2017年春季鲁教版五四制八年级数学下学期8.4用分解因式法解一元二次方程导学案
鲁教版数学八年级下册 用公式法解一元二次方程
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
参考答案：
1.x1
2;
x2
3 2
.
2.x1 2 6; x2 2 6.
3.x1 4.x1
2; x2 x2
3
2
6
5 .
.
65879...x..xxx1x11113xx914 3.
4
2
9 2
2. 73
.
我最棒 ,会用公式法解应用题!
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角 形的三边长.
解:设这三个连续偶数中间的一个为x,根据题意得 B
x2 x 22 x 22.
即x2 8x 0.
解这个方程, 得
A
x1 8, x2 0(不合题意,舍去).
C
x 2 6, x 2 10.
答: 三角形的三条边长分别为6,8,10.
3.计算: b2-4ac的值;
4.代入:把有关数值代入公式计算; 5.定根:写出原方程的根. • 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
作业
1. 用公式法解下列方程. 参考答案:
(1). 2x2-4x－1＝0； (2). 5+2＝3x2 ；
解：设门的高为 x 尺，根据题意得
x2 x 6.82 102.
《第八章4用因式分解法解一元二次方程》作业设计方案-初中数学鲁教版五四制12八年级下册
《用因式分解法解一元二次方程》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在使学生掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤和技巧，加深对一元二次方程的理解，提高学生的数学运算能力和解题能力。
二、作业内容作业内容主要包括以下几个方面：1. 掌握因式分解的基本概念和方法，能够正确运用因式分解法对一元二次方程进行分解。
2. 掌握一元二次方程的求解步骤，包括移项、配方、求根等过程，能够运用因式分解法解一元二次方程。
3. 理解一元二次方程的实际应用，能够运用所学知识解决实际问题。
具体内容如下：（一）因式分解法的基本概念和步骤要求学生掌握因式分解法的基本概念和步骤，能够正确运用因式分解法对一元二次方程进行分解。
例如，对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，要求学生能够通过因式分解法将其化为两个一次方程的乘积形式。
（二）一元二次方程的求解过程要求学生掌握一元二次方程的求解过程，包括移项、配方、求根等步骤。
例如，对于已经通过因式分解法得到的一次方程的乘积形式，要求学生能够正确运用求根公式求出方程的解。
（三）一元二次方程的实际应用通过具体的问题和实例，让学生理解一元二次方程在实际生活中的应用，例如求最大值、最小值等问题。
同时，要求学生能够运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
三、作业要求1. 作业内容要具有针对性和层次性，既要涵盖本节课的重点和难点，又要考虑学生的实际情况和接受能力。
2. 要求学生独立完成作业，注重解题过程的书写和表达，规范解题格式和符号使用。
3. 要求学生及时复习巩固所学知识，通过完成作业来加深对一元二次方程的理解和掌握。
4. 对于难点和易错点，教师要在作业中给出相应的提示和解析，帮助学生更好地掌握和理解。
四、作业评价教师根据学生完成作业的情况进行评价，及时指出学生存在的问题和不足，鼓励学生发挥自己的优势和特长。
同时，根据学生的实际情况和需求，对作业内容和难度进行调整和优化。
鲁教版(五四制)八年级下册数学用公式法解一元二次方程课件(共13张)
通过本节课的学习，你有哪些收获？
本节课的主要内容 1.一元二次方程根的判别式的意义 2.由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况，即结论13.由一元二次方程根的情况判断根的判别式的符号，即结论2
本节课你对自己的表现满意吗？自己最精彩的是哪些地方？不足的有哪些？
当堂检测
1.一元二次方程3x2-2x+1=0的根的判别式的值为______ ,所以方程根的情况是_______________. 2.若一元二次方程x2-ax+1=0的两实根相等,则a的值是A.a=0 B.a =2或a =-2 C.a =2 D. a=2或a =0 3. 不解方程,判别下列方程根的情况 x(x +1)=3 4、已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，a和c异号，试证明：此方程必有两个不相等的实数根.
解 ：∵ 2x2+x-4=0 ∴a=2,b=1,c=-4∴Δ=12- 4×2×(-4)=1+32=33＞0 所以:原方程有两个不相等的实数根
一化
二算
三判
活动4.逆向思考 拓展延伸
对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 1.当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞02.当方程有两个相等的实数根时，Δ＝03.当方程没有实数根时，Δ＜0
用公式法解一元二次方程（3）
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式
探究新知，解疑答惑
创设情境，提出问题
提出问题
1.一元二次方程的一般情势是什么？
2.学过哪些解一元二次方程的方法？
3.能力展现：比赛解方程
1. x2+4=4x 2. x2+2x=3 3.x2-x+2=0
鲁教版(五四学制)八年级数学下册课件：用分解因式法解一元二次方程课件
心动 不如行动 你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得
小颖做得对吗?
东平县初中数学
小明做得对吗?
心动 不如行动
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论仍旧是“如果两个因式的积等于零,那么至 东少平有县一初个中因数式学等于零.”
我思 我进步
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
东平县初中数学
课堂小结
1.当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因 式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分 解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.
2.分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键 是熟练掌握因式分解的知识,理论仍旧是“如果两个因式的 积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
至少有一个x一－次2因=式0或为零x得+4到=两0个一元一次方程
两个一元∴一x次1=方2程,x的2解=-就4 是原方程的解
东平县初中数学
快速回答：下列各方程的根分别是多少？ AB=0A=0或Ｂ＝０
东平县初中数学
想一想 先胜为快
2.一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个 解数：设这个数为x,根据题意,得
鲁教版(五四制)八年级下册数学用公式法解一元二次方程课件
C、a=-2，b=3， c=-1 D、a=-1，b=3，c=-2
应用新知 解决问题
1.用公式法解一元二次方程
3x2 - 2x = 1
2.根据例题自己总结一下用公式法 解一元二次方程的一般步骤：
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1.变形:化已知方程为一般情势; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.代入:把有关数值代入求根公式计算;
变形为： (x
b 2a
)2
b2 4ac 4a2
❖∵a≠0 ∴4a2＞0完成下列填空：
❖（1） 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
根的情况取决于
的值的符
号。
迁移应用 拓展能力
❖ （2）某同学判断方程：x2+2（k-2） +k2+4=0的根的情况解答如下：
❖ 解：b2-4ac=4（k-2）2-4（k2+4）=-16k ❖ ∵-16k＜0 ❖ ∴b2-4ac＜0 ❖ ∴原方程无实数根，若有错，请指出并
说明理由。
迁移应用 拓展能力
2、等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的 两根，则这个等腰三角形的周长是（ ） A、8 B、10 C、8或10 D、不能确定
课堂小结 自主评价
1、通过本节课的学习，同学们有哪些收获 呢？ 2、 你认为在应用求根公式解一元二次方 程时还应注意些什么问题？
课堂检测 收获知识
方; ❖ 4、变形:方程左边分解因式,右边合并同类项; ❖ 5、开方:根据平方根意义,方程两边开平方; ❖ 6、定解:写出原方程的解.
自主学习
你能用配方法解方程 ： ax2+bx+c=0(a≠0)
鲁教版五四制八年级下册数学第八章 一元二次方程 一元二次方程
C．10＋10(1＋x)＋10(1＋2x)＝36.4
D．10＋10(1＋x)＋10(1＋x)2＝36.4
夯实基础
10．若关于x的方程(k－3)x|k|－1－x－2＝0是一元二次方程， 则不等式kx－2k＋6≤0的解集为___x_≥_4_________．
错解：x≤0或x≥4 诊断：当方程是一元二次方程时，不仅要使未知数的 最高次数是2，还要使二次项的系数不为0.本题就是忽 视了二次项的系数k－3≠0这一条件，而导致错解．
经济效益，沿线某地区居民2015年年人均收入200美元，2017年年人
均收入达到1 000美元，设2015年到2017年该地区居民年人均收入平
均增长率为x，可列方程为( )
A．200(1＋2x)＝1 000
B
B．200(1＋x)2＝1 000
C．200(1＋x2)＝1 000
D．200＋2x＝1 000
夯实基础
8．【中考·白银】如图，某小区计划在一块长为32 m，宽
为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空
地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2，若设道路的宽
为x m，则下面所列方程正确的是( )
A．(32－2x)(20－x)＝570
B．32x＋2×20x＝32×20－570
C．(32－x)(20－x)＝32×20－570
夯实基础
5．若关于x的方程2x2＋mx＝4x＋2中不含x的一次
项，则m等于( B ) A．0 B．4 C．－4
D．±4
夯实基础
6．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋|m|－1＝0
的常数项为0，则m等于( ) B
A．1 B．－1
C．1或－1
D．0
8.4用因式分解法法解一元二次方程鲁教版(五四制)八年级数学下册-课件
2x 3 0，或 x 1 0.
x1
-
3 2
,
x2
1.
注：提公因式时，注意符号变化.
解：2(x 4)2 (x 4)( x 4)，
2(x 4)2 - (x 4)( x 4) 0，
(x 4)2(x 4) - (x 4) 0.
x 4 0,或 x 12 0. x1 4，x2 12.
∴2x+1=0, 或 4x-3=0.
1
3
x1 2 , x2 4
学以致用
2.用因式分解法解下列方程：
(1) 2xx 1 3 3x; (2) 2(x 4)2 x2 16;
解：2x(x 1) 3(1 x)，
2x(x 1) - 3(1 x) 0，
2x(x 1) 3(x 1) 0，
(2x 3)(x 1) 0.
小亮是这样解的 :
解 :由方 x2程 3x,得 x23x0.
xx30.
x0,或 x30. x10,x23么 a 0或 b 0 即,如果两个因式的积等0于, 那么这两个数至少有个 一为0.
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个 一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这 种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.
典型例题
例2： 用因式分解法解方程:
（1）x2-4=0；
（2）(x+1)2-25=0.
解：原方程可变形为： 解：原方程可变形为：
(x+2)(x-2)=0,
[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0.
∴x+6=0,或x-4=0.
∴x1=-2, x2=2.
∴x1=-6, x2=4.
八年级数学下册《因式分解法解一元二次方程》教案、教学设计
4.设计不同难度层次的习题，使学生在巩固基础知养其创新思维。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生学习数学的积极性；
2.培养学生勇于面对困难，敢于挑战自我的精神，使其在解决问题中增强自信心；
4.家长签字确认，加强对学生学习情况的了解和关注。
4.加强团队合作指导，提高学生的沟通协作能力；
5.关注学生个体差异，实施差异化教学，激发学生的学习兴趣和潜能。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：因式分解法解一元二次方程的步骤和方法，以及在实际问题中的应用。
2.难点：
（1）理解一元二次方程的根的判别式及其与因式分解的关系；
（2）灵活运用因式分解法解决各种类型的一元二次方程；
4.能够根据一元二次方程的特点，选择合适的解法，提高解题效率；
5.通过练习，提高学生的运算速度和准确性。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，教师将采用以下过程与方法：
1.引导学生通过观察、分析、归纳一元二次方程的特点，发现因式分解法解一元二次方程的规律；
2.通过讲解、示范、练习等多种方式，帮助学生掌握因式分解法解一元二次方程的方法；
（4）注重课堂反馈，及时调整教学进度和策略，提高教学效果。
3.教学评价：
（1）采用过程性评价与终结性评价相结合的方式，全面评估学生的学习效果；
（2）关注学生在小组合作中的表现，评价其团队协作能力和沟通能力；
（3）设置开放性问题，评价学生的创新思维和解决问题的能力；
（4）鼓励学生自我评价和相互评价，提高学生的自我认知和反思能力。
八年级数学下册《因式分解法解一元二次方程》教案、教学设计
鲁教版(五四制)八年级下册用公式法解一元二次方程课件
(a≠0, b2-4ac≥0)
例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0
解: a=2, b=5, c= -3,
①
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49 ②
1、把方程化成一般情势。 并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 :
∴x=
=
= 即 x1= - 3 , x2=
X= ③
4、写出方程的解: x1=?, x2=?
这是收获的 时刻，让我 们共享学习 的成果
三、当 b2-4ac=0时，一元二次
方程有两个相等的实数根。
当 b2-4ac＞0时，一元二次 方程有两个不相等的实数根。
当 b2-4ac＜0时，一元二次 方程没有实数根。
四、计算一定要细心，尤其是 计算b2-4ac的值和代入公式时， 符号不要弄错。
当 b2-4ac=0 时，一 元二次方程有两个相等 的实数根。
随堂 2.用公式法解下列方程： 练习
(3)4x2-3x+2=0
一元二次方程根的情况
解:
当 b2-4ac>0 时，一
a 4,b 3,c 2
元二次方程有两个相等 的实数根。
b2 4ac 9 32 23 0 当 b2-4ac=0 时，一
一、由配方法解一般的一元二
次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
若 b2-4ac≥0 得
求根公式 : X=
这是收获的 时刻，让我 们共享学习 的成果
二、用公式法解一元二次方 程的一般步骤：
1、把方程化成一般情势。 并写 出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
8.4用因式分解法解一元二次方程_课件_1
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1) x( x 2) 0
x1 0, x2 2
2 1 (3)(3x 2)( 2 x 1) 0 x1 , x2 3 2 2 (4) x x x1 0, x2 1
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
复习引入: 已学过的一元二次方程解 法有哪些？
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法? X2=a (a≥0) 直接开平方法 2=k (k≥0) (x+h) 配方法
公式法
b b 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
2
复习回顾（二）
1.什么叫分解因式?
把一个多项式变成几个整式乘积 的形式叫做分解因式. 2.我们学习过哪几种分解因式的方法？ 3.把下列各式分解因式(1)x2-3x (2) 3x(x 2) 5(x 2) (3)(x+1)2-25 (4)x2-4x+4 (5)x2-5x+6
解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A
=0或 一次因式B =0
∴ x 1= A解 , x 2= B解
小
结：
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1方程右边化为 零。 2将方程左边分解成两个 一次因式 的乘积。 3至少 有一个 因式为零，得到两个一元 一次方程。 一元一次方程的解 4两个 就是原方程的解 2.解一元二次方程的方法：
引例.解方程 (1)x2-3x=0 (2)x2-9=0 你还有没有其他的方法？试一试。
例1、解下列方程
(1)3x( x 2) 5( x 2)
《第八章4用因式分解法解一元二次方程》作业设计方案-初中数学鲁教版五四制12八年级下册
《用因式分解法解一元二次方程》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业的目标是让学生掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤和技巧，通过实际操作，巩固所学知识，并能够运用因式分解法解决实际问题。
二、作业内容因式分解法解一元二次方程是初中数学的重要知识点，为确保学生能够熟练掌握，本次作业内容安排如下：1. 理论知识复习：复习因式分解法的基本概念、步骤及在解一元二次方程中的应用。
2. 典型题目练习：- 选编五个典型的一元二次方程题目，要求每个题目包含详细的因式分解过程。
- 包括正数、负数以及需要运用配方法求解的方程等不同类型题目。
3. 实际问题的解决：- 安排两个实际背景的一元二次方程问题，如利用因式分解法解决路程、速度与时间等实际问题。
- 让学生将所学的因式分解法应用到实际问题中，锻炼学生的实际应用能力。
4. 自主探究题目：- 设计一到两个需要学生自主探索的一元二次方程题目，鼓励学生在课本外寻找灵感。
- 旨在培养学生独立思考和解决问题的能力。
三、作业要求1. 学生需在规定时间内独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 作业中应包含完整的解题步骤和过程，对于因式分解法应详细阐述其过程。
3. 答案需准确无误，如有错误应及时订正。
4. 鼓励学生在自主探究题目中提出自己的见解和解题思路。
四、作业评价1. 教师将根据学生作业的完成情况、解题步骤的完整性、答案的准确性等方面进行评价。
2. 对于优秀的作业，教师将给予表扬和鼓励，并在课堂上进行展示。
3. 对于存在问题的作业，教师将及时指出并要求学生订正。
五、作业反馈1. 教师将在下一课时对本次作业进行反馈和总结，指出学生在解题过程中出现的问题及改进方向。
2. 对于学生普遍存在的问题，教师将进行重点讲解和指导。
3. 通过作业反馈，帮助学生更好地掌握因式分解法解一元二次方程的技巧和方法。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生在上一课时所学的因式分解法解一元二次方程的知识，通过实践操作，加深学生对因式分解法解一元二次方程的理解和掌握，提高学生的解题能力和数学思维能力。
鲁教版(五四制)八年级下册数学一元二次方程的应用销售利润问题课件
8.6一元二次方程的销售问题中的等量关系。
2.会用一元二次方程按步骤解决有关销售 利润问题。
3.以一元一次方程解决的实际问题为载体， 使学生初步掌握数学建模的基本方法。
情景创设
小明在花店共卖出200支玫瑰，每支的 进价为6元，售价为10元 （1）每支的利润是多少元？ （2）总利润是多少元；
答：该店应按原售价的9折出售
定价为40+10=50(元)
总结反思
通过这节课的学习活 动你有哪些收获？ 你还有什么疑惑吗？
送你一句话共勉
学无止境，迎难而上 ......
相信同学们都会成为数学高手.
拓展延伸 中考链接
（2012山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价 为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可 售出100千克，为尽快减少库存，商场决定采取适 当的措施，后来经过市场调查发现，单价每降低2 元，则平均每天的销售可增加20千克，若每天该 专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元， 请回答：
（10-6）x 200=800（元）
等量关系：
单件利润×销售量=总利润
情景创设
促销活动： 销售价每支降低2元，多卖出100件。
1、降价后，你们发现了什么？ 2、售价的变化，引起了哪些量的变化？
例 小明走进新华商场，调查发现销售某种冰箱,每
台进价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900 元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时, 平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利 润平均每天达5000元,每台冰箱应降多少元?
)=1600
等量关系是:每件服装的利润 每天售出的数量=1600
启示引导 某商场将进货价为30元的台灯以
40元售出,平均每月能售出600个.市场调研表明: 当销售价为每上涨1元时,其销售量就将减少10 个.商场要想销售利润平均每月到达10000元,同 时也让顾客获得最大的实惠，每个台灯的定价 应为多少元?
数学八年级下册大单元教学一元二次方程教学 单元整体设计
一元二次方程大单元整体备课一、课标分析“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性.数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发展几何直观和运算能力。
本章的具体要求：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等；了解一元二次的根与系数的关系；能根据具体问题的实际意义，检验方程解得合理性。
二、教材分析本单元属于“数与代数”中方程与不等式的内容，是鲁教版八年级下册第八章，也是初中学段“数与代数”研究的重要内容之一.本单元共包括7节，具体内容包括一元二次方程，用配方法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的应用.这些内容既是对代数式、一元一次方程、二元一次方程组和可以化为一元一次方程的分式方程、因式分解、实数、二次根式的巩固、加深和发展，又是今后学习二次函数的基础.因此，本单元内容在学生的数学学习中具有承上启下的重要地位，同时，本单元内容也是解决物理等其他学科问题的重要工具。
单元数学要素六年级上册第三章整式及其加减中的代数式六年级上册第四章一元一次方程七年级上册第四章实数七年级下册第七章二元一次方程组八年级上册第一章因式分解八年级下册第七章二次根式九年级上册第三章二次函数三、教材的呈现方式本章在呈现方式上：1、通过丰富的实例，如“地毯四周有多宽”“梯子的底端滑动多少米”等问题，建立一元二次方程，让学生通过观察归纳出一元二次方程的有关概念，从中体会方程的模型思想。
2、在第二至四节探索方程解法的过程中，并未单纯地进行解方程的训练，而是适当设计一些应用题，并在三种解法之后又安排了有关的应用内容。
3、三、学习目标1.经历从具体情境中抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.2.理解一元二次方程及其相关概念，理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。
难点详解鲁教版(五四制)八年级数学下册第八章一元二次方程重点解析练习题(无超纲)
鲁教版（五四制）八年级数学下册第八章一元二次方程重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知直角三角形的两条边长分别是方程x 2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（ ）A ．4或5B ．3CD ．32、用配方法解方程2x 4x 2-=，下列配方正确的是（ ）A ．2(2)4x -=B ．2(2)6x +=C ．2(2)8x -=D ．2(26)x -=3、用配方法解方程x 2－8x ＋1＝0时，配方所得的方程为（ ）A ．（x －4）2＝15B ．（x －4）2＝17C ．（x ＋4）2＝15D ．（x －8）2＝154、若1x =是方程210x ax --=的一个根，则a 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．11D ．25、若关于x 的一元二次方程（x ﹣2）（x ﹣3）＝m 有实数根x 1，x 2，且x 1≠x 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞﹣14B ．m ＜﹣14C ．m ≥﹣14D ．m ≤﹣146、将一元二次方程2231x x +=化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（）A．22x，3，－12x，－3，1 B．2C．2-，3，12x2x-，－3，－1 D．27、如图所示，在长方形ABCD中，AB=BC上取一点E，连接AE、ED，将ABE△沿AE翻折，点B落在点B'处，线段EB'交AD于点F．将ECD沿DE翻折，点C的对应点C'恰好落在线段EB'上，且点C'为EB'的中点，则线段EF的长为（）A．3 B．C．4 D．8、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，每个支干长出的小分支数目为（）A．12 B．11 C．8 D．79、社区医院十月份接种了新冠疫苗100份，十二月份接种了392份．设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．100（1+x）2＝392 B．392（1﹣x）2＝100C．100（1+2x）2＝392 D．100（1+x2）＝39210、一元二次方程2320+-=的根的情况是（）x xA．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若p 2﹣3p ﹣5＝0，q 2﹣3q ﹣5＝0，且p ≠q ，则21q ＋21p ＝______． 2、若实数x 满足22522510x x x x ++++=，则221x x+=___________． 3、若关于x 的一元二次方程(k -1)x 2+4x +2=0有实数根，则k 的取值范围是______．4、关于x 的一元二次方程2230x x c -+=有两个不相等的的实数根，则c 的取值范围是______．5、一元二次方程x 2﹣3x ＝0的解是_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、解方程：()23620x x x -+=．2、毕节市大方县某口罩厂今年7月份的生产成本是1000万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，9月份的生产成本是810万元．假设该公司7,8,9月每个月生产成本的下降率都相同．(1)求每个月生产成本的下降率；(2)若月平均下降率不变，请求10月份该公司的生产成本．3、解下列方程：(1)23410x x ++=（配方法）(2)()()2233x x x -=-(适当方法）4、某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了144万元．(1)求二月份的销售额；(2)求三、四月份销售额的平均增长率．5、如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地花圃ABCD ，AB 边上留有2米宽的小门EF （用其他材料做，不用篱笆围）矩形场地面积能为160平方米吗?请说明理由．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】先利用因式分解法解得14x =，25x =，然后分类讨论：当两直角边分别为4和5或斜边为5，再利用勾股定理计算出第三边．【详解】解：解方程29200x x -+=得14x =，25x =，当两直角边分别为4和5，则第三边的长=当斜边为5，第三边的长3=，所以此三角形的第三边长为3故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解．2、D【解析】【分析】在方程的左右两边同时加上一次项系数-4的一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．【详解】2-=x4x224424x x-+=+2x-=(26)故选D．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握配方法的基本步骤．3、A【解析】【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方．【详解】解：移项，得281-=-，x x配方得，2816116x x-+=-+，2x-=．(4)15故选：A．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．4、B【解析】【分析】将1x =代入方程210x ax --=中即可求出a 的值．【详解】解：将1x =代入方程210x ax --=中，可得2110--=a即0a =故选：B ．【点睛】此题考查了一元二次方程的系数问题，掌握代入法是解题的关键．5、A【解析】【分析】先整理方程，根据方程有实数根和x 1≠x 2得出Δ＞0，求出即可．【详解】解：∵（x ﹣2）（x ﹣3）＝m ，∴x 2﹣5x +6﹣m ＝0，∵关于x 的一元二次方程（x ﹣2）（x ﹣3）＝m 有实数根x 1，x 2，且x 1≠x 2，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣m ）＞0，解得：m ＞﹣14，【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a 、b 、c 为常数，a ≠0），当Δ＝b 2﹣4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b 2﹣4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b 2﹣4ac ＜0时，方程没有实数根．6、B【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：2231x x +=化成一元二次方程一般形式是22310x x +-=，它的二次项是22x ，一次项系数是3，常数项是−1．故选：B ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．7、A【解析】【分析】设B F '长为x ，根据图形沿着某条边折叠所得的两个图形全等，得出A B '=AB =CD =C 'D ，====90AB E ABE B C D C ''∠'∠∠∠︒，利用AAS 再证''∆≅∆AB F DC F ，F 即是AD 的中点，已知AB =根据边之间的长度关系列出等式4222B E BE x BC EC AF x x '===-=-=，解方程即可．解：设B 'F 长为x ，∵ABE △沿AE 翻折，点B 落在B '处，ECD 沿DE 翻折，使点C 的对应点C '落在线段EB '上， ∴A B '=AB =CD =C 'D ，====90AB E ABE B C D C ''∠'∠∠∠︒，在△AB′F 和△DC′F 中B DC F B FA C FD AB DC ''''''∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴''∆≅∆AB F DC F （AAS ），∴B F '='=C F x ，AF =DF ，∴2AD AF ====∵点C '为EB '的中点，∴4222B E BE x BC EC AF x x '===-=-=，∴42x x =，得1x =，经检验1x =是方程的解，并符合题意，∴333EF B F x '===．故选：A ．本题考查图形折叠问题，矩形性质，三角形全等判定与性质，勾股定理等知识，掌握以上知识是解题关键．8、A【解析】【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程求得x的值．【详解】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：x2+x+1=157，即（x+13）（x-12）=0，解得：x=12或x=-13（不合题意，应舍去）；∴x=12．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意用x分别表示主干、支干、小分支的数目，列方程求解是解决问题的关键．9、A【解析】【分析】设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x，根据该社区医院十二月接种疫苗的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x ，根据题意得：100（1+x ）2=392．故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10、A【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．【详解】解：∵在方程2320x x +-=中，()23412170∆=-⨯⨯-=>，∴一元二次方程2320x x +-=有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当0∆>时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．二、填空题1、1925【解析】【分析】根据已知得出p 和q 是方程2350x x --=的两根，根据根与系数的关系得出3p q +=，5pq =-，再通分，根据完全平方公式变形，最后代入求出即可．【详解】解：2350p p --=，2350q q --=，且p q ≠，p ∴和q 是方程2350x x --=的两根，由根与系数的关系得：3p q +=，5pq =-， 所以2211q p +，2222p q p q+=， 22()2()p q pq pq +-=， 2232(5)(5)-⨯-=-，1925=， 故答案为：1925． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，解题的关键是能求出3p q +=和5pq =-． 2、7【解析】【分析】 根据原式变形得到22125011x x x x ⎛ ⎫++++= ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭，设1t x x =+，解关于t 的方程，再整体代入计算． 【详解】 解：∵22522510x x x x++++=， ∴22125011x x x x ⎛ ⎫++++= ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭，设1t x x=+，则()225021t t ++=-， 解得：3t =-或12t =， ∴222121x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭=7或222121x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭=74-（舍）， 故答案为：7．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解一元二次方程，解题的关键是要熟练运用完全平方公式变形，掌握整体思想的运用．3、k ≤3且k ≠1##k ≠1且k ≤3【解析】【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ=b 2-4ac ≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程（k -1）x 2+4x +2=0有实数根，∴k -1≠0且Δ=42-4（k -1）×2≥0，解得：k ≤3且k ≠1．故答案为：k ≤3且k ≠1．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ=b 2-4ac ≥0，找出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．4、98c <【解析】【分析】因为关于x 的一元二次方程2230x x c -+=有两个不相等的实数根，所以Δ＝b 2﹣4ac ＞0，建立关于c 的不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2230x x c -+=有两个不相等的实数根，∴23Δ42980c c -=-⨯⨯=->（）， 解得：98c <， 故答案为：98c <． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．列出判别式进行准确求解是解题的关键．5、x 1=0，x 2=3## x 1=3，x 2=0【解析】【分析】利用因式分解法解方程．【详解】解：x 2﹣3x ＝0x （x -3）=0，∴x =0或x -3=0，所以x 1=0，x 2=3．故答案为：x 1=0，x 2=3．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．三、解答题1、x1=-2，x2=5．【解析】【分析】整理为一般式后，再利用因式分解法求解即可．【详解】解：整理，得：x2-3x-10=0，∴（x+2）（x-5）=0，则x+2=0或x-5=0，解得x1=-2，x2=5．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2、 (1)10%(2)729万元【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据该公式9月份及11月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据12月份的生产成本=11月份的生产成本×（1-下降率），即可求出结论．(1)设每个月生产成本的下降率为x根据题意得：1000（1﹣x ）2=810解得：x 1=0.1=10%，x 2=1.9（不合题意，舍去）答：每个月生产成本的下降率为10%(2)810×（1﹣10%）=729（万元）．答： 10月份该公司的生产成本是729万元。
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因式分解法
学习目标：
1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
学习重点、难点
重点：应用分解因式法解一元二次方程
难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
学习过程：
一、旧识巩固： 解下列方程．
（1）2x 2+x-1=0（用配方法） （2）3x 2+6x+1=0（用公式法）
二、自学新知：（学习课本68—69页 内容完成下列问题）
探究：仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？
1、对于一元二次方程，先因式分解使方程化为__________ _______的形式，再使_________________________，从而实现_____ ___________，这种解法叫做__________________。
2、如果0a b ⋅=，那么0a =或0b =，这是因式分解法的根据。
如：如果(1)(1)0x x +-=，那么10x +=或_______，即1x
=-或________。
练习1、说出下列方程的根：
（1）(8)0x x -= （2）(31)(25)0x x +-=
练习2、用因式分解法解下列方程：
(1) x 2-4x=0 (2) 4x 2-49=0 (3) 5x 2-10x+20=0
(4) (2)20x x x -+-=
三、当堂训练：
1、一元二次方程0)1(=-x x 的解是（ ）
（A ）0=x （B ）1=x （C ）0=x 或1=x （D ）0=x 或1-=x
2．方程（x+4）（x-5）=1的根为（ ）
A ．x=-4
B ．x=5
C ．x 1=-4，x 2=5
D ．以上结论都不对
一元二次方程x 2=2x 的根是
A ．x=2
B ．x=0
C ．x 1=0, x 2=2
D ．x 1=0, x 2=－2
4、一元二次方程x（x－2）=2－x的根是（）
－1 B．2 C．1和2 D．－1和2
5、若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（）
A．（x+5）（x-7）=0 B．（x-5）（x+7）=0
C．（x+5）（x+7）=0 D．（x-5）（x-7）=0
6、用因式分解法解下列方程
（1）4x2-144=0 （2）(2x-1)2=(3-x)2 （3）3x2-12x=-12 （4）3x(2x+1)=4x+2 （5）x2-2x-8=0
7、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径。