集合经典例题讲解

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集合的含义与表示例题练习及讲解

第一章第一节集合的含义与表示典型例题例1：判断下列各组对象能否构成一个集合（1）班级里学习好的同学（2）考试成绩超过90分的同学（3）很接近0的数（4）绝对值小于的数答：否能否能例2：判断以下对象能否构成一个集合（1）a ，-a （2）12，答：否否例3：判断下列对象是否为同一个集合｛1，2，3｝｛3，2，1｝答：是同一个集合例4：42=x 解的集合答：｛2，-2｝例5：文字描述法的集合（1）全体整数（2）考王教育里的所有英语老师答：｛整数｝｛考王教育的英语老师｝例6：用符号表示法表示下列集合（1）5的倍数（2）三角形的全体构成的集合（3）一次函数12-=x y 图像上所有点的集合（4）所有绝对值小于6的实数的集合答：（1）},5z k k x x ∈=｛（2）｛三角形｝（3）(){}12,-=x y y x （4）{}R x x x ∈<<-,66例如7：用韦恩图表示集合A={1，2，3，4} 答：例8：指出以下集合是有限集还是无限集（1）一百万以内的自然数；（2）和之间的小数答：有限集；无限集例9：(1)写出x^2+1=o 的解的集合。

(2)分析并指出其含义：0；｛0｝；∅；{}；{∅} 答：（1）∅；（2）分别是数字零，含有一个元素是0的集合；空集；空集；含有一个元素是空集的集合。

随堂测验1、｛x^2,x ｝是一个集合，求x 的取值范围2、集合{}2,1,2--=x x A ,{}2,12,2---=x x B ,A 、B 中有且仅有一个相同的元素-2，求x.3、指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

（1）young 中的字母；（2）五中高一（1）班全体学生；（3）门前的大树（4）漂亮的女孩4、用列举法表示下列集合（1）方程()()0422=--x x 的解集；（2）平方不超过50的非负整数；（3）大于10的奇数.5、指出以下集合的区别{}1-=x y {}1-=x y x{}1-=x y y(){}1,-=x y y x6、某班有30个同学选修A 、B 两门选修课，其中选修A 的同学有18人，选修B的同学有15人，什么都没选的同学有4人，求同时选修A 、B 的人数。

集合练习题及讲解高中必刷

集合练习题及讲解高中必刷### 高中数学集合练习题及讲解练习题1：已知集合A={x|x<5}，B={x|-3≤x<2}，求A∩B。

解析：根据集合的交集定义，我们需要找出同时满足A和B条件的元素。

集合A包含所有小于5的实数，而集合B包含所有大于等于-3且小于2的实数。

因此，A∩B将包含所有大于等于-3且小于2的实数。

答案：A∩B={x|-3≤x<2}。

练习题2：集合P={x|x²-1=0}，Q={x|x²-4=0}，求P∪Q。

解析：首先解方程x²-1=0和x²-4=0。

对于x²-1=0，解得x=±1；对于x²-4=0，解得x=±2。

集合P包含所有解得x²-1=0的实数，即P={-1,1}；集合Q包含所有解得x²-4=0的实数，即Q={-2,2}。

根据并集的定义，P∪Q包含P和Q中的所有元素。

答案：P∪Q={-2,-1,1,2}。

练习题3：集合M={x|-2<x<3}，N={x|x>1}，判断M⊆N。

解析：要判断M是否是N的子集，我们需要验证M中的所有元素是否也属于N。

集合M包含所有大于-2且小于3的实数，而集合N包含所有大于1的实数。

显然，M中的所有元素都大于1，因此M中的元素也属于N。

答案： M⊆N。

练习题4：集合S={x|0<x<10}，T={x|x>0}，求S∩T。

解析：根据交集的定义，我们需要找出同时满足S和T条件的元素。

集合S包含所有大于0且小于10的实数，而集合T包含所有大于0的实数。

因此，S∩T将包含所有大于0且小于10的实数。

答案：S∩T={x|0<x<10}。

练习题5：集合U={x|x>0}，V={x|x<0}，求U∩V。

解析：根据交集的定义，我们需要找出同时满足U和V条件的元素。

集合U包含所有大于0的实数，而集合V包含所有小于0的实数。

高一数学集合经典题型

高一数学集合经典题型一、集合的基本概念题型1. 题型描述•这类题型主要考查对集合定义、元素特征的理解。

例如，判断给定的对象是否能构成集合，或者根据集合元素的确定性、互异性、无序性来解决问题。

•例：下列对象能构成集合的是（）A. 接近于0的数B. 著名的科学家C. 平面直角坐标系内所有的点D. 所有的正三角形•答案与解析：•答案：C、D。

•解析：选项A中“接近于0的数”不具有确定性，因为多接近算接近于0不明确；选项B中“著名的科学家”，著名的标准不明确，不满足集合元素的确定性。

而选项C中平面直角坐标系内所有的点是确定的，选项D中所有的正三角形也是确定的，可以构成集合。

2. 元素与集合的关系题型•题型描述•重点考查元素与集合之间的属于（∈）和不属于（∉）关系。

通常会给出一个集合和一些元素，让考生判断元素是否属于该集合。

•例题•设集合 A = {x|x是小于10的素数}，则3____A，4____A。

•答案与解析•答案：3∈A，4∉A。

•解析：素数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

小于10的素数有2、3、5、7，所以3属于集合A，4不属于集合A。

二、集合的表示方法题型1. 列举法与描述法的转换题型•题型描述•要求考生能够熟练地在列举法和描述法之间进行转换。

例如，将用描述法表示的集合转换为列举法，或者反之。

•例题•把集合A={x|x²• 5x + 6 = 0}用列举法表示。

•答案与解析•答案：A = {2,3}。

•解析：先解方程x²•5x+6 = 0，即(x•2)(x•3)=0，解得x = 2或x = 3，所以用列举法表示集合A为{2,3}。

2. 用描述法表示集合题型•题型描述•根据给定的元素特征，用描述法准确表示集合。

•例题•用描述法表示所有偶数组成的集合。

•答案与解析•答案：{x|x = 2n,n∈Z}。

•解析：偶数可以表示为2乘以一个整数，所以用描述法表示为{x|x = 2n,n∈Z}，其中Z表示整数集。

集合练习题及答案有详解

圆梦教育中心集合例题详解1．已知A ＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是( )A ．3∈AB ．1∈AC ．0∈AD ．－1∉A【解析】集合A 表示不等式3－3x>0的解集．显然3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式，故选C.【答案】 C2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( )A ．{y|y ＝2}B ．{x ＝2}C ．{2}D ．{x|x 2－4x ＋4＝0}【解析】 {x ＝2}表示的是由一个等式组成的集合．故选B.【答案】 B3．下列关系中，正确的个数为________．①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∉N *；④|－3|∈Q . 【解析】本题考查常用数集及元素与集合的关系．显然12∈R ，①正确；2∉Q ，②正确；|－3|＝3∈N *，|－3|＝3∉Q ，③、④不正确．【答案】 24．已知集合A ＝{1，x ，x 2－x}，B ＝{1,2，x}，若集合A 与集合B 相等，求x 的值．【解析】因为集合A 与集合B 相等，所以x 2－x ＝2.∴x ＝2或x ＝－1.当x ＝2时，与集合元素的互异性矛盾．当x ＝－1时，符合题意．∴x ＝－1.一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列命题中正确的( )①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示．A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．以上语句都不对【解析】 {0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②符合集合中元素的无序性，正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．故选C.【答案】 C2．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}【解析】集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解集，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}．故选B.【答案】 B3．已知集合A＝{x∈N*|－5≤x≤5}，则必有()A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．1∈A【解析】∵x∈N*，－5≤x≤5，∴x＝1,2，即A＝{1,2}，∴1∈A.故选D.【答案】 D4．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为()A．0 B．2C．3 D．6【解析】依题意，A*B＝{0,2,4}，其所有元素之和为6，故选D.【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知集合A＝{1，a2}，实数a不能取的值的集合是________．【解析】由互异性知a2≠1，即a≠±1，故实数a不能取的值的集合是{1，－1}．【答案】{1，－1}6．已知P＝{x|2＜x＜a，x∈N}，已知集合P中恰有3个元素，则整数a＝________.【解析】用数轴分析可知a＝6时，集合P中恰有3个元素3,4,5.【答案】 6三、解答题(每小题10分，共20分)7．选择适当的方法表示下列集合集．(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于6的有理数；(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．【解析】(1)方程的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x|x(x 2－2x －3)＝0}，有限集．(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x ∈Q |2<x<6}，无限集．(3)用描述法表示该集合为M ＝{(x ，y)|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．8．设A 表示集合{a 2＋2a －3,2,3}，B 表示集合{2，|a ＋3|}，已知5∈A 且5∉B ，求a 的值．【解析】因为5∈A ，所以a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，|a ＋3|＝5，不符合题意，应舍去．当a ＝－4时，|a ＋3|＝1，符合题意，所以a ＝－4.9．(10分)已知集合A ＝{x|ax 2－3x －4＝0，x ∈R }．(1)若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；(2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．【解析】 (1)∵A 中有两个元素，∴方程ax 2－3x －4＝0有两个不等的实数根，∴⎩⎨⎧a ≠0，Δ＝9＋16a ＞0，即a ＞－916.∴a ＞－916，且a ≠0. (2)当a ＝0时，A ＝{－43}；当a ≠0时，若关于x 的方程ax 2－3x －4＝0有两个相等的实数根，Δ＝9＋16a ＝0，即a ＝－916；若关于x 的方程无实数根，则Δ＝9＋16a ＜0，即a ＜－916；故所求的a 的取值范围是a ≤－916或a ＝0. 1．设集合A ＝{x|2≤x ＜4}，B ＝{x|3x －7≥8－2x}，则A ∪B 等于( )A ．{x|x ≥3}B ．{x|x ≥2}C ．{x|2≤x ＜3}D ．{x|x ≥4}【解析】 B ＝{x|x ≥3}．画数轴(如下图所示)可知选B.【答案】 B2．已知集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{0,3,6,9,12}，则A ∩B ＝( )A ．{3,5}B ．{3,6}C ．{3,7}D ．{3,9}【解析】A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，A和B中有相同的元素3,9，∴A∩B＝{3,9}．故选D.【答案】 D3．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________．【解析】设两项都参加的有x人，则只参加甲项的有(30-x)人，只参加乙项的有(25-x)人．(30-x)+x+(25-x)=50，∴x=5.∴只参加甲项的有25人，只参加乙项的有20人，∴仅参加一项的有45人．【答案】454．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值．【解析】∵A∩B＝{9}，∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}．此时A∩B＝{－4,9}≠{9}．故a＝5舍去．当a＝3时，B＝{－2，－2,9}，不符合要求，舍去．经检验可知a＝－3符合题意．一、选择题(每小题5分，共20分)1．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0 B．1C．2 D．4【解析】∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4，故选D.【答案】 D2．设S＝{x|2x＋1>0}，T＝{x|3x－5<0}，则S∩T＝()A．Ø B．{x|x<－1 2}C．{x|x>53} D．{x|－12<x<53}【解析】S＝{x|2x＋1>0}＝{x|x>－12}，T＝{x|3x－5<0}＝{x|x<53}，则S∩T＝{x|－12<x<53}．故选D.【答案】 D3．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝()A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}C．{x|0<x≤2} D．{x|－1≤x≤2}【解析】集合A、B用数轴表示如图，A∪B＝{x|x≥－1}．故选A.【答案】 A4．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是() A．1 B．2C．3 D．4【解析】集合M必须含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故M＝{a1，a2}或M ＝{a1，a2，a4}．故选B.【答案】 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．【解析】A＝(－∞，1]，B＝[a，＋∞)，要使A∪B＝R，只需a≤1.【答案】a≤16．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是________．【解析】由于{1,3}∪A＝{1,3,5}，则A⊆{1,3,5}，且A中至少有一个元素为5，从而A中其余元素可以是集合{1,3}的子集的元素，而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A的个数是4.它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．【答案】 4三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.【解析】由A∪B＝{1,2,3,5}，B＝{1,2，x2－1}得x2－1＝3或x2－1＝5.若x2－1＝3则x＝±2；若x 2－1＝5，则x ＝±6；综上，x ＝±2或±6.当x ＝±2时，B ＝{1,2,3}，此时A ∩B ＝{1,3}；当x ＝±6时，B ＝{1,2,5}，此时A ∩B ＝{1,5}．8．已知A ＝{x|2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x|x<－1或x>5}，若A ∩B ＝Ø，求a 的取值范围．【解析】由A ∩B ＝Ø，(1)若A ＝Ø，有2a>a ＋3，∴a>3.(2)若A ≠Ø，如图：∴ ，解得- ≤a ≤2.综上所述，a 的取值范围是{a|- ≤a ≤2或a>3}．9．(10分)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？【解析】设单独参加数学的同学为x 人，参加数学化学的为y 人，单独参加化学的为z 人．依题意⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋6＝26，y ＋4＋z ＝13，x ＋y ＋z ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝8，z ＝1.∴同时参加数学化学的同学有8人，答：同时参加数学和化学小组的有8人．1．集合{a ，b}的子集有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】集合{a ，b}的子集有Ø，{a}，{b}，{a ，b}共4个，故选D.【答案】 D2．下列各式中，正确的是( )A ．23∈{x|x ≤3}B ．23∉{x|x ≤3}C ．23⊆{x|x ≤3}D ．{23≤3}【解析】 23表示一个元素，{x|x ≤3}表示一个集合，但23不在集合中，故23∉{x|x ≤3}，A 、C不正确，又集合{23}{x|x≤3}，故D不正确．【答案】 B3．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C.则集合A的个数是________．【解析】若A＝Ø，则满足A⊆B，A⊆C；若A≠Ø，由A⊆B，A⊆C知A是由属于B且属于C的元素构成，此时集合A可能为{a}，{b}，{a，b}．【答案】 44．已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，求实数a的取值集合．【解析】将数集A表示在数轴上(如图所示)，要满足A⊆B，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的集合为{a|a≥4}．一、选择题(每小题5分，共20分)1．集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是()A．5 B．6C．7 D．8【解析】由题意知A＝{0,1,2}，其真子集的个数为23－1＝7个，故选C.【答案】 C2．在下列各式中错误的个数是()①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}A．1 B．2C．3 D．4【解析】①正确；②错．因为集合与集合之间是包含关系而非属于关系；③正确；④正确．两个集合的元素完全一样．故选A.【答案】 A3．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>B B．C．．A⊆B【解析】如图所示，，由图可知，故选C.【答案】 C4．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若，则A≠Ø.其中正确的有()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】 ①空集是它自身的子集；②当集合为空集时说法错误；③空集不是它自身的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错，④正确．故选B.【答案】 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵2－x ＋a ＝0}，∴方程x 2－x ＋a ＝0有实根，∴Δ＝(－1)2－4a ≥0，a ≤14.【答案】 a ≤146．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.【解析】 ∵B ⊆A ，∴m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0∴m ＝1，当m ＝1时，A ＝{－1,3,1}，B ＝{3,1}满足B ⊆A.【答案】 1三、解答题(每小题10分，共20分)7．设集合A ＝{x ，y}，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，求实数x ，y.【解析】从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，必须注意集合中元素的互异性．因为A ＝B ，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去．综上知：x ＝1，y ＝0.8．若集合M ＝{x|x 2＋x －6＝0}，N ＝{x|(x －2)(x －a)＝0}，且N ⊆M ，求实数a 的值．【解析】由x 2＋x －6＝0，得x ＝2或x ＝－3.因此，M ＝{2，－3}．若a ＝2，则N ＝{2}，此时；若a ＝－3，则N ＝{2，－3}，此时N ＝M ；若a ≠2且a ≠－3，则N ＝{2，a}，此时N 不是M 的子集，故所求实数a 的值为2或－3.9．(10分)已知集合M ＝{x|x ＝m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x|x ＝n 2－13，n ∈Z }，P ＝{x|x ＝p 2＋16，p ∈Z }，请探求集合M 、N 、P 之间的关系．【解析】 M ＝{x|x ＝m ＋16，m ∈Z }＝{x|x ＝6m ＋16，m ∈Z }． N ＝{x|x ＝n 2－13，n ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝3n －26，n ∈Z P ＝{x|x ＝p 2＋16，p ∈Z }＝{x|x ＝3p ＋16，p ∈Z }．∵3n －2＝3(n －1)＋1，n ∈Z .∴3n －2,3p ＋1都是3的整数倍加1，从而N ＝P.而6m ＋1＝3×2m ＋1是3的偶数倍加1， ∴＝P .。

《子集、全集、补集》典型例题剖析

《子集、全集、补集》典型例题剖析题型1 集合关系的判断例1 指出下列各组集合之间的关系：（1）{15},{05}A xx B x x =-<<=<<∣∣；（2）{}21(1)0,,2nA x x xB x x n ⎧⎫+-=-===∈⎨⎬⎩⎭Z ∣∣；（3）{(,)0},{(,)0,00,0}A x y xy B x y x y x y =>=>><<∣∣或；（4）{}{}2*2*1,,45,A x x a a B x x a a a ==+∈==-+∈N N ∣∣.解析（1）中集合表示不等式，可以根据范围直接判断，也可以利用数轴判断；（2）解集合A 中方程得到集合A ，再根据集合B 中n 分别为奇数、偶数得到集合B ，进行判断；（3）可以根据集合中元素的特征或者集合的几何意义判断；（4）将集合A 中x 关于a 的关系式改写成集合B 中的形式，再进行判断.答案（1）方法一：集合B 中的元素都在集合A 中，但集合A 中有些元素（比如00.5-，）不在集合B 中，故BA .方法二：利用数轴表示集合A ，B ，如下图所示，由图可知BA .（2）{}20{0,1}A x x x =-==∣.在集合B 中，当n 为奇数时,1(1)02nx +-==，当n 为偶数时，1(1)1,{0,1},2n x B A B +-==∴=∴=.（3）方法一：由00000xy x y x y >>><<得，或，；由000x y x >><，或，0y <得0xy >，从而A B =.方法二：集合A 中的元素是平面直角坐标系中第三象限内的点对应的坐标，集合B 中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，从而A B =.（4）对于任意x A ∈，有221(2)4(2)5x a a a =+=+-++.**,2{3,4,5},a a x B ∈∴+∈∴∈N N .由子集的定义知，A B ⊆.设1B ∈，此时2451a a -+=，解得*2,a a =∈N .211a +=在*a ∈N 时无解，1A ∴∉. 综上所述，AB .名师点评对于（5），在判断集合A 与B 的关系时可先根据定义判断A B ⊆，再进一步判断AB .判断A B 时，只要在集合B 中找出一个元素不属于集合A 即可.变式训练1 判断下列各组中两个集合的关系：（1）{3,},{6,}A xx k k B x x z z ==∈==∈N N ∣∣；（2）1,24k A xx k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣，1,42k B x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣. 答案（1）A 中的元素都是3的倍数，B 中的元素都是6的倍数，对于任意的,63(2)z z z ∈=⨯N ，因为z ∈N ，所以2z ∈N ，从而可得6z A ∈，从而有B A ⊆.设63z =，则12z =∉N ，故3B ∉，但3A ∈，所以BA . （2）方法一：取,0,1,2,3,4,5,k =，可得1357911,,,,,,,444444A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,13537,,,1,,,,24424B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, 易知A 中任一元素均为B 中的元素，但B 中的有些元素不在集合A 中，A B .方法二：集合A 的元素为121()244k k x k +=+=∈Z ，集合B 的元素为12()424k k x k +=+=∈Z ，而21k +为奇数，2k +为整数，A B ∴.点拨判断两个集合的关系要先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合间的关系. 题型2 根据集合间的包含关系求参数的值范围类型（一）有限集的问题例2 已知{}2230,{10}A x x x B x ax =--==-=∣∣，若BA ，试求a 的值.解析：首先将集合A ，B 具体化，在对集合B 具体化时，要注意对参数a 进行讨论，然后再由BA 求a 的值.答案 {}2230{1,3}A x x x =--==-∣，且BA ，（1）当B =∅时，方程10ax -=无解，故0a =；（2）当B ≠∅时，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.若11a =-,即1a =-时，B A ；若13a =，即13a =时，B A . 综上可知，a 的值为：10,1,3-.易错提示特别要注意子集与真子集的区别，审清题意，由题目的具体条件确定真子集是否有可能为∅，这是个易错点.变式训练2 已知集合{}2320,{05,}A x x x B x x x =-+==<<∈N ∣∣，那么满足A C B 的集合C 的个数是（）A.1B.2C.3D.4 答案 B点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{123}，，，{124}，，.本题考查对元素个数及真子集的理解，一定要弄清子集和真子集的区别.变式训练3 把上题改为：已知集合{2320}A x x x =-+=∣,{05,}B xx x =<<∈N ∣，则满足A C B ⊆⊆的集合C 的个数是___________.答案 4点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}，故答案为4.类型（二）无限集的问题例 3 已知集合{04},{}A x x B x x a =<=<∣∣，若A B ，求实数a 的取值集合.解析将数集A 在数轴上表示出来，再将B 在数轴上表示出来，使得A B ，即可求出a 的取值范围.答案将数集A 表示在数轴上（如图），要满足AB ，表示数a 的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边.所以所求a 的集合为{4}aa ∣.易错提示在解决取值范围问题时，一般借助数轴比较直观，但一定要注意端点的取舍问题，能取的用实心点，不能取的用空心点，此题易漏掉端点4，显然4a =符合题意.变式训练 4 已知集合{25},{121}A xx B x a x a =-=+-∣∣. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若AB ，求a 的取值范围.答案（1）,B A D ⊆∴=∅①时，满足要求. 则121a a +>-即2a <；②B ≠∅时，则121,12,23215a a a a a +-⎧⎪+-⇒⎨⎪-⎩.综上可知：3a ≤. （2）121,,12215a a AB a a +-⎧⎪∴+-⎨⎪-⎩，，且12215a a +≤--≥与中的等号不能同时成立. 解这个不等式组，无解，a ∴∈∅，即不存在这样的a 使A B .题型3 集合的全集与补集问题例4 已知全集U ，集合 {1,3,5,7},{2,46},{1,4,6}UU A A B ===，，则集合B =____________.解析因为{1,3,5,7},{2,4,6}UA A ==，所以{1,2,3,4,5,6,7}U =.又由已知{1,4,6}UB =，所以{2,3,5,7}B =.答案 27}3{5，，，变式训练5 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,3},{3,4,5}U M N ===，则集合UM 和UN 共有的元素组成的集合为（）A.{2,3,4,5}B.{1,2,4,5,6}C.{1,2,6}D.{6} 答案 D点拨由题意 {4,5,6},{1,2,6}U UM N ==，所以集合U M 和UN 共有的元素为6，组成的集合为{6}.例5 已知集合{}21A x a x a =<<+∣，集合{}15B x x =<<∣. （1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若RAB ，求实数a 的取值范围.解析（1）可借助数轴求解；（2）先根据集合B 求出共补集RB ，再根据RAB 列出不等式求解.注意要考虑A 为空集的情况.答案（1）若A =∅，则21a a +≤，解得1a ≤-，满足题意；若A ≠∅，则21a a <+，解得1a >-.由A B ⊆，可得2151a a +≤≥且，解得12a ≤≤.综上，实数a 的取值范围为{1, 12}aa a -∣或. （2）R {1, 5}B xx x =∣或. 若A ≠∅，则211a a a +≤≤-，则，此时RAB ，满足题意；若A ≠∅，则1a >-. 又RAB ，所以5211a a ≥+≤或，所以510a a ≥-<≤或.综上，实数a 的取值范围为{0, 5}aa a ∣或. 变式训练6 已知集合{12},{}A xx B x x a =<<=<∣∣，若RA B ⊆，求实数a 的取值范围.答案由{}B xx a =<∣，得R {}B x x a =∣.又RA B ⊆，所以1a ≤，故a 的取值范围是1a ≤.规律方法总结1.判断集合间关系的常用方法. （1）列举观察法.当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系. （2）集合元素特征法.首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.一般地，设{()},{()}A xp x B x q x ==∣∣，①若由()p x 可推出()q x ，则A B ⊆；②若由()q x 可推出()p x ，则B A ⊆；③若()p x ，()q x 可互相推出，则A B =；④若由力()p x 推不出()q x ，由()q x 也推不出()p x ，则集合A ，B 无包含关系.（3）数形结合法.利用venn 图、数轴等直观地判断集合间的关系，一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合用画数轴法.2.根据集合间的包含关系求参数的值或范围的方法.已知两个集合之间的包含关系求参数的值或范围时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解.一般地，若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时要注意集合中元素的互异性；若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.3.求补集的策略.（1）若所给集合是有限集，则先把集合中的元素列举出来，然后结合补集的定义来求解另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn 图来求解，这样处理比较直观、形象，且解答时不易出错.（2）若所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解.核心素养园地目的以一元二次方程和两个集合的关系为知识载体，求参数的范围为任务，借助根与系数的关系、解方程分类讨论思想等一系列数学思维活动，加强逻辑推理和数学运算核心素养水平一、水平二的练习.情境已知集合{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=∣∣，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.分析易知集合{0,4}A =-，由B A ⊆的具体含义可知 {0}B B =∅=或或{}{}404B B =-=-或，，进而得解.答案 {}240{0,4}A x x x =+==-∣.,B A B ⊆∴=∅或{}{}0404}{B B B ==-=-或或，. 当B =∅时，()22[2(1)]410,1a a a ∆=+--<∴<-；当{}0B =时，由根与系数的关系知202(1)01a a =-+⎧⎨=-⎩，，解得1a =-. 当{}4B =-时，由根与系数的关系知2442(1),161,a a --=-+⎧⎨=-⎩无解；当{0,4}B =-时，由根与系数的关系知2402(1),0 1.a a -+=-+⎧⎨=-⎩解得1a =. 综上可知，实数a 的取值范围为{1, 1}aa a -=∣或.。

高一数学集合典型例题、经典例题

高一数学集合典型例题、经典例题例1.1.给定集合A和B，其中A={x|x-2≤2}，B={y|y=-x^2,-1≤x≤2}，求A∩B。

解：将B中的条件用x表示出来，得到B={y|y=-(x-1)^2-1.-1≤x≤2}。

因为A和B都是关于x的条件，所以A∩B也是关于x的条件。

将A和B的条件合并，得到A∩B={x|-x^2≤x-2≤2.-1≤x≤2}，即A∩B={x|1≤x≤2}。

例1.2.给定集合A和B，其中A={2,4,a^3-2a^2-a+7}，B={1,a+3,a^2-2a+2,a^3+a^2+3a+7}，且A∩B={2,5}，求A∪B。

解：由A∩B={2,5}可得5∈A。

将5代入a^3-2a^2-a+7=5中解得a=±1或a=2.若a=-1，则B={1,2,5,4}，与已知矛盾，舍去。

若a=1，则B={1,4,1,12}，也与已知矛盾，舍去。

若a=2，则B={1,5,2,25}符合题意。

因此，A∪B={1,2,4,5,25}。

例2.1.给定集合A和B，其中A={x-2<x≤5}，B={x-m+1≤x≤2m-1}，且B⊆A，求实数m的取值范围。

解：因为XXX，所以B的最大值不大于A的最大值，即2m-1≤5，解得m≤3.又因为B的最小值不小于A的最小值，即m-1≥-2，解得m≥-1.综上所述，实数m的取值范围为-1≤m≤3.例2.2.给定集合A和B，其中A={x|x^2+x+1=0,x∈R}，B={x|x≥0}，且A∩B=∅，求实数a的取值范围。

解：由A∩B=∅可知，方程x^2+x+1=0没有实数解。

根据判别式Δ=b^2-4ac，得到Δ<0，即4a<1.因为a≠0，所以a<1/4.又因为当a=0时，方程x^2+x+1=0有实数解，所以a≥0.综上所述，实数a的取值范围为0≤a<1/4.例3.1.给定集合S和T，其中S={x|x>5或x<-1}，T={x|a<x<a+8}，且S∪T=ℝ，求实数a的取值范围。

集合典型例题(含解析)

第一章集合一、选择题1.（2012·湖南高考理科·Ｔ1）设集合M={-1,0,1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=( )(A){0} (B){0,1} (C){-1,1} (D){-1,0,1}【解题指南】求出集合N中所含有的元素，再与集合M求交集.【解析】选B. 由…2x x,得…2x x0-，…x(x1)0-，剟0x1,所以N=剟{x0x1}，所以M I N={0,1},故选B.2．（2012·浙江高考理科·Ｔ1）设集合A={x|1＜x＜4}，集合B ={x|x2-2x-3≤0}, 则A∩（C R B）=（）(A)(1,4) (B)(3,4) (C)(1,3) (D)(1,2)∪（3,4）【解题指南】考查集合的基本运算.【解析】选B.集合B ={x|x2-2x-3≤0}={}13x x-≤≤，{}1,3RB x x x=<->或ð,∴A∩（C R B）=(3,4)3.（2012·江西高考理科·Ｔ1）若集合{}{}1,1,0,2A B=-=，则集合{}|,,z z x y x A y B=+∈∈中的元素的个数为（）(A)5 (B)4 (C)3 (D)2【解题指南】将x y+的可能取值一一列出，根据元素的互异性重复元素只计一次，可得元素个数.【解析】选C.由已知得，{}|,,z z x y x A y B=+∈∈{}1,1,3=-，所以集合{}|,,z z x y x A y B=+∈∈中的元素的个数为3.4.（2012·新课标全国高考理科·T1）已知集合{}1,2,3,4,5A=，(){},|,,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈则B 中所含元素的个数为（）(A)3 (B)6 (C)8 (D)10【解题指南】将x y -可能取的值列举出来，然后与集合A 合到一起，根据元素的互异性确定元素的个数.【解析】选D.由,x A y A ∈∈得0x y -=或1x y -=±或2x y -=±或3x y -=±或4x y -=±，故集合B 中所含元素的个数为10个.5. （2012·广东高考理科·Ｔ2）设集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4 }，则=ðU M （）(A)U (B){1,3,5} (C){3,5,6} (D){2,4,6}【解题指南】掌握补集的定义：{|,}U M x x U x M =∈∉且ð，本题易解.【解析】选C. {3,5,6}U M =ð.6.（2012·山东高考文科·Ｔ2）与（2012·山东高考理科·Ｔ2）相同已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则U (A)B ð为（）（A ）{}1,2,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}0,2,4 （D ）{}0,2,3,4【解题指南】先求集合A 关于全集U 的补集，再求它与集合B 的并集即可.【解析】选C.{}{}{}U (A)B 0,42,40,2,4==ð. 7.（2012·广东高考文科·Ｔ2）设集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,3,5}，则U M ð=（）(A){2,4,6} (B){1,3,5} (C){1,2,4} (D)U【解题指南】根据补集的定义：{|,}U M x x U x M =∈∉且ð求解即可.【解析】选A. {2,4,6}U M =ð.8.（2012·辽宁高考文科·Ｔ2）与（2012·辽宁高考理科·Ｔ1）相同已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则()()U U A B ⋂=痧(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}【解题指南】据集合的补集概念，分别求出,痧U U A B ，然后求交集.【解析】选B. 由已知C U A={2,4,6,7,9},U B ð={0,1,3,7,9}，则(U A ð)⋂(U B ð)={2,4,6,7,9}⋂{0,1,3,7,9}={7,9}.9.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ1）已知集合A={x|x 2－x －2<0}，B={x|-1<x<1}，则（）（A ）A B Ü （B ）B A Ü （C ）A=B （D ）A ∩B=∅【解题指南】解不等式x 2－x －2<0得集合A ，借助数轴理清集合A 与集合B 的关系.【解析】选B. 本题考查了简单的一元二次不等式的解法和集合之间的关系,由题意可得{}|12A x x =-<<，而{}|11B x x =-<<，故B A Ü.10.（2012·安徽高考文科·Ｔ2）设集合A={3123|≤-≤-x x }，集合B 为函数)1lg(-=x y 的定义域，则A ⋂B=（）（A ）（1，2）（B ）[1，2] （C ）[ 1，2）（D ）（1，2 ]【解题指南】先求出集合,A B ，再求交集.【解析】选D .∵{3213}[1,2]A x x =-≤-≤=-，(1,)(1,2]=+∞=B A B ，∴.11.（2012·福建高考文科·Ｔ2）已知集合{1,2,3,4}M =，{2,2}N =-，下列结论成立的是（）(A)N M ⊆ (B)M N M = (C)M N N = (D){2}M N =【解题指南】通过观察找出公共元素，即得交集，结合子集，交、并、补各种概念进行判断和计算.【解析】选D .N 中元素-2不在M 中，因此，A 错，B 错； {2}M N N =≠，因此C错，故选D .12.（2012·浙江高考文科·Ｔ1）设全集U={1，2，3，4，5，6} ，集合P={1，2，3，4} ，Q={3，4，5}，则P∩（ðU Q）=（）(A){1，2，3，4，6} (B){1，2，3，4，5}(C){1，2，5} (D){1,2}【解题指南】考查集合的基本运算.【解析】选D. C U Q={}1,2,6，则P∩（CU Q）={}1,2.13.（2012·北京高考文科·Ｔ1）与（2012·北京高考理科·Ｔ1）相同已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0}，则A∩B=（）（A）（-∞，-1）（B）（-1，-23）（C）（-23,3）（D）(3,+∞)【解题指南】通过解不等式先求出A，B两个集合，再取交集.【解析】选D.集合A=2{|}3x x>-，{|13}B x x x=<->或，所以{|3}A B x x=>.14.（2012·湖南高考文科·Ｔ1）设集合M={-1,0,1}，N={x|x2=x}，则M∩N=（）(A){-1，0，1} (B){0,1} (C){1} (D){0}【解题指南】先求出集合N中的元素，再求集合M，N的交集.【解析】选B. N={0,1}，∴M∩N={0,1}，故选B.15. （2012·江西高考文科·Ｔ2）若全集U=｛x∈R|x2≤4}，则集合 A=｛x∈R||x+1|≤1}的补集C u A为( )(A){x∈R |0＜x＜2} (B){x∈R |0≤x＜2}(C){x∈R |0＜x≤2} (D){x∈R |0≤x≤2}【解题指南】解不等式得集合U和A，在U中对A取补集.【解析】选C.{|22}U x x =-≤≤，{|20}A x x =-≤≤，则ðU A={|02}U C A x x =<≤. 16.（2012·湖北高考文科·Ｔ1）已知集合A={x|2x -3x +2=0,x ∈R } ， B={x|0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为(A) 1 (B)2 (C) 3 (D)4【解题指南】根据集合的性质,先化简集合A,B.再结合集合之间的关系求解.【解析】选D. 由题意知:A= {1,2} ,B={1,2,3,4}.又A C B ⊆⊆,则集合C 可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. 二、填空题17.（2012·上海高考理科·T2）若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A .【解题指南】本题考查集合的交集运算知识，此类题的易错点是临界点的大小比较. 【解析】集合1{2+10}{|}2A x x x x =>=>-，集合{}{12}{|212}13B x x x x x x =-<=-<-<=-<<，所以1{|3}2A B x x =-<<. 【答案】1{|3}2x x -<< 18.（2012·江苏高考·Ｔ1）已知集合{}{}1,2,4,2,4,6A B ==，则A B = .【解题指南】从集合的并集的概念角度处理.【解析】{1,2,4,6}=A B .【答案】{1,2,4,6}。

集合经典例题讲解

例题一、已知A={x|121m x m +≤≤-}，B={x|25x -≤≤}，假设A ⊆B ，求实数的取值范围．例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ⊆A ，求m 的范围.例4、已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P 等于（） A.（0,2）,(1,1) B.{(0,2),(1,1)} C. {1,2} D.{}2≤y y集合与方程例一、已知{}φ=∈=+++=+R A R x x p x x A ,,01)2(2，求实数p 的取值范围。

例二、已知集合(){}(){}20,01,02,2≤≤=+-==+-+=x y x y x B y mx x y x A 和，若是φ≠B A ,求实数a 的取值范围。

例3、已知集合()(){}30)1()1(,,123,2=-+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--=y a x a y x B a x y y x A ，假设φ=B A ，求实数a 的值。

一、混淆集合中元素的形成例集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，那么A B =轻忽空集的特殊性例已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，假设A B ⊆，那么m 的值为没有弄清全集的含义例设全集{}{}22323212S a a A a =+-=-，，，，，{}5S C A =，求a 的值没有弄清事物的本质例假设{}|2A x x n n ==∈Z ，，{}|22B x x n n ==-∈Z ，，试问A B ，是不是相等．等价转化思想例已知M ={(x ，y)| y = x ＋a}，N ={(x ，y)| x 2＋y 2= 2}，求使得M N =φ成立的实数a 的取值范围。

分类讨论思想解答集合问题时常常碰到如此的情形：解题进程中，解到某一步时，不能再以统一的方式、统一的形式继续进行，因为这时被研究的数学对象已包括了多种可能的情形，必需选定一个标准，依照那个标准划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，从而使问题取得解决，这确实是分类讨论的思想方式．例设集合A = {x | x 2＋4x = 0，x ∈R}，B = {x | x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1= 0，a ∈R ，x ∈R }，假设A B ⊆，求实数a 的取值范围。

集合的基本运算例题讲解

1集合的基本运算例题讲解题型一并集运算一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为集合A 与集合B 的并集,记作,读作“A 并B ”.即B A .{}B x A x x B A ∈∈=或, 求并集的方法（1）求两个有限集的并集按照并集的定义进行计算,但要特别注意集合元素的互异性.（2）求两个无限集的并集借助于数轴进行计算.注意两个集合的并集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的全部范围.例1. 已知集合,,则【】{}31≤≤∈=x N x A {}5,4,3,2=B =B A （A ）（B ） {}2{}3,2（C ）（D ）{}5,4,3,2{}5,4,3,2,1分析:将一个用描述法表示的集合转化为用列举法表示时,一定要弄清代表元素的含义或特征.求两个集合的并集运算时,可以按照并集的定义进行,也可以用Venn 图求解或借助于数轴求解.解:∵{}{}3,2,131=≤≤∈=x N x A ∴.=B A {}{}{}5,4,3,2,15,4,3,23,2,1= 选择【 D 】.例2. 已知集合,,则____________. {}1≥=x x A {}0322<--=x x x B =B A 分析:先解一元二次不等式,求出集合B ,然后把集合A 、B 在数轴0322<--x x 上画出来,它们对应图形所覆盖的全部范围即为.B A 解:∵{}{}310322<<-=<--=x x x x x B ∴.=B A {}{}{}1311->=<<-≥x x x x x x例3. 已知集合,,若,则等于【】{}m A ,3,1={}m B ,1=A B A = m （A ）0或（B ）0或3 3（C ）1或（D ）1或3 3分析:,由集合元素的互异性,得,排除C 、D 选项.{}m B ,1=1≠m 因为,根据并集的性质,所以,这样就将两个集合的并集运算A B A = A B ⊆转化为了这两个集合之间的关系,从而可以确定参数的值或取值范围. 解:∵,∴或A B A = 3=m m m =当时,解之得:（不符合题意,舍去）m m =0=m 1=m 综上,或.3=m 0=m 例4. 已知集合,,若,则实数的取值范围是{}012≤-=x x P {}a M =P M P = a __________.分析:∵,∴.P M P = P M ⊆解:{}{}11012≤≤-=≤-=x x x x P ∵,∴,∴P M P = P M ⊆P a ∈∴实数的取值范围是.a {}11≤≤-a a 例5. 已知集合,,且,求的值.{}x A ,3,2,1={}2,3x B ={}x B A ,3,2,1= x 分析:由题意可知:,所以,从而,且.A B A = A B ⊆A x ∈232≠x 解:分为三种情况:①当时,解之得:（不符合题意,舍去）;12=x 1-=x 1=x ②当时,解之得:;22=x 2±=x ③当时,解之得:.x x =20=x 综上所述,的值为0或或.x 2±1-注意:在求参数的值时,参数的值要满足集合元素的互异性.例6. 已知集合,,求.{}32>-=x x A {}a x x x B ->-=332B A 分析:对于含参集合参与的集合运算,要注意分类讨论.解:,.{}{}532>=>-=x x x x A {}{}3332-<=->-=a x x a x x x B 当≤5,即≤8时,;3-a a {}53>-<=x a x x B A 或当时,即时,R .53>-a 8>a =B Aa 3例7.（易错题）已知集合,,且,求由的取值构{}1,1-=A {}1==mx x B A B A = m 成的集合.分析:因为,所以.由于集合B 是一个含参集合,所以要对集合B A B A = A B ⊆分和两种情况进行讨论.∅=B ∅≠B 解:∵,∴.A B A = A B ⊆当时,,满足;0=m ∅=B A B ⊆当时,或: 0≠m {}11-=⎭⎫⎩⎨⎧==m x x B {}1=B ①若,则,解之得:; {}1-=B 11-=m 1-=m ②若,则,解之得:. {}1=B 11=m1=m 综上所述,的取值构成的集合为.m {}1,0,1-例8. 设集合,,若,则实数{}52<<-=x x M {}122+<<-=t x t x N M N M = t 的取值范围是__________.分析:先将并集运算的结果转化为两个集合M , N 之间的关系M N M = ,从而列出关于参数的不等式（组）求解.注意含参集合的分类讨论. M N ⊆t 解:∵,∴.M N M = M N ⊆分为两种情况:①当时,有≥,解之得:≤; ∅=N t -212+t t 31②当时,则有:∅≠N ,解之得:≤2. ⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+<-51222122t t t t t <31综上所述,实数的取值范围是.t {}2≤t t 警示:在解决本题时,任意忽略的情况,另外要注意端点值能否取到. ∅=N 例9. 已知集合,,若,求实数的取值范围. {}2,1-=A {}01>+=mx x B B B A = m 分析:注意本题与例7的区别.解:∵,∴.B B A = B A ⊆分为三种情况:①当时,恒成立,∴R ,满足;0=m 01>{}=>+=01mx x B B A ⊆②当时,,有,解之得: 0>m {}⎭⎫⎩⎨⎧->=>+=m x x mx x B 10111-<-m 1<m ∴;10<<m ③当时,,有,解之得: 0<m {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<=>+=m x x mx x B 10121>-m 21->m ∴. 021<<-m 综上所述,实数的取值范围是. m ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-121m m 题型二交集运算一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为集合A 与集合B 的交集,记作,读作“A 交B ”.B A .{}B x A x x B A ∈∈=且, 求交集的方法（1）求两个有限集的交集按照交集的定义进行计算,但要特别注意一定要找出两个集合中的所有公共元素.（或可借助于Venn 图）（2）求两个无限集的交集借助于数轴进行计算.两个集合的解集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的公共范围.例10. 设集合,集合,则【】{}01>+∈=x Z x A {}02≤-=x x B =B A （A ）（B ） {}21<<-x x {}21≤<-x x （C ）（D ）{}2,1-{}2,1,0分析:在进行集合的运算之前,要先弄清楚各个集合的本质.本题中集合A 的代表元素为整数,所以集合A 为范围内的整数集.x 1->x 解:∵,{}{}101->∈=>+∈=x Z x x Z x A {}{}202≤=≤-=x x x x B ∴.=B A {}{}2,1,021=≤<-∈x Z x 选择【 D 】.例11. 设集合,,若,则实数的取值范围{}21<≤-=x x A {}a x x B <=∅≠B A a 是__________.分析:说明集合A 、B 有公共元素,在数轴上集合A 、B 所对应的图形覆∅≠B A 盖的区域有公共部分.解:.{}1->a a例12. 设集合,,若,求实数{}52<<-=x x M {}122+<<-=t x t x N N N M = t 的取值范围.分析:若,则由交集的性质知,在得到这两个集合之间的关系N N M = M N ⊆后借助于数轴就可以列出不等式（组）进行求解了.解:∵,∴.N N M = M N ⊆分为两种情况:①当时,满足,有≥,解之得:≤; ∅=N M N ⊆t -212+t t 31②当时,则有:∅≠N,解之得:≤2. ⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+<-51222122t t t t t <31综上所述,实数的取值范围是.t {}2≤t t ★例13.（易错题）设集合,,则{}R x x y y A ∈+==,12{}R x x y y B ∈+==,1B A 等于【】（A ）（B ） {}1≥y y {}2,1（C ）（D ）()(){}2,1,1,0∅错解:解方程组得:或,故选【 C 】. ⎩⎨⎧+=+=112x y x y ⎩⎨⎧==10y x ⎩⎨⎧==21y x 错因分析:这里好多学生认为是求抛物线和直线的交点坐标所12+=x y 1+=x y 构成的集合,根源在于没有搞清楚集合A , B 的本质,没有弄清楚集合的代表元素的特征.分析:本题中的两个集合都是由函数值构成的,它们的代表元素是函数值.y 表示函数和函数的函数值的交集.B A 12+=x y 1+=x y 解:∵,R .{}{}1,12≥=∈+==y y R x x y y A {}=∈+==R x x y y B ,1∴R .{} 1≥=y y B A {}1≥=y y 选择【 A 】. 变式: 设集合,,则等于【】(){}1,2+==x y y x A (){}1,+==x y y x B B A （A ）（B ） {}1≥y y {}2,1（C ）（D ）()(){}2,1,1,0∅例14. 已知集合,集合,则中元素的个(){}1,22=+=y x y x A (){}x y y x B ==,B A 数为【】（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0解:解方程组得: ⎩⎨⎧==+xy y x 122或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2222y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2222y x ∴,共有2个元素.选择【 B 】. B A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22,22,22方法二:由后面的学习可以知道,方程是单位圆的方程（以原点为圆心,122=+y x 以1为半径的圆）.集合A 是由圆上的所有点构成的,集合B 是由直线122=+y x 上的所有点构成的,所以就是由单位圆与直线的交点构成的,如图所x y =B A 示,交点有两个,故中元素的个数为2.B A例15.（2018沈阳重点高中）设集合,.{}52≤≤-=x x A {}121-≤≤+=m x m x B （1）若,求A 的非空真子集的个数;{}52≤≤-∈=x Z x A （2）若,求实数的取值范围.B B A = m 分析:（1）子集、真子集个数的确定若集合A 含有个元素,则集合A :n （1）含有个子集;n 2（2）含有个非空子集;12-n （3）含有个真子集;12-n （4）含有个非空真子集.22-n （2）若,则,注意分类讨论.B B A = A B ⊆解:（1）{}{}5,4,3,2,1,0,1,2-52-=≤≤-∈=x Z x A∵集合A 中含有8个元素∴集合A 的非空真子集的个数为;2542-28=（2）∵,∴.B B A = A B ⊆分为两种情况:①当时,满足,有,解之得:;∅=B A B ⊆121->+m m 2<m ②当时,则有:∅≠B ,解之得:≤≤3. ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+51221121m m m m 2m 综上所述,实数的取值范围是. m {}3≤m m 例16. 设,,其中R ,如果{}042=+=x x x A (){}011222=-+++=a x a x x B ∈x ,求实数的取值范围.B B A = a 解:{}{}4,0042-==+=x x x A ∵,∴B B A = A B ⊆分为两种情况:①当时,满足∅=B B B A = ∴,解之得:; ()[]()0141222<--+=∆a a 1-<a ②当时,或或.∅≠B {}0=B {}4-=B {}4,0-=B 若或,则有,解之得: {}0=B {}4-=B ()[]()0141222=--+=∆a a 1-=a 经检验,此时;{}0=B 若,则由根与系数的关系定理可得:{}4,0-=B ,解之得:. ()⎩⎨⎧=--=+-014122a a 1=a 综上所述,实数的取值范围是. a {}11-≤=a a a 或例17. 设集合,,若,求实数的{}3+≤≤=a x a x A {}51>-<=x x x B 或∅=B A a取值范围.分析:对于任意实数,都有,所以本题中集合A 不会是空集.a 3+<a a 解:∵,∴.3+<a a ∅≠A ∵∅=B A ∴,解之得:≤≤2. ⎩⎨⎧≤+-≥531a a 1-a ∴实数的取值范围是. a {}21≤≤-a a ★★例18.（综合性强）已知集合,集合()(){}011222>++++-=a a y a a y y A ,若: ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤+-==30,25212x x x y y B ∅=B A （1）求实数的取值范围;a （2）当恒成立时,求的最小值.ax x ≥+12a 分析:（1）求集合A 时要解含参一元二次不等式,可借助于因式分解:()()()()()()()()()[]11111122222222+--=-+--=++-+-=++++-a y a y a y a a y y a a ay a y y a a y a a y 对于集合B ,代表元素是,所以集合B 是函数值的集合,通过配方得:y ()2121252122+-=+-=x x x y ∵0≤≤3,∴2≤≤4,∴;x y {}42≤≤=y y B （2）这是与二次函数有关的恒成立问题,使用数形结合方法.解:（1）()(){}()()[]{}010112222>+--=>++++-=a y a y y a a y a a y y A ∵（这里作差比较与的大小） 04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+a a a 12+a a ∴a a >+12∴.{}12+><=a y a y y A 或 {}4230,25212≤≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤+-==y y x x x y y B∵∅=B A ∴,解之得:≤或≤≤2. ⎩⎨⎧≥+≤4122a a a 3-3a ∴实数的取值范围是;a {}233≤≤-≤a a a 或（2）∵恒成立,即≥0恒成立.ax x ≥+1212+-ax x ∴≤0,解之得:≤≤2. ()42--=∆a 2-a ∴的最小值为.（雅慧,通过这道题你勇敢地挑战一下自己）a 2-题型三补集运算全集一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,记作U .补集对于一个集合A ,由全集U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称集合A 的补集,记作C U A ,即C U A .{}A x U x x ∉∈=且,补集的性质①(C U A ); ②(C U A ); ③ C U (C U A );U A = ∅=A A =④ C U U ; ⑤ C U .∅=U =∅例19. 已知全集,集合,若C U A ,则实数的取{}60<<=x x U {}a x x A <<=1U ≠a 值范围是__________.分析: C U A 说明,且.U ≠∅≠A U A ⊆解:∵C U A ,∴,且.U ≠∅≠A U A ⊆∴实数的取值范围是.a {}61≤<a a 例20. 已知全集,集合,求C U A .{}5,4,3,2,1=U {}042=++=px x x A 分析:集合A 是由方程的解构成的,而方程可能无解、042=++px x 042=++px x 有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根,需要分类讨论.解:由题意可知:.U A ⊆分为两种情况:①当时,方程无实数根,∴,解之得: ∅=A 0162<-=∆p 44<<-p ∴C U A C U ;=∅{}5,4,3,2,1==U ②当时,则有≥0,解之得:≤或≥4. ∅≠A 162-=∆p p 4-p 设方程的两个实数根分别为 042=++px x 21,x x 由根与系数的关系定理可得::421=x x 若,则,符合题意,此时,C U A ; 4,121==x x 5-=p {}4,1=A {}5,3,2=若,则,符合题意,此时,C U A . 221==x x 4-=p {}2=A {}5,4,3,1=综上所述,当时,C U A ;44<<-p ={}5,4,3,2,1当时,C U A ;5-=p {}5,3,2=当时,C U A .4-=p {}5,4,3,1=例21. 已知,. {}31≤<-=x x A {}m x m x B 31+<≤=（1）当时,求;1=m B A （2）若C R A ,求实数的取值范围.⊆B m 分析:（1）求两个连续型实数集合的并集时,借助于数轴进行求解能将抽象的问题直观化,但要特别注意端点的实心和空心以及端点值的取舍;（2）求连续型实数集合的补集也是借助于数轴进行.解:（1）当时, 1=m {}{}4131<≤=+<≤=x x m x m x B ∴; {}{}{}414131<<-=<≤≤<-=x x x x x x B A （2）∵,∴C R A {}31≤<-=x x A {}31>-≤=x x x 或∵C R A ,∴分为两种情况:⊆B ①当时,有≥,解之得:≤; ∅=B m m 31+m 21-②当时,则有:或∅≠B ⎩⎨⎧-≤++<13131m m m ⎩⎨⎧>+<331m mm解之得:无解或.3>m 综上,实数的取值范围是.m ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-≤321m m m 或★例22. 设全集,,,(){}R y R x y x I ∈∈=,,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--=123,x y y x A (){}1,+==x y y x B 求C I A .B 解:()(){}2,1,123,≠+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--=x x y y x x y y x A ∴集合A 是由直线上除点外的所有点构成的集合 1+=x y ()3,2∴C I A =(){}3,2∵(){}1,+==x y y x B ∴集合B 是由直线上所有的点构成的集合 1+=x y ∴C I A . =B (){}3,2附:函数,即的图象如图所示. 123=--x y 1+=x y ()2≠x例23. 设全集,,C U A ,求实数的值. {}32,3,22-+=a a U {}2,12-=a A {}5=a 分析:∵C U A ,∴,∴.还要注意. U ⊆U ∈55322=-+a a U A ⊆解:∵,C U A {}32,3,22-+=a a U {}5=∴5322=-+a a 整理得:,解之得:.0822=-+a a 4,221-==a aU4321B A 852917643B A U当时,,满足题意; 2=a {}3,2=A 当时,,不满足题意. 4-=a {}9,2=A 综上,实数的值为2.a 例24. 设全集,,( C U B ),, {}*,10N x x x U ∈<=U B U A ⊆⊆,{}9,1=A {}3=B A ( C U A )( C U B ),求集合A , B . {}7,6,4=分析:本题条件较多,考查集合的综合运算.重要结论如图所示,集合A , B 将全集U 分成了四部分,这四部分用集合表示如下: （1）①表示; B A （2）②表示(C U B ); A （3）③表示(C U A ); B （4）④表示(C U A )(C U B ).德·摩根定律（1）C U (C U A )(C U B ); ()=B A （2）C U (C U A )(C U B ).()=B A 解法一: {}{}9,8,7,6,5,4,3,2,1*,10=∈<=N x x x U ∵( C U A )( C U B ),∴C U {}7,6,4=()=B A {}7,6,4∴ {}9,8,5,3,2,1=B A ∵( C U B ) {}9,1=A ∴=B {}8,5,3,2∵,∴.{}3=B A {}9,3,1=A 解法二:由题意作出Venn 图如图所示: 由图可知:,. {}9,3,1=A {}8,5,3,2=B例25. 已知全集R ,集合,集合=U {}0,,32≠∈-==x R x x y y A 且,集合.⎭⎫⎩⎨⎧-+-==x x y x B 522{}a x a x C <<-=5（1）求集合( C U B );A （2）若,求实数的取值范围.()B A C ⊆a 分析:先来确定集合A , B 的本质:集合A 是函数的函数值构成()032≠-=x x y 的集合,即函数的值域;集合B 是使函数有意()032≠-=x x y xx y -+-=522义的自变量的值构成的集合.解:.{}{}{}330,,32<=<=≠∈-==x x y y x R x x y y A 且.{}52522<≤=⎭⎫⎩⎨⎧-+-==x x x x y x B ∴C U B {}52≥<=x x x 或∴( C U B );A {}53≥<=x x x 或（2）由（1）可知: {}32<≤=x xB A ∵,∴分为两种情况:()B A C ⊆①当时,满足,有≥,解之得:≤; ∅=C ()B A C ⊆a -5a a 25②当时,则有:,解之得: ≤3.∅≠C ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-<-3255a a aa a <25综上所述,实数的取值范围是.a {}3≤a a 例26. 若,,,且{}0232=+-=x x x A {}012=-+-=a ax x x B {}022=+-=mx x x C ,求的值和的取值范围.C C A A B A == ,a m 分析:设置本题的目的是帮助雅慧复习由集合间的基本关系确定参数的值或取值范围.本题要先将三个集合之间的运算及其结果转化为集合之间的关系:因为,∴.C C A A B A == ,A C A B ⊆⊆,本来由需要对集合B 分两种情况进行讨论,但考虑到集合B 中的方程结A B ⊆构比较复杂,所以先判断一下方程的根的情况: 012=-+-a ax x ∵≥0()()()22224414-=+-=---=∆a a a a a ∴方程总有两个实数根.012=-+-a ax x 也因此,在处理关系时,一定有,不再对集合B 进行分类讨论. A B ⊆∅≠B 解:{}{}2,10232==+-=x x x A {}()()[]{}011012=---==-+-=a x x x a ax x x B ∴集合B 中必含有元素1,∴. ∅≠B ∵,∴.A B A = A B ⊆①当,即时,,符合题意; 11=-a 2=a {}1=B ②当,即时,,符合题意. 21=-a 3=a {}2,1=B 综上,的值为2或3.a ∵,∴,分为两种情况:C C A = A C ⊆①当时,满足,有,解之得:;∅=C A C ⊆()082<--=∆m 2222<<-m ②当时,则或或:∅≠C {}1=C {}2=C {}2,1=C 若或,则,解之得:.{}1=C {}2=C ()082=--=∆m 22±=m 经检验,当时,或,不符合题意,舍去;22±=m {}2=C {2-=C 若,则由根与系数的关系定理可得:,解之得:,符合题意.{}2,1=C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯=+=21221m 3=m 综上所述,的取值范围是或.m 2222<<-m 3=m 题型四补集思想的应用（正难则反）对于某些问题,如果从正面求解比较困难,则可考虑先求解问题的反面,采用“正难则反”的解题策略.具体地说,就是将研究对象的全体实为全集,求出使问题反面成立的集合A ,则A 的补集即为所求.补集思想的原理或依据是:C U (C U A ).A =例27. 已知集合,,若,求{}R x m mx x x A ∈=++-=,06242{}0<=x xB ∅≠B A 实数的取值范围.m 分析:集合A 是方程的实数根构成的集合,意味着06242=++-m mx x ∅≠B A 方程有负根,则方程的根有以下三种情况:①两负根;②一负根,一零根;③一负根,一正根.分别求解相当麻烦.如果考虑的反面,先求方程无∅≠B A ∅=B A 实数根或两根均非负时的取值范围,然后再用补集思想求解时的m ∅≠B A m 取值范围解:若,则分为两种情况:∅=B A ①当时,,解之得:; ∅=A ()()062442<+--=∆m m 231<<-m ②当时,方程的两个实数根均为非负数,则有:∅≠A 06242=++-m mx x ,解之得:≥. ()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≥+--=∆06204062442m m m m m 23综上所述,当时,.1->m ∅=B A ∴当时,实数的取值范围是.∅≠B A m {}1-≤m m 结论:一元二次方程有两个非负实数根的条件是:()002≠=++a c bx ax .⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=⋅≥-=+≥∆0002121ac x x a b x x 例28. 已知集合,,若,求实数{}a y a y y A <+>=或12{}42≤≤=y y B ∅≠B A a 的取值范围.解:当时,则有:∅=B A,解之得:≤或≤≤2. ⎩⎨⎧≥+≤4122a a a 3-3a ∴当时,实数的取值范围是.∅=B A a {}233≤≤-≤a a a 或∴当时,实数的取值范围是.∅≠B A a {}332<<->a a a 或例29. 若集合中至多有1个元素,则实数的取值范围是{}0232=++=x ax x A a __________.分析:题目要求“至多有1个元素”,若采取分类讨论的方法,求解比较麻烦,可考虑用补集思想解决问题.本题中集合A 至多有1个元素的反面是集合A 有两个元素,即方程有两个不相等的实数根.0232=++x ax 解:当集合A 中有两个元素时,方程有两个不相等的实数根,则有:0232=++x ax ,解之得:且 ⎩⎨⎧>-=∆≠0890a a 89<a 0≠a ∴集合A 中有两个元素时实数的取值范围是.a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠<089a a a 且∴集合A 中至多有1个元素时实数的取值范围是.a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≥089a a a 或总结:求集合运算中参数的思路（1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系;（2）将集合之间的关系转化为方程（组）或不等式（组）是否有解、或解集为怎样的范围; （3）解方程（组）或不等式（组）来确定参数的值或取值范围. 题型五集合中元素的个数若集合A 为有限集,则用card(A )表示集合A 中元素的个数. 如果集合A 中含有个元素,那么有card(A ). m m =（1）一般地,对于任意两个有限集合A , B ,有 card card(A )card(B )－card . ()=B A +()B A （2）一般地,对于任意三个有限集合A , B , C ,有card card(A )card(B )－card －card －card ＋ ()=C B A +()B A ()C A ()C B card .()C B A。

高中数学集合练习题及讲解

高中数学集合练习题及讲解## 高中数学集合练习题及讲解集合是数学中描述对象集合的一种基本工具，它在高中数学中占有重要地位。

以下是一些集合的练习题和相应的讲解，帮助学生更好地理解和应用集合的概念。

### 练习题一：集合的基本运算题目：已知集合 A = {1, 2, 3} 和 B = {2, 3, 4}，求A ∪ B 和A ∩ B。

解答：- A ∪ B 表示 A 和 B 的并集，即 A 和 B 中所有的元素，不重复地放在一起。

因此，A ∪ B = {1, 2, 3, 4}。

- A ∩ B 表示 A 和 B 的交集，即同时属于 A 和 B 的元素。

因此，A ∩ B = {2, 3}。

### 练习题二：子集与真子集题目：若集合 C = {1, 2}，判断 C 是否是 A 的子集。

解答：- 子集的定义是，如果集合 C 中的每一个元素都是集合 A 的元素，那么 C 是 A 的子集。

- 在这个例子中，C 中的所有元素 1 和 2 都在 A = {1, 2, 3} 中，所以 C 是 A 的子集。

### 练习题三：幂集题目：集合 D = {a, b}，求 D 的幂集。

解答：- 幂集是包含所有可能子集的集合，包括空集和集合本身。

- 对于 D = {a, b}，其幂集 P(D) 包括：- 空集：{}- 只包含 a 的集合：{a}- 只包含 b 的集合：{b}- 包含 a 和 b 的集合：{a, b}- 集合 D 本身：{a, b}### 练习题四：集合的补集题目：已知全集 U = {1, 2, 3, 4, 5}，求 A 的补集。

解答：- 补集的定义是全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合。

- 集合 A = {1, 2, 3}，所以 A 的补集是 U 中不属于 A 的元素，即A' = {4, 5}。

### 练习题五：集合的笛卡尔积题目：集合 E = {1, 2} 和 F = {x, y}，求E × F。

集合问题常见题型及求解方法

集合问题常见题型及求解方法一、概念辨析型此类问题主要考察元素与集合、集合与集合的关系及有关运算，往往可通过观察元素的结构特征或借助图形寻求集合之间的关系，使问题直观准确地得到解决。

例1、设Φ=B A ,{}A P P M ⊆=,{}B Q Q N ⊆=,则有A. Φ=N M ,B.{}Φ=N M ,C.B A N M ⊂,D.B A N M = 解: ∵Φ=B A ,∴B A ⊆Φ⊆Φ, ∴{}Φ=N M . 例 2.函数⎩⎨⎧∈-∈=M x x P x x x f ,,)(,其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定{}P x x f y y P f ∈==),()(,{}M x x f y y M f ∈==),()(给出下列四个判断：（1）若Φ=P M ,则Φ=)()(M f P f ，（2）若Φ≠P M ,则Φ≠)()(M f P f（3）若R P M = ,则R M f P f =)()( ，（4）若R P M ≠ ,则R M f P f ≠)()( 其中正确的判定有：A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解：由函数定义知{}0=P M 或Φ=P M 。

若Φ≠P M 则{}0=P M 此时{}0)()(=M f P f 非空，∴（2）真；若R P M ≠ ，则必有R M f P f ≠)()( ，∴（4）真；若Φ=P M ，则)()(M f P f 不一定为空，∴（1）假；若R P M = ，则)()(M f P f 一定不等于R,∴（3）假.例3.集合A={直线}，B={圆} 则B A 中有（）元素A.2个B.1个C.0个D.0或1或2个。

解：A 、B 中元素分别是直线和圆，不是直线上的点和圆上的点，B A 中元素是“既是直线又是圆的图形”。

二、基本运算型此类题型主要考察集合的基本概念和基本运算，常用解法有定义法、列举法、图示法及语言转换法等。

例4.设全集U=R,M={}132≤-x x ，N={}12-+=x y y x ，则=)(N C M R A.[- 2,2] B.[-2，2] C.[-2，-]2,2[]2 D.[ 2,2] 。

高考试卷“集合的基本运算”试题赏析

高考试卷“集合的基本运算”试题赏析集合是数学中一个重要的概念，其基本运算是高中数学中一个重要的知识点。

在高考试卷中，常常会涉及到集合的基本运算，这也是考察学生对于集合概念和基本运算的理解和运用能力。

在本文中，将对高考试卷中关于“集合的基本运算”试题进行赏析，帮助学生更好地掌握这一知识点。

1.题目一已知集合A={1,2,3,4,5}，集合B={3,4,5,6,7}，求A∪B和A∩B。

解析：这是一个典型的集合的基本运算题目。

A∪B表示集合A和B的并集，即将A和B中所有的元素去重合并在一起；A∩B表示集合A和B的交集，即A和B中共同的元素。

通过这道题目，可以考察学生对于集合并集和交集的理解，以及对于集合元素去重的能力。

解题时，学生需要首先对集合A和B的元素进行整理，然后进行并集和交集的计算。

这样的题目有助于考察学生的逻辑思维能力和运算技巧。

2.题目二已知集合A={x|x是正整数，x^2－5x+6=0}，集合B={x|x是正整数，x>3}，求A∩B。

解析：这是一个将代数方程和集合的交集运算结合在一起的题目。

在这道题目中，需要先求出方程x^2－5x+6=0的解，然后将解与集合B中的元素进行比较，求出A∩B。

解答过程如下：首先解方程x^2－5x+6=0，得x=2或3。

然后将2和3与集合B中的元素进行比较，得A∩B={3}3.题目三解析：这是一个关于幂集的题目。

幂集指的是一个集合的所有子集构成的集合。

在这道题目中，需要求出集合A和B的幂集。

解答过程如下：A的幂集={{},{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}B的幂集={{},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}。

高中数学集合习题及详解

高中数学集合习题及详解一、单选题1．已知全集{}2,1,0,1,2,3,4,5,6U =--，{}2,3,5,6M =，{}2,1,1,3,5N =--，如图Venn 中阴影部分表示的集合为（）．A ．{}0,2,5,6B ．{}1,2,3,5,6-C ．{}0,2,3,4,5,6D ．{}2,0,1,2,3,4-2．设集合(){}0.5log 10A x x =->，{}24xB x =<，则（）A ．A =B B ．A B ⊇C ．A B B =D ．A B B ⋃= 3．若集合{|ln(2)1}A x Z x =∈-≤，则集合A 的子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．84．已知{}33U x x =-≤<，{}23A x x =-≤<，则图中阴影表示的集合是（）A ．{}32x x -≤≤-B ．][33,)-∞-⋃+∞（， C ．{}0x x ≤D ．{}32x x -≤<-5．已知集合{}1|32|22xA x xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=-<<=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，，则A B =（）A ．{}|22x x -<<B ．{} |12x x -<<C ．{}|32x x -<<-D ．{} |31x x -<<-6．已知集合{}|21xA x =>，{}22B xy x x ==-∣，则A B =（） A ．()0,+∞ B ．(]0,2 C ．(]1,2 D ．[)2,+∞7．设{}13A x x =-<≤，{}B x x a =>，若A B ⊆，则a 的取值范围是（） A ．{}3a a ≥B ．{}1a a ≤-C ．{}3a a >D ．{}1a a <-8．设集合{}{}(,)|20(,)|35A x y x y B x y x y =-==+=，，则A B =（） A ．{1,2} B ．{1,2}xyC ．（1，2）D ．{(1,2)}9．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,3,4A =，{}3,5B =，则()UA B =（） A ．{}1B ．{}3C ．{}2,4D ．{}1,2,4,510．已知集合(){}30A x x x =-<，{}0,1,2,3B =，则A B （） A ．{}0,1,2,3 B ．{}0,1,2 C ．{}1,2,3 D ．{}1,211．如图，已知集合A={-8，1}，B={-8，-5，0，1，3}，则Venn 图中阴影部分表示的集合为（）A ．{-5，0，3}B ．{-5，1，3}C ．{0，3}D ．{1，3} 12．已知集合2{60}A xx x =--<｜，{|231}B x x =+>，则A B ⋃=（） A ．(1,3)-B ．(2,)-+∞C ．(2,1)--D ．(,2)-∞-13．已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2,3B =，则()UB A =（）A ．{}2-B ．{}2,2-C ．{}2,1,0,3--D ．{}2,1,0,2,3--14．已知集合{}1e 1x M x -=>，{}220N x x x =-<，则MN =（）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．()0,1D ．()1,215．已知集合{|13}A x x =-<<，1,{}1,2B =-，则A B =（）A ．{}1,2B ．{}1,1,2-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2,3-二、填空题16．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，()1,2,,8i i x AB AP i =⋅=则用集合列举法表示i x 组成的集合______．17．设集合{}{}240,,20A xx x A x x a =-≤∈=+≤R ∣∣，且[]2,1A B =-，则=a ___________.18．集合{}33A x Z x =∈-<<的子集个数为______． 19．若{}31,2a ∈，则实数=a ____________.20．{}2|60A x x x =+-=，{}|10B x mx =+=，且A B A ⋃=，则m 的值是__________．21．已知集合(){}2,2A x y y xx ==-，()(){},21B x y y x ==+，则AB =___________.22．已知集合(){}2,M x y y x ==∣，(){},0N x y y ==，则M N =______.23．若不等式x a <的一个充分条件为20x -<<，则实数a 的取值范围是___________.24．若全集{}22,4,1U a a =-+，且{}1,2A a =+，7A =，则实数=a ______．25．若集合A ={x ∈R|ax 2+ax +1=0}中只有一个元素，则a =________．三、解答题26．已知{}28200P x x x =--≤，非空集合{}11S x m x m =-≤≤+.若x P ∈是x S ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.27．立德中学高一年级共有200名学生，报名参加学校团委与学生会组织的社团组织，据统计，参加艺术社团组织的学生有103人，参加体育社团组织的学生有120人（并非每个学生必须参加某个社团）.求在高一年级的报名学生中，同时参加这2个社团的最多有多少人？最少有有多少人？28．已知函数()22f x x x a =-+，()5g x ax a =+-(1)若函数()y f x =在区间[]1,0-上存在零点，求实数a 的取值范围；(2)若对任意的[]11,3x ∈-，总存在[]21,3x ∈-，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.29．已知函数()f x A ，不等式1()402x->的解集是集合 B ，求集合 A 和R ()B A ⋂ .30．已知函数()f x A ，关于x 的不等式2()(21)0x m x m --+≤的解集为B ．(1)当m ＝2时，求()A B R ；(2)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求实数m 的取值范围.【参考答案】一、单选题 1．C 【解析】【分析】明确图中阴影部分表示的是() UM N ⋃，根据集合的运算求得答案.【详解】由题意得：{}0,2,4,6UN =，故图中阴影部分表示的集合为(){} U0,2,3,4,5,6M N ⋃=，故选：C ． 2．D 【解析】【分析】化简集合,A B ，再判断各选项的对错. 【详解】因为0.5{|log (1)0}{|12}A x x x x =->=<<，{}24={|2}xB x x x =<<，所以A B ⊆且A B ≠，所以A 错，B 错，{|12}A B x x A =<<=，C 错， {|2}A B x x B =<=，D 对，故选：D. 3．B 【解析】【分析】根据对数的运算性质，求得集合{3,4}A =，进而求得集合A 的子集个数，得到答案. 【详解】由ln(2)1x -≤，可得202x x e ->⎧⎨-≤⎩，解得22x e <≤+，所以集合{|22}{3,4}A x Z x e =∈<≤+=，所以集合A 的子集个数为224=. 故选：B. 4．D 【解析】【分析】根据韦恩图，写出相应集合即可【详解】由图可知，阴影表示的集合为集合A 相对于全集U 的补集，即阴影表示的集合是UA ，所以{}32UA x x =-≤<-；故选：D 5．B 【解析】【分析】先由指数函数的性质求得集合B ，再根据集合的交集运算可求得答案．【详解】解：因为}{}1{|32,|()212x A x x B x x x ⎧⎫=-<<=<=-⎨⎬⎩⎭，所以A B ={}|12x x -<<，故选：B. 6．B 【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再根据交集定义即可求出. 【详解】因为{}|0A x x =>，{}|02B x x =≤≤，所以(]0,2A B =. 故选：B. 7．B 【解析】【分析】根据集合的包含关系，列不等关系，解不等式即可. 【详解】由题：(,)B a =+∞，A B ⊆，则1a ≤-. 故选：B8．D 【解析】【分析】联立方程求解即可. 【详解】集合A 表示在直线2x -y =0上所有的点，集合B 表示3x +y =5上所有的点，所以联立方程2035x y x y -=⎧⎨+=⎩ ，解得x =1，y =2， ()1,2A B ⋂= ，即A 与B 的交集是点（1,2）；故选：D. 9．D 【解析】【分析】利用交集和补集的定义可求得结果. 【详解】由已知可得{}3A B ⋂=，所以，(){}1,2,4,5UA B ⋂=.故选：D. 10．D 【解析】【分析】先化简集合A ，继而求出A B . 【详解】解：(){}{}30=03A x x x x x =-<<<，{}0,1,2,3B =，则A B ={}1,2. 故选：D. 11．A 【解析】【分析】由已知，结合给出的Venn 图可判断阴影部分为∁BA , 根据给到的集合A 和集合B ，可直接进行求解. 【详解】因为集合A={-8，1}，B={-8，-5，0，1，3}， Venn 图中阴影部分表示的集合为∁BA={-5，0，3}．故选：A. 12．B 【解析】【分析】先计算出集合,A B ，再计算A B 即可. 【详解】因为{23}A xx =-<<∣，{1}B x x =>-∣，所以(2,)A B ⋃=-+∞．故选：B. 13．A 【解析】【分析】利用并集和补集的定义可求得结果. 【详解】由已知可得{}1,0,1,2,3A B ⋃=-，因此，(){}2UAB =-.故选：A. 14．D 【解析】【分析】根据指数函数的性质解出集合M ，再由二次不等式的解法求出集合N ，最后求交集即可. 【详解】解：由1e 1x ->得10e e x ->，又函数e x y =在R 上单调递增，则10x ->，即{}1M x x =>，又由220x x -<得02x <<，即{}02M x x =<<，所以{}12M N x x ⋂=<<. 故选：D. 15．A 【解析】【分析】根据交集运算求A B 【详解】{|13}A x x =-<<，1,{}1,2B =-， {1,2}AB ∴=，故选：A二、填空题 16．{}1【解析】【分析】由空间向量的加法得：i i AP AB BP =+，根据向量的垂直和数量积得221AB AB ==，0i AB BP ⋅=计算即可.【详解】由题意得，()2i i i i x AB AP AB AB BP AB AB BP =⋅=⋅+=+⋅又AB ⊥平面286BP P P ，i AB BP ∴⊥，则0i AB BP ⋅=，所以221i i x AB AB BP AB =+⋅==，则()1,2,,81i i x AB AP i =⋅==，故答案为：{}1 17．－2 【解析】【分析】由二次不等式和一次不等式的解法，求出集合A ，B ，再由交集的定义，可得a 的方程，解方程可得a ．【详解】集合2{|40}{|22}A x x x x =-=-，{|20}{|}2B x x a x x a =+=-，由{|21}A B x x ⋂=-，可得12a-=，则2a =-．故答案为：－2． 18．32 【解析】【分析】由n 个元素组成的集合，集合的子集个数为2n 个. 【详解】解：由题意得{}2,1,0,1,2A =--，则A 的子集个数为5232=．故答案为：32. 19．5##32【解析】【分析】根据题中条件，由元素与集合之间的关系，得到23a =求解，即可得出结果. 【详解】因为{}31,2a ∈，所以23a =，解得32a =. 故答案为：32.20．11023-、、【解析】【分析】先求出集合A ，再由A B A ⋃=，可得B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅两种情况求解即可【详解】解：由260x x +-=，得2x =或3x =-，所以{}{}2|603,2A x x x =+-==-，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，当B =∅时，B A ⊆成立，此时方程10+=mx 无解，得0m =；当B ≠∅时，得0m ≠，则集合{}1|10B x mx m ⎧⎫=+==-⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，所以13m -=-或12m -=，解得13m =或12m =-，综上，0m =，13m =或12m =-.故答案为：11023-、、 21．()1,1,2,62⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【解析】【分析】解方程组直接求解即可【详解】由()2221y x x y x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩得121x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或26x y =⎧⎨=⎩，∴()1,1,2,62A B ⎧⎫⎛⎫⋂=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.故答案为：()1,1,2,62⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭22．(){}0,0【解析】【分析】根据题意，得到两集合均为点集，联立20y x y ⎧=⎨=⎩求解，即可得出结果.【详解】因为集合(){}2,M x y y x ==∣表示直线2y x 上所有点的坐标，集合(){},0N x y y ==，表示直线0y =上所有点的坐标，联立20y x y ⎧=⎨=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩则(){}0,0MN =.故答案为：(){}0,0.23．2a ≥【解析】【分析】根据含绝对值不等式的解法，求解不等式的解集，结合充分条件，列出关系式，即可求解. 【详解】由不等式||x a <，当0a ≤时，不等式||x a <的解集为空集，显然不成立；当0a >时，不等式||x a <，可得a x a -<<，要使得不等式||x a <的一个充分条件为20x -<<，则满足{|20}{|}x x x a x a -<<⊆-<<，所以2a -≥-，即2a ≥ ∴实数a 的取值范围是2a ≥. 故答案为：2a ≥. 24．3 【解析】【分析】根据题意21a a -+7=，结合7A =，即可求得a . 【详解】因为{}22,4,1U a a =-+，且{}1,2A a =+，7A =，故可得217a a -+=，即()()320a a -+=，解得3a =或2a =-. 当2a =-时，{}2,4,7U =，{}1,2A =-，不合题意，故舍去. 当3a =时，满足题意. 故答案为：3. 25．4 【解析】【分析】集合A 只有一个元素，分别讨论当0a =和0a ≠时对应的等价条件即可【详解】解：2{|10}A x R ax ax =∈++=中只有一个元素， ∴若0a =，方程等价为10=，等式不成立，不满足条件．若0a ≠，则方程满足0∆=，即240a a -=，解得4a =或0a =（舍去）．故答案为：4三、解答题26．[]0,3. 【解析】【分析】先解出集合P ，由x P ∈是x S ∈的必要不充分条件得出SP ，又S 为非空集合，解不等式求出m 的取值范围即可.【详解】由28200x x --≤，得210x -≤≤，∴{}210P x x =-≤≤.∵S 为非空集合，∴11m m -≤+，解得0m ≥. 又∵x P ∈是x S ∈的必要不充分条件，则S P ，∴12,110,m m -≥-⎧⎨+≤⎩且不能同时取等，解得3m ≤. 综上，m 的取值范围是[]0,3.27．103；23.【解析】【分析】由题可知当艺术社团组织的学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的人数最多，当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少.【详解】由题意：当艺术社团组织的103名学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的学生最多，且有103人；当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少，且有10312020023+-=人，所以同时参加这2个社团的最多有103名学生，最少有23名学生.28．(1)[3,0]-(2)][(),62,∞∞--⋃+【解析】【分析】(1)根据()y f x =在区间[]1,0-上的单调性，结合零点存在性定理可得；(2)将问题转化为两个函数值域的包含关系问题，然后可解.(1)()y f x =的图象开口向上，对称轴为1x =，所以函数()f x 在[]1,0-上单调递减.因为函数()y f x =在区间[]1,0-上存在零点，所以(1)30(0)0f a f a -=+≥⎧⎨=≤⎩，解得30a -≤≤，即实数a 的取值范围为[3,0]-.(2)记函数()22f x x x a =-+，[1,3]x ∈-的值域为集合A ，()5g x ax a =+-，[1,3]x ∈-的值域为集合B .则对任意的[]11,3x ∈-，总存在[]21,3x ∈-，使得()()12f x g x =成立⇔A B ⊆. 因为()y f x =的图象开口向上，对称轴为1x =，所以当[1,3]x ∈-，min max ()(1)1,()(3)3f x f a f x f a ==-==+，得{|13}A y a y a =-≤≤+.当0a =时，()g x 的值域为{5}，显然不满足题意；当0a >时，()g x 的值域为{|5252}B y a y a =-≤≤+，因为A B ⊆，所以521523a a a a -≤-⎧⎨+≥+⎩，解得2a ≥；当0a <时，()g x 的值域为{|5252}B y a y a =+≤≤-，因为A B ⊆，所以521523a a a a +≤-⎧⎨-≥+⎩，解得6a ≤-.综上，实数a 的取值范围为][(),62,∞∞--⋃+29．(,1][4,)A =-∞-⋃+∞； ()][)R 2,14,B A ∞⎡⋂=--⋃+⎣.【解析】【分析】先解出不等式2340x x --≥得到集合A ，再根据指数函数单调性解出集合B ，然后根据补集和交集的定义求得答案.【详解】由题意，()()2340140x x x x --≥⇒+-≥，则(,1][4,)A =-∞-⋃+∞，又2111()40()222x x -⎛⎫->⇒> ⎪⎝⎭，则(),2B =-∞-，R [2,)B =-+∞，于是()][)R 2,14,B A ∞⎡⋂=--⋃+⎣.30．(1)1(,][3,)2-∞-⋃+∞； (2)(,2]-∞-.【解析】【分析】（1）求对数复合函数定义域、解一元二次不等式求出集合A 和B ，利用集合的并补运算求()A B R ．（2）解含参一元二次不等式求集合B ，根据充分条件有A ⊆B ，列不等式求m 的范围即可．(1)由题设40210x x ->⎧⎨+>⎩得：142x -<<，即函数的定义域A ＝1(,4)2-，则R 1(,][4,)2A =-∞-⋃+∞，当m ＝2时，不等式(4)(3)0x x --≤得：34x ≤≤，即B ＝[3,4]，所以()A B R ＝1(,][3,)2-∞-⋃+∞． (2)由2()(21)0x m x m --+=得： x ＝m 2或x ＝21m -，又2221(1)0m m m -+=-≥，即221m m ≥-，综上，2()(21)0x m x m --+≤的解集为B ＝2[21,]m m -，若x∈A是x∈B的充分条件，则A⊆B，即241212mm⎧≥⎪⎨-≤-⎪⎩，得：2m≤-，所以实数m的取值范围是(,2]-∞-．。

集合复习题带答案解析

集合复习题带答案解析集合是数学中的基本概念之一，它描述了一组元素的全体。

在高中数学中，集合的概念和运算是基础中的基础。

以下是一些集合的复习题以及相应的答案解析。

题目1：已知集合A={x | x > 3}，集合B={x | x < 5}，求A∩B。

答案：A∩B = {x | 3 < x < 5}解析：集合A包含所有大于3的元素，集合B包含所有小于5的元素。

求两个集合的交集，即求同时满足两个条件的元素。

因此，交集中的元素x必须同时大于3且小于5。

题目2：集合C={x | x^2 - 5x + 6 = 0}，求C的元素。

答案： C = {2, 3}解析：集合C由满足方程x^2 - 5x + 6 = 0的所有x组成。

解这个一元二次方程，我们可以得到x的值为2和3，因此C的元素就是这两个数。

题目3：已知集合D={x | x = 2k, k∈Z}，集合E={x | x = 3m,m∈Z}，求D∪E。

答案：D∪E = R （全体实数集）解析：集合D包含所有2的整数倍，集合E包含所有3的整数倍。

由于任何整数都可以表示为6的倍数（2和3的最小公倍数），因此D和E的并集包含了所有整数，也就是全体实数集。

题目4：集合F={x | x^2 - 4x + 3 = 0}，判断F是否是空集。

答案： F不是空集。

解析：集合F由满足方程x^2 - 4x + 3 = 0的所有x组成。

这个方程可以通过因式分解为(x - 1)(x - 3) = 0，解得x = 1或x = 3。

因此，F包含元素1和3，不是空集。

题目5：已知集合G={x | x^2 + 2x + 1 = 0}，求G的补集。

答案： G的补集是所有不在G中的实数。

解析：集合G由满足方程x^2 + 2x + 1 = 0的所有x组成。

这个方程可以写成(x + 1)^2 = 0，解得x = -1。

因此，G只包含一个元素-1。

G的补集就是除了-1以外的所有实数。

高一数学必修1集合例题讲解

高一数学必修1集合例题讲解集合的含义与表示例题讲解题型一、集合与方程的综合应用例1. 已知集合{}032=+-=a x x x A ,若A ∈4,求集合A .分析:由题意可知集合A 是由方程032=+-a x x 的实数根构成的,“A ∈4”指的是4=x 是方程032=+-a x x 的一个实数根. 解:∵A ∈4∴4=x 是方程032=+-a x x 的一个实数根 ∴04342=+⨯-a 解之得:4-=a∴原方程为:0432=--x x 解之得:1,421-==x x ∴集合{}4,1=A .例2. 已知集合{}R x x ax x A ∈=--=,0432.（1）当A 中只有一个元素时,求a 的值,并求出此元素; （2）当A 中有两个元素时,求a 满足的条件; （3）当A 中至少有一个元素时,求a 满足的条件.分析:集合A 为含参方程0432=--x ax 的实数根构成的集合.因为方程所含参数为二次项系数,所以该方程可以是关于x 的一元一次方程,也可以是一元二次方程,所以在研究该方程的实数根时,要分为两种情况进行讨论.（1）当A 中只有一个元素时,说明方程0432=--x ax 只有一个实数根,此时0=a ;或该方程有两个相等的实数根,此时0≠a ;（2）当A 中有两个元素时,说明方程0432=--x ax 为一元二次方程,此时0≠a ,且方程有两个不相等的实数根;（3）当A 中至少有一个元素时,说明方程0432=--x ax 只有一个实数根或有两个不相等的实数根,为（1）问和（2）问结果的综合. 解:（1）分为两种情况:①当0=a 时,原方程为:043=--x ,解之得:34-=x∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=34A ,符合题意;②当0≠a 时,由题意可知方程0432=--x ax 有两个相等的实数根 ∴()()04432=-⨯--=∆a解之得:169-=a ∴原方程为:0431692=---x x解之得:3821-==x x∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=38A .综上,当0=a 时,集合A 只有一个元素34-;当169-=a 时,集合A 只有一个元素38-;（2）∵A 中有两个元素∴方程0432=--x ax 为一元二次方程,且有两个不相等的实数根∴()()⎩⎨⎧>-⨯--=∆≠044302a a 解之得:169->a 且0≠a ; （3）∵A 中至少有一个元素 ∴A 中有一个元素或有两个元素当A 中有一个元素时,由（1）可知:0=a 或169-=a ; 当A 中有两个元素时,由（2）可知:169->a 且0≠a . 综上,a 满足的条件是a ≥169-. 重要结论:判断形如02=++c bx ax 的方程的实数根的个数的方法是: （1）当0=a 时,方程可化为0=+c bx 的形式:①当0≠b 时,方程有唯一一个实数根b cx -=;②当0,0==c b 时,方程有无数个实数根;③当0,0≠=c b 时,方程没有实数根;（2）当0≠a 时,原方程为关于x 的一元二次方程: ①若042>-=∆ac b ,则方程有两个不相等的实数根;②若042=-=∆ac b ,则方程有两个相等的实数根（此种情况下表示方程的实数根组成的集合时,集合只有一个元素）; ③若042<-=∆ac b ,则方程没有实数根.例 3. 已知{}x q px x x A =++=2,()(){}1112+=+-+-=x q x p x x B ,当{}2=A 时,求集合B . 解:∵{}2=A∴方程x q px x =++2,即()012=+-+q x p x 有两个相等的实数根,且221==x x由根与系数的关系定理可得:()⎩⎨⎧==--441q p解之得:⎩⎨⎧=-=43q p∴()(){}()(){}1413111122+=+---=+=+-+-=x x x x x q x p x x B整理得:{}0762=+-=x x x B解方程0762=+-x x 得:23,2321-=+=x x ∴集合{}23,23-+=B .例4. 设b ax x y +-=2,{}0=-=x y x A ,{}0=-=ax y x B ,若{}1,3-=A ,试用列举法表示集合B .分析:本题要先由根与系数的关系定理求出b a ,的值,然后把集合B 中的方程转化为关于x 的具体的一元二次方程,解方程即可求出集合B . 解:∵b ax x y +-=2∴{}(){}0102=++-==-=b x a x x x y x A{}{}0202=+-==-=b ax x x ax y x B∵{}1,3-=A∴1,321=-=x x 是方程()012=++-b x a x 的两个实数根由根与系数的关系定理可得:⎩⎨⎧-=-=+321b a解之得:⎩⎨⎧-=-=33b a ,∴{}{}0360222=-+==+-=x x x b ax x x B解方程0362=-+x x 得:323,32321--=+-=x x ∴集合{}323,323--+-=B .例5. 已知集合()(){}012=-+--=a ax x a x x M 中各元素之和等于3,求实数a 的值,并用列举法表示集合M .分析:本题考查到集合元素的基本性质:互异性,注意分类讨论. 解:∵()(){}012=-+--=a ax x a x x M ∴()()()[]}{011=----=a x x a x x M ∵1-≠a a ,且集合M 中各元素之和等于3∴当1=a 时,{}0,1=M ,301≠+,不符合题意; 当11=-a ,即2=a 时,{}1,2=M ,312=+,符合题意; 当1≠a 且2≠a 时,{}1,1,-=a a M ,由311=-++a a 得23=a ,此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21,1,23M ,符合题意.综上,实数a 的值为2或23,集合{}1,2=M 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21,1,23M . 提示:在用列举法表示有限集时,要注意集合元素的互异性. 题型二、集合元素的基本性质的应用集合的元素具有确定性、互异性和无序性,其中对互异性的考查最为常见.例6. 已知集合{}10,4,22a a a A +-=,若A ∈-3,求实数a 的值.分析:由元素与集合之间的关系可求出实数a 的值,但要注意所求a 的值要保证集合A 中的元素互不相同,即满足互异性,所以要对求得的a 的值进行检验. 解:当32-=-a 时,解之得:1-=a ,此时{}10,3,3--=A ,不满足元素的互异性,舍去; 当342-=+a a 时,解之得:11-=a （已舍去）,32-=a 当3-=a 时,{}10,3,5--=A ,符合题意. 综上,实数a 的值为3-.例7. 由实数22,,,,x x x x x --所组成的集合中,含有元素的个数最多有【】（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 分析:本题主要考查集合元素的互异性. 解:∵x x =2,x x -=-2∴①当0>x 时,x x x ==2,x x x -=-=-2 ∴所组成的集合中含有2个元素x x -,; ②当0=x 时,所组成的集合中,只有一个元素0; ③当0<x 时,x x x -==2,x x x =-=-2 ∴所组成的集合中含有2个元素x x -,.综上,含有元素的个数最多有2个.选择【 A 】.题型三、元素与集合的关系元素与集合的关系是从属关系,只有元素属于集合和元素不属于集合两种关系. 判断一个元素是否属于集合的方法是:（1）弄清集合代表元素的含义以及集合所含元素的共同特征; （2）看元素是否满足集合元素的共同特征.例8. 已知集合A 满足条件:若A a ∈,则()111≠∈-+a A a a .若A ∈31,且集合A 中的元素不超过4个,求集合A 中的其它元素. 分析:根据“若A a ∈,则()111≠∈-+a A a a ”,将31=a 代入aa-+11即可求出集合A 的另一个元素,以此类推,可得集合A 中的其它三个元素.解:∵A ∈31∴A ∈=-+2311311 ∴A ∈-=-+32121 ∴A ∈-=+-213131 ∴A ∈=+-31211211 ……∴集合A 中的其它元素为2 , 3- , 21-. 例9. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,21,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,12,若M x ∈0,则0x 与N 的关系是【】（A ）N x ∈0 （B ）N x ∉0 （C ）N x ∈0或N x ∉0 （D ）不能确定解:∵⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x Z k k x x M ,212,21 ∴集合M 为全体奇数的一半所组成的集合∵⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x Z k k x x N ,22,12 ∴集合N 为全体整数的一半所组成的集合 ∴若M x ∈0,则必有N x ∈0.选择【 A 】.另解:⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x Z k k x x N ,22,12 当()Z n n k ∈=2时,{}Z n n x x N ∈+==,1;当()Z n n k ∈-=12时,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z n n x x N ,21.∵M x ∈0可设()Z k k x ∈+=2100 ∴N x ∈0.（由后面可知,集合M 与集合N 的关系为N M ⊆,所以若M x ∈0,则有N x ∈0）例10. 已知集合{}Z m m x x A ∈-==,12,{}Z n n x x B ∈==,2,且B x A x x ∈∈321,,,则下列判断不正确的是【】（A ）A x x ∈⋅21 （B ）B x x ∈⋅32 （C ）B x x ∈+21 （D ）A x x x ∈++321 解:由题意可知:集合A 为奇数集,集合B 为偶数集 ∵B x A x x ∈∈321,, ∴21,x x 为奇数,3x 为偶数∴21x x ⋅为奇数,32x x ⋅为偶数,21x x +为偶数,321x x x ++为偶数 ∴B x x x ∈++321,故【 D 】选项判断不正确.提示:在判断元素与集合的关系时,一定要先弄清集合的本质或集合所含元素的共同特征.例11. 已知集合{}Z n m n m x x A ∈+==,,2.（1）试判断()221221,2-=-=x x 与集合A 的关系; （2）设A x x ∈21,,证明:A x x ∈⋅21.（1）解:∵()12021-⨯+=-=x ,Z N Z m ∈-=∈=1,0 ∴A x ∈1 ∵()()42924922122-⨯+=-=-=x ,Z n Z m ∈-=∈=4,9∴A x ∈2;（2）证明:∵A x x ∈21,可设1112n m x +=（Z n m ∈11,）,2222n m x +=（Z n m ∈22,）∴()()()()122121************n m n m n n m m n m n m x x +++=++=⋅ ∵Z n m n m ∈2211,,,∴Z n m n m Z n n m m ∈+∈+12212121,2 ∴A x x ∈⋅21.题型四、集合的表示方法集合常用的表示方法有列举法和描述法两种.把集合的元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.用列举法表示集合时要注意以下几点: （1）元素之间必须用逗号隔开;（2）元素不能重复（即集合的元素要满足互异性）; （3）元素之间无先后顺序（集合的元素具有无序性）;（4）表示有规律的无限集时,必须把元素间的规律表示清楚后才可以使用省略号,如﹛1 , 2 , 3 , … ﹜.列举法常用来表示有限集或有规律的无限集.用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.记作(){}x P I x ∈,其中x 为集合的代表元素,I 表示元素x 的取值范围,()x P 表示集合的元素所具有的共同特征.第二定义用确定的条件表示某些对象属于一个集合的方法,称为描述法. 注意:“共同特征”或“确定的条件”可以说是方程,也可以是不等式（组）等.如集合{}0322=--=x x x A ,集合{}062<-=x x B . 用描述法表示集合时要注意以下几点:（1）写清集合中的代表元素,如实数或有序实数对,从而正确表示数集和点集; （2）用简洁准确的语言表示集合中元素的共同特征;（3）不能出现未被说明的字母,如集合{}n x Z x 2=∈中的n 未被说明,应正确表示为{}Z n n x Z x ∈=∈,2或{}Z x n x x ∈=,2;（4）元素的取值范围,从上、下文来看,如果是明确的,可以省略. 如集合{}02=+∈x x R x ,也可以写作{}02=+x x x .（5）出现多层描述时,应正确使用“或”、“且”、“非”等逻辑联结词; （6）所有描述的内容都要写在大括号内;（7）识别描述法表示的集合时,要看清代表元素,正确区分数集和点集. 当集合所含元素较多或元素的共同特征不明显时,适合用描述法来表示集合.例12. 用列举法表示集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧-==x y x y y x 2,,正确的是【】（A ）()1,1-,()0,0 （B ）()(){}0,0,1,1- （C ）{}01,01或或=-=y x （D ）{}1,0,1-分析:由题意可知该集合为点集,所以在用列举法表示该集合时,集合的元素为有序实数对.解:解方程组⎩⎨⎧-==xy x y 2得:⎩⎨⎧=-=111y x ,⎩⎨⎧==0022y x∴用列举法表示该集合为()(){}0,0,1,1-.选择【 B 】.例13. 已知集合{}N x x x A ∈≤-=,21,{}A x x y y B ∈+==,12,则集合B 中所有元素之和为_________.分析:先解绝对值不等式21≤-x ,再用列举法表示出集合A .下面给你补充简单绝对值不等式的解法.知识点简单绝对值不等式的解法（1）x ≥a （a ≥0）型不等式的解法:x ≥a （a ≥0）x ⇔≥a 或x ≤a -. （2）x ≤a （a ≥0）型不等式的解法:x ≤a （a ≥0）a -⇔≤x ≤a . 根据上面补充的结论,若21≤-x ,则2-≤1-x ≤2,解之得:1-≤x ≤3. 解:∵{}{}{}3,2,1,0,31,21=∈≤≤-=∈≤-=N x x x N x x x A ∴{}{}10,5,2,1,12=∈+==A x x y y B ,集合B 中所有元素之和为18.例14. 给出下列说法:①在平面直角坐标系中,第一、三象限的点的集合为(){{}0,>xy y x ; ②方程022=++-y x 的解集为{}2,2-; ③集合(){}x y y x -=1,与{}x y x -=1是相等的. 其中正确的说法有_________（填序号）.解:因为第一、三象限的点的横坐标与纵坐标同号,所有①说法正确;方程022=++-y x 为二元方程,其解⎩⎨⎧-==22y x 要写成有序实数对的形式,即解集为(){}2,2-,所以②说法错误;集合(){}x y y x -=1,为点集,它是由直线x y -=1上所有点的坐标构成的集合;集合{}x y x -=1是数集,它是由满足函数解析式x y -=1的所有自变量的值构成的集合,所以{}x y x -=1=R ,故③说法错误. 综上,正确的说法有①.例15. 用适当的方法表示下列集合. （1）绝对值不大于2的所有整数;（2）方程组⎩⎨⎧-=-=+11y x y x 的解;（3）函数xy 1=图象上的所有点. 解:（1）描述法:{}Z x x x ∈≤,2,列举法:{}2,1,0,1,2--（选择一种方法表示即可）;（2）解方程组⎩⎨⎧-=-=+11y x y x 得:⎩⎨⎧==1y x∴方程组⎩⎨⎧-=-=+11y x y x 的解集用列举法表示为(){}1,0,用描述法表示为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧==10,y x y x ;（3）()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=x y y x 1,.题型五、集合的新定义例16. 已知集合{}2,,,,,321≥=n a a a a A n ,如果A 中的元素满足n n a a a a a a +++= 2121,就称A 为“复活集”,给出下列结论:①集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+-251,251是“复活集”; ②若∈21,a a R ,且{}21,a a 是“复活集”,则421>a a ;③若∈21,a a N *,则{}21,a a 不可能是“复活集”.其中正确的结论是_________.（填序号）解:①∵()()145125125122-=--=--⨯+-,1251251-=--++- ∴=--⨯+-251251251251--++- 根据“复活集”的定义,集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+-251,251是“复活集”,结论①正确; ②∵{}21,a a 是“复活集”∴2121a a a a +=,可设m a a a a =+=2121∵∈21,a a R ,∴21,a a 是一元二次方程02=+-m mx x 的两个实数根由()042>--=∆m m （注意:根据集合元素的互异性由于21a a ≠,所以0≠∆）得: 0<m 或4>m ,即421>a a 或021<a a .结论②错误;③不妨设21a a <∴221212a a a a a <+=,且∈2a N *∴21<a ,∵∈1a N *,∴11=a∴221a a =+,无正整数解∴当∈21,a a N *时,{}21,a a 不可能是“复活集”.结论③正确.答案:①③.集合间的基本关系例题讲解说明所选例题题型、难易程度顺序不分先后题型一根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围对于两个集合A 与B ,A 或B 中含有待定的参数（字母）,若已知集合A 与B 的关系,求参数的值或取值范围时,常采用分类讨论和数形结合的方法.（1）分类讨论:若B A ⊆,在未指明集合A 非空时,应分为∅=A 和∅≠A 两种情况进行讨论.（2）数形结合:在对∅≠A 这种情况进行参数的确定时,要借助于数轴来完成.将两个集合在数轴上画出来,注意分清端点处的实心和空心,根据两个集合之间的基本关系,列不等式（组）求解.例 1. 已知集合{}43≤≤-=x x A ,{}112+≤≤-=m x m x B ,若A B ⊆,求实数m 的取值范围.分析:需要知道的是由集合间的基本关系可以确定参数的取值范围.本题在分类讨论时要用到下面的结论:关于集合为空集的重要结论（1）若集合{}∅=≤≤=n x m x A ,则n m >;（2）若集合{}∅=<<=n x m x A ,则m ≥n ;（3）若集合{}∅=<≤=n x m x A 或{}∅=≤<=n x m x A ,则m ≥n .最后,实数m 的取值范围最好写成集合的形式.解:∵A B ⊆,{}112+≤≤-=m x m x B∴分为两种情况:①当∅=B 时,112+>-m m ,解之得:2>m ;②当∅≠B 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+≤-41312112m m m m ,解之得:1-≤m ≤2.综上,实数m 的取值范围为{}1-≥m m .例 2. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧<->+=0102063x x x A ,{}121-≤≤+=m x m x B ,若A B ⊆,求实数m 的取值范围.解:解不等式组⎩⎨⎧<->+0102063x x 得:52<<-x ∴{}52<<-=x x A∵A B ⊆,∴分为两种情况:①当∅=B 时,121->+m m ,解之得:2<m ;②当∅≠B 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-≤+51221121m m m m ,解之得:2≤3<m .综上,实数m 的取值范围是{}3<m m .例3. 设集合{}042=+=x x x A ,(){}011222=-+++=a x a x x B ,若A B ⊆,则实数a 的值取值范围为__________.分析:在进行分类讨论时要做到不重不漏,特别注意不能漏掉对∅=B 的讨论.解决本题还要明白以下两点:（1）空集是任何集合的子集;（2）空集是任何非空集合的真子集.解:{}{}4,0042-==+=x x x A∵A B ⊆,(){}011222=-+++=a x a x x B∴分为两种情况:（1）当∅=B 时,方程()011222=-+++a x a x 没有实数根∴()[]()0141222<--+=∆a a ,解之得:1-<a ; （2）当∅≠B 时,则有{}0=B 或{}4-=B 或{}4,0-=B①当{}0=B 或{}4-=B 时,方程()011222=-+++a x a x 有两个相等的实数根 ∴()[]()0141222=--+=∆a a ,解之得:1-=a ∴{}0=B 符合题意;②当{}4,0-=B 时,由根与系数的关系定理可得:()⎩⎨⎧=--=+-014122a a 解之得:1=a .综上,实数a 的值取值范围为{}11-≤=a a a 或.★例4. 已知集合{}52≤≤-=x x A ,{}121-≤≤+=m x m x B .（1）若A B ≠⊂,求实数m 的取值范围;（2）若B A ⊆,求实数m 的取值范围.分析:（1）本题中集合A 为非空集合,因为空集是任何非空集合的真子集,所以要对含参集合B 进行分类讨论;（2）由B A ⊆可知集合B 为非空集合.解:（1）∵A B ≠⊂,{}121-≤≤+=m x m x B∴分为两种情况:①当∅=B 时,121->+m m ,解之得:2<m ;②当∅≠B 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-≤+51221121m m m m 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+-≤+51221121m m m m解之得:2≤m ≤3.综上所述,实数m 的取值范围为{}3≤m m ;（2）∵B A ⊆,且∅≠A∴∅≠B ,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-<+51221121m m m m 解之得:实数m 不存在.∴不存在实数m ,使得B A ⊆.注意:在第（1）问中,当∅≠B 时,结果⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-≤+51221121m m m m 是不正确的.如下图的数轴所示,应有:⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-≤+51221121m m m m 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+-≤+51221121m m m m .这一点要特别注意了. m m + 1 22m 1在第（2）问中,虽然得出∅≠B ,但不是121-≤+m m ,应是121-<+m m ,见如下图所示的数轴,应从整体上把握题目.例5. 已知集合{}51<<=x x A ,{}3423-<<-=a x a x C ,若A C ⊆,求实数a 的取值范围.解:∵A C ⊆,∴分为两种情况:①当∅=C 时,23-a ≥34-a ,解之得:a ≤1;②当∅≠C 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥--<-5341233423a a a a ,解之得:a <1≤2. 综上所述,实数a 的取值范围是{}2≤a a .例6. 已知集合{}52≤≤-=x x A .（1）若A B ⊆,{}121-≤≤+=m x m x B ,求实数m 的取值范围;（2）若B A ⊆,{}126-≤≤-=m x m x B ,求实数m 的取值范围;（3）若B A =,{}126-≤≤-=m x m x B ,求实数m 的取值范围.解:（1）∵A B ⊆,{}121-≤≤+=m x m x B ,∴分为两种情况:①当∅=B 时,121->+m m ,解之得:2<m ;②当∅≠B 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+51221121m m m m ,解之得:2≤m ≤3. 综上所述,实数m 的取值范围是{}3≤m m ;（2）∵B A ⊆,{}52≤≤-=x x A ,∴∅≠B则有:⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤--<-51226126m m m m ,解之得:3≤m ≤4∴实数m 的取值范围是{}43≤≤m m ;（3）∵B A =∴⎩⎨⎧=--=-51226m m ,无解,即不存在实数m ,使得B A =. 题型二集合间关系的判断判断集合间关系的常用方法（1）列举观察法当集合中元素较少时,可以列出两个集合中的全部元素,然后通过定义得出两个集合之间的关系.（2）集合元素特征法首先确定集合的代表元素是什么,弄清集合代表元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.一般地,设(){}x p x A =,(){}x q x B =:①若由()x p 可推出()x q ,则B A ⊆；②若由()x q 可推出()x p ,则A B ⊆;③若()x p 与()x q 可互相推出,则B A =。

高中数学必修一集合练习题及讲解

高中数学必修一集合练习题及讲解在高中数学必修一的课程中，集合是基础而重要的概念。

以下是一些集合的练习题以及相应的讲解：练习题1：已知集合A = {x | x > 3} 和集合B = {x | x < 5}，求A∪B。

讲解：A∪B表示A和B的并集，即包含在A或B中的所有元素。

根据定义，A 包含所有大于3的数，B包含所有小于5的数。

因此，A∪B将包含所有大于3且小于5的数，以及所有大于3的数。

由于所有大于3的数自然也大于3且小于5，所以A∪B实际上就是所有大于3的数，即A∪B = {x | x > 3}。

练习题2：设集合C = {1, 2, 3} 和集合D = {2, 3, 4}，求C∩D。

讲解：C∩D表示C和D的交集，即同时属于C和D的元素。

根据定义，C包含1, 2, 3，而D包含2, 3, 4。

交集是两个集合共有的元素，所以C∩D = {2, 3}。

练习题3：若集合E = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，求E的元素。

讲解：首先解方程x^2 - 5x + 6 = 0。

这是一个二次方程，可以通过因式分解或求根公式来解。

因式分解得(x - 2)(x - 3) = 0，所以x = 2 或x = 3。

因此，集合E的元素是{2, 3}。

练习题4：集合F = {x | x ∈ Z, 0 ≤ x ≤ 10}，求F的元素。

讲解：F是一个整数集合，包含所有在0到10之间的整数（包括0和10）。

因此，F的元素是{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}。

练习题5：设集合G = {x | x^2 - 4x + 3 = 0}，求G的补集，其中U = {1, 2, 3, ..., 10}。

讲解：首先解方程x^2 - 4x + 3 = 0。

同样，这是一个二次方程，可以通过因式分解得到(x - 1)(x - 3) = 0，所以x = 1 或 x = 3。

因此，G = {1, 3}。

高一数学集合的例题讲解介绍

高一数学集合的例题讲解【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M分析一：从判断元素的共性与区别入手。

解答一：对于集合M：{x|x= ,m∈Z};对于集合N：{x|x= ,n∈Z}对于集合P：{x|x= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。

分析二：简单列举集合中的元素。

解答二：M={…，，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

= ∈N，∈N，∴M N，又 = M，∴M N，= P，∴N P 又∈N，∴P N，故P=N，所以选B。

点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

变式：设集合，，则( B )A.M=NB.M NC.N MD.解：当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B【例2】定义集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为A)1 B)2 C)3 D)4分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。

解答：∵A*B={x|x∈A且x B}，∴A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。

选D。

变式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6?a∈M，那么集合M的个数为A)5个 B)6个 C)7个 D)8个变式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.解：由已知，集合中必须含有元素a,b.集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有个 .【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

(完整版)集合有关近年高考题50道及答案解析

【经典例题】【例1】(2009年广东卷文)已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 ( )【答案】B【解析】由{}2|0N x x x =+=，得{1,0}N =-，则N M ⊂,选B.【例2】(2011广东)已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且}221,x y +={(,)|,B x y x y =为实数，且},AB y x =则的元素个数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 【答案】C【解析】A 为圆心在原点的单位圆，B 为过原点的直线，故有2个交点，故选C.【例3】（2010天津理）设集合A={}{}|||1,,|||2,.x x a x R B x x b x R -<∈=->∈若A ⊆B ，则实数a,b 必满足( ) A 、||3a b +≤ B 、||3a b +≥ C 、||3a b -≤ D 、||3a b -≥【答案】D【解析】A=｛x|a-1<x<a+1｝,B={x|x<b-2或x>b+2}，因为A ⊆B,所以a+1≤b-2或a-1≥b+2，即a-b ≤-3或a-b ≥3，即|a-b|≥3【例4】（2009广东卷理）已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个【答案】 B【解析】由{212}M x x =-≤-≤得31≤≤-x ，则{}3,1=⋂N M ，有2个，选B. 【例5】（2010天津文）设集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值范围是 ( ) A 、{}a |0a 6≤≤ B 、{}|2,a a ≤≥或a 4C 、{}|0,6a a ≤≥或aD 、{}|24a a ≤≤ 【答案】 C【解析】由|x-a|<1得-1<x-a<1,即a-1<x<a+1.如图由图可知a+1≦1或a-1≧5，所以a ≦0或a ≧6.【例6】（2012大纲全国）已知集合{}{}1,3,,1,,A m B m A B A ==⋃=，则m = （）A 、0或3B 、0或3C 、1或3D 、1或3 【答案】B 【解析】A B A ⋃= B A ∴⊂，{}{}1,3,,1,A m B m ==m A ∴∈，故m m =或3m =，解得0m =或3m =或1m =，又根据集合元素的互异性1m ≠，所以0m =或3m =。