2018高考数学(理)复习2013-2017高考分类汇编第3章导数与定积分-2导数的应用(理科)

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2018全国高考试题分类汇编-导数部分(含解析)

2018年全国高考试题分类汇编-导数部分（含解析）1.(2018·全国卷I高考理科·T5)同(2018·全国卷I高考文科·T6)设函数f=x3+-x2+ax.若f为奇函数,则曲线y=f在点处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x2.(2018·全国卷II高考理科·T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为3.(2018·全国卷II高考文科·T13)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为4.(2018·全国Ⅲ高考理科·T14)曲线y=e x在点处的切线的斜率为-2,则a=.5.(2018·天津高考文科·T10)已知函数f(x)=e x ln x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为.6.(2018·全国卷I高考理科·T16)已知函数f=2sin x+sin2x,则f的最小值是.7.(12分)(2018·全国卷I高考文科·T21)已知函数f=a e x-ln x-1.(1)设x=2是f的极值点.求a,并求f的单调区间.(2)证明:当a≥时,f≥0.8.(2018·全国Ⅲ高考理科·T21)(12分)已知函数f=ln-2x.(1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f<0;当x>0时,f>0.(2)若x=0是f的极大值点,求a.9.(2018·全国Ⅲ高考文科·T21)(12分)已知函数f=-.(1)求曲线y=f在点-处的切线方程.(2)证明:当a≥1时,f+e≥0.10.(本小题13分)(2018·北京高考理科·T18)设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程与x轴平行,求a.(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.11.(本小题13分)(2018·北京高考文科·T19)设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a.(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.12.(12分)(2018·全国卷I高考理科·T21)已知函数f=-x+a ln x.(1)讨论f的单调性.(2)若f存在两个极值点x1,x2,证明:-<a-2.-13.(2018·全国卷II高考理科·T21)(12分)已知函数f(x)=e x-ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1.(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.14.(2018·全国卷II高考文科·T21)(12分)已知函数f=x3-a.(1)若a=3,求f(x)的单调区间.(2)证明:f(x)只有一个零点.15.(本小题满分14分)(2018·天津高考理科·T20)已知函数f(x)=a x,g(x)=log a x,其中a>1.(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)-x ln a的单调区间.(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明x1+g(x2)=-.(Ⅲ)证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.16.(本小题满分14分)(2018·天津高考文科·T20)设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.(Ⅰ)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)若d=3,求f(x)的极值;(Ⅲ)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点,求d的取值范围.17.(本小题满分14分)(2018·江苏高考·T17)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sinθ的取值范围.(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)(2018·江苏高考·T19)记f′(x),g′(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”.(2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=ln x存在“S点”,求实数a的值.(3)已知函数f(x)=-x2+a,g(x)=,对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.19.(2018·浙江高考T22)(本题满分15分)已知函数f(x)=-ln x.(Ⅰ)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8-8ln2.(Ⅱ)若a≤3-4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.1.【解析】选D.因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即a=1,所以f(x)=x3+x,所以f′(0)=1,所以切线方程为y=x.2.【解析】y′=,k==2,所以切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.答案:y=2x3.【解析】y′=,k==2,所以切线方程为y-0=2(x-1)即y=2x-2.答案:y=2x-24.【解析】由y=(ax+1)e x,所以y′=a e x+(ax+1)e x=(ax+1+a)e x,故曲线y=(ax+1)e x在(0,1)处的切线的斜率为k=a+1=-2,解得a=-3.答案:-35.【解析】因为f(x)=e x ln x,所以f′(x)=(e x ln x)′=(e x)′ln x+e x(ln x)′=e x·ln x+e x·,f′(1)=e1·ln1+e1·=e.答案:e6.【解析】方法一:f′(x)=2cos x+2cos2x=4cos2x+2cos x-2=4(cos x+1)-, 所以当cos x<时函数单调减,当cos x>时函数单调增,从而得到函数的减区间为--(k∈Z),函数的增区间为-(k∈Z),所以当x=2kπ-,k∈Z时,函数f(x)取得最小值,此时sin x=-,sin2x=-,所以f(x)min=2×--=-.方法二:因为f(x)=2sin x+sin2x,所以f(x)最小正周期为T=2π,所以f′(x)=2(cos x+cos2x)=2(2cos2x+cos x-1),令f′(x)=0,即2cos2x+cos x-1=0,所以cos x=或cos x=-1.所以当cos x=,为函数的极小值点,即x=或x=π,当cos x=-1,x=π,所以f=-,f=,f(0)=f(2π)=0,f(π)=0,所以f(x)的最小值为-.答案:-7.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=a e x-.由题设知,f′(2)=0,所以a=.从而f(x)=e x-ln x-1,f′(x)=e x-.当0<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0.所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.(2)当a≥时,f(x)≥-ln x-1.设g(x)=-ln x-1,则g′(x)=-.当0<x<1时,g′(x)<0;当x>1时,g′(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.因此,当时a≥时,f(x)≥0.8.【解析】(1)当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f′(x)=ln(1+x)-.设函数g(x)=f′(x)=ln(1+x)-,则g′(x)=.当-1<x<0时,g′(x)<0;当x>0时,g′(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,当且仅当x=0时,g(x)=0,从而f′(x)≥0,当且仅当x=0时,f′(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.(2)(i)若a≥0,由(1)知,当x>0时,f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.(ii)若a<0,设函数h(x)==ln(1+x)-.由于当|x|<min时,2+x+ax2>0,故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点,当且仅当x=0是h(x)的极大值点. h′(x)=--=.如果6a+1>0,则当0<x<-,且|x|<min时,h′(x)>0,故x=0不是h(x)的极大值点.如果6a+1<0,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故当x∈(x1,0),且|x|<min时,h′(x)<0,所以x=0不是h(x)的极大值点..如果6a+1=0,则h′(x)=---则当x∈(-1,0)时,h′(x)>0;当x∈(0,1)时,h′(x)<0.所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点.综上,a=-.9.【解析】(1)f(x)的定义域为R,f′(x)=--,显然f(0)=-1,即点(0,-1)在曲线y=f(x)上,所求切线斜率为k=f′(0)=2,所以切线方程为y-(-1)=2(x-0),即2x-y-1=0.(2)方法一(一边为0):令g(x)=-ax2+(2a-1)x+2,当a≥1时,方程g(x)的判别式Δ=(2a+1)2>0,由g(x)=0得,x=-,2,且-<0<2,x,f′(x),f(x)的关系如下①若x∈(-∞,2],f(x)≥f-=-又因为a≥1,所以0<≤1,1<≤e,-≥-e,f(x)+e≥0,②若x∈(2,+∞),ax2+x-1>4a+2-1>0,e x>0,所以f(x)=->0,f(x)+e≥0,综上,当a≥1时,f(x)+e≥0.方法二(充要条件):①当a=1时,f(x)=-.显然e x>0,要证f(x)+e≥0只需证-≥-e, 即证h(x)=x2+x-1+e·e x≥0,h′(x)=2x+1+e·e x,观察发现h′(-1)=0,x,h′(x),h(x)的关系如下所以h(x)有最小值h(-1)=0,所以h(x)≥0即f(x)+e≥0.②当a>1时,由①知,-≥-e,又显然ax2≥x2,所以ax2+x-1≥x2+x-1,f(x)=-≥-≥-e,即f(x)+e≥0.综上,当a≥1时,f(x)+e≥0.方法三(分离参数):当x=0时,f(x)+e=-1+e≥0成立.当x≠0时,f(x)+e≥0等价于-≥-e,等价于ax2+x-1≥-e·e x,即ax2≥-e·e x-x+1等价于a≥--=k(x),等价于k(x)max≤1.k′(x)=--,令k′(x)=0得x=-1,2.x,k′(x),k(x)的关系如下又因为k(-1)=1,k(2)=-<0,所以k(x)max=1,k(x)≤1,x≠0,综上,当a≥1时,f(x)+e≥0.10.【解析】(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x,所以f′(x)=[2ax-(4a+1)]e x+[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x=[ax2-(2a+1)x+2]e x. f′(1)=(1-a)e.由题设知f′(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此时f(1)=3e≠0,所以a的值为1.(2)由(1)得f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]e x=(ax-1)(x-2)e x.若a>,则当x∈时,f′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在x=2处取得极小值.若a≤,则当x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤x-1<0, 所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(,+∞).11.【解析】(1)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x, 所以f′(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x,f′(2)=(2a-1)e2, 由题设知f′(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=.(2)方法一:由(1)得f′(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x=(ax-1)(x-1)e x若a>1,则当x∈时,f′(x)<0.当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值.若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,所以f′(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(1,+∞).方法二:f′(x)=(ax-1)(x-1)e x.①当a=0时,令f′(x)=0得x=1.f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:所以f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.②当a>0时,令f′(x)=0得x1=,x2=1.(ⅰ)当x1=x2,即a=1时,f′(x)=(x-1)2e x≥0,所以f(x)在R上单调递增,所以f(x)无极值,不合题意.(ⅱ)当x1>x2,即0<a<1时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:所以f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.(ⅲ)当x1<x2,即a>1时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:所以f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.③当a<0时,令f′(x)=0得x1=,x2=1.f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:所以f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.综上所述,a的取值范围为(1,+∞).12.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=--1+=--.(i)若a≤2,则f′(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f′(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.(ii)若a>2,令f′(x)=0得,x=--或x=-.当x∈--∪-时,f′(x)<0;当x∈---时,f′(x)>0.所以f(x)在--,-上单调递减,在---上单调递增.(2)由(1)知,f(x)存在两个极值点,当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x1<x2,则x2>1.由于--=--1+a--=-2+a--=-2+a--,所以--<a-2等价于-x2+2ln x2<0.设函数g(x)=-x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+∞)上单调递减,又g(1)=0,从而当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0.所以-x2+2ln x2<0,即--<a-2.13.【解析】(1)当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g′(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.当x≠1时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,1)∪(1,+∞)上单调递减.而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.(2)设函数h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+∞)上只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)上只有一个零点.(i)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点;(ii)当a>0时,h′(x)=ax(x-2)e-x.当x∈(0,2)时,h′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0.所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.故h(2)=1-是h(x)在[0,+∞)上的最小值.①若h(2)>0,即a<,h(x)在(0,+∞)上没有零点;②若h(2)=0,即a=,h(x)在(0,+∞)上只有一个零点;③若h(2)<0,即a>,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)上有一个零点,由(1)知,当x>0时,e x>x2,所以h(4a)=1-=1->1-=1->0.故h(x)在(2,4a)有一个零点,因此h(x)在(0,+∞)有两个零点.综上,f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=.14.【解析】(1)当a=3时,f(x)=x3-3x2-3x-3,f′(x)=x2-6x-3.令f′(x)=0解得x=3-2或3+2.当x∈(-∞,3-2)或(3+2,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(3-2,3+2)时,f′(x)<0.故f(x)在(-∞,3-2),(3+2,+∞)上单调递增,在(3-2,3+2)上单调递减.(2)由于x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于-3a=0.设g(x)=-3a,则g′(x)=≥0,仅当x=0时g′(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.故g(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-=-6--<0,f(3a+1)=>0,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.15.【解析】(I)由已知,h(x)=a x-x ln a,有h′(x)=a x ln a-ln a.令h′(x)=0,解得x=0.由a>1,可知当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如表:所以函数h(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).(II)由f′(x)=a x ln a,可得曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线斜率为ln a.由g′(x)=,可得曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线斜率为.因为这两条切线平行,故有ln a=,即x2(ln a)2=1.两边取以a为底的对数,得log a x2+x1+2log a(ln a)=0,所以x1+g(x2)=-. (III)曲线y=f(x)在点(x1,)处的切线l1:y-=ln a·(x-x1).曲线y=g(x)在点(x2,log a x2)处的切线l2:y-log a x2=(x-x2).要证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线,只需证明当a≥时,存在x1∈(-∞,+∞),x2∈(0,+∞),使得l1和l2重合.即只需证明当a≥时,方程组有解,--由①得x2=,代入②,得-x1ln a+x1++=0③,因此,只需证明当a≥时,关于x1的方程③有实数解.设函数u(x)=a x-xa x ln a+x++,即要证明当a≥时,函数y=u(x)存在零点. u′(x)=1-(ln a)2xa x,可知x∈(-∞,0)时,u′(x)>0;x∈(0,+∞)时,u′(x)单调递减,又u′(0)=1>0,u′[]=1-<0,故存在唯一的x0,且x0>0,使得u′(x0)=0,即1-(ln a)2x0=0.由此可得u(x)在(-∞,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.u(x)在x=x0处取得极大值u(x0).因为a≥,故ln(ln a)≥-1,所以u(x0)=-x0ln a+x0++=+x0+≥≥0.下面证明存在实数t,使得u(t)<0.由(I)可得a x≥1+x ln a,当x>时,有u(x)≤(1+x ln a)(1-x ln a)+x++=-(ln a)2x2+x+1++,所以存在实数t,使得u(t)<0,因此,当a≥时,存在x1∈(-∞,+∞),使得u(x1)=0.所以,当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.16.【解析】(Ⅰ)由已知,可得f(x)=x(x-1)(x+1)=x3-x,故f′(x)=3x2-1,因此f(0)=0,f′(0)=-1,又因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-f(0)=f′(0)(x-0),故所求切线方程为x+y=0.(Ⅱ)由已知可得f(x)=(x-t2+3)(x-t2)(x-t2-3)=(x-t2)3-9(x-t2)=x3-3t2x2+(3-9)x-+9t2.故f′(x)=3x2-6t2x+3-9.令f′(x)=0,解得x=t2-,或x=t2+.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:所以函数f(x)的极大值为f(t2-)=(-)3-9×(-)=6;函数极小值为f(t2+)=()3-9×=-6.(III)曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x-t2+d)(x-t2)(x-t2-d)+(x-t2)+6=0有三个互异的实数解,令u=x-t2,可得u3+(1-d2)u+6=0.设函数g(x)=x3+(1-d2)x+6,则曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点.g′(x)=3x2+(1-d2).当d2≤1时,g′(x)≥0,这时g′(x)在R上单调递增,不合题意.当d2>1时,g′(x)=0,解得x1=--,x2=-.易得,g(x)在(-∞,x1)上单调递增,在[x1,x2]上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,g(x)的极大值g(x1)=g-=-+6>0,g(x)的极小值g(x2)=g-=--+6.若g(x2)≥0,由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点,不合题意.若g(x2)<0,即(d2-1>27,也就是|d|>,此时|d|>x2,g(|d|)=|d|+6>0,且-2|d|<x1,g(-2|d|)=-6|d|3-2|d|+6<-62+6<0,从而由g(x)的单调性,可知函数y=g(x)在区间(-2|d|,x1),(x1,x2),(x2,|d|)内各有一个零点,符合题意.所以d的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞)17.【解析】(1)设PO的延长线交MN于H,则PH⊥MN,所以OH=10.过O作OE⊥BC于E,则OE∥MN,所以∠COE=θ,故OE=40cosθ,EC=40sinθ,则矩形ABCD的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ),△CDP的面积为×2×40cosθ(40-40sinθ)=1600(cosθ-sinθcosθ).过N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10.令∠GOK=θ0,则sinθ0=,θ0∈.当θ∈[θ0,)时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范围是.答:矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面积为1600(cosθ-sinθcosθ),sinθ的取值范围是.(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0),则年总产值为4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ-sinθcosθ) =8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈.设f(θ)=sinθcosθ+cosθ,θ∈,则f′(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-(2sin2θ+sinθ-1)=-(2sinθ-1)(sinθ+1).令f′(θ)=0,得θ=,当θ∈时,f′(θ)>0,所以f(θ)为增函数;当θ∈时,f′(θ)<0,所以f(θ)为减函数,因此,当θ=时,f(θ)取到最大值.答:当θ=时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.【解析】(1)函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f′(x)=1,g′(x)=2x+2.由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x),得-此方程组无解,因此,f(x)与g(x)不存在“S”点.(2)函数f(x)=ax2-1,g(x)=ln x,则f′(x)=2ax,g′(x)=.设x0为f(x)与g(x)的“S”点,由f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),得-即-(*)得ln x0=-,即x0=-,则a=-=.当a=时,x0=-满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)的“S”点.因此,a的值为.(3)f′(x)=-2x,g′(x)=-,(x≠0),由f′(x0)=g′(x0),得b=-->0,得0<x0<1,由f(x0)=g(x0),得-+a==--,得a=--,令h(x)=x2---a=---,(a>0,0<x<1),设m(x)=-x3+3x2+ax-a,(a>0,0<x<1),则m(0)=-a<0,m(1)=2>0,得m(0)m(1)<0,又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,则m(x)在(0,1)上有零点,则h(x)在(0,1)上有零点,则f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S”点.19.【解析】(Ⅰ)函数f(x)的导函数f′(x,由f′(x1)=f′(x2)得-=-,因为x1≠x2,所以+=.由基本不等式得=+≥2.因为x1≠x2,所以x1x2>256.由题意得f(x1)+f(x2)=-ln x1+-ln x2=-ln(x1x2).设g(x)=-ln x,则g′(x)=(-4),所以所以g(x)在(256,+∞)上单调递增,故g(x1x2)>g(256)=8-8ln2,即f(x1)+f(x2)>8-8ln2.(Ⅱ)令m=e-(|a|+k),n=+1,则f(m)-km-a>|a|+k-k-a≥0,f(n)-kn-a<n-≤n<0,所以,存在x0∈(m,n)使f(x0)=kx0+a,所以,对于任意的a∈R及k∈(0,+∞),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点.由f(x)=kx+a得k=--.设h(x)=--,则h′(x)=--=--,其中g(x)=-ln x.由(Ⅰ)可知g(x)≥g(16),又a≤3-4ln2,故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln2+a≤0,所以h′(x)≤0,即函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,因此方程f(x)-kx-a=0至多1个实根.综上,当a≤3-4ln2时,对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.。

2018高考理科数学试卷分类汇编14：导数与积分(修改)

2018年全国高考理科数学试卷分类汇编14：导数与积分一、选择题1 ．<2018年高考湖北卷<理））已知a 为常数,函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <,则< ）b5E2RGbCAP A ．121()0,()2f x f x >>-B ．121()0,()2f x f x <<- C ．121()0,()2f x f x ><-D ．121()0,()2f x f x <>-【答案】D2 ．<2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学<理）<纯WORD 版含答案））已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是< ）p1EanqFDPw A ．0x ∃∈R,0()0f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形 C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减 D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x = 【答案】C3 ．<2018年高考江西卷<理））若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为< ）DXDiTa9E3d A ．123S S S <<B ．213S S S << C ．231S S S <<D ．321S S S << 【答案】B4 ．<2018年普通高等学校招生统一考试辽宁数学<理）试卷<WORD 版））设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，< ）RTCrpUDGiT A ．有极大值,无极小值B ．有极小值,无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值【答案】D5 ．<2018年普通高等学校招生统一考试福建数学<理）试卷<纯WORD 版））设函数()f x 的定义域为R,00(0)x x ≠是()f x 的极大值点,以下结论一定正确的是< ）5PCzVD7HxA A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点【答案】D6 ．<2018年高考北京卷<理））直线l 过抛物线C: x2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于< ）jLBHrnAILgA ．43B ．2C ．83D 【答案】C7 ．<2018年普通高等学校招生统一考试浙江数学<理）试卷<纯WORD 版））已知e 为自然对数的底数,设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k x ,则< ）xHAQX74J0X A ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值B ．当1=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时,)(x f 在1=x 处取得极大值【答案】C 二、填空题8 ．<2018年高考江西卷<理））设函数()f x 在(0,)+∞内可导,且()x x f e x e =+,则(1)x f =______________LDAYtRyKfE 【答案】2 9 ．<2018年高考湖南卷<理））若209,Tx dx T =⎰则常数的值为_________.Zzz6ZB2Ltk 【答案】310．<2018年普通高等学校招生统一考试广东省数学<理）卷<纯WORD 版））若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.dvzfvkwMI1【答案】1- 三、解答题11．<2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学<理）<纯WORD 版含答案））已知函数)ln()(m x e x f x +-=.rqyn14ZNXI (Ⅰ>设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性; (Ⅱ>当2m ≤时,证明()0f x >. 【答案】12．<2018年普通高等学校招生统一考试辽宁数学<理）试卷<WORD 版））已知函数()()()[]321,12cos .0,12e xx f x x g x ax x x x -=+=+++∈当时，EmxvxOtOco (I>求证:()11-;1x f x x≤≤+ (II>若()()f x g x ≥恒成立,求实数a 取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.SixE2yXPq5【答案】13．<2018年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷<数学）<已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分16分.6ewMyirQFL 设函数ax x x f -=ln )(,ax e x g x -=)(,其中a 为实数.(1>若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数,且)(x g 在),1(+∞上有最小值,求a 的取值范围;(2>若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数,试求)(x f 的零点个数,并证明你的结论.卷Ⅱ 附加题部分答案word 版[选做题]第21题,本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.kavU42VRUs【答案】解:(1>由01)('≤-=a xx f 即a x≤1对),1(+∞∈x 恒成立,∴max 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥x a而由),1(+∞∈x 知x1<1 ∴1≥a 由a e x g x -=)('令0)('=x g 则a x ln = 当x <a ln 时)('x g <0,当x >a ln 时)('x g >0, ∵)(x g 在),1(+∞上有最小值 ∴a ln >1 ∴a >e综上所述:a 的取值范围为),(+∞e(2>证明:∵)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数 ∴0)('≥-=a e x g x 即x e a ≤对),1(+∞-∈x 恒成立, ∴[]min x e a ≤而当),1(+∞-∈x 时,x e >e1 ∴ea 1≤ 分三种情况:(Ⅰ>当0=a 时, x x f 1)('=>0 ∴f(x>在),0(+∞∈x 上为单调增函数 ∵0)1(=f ∴f(x>存在唯一零点(Ⅱ>当a <0时,a x x f -=1)('>0 ∴f(x>在),0(+∞∈x 上为单调增函数 ∵)1()(a a a e a ae a e f -=-=<0且a f -=)1(>0 ∴f(x>存在唯一零点(Ⅲ>当0<ea 1≤时,a xx f -=1)(',令0)('=x f 得ax 1=∵当0<x <a 1时,x a x a x f )1()('--=>0;x >a1时,x a x a x f )1()('--=<0 ∴a x 1=为最大值点,最大值为1ln 11ln )1(--=-=a aa a a f①当01ln =--a 时,01ln =--a ,e a 1=,)(x f 有唯一零点e ax ==1②当1ln --a >0时,0<ea 1≤,)(x f 有两个零点实际上,对于0<ea 1≤,由于e a e a e ef --=-=111ln )1(<0,1ln 11ln )1(--=-=a aa a a f >0 且函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛a e 1,1上的图像不间断 ∴函数)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛a e 1,1上有存在零点另外,当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 1,0,a xx f -=1)('>0,故)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0上单调增,∴)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0只有一个零点下面考虑)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1a的情况,先证)(ln ln )(1111121------=-=-=--a a a a a eaa aee a ae eef <0为此我们要证明:当x >e 时,x e >2x ,设2)(x e x h x -= ,则x e x h x 2)('-=,再设x e x l x 2)(-=∴2)('-=x e x l当x >1时,2)('-=x e x l >e -2>0,x e x l x 2)(-=在()+∞,1上是单调增函数故当x >2时,x e x h x 2)('-=>4)2(2'-=e h >0从而2)(x e x h x -=在()+∞,2上是单调增函数,进而当x >e 时,2)(x e x h x -=>2)(e e e h e -=>0 即当x >e 时,x e >2x ,当0<a <e1时,即1-a >e 时,)(ln ln )(1111121------=-=-=--a a a a a e a a ae e a ae e e f <0 又1ln 11ln )1(--=-=a aa a a f >0 且函数)(x f 在[]1,1--a e a 上的图像不间断, ∴函数)(x f 在()1,1--ae a上有存在零点,又当x >a1时,x a x a x f )1()('--=<0故)(x f 在()+∞-,1a 上是单调减函数∴函数)(x f 在()+∞-,1a 只有一个零点综合(Ⅰ>(Ⅱ>(Ⅲ>知:当0≤a 时,)(x f 的零点个数为1;当0<a <e1时,)(x f 的零点个数为214．<2018年普通高等学校招生统一考试广东省数学<理）卷<纯WORD 版））设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R >.y6v3ALoS89(Ⅰ> 当1k =时,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ> 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .【答案】(Ⅰ> 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=,得10x =,2ln 2x =当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:x (),0-∞0 ()0,ln 2ln 2()ln 2,+∞()f x ' +-+()f x极大值极小值右表可知,函数()f x 的递减区间为()0,ln 2,递增区间为(),0-∞,()ln 2,+∞. (Ⅱ> ()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k kk -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<;当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>; 所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---令()()311k h k k e k =--+,则()()3k h k k e k '=-,令()3k k e k ϕ=-,则()330k k e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=--< ⎪⎪⎝⎭⎭所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()0k ϕ>,当()0,1k x ∈时,()0k ϕ<,所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,()10h =,所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”.综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.15．<2018年高考江西卷<理））已知函数1()=(1-2-)2f x a x ,a 为常数且>0a .M2ub6vSTnP (1> 证明:函数()f x 的图像关于直线1=2x 对称;(2>若0x 满足00(())=f f x x ,但00()f x x ≠,则称0x 为函数()f x 的二阶周期点,如果()f x 有两个二阶周期点12,,x x 试确定a 的取值范围; (3>对于(2>中的12,x x 和a , 设x3为函数f(f(x>>的最大值点,A(x1,f(f(x1>>>,B(x2,f(f(x2>>>,C(x3,0>,记△ABC 的面积为S(a>,讨论S(a>的单调性.0YujCfmUCw 【答案】(1>证明:因为11()(12),()(12)22f x a x f x a x +=--=-,有11()()22f x f x +=-, 所以函数()f x 的图像关于直线12x =对称.(2>解:当102a <<时,有224,(())4(1),a x f f x a x ⎧⎪=⎨-⎪⎩1,21.2x x ≤> 所以(())f f x x =只有一个解0x =,又(0)0f =,故0不是二阶周期点.当12a =时,有,(())1,x f f x x ⎧=⎨-⎩1,21.2x x ≤> 所以(())f f x x =有解集1|2x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭,又当12x ≤时,()f x x =,故1|2x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭中的所有点都不是二阶周期点.当12a >时,有222221,44,11,24,42(())1412(12)4,,2444,41.4x aa x x a a x a f f x a a a a x x a a a x a x a≤⎧⎪<≤-⎪=⎨--+⎪<≤⎪-⎩-> 所以(())f f x x =有四个解2222240,,,141214a a a a a a +++,又22(0)0,()1212a af f a a ==++, 22222244(),()14141414a a a af f a a a a ≠≠++++,故只有22224,1414a a a a ++是()f x 的二阶周期点.综上所述,所求a 的取值范围为12a >.(3>由(2>得2122224,1414a a x x a a==++, 因为3x 为函数(())f f x 的最大值点,所以314x a =或3414a x a-=. 当314x a =时,221()4(14)a S a a -=+.求导得:'()S a =所以当1(2a ∈时,()S a 单调递增,当)a ∈+∞时()S a 单调递减;当3414a x a -=时,22861()4(14)a a S a a -+=+,求导得:2221243'()2(14)a a S a a +-=+,因12a >,从而有2221243'()02(14)a a S a a +-=>+, 所以当1(,)2a ∈+∞时()S a 单调递增.16．<2018年普通高等学校招生统一考试重庆数学<理）试卷<含答案））设()()256ln f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6.eUts8ZQVRd (1>确定a 的值; (2>求函数()f x 的单调区间与极值. 【答案】(3)26ln 3f =+17．<2018年高考四川卷<理））已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩,其中a 是实数.设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <.sQsAEJkW5T (Ⅰ>指出函数()f x 的单调区间;(Ⅱ>若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,求21x x -的最小值;(Ⅲ>若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围. 【答案】解:()I 函数()f x 的单调递减区间为(),1-∞-,单调递增区间为[)1,0-,()0,+∞()II 由导数的几何意义可知,点A 处的切线斜率为()1f x ',点B 处的切线斜率为()2f x ',故当点A 处的切线与点B 处的切垂直时,有()()121f x f x ''=-.GMsIasNXkA 当0x <时,对函数()f x 求导,得()22f x x '=+. 因为120x x <<,所以()()1222221x x ++=-, 所以()()12220,220x x +<+>.因此()()21121222212x x x x -=-+++≥=⎡⎤⎣⎦ 当且仅当()122x -+=()222x +=1,即123122x x =-=且时等号成立.所以函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直时,21x x -的最小值为1()III 当120x x <<或210x x >>时,()()12f x f x ''≠,故120x x <<.当10x <时,函数()f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线方程为()()()21111222y x x a x x x -++=+-,即()21122y x x x a =+-+当20x >时,函数()f x 的图象在点()()22,x f x 处的切线方程为()2221ln y x x x x -=-,即221ln 1y x x x =∙+-.两切线重合的充要条件是1222112 2 ln 1 x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①② 由①及120x x <<知,110x -<<. 由①②得,()2211111ln1ln 22122a x x x x =+-=-+-+. 设()()21111ln 221(10)h x x x x =-+--<<, 则()1111201h x x x '=-<+. 所以()()1110h x x -<<是减函数. 则()()10ln 21h x h >=--, 所以ln 21a >--.又当1(1,0)x ∈-且趋近于1-时,()1h x 无限增大,所以a 的取值范围是()ln 21,--+∞.故当函数()f x 的图像在点,A B 处的切线重合时,a 的取值范围是()ln 21,--+∞ 18．<2018年高考湖南卷<理））已知0a >,函数()2x af x x a-=+.TIrRGchYzg (I>记[]()0,4f x a 在区间上的最大值为g(),求a g()的表达式;(II>是否存在a ,使函数()y f x =在区间()0,4内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由.7EqZcWLZNX 【答案】解:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-++=++-≥-<+=+-=>时，是单调递减的。

2018高考数学(理)复习 2013-2017高考分类汇编第3章导数与定积分-3 定积分和微积分基本定理含解析

第三节定积分和微积分基本定理题型40 定积分的计算1. （2013江西理6）若2211d ,S x x =⎰2211d ,S x x=⎰231e d x S x =⎰，则123,,S S S 的大小关系为（）.A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S << 2. (2013湖南理12）若20d 9,Tx x =⎰则常数T 的值为 .3.（2014 湖南理 9）已知函数()()sin f x x ϕ=-，且()230d 0f x x π=⎰则函数()f x 的图像的一条对称轴是（）. A.6x 5π=B.12x 7π=C.3x π=D.6x π= 4.（2014 江西理 8）若()()122d f x x f x x =+⎰，则()1d f x x =⎰（）.A.1-B.13-C.13D. 5.（2014 陕西理 3）定积分()12e d 0xx x +⎰的值为（）.A.e 2+B.e 1+C.D.e 1- 6.（2015湖南理11）()21d x x -=⎰ .6. 解析2221(1)d ()02x x x x -=-=⎰.题型41 求曲边梯形的面积1.（2014 山东理 6）直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）. A.22 B.24 C. D.2.（2014 辽宁理 14）正方形的四个顶点()1,1A --，)1,1，分别在抛物线2y x =-和2y x =中，则质点落在阴影区域的概率是 .22x3.（2015天津理11）曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 . 3. 解析两曲线的交点坐标为(00)，，(11)，，所以它们所围成的封闭图形的面积()1122300111236S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.。

第三章导数及其应用专题11 导数与定积分 Word版含解析 2018届高考数学考点详解技巧大全

考点22 导数的几何意义考场高招1 导数的几何意义应用规律 1. 解读高招类型解读典例指引求参数值已知曲线上一点P (x 0,y 0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直),应先确定该切线的斜率k ,再求出函数的导函数,最后利用导数的几何意义得到k=f'(x 0)=tan α,求有关参数的值典例导引1(1)求直线的倾斜角由k=f'(x 0)=tan α可求α,其中倾斜角α∈[0,π)典例导引 1(2)温馨提醒切点的三重身份的灵活应用,即(1)切点在切线上;(2)切点在曲线上;(3)切线斜率k=f'(x 0)2.典例指引1(1)(2017河南百校联盟质检)设曲线f (x )=e xsin x 在(0,0)处的切线与直线x+my+1=0平行,则m= .(2)若点P 是函数y=e x-e -x-3x 图象上任意一点,且在点P 处切线的倾斜角为α,则α的最小值是 . 【答案】(1)-1 (2)3.亲临考场1.(2014课标Ⅱ,理8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】∵y=ax-ln(x+1),∴y'=a-.∴y'|x=0=a-1=2,得a=3.2.(2016课标Ⅱ,理16)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .【答案】 1-ln 23.(2017广西河池二模)已知曲线f(x)=a cos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则实数a+b 的值为.【答案】 1【解析】∵两曲线的交点为(0,m), ∴m=a cos 0,m=02+b×0+1.∴m=1,a=1.∵曲线f(x),g(x)在(0,m)处有公切线, ∴f'(0)=g'(0).∴-sin 0=2×0+b.∴b=0,∴a+b=1.考场高招2 求曲线y=f(x)的切线方程看清“在”与“过”1.解读高招典例解读典例指引求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)的切线方程点P(x0,y0)为切点,当切线斜率存在时,切线斜率为k=f'(x0),有唯一的一条切线为y-y0=f'(x0)(x-x0);当切线斜率不存在时,切线方程为x=x0典例导引2(1)求“过”曲线y=f(x)上一点切线经过点P,点P可以是切点,也可以不是切点,这样的直线可能有多条.解决问题的关键是设切点,利用“待定切点法”,典例导引2(2)P (x 0,y 0)的切线方程即:①设点A (x 1,y 1)是曲线y=f (x )上的一点,则以A 为切点的切线方程为y-y 1=f'(x 1)(x-x 1);②由点P (x 0,y 0)在切线上,点A (x 1,y 1)在曲线y=f (x )上,得到方程组求出切点A (x 1,y 1),代入方程y-y 1=f'(x 1)(x-x 1),化简即得所求的切线方程2.典例指引2(1)(2017山西临汾五校三联)已知函数f (x )是奇函数,当x<0时,f (x )=x ln(-x )+x+2,则曲线y=f (x )在x=1处的切线方程为( ) A.y=2x+3B.y=2x-3C.y=-2x+3D.y=-2x-3(2)经过原点(0,0)作函数f (x )=x 3+3x 2的图象的切线,则切线方程为 . 【答案】 (1)B (2)y=0或9x+4y=03.亲临考场1.(2016课标Ⅲ,理15)已知f (x )为偶函数,当x<0时,f (x )=ln(-x )+3x ,则曲线y=f (x )在点(1,-3)处的切线方程是.【答案】y=-2x-1【解析】当x>0时,-x<0, 则f(-x)=ln x-3x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ln x-3x,所以f'(x)=1x-3,f'(1)=-2.故所求切线方程为y+3=-2(x-1), 即y=-2x-1.2.(2014江西,理13)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.【答案】 (-ln 2,2)【解析】设点P的坐标是(x0,),则由题意知,y'=-=-2,得x0=-ln2,又=e ln2=2,故点P的坐标是(-ln2,2).3.(2017北京,理19)已知函数f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.考点23 定积分的计算与应用考场高招3 求定积分的常用方法1.解读高招方法解读适合题型典例指引定理法利用微积分基本定理求定积分,其关键是求出被积函数的原函数,求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算,可利用此结论检验被积函数的正确性函数较简单典例导引3(2)几何法用定积分的几何意义来求,即通过图形中面积的计算来求定积分值的大小函数较复杂且有明显的几何意义典例导引3(1)方法解读适合题型典例指引性质法利用定积分的性质baf(x)d x=caf(x)d x+bcf(x)d x,根据函数的定义域,将积分区间分解为若干部分,代入相应的解析式,分别求出积分值,相加即可绝对值函数、分段函数典例导引3(3)奇偶性法若函数f(x)为偶函数,且在区间[-a,a]上连续,则a-af(x)d x=2af(x)d x;若f(x)是奇函数,且在区间[-a,a]上连续,则a-af(x)d x=0函数为奇函数或偶函数典例导引3(4)2.典例指引3(1)(2017中原名校三评)已知函数f(x)=f(x)d x= .(2)sin2d x= .(3)定积分(|x|-1)d x= .(4)计算:(x3cos x)d x= .【答案】(1)6+(2)(3)-1(4)03.亲临考场1.(2014陕西,理3)定积分(2x+e x)d x的值为()A.e+2B.e+1C.eD.e-1【答案】C【解析】因为(x2+e x)'=2x+e x,所以(2x+e x)d x=(x2+e x)=(1+e1)-(0+e0)=e.2. (2015湖南,理11)(x-1)d x= .【答案】0【解析】(x-1)d x==0.3.(2017湖北荆州模拟)计算:d x= .【答案】【解析】因为F'(x)= '=2x-,所以d x=F(3)-F(1)=9+-1-1=.考场高招4 利用定积分求平面图形面积的步骤1.解读高招步骤解读建系画图根据题意画出图形确定函数借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限分割面积将要求面积的图形进行科学而准确的划分,表示成若干个定积分的和或差准确计算计算定积分得出答案温馨提醒(1)注意面积非负,而定积分的结果可以为负.(2)若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是被积变量2.典例指引4求曲线y=,y=2-x,y=-x所围成图形的面积.3.亲临考场1.(2015天津,理11)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为. 【答案】故所求面积S=(x-x2)d x=.2.(2017河北唐山模拟)曲线y=x3与y=所围成的封闭图形的面积为.【答案】5 12【解析】由题意,知所围成的封闭图形的面积为-x3)d x=.。

第3章导数与定积分-2 导数的应用(理科)

第二节导数的应用题型33 利用导数研究函数的单调性1.（2013江苏20）设函数ax x x f -=ln )(，()e xg x ax =-，其中a 为实数.（1）若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围；（2）若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论. 2.（2015湖南理5）设函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，则()f x 是（）.A.奇函数，且在()0,1上是增函数 B. 奇函数，且在()0,1上是减函数 C. 偶函数，且在()0,1上是增函数 D. 偶函数，且在()0,1上是减函数2. 解析由已知()f x 的定义域为()1,1-，关于原点对称. 又因为()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，所以()f x 为奇函数. 求导()2112'111f x x x x=+=+--，当()0,1x ∈时，()'0f x >，即()f x 在()0,1上为增函数.故选A.评注单调性也可以利用复合函数“同增异减”处理.3.（2015全国2理12）设函数()'f x 是奇函数()f x 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()'0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）． A. ()(),10,1-∞- B. ()()1,01,-+∞ C. ()(),11,0-∞-- D. ()()0,11,+∞3. 解析题意，设函数()()f x g x x =，则2()()()xf x f x g x x '-'=，因为当0x >时， ()()0xf x f x '-<，故当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x ∈R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞上单调递增，且有(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >.综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-.故选A ．评注本题用导数来研究函数的性质，注意构造函数()g x ，然后用其对称性和奇偶性对单调性的影响，必要时可以用图像来辅助说明. 4.（2015福建理10）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（）.A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭C ．1111f k k ⎛⎫<⎪--⎝⎭ D ．111k f k k ⎛⎫>⎪--⎝⎭ 4. 解析由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则()()0g x f x k ''=->，故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故()101g g k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，所以11f k ⎛⎫-⎪-⎝⎭11k k >--，1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭，所以结论中一定错误的是C ，选项D 不确定；构造函数()()h x f x x =-，则()()10h x f x ''=->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k >，所以()10h h k ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即111f k k ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，111f k k⎛⎫>- ⎪⎝⎭，选项A ，B 无法判断．故选C ．5.（2015广东理19（1））设1a >，函数2()(1)e xf x x a =+-.求()f x 的单调区间. 5. 解析函数()f x 的定义域为R ，()()()()()2221e 1e 1e 0x x xf x x x x '''=+++=+，所以()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数.6.（2015湖北理22（1））已知数列{}n a 的各项均为正数，*1(1)()n n n b n a n n=+∈N ，e 为自然对数的底数．求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小.6. 解析 ()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-.当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞. 当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x x +<. 令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<.7.（2015江苏19（1））已知函数()32f x x ax b =++(),a b ∈R ．试讨论()f x 的单调性.7. 解析由题意，()232f x x ax '=+233x x a ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 1︒当203a -=，即0a =时，()230f x x '=对x ∈R 恒成立，故()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；2︒当203a ->，即0a <时，令()2303f x x x a ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，则0x <或23x a >-，所以()f x 的单调递增区间为(),0-∞和,23a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为30,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；3︒当203a -<，即0a <时，令()2303f x x x a ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，则23x a <-或0x >，所以()f x 的单调递增区间为23,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,+∞，单调递减区间为023,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．8.（2015全国2理21（1））设函数()2emxf x x mx =+-.证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增.8. 分析（1）先对函数进行求导，然后再应用单调性和函数的导数的关系进行求解；解析（1）证明：因为()2e,mxf x x mx =+-，则求导得，()e 2,mx f x m x m '=+-()()e 12mx f x m x '=-+.若0m ，则当(),0x ∈-∞时，e 10mx-，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，e10mx-，()'0f x >.若0m <，则当(),0x ∈-∞时，e 10mx ->，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，e 10mx -<，()'0f x >.所以()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增.9.（2015四川理21（1））已知函数()()222ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >.设()g x 为()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；9. 分析首先对函数()f x 求导，得()()222ln 21a g x f x x a x x ⎛⎫'==---+⎪⎝⎭，然后再求导得()222112222242x a a g x x x x⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=-+=. 利用导数的符号即得其单调性.此题分1204a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭和1204a ⎛⎫- ⎪⎝⎭两种情况讨论.解析由已知可得函数()f x 的定义域为()0,+∞.()()222ln 21a g x f x x a x x ⎛⎫'==---+ ⎪⎝⎭，所以()222112222242x a a g x x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=-+=. 当104a <<时，()g x在区间⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增；在区间⎝⎭上单调递减. 当14a时，()g x 在区间()0,+∞上单调递增. 10.（2015天津理20（1））已知函数(),n f x nx x x =-∈R ，其中*n ∈N ，2n.讨论()f x 的单调性.10. 分析求导，分n 为奇数与偶数讨论其导数的符号及函数单调性即可. 解析由()n f x nx x =-，可得()1n f x n nx -'=-，其中*n ∈N 且2n ，下面分两种情况讨论：(i)当n 为奇数时，令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如表所示.所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. (ii)当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.11.（2015重庆理20（2））设函数()()23e xx axf x a +=∈R .若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围.11. 解析由（1）知()()236exx a x af x -+-+'= 令()()236g x x a x a =-+-+，则()g x 为()f x '的同号函数.因为()f x 在[)3,+∞上为减函数，所以()0f x '在[)3,+∞上恒成立，即()0g x 在[)3,+∞上恒成立.首先()30g ，即()2763920a a a -+-⨯+=--，解得92a-. 反之当92a-时，()g x 在[)3,+∞上单调递减，且()30g ，所以[)3,x ∀∈+∞，()0f x '，()f x 在[)3,+∞上单调递减；当92a <-时，()30g >，故()03,x ∃∈+∞，使得()00g x =，故()f x 在()03,x 上单调递增，与题意不符. 综上， a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,29． 12.（2016北京理18）设函数()e a x f x x bx -=+，曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为()e 14y x =-+. （1）求,a b 的值；（2）求()f x 的单调区间.12.解析（1）由题可得()e (1)a x f x x b -'=-+. 再由题设，可得22(2)e e 1(2)2e 22(e 1)4a a fb f b --'⎧=-+=-⎪⎨=+=-+⎪⎩，解得2a =，e b =. （2）由（1）的解答及题设，可得()2e (1)e x f x x -'=-+，()f x '的导函数2(())e (2)x f x x -''=-.所以函数()f x '在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数，所以min ()(2)e 10f x f ''==->，即()0f x '>对x ∈R 恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间是(,)-∞+∞，无单调递减区间.13.（2016全国甲理21）（1）讨论函数2()e 2xx f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>；（2）证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x--> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.13.解析（1）证明：由已知得，函数的定义域为由已知得， 2x ≠-.因为()2e 2x x f x x -=+，所以()()()22224e e 222x x x x f x x x x ⎛⎫-'=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭.因为当x ∈()()22-∞--+∞，，时，()0f x '>，所以()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增，所以当0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+，所以()2e 20x x x -++>. （2）由已知得，()()()24e 2e xx a x x ax a g x x ----'=()4e 2e 2=x x x x ax a x -++=()322e 2x x x a x x-⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭，[)01a ∈，. 解法一：记()2e 2xx h x a x -=++，因为()()01020h a h a =-<=，，所以由（1）知()h x 在[)02，上存在唯一零点.记零点为0x ，即()00h x =，则()g x 在()00x ，上单调递减，在()02x ，上单调递增.故0x 为()g x 的极小值，此时极小值为()0g x . 因为0002e 02x x a x -+=+，所以[)(]0002e 0022x x a x x -=-∈⇒∈+，1，. 所以()()()000000000220002e e 12e 1e =2x x x x x x x a x x x x x ⎛⎫---+ ⎪+-+⎝⎭==+g . 记()000e 2x P x x =+，，则()()()()0002200e +2e 1=e 0+2+2x x xx x P x x x -+'=>，所以()0P x 在(]002x ∈，上单调递增，所以()201e 24P x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，.解法二：由(1)知，当0x >时，()2e 2xx f x x -=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解，使得2e 2tt a t -⋅=-+，(]02t ∈，.当(0,)x t ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(,)x t ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.()()()222e 1e e 1e 22t tttt t a t t h a tt t -++⋅-++===+. 记()e 2t k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，所以()k t 单调递增，所以()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，.14.（2016天津理20）设函数()()31f x x ax b =---，x ∈R ，其中,a b ∈R . （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，求证：1023x x +=；（3）设0a >，函数()()g x f x =，求证：()g x 在区间[]0,2上的最大值不小于．．．14.14. 解析（1）由()()31f x x ax b =---，可得()()231f x x a '=--.下面分两种情况讨论：（i ）当0a时，有()23(1)0f x x a'=--恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.（ii ）当0a >时，令()0f x '=，解得13x =+或13x =-. 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示.所以()f x 的单调递减区间为133⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递增区间为,13⎛-∞- ⎝⎭，13⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）证明：因为()f x 存在极值点，所以由（1）知0a >，且01x ≠. 由题意，得()()200310f x x a '=--=，即()2013ax -=，进而()()300002133a af x x ax b x b =---=---. 又()032f x -=0233a ax b ---=()()3002232x a x b ----=()0081233ax ax a b -+--=()0f x ，且0032x x -≠，由题意及（1）知，存在唯一实数满足()()10f x f x =，且10x x ≠，因此1032x x =-，即1023x x +=.（3）证明：设()g x 在区间[]0,2上的最大值为M ，max{,}x y 表示,x y 两数的最大值. 下面分三种情况讨论：（i ）当3a时，3102133a -<+，由（1）知，()f x 在区间[0,2]上单调递减，所以()f x 在区间[0,2]上的取值范围为[(2),(0)]f f ，因此max{|(2)|,|(0)|}max{|12|,|1|}Mf f a b b ==----=max{|1()|,|1()|}a a b a a b -++--+=1(),01(),0a ab a b a a b a b -+++⎧⎨--++<⎩，所以1||2M a a b =-++. （ii ）当334a <时，33231011213333a a a -<-<+<+. 由（1）和（2）知，(0)1133f f f⎛⎫⎛-=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，(2)1133f f f ⎛⎛+=-⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[0,2]上的取值范围为1,1ff⎡⎤⎛⎛-⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此max 1,133M f f ⎧⎫⎛⎛⎫⎪⎪=+-=⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭max a b ab ⎧⎫--=⎨⎬⎩⎭()()maxa b a b ⎧⎫++=⎨⎬⎩⎭231944a b +⨯⨯=.（iii ）当304a <<时，0111123333<-<-<+<+<，由（1）和（2）知，()01133f f f ⎛⎫⎛⎫<-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21133f f f ⎛⎫⎛>+=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]0,2上的取值范围为()()0,2f f ⎡⎤⎣⎦，因此()(){}{}max0,2max 1,12M f f b a b ==----=()(){}1max 1,114a ab a a b a a b -++--+=-++>. 综上所述，当0a >时，()g x 在区间[]0,2上的最大值不小于14. 15.（2018天津理20）已知函数()xf x a =，()log a g x x =，其中a >1. （I ）求函数()()lnh x f x x a =-的单调区间；（II ）若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明122ln ln ()ln ax g x a+=-；（III ）证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线.15.命题意图本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.解析（I ）由已知，()ln xh x a x a =-，有()ln ln xh x a a a '=-. 令()0h x '=，解得0x =.由1a >，可知当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：所以函数()h x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞.（II ）证明：由()ln xf x a a '=，可得曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线斜率为1ln x a a .由1()ln g x x a'=，可得曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线斜率为21ln x a .因为这两条切线平行，故有121ln ln xa a x a=，即122(ln )1xx a a =.两边取以a 为底的对数，得212log 2log ln 0a x x a ++=，所以122ln ln ()ln ax g x a+=-. （III ）证明：曲线()y f x =在点11(,)x x a 处的切线1111:ln ()x xl y a a a x x -=⋅-.曲线()y g x =在点22(,log )a x x 处的切线22221:log ()ln a l y x x x x a-=⋅-. 要证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线，只需证明当1ee a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，2(0,)x ∈+∞，使得1l 和2l 重合.即只需证明当1e e a ≥时，方程组1112121ln ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩①②有解，由①得1221(ln )x x a a =，代入②，得111112ln ln ln 0ln ln x x a a x a a x a a-+++=. ③ 因此，只需证明当1ee a ≥时，关于1x 的方程③有实数解.设函数12ln ln ()ln ln ln x xa u x a xa a x a a=-+++，即要证明当1e e a ≥时，函数()y u x =存在零点.2()1(ln )x u x a xa '=-，可知(,0)x ∈-∞时，()0u x '>；(0,)x ∈+∞时，()u x '单调递减，又(0)10u '=>，21(ln )2110(ln )a u a a ⎡⎤'=-<⎢⎥⎣⎦，故存在唯一的0x ，且00x >，使得0()0u x '=，即0201(ln )0x a x a -=.由此可得()u x 在0(,)x -∞上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减. ()u x 在0x x =处取得极大值0()u x .因为1ee a ≥，故ln(ln )1a ≥-，所以0000002012ln ln 12ln ln 22ln ln ()ln 0ln ln (ln )ln ln x x a a a u x a x a a x x a a x a a a+=-+++=++≥≥.下面证明存在实数t ，使得()0u t <. 由（I ）可得1ln xa x a ≥+，当1ln x a>时，有2212ln ln 12ln ln ()(1ln )(1ln )(ln )1ln ln ln ln a a u x x a x a x a x x a a a a≤+-+++=-++++，所以存在实数t ，使得()0u t <因此，当1e e a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，使得1()0u x =.所以，当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线.题型34 利用导函数研究函数的极值与最值1. (2013重庆理17）设()()256ln f x a x x =-+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线与y 轴相交于点()06，. （1）确定a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值.2. （2013湖北理10）已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则（）.A ．1()0f x >，21()2f x >-B ．1()0f x <，21()2f x <-C ．1()0f x >，21()2f x <-D ．1()0f x <，21()2f x >-3. (2013浙江理8）已知e 为自然对数的底数，设函数()(e 1)(1)(1,2)x kf x x k =--=，则 A.当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值 B.当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值 C.当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值 D.当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值4. (2013福建理17）已知函数()()ln f x x a x a =-∈R（1）当2=a 时，求曲线)(x f y =在点()1,(1)A f 处的切线方程；（2）求函数)(x f 的极值5.（2013湖北理22）设n 是正整数，r 为正有理数．（1）求函数()x f =)1(1)1()1(1->-+-++x x r x r 的最小值；（2）证明：11(1)1r r n n r ++--+<rn <11(1)1r r n n r +++--；（3）设∈x R ，记[]x 为不小于．．．的最小整数，例如[]22=，[π]4=，312⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦．令S =+++3338382813125，求[]S 的值．（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈） 6. （2013山东理21）设函数2()e xxf x c =+（e 2.71828=是自然对数的底数，c ∈R ）.（1）求()f x 的单调区间、最大值；（2）讨论关于x 的方程ln ()x f x =根的个数.7．（2013广东理21）设函数()()21e xf x x kx =--(其中k ∈R ).(1) 当1k =时，求函数()f x 的单调区间； (2) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 8.（2013浙江理22）已知a ∈R ，函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f（1）求曲线)(x f y =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）当]2,0[∈x 时，求|)(|x f 的最大值.9．（2013四川理21）已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，其中a 是实数．设()11,()A x f x ，()22,()B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <．（1）指出函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，求21x x -的最小值；（3）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围．10.（2014 新课标2理12）设函数()xf x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（）. A.()(),66,-∞-+∞ B.()(),44,-∞-+∞ C.()(),22,-∞-+∞ D.()(),11,-∞-+∞11.（2014 安徽理 18）（本小题满分12分）设函数()()2311f x a x x x =++--，其中0a >.（1）讨论()f x 在其定义域上的单调性；（2）当[]0,1x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值.12.（2014 北京理 18）（本小题13分）已知函数()πcos sin ,0,2f x x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，（1）求证：()0f x ；（2）若sin x ab x <<在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 13.（2014 大纲理 22）（本小题满分12分）函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()111,ln 1n n a a a +==+，求证：23+22na n n <+.14.（2014 江西理 18）（本小题满分12分）已知函数()(2f x x bx b=++()b ∈R .（1）当4b =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，求b 的取值范围.15.（2014 重庆理 20）本小题满分12分，（1）问4分，（2）问3分，（3）问5分）已知函数()()22ee ,,xx f x a b cx a b c -=--∈R 的导函数()f x '为偶函数，且曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为4c -.（1）确定,a b 的值；（2）若3c =，判断()f x 的单调性；（3）若()f x 有极值，求c 的取值范围16（2015安徽理21）设函数2()f x x ax b =-+. （1）讨论函数()sin f x 在22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭,内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记()2000f x x a x b =-+，求函数()()0sin sin f x f x -在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值D ；（3）在（2）中，取000a b ==，求24a zb =-满足条件1D时的最大值.16. 解析（1）()()2sin sin sin sin sin f x x a x b x x a b =-+=-+，22x ππ-<<．()()sin 2sin cos f x x a x '=-，22x ππ-<<．因为22x ππ-<<，所以cos 0x >，22sin 2x -<<． ① 2a -，b ∈R 时，函数()sin f x 单调递增，无极值； ② 2a，b ∈R 时，函数()sin f x 单调递减，无极值；③ 对于22a -<<，在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内存在唯一的0x ，使得02sin x a =． 02x x π-<时，函数()sin f x 单调递减；02x x π<时，函数()sin f x 单调递增，因此，22a -<<，b ∈R 时，函数()sin f x 在0x 处有极小值()20sin 24a a f x f b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．（2）22xππ-时，()()()000sin sin sin f x f x a a x b b -=-+-00a a b b -+-，当()()000a a b b --时，取2x π=，等号成立．当()()000a a b b --<时，取2x π=-，等号成立．由此可知，()()0sin sin f x f x -在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为00D a a b b =-+-．（3）1D即为1a b +，此时201a，11b-，从而214a zb =-．取0a =，1b =，则1a b+，并且214a zb =-=．由此可知，24a zb =-满足条件1D的最大值为1．17.（2015湖南理21（1））已知0a >，函数()[)()e sin 0,axf x x x =∈+∞. 记n x 为()f x 的从小到大的第n ()*n ∈N 个极值点，证明：数列(){}nf x 是等比数列.17. 解析 ()e sin e cos e (sin cos )axaxaxf x a x x a x x '=+=+e sin()ax x ϕ=+，其中a 1tan =ϕ，π02ϕ<<. 令 ()0f x '=，由0x 得 πx m ϕ+=，即*π,x m m ϕ=-∈N .对k ∈N ，若2π(21)πk x k ϕ<+<+，即2π(21)πk x k ϕϕ-<<+-，则()0f x '>；若(21)π(22)πk x k ϕ+<+<+，即(21)π(22)πk x k ϕϕ+-<<+-，则()0f x '<. 因此，在区间((1)π,π)m m ϕ--与(π,π)m m ϕ-上，)('x f 的符号总相反，于是，当*π,x m m ϕ=-∈N 时，)(x f 取得极值，所以*π,n x n n ϕ=-∈N . 此时，()1()()e sin(π)(1)e a n n a n n f x n πϕπϕϕ-+-=-=-，易知0)(≠n x f ，且2[(1)π]π11(π)()(1)e e ()(1)en a n a n n a n n f x f x ϕϕ++-++--==--是常数，故数列)}({n x f 是首项为(π)1()e sin a f x ϕϕ-=，公比为πe a -的等比数列. 18.（2015全国1理12）设函数()()e 21x f x x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得()00f x <，则a 的取值范围是（）.A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭18.解析设()()e 21xg x x =-，()h x ax a =-，可转化成存在唯一的整数0x ，使得()()g x h x <．因为()()e 21xg x x '=+，所以当12x <-时，()0g x '<，()g x 在 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减；当12x >-时，()0g x '>，()g x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．因为当0x =时，()01g =-，()00h =，所以()()00g h <．又因为存在唯一的整数0x ，使得()()g x h x <，所以()()()()1111g h g h ⎧⎪⎨--⎪⎩，即e 32eaa -⎧⎪⎨--⎪⎩，解得32e a，又因为1a <，所以312ea <．故选D ．19.(2015山东理21（1）) 设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a ∈R . 讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由.y=e x19. 解析由题意知，函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()21212111ax ax a f x a x x x +-+'=+-=++．令()221g x ax ax a =+-+，()1,x ∈-+∞．当0a =时，()1g x =，此时()0f x '>，函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，无极值点；当0a >时，()()28198a a a a a ∆=--=-．① 当809a<时，0∆，()0g x ，()0f x '，② 函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，无极值点； ③ 当89a >时，0∆>，设方程2210ax ax a +-+=的两根为1x ，2x ()12x x <．因为1212x x +=-，所以114x <-，214x >-．由()110g -=>，可得1114x -<<-．所以当()11,x x ∈-时，()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()12,x x x ∈时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()2,x x ∈+∞时()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增．因此函数有两个极值点．当0a <时，0∆>．由()110g -=>，可得11x <-．当()21,x x ∈-时，()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以函数有一个极值点．综上所述，当0a <时，函数有()f x 一个极值点；当809a时，函数()f x 无极值点；当89a >时，函数()f x 有两个极值点． 20.（2015重庆理20（1））设函数()()23e xx axf x a +=∈R .若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；20. 解析对()f x 求导得()()()()()2226e 3e 36e e x xxx x a x ax x a x a f x +-+-+-+'==，因为()f x 在0=x 处取得极值，所以()00f '=，即0=a ．经检验，0x =为()f x 的极小值点.当0=a 时，()23ex x f x =， ()236e x x x f x -+'=，故()31e f =，()31e f '=．从而()f x 在点()()1,1f 处的切线方程()331e ey x -=-，化简得3e 0x y -=． 21.（2016全国丙理21）设函数()cos2(1)(cos +1)f x a x a x =+-，其中0a >，记()f x 的最大值为A .（1）求()f x '；（2）求A ；（3）证明2.f x A '（） 21.解析 (1)()()2sin 21sin f x a x a x '=---. （2）当1a时，()()()()()cos21cos 121320f x a x a x a a a f =+-++-=-=≤.因此32A α=-.当01a <<时，将()f x 变形为()()22cos 1cos 1f x a x a x =+--. 令()()2211g t at a t =+--，则A 是()g t 在[]1,1-上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为. 令，解得且，所以. （i ）当时，在内无极值点，，，，所以.()1g a -=()132g a =-14at a-=()g t ()2211611488a a a a g a a a --++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭1114a a --<<13a >-15a >15a >105a<()g t ()1,1-()1g a -=()123g a =-()()11g g -<23A a =-（ii ）当时，在同一坐标中画出函数，，在上的图像.由上图，我们得到如下结论当时，.综上，. （3）由（1）得.当时，；当时，，所以；当时，.所以；综上所述有.22.（2016全国甲理21）（1）讨论函数2()e 2xx f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>；（2）证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x--> 有最小值.设()g x 的最小值115a <<y x =32y x =-2618x x y x++=1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭115a <<2618a a A a++=2123,05611,18532,1a a a a a a a a ⎧-<⎪⎪++⎪<<⎨⎪->⎪⎪⎩()()2sin21sin 21f x a x xa a α'=---+-105a<()()1242232f x aa a A '+-<-=115α<<131884a A a =++()12f x a A '+<1a ≥()31642f x a a A '--=()2f x A '()2f x A '为()h a ，求函数()h a 的值域.22.解析（1）证明：由已知得，函数的定义域为由已知得， .因为，所以. 因为当时，，所以在和上单调递增，所以当时，，所以. （2）由已知得，，.解法一：记，因为，所以由（1）知在上存在唯一零点.记零点为，即，则在上单调递减，在上单调递增. 故为的极小值，此时极小值为.因为，所以. 所以. 记，，则，所以在上单调递增，所以.解法二：由(1)知，当时，的值域为，只有一解，使得，. 当时，，单调递减；当时，，单调递增.2x ≠-2()e 2x x f x x -=+()()()22224e e 222x x x x f x x x x ⎛⎫-'=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭x ∈()()22-∞--+∞，，()0f x '>()f x ()2-∞-，()2,-+∞0x >()2e 0=12xx f x ->-+()2e 20x x x -++>()()()24e 2e xx a x x ax a g x x ----'=()4e 2e 2=x x x x ax a x -++=()322e 2x x x a x x -⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭[)01a ∈，()2e 2xx h x a x -=++()()01020h a h a =-<=，()h x [)02，0x ()00h x =()g x ()00x ，()02x ，0x ()g x ()0g x 0002e 02x x a x -+=+[)(]00002e 0022x x a x x -=-∈⇒∈+，1，()()()000000000220002e e 12e 1e =2x x x x x x x a x x x x x ⎛⎫---+ ⎪+-+⎝⎭==+g ()000e 2x P x x =+()()()()0002200e +2e 1=e 0+2+2x x xx x P x x x -+'=>()0P x (]002x ∈，()201e 24P x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，0x >()2e 2xx f x x -=⋅+()1-+∞，2e 2tt a t -⋅=-+(]02t ∈，(0,)x t ∈()0g x '<()g x (,)x t ∈+∞()0g x '>()g x. 记，在时，，所以单调递增，所以.23.（2016天津理20）设函数()()31f x x ax b =---，x ∈R ，其中,a b ∈R . （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，求证：1023x x +=；（3）设0a >，函数()()g x f x =，求证：()g x 在区间[]0,2上的最大值不小于．．．14.23. 解析（1）由，可得.下面分两种情况讨论：（i ）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（ii ）当时，令，解得或. 当变化时，，的变化情况如表所示.所以的单调递减区间为，单调递增区间为，. ()()()222e 1e e 1e 22t tttt t a t t h a tt t -++⋅-++===+()e 2t k t t =+(]0,2t ∈()()()2e 102t t k t t +'=>+()k t ()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，()()31f x x ax b =---()()231f x x a '=--0a()23(1)0f x x a'=--()f x (),-∞+∞0a >()0f x '=13x =+13x =-x ()f x '()f x ()f x 133⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭,13⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭1⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭（2）证明：因为存在极值点，所以由（1）知，且.由题意，得，即，进而. 又，且，由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且，因此，即.（3）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况讨论：（i ）当时，，由（1）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此，所以. （ii ）当时，. 由（1）和（2）知，，， ()f x 0a >01x ≠()()200310f x x a '=--=()2013a x -=()()300002133a af x x ax b x b =---=---()()()()30000083222321233af x x a x b x ax a b -=----=-+--=0233a ax b ---=()0f x 0032x x -≠()()10f x f x =10x x ≠1032x x =-1023x x +=()g x []0,2M max{,}x y ,x y 3a 3102133a-<+()f x [0,2]()f x [0,2][(2),(0)]f f max{|(2)|,|(0)|}max{|12||1|}Mf f a b b ==----=，max{|1()|,|1()|}a a b a a b -++--+=1(),01(),0a ab a b a a b a b -+++⎧⎨--++<⎩1||2M a a b =-++334a <3323101121a a a -<-<+<+(0)1133f f f ⎛⎛-=+ ⎝⎭⎝⎭(2)1133f f f ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以在区间上的取值范围为，因此. （iii ）当时，，由（1）和（2）知，，，所以在区间上的取值范围为，因此. 综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.24.（2017江苏20）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：；（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围． 24.解析（1）由，得，()f x[0,2]1,1f f ⎡⎤⎛⎛⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦max 1,1M f f ⎧⎫⎛⎛⎫⎪⎪== ⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭max a b a b ⎧⎫--=⎨⎬⎩⎭()()max a b a b ⎧⎫++=⎨⎬⎩⎭231944a b+⨯⨯=34a <<011112<<<+<<()011f f f ⎛⎛<=+⎝⎭⎝⎭()21133f f f ⎛⎛>+=- ⎝⎭⎝⎭()f x []0,2()()0,2f f ⎡⎤⎣⎦()(){}{}max0,2max 1,12M f f b a b ==----=()(){}1max 1,114a ab a a b a a b -++--+=-++>0a >()g x []0,214()321f x x ax bx =+++()0,a b >∈R ()f x '()f x b a 23b a >()f x ()f x '72-a ()321f x x ax bx =+++()232f x x axb =++'当时，有极小值为．因为的极值点是的零点，所以，又，故．当时，恒成立，即单调递增，所以此时不存在极值，不合题意．因此，即，所以．有两个相异的实根.列表如下故的极值点是，从而.所以关于的函数关系式为，定义域为．（2）解法一：由（1）知，即证明，即，因为，所以问题等价于，不妨设，则，不妨设，易知在上单调递增，且，从而，即得证．因此．3a x =-()f x '23a b -()f x '()f x 331032793a a a ab f ⎛⎫-=-+-+= ⎪⎝⎭0a >2239a b a =+()22120a b ∆=-()2320f x x ax b =++'()f x ()f x 24120a b ∆=->232223192730933a a a a a a a ⎛⎫--+=-=>⎪⎝⎭3a >()=0f x '1=x 2x ()f x 12,x x 3a >b a 2239a b a=+()3,+∞222339a a a ⎛⎫+>⎪⎝⎭424439138a a a a ++>0a >6341357290a a -+>3t a =()27,t ∈+∞()24135729g t t t =-+()g t 135,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭135278<()()227427135277290g t g >=⨯-⨯+=6341357290a a -+>23b a >解法二（考试院提供）：由（1．设，则．当时，，从而在上单调递增．因为，所以，故因此．（3）由（1）设的两个实根为，且设，且有，因此．而的情况如下表所示：所以的极值点是，从而．记，所有极值之和为，+()23=9t g t t+()22223227=99t g t t t --=',2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0g t '>()g t 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3a >>((g g >=23b a >()2320f x x ax b =++='12,x x 12x x <12123123x x a x x b⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22212469a b x x -+=()f x ()f x 12,x x ()()32321211122211=f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++()()()()222212112212121232322=3333x x x ax b x ax b a x x b x x ++++++++++()()221212122=33a x xb x x ++++3423227a ab-+324223202739a a a a ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭()f x ()f x '()h a因为的极值为，所以，．处理方法一：因为，于是在上单调递减．因为，由，故．处理方法二：所以，整理得（必然可以猜测零点），，因此．因此的取值范围为．评注 ①此题第（2）问考查的是数值大小的比较，常见的有作差法、作商法、两边平方比较法，此题采用作商（考试院解法二）化简函数达到简化效果，可见对于压轴问题，方法的选择是非常关键的．②第（3）问实际考查的是函数零点的应用，下面提供此前我们做过的两个类似习题供参考．案例1：已知函数，若函数存在极值，且所有极值之和小于，则实数的取值范围是．解析因为，设，当时，恒成立，所以单调递减，故不存在极值；所以，设的两根为（不妨设），从而，因此同号，所以问题等价于在上有两个不相等的实数根，()f x '221339a b a a -=-+()2139h a a a=-+3a >()223=09h a a a'--<()h a ()3,+∞()76=2h -()()6h a h 6a ()213792h a a a=-+-3263540a a --()()2621290a a a -++6a a (]3,6()2ln f x ax x x =--()f x 5ln 2+a ()12f x a x x=--'221x ax x -+-=()0x >()221g x x ax =-+-280a ∆=-()0g x ()f x 280a ∆=->()2210g x x ax =-+-=12,x x 12x x <12102x x =>12,x x ()2210g x x ax =-+-=()0,+∞12,x x因此，从而．所以的所有极值之和为，因此，解得，又的取值范围是．④另外，如果熟悉三次函数对称中心，此题还可以作如下考虑：即，，，令，则，所以该三次函数的对称中心为．因此有．这里可以采用假算的思想，即写出简单过程，省去中间过于复杂的运算过程，直接写出结果即可，这需要平时积累一些有价值的素材．案例2：（徐州15-16高二下学期期末文20）已知函数，为函数的导函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若存在实数，且，使得，求证：．解析（1）若，则，， 212128002102a x x x x a ∆=⎧⎪⎪⎪+=>⎨>->⎪⎪=⎪⎩a >()f x ()()12f x f x +22111222ln l =n ax x x ax x x =--+--()()2121212122ln a x x x x x x x x +-++-2211ln 5ln 2242a a =-+-<+216a <44a -<<a >a ()()321f x x ax bx =+++()232f x x ax b =++'()62f x x a '+'=()620f x x a '=+='3ax =-,33a a f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1223a f x f x f ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3233321=a a a a b ⎡⎤=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎢⎣⎭⎥⎥⎦⎝3221273a a b ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦232232102739a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦()24ln f x x x a x=-+(),0a a ∈≠R ()f x '()f x 1a =()y f x =()()1,1f ()f x 12,x x 12x x <()()120f x f x ''==()24f x >-1a =()24ln f x x x x =-+()124f x x x'=-+所以切线斜率为，又，所以在点处的切线方程为．（2），．①当时，恒成立，所以的单调增区间为； ②当时，令，得或，所以的单调增区间为和，同理的单调减区间为；③当时，令，得．所以的单调增区间为，同理的单调减区间为．（3）由题意可知，是方程的两根，则，，所以．令，．则恒成立，所以在上单调递减，所以，即．25.（2017山东理20）已知函数，，其中是自然对数的底数.（1）求曲线在点处的切线方程；()11f '=-(1)3f =-()y f x =()()1,1f 20x y ++=()22424a x x af x x x x='-+=-+0x >2a ()0f x '()f x ()0,+∞02a <<()0f x '>0x <<x >()fx ⎛ ⎝⎭⎫+∞⎪⎝⎭()fx ⎝⎭0a <()0f x '>x >()fx ⎫+∞⎪⎝⎭()fx ⎛ ⎝⎭12,x x 2240x x a -+=()02a <<()221,22x +=∈22242a x x =-()222224ln f x x x a x =-+()2222222442ln x x x x x =-+-()()22442ln g x x x x xx =-+-()1,2x ∈()()41ln 0g x x x '=-<()g x ()1,2()()24g x g >=-()24f x >-()22cos f x x x =+()()e cos sin 22x g x x x x =-+-e 2.71828=()y f x =()(),f ππ。

2013-2017高考数学(理)真题分类汇编第3章导数与定积分-1导数的概念与运算.docx

2013-2017 高考真题分类汇编第三章数与定分第一节导数的概念与运算题型 30导数的定义 —— 暂无题型 31 求函数的导数1（． 2013 江西理 13）设函数 f (x) 在 (0,) 内可导，且 f (e x ) x e x ，则 f )1(．2.（2016 全国丙理 21）21.设函数 f (x) a cos2x (a 1)(cosx+1) ，其中 a 0 ，记 f ( x) 的最大值为 A .（ 1）求 f ( x) ；（ 2）求 A ；（3）证明 f （ x ）, 2A.2.解析 (1) f x 2a sin 2 x a 1 sin x .（2）当 a ⋯1时， f x acos2xa 1 cosx 1 ≤a2 a 1 3a 2 f0 .因此 A 32 .当 0a 1 时，将 fx 变形为 fx2 a cos 2 xa 1 cos x1.令g t2 at 2a1 t 1 ，则 A 是 g t在 1,1 上的最大值， g 1 a ，g 1 3a 2，且当 t1 a 时，g t取得极小值，极小值为 4a1 aa 1 2a26a 1g14a8a8a.令1 a1 ，解得 a111 .1且 a，所以 a54a35（ i ）当 0 a , 1 时， g t 在1,1 内无极值点，g1 a ， g 12 3a ，5g 1 g 1，所以 A2 3 a .（ ii ）当1a1y x ， y3x2 ， yx 2 6x1时，在同一坐标中画出函数8x 在51,上的图像 .5yy= 3x-22013-2017 高考真题分类汇编y=xx 2+ 6x+ 1y=8xOx1 a 26a 1由上图，我们得到如下结论当a 1时， A.58a2 3a,0a ,15综上，a 2 6a 1, 1a 1 .8a 53a 2,a 1（3）由（ 1）得 f x 2a sin2x 1 sinx , 2a a 1 .当 0a , 1时， f x ? 1 a ? 2 4a 2 2 3a 2A ；5当11时， A a 13⋯1，所以 f x ? 1 a 2A ；58 8a 4当 a ≥ 1 时， f x ? 3a 1? 6a 4 2A .所以 f x , 2A ；综上所述，有f x , 2A .题型 32导数的几何意义1.(2013 广东理 10）若曲线2.（ 2014 大纲理 7 ）曲线y kx ln x 在点 1,k 处的切线平行于x 轴，则 k．yxe x 1 在点 1,1 处切线的斜率等于（） .A ． 2eB ． eC ． 2D ． 13.（ 2014 新课标2 理 8）设曲线 y axln x 1 在点0,0 处的切线方程为 y2 x ，则a （） .A. 0B. 1C. 2D. 34.（ 2014 江苏理 11）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线 yax 2b （ a,b 为常数）过x点 P 2, 5 ，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x 2 y 3 0 平行，则 a b 的值是．5.（ 2014 江西理 13）若曲线 y e x 上点 P 处的切线平行于直线2x y1 0 ，则点 P 的坐标是.6.（2015 陕西理 15）设曲线 ye x 在点（ 0,1）处的切线与曲线 y1 (x 0) 上点 P 处的切x线垂直，则 P 的坐标为．6. 解析因为0,1 在 ye x 上，所以在 0,1 处切线的斜率 k 1 e xx 01.设 P x 0 ,1 ，则 y1 k2 1 ' x1x 0 在 P 处的切线斜率 x x 0 2 .xx 0因为k 1k 21，所以11x 01 .又因为 x0 ，所以 x 0 1 ， P 1,1 .x 027.（ 2015 四川理 15）已知函数f x2x ， g xx 2 ax （其中 a R ） .对于不相等的实数 x 1 , x 2 ，设 mf x 1f x 2 ， ng x 1g x 2 ，现有如下命题：x 1 x 2x 1 x 2①对于任意不相等的实数x 1, x 2 ，都有 m 0 ；②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x 1 , x 2 ，都有 n 0 ；③对于任意的 a ，存在不相等的实数 x 1 , x 2 ，使得 m n ； ④对于任意的 a ，存在不相等的实数x , x ，使得mn .1 2其中真命题有 ___________________( 写出所有真命题的序号 ).7. 解析 ① .由 mf x 1f x 2得f x1mx 1 f x 2mx 2 .x 1 x 2令 F x f xmx 2xmx ，则 F x 1 F x 2 ，故 F x 不单调 .当 m,0 时， F x 为单调递减函数，不符合题意 .当 m 0 时， Fx2x ln 2 m ,由于 y2x ln 2 是值域为0,的单调递增函数，故必存在一个 x 0 ，使得 F x 00.且当 x 0, x 0 时， F x0 .当 x x 0 ,时，F x 0 .即 F x 不单调.所以①正确.g x1g x2得 g x1nx1g x2nx2.②.由n x1x2令G x g x nx x2ax nx x2 a n x ，则 G x1 G x2，即对任意的 a ，G x 不单调.取a0，则G x x2 nx 。

教育最新K122018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第3讲定积分与微积分基本定理练习理北师大版

第三章导数及其应用第3讲定积分与微积分基本定理练习理北师大版基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A.e ＋2B.e ＋1C.eD.e －1解析 ⎠⎛01(2x ＋e x)d x ＝(x 2＋e x)⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.故选C.答案 C2.若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )A.2B.3C.4D.6解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a1＝a 2＋ln a －1，∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2. 答案 A3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.12g B.gC.32g D.2g解析电视塔高h ＝⎠⎛12gt d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12gt 221＝32g . 答案 C4.如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( ) A.⎠⎛02|x 2－1|d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02（x 2－1）d x C.⎠⎛02(x 2－1)d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x .答案 A5.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121xd x ，S 3＝⎠⎛12e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A.S 1<S 2<S 3B.S 2<S 1<S 3C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1解析S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ，∵e 2－e ＝e(e －1)＞e ＞73＞ln 2，∴S 2＜S 1＜S 3. 答案 B 二、填空题6.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝________.解析由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x ) ⎪⎪⎪t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去).答案 47.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________.解析根据f (x )的图像可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0). 因为f (x )的图像过(0，1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1.所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2. 所以S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43. 答案 438.(2017·合肥模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案 49三、解答题 9.计算下列定积分：(1)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ； (2)⎠⎛02－x 2＋2x d x ；(3)2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x ；(4)⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ；(5)⎠⎛－22|x 2－2x |d x .解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 1＝32－ln 2；(2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x ＝0，x ＝2，y ＝－x 2＋2x ，以及x 轴围成的图像的面积，即圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的一半，∴⎠⎛02－x 2＋2x ＝π2；(3)原式＝ (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－ (－cos 0＋sin 0)＝2；(4)原式＝⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3)d x ＋⎠⎛－111d x ＝0＋x ⎪⎪⎪1-1＝2；(5)∵|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪20＝8. 10.求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积.解作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图像，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点(1，1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝3x ，得交点(3，9)，因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(3x －x )d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝x 2⎪⎪⎪1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－13x 3⎪⎪⎪31＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A.－1B.－13C.13D.1解析由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪1＝13＋2m ＝m ，∴m ＝－13. 答案 B12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A.1＋25ln 5B.8＋25ln 113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2解析令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m). 答案 C13.(2017·郑州调研)⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝________.解析 ⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11(e x－1)d x .因为⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，则⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，又⎠⎛－11(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e－2，所以⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝π2＋e －1e －2.答案π2＋e －1e－214.在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值.解 S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2，1－t 的面积，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1).令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12.t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23.所以当t ＝12时，S (t )最小，且最小值为14.。

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第三章导数及其应用第3讲定积分与微积分基本定理练习理新人教A 版基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A.e ＋2B.e ＋1C.eD.e －1解析 ⎠⎛01(2x ＋e x)d x ＝(x 2＋e x)⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.故选C.答案 C2.若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )A.2B.3C.4D.6解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a1＝a 2＋ln a －1，∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2. 答案 A3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.12g B.gC.32g D.2g解析电视塔高h ＝⎠⎛12gt d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12gt 221＝32g . 答案 C4.如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( ) A.⎠⎛02|x 2－1|d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02（x 2－1）d x C.⎠⎛02(x 2－1)d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x .答案 A5.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121xd x ，S 3＝⎠⎛12e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A.S 1<S 2<S 3B.S 2<S 1<S 3C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1解析S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ，∵e 2－e ＝e(e －1)＞e ＞73＞ln 2，∴S 2＜S 1＜S 3. 答案 B 二、填空题6.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝________.解析由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x ) ⎪⎪⎪t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去).答案 47.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________.解析根据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0). 因为f (x )的图象过(0，1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1.所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2. 所以S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43. 答案 438.(2017·济南模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案 49三、解答题 9.计算下列定积分：(1)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ； (2)⎠⎛02－x 2＋2x d x ；(3)2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x ；(4)⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ；(5)⎠⎛－22|x 2－2x |d x .解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 1＝32－ln 2；(2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x ＝0，x ＝2，y ＝－x 2＋2x ，以及x 轴围成的图象的面积，即圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的一半，∴⎠⎛02－x 2＋2x ＝π2；(3)原式＝ (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－(－cos 0＋sin 0)＝2；(4)原式＝⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3)d x ＋⎠⎛－111d x ＝0＋x ⎪⎪⎪1-1＝2；(5)∵|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪20＝8. 10.求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积.解作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图象，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点(1，1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝3x ，得交点(3，9)，因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(3x －x )d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝x 2⎪⎪⎪1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－13x 3⎪⎪⎪31＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A.－1B.－13C.13D.1解析由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪1＝13＋2m ＝m ，∴m ＝－13. 答案 B12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A.1＋25ln 5B.8＋25ln 113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2解析令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m). 答案 C13.(2017·郑州调研)⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝________.解析 ⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11(e x－1)d x .因为⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，则⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，又⎠⎛－11(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e－2，所以⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝π2＋e －1e －2.答案π2＋e －1e－214.在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值.解 S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2，1－t 的面积，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1).令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12.t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23.所以当t ＝12时，S (t )最小，且最小值为14.。

2018版高考数学(理)一轮复习文档：第三章导数及其应用3.3含解析

1．定积分的概念在ʃ错误!f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间［a，b]叫做积分区间，函数f（x）叫做被积函数,x叫做积分变量，f（x)d x 叫做被积式．2．定积分的性质（1)ʃ错误!kf(x)d x＝kʃ错误!f（x)d x(k为常数）;(2）ʃ错误![f1(x)±f2(x）]d x＝ʃ错误!f1（x)d x±ʃ错误!f2(x)d x；(3）ʃb，a f(x)d x＝ʃ错误!f（x）d x＋ʃ错误!f（x）d x(其中a<c〈b）．3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b］上的连续函数，且F′（x)＝f（x),那么ʃ错误!f(x）d x＝F（b）－F(a），这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F（x）｜错误!,即ʃ错误!f(x）d x＝F(x）｜错误!＝F(b）－F(a）．【知识拓展】1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．函数f(x）在闭区间[－a，a]上连续，则有（1）若f(x）为偶函数，则ʃ错误!f(x)d x＝2ʃ错误!f(x）d x。

（2）若f（x）为奇函数，则ʃ错误!f(x）d x＝0.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃ错误!f（x)d x＝ʃ错误!f（t）d t。

( √)（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正,则ʃ错误!f（x）d x〉0。

( √）(3)若ʃ错误!f(x)d x〈0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．( ×)（4）微积分基本定理中的F(x）是唯一的．( ×）（5）曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积是ʃ错误!（x2－x）d x。

2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编第三章导数与定积分 Word版含解析

第三章导数与定积分第一节导数的概念与运算题型30 导数的定义——暂无题型31 求函数的导数题型32 导数的几何意义1.(2017北京理19)已知函数()e cos xf x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.解析（1）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1x f x x x '=--，(0)0f '=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =. （2）设()e(c o s s i n )1x hx x x =--，则()e(c o s s i n s i n c o s )2e si n x xh x x x x x x '=---=-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()(0)0h x h =…，即()0f x '….所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.第二节导数的应用题型33 利用导数研究函数的单调性题型34 利用导函数研究函数的极值与最值1.（2017江苏20）已知函数()321f x x ax bx =+++()0,a b >∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）. （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．解析（1）由()321f x x ax bx =+++，得()232f x x ax b =++'，当3a x =-时，()f x '有极小值为23a b -．因为()f x '的极值点是()f x 的零点，所以331032793a a a ab f ⎛⎫-=-+-+= ⎪⎝⎭，又0a >，故2239a b a =+．当()22120a b ∆=-…时，()2320f x x ax b =++'…恒成立，即()f x 单调递增，所以此时()f x 不存在极值，不合题意．因此24120a b ∆=->，即232223192730933a a a a a a a ⎛⎫--+=-=> ⎪⎝⎭，所以3a >．()=0f x '有两个相异的实根1=3a x -，2=3a x -. 列表如下故()f x 的极值点是12,x x ，从而3a >.所以b 关于a 的函数关系式为2239a b a=+，定义域为()3,+∞．（2）解法一：由（1）知，即证明222339a a a ⎛⎫+>⎪⎝⎭，即424439138a a a a ++>，因为0a >，所以问题等价于6341357290a a -+>，不妨设3t a =，则()27,t ∈+∞，不妨设()24135729g t t t =-+，易知()g t 在135,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，且135278<，从而()()227427135277290g t g >=⨯-⨯+=，即6341357290a a -+>得证．因此23b a >．解法二（考试院提供）：由（1+．设()23=9t g t t +，则()22223227=99t g t t t --='．当t ⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g t '>，从而()g t在⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增．因为3a >，所以>，故((g g >=因此23b a >．（3）由（1）设()2320f x x ax b =++='的两个实根为12,x x ，且设12x x <，且有12123123x x a x x b⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此22212469a b x x -+=．而()f x 的情况如下表所示：所以()f x 的极值点是12,x x ，从而()()32321211122211=f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++()()()()222212112212121232322=3333x x x ax b x ax b a x x b x x ++++++++++ ()()221212122=33a x xb x x ++++ 3423227a ab -+324223202739a a a a ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭．记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以()2139h a a a =-+，3a >．处理方法一：因为()223=09h a a a'--<，于是()h a 在()3,+∞上单调递减．因为()76=2h -，由()()6h a h …，故6a …．处理方法二：所以()213792h a a a =-+-…，整理得3263540a a --…（必然可以猜测零点），()()2621290a a a -++…，因此6a …．因此a 的取值范围为(]3,6．评注 ①此题第（2）问考查的是数值大小的比较，常见的有作差法、作商法、两边平方比较法，此题采用作商（考试院解法二）化简函数达到简化效果，可见对于压轴问题，方法的选择是非常关键的．②第（3）问实际考查的是函数零点的应用，下面提供此前我们做过的两个类似习题供参考．案例1：已知函数()2ln f x ax x x =--，若函数()f x 存在极值，且所有极值之和小于5ln 2+，则实数a 的取值范围是．解析因为()12f x a x x =--'221x ax x-+-=()0x >，设()221g x x ax =-+-，当280a ∆=-…时，()0g x …恒成立，所以()f x 单调递减，故不存在极值；所以280a ∆=->，设()2210g x x ax =-+-=的两根为12,x x （不妨设12x x <），从而12102x x =>，因此12,x x 同号，所以问题等价于()2210g x x ax =-+-=在()0,+∞上有两个不相等的实数根12,x x ，因此212128002102a x x x x a ∆=⎧⎪⎪⎪+=>⎨>->⎪⎪=⎪⎩，从而a >所以()f x 的所有极值之和为()()12f x f x +22111222ln l =n ax x x ax x x =--+--()()2121212122ln a x x x x x x x x +-++-2211ln 5ln 2242a a =-+-<+，因此216a <，解得44a -<<，又a >a的取值范围是()． ④另外，如果熟悉三次函数对称中心，此题还可以作如下考虑：即()321f x x ax bx =+++，()232f x x ax b =++'，()62f x x a '+'=，令()620f x x a '=+='，则3a x =-，所以该三次函数的对称中心为,33a a f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此有()()1223a f x f x f ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3233321=a a a a b ⎡⎤=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎢⎣⎭⎥⎥⎦⎝3221273a a b ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦232232102739a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦．这里可以采用假算的思想，即写出简单过程，省去中间过于复杂的运算过程，直接写出结果即可，这需要平时积累一些有价值的素材．案例2：（徐州15-16高二下学期期末文20）已知函数()24ln f x x x a x =-+(),0a a ∈≠R ，()f x '为函数()f x 的导函数．（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若存在实数12,x x ，且12x x <，使得()()120f x f x ''==，求证：()24f x >-．解析（1）若1a =，则()24ln f x x x x =-+，()124f x x x'=-+，所以切线斜率为()11f '=-，又(1)3f =-，所以()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20x y ++=．（2）()22424a x x af x x x x='-+=-+，0x >．①当2a …时，()0f x '…恒成立，所以()f x 的单调增区间为()0,+∞；②当02a <<时，令()0f x '>，得0x <<或x >所以()f x 的单调增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎝⎭，同理()f x 的单调减区间为⎝⎭；③当0a <时，令()0f x '>，得x >所以()f x 的单调增区间为22⎛⎫++∞⎪⎝⎭，同理()f x 的单调减区间为⎛ ⎝⎭．（3）由题意可知，12,x x 是方程2240x x a -+=()02a <<的两根，则()21,2x =，22242a x x =-，所以()222224ln f x x x a x =-+()2222222442ln x x x x x =-+-．令()()22442ln g x x x x x x =-+-，()1,2x ∈．则()()41ln 0g x x x '=-<恒成立，所以()g x 在()1,2上单调递减，所以()()24g x g >=-，即()24f x >-．2.（2017山东理20）已知函数()22cos f x x x =+，()()e cos sin 22x g x x x x =-+-，其中e 2.71828= 是自然对数的底数.（1）求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；（2）令()()()()h x g x af x a =-∈R ，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解析（1）由题意()22f π=π-，又()22sin f x x x '=-，所以()2f 'π=π，因此曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()()222y x -π-=π-π，即222y x =π-π-.（2）由题意得2()e (cos sin 22)(2cos )x h x x x x a x x =-+--+，因为()()()()e c x x h x x x x x x a x x '=-+-+--+--=()()2exx x --()()2xa =，令()sin m x x x =-，则()1cos 0m x x '=-…，所以()m x 在R 上单调递增. 因为(0)0m =，所以当0x >时，()0m x >；当0x <时，()0m x <. （i ）当0a …时，e x a -0>.当0x <时，()0h x '<，()h x 在区间(),0-∞上单调递减；当0x >时，()0h x '>，()h x 在区间()0,+∞上单调递增，所以当0x =时，()h x 取得极小值，极小值为()021h a =--；（ii ）当0a >时，()()()ln 2e esin x ah x x x '=--，由()0h x '=，得1ln x a =，2=0x . ① 当01a <<时，ln 0a <，当(),ln x a ∈-∞时，()0h x '>，此时()h x 单调递增；当()ln ,0x a ∈时，()0h x '<，此时()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，此时()h x 单调递增. 所以当ln x a =时，()h x 取得极大值，极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时，()h x 取得极小值，极小值是()021h a =--； ②当1a =时，ln 0a =，所以当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '…，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值点； ② 当1a >时，ln 0a >，所以当(),0x ∈-∞时，()0h x '>，此时()h x 单调递增；当()0,ln x a ∈时，()0h x '<，此时()h x 单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，()0h x '>，此时()h x 单调递增；所以当0x =时，()h x 取得极大值，极大值为()021h a =--；当ln x a =时，()h x 取得极小值，极小值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a …时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值为()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，极小值是()021h a =--；当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，极大值是()021h a =--，极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.3.(2017北京理19)19.已知函数()e cos xf x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.解析（1）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1x f x x x '=--，(0)0f '=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =. （2）设()e(c o s s i n )1x hx x x=--，则()e(c o s s i n s i n c o s )2e si n x xh x x x x x x '=---=-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()(0)0h x h =…，即()0f x '….所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.4.（2017全国2理11）若2x =-是函数()()21`1e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）.A.1-B.32e --C.35e - D.1解析 ()()2121e x f x x a x a -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦.由()()324221e 0f a a -'-=-++-⋅=⎡⎤⎣⎦，解得1a =-，所以()()211e x f x x x -=--⋅，()()212e x f x x x -'=+-⋅.令()0f x '=，得2x =-或1x =，当2x <-或1x >时，()0f x '>；当21x -<<时，()0f x '<，则()f x 的极小值为()11f =-.故选A.5.(2017浙江理20)已知函数()(1e 2x f x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭…. （1）求()f x 的导函数；（2）求()f x 在区间1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，上的取值范围.解析（1）因为(1x '=，()e e x x --'=-，所以()(()12e 11e e 2x x xx f x x x ----⎛⎫'=->⎪ ⎭⎝=.（2）由()()12e 0x x f x --'==，解得1x =或52x =. 当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表所示.又())211e 02xf x -=…，152211e e 22-->，所以()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的取值范围是1210,e 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.题型35 利用导函数研究函数的图像1.(2017浙江理7)C.函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（）. 解析导数大于零，原函数单调递增，导数小于零，原函数单调递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D ．题型36 恒成立与存在性问题1.（2017天津理20）设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数()4322336f x x x x x a =+--+在区间()1,2内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数. （1）求()g x 的单调区间；（2）设[)(]001,,2m x x ∈ ，函数()()()()0h x g x m x f m =--，求证：()()00h m h x <；（3）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且[)(]001,,2px x q∈ 满足041p x q Aq-…. 解析（1）由a x x x x x f +--+=6332)(234，可得6698)()(23--+='=x x x x f x g ，61824)(2-+='x x x g ，令()01g x x '=⇒=-或14x =. 当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：所以)(x g 的单调增区间是(),1-∞-和1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；单调减区间是11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）证明：由)())(()(0m f x m x g x h --=，0()()()()h m g m m x f m =--，000()()()()h x g x m x f m =--，令10()()()()H x g x x x f x =--，10()()()H x g x x x ''=-，由（1）得，当]2,1[∈x 时，0)(>'x g ，当0[1,)x x ∈，1()0H x '<，1()H x 单调递减；当0(,2]x x ∈，1()0H x '>，1()H x 单调增；所以当]2,(),1[00x x x ∈时，0)()()(0011=-=>x f x H x H ，可得0)(1>m H ，即0)(>m h .令200()()()()H x g x x x f x =--，20()()()H x g x g x '=-. 由（1）可知，)(x g 在]2,1[上单调递增，故当),1[0x x ∈时，0)(2>'x H ，)(2x H 单调递增；故当]2,(0x x ∈时，0)(2<'x H ，)(2x H 单调递减. 当]2,(),1[00x x x ∈时，0)(0)(0)()(02022<⇒<⇒=<x h m H x H x H ，故0)()(0<x h m h .(3)对于任意的正整数q p ,，且]2,(),1[00x x qp∈，令qpm =，函数)())(()(0m f x m x g x h --=，由（2）知，当),1[0x m ∈时，)(x h 在区间内有零点),(0x m ；当]2,(0x m ∈时，)(x h 在区间内有零点),(0m x ，故)(x h 在)2,1(上至少有一个零点，不妨设为1x ，则110()()0p p h x g x x f q q ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（1）得)(x g 在]2,1[上单调递增，故)2()()1(01g x g g <<<. 于是4322340412336()(2)2p p f f p p q p q pq aq q q p x q g x g g q⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+--+⎝⎭⎝⎭-==…. 因为当]2,1[∈x 时，0)(>x g ，故)(x f 在]2,1[单调递增，所以)(x f 在区间]2,1[上除0x 外没有其他的零点，而,0x qp≠故0p f q ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，而a q p ,,是正整数，所以|6332|432234aq pq q p q p p +--+是正整数，从而43223423361p p q p q pq aq +--+…. 即041(2)p x q g q -…，所以只要取)2(g A =，就有041p x q Aq -…. 2.（2017全国3理21）已知函数()1ln f x x a x =--. （1）若()0f x … ，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，21111+1++222n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1，求m 的最小值. 解析（1）解法一：()1ln f x x a x =--，0x >，则()1a x af x x x-'=-=，且(1)0f =，当0a …时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调递增，所以01x <<时，()()10f x f <=，不满足题意；当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减；当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增．① 若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增，所以当(,1)x a ∈时，()(1)0f x f <=，不满足题意； ② 若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减，所以当(1,)x a ∈时，()(1)0f x f <=，不满足题意； ③ 若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f =…，满足题意.综上所述1a =．解法二：因为()10f =，要使()1ln 0f x x a x =--…在()0,+∞上恒成立，则必要条件为()10f x a '=-=，得1a =.当1a =时，()1ln f x x x =--，()1x f x x-'=. 当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；所以1x =为()f x 的极小值点，()()10f x f =…，即1a =满足题意. （2）由（1）知当()1,x ∈+∞时，1ln 0x x -->，令112nx =+，得11ln 122n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以221111111ln 1ln 1ln 1112222222nn n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ，从而2111111e 222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L. 而2e<3<，所以m 的最小值为3．题型37 方程解(零点)的个数问题1.（2017全国1理21）已知函数()()2e 2e xx f x a a x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.解析（1）由于()()2e 2e x x f x a a x =+--，所以()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x x f x a a a '=+--=-+.①当0a …时，e 10x a -<，2e 10x +>，从而()0f x '<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减. ②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．x()ln a -∞-，ln a - ()ln a -+∞，()f x ′ -+()f x极小值综上所述，当0a …时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增. （2）由（1）知，当0a …时，()f x 在R 上单调递减，故()f x 在R 上至多一个零点，不满足条件．当0a >时，()min 1ln 1ln f f a a a=-=-+．令()()11ln 0g a a a a =-+>，则()2110g a a a'=+>，从而()g a 在()0+∞，上单调递增.而()10g =，所以当01a <<时，()0g a <；当1a =时()0g a =；当1a >时，()0g a >. 由上知若1a >，则()min 11ln 0f a g a a=-+=>，故()0f x >恒成立，从而()f x 无零点，不满足条件．若1a =，则()m i n 11ln 0f a g a a=-+==，故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-=，不满足条件；若01a <<，则()min 11ln 0f a g a a =-+=<，注意到ln 0a ->，()22110e e ea a f -=++->，故()f x 在()1ln a --，上有一个实根.而又31ln 1ln ln a a a ⎛⎫->=- ⎪⎝⎭，且33ln 1ln 133ln 1e e 2ln 1a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⋅+---⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦()33132ln 1a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⋅-+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 331ln 10a a ⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 在3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上有一个实根．又()f x 在()ln a -∞-，上单调递减，在()ln a -+∞，单调递增，故()f x 在R 上至多两个实根．综上所述，01a <<．评注对于已知零点个数，求参数的取值范围问题的难点在于验证零点存在性的赋值上，对于一般的赋值方法要把握两点：①限定要寻找0x 的范围，如本题中分别在(),ln a -∞-及()ln ,a -+∞上各寻找一个零点； ②将函数不等式变形放缩，据0x 的范围得出0x .在本题中，实际上在区间(),ln a -∞-上找到0x ，使得()00f x >，则说明()f x 在区间(),ln a -∞-上存在零点，在区间()ln ,a -+∞上找到0x '，使得()00f x '>，则证明()f x 在区间()ln ,a -+∞上存在另一个零点.对于验证零点存在性的赋值问题大家可参见2017《高考数学解答题核心考点（理科版）》154156P P .2.（2017全国3理11）已知函数()()2112e e x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）.A ．12-B ．13C ．12D ．1解析由条件()2112(e e )x x f x x x a --+=-++，得：221(2)1211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )x x x x f x x x a x x x a ----+---=---++=-+-+++= 2112(e e )x x x x a --+-++.所以()()2f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴，由题意，()f x 有唯一零点，故()f x 的零点只能为1x =，即21111(1)121(e e)0f a --+=-⋅++=，解得12a =．故选C.题型38 利用导数证明不等式——暂无题型39 导数在实际问题中的应用——暂无第三节定积分和微积分基本定理题型40 定积分的计算——暂无题型41 求曲边梯形的面积——暂无第四章三角函数第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型42 终边相同的角的集合的表示与识别——暂无题型43 倍角、等分角的象限问题——暂无题型44 弧长与扇形面积公式的计算——暂无题型45 三角函数定义题——暂无题型46 三角函数线及其应用——暂无题型47 象限符号与坐标轴角的三角函数值——暂无题型48 诱导求值与变形——暂无题型49 同角求值——已知角与目标角相同——暂无第二节三角函数的图像与性质题型50 已知解析式确定函数性质1.（2017全国3理6）设函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（）. A ．()f x 的一个周期为2-πB ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称C ．()f x +π的一个零点为6x π=D ．()f x 在上π,2⎛⎫π⎪⎝⎭单调递减解析函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像可由cos y x =向左平移π3个单位长度得到，由图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，所以D 选项错误.故选D.题型51 根据条件确定解析式1.（2017天津理7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（）.A.23ω=，12ϕπ= B.23ω=，12ϕ11π=- C.13ω=，24ϕ11π=- D.13ω=，24ϕ7π= 解析解法一：由题意125π282118k k ωϕωϕπ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--.又22T ωπ=>π，所以01ω<<，从而23ω=.由11212k ϕ=π+π，由ϕ<π，得π12ϕ=.故选A ．解法二：由528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知58x π=为()()2sin f x x ωϕ=+的一条对称轴，点11,08π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，则()11521884T k ππ-=+⨯，又因为2T ωπ= ，即()221=3k ω+.又0ω>，且()f x 的最小正周期大于2π，所以2=3ω，从而52+2832k ϕππ⨯=π+，又ϕ<π，所以=12ϕπ.故选A.2.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R . （1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.解析（1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos 2cos sin x x x=-，sin 22sin cos x x x=，得()c o 23s i n 22s i n 26fxx x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.题型52 三角函数的值域（最值)——暂无题型53 三角函数图像变换1.（2017全国1理9）已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭：，则下面结论正确的是（）.A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C解析 1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+⎪⎝⎭C y x . 首先曲线1C ，2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224C y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+→=+=+→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上各坐短到原的倍点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．注意ω的系数，左右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ，根据―左加右减‖原则，―π4+x ‖到―π3+x ‖需加上π12，即再向左平移π12．故选D. 2.（2017山东理1）设函数()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω<<.已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求ω；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 解析（1）因为()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin2x xωω⎫==⎪⎪⎭sin3xωπ⎫-⎪⎭.由题设知06fπ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以63kωππ-=π，k∈Z.故62kω=+，k∈Z，又03ω<<，所以2ω=.（2）由（1）得()23f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以()4312g x x xπππ⎛⎫⎛⎫=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为3,44xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,1233xπππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当123xππ-=-，即4xπ=-时，()g x取得最小值32-.第三节三角恒等变换题型54 化简求值1.（17江苏05）若π1tan46α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则tanα=．解析解法一（角的关系）：tan tan44ααππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭7tan1746551tan64ααπ⎛⎫-+⎪⎝⎭===π⎛⎫--⎪⎝⎭．故填75．解法二（直接化简）：πtan11tan41tan6ααα-⎛⎫-==⎪+⎝⎭，所以7tan5α=．故填75．2.(2017北京理12)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若1sin3α=，()cosαβ-=___________.解析由题作出图形，如图所示，1sin3α=，则cosα=，由于α与β关于y轴对称，则()1sin sin 3βα=π-=，cos 3β=-，故()117cos 339αβ⎛-=+⨯=- ⎝⎭.3.（2017全国2理14）函数()23s i n c o s 0,42f x x x x ⎛π⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是．解析 ()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，令c o s x t =且[]01t ∈，，214y t =-++21t ⎛=-+ ⎝⎭，当t =，即6x π=时，()f x 取最大值为1． 4.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R . （1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.解析（1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos 2cos sin x x x=-，sin 22sin cos x x x=，得()c o 23s i n 22s i n 26fxx x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.第四节解三角形题型55 正弦定理的应用1.（2017天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （1）求b 和sin A 的值；（2）求πsin 24A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 解析（1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 13a B Ab ==.（2）由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-，故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 2.（2017山东理9）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（）.A.2a b =B.2b a =C.2A B =D.2B A = 解析因为s i n ()2s i n c o s 2s i A C B C A C A C++=+，所以2sin cos sin cos B C A C =，又02C π<<，得2sin sin B A =，即2b a =.故选A.题型56 余弦定理的应用题型57 判断三角形的形状——暂无题型58 解三角形的综合应用1.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．ACA 11容器ⅠE G 1H 1容器Ⅱ解析（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC的平面图形．因为AC =40AM =，所以30MC ==，从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ，过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1（2）如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ，所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥．同理，平面11E EGG ⊥平面1111E FG H ，111O O E G ⊥．记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==．因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==，从而1GG =40==．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-．在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=．因为02βπ<<，所以24cos 25β=，于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭．记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22PQ EG ⊥，2Q 为垂足，则22PQ ⊥平面EFGH ，故2212PQ =，从而22220sin P Q EP NEG==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1评注此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：AC =40AM =，所以30CM ==，1112PQ =，所以由11AP A Q CM △△∽，111PQ AP CM AM =，即1123040AP =，解得116AP =．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ． 2.(2017北京理15)在ABC △中，60A ∠= ，37c a =. （1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC △的面积.解析（1）在ABC △中，因为60A ∠=，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. （2）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以ABC △的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=.3.（2017全国1理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC△的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C 的值；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长.分析本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.解析（1）因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A =，所以21sin 3sin 2a bc A A =，即223sin 2a bc A =.由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠，得2sin sin 3B C =. （2）由（1）得2sin sin 3B C =，又1cos cos 6B C =，因为πA B C ++=，所以()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=.又因为()0πA ∈，，所以60A = ，sin A =，1cos 2A =.由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，所以22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①，②，得b c +=3a b c ++=+ABC △周长为34.（2017全国2理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2s i n 8s i n 2BA C +=．(1)求cos B ;(2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求.b解析（1）依题得21cos sin 8sin84(1cos )22B B B B -==⋅=-．因为22sin cos 1B B +=，所以2216(1cos )cos 1B B -+=，所以(17cos 15)(cos 1)0B B --=，得cos 1B =（舍去）或15cos 17B =. （2）由⑴可知8sin 17B =，因为2ABC S =△，所以1sin 22ac B ⋅=，即182217ac ⋅=，得172ac =.因为15cos 17B =，所以22215217a cb ac +-=，即22215a c b +-=，从而22()215a c ac b +--=，即2361715b --=，解得2b =．5.（2017全国3理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知s i n c o s 0A A =，a =2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．解析（1）由sin 0A A +=，得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，解得4c =.（2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =从而点D 为BC的中点，111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△6.(2017浙江理14)已知ABC △，4AB AC ==，2BC =. 点D 为AB 延长线上的一点，2BD =，联结CD ，则BDC △的面积是___________，cos BDC ∠=__________.解析如图所示，取BC 的中点为O ，在等腰ABC △中，AO OB ⊥，所以AO ==，sin sin 4CBDOBA??，所以B DC △的面积为1sin 22BC BD OBA 创葱=．因为2BC BD ==，所以BDC△是等腰三角形，所以2πC B D B D C??，21cos cos(π2)12cos 4CBDBDC BDC?-?-?-，解得cos BDC ?ODC BA。

导数与积分-2018年高考数学理科三轮冲刺专题

导数与微积分2018年高考数学理科三轮冲刺专题【主题考法】本主题考试题型为选择填空题，与解析几何、函数、立体几何、概率等数学知识结合主要考查常见函数的导数、导数的运算法则，考查利用导数函数研究函数的切线，利用导数研究函数单调性、极值及最值进而研究函数的图象与性质、利用定积分求曲边梯形面积，再利用函数图象与性质处理函数零点、不等式等综合问题，常为压轴题，难度较大，分值为5至10分.【主题回扣】1．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．2．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．3．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．4．定积分的三个公式与一个定理(1)定积分的性质：①ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x；②ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x.③ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．(2)微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．【易错提醒】1．已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则f′(x)＞0(＜0)的解集为(a，b)．2．f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．3.函数在某点的切线与过某点的切线的区别.【主题考向】考向一导数的运算和几何意义【解决法宝】利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P 不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.例1【江西省金溪一中、余江一中等五市八校2018届第一次联考】直线与曲线相切于点，则的值为（）A. B. C. D.【分析】由题知M（1,2）在切线上，将其代入切线方程即可求出k，求出曲线在x=1处的导数即为切线的斜率，即可求出b.考向二利用导数研究函数的性质【解决法宝】利用导数研究函数性质的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数)f'；(x(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式)f'<0.(xf'>0或)(x②若已知函数的单调性，则转化为不等式)f'≤0在单调区间上恒成立问题来求解.(x(xf'≥0或)(4)①若求极值，则先求方程)f'在方程根的左右函数值的符号.(x(xf'＝0的根，再检查)②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程)(x f '＝0根的大小或存在情况来求解.(5)求函数)(x f 在闭区间],[b a 的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值)(a f ，)(b f 与)(x f 的各极值进行比较得到函数的最值.例2 【安徽省池州市2018届高三上学期期末】函数()2ln f x x x m x =-有两个极值点，则实数m 的取值范围是（） A. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭B. (),0-∞C. ()0,1D. ()0,+∞ 【分析】由函数()2ln f x x x m x =-有两个极值点知，)(x f '恰好有两个零点，转化函数y=lnx 与y=2mx ﹣1的图象有两个交点，数形结合即可求出实数m 的取值范围.考向三导数的综合应用【解决法宝】研究方程及不等式问题，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具．基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考．例3【湖北省武汉市2018届二月调研】已知函数，若在恒成立，则实数的取值范围为（） A.B.C.D.【分析】先考虑当1=x 时，当0)1(≥f 时，a 满足的条件，当10<<x 时，参变分离为1ln 22-≥x x x a ，利用导数求1ln 22-=x x x y 的最大值，即可求出a 的取值范围.【解析】当时，恒成立，；当时，即：，令，则，令，则：，则函数在区间上单调递减，，据此可得函数，故函数在区间上单调递增，的最大值为：，综上可得，实数的取值范围为.，故选C .考向四定积分及其应用【解决法宝】(1)求定积分有两种思路，思路1，利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，而求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数；此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分的性质()baf x d x ⎰＝()+()cbacf x d x f x d x ⎰⎰，根据函数的定义域，将积分区间分为几部分，代入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可；思路2，若函数的几何意义明显，且面积易求，常用几何法求定积分. (2)求平面图形的面积是定积分最重要的应用之一，其基本步骤是： ①根据题意画出图形；②找出范围，定出积分上、下限； ③确定被积函数；④写出相应的定积分表达式；⑤用微积分基本定理计算定积分，求得结果．例4 【河南省南阳市一中2018届第八次考试】从图中所示的矩形O A B C 区域内任取一点(),M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为( )A.13B.12C.14D.23【分析】先由定积分求出阴影部分面积，再利用几何概型即可求出点落在阴影部分的概率.【解析】阴影部分的面积为()()122221221x x d x x x x ---⎡⎤--+---=⎣⎦⎰⎰，矩形的面积为2，故点M 取自阴影部分的概率为12，故选B.【热点集训】1. 【湖北省十堰市2018届一练】一物体在变力()25F x x =-（F 的单位：,N x 的单位：m ）的作用下，沿与力F 成30°的方向作直线运动，则由1x =运动到2x =时力()F x 所做的功为（） A3J BC3J D．【答案】C【解析】32212=(5)c o s 30)1233xW x d x x -=-=⎰ ，选C.2.【陕西省西安市2018届上学期期末】()21{231mln x x f x x td t x >=+≤⎰，，，且()()10ff e =，则m 的值为（）A. 1B. 2C. 1-D. 2- 【答案】B【解析】因为233003|,mm t d t t m ==⎰所以()31{21ln x x f x x m x >=+≤，，, ()ln 1f e e ==，()()()31210ff e f m∴==+=，解得2m =，故选B.3.【河南省南阳市2018届上学期期末】已知：，若方程有唯一的实数解，则（） A.B.C.D. 1【答案】B4.【辽宁省朝阳市2018届一模】已知定义在上的奇函数可导，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数的取值范围是（） A. B.C.D.【答案】D 【解析】因为，所以当时，，所以在单调递减，又为奇函数，所以为偶函数，因此由得，选D.5.【甘肃省兰州市2018届高三一诊】定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（）A. B.C.D.【答案】C【解析】令，则其导数，又由，且有，所以，即函数为减函数，又由，则有，即，化简可得，故选C.6.【河南洛阳一高2018届一练】设曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32co s g x a x x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（） A ．[]1,2- B ．()3,+∞ C ．21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由()e x f x x =--，得()e 1xf x '=--，因为11x e +>，所以1(0,1)1xe ∈+，由()32co s g x a x x =+，得()32s i n g x a x'=-，又2s i n[2,2]x -∈-，所以32sin [23,23]a x a a -∈-++，要使过曲线()e x f x x =--上任意一点的切线1l ，总存在过曲线()32co s g x a x x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则230231a a -+≤⎧⎨+≥⎩，解得1233a -≤≤，故选D ．7.【湖北省天门、仙桃、潜江2018届上学期期末联考】已知函数，则其单调增区间是A. （0，1]B. [0，1]C. （0，+∞）D. （1，+∞）【答案】D 【解析】，定义域为，令，解得，故函数单调增区间是，故选8.【广东省河源市2018届一模】已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log)81(log22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >> 【答案】B9.【山西省孝义市2018届模拟卷（一）】已知函数()ln 2x a xf x x-=，若有且仅有一个整数k ，使得()1f k >，则实数a 的取值范围是( ) A. (]1,3 B. 1111ln 2,ln 34262⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C. 11ln 21,ln 3123⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D. 11,1e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】函数()ln 2x a xf x x-=，若有且仅有一个整数k ，使得()1f k >，不等式程()ln 21x a x >+只有一个整数解，在同一坐标系中画出图像，可知这个整数解就是2，故得到()()ln 2221,ln 3321a a >+≤+，解得不等式组解集为1111ln 2,ln 34262⎡⎫--⎪⎢⎣⎭,故选B.10.【山西省晋中市2018届1月适应性调研】已知不等式在上恒成立，且函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】不等式在上恒成立，令,，由图可知，或，即；又在上单调递增，故在上恒成立，，综上，，故选D.11.【黑龙江省哈尔滨市三中2018届一模】设函数，若是函数是极大值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，若因为是函数是极大值点，所以即，所以若时，因为，所以当时，，当时，所以是函数是极大值点，符合题意；当时，若是函数是极大值点，则需，即，综上，故选A.12.【吉林省长春市2018届质量监测（二）】若关于的方程存在三个不等实根，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】原方程可化为，令，则．设，则得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故当时，函数有极大值，也为最大值，且．可得函数的图象如下：∵关于的方程存在三个不等实根，∴方程有两个根，且一正一负，且正根在区间内．令，则有，解得．∴实数的取值范围是．选C ．13. 【河北省衡水市武邑中学2018届高三下学期开学考】已知函数()()232xf x e x a x =+++在区间()1,0-有最小值，则实数a 的取值范围是（）A. 11,e ⎛⎫--⎪⎝⎭ B. 1,3e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 3,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D. 11,3e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D14.【河北省唐山市2018届一模】已知函数，则下列关于的表述正确的是（）A. 的图象关于轴对称B. ，的最小值为C.有个零点 D.有无数个极值点【答案】D【解析】A 因为函数，故函数不是偶函数，图像也不关于y 轴对称；A 不正确；B. 假设，使得的最小值为，即有解，在同一坐标系中画出图像，得到的最大值为2，最小值为2，且不是在同一个x 处取得的，故得到两个图像无交点，故B是错误的;C,其中一个零点为0，另外的零点就是两个图像的交点，两者的图像只有一个交点，故选项不正确； D ，化一得到，，此时满足的x 值有无数个；故选D.15. 【安徽省安庆一中等六校联考】函数()2ln 2f x x x x a x =+-+恰有一个零点，则实数a 的值为（） A. 1- B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D【解析】∵函数()2ln 2f x x x x a x =+-+恰有一个零点∴方程2ln 20x x x a x +-+=在()0,+∞上有且只有一个根，即2ln a x x x=++在()0,+∞上有且只有一个根，令()2ln h x x x x=++，则()()()2222211221x x x x h x xxxx+-+-='=+-=，当01x <<时， ()0h x '<，则()h x 在()0,1上单调递减；当1x >时， ()0h x '>，则()h x 在()1,+∞上单调递增，∴()()m in 13h x h ==由题意可知，若使函数()2ln 2f x x x x a x =+-+恰有一个零点，则()m in 3a h x ==，故选D.16. 【河北省武邑中学2018届第五次调研】欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为02s in b x d x π=⎰ c m的圆面，中间有边长为14a x π=的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴整体(油滴是直径为0.2c m 的球）正好落入孔中的概率是__________．【答案】14π【解析】因为直径为()ππ002s in d 2c o s |4b x x x ==-=⎰的圆中有边长为044π1ππ4a x ==⨯=的正方形，由几何概型的概率公式，得“正好落入空中”的概率为2211π24πS P S ===⨯正方形圆.17. 【湖北省天门、仙桃、潜江2018届上学期期末联考】已知l 为曲线在A （1，2）处的切线，若l 与二次曲线也相切，则______．【答案】4【解析】的导数为曲线在处的切线斜率为则曲线在处的切线方程为，即由于切线与曲线相切可联立得到：又，两线相切有一个切点，，解得.18.【山东省济宁市2018届第一次模】已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意得，因为，所以，所以函数单调递减，由因为为奇函数，，所以，即，解得.19.【江苏省南京师范大学附属中学、天一、海门、淮阴四校2018届联考】已知函数()3221f x x a x a x =+-+在[]1,1-上单调递减，则a 的取值范围是__________．【答案】(][),33,-∞-⋃+∞20.【广东省深圳市2018届高三第一次调研考】曲线1x y e x -=+的一条切线经过坐标原点，则该切线方程为____________. 【答案】2y x = 【解析】设切点为()100,xx e x -+，则1'1x y e-=+，即011x k e-=+，故切线方程为()()0011001x x y ex ex x ----=+-，又切线过原点， ()()001100010x x ex ex --∴--=+-，解得01x=，将01x =代入()()0011001x x y ex ex x ----=+-，可得切线方程为2yx =，故答案为2y x =.21.【江西上饶市2018届第一次模拟】设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】函数存在唯一的整数，使得，设与,即存在唯一的整数，使得在直线下方,,当时,当时,在上单调递减,在上单调递增,所以当时,取到最小值,且g(0)=1;直线恒过点(1,0),斜率为,由图知当时不合题意,故,若要存在唯一的整数，使得在直线下方,则,即,代入得,解得,故填.22.【江苏省盐城中学2018届上学期期末】已知函数()()2ln ,m f x x x gx ex=+-=，其中e 为自然对数的底数，若函数()f x 与)(x g 的图像恰有一个公共点，则实数的取值范围是______．【答案】0m ≥或21e m e +=-【解析】因为()110f x x =+>'，所以函数在()0,+∞上为增函数且1110f e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，所以当0m ≥时，与()m g x x=有一个公共点，当0m <时，令()()22,f x g x x x ln x x m e=∴+-=有一解即可，设22(=h x x x ln x x e+-），令2(=2x +1=0h x lnx e-'+）得1x e=，因为当10x e<<时， ()0h x '<，当1x e<时， ()0h x '>，所以当1x e=时， (h x ）有唯一极小值21e e+-，即()h x 有最小值21e e+-，故当21e m e+=-时有一公共点，故填0m ≥或21e m e+=-.。

2018版高考数学(理)题型全归纳第3章导数(基础版)(3)

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四十九、意志薄弱的人不可能真诚。——拉罗什科
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五十、梦想绝不是梦，两者之间的差别通常都有一段非常值得人们深思的距离。——古龙
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五十一、得其志，虽死犹生，不得其志，虽生犹死。——无名氏
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五十二、所虑时光疾，常怀紧迫情，蹒跚行步慢，落后最宜鞭。——董必武
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五十三、梦想只要能持久，就能成为现实。我们不就是生活在梦想中的吗？——丁尼生
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十一、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。——伏尼契
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十二、世之初应该立即抓住第一次的战斗机会。——司汤达
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十三、哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上的。──鲁迅
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十四、信仰，是人们所必须的。什麽也不信的人不会有幸福。——雨果
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十五、对一个有毅力的人来说，无事不可为。——海伍德
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十六、有梦者事竟成。——沃特
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二十二、世界上最快乐的事，莫过于为理想而奋斗。——苏格拉底
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二十三、“梦想”是一个多么“虚无缥缈不切实际”的词啊。在很多人的眼里，梦想只是白日做梦，可是，如果你不曾真切的拥有过梦想，你就不会理解梦想的珍贵。——柳岩
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二十四、生命是以时间为单位的，浪费别人的时间等于谋财害命，浪费自己的时间，等于慢性自杀。——鲁迅
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十七、梦想只要能持久，就能成为现实。我们不就是生活在梦想中的吗？——丁尼生
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十八、梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实。——林语堂
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十九、要想成就伟业，除了梦想，必须行动。——佚名
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二十、忘掉今天的人将被明天忘掉。──歌德
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二十一、梦境总是现实的反面。——伟格利

课标通用2018年高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4定积分与微积分基本定理学案理2017101

§3.4 定积分与微积分基本定理考纲展示► 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义．考点1 定积分的计算1.定积分的定义一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个________，这个________叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .答案：常数常数 2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，________与________分别叫做积分下限与积分上限，区间________叫做积分区间，函数________叫做被积函数，________叫做积分变量，________叫做被积式．答案：a b [a ，b ] f (x ) x f (x )d x 3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝________(k 为常数)；(2)⎠⎛ab [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝____________；(3)________＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．答案：k ⎠⎛a b f (x )d x ⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x⎠⎛abf (x )d x 4．定积分的几何意义如图：设阴影部分面积为S . (1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；(2)S ＝________； (3)S ＝____________；(4)S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .答案：(2)－⎠⎛a b f (x )d x (3)⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x5．微积分基本定理如果F ′(x )＝f (x )，且f (x )在[a ，b ]上可积，则⎠⎛ab f (x )d x ＝________.其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．可以把F (b )－F (a )记为F (x ) b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x ) ba ＝________.答案：F (b )－F (a ) F (b )－F (a )奇函数、偶函数的定积分．(1)如果f (x )是[－a ，a ]上的连续的偶函数，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝________.(2)如果f (x )是[－a ，a ]上的连续的奇函数，则⎠⎛-aa f (x )d x ＝________. 答案：(1)2⎠⎛0a f (x )d x (2)0[典题1] 求下列定积分： (1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ； (4) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x .[解] (1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎠⎛01(－x 2)d x ＋⎠⎛012x d x ＝－13x 310＋x 210＝－13＋1＝23.(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x ) π0－sin x π0＝2. (3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ＝⎠⎛12e 2xd x ＋⎠⎛121xd x＝12e 2x 21＋ln x 21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (4) ⎠⎜⎛0 π21－sin 2x d x ＝⎠⎜⎛0π4|sin x －cos x |d x＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x ) ⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.[题点发散1] 若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”换为“|2x －1|”，如何求解？解：⎠⎛01|2x －1|d x ＝⎠⎜⎛012 (1－2x )d x ＋⎠⎜⎛121(2x －1)d x ＝(x －x 2) ⎪⎪⎪⎪12＋(x 2－x ) ⎪⎪⎪⎪112＝14＋14＝12. [题点发散2] 若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”改为“－x 2＋2x ”，如何求解？解：⎠⎛01－x 2＋2x d x 表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y＝－x 2＋2x ，得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，故⎠⎛01－x 2＋2x d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，即⎠⎛01－x 2＋2x d x ＝π4.[点石成金] 1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错． 2．根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．1.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈，2]，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.34 B ．45 C.56 D ．不存在答案：C 解析：如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.2．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________．答案：9π4解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y＝0围成的封闭图形的面积．故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝9π4.3．[2017·湖北重点中学高三阶段性统一考试]若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.答案：－4解析：因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛02(x 3－3x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x44－x 320＝－4.考点2 运用定积分求平面图形的面积[典题2] (1)已知曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为S ，则S ＝________.[答案]136[解析] 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32 ＋16x 210＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 231＝23＋16＋43＝136. (2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.[答案] 2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪k0＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2. [点石成金] 1.利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤： (1)画出图形； (2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．2．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.1.由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形的面积是( )A ．1B ．π4C.223D ．22－2答案：D解析：由sin x ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，解得x ＝π4，故图中阴影部分的面积S ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x ) ⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝sin π4＋cos π4－cos 0＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π2－sin π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π4－sin π4 ＝22－2.(本题也可利用图形的对称性求解)2．[2017·山东日照模拟]如图，由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积为________．答案：43解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1，得交点A (－1，－1)，B (1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x 2，y ＝－1得交点C (－2，－1)，D (2，－1)．∴面积S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋x 2d x ＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋1d x ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3410＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 31221＝43.考点3 定积分在物理中的应用[典题3] [2017·湖北武汉调研]一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2[答案] C[解析] 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋＋t 4＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m)． [点石成金] 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦．答案：36解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝5×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x 42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(焦)．[方法技巧] 1.求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强．(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a )．(3)利用定积分的几何意义求定积分． 2．求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限． (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和． (4)计算定积分．[易错防范] 1.被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分． 2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．5．将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷．真题演练集训1．[2014·陕西卷]定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1答案：C解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x ) 10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，故选C.2．[2014·山东卷]直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4答案：D解析：由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 420＝4.3．[2015·天津卷]曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．答案：16解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x ，得A (1,1)．故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＝16. 4．[2015·湖南卷]⎠⎛02(x －1)d x ＝________. 答案：0解析：⎠⎛02(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x 20＝(2－2)－0＝0. 5．[2015·陕西卷]如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．答案：1.2解析：建立如图所示的平面直角坐标系．由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为y ＝225x 2－2，抛物线与x 轴围成的面积S 1＝⎠⎛5－5⎝ ⎛⎭⎪⎫2－225x 2d x ＝403，梯形面积S 2＝＋2＝16.最大流量比为S 2∶S 1＝1.2.课外拓展阅读探究定积分与不等式交汇问题[典例][2016·湖南长沙模拟]如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f (x )＝sin x ；x ∈(0，π)及直线x ＝a ，a ∈(0，π)与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A.7π12 B ．2π3 C.3π4 D ．5π6[审题视角] 先运用定积分求出阴影部分的面积，再利用几何概型概率计算公式求出概率．[解析] 由已知S 矩形OABC ＝a ×6a＝6，而阴影部分的面积为S ＝⎠⎛0a sin x d x ＝(－cos x ) a0＝1－cos a ，依题意有SS 矩形OABC ＝14，即1－cos a 6＝14，解得cos a ＝－12，又a ∈(0，π)，所以a ＝2π3.故选B. [答案] B定积分还可与其他知识交汇，如与二项式定理、数列等知识交汇．方法点睛。

18版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3定积分与微积分基本定理课件理

(2)若 f(x)为奇函数，则ʃa －af(x)dx＝0.
思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
b (1)设函数 y＝f(x)在区间[ a，b] 上连续，则ʃb f ( x )d x ＝ ʃ a af(t)dt.( √ )
(2)若函数 y＝f(x)在区间[ a，b] 上连续且恒正，则ʃb af(x)dx>0.( √ ) (3)若ʃ b af(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的图形一定在 x 轴下方.( × )
(4)微积分基本定理中的F(x)是唯一的.( × )
2 (5)曲线 y＝x2 与 y＝x 所围成图形的面积是ʃ1 ( x －x)dx.( × ) 0
考点自测
x 1.(2017· 福州质检) ʃ1 0(e ＋2x)dx 等于
答案
解析
A.1
B.e－1
C.e
D.e＋1
x x 2 1 ʃ1 (e ＋ 2 x )d x ＝ (e ＋ x )|0＝e＋1－1＝e. 0
3.微积分基本定理
一般地，如果 f(x) 是区间 [a ， b] 上的连续函数，且 F′(x) ＝ f(x) ，那么
F(b)－F(a) ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿— ʃb af(x)dx ＝
莱布尼茨公式.
b F ( x )| a ，为了方便，常把F(b)－F(a)记作
即
ʃb af(x)dx ＝ F ( x )
3.(教材改编)汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间
的1 s内经过的位移是答案
13 A. m 2 B.6 m
解析
15 C. m 2
D.7 m

2018年高考数学总复习第三章导数及其应用 3.3 定积分与微积分基本定理

关闭
∴S=
2 0
(4x-x3)dx=
2��
2
-
1 4
��
4
|02 =4.
π
π
(2)
2
0
(sin x-acos x)dx=(-cos x-asin x)|02 =-a+1=2,a=-1.
(于3)依01A题(.12√意��知-x2,)题dx中=13的,B因.正16此方所形投区的域点的落C面.在14积叶为形1图2=内1D,部.阴13 的影概区域率等的于面13积,故等选关闭 D(1.)D (2)A (3)D
2.已知图形的面积求参数,一般是先画出它的草图;再确定积分的上、下限,确定被积函数,由定积分求出其面积,然后应用方程的思想建立关于参数的方程,从而求出参数的值.
3.与概率相交汇的问题.解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积,再用相应的概率公式进行计算.
考点1 考点2 考点3
-21-
(2) π 0(sin x-cos x)dx= π 0sin xdx- π 0cos xdx=(-cos x)|π 0-sin x|π 0=2.
(3)
2 1
e2�� + 1
��
dx=
2 1
e2xdx+
2 1
��1��dx=12e2x|12+ln x|12 = 12e4-12e2+ln 2-ln
A.√22
B.13
C.12
D.23
如图思,考∵怎满足样题求意定的积图分形与的概面率积的交S=汇01问��题��12d?x=23
��
3 2
|10
=