北师大版2019版同步优化探究文数练习第二章第三节函数的奇偶性、周期性 Word版含解析

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2019北师大版同步优化探究文数练习：第二章第一节函数及其表示含解析

课时作业A组——基础对点练1．函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是( )A．[－3, 1]B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：使函数f(x)有意义需满足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．答案：D2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )xA．f(x)＝x，g(x)＝()2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2x2C．f(x)＝，g(x)＝|x|x－11－xD．f(x)＝0，g(x)＝＋解析：在A中，定义域不同，在B中，解析式不同，在D中，定义域不同．答案：C3．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图像可以是( )解析：A项，定义域为[－2,0]，D项，值域不是[0,2]，C项，当x＝0时有两个y值与之对应，故选B.答案：B4．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：映射f的对应法则x1234f(x)3421映射g的对应法则x1234g (x )4312则f [g (1)]的值为( )A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：由映射g 的对应法则，可知g (1)＝4，由映射f 的对应法则，知f (4)＝1，故f [g (1)]＝1.答案：A5．已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( )A ．x ＋1 B ．2x －1C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1解析：设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A.答案：A6．设函数f (x )＝Error!若f ＝4，则b ＝( )(f(56))A ．1 B.78C. D.3412解析：f ＝f＝f .当－b <1，即b >时，3×－b ＝4，解得b ＝(舍)(f(56))(3×56－b)(52－b)5232(52－b)78．当－b ≥1，即b ≤时，2－b ＝4，解得b ＝.故选D.52325212答案：D7．已知函数f (x )＝Error!若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3 B ．－1C ．1D ．3解析：由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0，∴f (a )＋2＝0.①当a ＞0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3.答案：A8．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝x ＋1 B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝－x解析：对于A ，f (x )＝x ＋1，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )＝2x ＋2，A 不满足；对于B ，f (x )＝x －|x |，f (2x )＝2x －|2x |＝2f (x )，B 满足；对于C ，f (x )＝|x |，f (2x )＝2|x |＝2f (x )，C 满足；对于D ，f (x )＝－x ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，D 满足．故选A.答案：A9．已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( )A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2)B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2)D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)解析：因为f (x )＝2x ＋1，所以f (x －1)＝2x －1.因为函数f (x )的定义域为[1,3]，所以1≤x －1≤3，即2≤x ≤4，故f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)．答案：B10．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝B ．y ＝[x10][x ＋310]C ．y ＝D ．y ＝[x ＋410][x ＋510]解析：取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ；若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B.答案：B11．已知函数f (x )＝Error!则f (0)＝( )A ．－1 B ．0C ．1D ．3解析：f (0)＝f (2－0)＝f (2)＝log 22－1＝0.答案：B12．已知实数a <0，函数f (x )＝Error!若f (1－a )≥f (1＋a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，－1]C ．[－1,0)D ．(－∞，0)解析：当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )＝a －1，f (1＋a )＝(1＋a )2＋2a ＝a 2＋4a ＋1，由f (1－a )≥f (1＋a )得a 2＋3a ＋2≤0，解得－2≤a ≤－1，所以a ∈[－2，－1]．故选B.答案：B13．若函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则函数g (x )的表达式为________．解析：令x ＋2＝t ，则x ＝t －2.因为f (x )＝2x ＋3，所以g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，所以g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.故函数g (x )的表达式为g (x )＝2x －1.答案：g (x )＝2x －114．(2018·唐山一中测试)已知函数f (x )＝ax 5－bx ＋|x |－1，若f (－2)＝2，则f (2)＝________.解析：因为f (－2)＝2，所以－32a ＋2b ＋2－1＝2，即32a －2b ＝－1，则f (2)＝32a －2b ＋2－1＝0.答案：015．已知函数f (x )＝Error!则f的值是__________．(f(14))解析：由题意可得f ＝log 2＝－2，(14)14∴f ＝f (－2)＝3－2＋1＝.(f(14))109答案：10916．(2018·广州市测试)已知函数f (x )＝Error!，若|f (a )|≥2，则实数a 的取值范围是__________．解析：当a ≤0时，1－a ≥1,21－a ≥2，所以|f (a )|≥2成立；当a ＞0时，由|f (a )|≥2可得|1－log 2a |≥2，所以1－log 2a ≤－2或1－log 2a ≥2，解得0＜a ≤或a ≥8.综上，实数a 的12取值范围是(－∞，]∪[8，＋∞)．12答案：(－∞，]∪[8，＋∞)12B 组——能力提升练1．(2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝Error!，则f (f (x ))＜2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞) B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x ＜1时，f (x )＝2e x －1＜2，所以f (f (x ))＜2等价于f (x )＜1，即2e x －1＜1，解得x ＜1－ln 2，所以f (f (x ))＜2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B.答案：B2．具有性质：f ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：(1x )①f (x )＝x －；②f (x )＝x ＋；③f (x )＝Error!其中满足“倒负”变换的函数是( )1x 1x A ．①② B ．①③C ．②③D ．①解析：对于①，f (x )＝x －，f ＝－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ＝＋x ＝f (x )，不满足；1x (1x )1x (1x )1x 对于③，f ＝Error!(1x )即f ＝Error!故f ＝－f (x )，满足．(1x )(1x )综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.答案：B3．(2018·天津模拟)设函数f (x )满足f ＝1＋x ，则f (x )的表达式为( )(1－x1＋x )A. B.21＋x 21＋x 2C.D.1－x 21＋x 21－x 1＋x解析：令＝t ，则x ＝，代入f ＝1＋x ，得f (t )＝1＋＝，故选A.1－x1＋x 1－t1＋t (1－x 1＋x )1－t 1＋t 21＋t 答案：A4．(2018·郑州质检)设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( )A ．0B ．1C ．2 017D ．2 018解析：令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)＋2＝1×1－1＋2＝2；令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018.故选D.答案：D5．已知函数f (x )＝Error!，则f (－2 017)＝( )A ．1 B ．eC.D ．e 21e 解析：由已知可得，当x >2时，f (x )＝f (x －4)，故其周期为4，f (－2 017)＝f (2017)＝f (2016＋1)＝f (1)＝e.答案：B6．函数f (x )＝Error!则不等式f (x )>2的解集为( )A ．(－2,4)B ．(－4，－2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪(，＋∞)10D ．(，＋∞)10解析：令2e x －1>2(x <2)，解得1<x <2；令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >，故选C.10答案：C7．已知函数f (x )＝Error!则f (－1＋log 35)的值为( )A. B.11553C ．15D.23解析：∵－1＋log 35＜2，∴f (－1＋log 35)＝f (－1＋log 35＋2)＝f (1＋log 35)＝f (log 315)＝log 315＝，故选A.(13)115答案：A8．设函数f (x )＝Error!若f (f (a ))＝－，则实数a ＝( )12A ．4B ．－2C ．4或－D ．4或－212答案：C9．已知函数f (x )＝Error!，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,1]解析：若x >0，则－x <0，f (－x )＝x ln(1＋x )＋x 2＝f (x )，同理可得x <0时，f (－x )＝f (x )，且x ＝0时，f (0)＝f (0)，所以f (x )为偶函数．当x ≥0时，易知f (x )＝x ln(1＋x )＋x 2为增函数，所以不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价于2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，亦即f (|a |)≤f (1)，则|a |≤1，解得－1≤a ≤1，故选D.答案：D10．已知实数a ≠0，函数f (x )＝Error!若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－B ．－3234C ．－或－D.或－32343234解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－，不合题意；当a <0时，321－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－，所以a 的值34为－，故选B.34答案：B11．给出定义：若m －＜x ≤m ＋(其中m 为整数)，则m 叫作离实数x 最近的整数，记作1212{x }，即{x }＝m .现给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题：①f＝；(－12)12②f (3.4)＝－0.4；③f＝f ；(－14)(14)④y ＝f (x )的定义域为R ，值域是.[－12，12]其中真命题的序号是( )A ．①② B ．①③C ．②④D ．③④解析：①∵－1－＜－≤－1＋，121212∴＝－1，{－12}∴f＝＝＝，∴①正确．(－12)|－12－{－12}||－12＋1|12②∵3－＜3.4≤3＋，∴{3,4}＝3，1212∴f (3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4，∴②错误．③∵0－＜－≤0＋，∴＝0，121412{－14}∴f＝＝.∵0－＜≤0＋，∴＝0，∴f ＝＝，(－14)|－14－0|14121412{14}(14)|14－0|14∴f ＝f ，∴③正确．(－14)(14)④y ＝f (x )的定义域为R ，值域是，∴④错误．故选B.[0，12]答案：B12．已知函数f (x )＝Error!则不等式f (x )≥－1的解集是________．解析：由题意得Error!或Error!解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，即－4≤x ≤2，即不等式的解集为[－4,2]．答案：[－4,2]13．已知函数f (x )的定义域为实数集R ，任意x ∈R ，f (x －90)＝Error!则f (10)－f (－100)的值为__________．解析：令t ＝x －90，得x ＝t ＋90，则f (t )＝Error!f (10)＝lg 100＝2，f (－100)＝－(－100＋90)＝10，所以f (10)－f (－100)＝－8.答案：－814．(2018·郑州质检)若函数f (x )满足：任意a ，b ∈R ，都有3f ＝f (a )＋2f (b )，且f (1)(a ＋2b 3)＝1，f (4)＝7，则f (2 017)＝__________.解析：由已知得f＝.(a ＋2b 3)f (a )＋2f (b )3取f (x )＝kx ＋m ，易验证f (x )＝kx ＋m 满足f＝.(a ＋2b 3)f (a )＋2f (b )3由f (1)＝1，f (4)＝7得Error!，由此解得k ＝2，m ＝－1，故f (x )＝2x －1，f (2 017)＝2×2017－1＝4 033.答案：4 033。

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第二章第七节函数的图像

课时作业 A 组——基础对点练1．(2018·广州市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥01x ，x ＜0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图像是( )解析：g (x )＝－f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≤01x ，x ＞0，∴g (x )的图像是选项D 中的图像．答案：D2.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图像为( )解析：直线l 在AD 圆弧段时，面积y 的变化率逐渐增大，l 在DC 段时，y 随x 的变化率不变；l 在CB 段时，y 随x 的变化率逐渐变小，故选D. 答案：D3．(2018·惠州市调研)函数f (x )＝(x －1x)cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图像可能为( )解析：函数f (x )＝(x －1x )cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当 x ＝π时，f (x )＝(π－1π)cos π＝1π－π＜0，排除选项C ，故选D.答案：D4．(2018·长沙市一模)函数y ＝ln|x |－x 2的图像大致为( )解析：令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln |x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln |x |－x 2为偶函数，其图像关于y 轴对称，排除B ，D ；当x ＞0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x －2x ，当x ∈(0，22)时，y ′＝1x －2x ＞0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.选A. 答案：A5.(2018·武昌调研)已知函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝2－x 22xB ．f (x )＝cos xx 2C ．f (x )＝－cos 2xxD ．f (x )＝cos xx解析：A 中，当x →＋∞时，f (x )→－∞，与题图不符，故不成立；B 为偶函数，与题图不符，故不成立；C 中，当x →0＋时，f (x )<0，与题图不符，故不成立．选D. 答案：D6．函数f (x )的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1解析：与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的图像对应的函数为y ＝e －x ，将函数y ＝e －x 的图像向左平移1个单位长度即得y ＝f (x )的图像，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1，故选D. 答案：D7．函数f (x )＝2ln x 的图像与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图像的交点个数为( ) A ．3B ．2C ．1D ．0解析：在同一直角坐标系中画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图像，如图所示．∵f (2)＝2ln 2＞g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图像的交点个数为2.故选B. 答案：B8．如图，函数f (x )的图像为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}解析：作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图像，如图所示：其中函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图像的交点为D (1,1)，结合图像可知f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}，故选C. 答案：C9．已知函数f (x )＝|2x －m |的图像与函数g (x )的图像关于y 轴对称，若函数f (x )与函数g (x )在区间[1,2]上同时单调递增或同时单调递减，则实数m 的取值范围是( ) A ．[12，2]B ．[2,4]C ．(－∞，12]∪[4，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：易知当m ≤0时不符合题意，当m ＞0时，g (x )＝|2－x －m |，即g (x )＝|(12)x －m |.当f (x )与g (x )在区间[1,2]上同时单调递增时，f (x )＝|2x －m |与g (x )＝|(12)x －m |的图像如图1或图2所示，易知⎩⎪⎨⎪⎧log 2m ≤1，－log 2m ≤1，解得12≤m ≤2；当f (x )在[1,2]上单调递减时，f (x )＝|2x －m |与g (x )＝|(12)x －m |的图像如图3所示，由图像知此时g (x )在[1,2]上不可能单调递减．综上所述，12≤m ≤2，即实数m 的取值范围为[12，2]．答案：A 10．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图像不经过第一象限，则m 的取值范围是________．解析：由y ＝2－x ＋1＋m ，得y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋m ；函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图像如所示，则要使其图像不经过第一象限，则m ≤－2. 答案：(－∞，－2]11.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19，x ＞0 的图像如图所示，则a ＋b ＋c ＝________. 解析：由图像可求得直线的方程为y ＝2x ＋2.又函数y ＝log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19的图像过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133. 答案：13312．(2018·枣庄一中模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点，则m 的取值范围是________．解析：f (x )的图像如图所示，g (x )＝0即f (x )＝m ， y ＝m 与y ＝f (x )有四个交点，故m 的取值范围为(－1,0)．答案：(－1,0)13．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ 1x，x ＜0，⎝⎛⎭⎫13x，x ≥0，则不等式－13≤f (x )≤13的解集为__________．解析：函数f (x )＝⎩⎨⎧1x，x <0，⎝⎛⎭⎫13x，x ≥0和函数g (x )＝±13的图像如图所示．当x <0时，是区间(－∞，－3]，当x ≥0时，是区间[1，＋∞)，故不等式－13≤f (x )≤13的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)B 组——能力提升练1．函数y ＝x ＋2x ＋1的图像与函数y ＝2sin πx ＋1(－4≤x ≤2)的图像所有交点的横坐标之和等于( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2D ．－1解析：依题意，注意到函数y ＝1x 与函数y ＝－2sin πx (－3≤x ≤3)均是奇函数，因此其图像均关于原点成中心对称，结合图像不难得知，它们的图像共有2对关于原点对称的交点，这2对交点的横坐标之和为0；将函数y ＝1x 与函数y ＝－2sin πx (－3≤x ≤3)的图像同时向左平移1个单位长度、再同时向上平移1个单位长度，所得两条新曲线(这两条新曲线方程分别为y ＝1＋1x ＋1＝x ＋2x ＋1、y ＝－2sin π(x ＋1)＋1＝2sin πx ＋1)仍有2对关于点(－1,1)对称的交点，这2对交点的横坐标之和为－4(其中每对交点的横坐标之和为－2)，即函数y ＝x ＋2x ＋1的图像与函数y ＝2sin πx ＋1(－4≤x ≤2)的图像所有交点的横坐标之和等于－4，因此选B. 答案：B2．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0，d ＞0B ．a ＞0，b ＜0，c ＜0，d ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0，d ＞0D ．a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＜0解析：∵函数f (x )的图像在y 轴上的截距为正值，∴d ＞0.∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，x 1)上单调递增，(x 1，x 2)上单调递减，(x 2，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＜0的解集为(x 1，x 2)，∴a ＞0，又x 1，x 2均为正数，∴c 3a ＞0，－2b3a ＞0，可得c ＞0，b ＜0. 答案：A3．设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a ，且f (c )＞f (a )＞f (b )，则下列关系中一定成立的是( )A ．3c ＞3aB ．3c ＞3bC ．3c ＋3a ＞2D ．3c ＋3a ＜2解析：画出f (x )＝|3x －1|的图像，如图所示，要使c ＜b ＜a ，且f (c )＞f (a )＞f (b )成立，则有c ＜0，且a ＞0. 由y ＝3x 的图像可得0＜3c ＜1＜3a . ∴f (c )＝1－3c ，f (a )＝3a －1，∵f (c )＞f (a )， ∴1－3c ＞3a －1，即3a ＋3c ＜2. 答案：D4．已知函数f (x )＝－2x 2＋1，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >02x ，x ≤0，则函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数为( ) A ． 2 B ． 3 C ．4D ．5解析：函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数，即|f (x )|－g (x )＝0的根的个数，可得|f (x )|＝g (x )，画出函数|f (x )|，g (x )的图像如图所示，观察函数的图像，则它们的交点为4个，即函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点个数为4，选C.答案：C5．若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：不等式4a x －1＜3x －4等价于a x －1＜34x －1.令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图像，如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图像，如图2所示，则f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12，故选B.答案：B6．若函数f (x )＝(2－m )xx 2＋m的图像如图所示，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(0,2)D ．[1,2)解析：根据题图可知，函数图像过原点，即f (0)＝0，所以m ≠0.当x ＞0时，f (x )＞0，所以2－m ＞0，即m ＜2.函数f (x )在[－1,1]上是单调递增的，所以f ′(x )≥0在[－1,1]上恒成立，则f ′(x )＝(2－m )(x 2＋m )－2x (2－m )x (x 2＋m )2＝(m －2)(x 2－m )(x 2＋m )2≥0，∵m －2＜0，(x 2＋m )2＞0，∴只需x 2－m ≤0在[－1,1]上恒成立即可，∴m ≥(x 2)max ， ∴m ≥1.综上所述：1≤m ＜2，故选D. 答案：D7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1， x ≤0，x 12， x ＞0.若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是________．解析：在同一直角坐标系中，作出函数y ＝f (x )的图像和直线y ＝1，它们相交于(－1,1)和(1,1)两点，由f (x 0)＞1，得x 0＜－1或x 0＞1. 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1， x ＝0，关于x 的方程y ＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________. 解析：函数f (x )的图像如图，方程f (x )＝c 有三个根，即y ＝f (x )与y ＝c 的图像有三个交点，易知c ＝1，且一根为0，由lg|x |＝1知另两根为－10和10，∴x 1＋x 2＋x 3＝0. 答案：09．设f (x )是定义在R 上的偶函数，F (x )＝(x ＋2)3f (x ＋2)－17，G (x )＝－17x ＋33x ＋2，若F (x )的图像与G (x )的图像的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝________.解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴g (x )＝x 3f (x )是定义在R 上的奇函数，其图像关于原点中心对称，∴函数F (x )＝(x ＋2)3f (x ＋2)－17＝g (x ＋2)－17的图像关于点(－2，－17)中心对称．又函数G (x )＝－17x ＋33x ＋2＝1x ＋2－17的图像也关于点(－2，－17)中心对称，∴F (x )和G (x )的图像的交点也关于点(－2，－17)中心对称，∴x 1＋x 2＋…＋x m ＝m2×(－2)×2＝－2m ，y 1＋y 2＋…＋y m ＝m2×(－17)×2＝－17m ，∴∑i ＝1m (x i ＋y i )＝(x 1＋x 2＋…＋x m )＋(y 1＋y 2＋…＋y m )＝－19m . 答案：－19m10．(2018·西安质检)已知函数f (x )＝1|x |－1，下列关于函数f (x )的研究：①y ＝f (x )的值域为R.②y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③y＝f(x)的图像关于y轴对称．④y＝f(x)的图像与直线y ＝ax(a≠0)至少有一个交点．其中，结论正确的序号是________．解析：函数f(x)＝1|x|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x－1，x≥01－x－1，x＜0，其图像如图所示，由图像可知f(x)的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错；在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，在(0，＋∞)上不是单调的，故②错；f(x)的图像关于y轴对称，故③正确；由于在每个象限都有图像，所以与过原点的直线y＝ax(a≠0)至少有一个交点，故④正确．答案：③④。

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习第二章第十节第一课时利用导数研究函数的单调性 Word版含解析

课时作业组——基础对点练.函数()的导函数′()的图像是如图所示的一条直线，与轴的交点坐标为()，则()与()的大小关系为( )．()<()．()>()．()＝()．无法确定解析：由题意知()的图像是以＝为对称轴，且开口向下的抛物线，所以()＝()>()．选.答案：．若函数()＝－在区间(，＋∞)单调递增，则的取值范围是( )．(－∞，－]．(－∞，－]．[，＋∞)．[，＋∞) 解析：依题意得′()＝－≥在(，＋∞)上恒成立，即≥在(，＋∞)上恒成立，∵>，∴<<，∴≥，故选.答案：．已知函数()＝－－(其中为自然对数的底数)，则＝()的图像大致为( )解析：依题意得′()＝－.当＜时，′()＜，()是减函数，()＞( )＝－；当＞时，′()＞，()是增函数，因此对照各选项知选.答案：．函数()＝)的大致图像是( )解析：当＝－时，(－)＝＝－＜，排除；当＝－时，(－)＝＝－＜，排除；又′()＝－)＝，当∈(，)时，′()＞，()是增函数，当∈(，)时，′()＜，()是减函数，所以错误．故选.答案：．若函数()＝－＋＋在∈[]上是增函数，则实数的取值范围为( )．(，)．(，]．(－∞，]．(－∞，) 解析：因为()＝－＋＋，所以′()＝－＋，又()在∈[]上是增函数，所以′()≥在∈[]上恒成立，即－＋≥≤＋在∈[]上恒成立，因为∈[]，所以≤(＋)，又＋≥＝，当且仅当＝，即＝时取“＝”，所以≤，即≤.答案：．已知定义在(，＋∞)上的函数()的导函数为′()，且′()( )＞()，则( )．()＞()＞()．()＜()＜()．()＞()＞()．()＜()＜()解析：设()＝)，＞且≠，因为′()( )＞()，所以′()＝－((·(),( ()＝(－((( ()＞，所以()在()，(，＋∞)上单调递增，所以()＜()＜()，故)＜)＜)，即＜＜，所以()＜()＜()．选.答案：．(·成都模拟)()是定义域为的函数，对任意实数都有()＝(－)成立．若当≠时，不等式(－)·′()＜成立，若＝()，＝，＝()，则，，的大小关系是( )．＞＞．＞＞．＞＞．＞＞解析：因为对任意实数都有()＝(－)成立，所以函数()的图像关于直线＝对称，又因为当≠时，不等式(－)·′()＜成立，所以函数()在(，＋∞)上单调递减，所以＞()＝＞()，即＞＞.答案：．(·九江模拟)已知函数()＝＋－，若()在区间上是增函数，则实数的取值范围为．解析：由题意知′()＝＋－≥在上恒成立，即≥－＋在上恒成立，∵＝，∴≥，即≥.答案：．设′()是奇函数()(∈)的导函数，(－)＝，当＞时，′()－()＞，则使得()＞成立的的取值范围是．解析：令()＝，则′()＝，∴当＞时，′()＞，即()在(，＋∞)上单调递增，∵()为奇函数，(－)＝，∴()＝，∴()＝＝，结合奇函数()的图像知，()＞的解集为(－)∪(，＋∞)，故填(－)∪(，＋∞)．答案：(－)∪(，＋∞)。

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第二章第十节第一课时利用导数研究函数的单调性

课时作业A 组——基础对点练1.函数f (x )的导函数f ′(x )的图像是如图所示的一条直线l ，l 与x轴的交点坐标为(1,0)，则f (0)与f (3)的大小关系为( )A ．f (0)<f (3)B ．f (0)>f (3)C ．f (0)＝f (3)D ．无法确定解析：由题意知f (x )的图像是以x ＝1为对称轴，且开口向下的抛物线，所以f (0)＝f (2)>f (3)．选B.答案：B2．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：依题意得f ′(x )＝k －≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥在(1，＋∞)上恒成立，1x 1x ∵x >1，∴0<<1，∴k ≥1，故选D.1x 答案：D3．已知函数f (x )＝e x －2x －1(其中e 为自然对数的底数)，则y ＝f (x )的图像大致为( )解析：依题意得f ′(x )＝e x －2.当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数，f (x )＞f (ln 2)＝1－2ln 2；当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数，因此对照各选项知选C.答案：C4．函数f (x )＝的大致图像是( )sin x2e x解析：当x ＝－时，f (－)＝＝－e ＜0，排除D ；当x ＝－时，f (－)π2π2sin (－π2)2e －π212π2π4π4＝＝－e ＜0，排除C ；又f ′(x )＝＝，当x ∈(0，)时，sin (－π4)2e －π424π4cos x －sin x2e x2cos (x ＋π4)2e xπ4f ′(x )＞0，f (x )是增函数，当x ∈(，)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数，所以B 错误．故选A.π4π2答案：A5．若函数f (x )＝x 3－2ax 2＋6x ＋5在x ∈[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，]B ．(0，)322322C ．(－∞，)D ．(－∞，]322322解析：因为f (x )＝x 3－2ax 2＋6x ＋5，所以f ′(x )＝3x 2－4ax ＋6，又f (x )在x ∈ [1,2]上是增函数，所以f ′(x )≥0在x ∈[1,2]上恒成立，即3x 2－4ax ＋6≥0,4ax ≤3x 2＋6在x ∈[1,2]上恒成立，因为x ∈[1,2]，所以4a ≤(3x ＋)min ，又3x ＋≥2＝6，当且仅当3x ＝，即6x 6x 3x ·6x 26x x ＝时取“＝”，所以4a ≤6，即a ≤.22322答案：C6．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )(x ln x 2)＞2f (x )，则( )A ．6f (e)＞2f (e 3)＞3f (e 2)B ．6f (e)＜3f (e 2)＜2f (e 3)C ．6f (e)＞3f (e 2)＞2f (e 3)D ．6f (e)＜2f (e 3)＜3f (e 2)解析：设F (x )＝，x ＞0且x ≠1，因为f ′(x )(x ln x 2)＞2f (x )，所以F ′(x )＝f (x )ln x 2＝＞0，所以F (x )在(0,1)，(1，＋∞)上单调递增，所f ′(x )·ln x 2－f (x )·2x (ln x 2)2f ′(x )·(x ln x 2)－2f (x )x (ln x 2)2以F (e)＜F (e 2)＜F (e 3)，故＜＜，即＜＜，所以6f (e)＜3f (e 2)f (e )ln e2f (e2)ln e4f (e3)ln e6f (e )2f (e2)4f (e3)6＜2f (e 3)．选B.答案：B7．(2018·成都模拟)f (x )是定义域为R 的函数，对任意实数x 都有f (x )＝f (2－x )成立．若当x ≠1时，不等式(x －1)·f ′(x )＜0成立，若a ＝f (0.5)，b ＝f ，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小(43)关系是( )A ．b ＞a ＞c B ．a ＞b ＞c C ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解析：因为对任意实数x 都有f (x )＝f (2－x )成立，所以函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，又因为当x ≠1时，不等式(x －1)·f ′(x )＜0成立，所以函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以f ＞f (0.5)＝f ＞f (3)，即b ＞a ＞c .(43)(32)答案：A8．(2018·九江模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间上是增函数，则实数12[13，2]a 的取值范围为________．解析：由题意知f ′(x )＝x ＋2a －≥0在上恒成立，即2a ≥－x ＋在上恒成立，1x [13，2]1x [13，2]∵max ＝，∴2a ≥，即a ≥.(－x ＋1x )838343答案：[43，＋∞)9．设f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－2)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＞0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________．解析：令g (x )＝，则g ′(x )＝，f (x )x xf ′(x )－f (x )x 2∴当x ＞0时，g ′(x )＞0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∵f (x )为奇函数，f (－2)＝0，∴f (2)＝0，∴g (2)＝＝0，结合奇函数f (x )的图像知，f (x )＞0的解集为(－2,0)f (2)2∪(2，＋∞)，故填(－2,0)∪(2，＋∞)．答案：(－2,0)∪(2，＋∞)10．(2018·荆州质检)设函数f (x )＝x 3－x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程13a2为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间．解析：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得Error!即Error!(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a ＞0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．11．已知函数f (x )＝e x ln x －a e x (a ∈R)．(1)若f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝x ＋1垂直，求a 的值；1e (2)若f (x )在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围．解析：(1)f ′(x )＝e x ln x ＋e x ·－a e x ＝e x，1x (1x－a ＋ln x )f ′(1)＝(1－a )e ，由(1－a )e·＝－1，1e 得a ＝2.(2)由(1)知f ′(x )＝e x，(1x －a ＋ln x )若f (x )为单调递减函数，则f ′(x )≤0在x >0时恒成立．即－a ＋ln x ≤0在x >0时恒成立．1x 所以a ≥＋ln x 在x >0时恒成立．1x 令g (x )＝＋ln x (x >0)，1x 则g ′(x )＝－＋＝(x >0)，1x 21x x －1x 2由g ′(x )>0，得x >1；由g ′(x )<0，得0<x <1.故g (x )在(0,1)上为单调递减函数，在(1，＋∞)上为单调递增函数，此时g (x )的最小值为g (1)＝1，但g (x )无最大值(且无趋近值)．故f (x )不可能是单调递减函数．若f (x )为单调递增函数，则f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即－a ＋ln x ≥0在x >0时恒成立，1x 所以a ≤＋ln x 在x >0时恒成立，由上述推理可知此时a ≤1.1x 故实数a 的取值范围是(－∞，1]．B 组——能力提升练1．函数f (x )的定义域是(0，)，f ′(x )是它的导函数，且f (x )＋tan x ·f ′(x )＞0在定义域内恒π2成立，则( )A ．f ()＞f () B.sin 1·f (1)＞f ()π62π42π4C ．f ()＞f ()D.f ()＞f ()π63π32π43π3解析：∵0＜x ＜，∴sin x ＞0，cos x ＞0.由f (x )＋tan x ·f ′(x )＞0，得cos x ·f (x )＋sin x ·f ′(x )π2＞0.令g (x )＝sin x ·f (x )，0＜x ＜，则g ′(x )＝cos x ·f (x )＋sin x ·f ′(x )＞0，即g (x )在(0，)上π2π2是增函数，∴g (1)＞g ()，即sin 1·f (1)＞sin ·f ()，∴sin 1·f (1)＞f ()．故选B.π4π4π42π4答案：B2．已知函数f (x )＝.若当x ＞0时，函数f (x )的图像恒在直线y ＝kx 的下方，则k 的sin x2＋cos x 取值范围是( )A ．[，]B ．[，＋∞)133313C ．[，＋∞)D ．[－，]333332解析：由题意，当x ＞0时，f (x )＝＜kx 恒成立．由f (π)＜k π知k ＞0.又f ′(x )＝sin x2＋cos x ，由切线的几何意义知，要使f (x )＜kx 恒成立，必有k ≥f ′(0)＝.要证k ≥时不1＋2cos x(2＋cos x )21313等式恒成立，只需证g (x )＝－x ＜0，∵g ′(x )sin x2＋cos x 13＝－＝≤0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴g (x )＜g (0)＝0，∴2cos x ＋1(2＋cos x )213－(cos x －1)23(2＋cos x )2不等式成立．综上k ∈[，＋∞)．13答案：B3．(2018·石家庄市质检)已知函数f (x )＝sin(2x ＋)，f ′(x )是f (x )的导函数，则函数y ＝2f (x )π12＋f ′(x )的一个单调递减区间是( )A ．[，]B ．[－，]π127π125π12π12C ．[－，]D ．[－，]π32π3π65π6解析：由题意，得f ′(x )＝2cos(2x ＋)，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )＝2sin(2x ＋)＋2cos(2x ＋)π12π12π12＝2sin(2x ＋＋)＝2sin(2x ＋)．由2k π＋≤2x ＋≤2k π＋(k ∈Z)，得2π12π42π3π2π33π2k π＋≤x ≤k π＋(k ∈Z)，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间为[，]，故选A.π127π12π127π12答案：A4．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞) B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：当a ＝0时，显然f (x )有两个零点，不符合题意．当a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝.2a 当a ＞0时，＞0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在(－∞，0)与上为增函数，在2a (2a ，＋∞)上为减函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0＞0，则f (0)＜0，即1＜0，不成立．(0，2a )当a ＜0时，＜0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在和(0，＋∞)上为减函数，在2a (－∞，2a )上为增函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0＞0，则f ＞0，即(2a ，0)(2a )a ·－3·＋1＞0，解得a ＞2或a ＜－2，又因为a ＜0，故a 的取值范围为8a 34a 2(－∞，－2)．选B.答案：B5．(2018·广州市模拟)若函数f (x )＝e x (sin x ＋a cos x )在(，)上单调递增，则实数a 的取值π4π2范围是( )A ．(－∞，1] B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝e x [sin x ＋cos x －a (sin x －cos x )]，当a ＝0时，f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )，显然x ∈(，)，f ′(x )＞0恒成立，排除C ，D ；当a ＝1时，f ′(x )＝2e x cos x ，x ∈(，)时，π4π2π4π2f ′(x )＞0，故选A.答案：A6．已知函数f (x )＝－x 2－3x ＋4ln x 在(t ，t ＋1)上不单调，则实数t 的取值范围是12________．解析：∵函数f (x )＝－x 2－3x ＋4ln x (x ＞0)，12∴f ′(x )＝－x －3＋，4x ∵函数f (x )＝－x 2－3x ＋4ln x 在(t ，t ＋1)上不单调，12∴f ′(x )＝－x －3＋＝0在(t ，t ＋1)上有解，4x ∴＝0在(t ，t ＋1)上有解，x 2＋3x －4x∴x 2＋3x －4＝0在(t ，t ＋1)上有解，由x 2＋3x －4＝0得x ＝1或x ＝－4(舍去)，∴1∈(t ，t ＋1)，∴t ∈(0,1)，故实数t 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)7．已知y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，且xf ′(x )＋f (x )＞0，则函数g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)的零点个数为________．解析：因为g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)，g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (0)＝1，y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，所以g (x )为(0，＋∞)上的连续可导函数，又g (x )＞g (0)＝1，所以g (x )在(0，＋∞)上无零点．答案：08．(2018·洛阳统考)已知函数f (x )＝e x ＋m ln x (m ∈R ，e 为自然对数的底数)，若对任意正数x 1，x 2，当x 1＞x 2时都有f (x 1)－f (x 2)＞x 1－x 2成立，则实数m 的取值范围是________．解析：依题意得，对于任意的正数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，都有f (x 1)－x 1＞f (x 2)－x 2，因此函数g (x )＝f (x )－x 在区间(0，＋∞)上是增函数，于是当x ＞0时，g ′(x )＝f ′(x )－1＝e x ＋－1≥0，即x (e x －1)≥－m 恒成立．记h (x )＝x (e x －1)，x ＞0，则有h ′(x )mx ＝(x ＋1)e x －1＞(0＋1)e 0－1＝0(x ＞0)，h (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，h (x )的值域是(0，＋∞)，因此－m ≤0，m ≥0.故所求实数m 的取值范围是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)9．已知函数f (x )＝x 2－(2t ＋1)x ＋t ln x (t ∈R)．(1)若t ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程以及f (x )的极值；(2)设函数g (x )＝(1－t )x ，若存在x 0∈[1，e]，使得f (x 0)≥g (x 0)成立，求实数t 的最大值．解析：(1)依题意，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当t ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －3＋＝.1x (2x －1)(x －1)x由f ′(1)＝0，f (1)＝－2，得曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－2.令f ′(x )＝0，解得x ＝或x ＝1，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下：12x (0，12)12(12，1)1(1，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )极大值极小值由表格知，f (x )极大值＝f ＝－＋ln ，f (x )极小值＝f (1)＝－2.(12)5412(2)由题意知，不等式f (x )≥g (x )在区间[1，e]上有解，即x 2－2x ＋t (ln x －x )≥0在区间[1，e]上有解．∵当x ∈[1，e]时，ln x ≤1≤x (不同时取等号)，∴ln x －x <0，∴t ≤在区间[1，e]上有x 2－2xx －ln x 解．令h (x )＝，则h ′(x )＝.x 2－2xx －ln x (x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2∵x ∈[1，e]，∴x ＋2>2≥2ln x ，∴h ′(x )≥0，h (x )单调递增，∴x ∈[1，e]时，h (x )max ＝h (e)＝.e (e －2)e －1∴t ≤，∴实数t 的最大值是.e (e －2)e －1e (e －2)e －1。

2019高三数学理北师大版一轮教师用书第2章第3节函数的奇偶性、周期性与对称性 Word版含解析

第三节函数的奇偶性、周期性与对称性[考纲传真](教师用书独具).了解函数奇偶性的含义.会运用基本初等函数的图像分析函数的奇偶性.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．奇函数、偶函数图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数()中，()和(－)的绝对值相等，符号相反．即(－)＝－()，反之，满足(－)＝－()的函数一定是奇函数．图像关于轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数()中，()＝(－)，反之，满足(－)＝()的函数一定是偶函数．．奇(偶)函数的性质()奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点的区间上的单调性相反(填“相同”“相反”)．()在公共定义域内①两个奇函数和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．()若函数()是奇函数且＝处有定义，则()＝.．函数的周期性()周期函数：对于函数()，如果存在非零常数，对定义域内的任意一个，都有(＋)＝()，那么就称函数()为周期函数，称为这个函数的周期．()最小正周期：如果在周期函数()的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作()的最小正周期．．函数的对称性常见的结论()函数＝()关于＝对称⇔(＋)＝(－)⇔()＝(＋－)．特殊：函数＝()关于＝对称⇔(＋)＝(－)⇔()＝(－)；函数＝()关于＝对称⇔()＝(－)(即为偶函数)．()函数＝()关于点(，)对称⇔(＋)＋(－)＝⇔(＋)＋(－)＝.特殊：函数＝()关于点()对称⇔(＋)＋(－)＝⇔(＋)＋(－)＝；函数＝()关于()对称⇔()＋(－)＝(即为奇函数)．()＝(＋)是偶函数⇔函数＝()关于直线＝对称；＝(＋)是奇函数⇔函数＝()关于点()对称．[知识拓展]．函数奇偶性常用结论()若奇函数()在＝处有定义，则()＝.()如果函数()是偶函数，那么()＝()．()奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．()＝(＋)是奇函数，则(－＋)＝－(＋)；＝(＋)是偶函数，则(－＋)＝(＋)．．函数周期性常用结论对()定义域内任一自变量的值：()若(＋)＝－()，则＝(＞)．()若(＋)＝，则＝(＞)．()若(＋)＝－，则＝(＞)．[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) ()函数＝，∈(，＋∞)是偶函数．( )()偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( )()若函数＝(＋)是偶函数，则函数＝()关于直线＝对称．( )()若函数＝(＋)是奇函数，则函数＝()关于点()中心对称．( )()函数()在定义域上满足(＋)＝－()，则()是周期为(＞)的周期函数．()[答案]()×()×()√()√()√．已知()＝＋是定义在[－]上的偶函数，那么＋的值是( )．－．－[依题意＝，且＝－(－)，∴＝且＝，则＋＝.]。

北师大版2019版文数练习：第二章第三节函数的奇偶性、周期性含解析

课时作业 A 组——基础对点练1．下列函数为奇函数的是 ( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos xD ．y ＝e x－e －x解析：因为函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y ＝x 为非奇非偶函数，排除A ；因为y ＝|sin x |为偶函数，所以排除B ；因为y ＝cos x 为偶函数，所以排除C ；因为y ＝f (x )＝e x－e －x，f (－x )＝e －x－e x ＝－(e x －e －x)＝－f (x )，所以函数y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D.答案：D2．下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x解析：A 选项，记f (x )＝x 2sin x ，定义域为R ，f (－x )＝(－x )2sin(－x )＝－x 2sin x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数；B 选项，记f (x )＝x 2cos x ，定义域为R ，f (－x )＝(－x )2cos(－x )＝x 2cos x ＝f (x )，故f (x )为偶函数；C 选项，函数y ＝|ln x |的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；D 选项，记f (x )＝2－x，定义域为R ，f (－x )＝2－(－x )＝2x＝1f x，故f (x )为非奇非偶函数，选B.答案：B3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e x解析：选项A 中的函数是偶函数；选项B 中的函数是奇函数；选项C 中的函数是偶函数；只有选项D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数．答案：D4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝ln x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝sin xD ．y ＝cos x解析：A 项中的函数是非奇非偶函数；B 项中的函数是偶函数但不存在零点；C 项中的函数是奇函数；D 项中的函数既是偶函数又存在零点．答案：D5．函数y ＝log 21＋x1－x 的图像( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：由1＋x1－x ＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x1－x ＝－f (x )，∴函数y ＝log 21＋x1－x 为奇函数，故选A.答案：A6．设f (x )＝x ＋sin x (x ∈R)，则下列说法错误的是( ) A ．f (x )是奇函数 B ．f (x )在R 上单调递增 C ．f (x )的值域为RD ．f (x )是周期函数解析：因为f (－x )＝－x ＋sin(－x )＝－(x ＋sin x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故A 正确；因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，所以函数f (x )在R 上单调递增，故B 正确；因为f (x )在R 上单调递增，所以f (x )的值域为R ，故C 正确；f (x )不是周期函数，故选D. 答案：D7．定义运算a b ＝a 2－b 2，a b ＝a －b2，则f (x )＝x x－2为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．常函数D ．非奇非偶函数解析：由定义得f (x )＝4－x2x －2－2.∵4－x 2≥0，且x －2－2≠0，即x ∈[－2,0)∪(0,2]．∴f (x )＝4－x 22－x －2＝－4－x2x (x ∈[－2,0)∪(0,2])，∴f (－x )＝4－x2x，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．答案：A8．f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x ) C ．x 3－ln(1－x )D ．－x 3＋ln(1－x )解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]＝x 3－ln(1－x )．答案：C9．x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数D ．周期函数解析：函数f (x )＝x －[x ]在R 上的图像如下图：选D. 答案：D10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝－2x，则f (1)＋f (4)等于( ) A.32 B ．－32C ．－1D ．1解析：由f (x ＋4)＝f (x )知f (x )是周期为4的周期函数，又f (x )是定义在R 上的偶函数，故f (4)＝f (0)＝－1，f (1)＝f (－1)，又－1∈[－2,0]，所以f (－1)＝－2－1＝－12，所以f (1)＝－12，f (1)＋f (4)＝－32，选B.答案：B 11．若f (x )＝ax＋－22＋1是R 上的奇函数，则实数a 的值为__________．解析：∵函数f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，∴2a －22＝0，解得a ＝1.答案：112．(2018·安徽十校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x，则f (log 4 9)＝__________.解析：因为log 49＝log 23＞0，又f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x ，所以f (log 49)＝f (log 23)＝－2－log 23＝－2log 213＝－13.答案：－1313．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是__________．解析：由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)B 组——能力提升练1．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )A ．2B ．－2C ．－98D ．98解析：因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝4，又f (x )在R 上是奇函数，所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.答案：B2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a 满足f (2log 3a )＞f (－2)，则a 的取值范围是( ) A ． (－∞，3) B ．(0，3) C ．(3，＋∞)D ．(1，3)解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f (－2)＝f (2)，∴f (2log 3a )＞f (2)．∵2log 3a ＞0，f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0＜2log 3a ＜2⇒log 3a ＜12⇒0＜a ＜3，故选B. 答案：B3．奇函数f (x )的定义域为R.若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．1解析：由f (x ＋2)是偶函数可得f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，又由f (x )是奇函数得f (－x ＋2)＝－f (x －2)，所以f (x ＋2)＝－f (x －2)，f (x ＋4)＝－f (x )，f (x ＋8)＝f (x )，故f (x )是以8为周期的周期函数，所以f (9)＝f (8＋1)＝f (1)＝1，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (8)＝f (0)＝0，∴f (8)＋f (9)＝1. 答案：D4．已知函数f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝( )A.13 B ．－13C ．5D ．8解析：由f (lg 3)＝a sin(lg 3)＋b 3lg 3＋4＝3得a sin(lg 3)＋b 3lg 3＝－1，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝f (－lg 3)＝－a sin(lg 3)－b 3lg 3＋4＝－[a sin(lg 3)＋b 3lg 3]＋4＝1＋4＝5.故选C. 答案：C5．若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R ，有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是( ) A ．f (x )－1为奇函数 B ．f (x )－1为偶函数 C ．f (x )＋1为奇函数D ．f (x )＋1为偶函数解析：∵对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，∴令x 1＝x 2＝0，得f (0)＝－1.令x 1＝x ，x 2＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＋1.∴f (x )＋1＝－f (－x )－1＝－[f (－x )＋1]，∴f (x )＋1为奇函数．故选C. 答案：C6．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：法一：偶函数满足f (x )＝f (|x |)，根据这个结论，有f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⇔f (|2x －1|)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，进而转化为不等式|2x －1|＜13，解这个不等式即得x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23.故选A.法二：设2x －1＝t ，若f (t )在[0，＋∞)上单调递增，则f (x )在(－∞，0)上单调递减，如图，∴f (t )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，有－13＜t ＜13，即－13＜2x －1＜13， ∴13＜x ＜23，故选A. 答案：A7．已知定义在R 上的奇函数满足f (x ＋4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)＜f (11)＜f (80) B ．f (80)＜f (11)＜f (－25) C ．f (11)＜f (80)＜f (－25) D ．f (－25)＜f (80)＜f (11) 解析：∵f (x ＋4)＝－f (x )， ∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)， ∴f (x ＋8)＝f (x )， ∴f (x )的周期为8，∴f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)＝f (－1＋4)＝－f (－1)＝f (1)，又∵奇函数f (x )在区间[0,2]上是增函数， ∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－25)＜f (80)＜f (11)，故选D. 答案：D8．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x [f (x )－f (－x )]＜0的解集为( )A ．{x |－1＜x ＜0，或x ＞1}B ．{x |x ＜－1，或0＜x ＜1}C ．{x |x ＜－1，或x ＞1}D ．{x |－1＜x ＜0，或0＜x ＜1} 解析：∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(－x)＝－f(x)，x[f(x)－f(－x)]＜0，∴xf(x)＜0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，从而有函数f(x)的图像如图所示：则有不等式x[f(x)－f(－x)]＜0的解集为{x|－1＜x＜0或0＜x＜1}，选D.答案：D9．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)( )A．336 B．337C．1 678 D．2 018解析：∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x＜3时，f(x)＝x.∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，由周期可得f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 011)＋f(2 012)＋…＋f(2 016)＝1，而f(2 017)＝f(6×336＋1)＝f(1)＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝336×1＋1＝337.故选B.答案：B10．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图像关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 015)＋f(2 016)＝( )A．0 B．2C．3 D．4解析：y＝f(x－1)的图像关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图像关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数，令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0，则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，则函数的周期是2，又f(0)＝2，则f(2 015)＋f(2 016)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2.故选B.答案：B11．(2018·保定调研)已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)，若f (a )＝－2，则实数a ＝________.解析：x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14的最小值为0，所以f (a )＝－2时，a ＜0，因为f (x )为R 上的奇函数，当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－x (－x ＋1)＝x 2－x ＝－f (x )，所以x ＜0时，f (x )＝－x 2＋x ，则f (a )＝－a 2＋a ＝－2，所以a ＝－1. 答案：－112．已知函数f (x )＝x 2(2x －2－x)，则不等式f (2x ＋1)＋f (1)≥0的解集是__________．解析：因为f (－x )＝(－x )2(2－x－2x )＝－x 2(2x －2－x)＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．不等式f (2x ＋1)＋f (1)≥0等价于f (2x ＋1)≥f (－1)．易知，当x ＞0时，函数f (x )为增函数，所以函数f (x )在R 上为增函数，所以f (2x ＋1)≥f (－1)等价于2x ＋1≥－1，解得x ≥－1.答案：[－1，＋∞)13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x 2＋1＋x 2＋x ，x ≥03x 2＋1＋x 2－x ，x ＜0，若f (x －1)＜f (2x ＋1)，则x的取值范围为__________．解析：若x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝3(－x )2＋ln(1＋－x2＋x )＝3x 2＋ln(1＋x 2＋x )＝f (x )，同理可得，x ＜0时，f (－x )＝f (x )，且x ＝0时，f (0)＝f (0)，所以f (x )是偶函数．因为当x ＞0时，函数f (x )单调递增，所以不等式f (x －1)＜f (2x ＋1)等价于|x －1|＜|2x ＋1|，整理得x (x ＋2)＞0，解得x ＞0或x ＜－2. 答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)14．定义在R 上的函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，且f (x －2)是偶函数，若对一切实数x ，不等式f (2sin x －2)＞f (sin x －1－m )恒成立，则实数m 的取值范围为__________．解析：因为f (x －2)是偶函数，所以函数f (x )的图像关于x ＝－2对称，由题意知f (x )在(－∞，－2)上为增函数，则f (x )在(－2，＋∞)上为减函数，所以不等式f (2sin x －2)＞f (sin x －1－m )恒成立等价于|2sin x －2＋2|＜|sin x －1－m ＋2|，即|2sin x |＜|sinx ＋1－m |，两边同时平方，得3sin 2x －2(1－m )sin x －(1－m )2＜0，即(3sin x ＋1－m )(sinx －1＋m )＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ＋1－m ＞0sin x －1＋m ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ＋1－m ＜0sin x －1＋m ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ＞m －1sin x ＜1－m或⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ＜m －1sin x ＞1－m，即⎩⎪⎨⎪⎧m －1＜－31－m ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧m －1＞31－m ＜－1，即m ＜－2或m ＞4，故m 的取值范围为(－∞，－2)∪(4，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(4，＋∞)。

2019版同步优化探究理数北师大版练习：第二章第三节函数的奇偶性、周期性含解析

2019版同步优化探究理数北师大版练习：第二章第三节函数的奇偶性、周期性含解析 1 / 11 / 1 课时作业A 组 —— 基础对点练1．以下函数为奇函数的是 ()A ． y ＝ xB ．y ＝ |sin x|C ．＝ x －e － xy cos x D ．y ＝e分析：由于函数 y ＝ x 的定义域为 [0，＋∞ )，不对于原点对称，因此函数 y ＝ x 为非奇非偶函数，清除 A ；由于 y ＝ |sin x|为偶函数，因此清除 B ；由于 y ＝cos x 为偶函数，因此清除 C ；由于 y ＝ f(x)＝ e x －e －x ，f(－x)＝ e －x － e x ＝－ (e x －e －x )＝－ f(x)，因此函数 y ＝e x －e －x 为奇函数，应选 D.答案： D2．以下函数中为偶函数的是 ( )A ． y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ． y ＝|ln x|D ．y ＝2－x分析： A 选项，记 f(x)＝x 2 ，定义域为 R ，－ x) ＝ ( － 2 sin( － x) ＝－ 2sin x f( x) x sin x＝－ f(x)，故 f(x)为奇函数； B 选项，记 f(x)＝x 2cos x ，定义域为 R ， f(－ x)＝ (－x)2cos(－x)＝x 2cos x ＝ f(x)，故 f(x)为偶函数； C 选项，函数 y ＝ |ln x|的定义域为 (0，＋ ∞ )，不对于原点对称，故为非奇非偶函数； D 选项，记 f(x)＝2－x ，定( x) x 1义域为 R ， f(－x)＝2－－＝2 ＝f x ，故 f(x)为非奇非偶函数，选 B.答案： B3．以下函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 ()A ． y ＝ 1＋x 2 1B ．y ＝x ＋xx1xC ． y ＝2 ＋ xD ．y ＝x ＋e2分析：选项 A 中的函数是偶函数；选项 B 中的函数是奇函数；选项 C 中的函数是偶函数；只有选项 D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数．。

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习第二章第二节函数的单调性与最值 Word版含解析

课时作业组——基础对点练．下列四个函数中，在(，＋∞)上为增函数的是( )．()＝－．()＝－．()＝－．()＝－解析：当＞时，()＝－为减函数；当∈时，()＝－为减函数，当∈时，()＝－为增函数；当∈(，＋∞)时，()＝－为增函数；当∈(，＋∞)时，()＝－为减函数．故选.答案：．下列函数中，定义域是且为增函数的是( )．＝．＝－．＝．＝解析：因为对数函数＝的定义域不是，故首先排除选项；因为指数函数＝－，即＝，在定义域内单调递减，故排除选项；对于函数＝，当∈(－∞，)时，函数变为＝－，在其定义域内单调递减，因此排除选项；而函数＝在定义域上为增函数．故选.答案：．(·长春市模拟)已知函数()＝(\\(－，＜－，－，≥－，))则函数()的值域为( )．(－，＋∞)．[－，＋∞)．．[－，＋∞) 解析：当＜－时，()＝－∈(－，＋∞)；当≥－时，()＝－∈[－，＋∞)，综上可知，函数()的值域为(－，＋∞)．故选.答案：．设()＝－，则()( )．既是奇函数又是减函数．既是奇函数又是增函数．是有零点的减函数．是没有零点的奇函数解析：∵(－)＝－－(－)＝－(－)＝－()，∴()为奇函数．又′()＝－≥，∴()单调递增，选.答案：．已知函数()＝(\\(＋，＞，，≤，))则下列结论正确的是( )．()是偶函数．()是增函数．()是周期函数．()的值域为[－，＋∞)解析：因为(π)＝π＋，(－π)＝－，所以(－π)≠(π)，所以函数()不是偶函数，排除；因为函数()在(－π，－π)上单调递减，排除；函数()在(，＋∞)上单调递增，所以函数()不是周期函数，排除；因为＞时，()＞，≤时，－≤()≤，所以函数()的值域为[－，＋∞)，故选.答案：．设＞且≠，则“函数()＝在上是减函数”是“函数()＝(－)在上是增函数”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件解析：若函数()＝在上为减函数，则有＜＜；若函数()＝(－)在上为增函数，则有－＞，即＜，所以“函数()＝在上是减函数”是“函数()＝(－)在上是增函数”的充分不必要条件，选.答案：．函数()＝(\\(－＋，<，，≥))，(>且≠)是上的减函数，则的取值范围是( )．()解析：∵(\\(<<≥))，∴≤<.答案：．下列函数中，在区间(，＋∞)上为增函数的是( )．＝．＝(－)．＝(＋)．＝－解析：项，＝为(－，＋∞)上的增函数，故在(，＋∞)上递增；项，＝(－)在(－∞，)上递减，在(，＋∞)上递增；项，＝－＝为上的减函数；项，＝(＋)为(－，＋∞)上的减函数．故选.答案：．已知()是偶函数，当>时，()单调递减，设＝－，＝－，＝，则()，()，()的大小关系为( )．()<()<()．()<()<()．()>()>()．()>()>()解析：依题意，注意到>＝－>＝＝>＝>，又函数()在区间(，＋∞)上是减函数，于是有()<()<()，由函数()是偶函数得()＝()，因此()<()<()，选.答案：．(·长沙市统考)已知函数()＝，则( )．存在∈，()<．任意∈(，＋∞)，()≥。

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第二章第二节函数的单调性与最值 Word版含解析

课时作业 A 组——基础对点练1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：当x ＞0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C. 答案：C2．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |解析：因为对数函数y ＝ln x 的定义域不是R ，故首先排除选项C ；因为指数函数y ＝e －x ，即y ＝⎝⎛⎭⎫1e x，在定义域内单调递减，故排除选项A ；对于函数y ＝|x |，当x ∈(－∞，0)时，函数变为y ＝－x ，在其定义域内单调递减，因此排除选项D ；而函数y ＝x 3在定义域R 上为增函数．故选B. 答案：B3．(2018·长春市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ＜－1，2x －1，x ≥－1，则函数f (x )的值域为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．[－12，＋∞)D ．R解析：当x ＜－1时，f (x )＝x 2－2∈(－1，＋∞)；当x ≥－1时，f (x )＝2x －1∈[－12，＋∞)，综上可知，函数f (x )的值域为(－1，＋∞)．故选B. 答案：B4．设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( ) A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数解析：∵f (－x )＝－x －sin(－x )＝－(x －sin x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．又f ′(x )＝1－cos x ≥0， ∴f (x )单调递增，选B. 答案：B5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：因为f (π)＝π2＋1，f (－π)＝－1，所以f (－π)≠f (π)，所以函数f (x )不是偶函数，排除A ；因为函数f (x )在(－2π，－π)上单调递减，排除B ；函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )不是周期函数，排除C ；因为x ＞0时，f (x )＞1，x ≤0时，－1≤f (x )≤1，所以函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，故选D. 答案：D6．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若函数f (x )＝a x 在R 上为减函数，则有0＜a ＜1；若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a ＞0，即a ＜2，所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A. 答案：A7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ，x ≥0，(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎦⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎤0，23 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧0<a <13a ≥1，∴13≤a <1.答案：B8．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)解析：A 项，y ＝x ＋1为(－1，＋∞)上的增函数，故在(0，＋∞)上递增；B 项，y ＝(x －1)2在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增；C 项，y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 为R 上的减函数；D 项，y ＝log 0.5(x ＋1)为(－1，＋∞)上的减函数．故选A. 答案：A9．已知f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )单调递减，设a ＝－21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 5 2，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (c )<f (b )<f (a ) B ．f (c )<f (a )<f (b ) C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )解析：依题意，注意到21.2>20.8＝⎝⎛⎭⎫12－0.8>20＝1＝log 55>log 54＝2log 52>0，又函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，于是有f (21.2)<f (20.8)<f (2log 52)，由函数f (x )是偶函数得f (a )＝f (21.2)，因此f (a )<f (b )<f (c )，选C. 答案：C10．(2018·长沙市统考)已知函数f (x )＝x 12，则( )A ．存在x 0∈R ，f (x 0)<0B ．任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥0C ．存在x 1，x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．任意x 1∈[0，＋∞)，存在x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)>f (x 2)解析：幂函数f (x )＝x 12的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A 错误，B 正确，C错误，D 选项中当x 1＝0时，结论不成立，选B. 答案：B11．对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝x 2 C ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝cos(x ＋1)解析：由f (x )为准偶函数的定义可知，若f (x )的图像关于x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )为准偶函数，A ，C 中两函数的图像无对称轴，B 中函数图像的对称轴只有x ＝0，而D 中f (x )＝cos(x ＋1)的图像关于x ＝k π－1(k ∈Z)对称．答案：D12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x ＜1的值域为________．解析：当x ≥1时，log 12x ≤0，当x ＜1时，0＜2x ＜2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)13．函数f (x )＝x ＋2x －1的值域为________．解析：由2x －1≥0可得x ≥12，∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，又函数f (x )＝x ＋2x －1在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增， ∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝⎛⎭⎫12＝12， ∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞14．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.解析：由f (x )＝⎩⎨⎧－2x －a ，x ＜－a22x ＋a ，x ≥－a2，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－a2，＋∞，故3＝－a2，解得a ＝－6.答案：－615．已知函数f (x )＝x ＋ax (x ≠0，a ∈R)，若函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．解析：设x 1<x 2≤－2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－ax 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2.因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以要使Δy ＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2<0恒成立，只需使x 1x 2－a >0恒成立，即a <x 1x 2恒成立．因为x 1<x 2≤－2，所以x 1x 2>4，所以a ≤4，故函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增时，实数a 的取值范围是(－∞，4]．答案：(－∞，4]B 组——能力提升练1．(2018·合肥市质检)已知函数f (x )＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．0解析：注意到f (x )＝[(x －1)2－1]sin(x －1)＋x ＋1，可令t ＝x －1，g (t )＝(t 2－1)sin t ＋t ，则y ＝f (x )＝g (t )＋2，t ∈[－2,2]．显然M ＝g (t )max ＋2，m ＝g (t )min ＋2.又g (t )为奇函数，则g (t )max ＋g (t )min ＝0，所以M ＋m ＝4，故选A. 答案：A2．(2018·西安一中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图像是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.故选D. 答案：D3．(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝x ＋x ln x ，若k ∈Z ，且k (x －1)＜f (x )对任意的x ＞1恒成立，则k 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：依题意得，当x ＝2时，k (2－1)＜f (2)，即k ＜2＋2ln 2＜2＋2＝4，因此满足题意的最大整数k 的可能取值为3.当k ＝3时，记g (x )＝f (x )－k (x －1)，即g (x )＝x ln x －2x ＋3(x ＞1)，则g ′(x )＝ln x －1，当1＜x ＜e 时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(1，e)上单调递减；当x ＞e 时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(e ，＋∞)上单调递增．因此，g (x )的最小值是g (e)＝3－e ＞0，于是有g (x )＞0恒成立．所以满足题意的最大整数k 的值是3，选B. 答案：B4．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎭⎫1，32 C ．[1,2)D.⎣⎡⎭⎫32，2解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以k －1≥0，即k ≥1.令f ′(x )＝4x 2－12x ＝0，解得x＝12⎝⎛⎭⎫x ＝－12舍.因为函数f (x )在区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，得－12＜k ＜32.综上得1≤k ＜32. 答案：B5．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2D ． (0,2]解析：由已知条件得f (－x )＝f (x )，则f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)⇒f (log 2a )＋f (－log 2a )≤2f (1)⇒f (log 2a )≤f (1)，又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|log 2a |≤1⇒－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，选C.答案：C6．设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，在(0,1)上，当x 增大时，1－x 2减小，ln(1－x 2)减小，即f (x )在(0,1)上是减函数，故选B. 答案：B7．已知函数f (x )＝lg(a x －b x )＋x 中，常数a ，b 满足a ＞1＞b ＞0，且a ＝b ＋1，那么f (x )＞1的解集为( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1,10)D ．(10，＋∞)解析：由a x －b x ＞0，即⎝⎛⎭⎫a b x＞1，解得x ＞0，所以函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为a ＞1＞b ＞0，所以y ＝a x 单调递增，y ＝－b x 单调递增，所以t ＝a x －b x 单调递增．又y ＝lg t 单调递增，所以f (x )＝lg(a x －b x )＋x 为增函数．而f (1)＝lg(a －b )＋1＝lg 1＋1＝1，所以x ＞1时f (x )＞1，故f (x )＞1的解集为(1，＋∞)．故选B. 答案：B8．已知函数f (x )是定义在R 上的单调递增函数，且满足对任意的实数x 都有f (f (x )－3x )＝4，则f (x )＋f (－x )的最小值等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．12解析：由f (x )的单调性知存在唯一实数K 使f (K )＝4，即f (x )＝3x ＋K ，令x ＝K 得f (K )＝3K ＋K ＝4，所以K ＝1，从而f (x )＝3x ＋1，即f (x )＋f (－x )＝3x ＋13x ＋2≥23x ·13x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．故选B. 答案：B9．(2013·高考安徽卷)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：充分性：当a <0时，f (x )＝|(ax －1)·x |＝－ax 2＋x 为图像开口向上的二次函数，且图像的对称轴为直线x ＝12a ⎝⎛⎭⎫12a <0，故f (x )在(0，＋∞)上为增函数；当a ＝0时，f (x )＝x ，为增函数．必要性：f (0)＝0，当a ≠0时，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0，若f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则1a <0，即a <0.f (x )＝x 时，f (x )为增函数，此时a ＝0.综上，a ≤0为f (x )在(0，＋∞)上为增函数的充分必要条件．答案：C10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋4－2a ，x <11＋log 2x ，x ≥1.若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(－∞，2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：依题意，当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x 单调递增，f (x )＝1＋log 2x 在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f (x )的值域是R ，则需函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ⊇(－∞，1)．①当a －1<0，即a <1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－a ＋3，＋∞)，显然此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a <1不满足题意；②当a －1＝0，即a ＝1时，f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝{2}，此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a ＝1不满足题意；③当a －1>0，即a >1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－∞，－a ＋3)，由M ⊇(－∞，1)得⎩⎪⎨⎪⎧a >13－a ≥1，解得1<a ≤2.综上所述，满足题意的实数a 的取值范围是(1,2]，选A. 答案：A11．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( ) A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数D ．是增函数解析：∵函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，图像开口向上，对称轴x ＝a ，∴a ＜1， g (x )＝f (x )x ＝x ＋ax－2a .若a ≤0，则g (x )＝x ＋ax－2a 在(0，＋∞)，(－∞，0)上单调递增；若0＜a ＜1，则g (x )＝x ＋ax －2a 在(a ，＋∞)上单调递增，则在(1，＋∞)上单调递增．综上可得，g (x )＝x ＋ax －2a 在(1，＋∞)上单调递增．故选D.答案：D12．(2018·武汉市模拟)若存在正实数a ，b ，使得任意x ∈R 有f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，则称f (x )为“限增函数”．给出以下三个函数：①f (x )＝x 2＋x ＋1；②f (x )＝|x |；③f (x )＝sin(x 2)，其中是“限增函数”的是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．③解析：对于①，f (x ＋a )≤f (x )＋b 即(x ＋a )2＋(x ＋a )＋1≤x 2＋x ＋1＋b ，即2ax ≤－a 2－a ＋b ，x ≤－a 2－a ＋b 2a 对一切x ∈R 恒成立，显然不存在这样的正实数a ，b .对于②，f (x )＝|x |，即|x ＋a |≤|x |＋b ，|x ＋a |≤|x |＋b 2＋2b |x |，而|x ＋a |≤|x |＋a ，∴|x |＋a ≤|x |＋b 2＋2b |x |，则|x |≥a －b 22b ，显然，当a ≤b 2时式子恒成立，∴f (x )＝|x |是“限增函数”．对于③，f (x )＝sin(x 2)，－1≤f (x )＝sin(x 2)≤1，故f (x ＋a )－f (x )≤2，当b ≥2时，对于任意的正实数a ，b 都成立，故选B. 答案：B13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4x ，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的值域为__________．解析：当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋4x ＝x ＋4x －2，由基本不等式可得x ＋4x≥2x ·4x ＝4(当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立)，所以f (x )＝x ＋4x－2≥4－2＝2，即函数f (x )的取值范围为[2，＋∞)；当x ≤0时，f (x )＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1，因为当x ＝－1时，f (x )取得最大值1，所以函数f (x )的取值范围为(－∞，1]．综上，函数f (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x －6，x ＞1，则f (f (－2))＝__________，f (x )的最小值是__________．解析：因为f (－2)＝4，f (4)＝－12，所以f (f (－2))＝－12；x ≤1时，f (x )min ＝0，x ＞1时，f (x )min＝26－6，又26－6＜0，所以f (x )min ＝26－6. 答案：－1226－615．(2018·长沙市模拟)定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy ＜0，例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f (x )＝x 2(2x －x 2)的最大值为__________．解析：由已知得f (x )＝x 2(2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x 2(2x －x 2)≥0，2x －x 2，x 2(2x －x 2)＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x ＜0或x ＞2，易知函数f (x )的最大值为4. 答案：416．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋3)＝2f (x )，当x ∈[－1,2)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ∈[－1，0)，－(12)|x －1|，x ∈[0，2)，若存在x ∈[－4，－1)，使得不等式t 2－3t ≥4f (x )成立，则实数t 的取值范围是__________．解析：由题意知f (x )＝12f (x ＋3)．当x ∈[－1,0)时，f (x )＝x 2＋x ＝(x ＋12)2－14∈[－14，0]；当x∈[0,2)时，f (x )＝－(12)|x －1|∈[－1，－12]；所以当x ∈[－1,2)时，f (x )min ＝－1.故当x ∈[－4，－1)时，x ＋3∈[－1,2)，所以f (x ＋3)min ＝－1，此时f (x )min ＝12×(－1)＝－12.由存在x ∈[－4，－1)，使得不等式t 2－3t ≥4f (x )成立，可得t 2－3t ≥4×(－12)，解得t ≤1或t ≥2.答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)。

2019—2020年最新北师大版高一数学函数的奇偶性与周期性同步练习(精品试题)

函数的奇偶性与周期性1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A 非奇非偶的增函数；B 是偶函数且是减函数；C 是奇函数且在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；D 中函数可化为y ＝⎩⎨⎧ x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，易知是奇函数且是增函数，故选D.【答案】 D2．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a ＞0，且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2B.154C.174 D ．a 2【解析】由条件f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，f (－2)＋g (－2)＝a －2－a 2＋2，即－f (2)＋g (2)＝a －2－a 2＋2，由此解得g (2)＝2，f (2)＝a 2－a －2，所以a ＝2，f (2)＝22－2－2＝154，所以选B. 【答案】 B3．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2012)＋f (2013)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2012)＋f (2013)＝f (671×3－1)＋f (671×3)＝f (－1)＋f (0)，而由图象可知f (－1)＝2，f (0)＝0，所以f (2012)＋f (2013)＝2＋0＝2.【答案】 B4．(2012·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎨⎧ ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．【解析】 ∵f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，∴f (－1)＝f (1)，即－a ＋1＝b ＋22①. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32， ∴－12a ＋1＝b ＋43②. 联立①②，解得a ＝2，b ＝－4.∴a ＋3b ＝－10.【答案】－105．已知函数f (x )＝x 2＋a x (a ≠0，常数a ∈R )．讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．【解】当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )．∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x (x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．课时作业【考点排查表】一、1．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是( ) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝x ·f (x )；④y ＝f (x )＋x .A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 【解析】 ∵f (x )的定义域为R ，∴f (|－x |)＝f (|x |)，∴y ＝f (|x |)是偶函数；令F (x )＝f (－x )，则F (－x )＝f (x )＝－f (－x )＝－F (x )，∴F (x )是奇函数，∴②是奇函数；令M (x )＝x ·f (x )，则M (－x )＝－x ·f (－x )＝x ·f (x )＝M (x )，∴M (x )是偶函数；令N (x )＝f (x )＋x ，则N (－x )＝f (－x )－x ＝－f (x )－x ＝－[f (x )＋x ]＝－N (x )，∴N (x )是奇函数，故②、④是奇函数．【答案】 D2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3【解析】函数f (x )为定义在R 上的奇函数，即f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1.则f (x )＝2x ＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3. 【答案】 A3．(2012·天津高考)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos 2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x 2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R【解析】函数y ＝log 2|x |为偶函数，且当x ＞0时，函数y ＝log 2|x |＝log 2x 为增函数，所以在(1,2)上也为增函数，选B.【答案】 B4．若奇函数f (x )＝3sin x ＋c 的定义域是[a ，b ]，则a ＋b －c 等于( )A ．3B ．－3C ．0D ．无法计算【解析】由于函数f (x )是奇函数，且定义域为[a ，b ]，所以a ＋b ＝0，又因为f (0)＝0，得c ＝0，于是a ＋b －c ＝0.【答案】 C5．(2013·昆明模拟)已知偶函数f (x )对∀x ∈R ，都有f (x －2)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0]时f (x )＝2x ，则f (2013)＝( )A ．1B ．－1 C.12 D ．－12【解析】由f (x －2)＝－f (x )得f (x －4)＝f (x )，所以函数的周期是4，故f (2013)＝f (4×503＋1)＝f (1)＝f (－1)＝2－1＝12. 【答案】 C6．(2013·山东潍坊模拟)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当1<x 1<x 2时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c 【解析】 ∵f (x ＋1)是偶函数，∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)，∴y ＝f (x )关于x ＝1对称．又1<x 1<x 2，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，知y ＝f (x )在[1，＋∞)是增函数，又f (－12)＝f (52)，且2<52<3，∴f (2)＜f (52)<f (3)，即b <a <c .故选A. 【答案】 A二、填空题7．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．【解析】 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．∴不等式f (1－m )＜f (m )⇔f (|1－m |)＜f (|m |)．又当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ |1－m |＞|m |，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m ＜12.－2≤m ≤2.【答案】－1≤m ＜12 8．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13，则f (x )的周期为________．【解析】由f (x )·f (x ＋2)＝13得f (x ＋2)＝13f x， ∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝13f x ＋2＝f (x )． ∴f (x )是以4为周期的周期函数．【答案】 49．(2012·皖南八校第三次联考)关于y ＝f (x )，给出下列五个命题： ①若f (－1＋x )＝f (1＋x )，则y ＝f (x )是周期函数；②若f (1－x )＝－f (1＋x )，则y ＝f (x )为奇函数；③若函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，则y ＝f (x )为偶函数； ④函数y ＝f (1＋x )与函数y ＝f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称； ⑤若f (1－x )＝f (1＋x )，则y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称．填空所有正确命题的序号________．【解析】对于①，依题意得f (x ＋2)＝f [－1＋(x ＋1)]＝f (x )，因此函数f (x )是以2为周期的函数，①正确．对于②，由条件不能得知该函数是奇函数，如f (x )＝(x －1)3，易知其满足性质f (1－x )＝－f (1＋x )，但它不是奇函数，因此②不正确．对于③，注意到将函数f (x －1)的图象向左平移一个单位长度得到函数y ＝f (x )的图象；由于函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，因此函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，由此可知y ＝f (x )是偶函数，③正确．对于④，注意到函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称；将函数y ＝f (x )的图象向左平移一个单位长度得到函数y ＝f (x ＋1)的图象，将函数y ＝f (－x )的图象向右平移一个单位长度得到函数y ＝f [－(x －1)]＝f (1－x )的图象，因此函数y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (1－x )的图象关于y 轴对称，④不正确．对于⑤，由条件不能得知函数y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称，如函数f (x )＝(x －1)2，显然满足f (1－x )＝f (1＋x )，但该函数图象并不关于点(1,0)对称，因此⑤不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①③.【答案】 ①③三、解答题10．设f (x )是定义域为R 的周期函数，且最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式．【解】 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x )．又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)由“当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x ”，可知当0≤x ≤1时，f (x )＝x ；进而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，x ∈[－1，0x ，x ∈[0，1－x ＋2，x ∈[1，2].11．已知f (x )＝px 2＋23x ＋q 是奇函数，且f (2)＝53. (1)求实数p 、q 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，－1)上的单调性，并证明．【解】 (1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即px 2＋2－3x ＋q ＝－px 2＋23x ＋q，从而q ＝0. 因此，f (x )＝px 2＋23x. 又∵f (2)＝53，∴4p ＋26＝53，∴p ＝2. (2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x，任取x 1＜x 2＜－1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 21＋23x 1－2x 22＋23x 2 ＝2x 2－x 11－x 1x 23x 1x 2.∵x 1＜x 2＜－1，∴x 2－x 1＞0,1－x 1x 2＜0，x 1x 2＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，∴f (x )在(－∞，－1)上是单调增函数．12．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x ＞0，0， x ＝0，是奇函数.x 2＋mx ， x ＜0(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．【解】 (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x 2＋2x .于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎨⎧ a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．(理)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a 、b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．【解】 (1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1，从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)，知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.故a ＝2，b ＝1.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t ＞－2t 2＋k ，即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k ＞0.从而判别式Δ＝4＋12k ＜0，解得k ＜－13. 四、选做题13．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求f (0)的值；(2)证明：函数f(x)是周期函数；(3)若f(x)＝x(0＜x≤1)，求x∈[－1,1]时，函数f(x)的解析式．【解】(1)由f(x)是定义在R上的奇函数知f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.(2)证明：由已知条件对于任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，且f(2－x)＝f(x)，f(4＋x)＝f(－2－x)＝－f(2＋x)＝－f(－x)＝f(x)，因此函数f(x)为周期函数，周期为4.(3)当－1≤x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝x，又f(0)＝0，则当－1≤x≤1时，f(x)＝x.。

高考总复习(北师大)数学(文)【配套课】第二章第三节函数的奇偶性及周期性(33)

第三节
函数的奇偶性及周期性
1．函数的奇偶性 (1)奇函数：一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f(x)
中，f(x)与f(－x)的绝对值相等，符号相反，即 f(－x)＝－f(x) ；反之，满足 f(－x)＝－f(x) 的函数y＝f(x)一定是奇函数．
(2)偶函数：一般地，图像关于 y轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f(x) 中，f(x)与f(－x)的值相等，即 f(－x)＝f(x) ；反之，满足 f(－x) ＝f(x) 的函数y＝f(x)一定是偶函数．
②
综合①②可知，－1≤m<1.
本例(2)中条件在区间[－2,0]上“递减”变为“递增”，试想m的范围改变吗？若改变，求m的取值范围.
解：改变． ∵f(x)为奇函数且在[－2,0]上递增， ∴f(x)在[－2,2]上递增． ∴m2－1>1－m. 即m>1或m<－2. 由例(2)①知1<m≤ 3. 故m的取值范围为(1， 3]．
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1．判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法：
(2)图像法：
2．周期性三个常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a； (2)若 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(x＋a)＝f1x，则 T＝2a； (3)若 f(x＋a)＝－f1x，则 T＝2a.(a>0)
2．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是________．解析：∵y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数， ∴函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是增函数． ∴当a>0时，由f(a)≥f(2)可得a≥2，当a<0时，由f(a)≥f(2)＝f(－2)，可得a≤－2. 所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)

北师大版高中数学第二章第3节函数的奇偶性与周期性

第3节函数的奇偶性与周期性最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知识梳理1.函数的奇偶性图像关于原点对称的函数叫作奇函数.图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在非零常数T，对定义域内的任意一个x 值，都有f(x＋T)＝f(x)，就把函数f(x)称为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期.[微点提醒]1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称.(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图像关于点(b，0)中心对称.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.()(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图像关于点(b，0)中心对称.() 解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错.(3)由周期函数的定义，(3)正确.(4)由于y＝f(x＋b)的图像关于(0，0)对称，根据图像平移变换，知y＝f(x)的图像关于(b，0)对称，正确.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(必修1P50练习改编)下列函数中为偶函数的是()A.y＝x2sin xB.y＝x2cos xC.y＝|ln x|D.y＝2－x解析根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.答案 B3.(必修1P28练习引申改编)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________. 解析由题意得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. 答案 14.(2019·汉中模拟)下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A.y ＝x 3B.y ＝x 14 C.y ＝|x | D.y ＝|tan x |解析对于A ，y ＝x 3为奇函数，不符合题意；对于B ，y ＝x 14是非奇非偶函数，不符合题意；对于D ，y ＝|tan x |是偶函数，但在区间(0，＋∞)上不单调递增.答案 C5.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.解析 ∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数，∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.答案 126.(2019·上海崇明二模)设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则当x ∈[1，2]时，f (x )＝________.解析当x ∈[1，2]时，x －2∈[－1，0]，2－x ∈[0，1]，又f (x )在R 上是以2为周期的偶函数，∴f (x )＝f (x －2)＝f (2－x )＝log 2(2－x ＋1)＝log 2(3－x ).答案 log 2(3－x )考点一判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝lg(1－x 2)|x －2|－2； (3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(2)由⎩⎨⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称. ∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg （1－x 2）－x. 又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝－lg （1－x 2）－x＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数.(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数.规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立.【训练1】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A.y ＝x ＋sin 2xB.y ＝x 2－cos xC.y ＝2x ＋12xD.y ＝x 2＋sin x (2)已知f (x )＝x 2x －1，g (x )＝x 2，则下列结论正确的是( ) A.f (x )＋g (x )是偶函数 B.f (x )＋g (x )是奇函数C.f (x )g (x )是奇函数D.f (x )g (x )是偶函数解析 (1)对于A ，定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数；对于B ，定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数；对于C ，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x ＋12x ＝f (x )，为偶函数；对于D ，y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数.(2)令h (x )＝f (x )＋g (x )，因为f (x )＝x 2x －1，g (x )＝x 2，所以h (x )＝x 2x －1＋x 2＝x ·2x ＋x 2（2x －1），定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为h (－x )＝－x ·2－x －x 2（2－x －1）＝x （1＋2x ）2（2x －1）＝h (x )，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数，令F(x)＝f(x)g(x)＝x22（2x－1），定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).所以F(－x)＝（－x）22（2－x－1）＝x2·2x2（1－2x），因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数.答案(1)D(2)A考点二函数的周期性及其应用【例2】(1)(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A.－50B.0C.2D.50(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图像在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.解析(1)法一∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.法二取一个符合题意的函数f (x )＝2sin πx 2，则结合该函数的图像易知数列{f (n )}(n ∈N +)是以4为周期的周期数列.故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.(2)因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图像在区间[0，6]上与x 轴的交点有7个.答案 (1)C (2)7规律方法 1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.2.若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.【训练2】 (1)(2018·南充二模)设f (x )是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝( ) A.－34 B.－14 C.14 D.34(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2).若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.解析 (1)∵f (x )是周期为4的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝－34.(2)∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f [(x ＋2)＋4]＝f [(x ＋2)－2]，即f (x ＋6)＝f (x )，∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)，又f (x )在R 上是偶函数，∴f (1)＝f (－1)＝6－(－1)＝6，即f (919)＝6.答案 (1)A (2)6考点三函数性质的综合运用多维探究角度1 函数单调性与奇偶性【例3－1】 (2019·南昌模拟)设f (x )是定义在[－2b ，3＋b ]上的偶函数，且在[－2b ，0]上为增函数，则f (x －1)≥f (3)的解集为( )A.[－3，3]B.[－2，4]C.[－1，5]D.[0，6] 解析因为f (x )是定义在[－2b ，3＋b ]上的偶函数，所以有－2b ＋3＋b ＝0，解得b ＝3，由函数f (x )在[－6，0]上为增函数，得f (x )在(0，6]上为减函数.故f (x －1)≥f (3)⇒f (|x －1|)≥f (3)⇒|x －1|≤3，故－2≤x ≤4.答案 B规律方法 1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像的对称性.2.本题充分利用偶函数的性质f (x )＝f (|x |)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程. 角度2 函数的奇偶性与周期性【例3－2】 (1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋5)＝f (x )，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52时，f (x )＝x 3－3x ，则f (2 018)＝( )A.2B.－18C.18D.－2(2)(2018·洛阳模拟)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝( )A.π3B.2π3C.πD.4π3解析 (1)∵f (x )满足f (x ＋5)＝f (x )，∴f (x )是周期为5的函数，∴f (2 018)＝f (403×5＋3)＝f (3)＝f (5－2)＝f (－2)，∵f (x )是奇函数，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52时，f (x )＝x 3－3x ， ∴f (－2)＝－f (2)＝－(23－3×2)＝－2，故f (2 018)＝－2.(2)由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2).∴f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4.所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3.答案 (1)D (2)B规律方法周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【训练3】 (1)(2019·重庆九校模拟)已知奇函数f (x )的图像关于直线x ＝3对称，当x ∈[0，3]时，f (x )＝－x ，则f (－16)＝________.(2)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________. 解析 (1)根据题意，函数f (x )的图像关于直线x ＝3对称，则有f (x )＝f (6－x )，又由函数为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，则有f (x )＝－f (6－x )＝f (x －12)，则f (x )的最小正周期是12，故f (－16)＝f (－4)＝－f (4)＝－f (2)＝－(－2)＝2.(2)由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ，由f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，得f (ln t )≤f (1).又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e ≤t ≤e.答案 (1)2 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e[思维升华]1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图像，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用.[易错防范]1.f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2.函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图像的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.数学运算——活用函数性质中“三个二级”结论数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展.通过常见的“二维结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.类型1奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.【例1】设函数f(x)＝(x＋1)2＋sin xx2＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.解析显然函数f(x)的定义域为R，f(x)＝(x＋1)2＋sin xx2＋1＝1＋2x＋sin xx2＋1，设g(x)＝2x＋sin xx2＋1，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图像的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.答案 2类型2抽象函数的周期性(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝1f（x）(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a. 【例2】已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝()A.3B.2C.1D.0解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－2 017)＝－f(2 017)，因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次.又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，∴f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3.故f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝1.答案 C类型3抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图像关于直线x＝a＋b2对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称.(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图像关于点(a，0)对称.【例3】(2018·日照调研)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图像关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________.解析因为函数y＝f(x－1)的图像关于点(1，0)对称，所以函数y＝f(x)的图像关于原点对称，所以f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，所以f (2 016)＋f (2 018)＝－f (2 014)＋f (2 014＋4)＝－f (2 014)＋f (2 014)＝0，所以f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4.答案 4基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是( )A.y ＝|log 3x |B.y ＝x 3C.y ＝e |x |D.y ＝cos |x |解析对于A 选项，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B 项中，y ＝x 3是奇函数.对于C 选项，函数的定义域是R ，是偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，正确.对于D 选项，y ＝cos |x |在(0，1)上单调递减.答案 C2.(一题多解)(2019·河北“五个一”名校联盟二模)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎨⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0，则g (－8)＝( ) A.－2 B.－3 C.2 D.3解析法一当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数，则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x ).因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0，故g (－8)＝－log 39＝－2.法二由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2.答案 A3.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2，0)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)等于()A.－2B.2C.－98D.98解析由f(x＋4)＝f(x)知，f(x)是周期为4的函数，f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)，又f(x＋4)＝f(x)，∴f(3)＝f(－1)，由－1∈(－2，0)得f(－1)＝2，∴f(2 019)＝2.答案 B4.(一题多解)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析法一易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.法二(特殊化)取f(x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log25.1>20.8，从而可得c>a>b.答案 C5.(2019·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f (x ＋1)是偶函数，不等式f (m ＋2)≥f (x －1)对任意的x ∈[－1，0]恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.[－3，1]B.[－4，2]C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－4]∪[2，＋∞) 解析因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以f (x )的图像关于x ＝1对称，由f (m ＋2)≥f (x －1)得|(m ＋2)－1|≤|(x －1)－1|，即|m ＋1|≤|x －2|在x ∈[－1，0]恒成立，所以|m ＋1|≤|x －2|min ，所以|m ＋1|≤2，解得－3≤m ≤1.答案 A二、填空题6.若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.解析 f (x )为偶函数，则y ＝ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，则ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.答案 17.若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又f (x )在R 上的周期为2，∴f (2)＝f (0)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2. 答案－28.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是________.解析由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|).当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，两边平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 三、解答题9.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数. (1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围.解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ).于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图像知⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3].10.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立. (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期；(2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值.解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期.(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以|f (x )|为偶函数.故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数，即g (－x )＝g (x )恒成立，于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立.于是2ax ＝0恒成立，所以a ＝0.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·石家庄模拟)已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为( )A.{x |0<x <1或x >2}B.{x |x <0或x >2}C.{x |x <0或x >3}D.{x |x <－1或x >1}解析由题意知函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (－1)＝0，不等式f (x －1)>0⇔f (x －1)>f (1)或f (x －1)>f (－1).∴x －1>1或0>x －1>－1，解之得x >2或0<x <1.答案 A12.(2018·合肥调研)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14 D.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 解析由题设知：f (x )＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称；函数f (x )是奇函数，其图像关于坐标原点对称，由于函数f (x )在[0，1]上是减函数，所以f (x )在[－1，0]上也是减函数，综上函数f (x )在[－1，1]上是减函数；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=f ⎝⎛⎭⎪⎫2－32=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－14<14<12， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14. 答案 C13.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x ，则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.解析在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；由②知，f (x )在[0，2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1且f (x )是周期为2的周期函数，∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误.答案①②14.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积.解(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x).故知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称.又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)的图像如下图所示.当－4≤x≤4时，f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.。

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习第二章第十节第三课时导数的综合应用 Word版含解析

课时作业组——基础对点练．(·榆林市模拟)定义在上的函数()，满足(－)′()≤，且＝(＋)为偶函数，当－＜－时，有( )．()＝()．()≥()．()＞()．()≤()解析：因为函数＝(＋)为偶函数，所以＝(＋)＝(－＋)，即函数＝()关于＝对称，所以(－)＝()，(－)＝()．当＞时，′()≤，此时函数＝()单调递减，当＜时，′()≥，此时函数＝()单调递增．①若≥，≥，则由`－＜－，得－＜－，即≤＜，所以()＞()．②同理若＜，＜，由－＜－，得－(－)＜－(－)，即＜＜，所以()＞()．③若，中一个大于，一个小于，不妨设＜，≥，则－(－)＜－，可得＜－＜，所以(－)＞()，即()＞()．综上有()＞()．答案：．对任意∈，函数()的导数存在，若′()>()，且>，则以下说法正确的是( )．()<·()．()>·()．()<()．()>() 解析：设()＝，则′()＝>，故()＝为上的单调递增函数，因此()>()，即>＝()，所以()>·()，选.答案：．若存在正数使(－)<成立，则的取值范围是( )．(－，＋∞)．(－∞，＋∞)．(，＋∞)．(－，＋∞)解析：∵(－)<，∴>－.令()＝－，∴′()＝＋－>.∴()在(，＋∞)上单调递增，∴()>()＝－＝－，∴的取值范围为(－，＋∞)，故选.答案：．已知函数()是定义在上的可导函数，其导函数为′()，若：任意，∈，且≠，＜，：任意∈，′()＜，则是的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：因为任意，∈，且≠，所以不妨设＜，则由＜可得()－()＜－，则(\\(((－((＜－((－((＞－))，即(\\(((＋＜((＋((－＞((－)).令()＝()＋，则由单调性的定义可知()在上单调递增，所以′()＝′()＋≥在上恒成立，即′()≥－在上恒成立，同理令()＝()－，可得′()≤在上恒成立，所以等价于任意∈，′()≤，显然可以推出，而推不出，所以是的必要不充分条件．答案：．(·昆明市检测)已知函数()＝(\\(()＋，≤，，＞，))若方程()－＝恰有两个不同的实根，则实数的取值范围是( )．[，)．(，)．(－∞，]∪[，＋∞)．(，] 解析：方程()－＝有两个不同的实根，即直线＝与函数()的图像有两个不同的交点．作出函数()的图像如图所示．当＞时，()＝，得′()＝，设直线＝与函数()＝(＞)的图像相切，切点为(，)，则＝)＝，解得＝，则＝，即＝是函数()＝(＞)的图像的切线，当≤时，直线＝与函数()的图像有一个交点，不合题意；当＜＜时，直线＝与函数()＝(＞)的图像有两个交点，但与射线＝＋(≤)也有一个交点，这样就有三个交点，不合题意；当≥时，直线＝与函数()的图像至多有一个交点，不合题意；只有当≤＜时，直线＝与函数()的图像有两个交点，符合题意．故选.答案：．已知函数()＝－(∈)，()＝－，若至少存在一个∈[，]，使得()<()成立，则实数的取值范围是( )．(－∞，)．(－∞，] 解析：由题意，不等式()<()在[，]上有解，∴< 在[，]上有解，即<)在[，]上有解，令()＝)，则′()＝)，当≤≤时，′()≥，∴在[，]上，()＝()＝，∴<，∴<.∴的取值范围是.故选.答案：．若函数()＝－有两个零点，则实数的取值范围为( )．－<<．>－．<<．－<<。

北师大版2019版同步优化探究文数练习第二章 第三节 函数的奇偶性、周期性 Word版含解析

2019北师大版同步优化探究文数练习：第二章 第一节 函数及其表示含解析

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第二章 第七节 函数的图像

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习第二章 第十节 第一课时 利用导数研究函数的单调性 Word版含解析

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第二章 第十节 第一课时 利用导数研究函数的单调性

2019高三数学理北师大版一轮教师用书第2章 第3节 函数的奇偶性、周期性与对称性 Word版含解析