2016-2017学年高中数学 第四章 圆与方程章末知识方法专题小结课件

D＝－10， 解得E＝－9， F＝39.
所以所求圆的方程为 x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
二、直线与圆的位置关系问题 讨论直线与圆的位置关系时，一般可以从代数特征(方程组 解的个数 ) 或几何特征 ( 直线到圆心的距离与半径的关系 ) 去考 虑，其中用几何特征解决与圆有关的问题比较简捷实用．如直 l 线与圆相交求弦长时，利用公式(2)2＋d2＝r2(其中，弦长为 l， 弦心距为 d，半径为 r)比利用代数法求弦长要简单实用．
(2)直线 AB 即为这两个圆的公共弦所在直线． 由 x2＋y2－2x＋y－14＝0 与(x－4)2＋(y－2)2＝9 相减，得 6x＋5y－25＝0. (3)设 AB，PC 交于点 Q， |6· －2＋5· －3－25| 52 则|PQ|＝ ＝ ， 2 2 61 6 ＋5 |6×4＋5×2－25| 9 |CQ|＝ ＝ . 61 62＋52 在 Rt△PCA 中，因为 AQ⊥PC ，由平面几何知 |AQ|2 ＝ 52 9 468 468 12 · ＝ .|AB|＝2|AQ|＝2· 61 ＝61 793. 61 61 61
第四章
圆与方程
章末知识方法专题小结
一、圆的方程问题 1．关于求圆的方程，可以用直接法，即由条件直接求 圆心和半径，但基本方法是以待定系数法为主，在设方程 时应根据条件选择使用标准方程还是一般方程，若题目给 出圆心坐标等关系，则采用标准方程；若已知圆上多个点 的坐标，则采用一般方程． 2．另外注意，用动点轨迹的方法求圆的方程时，除定 义外还有其他等量关系，如动点到两定点连线互相垂直、 动点到两定点的距离的比是常数等．
方法 3：设圆的一般方程求解． 设圆的方程为 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F＝ 0 ，由 CA⊥l ， A(3,6)，B(5,2)在圆上，得 32＋62＋3D＋6E＋F＝0， 2 5 ＋22＋5D＋2E＋F＝0， E － －6 4 2 ×3＝－1. D － －3 2
2 2
b＝± 2. 观察图象， 可得当 b＝－ 2或－1<b≤1 时， 直线与曲线 x＝ 1－y2有且仅有一个公共点．
[答案] B
[点评] 数形结合是十分重要的解题思想方法， 要注意 曲线 x＝ 1－y2为圆 x2＋y2＝1 的右半圆，由两曲线的交点 情况在图中极易得到 b 的取值范围，注意 b＝－ 2的求法．
[例 1]
有一圆 C 与直线 l：4x－3y＋6＝0 相切于点
A(3,6)，且经过点 B(5,2)，求此圆的方程．
[解] 方法 1：由题意可设所求圆的方程为(x－3)2＋(y
－6)2＋λ(4x－3y＋6)＝0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2) 代入圆的方程求得 λ＝－1， 所以所求圆的方程为 x2＋y2－10x －9y＋39＝0. 方法 2：设圆的标准方程，寻找三个方程构成方程组求 解．设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心为 C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，得
2 2 2 3 － a ＋ 6 － b ＝ r ， 5－a2＋2－b2＝r2， b－6 4 ×3＝－1， a－3 2
a＝5， b＝9， 解得 2 25 2 r ＝ . 4
9 2 25 所以圆的方程为(x－5) ＋(y－2) ＝ 4 .
[解 ]
(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2,0)
为圆心， 3为半径的圆． y 设x＝k，即 y＝kx，当直线 y＝kx 与圆相切时，斜率 k |2k－0| 取得最大值和最小值，此时有 2 ＝ 3，解得 k＝± 3. k ＋1 y 故x的最大值为 3，最小值为－ 3.
(2)设 y－x＝b，即 y＝x＋b.当 y＝x＋b 与圆相切时，纵截 |2－0＋b| 距 b 取得最大值和最小值，此时 ＝ 3，即 b＝－2± 6. 2 故(y－x)max＝－ 2＋ 6，(y－x)min＝－2－ 6. (3)x2＋y2 表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知 识可知其在原点和过圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最 大值和最小值．又圆心到原点的距离为 2，故(x2＋y2)max＝(2＋ 3)2＝7＋4 3，(x2＋y2)min＝(2－ 3)2＝7－4 3.
[解]
(1) 如图所示，连接 CA ， CB. 由平面几何知， CA⊥PA ， CB⊥PB.这些点 P，A，C，B 共圆，且 CP 为直径．这也是过三 点 A，B，C 的圆． ∵P(－2，－3)，圆心坐标为 C(4,2)， ∴所求圆的方程为(x＋2)(x－4)＋(y＋3)(y－2)＝0，即 x2＋ y2－2x＋y－14＝0.
2 2 2
y－m 2 2 、x ＋y 等式子的最值，一般是运用几何法求解． x－n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[例 4] 圆 x2＋y2－4x－4y－10＝0 上的点到直线 x＋y －14＝0 的最大距离与最小距离的差是( A．36 C．6 2 B．18 D．5 2 )
[解析]
圆的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，其圆心
[例 2] 直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2有且仅有一个公共 点，则 b 的取值范围是( A．|b|＝ 2 C．－1≤b≤1 ) B．－1<b≤1 或 b＝－ 2 D．非 A，B，C 的结论
[解] 作出曲线 x＝ 1－y2和直线 y＝x＋b，利用图形 直观考查它们的关系，寻找解决问题的办法． 将曲线 x＝ 1－y2变为 x2＋y2＝1(x≥0)．当直线 y＝x |0－0－b| ＋b 与曲线 x ＋y ＝1 相切时， 则满足 ＝1， |b|＝ 2， 2
到直线 x＋y－14＝0 的距离 d＝5 2.∵d>r，∴直线与圆相 离．∴最大距离与最小距离的差是半径的 2 倍，即 6 2.
[答案] C
[例 5] 已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0. y (1)求x的最大值和最小值； (2)求 y－x 的最小值； (3)求 x2＋y2 的最大值和最小值．
[点评] 直线和二次曲线相交，所得弦的弦长是 1＋k2 12 |x1－x2|或 1＋k |y1－y2|，这对直线和圆相交也成立，但 直线和圆相交所得弦的弦长更常使用垂径定理和勾股定理 求得．
三、与圆有关的最值问题 (1)求圆上一点到圆外一点 P 的最大距离和最小距离． dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r. (2)求圆上的点到某条直线的最大距离和最小距离．设 圆心到直线的距离为 m，则 dmax＝m＋r，dmin＝m－r. y (3) 已知点的运动轨迹是 (x － a) ＋ (y － b) ＝ r ，求 x 、
[例 3] 过点 P(－2，－3)作圆 C：(x－4)2＋(y－2)2＝9 的两条切线，切点分别为 A，B.求： (1)经过圆心 C，切点 A，B 这三点的圆的方程； (2)直线 AB 的方程； (3)线段 AB 的长． [分析] 求 A，B 两点坐标太繁，若能发现 P，A，B， C 共圆且以 PC 为直径，则圆方程易求．