对称轴为x =3， 抛物线与x 轴两交点坐标为O （0，0），（6，0），设抛物线解析式为y =ax （x ﹣6），将C 点坐标代入，得a = ，∴y =x （x ﹣6）=2x ，由C 点坐标可知，直线O C 解析式为y ，∵D F ∥O C ，∴设直线D F 解析式为y +k ，将D （4﹣t ，0）代入得k t ﹣4），∴直线D F ：y t ﹣4），设△O A G 的O A 边上高为h ，由S △O A G =S 梯形O ABC ，得12³5³h=12³（4+5，将y 代入y =（x ﹣6）中，得x =3±∴F （3﹣）或（），分别代入直线D F ：y t ﹣4）中，得t =145145﹣ 但0≤t ≤5，∴不存在．例6、（2011•泰州，28，12分）在平面直角坐标系xOy 中，边长为a （a 为大于0的常数）的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点P ，顶点A 在x 轴正半轴上运动，顶点B 在y 轴正半轴上运动（x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点O ），顶点C 、D 都在第一象限． （1）当∠BAO=45°时，求点P 的坐标；（2）求证：无论点A 在x 轴正半轴上、点B 在y 轴正半轴上怎样运动，点P 都在∠AOB 的平分线上； （3）设点P 到x 轴的距离为h ，试确定h 的取值范围，并说明理由．分析：（1）当∠BAO=45°时，因为四边形ABCD 是正方形，P 是AC ，BD 对角线的交点，能证明OAPB 是正方形，从而求出P 点的坐标．（2）过P 点做x 轴和y 轴的垂线，可通过三角形全等，证明是角平分线． （3）因为点P 在∠AOB 的平分线上，所以h ＞0． 解答：解：（1）∵∠BPA=90°，PA=PB ，∴∠PAB=45°，∵∠BAO=45°，∴∠PAO=90°，∴四边形OAPB 是正方形，∴P 点的坐标为：（2a ，2a ）．（2）作PE ⊥x 轴交x 轴于E 点，作PF ⊥y 轴交y 轴于F 点，∵∠BPE+∠EPA=90°，∠EPB+∠FPB=90°，∴∠FPB=∠EPA ，∵∠PFB=∠PEA ，BP=AP ， ∴△PBF ≌△PAE ，∴PE=PF ，∴点P 都在∠AOB 的平分线上． （3）因为点P 在∠AOB 的平分线上，所以h ＞0． 例7、（2011江苏无锡，26，6分）如图，等腰梯形MNPQ 的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD 的边长为1，它的一边AD 在MN 上，且顶点A 与M 重合．现将正方形ABCD 在梯形的外面沿边MN 、NP 、PQ 进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q 重合即停止滚动．（1）请在所给的图中，用尺规画出点A 在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求正方形在整个翻滚过程中点A 所经过的路线与梯形MNPQ 的三边MN 、NP 、PQ 所围成图形的面积S ．分析：（1）根据点A 绕点D 翻滚，然后绕点C 翻滚，然后绕点B 翻滚，半径分别为1、2、1，翻转角分别为90°、90°、150°，据此画出圆弧即可．（2）根据总结的翻转角度和翻转半径，求出圆弧与梯形的边长围成的扇形的面积即可． 解答：解：（1）作图如图；（2）∵点A 绕点D 翻滚，然后绕点C 翻滚，然后绕点B 翻滚，半径分别为1、2、1，翻转角分别为90°、90°、150°，∴S=22121436011502360)2(9023601180⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯πππ=2π+π+65π+2=37π+2．解答：解：（1）∵四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（-3，0），（0，1），∴B （-3，1）， 若直线经过点A （-3，0）时，则b=32，若直线经过点B （-3，1）时，则b= 52， 若直线经过点C （0，1）时，则b=1，①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即1＜b ≤32，如图1， 此时E （2b ，0），∴S=12OE •CO= 12³2b ³1=b ；②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即32＜b ＜52， 如图2∴S=S 矩-（S △OCD +S △OAE +S △DBE ）=3-[ 12（2b-2）³1+ 12³（5-2b ）•（-b ）+ ³3（b- 32）] = 52b-b 2，∴S=12232535()222b b b b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜＜＜b ＜；例9.(07河北省)26. 如图16，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =50，AD =75，BC =135．点P 从点B 出发沿折线段BA -AD -DC 以每秒5个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK ⊥BC ，交折线段CD -DA -AB 于点E ．点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长； （2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使PQ ∥DC ？（3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD 、DA 上时，S 与t 的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（4）△PQE 能否成为直角三角形？若能，写出t 的取值范围；若不能，请说明理由． 解：（1）t =（50＋75＋50）÷5=35（秒）时，点P 到达终点C ．此时，QC =35×3=105，∴BQ 的长为135－105=30． （2）如图8，若PQ ∥DC ，又AD ∥BC ，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD =QC ，由QC =3t ，BA +AP =5t 得50＋75－5t =3t ，解得t =1258．经检验，当t =1258时，有PQ ∥DC ．（3）①当点E 在CD 上运动时，如图9．分别过点A 、D 作AF ⊥BC 于点F ，DH ⊥BC 于点H ，则四边形图16ADHF 为矩形，且△ABF ≌△DCH ，从而FH = AD =75，于是BF =CH =30．∴DH =AF =40． 又QC =3t ，从而QE =QC ·tan C =3t ·CHDH =4t ．（注：用相似三角形求解亦可） ∴S =S ⊿QCE =12QE ·QC =6t 2； ②当点E 在DA 上运动时，如图8．过点D 作DH ⊥BC 于点H ，由①知DH =40，CH =30，又QC =3t ，从而ED =QH =QC －CH =3t －30． ∴S = S 梯形QCDE =12(ED ＋QC )DH =120 t －600．（4）△PQE 能成为直角三角形．当△PQE 为直角三角形时，t 的取值范围是0＜t ≤25且t ≠1558或t =35．下面是第（4）问的解法，仅供参考：①当点P 在BA （包括点A ）上，即0＜t ≤10时，如图9．过点P 作PG ⊥BC 于点G ，则PG =PB ²sin B =4t ，又有QE =4t = PG ，易得四边形PGQE 为矩形，此时△PQE 总能成为直角三角形． ②当点P 、E 都在AD （不包括点A 但包括点D ）上，即10＜t ≤25时，如图8． 由QK ⊥BC 和AD ∥BC 可知，此时，△PQE 为直角三角形，但点P 、E 不能重合，即 5t －50＋3t －30≠75，解得t ≠1558． ③当点P 在DC 上（不包括点D 但包括点C ）， 即25＜t ≤35时，如图10．由ED ＞25³3－30=45， 可知，点P 在以QE =40为直径的圆的外部，故 ∠EPQ 不会是直角．由∠PEQ ＜∠DEQ ，可知∠PEQ 一定是锐角． 对于∠PQE ，∠PQE ≤∠CQE ，只有当点P 与C 重合，即t =35时，如图11，∠PQE =90°，△PQE 为直角三角形．综上所述，当△PQE 为直角三角形时，t 的取值范围是0＜t ≤25且t ≠1558或t =35． 例10 (07吉林省) 28．如图①，在边长为的正方形ABCD 中，E F ，是对角线AC 上的两个动点，它们分别从点A ，点C 同时出发，沿对角线以1cm/s 的相同速度运动，过E 作EH 垂直AC 交Rt ACD △的直角边于H ；过F 作FG 垂直AC 交Rt ACD △的直角边于G ，连接HG ，EB ．设HE ，EF ，FG ，GH 围成的图形面积为1S ，AE ，EB ，BA 围成的图形面积为2S （这里规定：线段的面积为0）．E 到达C F ，到达A 停止．若E 的运动时间为s x ，解答下列问题：（1）当08x <<时，直接写出以E F G H ，，，为顶点的四边形是什么四边形，并求x 为何值时，12S S =． （2）①若y 是1S 与2S 的和，求y 与x 之间的函数关系式．（图②为备用图）图9H 图8图10(P )图11②求y 的最大值．解: （1）以E F G H ，，，为顶点的四边形是矩形．正方形边长为16AC ∴=．AE x =，过B 作BO AC ⊥于O ，则8BO =．24S x ∴=HE x =，162EF x =-，1(162)S x x ∴=-．当12S S =时，(162)4x x x -=．解得10x =（舍去），26x =．∴当6x =时，12S S =．（2）①当08x <≤时，2(162)4220y x x x x x =-+=-+．当816x ≤≤时，AE x =，16CE HE x ==-，162(16)216EF x x =--=-．1(16)(216)S x x ∴=--．2(16)(216)4252256y x x x x x ∴=--+=-+-．②当08x <≤时，2222202(1025)502(5)50y x x x x x =-+=--++=--+，∴当5x =时，y 的最大值为50．当816x ≤≤时，222522562(13)82y x x x =-+-=--+， ∴当13x =时，y 的最大值为82．综上可得，y 的最大值为82．例11.如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；图①图②（第28题）图①图②（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围； （4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．解: （1）34PM =，（2）2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 （3）PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠⊥，⊥，，AMP ABC △∽△，PM AM BN AB ∴=即()PM a t t a t PM t a a --==，，(1)3t a QM a-=-当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a =+，3t ≤，636aa∴+≤，则636a a ∴<≤，≤， （4）36a <≤时，梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM =()3t a t t a ∴-=-，把66a t a=+代入，解之得a =±a = 所以，存在a ，当a =PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等．例12.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A B ，的坐标分别为(40)(43)，，，，动点M N，分别从点O B ，同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动，过点N 作NP BC ⊥，交AC 于点P ，连结MP ，当两动点运动了t 秒时． （1）P 点的坐标为（ ， ）（用含t 的代数式表示）．（2）记MPA △的面积为S ，求S 与t 的函数关系式(04)t <<． （3）当t = 秒时，S 有最大值，最大值是 ． （4）若点Q 在y 轴上，当S 有最大值且QAN △为等腰三角形时，求直线AQ 的解析式． [解] （1）344t t -，．N（2）在MPA △中，4MA t =-，MA 边上的高为34t ，13(4)24MPA S S t t ∴==-△．即233(04)82S t t t =-+<<．（3）322，．（4）由（3）知，当S 有最大值时，2t =，此时N 在BC 的中点处，如下图．设(0)Q y ，，则222224AQ OA OQ y =+=+，222222(3)QN CN CQ y =+=+-，2222232AN AB BN =+=+. QAN △为等腰三角形，①若AQ AN =，则2222432y +=+，此时方程无解． ②若AQ QN =，即222242(3)y y +=+-，解得12y =-． ③若QN AN =，即22222(3)32y +-=+，解得1206y y ==，．11(0)2Q ∴，-，2(00)Q ，，3(06)Q ，．当Q 为1(0)2-，时，设直线AQ 的解析式为12y kx =-，将(40)A ，代入得 114028k k -=∴=，．∴直线AQ 的解析式为1182y x =-．当Q 为(00)，时，(40)A ，，(00)Q ，均在x 轴上， ∴直线AQ 的解析式为0y =（或直线为x 轴）． 当Q 为(06)，时，Q N A ，，在同一直线上，ANQ △不存在，舍去． 故直线AQ 的解析式为1182y x =-，或0y =． 例13. 如图12，直角梯形ABCD 中，90643AB CD A AB AD DC ∠====∥，°，，，，动点P 从点A 出发，沿A D C B →→→方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动．设点P 移动的路程为x ，点Q 移动的路程为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长． （1）求y 与x 的函数关系式，并求出x y ，的取值范围； （2）当PQ AC ∥时，求x y ，的值；（3）当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分梯形ABCD 的面积？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由． 解：（1）过C 作CE AB ⊥于E ，则34CD AE CE ===，，可得5BC =，所以梯形ABCD 的周长为18．PQ 平分ABCD 的周长，所以9x y +=，因为06y ≤≤，所以39x ≤≤， 所求关系式为：939y x x =-+，≤≤． （2）依题意，P 只能在BC 边上，79x ≤≤．126PB x BQ y =-=-，，因为PQ AC ∥，所以BPQ BCA △∽△，所以BP BQBC BA=，得 12656x y--=，即6542x y -=， 解方程组96542x y x y +=⎧⎨-=⎩， 得87121111x y ==，． （3）梯形ABCD 的面积为18．当P 不在BC 边上，则37x ≤≤，（a ）当34x <≤时，P 在AD 边上，12APQ S xy =△． 如果线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积，则有192xy = 可得：918.x y xy +=⎧⎨=⎩，解得36x y =⎧⎨=⎩，；（63x y ==，舍去）．（b ）当47x ≤≤时，点P 在DC 边上，此时14(4)2ADPQ S x y =⨯-+． 如果线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积，则有14(4)92x y ⨯-+=， 可得92217.x y x y +=⎧⎨+=⎩，此方程组无解．所以当3x =时，线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积．例14..如图，在矩形ABCD中，AB =1AD =．点P 在AC 上，PQ BP ⊥，交CD 于Q ，PE CD ⊥，交于CD 于E ．点P 从A 点（不含A ）沿AC 方向移动，直到使点Q 与点C 重合．．为止． （1）设AP x =，PQE △的面积为S ．请写出S 关于x 的函数解析式，并确定x 的取值范围．（2）点P 在运动过程中，PQE △的面积是否有最大值，若有，请求出最大值及此时AP 的取值；若无，QBCDPA请说明理由．（1）解：过点P作PF BC⊥，垂足为F．在矩形ABCD中，PF AB∥PFC ABC ∴△∽△FC PC PFBC AC AB==∴又AP x=∵，1BC AD==，AB=又∵在Rt ABC△中，3AC==3P C x=-313FC x-=∴33xFC-=∴3133x xBF BC FC-=-=-=∴又PE CD⊥∵90PEC∠=∴°又在四边形PFCE中，90PFC BCD PEC∠=∠=∠=°∴四边形PFCE为矩形90FPE∠=∴°又PQ BP⊥∵90BPQ∠=∴°FPE BPQ∠=∠∴E P Q Q P F B P F F P∠+∠=∠+∠∴EPQ BPF∠=∠∴又90PEQ BFP∠=∠=°PEQ PFB∴△∽△EQ PEBF PF=∴又PE FC=EQ FCBF PF=∴又FC PFBC AB=FC BCPF AB=∴EQ BCBF AB=∴B C B FEQAB=·∴3xEQ=∴113223xS EQ PE-==∴··2S=+∴或23)S x x=-+过点B作BK AC⊥，垂足为K．在Rt ABC△中，由等积法可得1122AC BK AB BC=··AC BK AB BC=∴··31BK⨯=BK=∴由题意可得当Q与C重合时，P与K重合即AP AK=，由ABK ABC△∽△得AK ABBK BC=即x=83x=∴x∴的取值范围是83x<≤（2）PQE△面积有最大值由（1）可得2S x=+232x⎫=-⎪⎝⎭∴当32x=即32AP=时，S面积最大，即S=最大例15. 如图所示，菱形ABCD的边长为6cm，∠DAB＝60°，点M是边AD上一点，且DM＝2cm，点E、F分别从A、C同时出发，以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向点B运动，EM、CD的延长线相交于G，GF交AD于O。