惠州市2014届高三第二次调研考试试题(理科数学)

惠州市2014届高三第二次调研考试数 学 (理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

参考公式： 球的体积公式：343V R π=一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．复数2(1)(1i z i i-=+为虚数单位）的虚部为（ ）.A 1.B 1- .C 1± .D 02．设集合{3213}A x x =-≤-≤，集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域，则A B = （ ） .A (1,2) .B [1,2].C [1,2).D (1,2]3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1532,3,a a a ==,则9S =（ ）.A 72- .B 54- .C 54 .D 724. 按右面的程序框图运行后,输出的S 应为（ ） .A 26 .B 35 .C 40 .D 575.“1a =”是“直线1l :210ax y +-=与2l :(1)40x a y +++=平行”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6． 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是 （ ）.A 16π .B 14π .C 12π .D 8π7．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷C 的人数为 （ ）.A 7 .B 9 .C 10 .D 158．已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++ 且函数()f x 的零点均在区间[],a b (,,)a b a b Z <∈内，圆22x y b a +=-的面积的最小值是（）.A π .B 2π .C 3π .D 4π二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．若向量(2,3),(4,7),BA CA ==则BC = .10. 若tan()2πα-=，则sin 2α= .11. 已知变量,x y 满足约束条件21110x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为 .12.若62(x x-展开式的常数项是60，则常数a 的值为 .13．已知奇函数3(0)()()(0)x a x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩则(2)g -的值为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

正视图俯视图 左视图EFBACP14．（坐标系与参数方程选做题）已知点A 是曲线2cos ρθ=上任意一点，则点A 到直线sin()46πρθ+=的距离的最小值是________.15.（几何证明选讲选做题）如图，D 是圆O 的直径AB 延长线上一点，PD 是圆O 的切线，P 是切点，30D ∠=。

，4AB =，2BD =，PA = ．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．） 16．（本小题满分12分）已知函数(2cos 2f x x x =-）. (1)求函数()f x 的最小正周期和最值； (2)求函数()f x 的单调递减区间． 17．（本题满分12分）若盒中装有同一型号的灯泡共10只，其中有8只合格品，2只次品。

（1） 某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率； （2） 某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数X 的分布列和数学期望． 18.（本小题满分14分）四棱锥P ABCD -底面是平行四边形，面PAB ⊥面ABCD ,12PA PB AB AD ===,60BAD ∠=。

,E F ，分别为AD PC ，的中点. （1）求证：//EF PAB 面；（2）求二面角D PA B --的余弦值.19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且*11()2n n S a n N +=∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设*31log (1)()n n b S n N +=-∈，求适合方程122311112551n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+=的正整数n 的值．20．（本小题满分14分）已知左焦点为(1,0)F -的椭圆过点E ．过点(1,1)P 分别作斜率为12,k k 的椭圆的动弦,AB CD ，设,M N 分别为线段,AB CD 的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为线段AB 的中点，求1k ；（3）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．21．（本小题满分14分） 已知函数2()ln(1)f x ax x =-+ （1）当45a =时，求函数()f x 在(0,)+∞上的极值； （2）证明：当0x >时，2ln(1)x x +<； （3）证明：444111(1)(1)(1)23e n+++< (,2,n N n e *∈≥为自然对数的底数）.惠州市2014届高三第二次调研考试数学 (理科）参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分1.【解析】因为。

故选2.【解析】集合{}{}|3213|12A x x x x =-≤-≤=-≤≤，集合B 为函数1(1)y g x =-的定义域，所以{}|1B x x =>，所以A B = （1，2]。

故选D3【解析】1532,3a a a ==得1143(2)a d a d +=+，即12d a =-=-，所以919899298542S a d ⨯=+=⨯-⨯=-，选B 4.【解析】第一次循环：312,2,12T i S S T i i =-==+==+=，不满足条件，再次循环； 第二次循环：315,7,13T i S S T i i =-==+==+=，不满足条件，再次循环； 第三次循环：318,15,14T i S S T i i =-==+==+=，不满足条件，再次循环； 第四次循环：3111,26,15T i S S T i i =-==+==+=，不满足条件，再次循环； 第五次循环：3114,40,16T i S S T i i =-==+==+=，满足条件，输出S 的值为40. 故选C5.【解析】由直线1l :012=-+y ax 与2l :04)1(=+++y a x 平行，得()120,21410a a a a +-=⎧⎪=-⎨+≠⎪⎩解得或，所以“1=a ”是“直线1l :012=-+y ax 与2l :04)1(=+++y a x 平行”的充分不必要条件。

故选A6.【解析】由题知该几何体是挖去41个球的几何体。

所以ππ8234433=⨯⨯=V .故选D 7.【解析】由系统抽样的原理知将960人分30组，所以第一组抽450/30=15人，第二组抽（750-450）/30=10，第三组抽32-15-10=7人。

故选A8.【解析】∵f（x ）=1+x ﹣，∴当x ＜﹣1或x ＞﹣1时，f'（x ）=1﹣x+x 2﹣x 3+…+x 2012=＞0．而当x=﹣1时，f'（x ）=2013＞0∴f'（x ）＞0对任意x ∈R 恒成立，得函数f （x ）是（﹣∞，+∞）上的增函数 ∵f（﹣1）=（1﹣1）+（﹣﹣）+…+（﹣﹣）＜0，f （0）=1＞0∴函数f （x ）在R 上有唯一零点x 0∈（﹣1，0） ∴b ﹣a 的最小值为0-（-1）=1. ∵圆x 2+y 2=b ﹣a 的圆心为原点，半径r=∴圆x 2+y 2=b ﹣a 的面积为πr 2=π（b ﹣a ）≤π，可得面积的最小值为π。

故选：A二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．（-2，-4） 10．54-11．1 12．4 13．-8 14．25 15． 329.【解析】因为(23),(47),BA CA ==，，所以()2,4BC BA AC =+=-- 10.【解析】2)tan(=-απ得tan =2α-，1cos sin.cos 2sin 22=+-=αααα.51cos 1cos cos 4222=∴=+∴ααα又54cos 4cos sin 22sin 2-=-=⋅=αααα11.【解析】 由可行域知直线过点（1,0）时取得最大值112.【解析】()6632+1661rrr r rr rr T C x a x--⎛==- ⎝⎭，由6302r r -==得，所以()226160,4C a a -==解得。

13.【解析】因为函数()f x 为奇函数，所以0(0)=3+=0f a ，即1a =-。

所以2(2)(2)(2)(31)8f g f-=-=-=--=-。

14.【解析】曲线θρcos 2=即()2211x y -+=，表示圆心在（1，0），半径等于1的圆，直线)6sin(πθρ+=4，即80x +-=，圆心（1，0）到直线的距离等于108722+-=，所以点A 到直线)6sin(πθρ+=4的距离的最小值是75122-=。

15.【解析】连结PO ，因为PD 是⊙O 的切线，P 是切点，∠D=30°，所以∠POC=60°，并且AO=2，∠POA=120°，PO=1 在△POA 中，由余弦定理知，32=PA 三、解答题：16. （本小题满分12分）解：(1)f(x)x x 2cos 2sin 3-=)62sin(2π-=x …………………………3分ππ==∴22T …………………………4分当2262πππ+=-k x 即)(3Z k k x ∈+=ππ时，f(x)取最大值2；…………5分当2262πππ-=-k x 即)(6Z k k x ∈-=ππ时，f(x)取最小值-2…………6分 (2)由≤-≤+6222πππx k )(232z k k ∈+ππ， ………………………8分得)(653z k k x k ∈+≤≤+ππππ ………………………10分 ∴单调递减区间为)](65,3[z k k k ∈++ππππ. ………………………12分 17（本小题满分12分）解：解：设一次取次品记为事件A ，由古典概型概率公式得：51102==）（A P ……2 分 有放回连续取3次，其中2次取得次品记为事件B ，由独立重复试验得：1251254.51C 223==）（）（B P ………4分 （2）依据知X 的可能取值为1.2.3………5分 且541081===）（x P ………6分 458822210=⨯==A x P ）（………7 451321022===A A x P ）（………8分则X 的分布列如下表：……10分911455545345164536==++=EX ………12分18（本小题满分14分）解: （1）1,//,2PB FG FG BC FG BC =取的中点，连由题设-----2分 1//,//2AE BC AE BC FG AE =∴ AEFG 是平行四边形,所以 //EF AG ---4分PAB EF PAB EF PAB AG 面面面//,∴⊄⊂---6分(2)取PA 的中点N ,,BN DN 连---8分PAB BN PA ∆∴⊥是等边三角形 ~Rt PBD Rt ABD PD AD ∆∆∴=AN PB ∴⊥ANB θ∠=是二面角D PA B --的平面角 ----------------------------10分 知 ,BD PAB BD BN ⊥⊥面2DBN BD BN ∆==在Rt 中，--------------------12分tan 2,cos 5BD BN θθ===即二面角D PA B --的余弦值为5---------------14分 解法二 （1）022202202,60,2cos 6090ABD AD AB BAD BD AB AD AB AD AD AB ABD ∆=∠==+-⨯⨯=-∴∠=中，由余弦定理所以 BD AB ⊥ ,PAB ABCD BD AB DB PAB ⊥⊥∴⊥面面面………………………………2分 建系{,,}BA BD z令 2AB =()()(2,0,0,0,,A D P,()2,C -()()11222EF AP DC =+=-= ……………………..4分因为平面PAB 的法向量 ()20,1,0n =20//EF n EF PAB ⋅=∴面 …………..6分 (2) 设平面PAD 的法向量为()1111,,n x y z =(AP =-,()2,AD =-…………8分11020n AP x n AD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩…………10分令x =所以)1n =…………12分平面PAB 的法向量 ()20,1,0n =……13分12cos ,n n <>= ，即二面角D PA B --的余弦值为5 .................14分说明：其他建系方法酌情给分 19（本小题满分14分）（1） 当1n =时，11a s =，由11112s a +=，得123a = ……………………1分 当2n ≥时，∵ 112n n s a =-， 11112n n s a --=-， …………………2分∴()1112n n n n s s a a ---=-，即()112n n n a a a -=- ∴)2(311≥=-n a a n n …………………………………………5分 ∴{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列．…………………………………6分 故1211()2()333n n n a -=⋅=⋅ )(*∈N n …………………………………………7分 （2）111()23n n n s a -==，13131log (1)log ()13n n n b s n ++=-==--……………9分 11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++ …………………………………………11分1223111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-+++…13分解方程11252251n -=+，得100n = …………………………………………14分 20（本小题满分14分）解 （1）由题意知,1=c 设右焦点)0,1('F32332)0332()11(222'=+-++=+=∴EF EF a ………………2分 2,3222=-==∴c a b a∴椭圆方程为12322=+y x ………………4分 （2）设),(),,(2211y x B y x A 则 1232121=+y x ① 1232222=+y x ②………………6分 ②-①，可得3232121212121-=++-=--=y y x x x x y y k ………………8分（3）由题意21k k ≠，设),(M M y x M直线)1(1:1-=-x k y AB ，即21k x k y += 代入椭圆方程并化简得0636)32(2221221=-+++k x k k x k2122121322,323k k y k k k x M M +=+-=∴ ………………10分 同理2212221322,323k k y k k k x N N +=+-=∴ ………………11分 当021≠k k 时， 直线MN 的斜率21219610k k k k x x y y k N M N M --=--=直线MN 的方程为)323(961032221212121212k k k x k k k k k k y +----=+- 又121=+k k 化简得3296102121---=x k k k k y 此时直线过定点（0，32-）………13分 当021=k k 时，直线MN 即为y 轴，也过点（0，32-） 综上，直线过定点（0，32-） ………………14分 21（本小题满分14分）解 （1）当)1ln(54)(542x x x f a +-==时， )1(541041254)(222'x x x x x x f ++-=+-=∴ ……………1分 )(),(,'x f x f x 变化如下表4ln 5)21(-==∴f f 极大值， 5ln 5)2(-==f f 极小值 ……………4分（2）令)1ln()(2x x x g +-= 则01)1(121)(222'≥+-=+-=x x x x x g ………………………6分 ()∞+∴，在0)(x g 上为增函数。