2019年高中数学 课时跟踪训练(七)空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理 北师大版选修
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时跟踪训练含解析新人教A
学习资料高中数学第三章空间向量与立体几何 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时跟踪训练含解析新人教A版选修2班级：科目：空间向量的正交分解及其坐标表示［A 组 学业达标］1．O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量错误!，错误!，错误!不能构成空间的一个基底，则（ )A 。
错误!,错误!,错误!共线 B.错误!，错误!共线 C.错误!,错误!共线D ．O ，A ,B ，C 四点共面解析：由OA ，→，错误!，错误!不能构成基底知错误!,错误!，错误!三向量共面，所以一定有O ，A ，B ， C 四点共面． 答案:D2．已知i ，j ，k 是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向上的单位向量,且错误!＝－i ＋j －k ,则B 点的坐标为（ ) A ．（－1,1，－1） B ．（－i ，j ,－k ) C ．（1,－1，－1）D ．不确定解析：错误!＝－i ＋j －k ，只能确定错误!的坐标为(－1，1,－1），而A 点坐标不确定，所以B 点坐标也不确定． 答案：D3。
如图所示,已知平行六面体OABC -O ′A ′B ′C ′，错误!＝a ,错误!＝c ，错误!＝b ，D 是四边形OABC 的中心，则( ) A.错误!＝－a ＋b ＋cB.错误!＝－b －错误!a －错误!cC.O ′D ，→＝错误!a －b －错误!c D 。
错误!＝错误!a －b ＋错误!c解析：错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!＋错误!)＝错误!a －b ＋错误!c . 答案：D4．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底｛a ，b ，c }下的坐标为（8，6，4），其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ,c ＝k ＋i ，则向量p 在基底｛i ，j ，k }下的坐标是( ） A ．(12,14，10) B ．（10，12，14) C ．(14，12,10）D ．(4,3，2）解析：依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8（i ＋j ）＋6(j ＋k ）＋4（k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底｛i ，j ，k ｝下的坐标是（12,14，10）．答案:A5．设｛e 1，e 2，e 3｝是空间向量的一个单位正交基底,a ＝4e 1－8e 2＋3e 3,b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ,b 的坐标分别为________．解析：由于{e 1，e 2，e 3｝是空间向量的一个单位正交基底,所以a ＝(4，－8，3)， b ＝（－2，－3，7）．答案：a ＝(4，－8，3),b ＝（－2，－3，7)6．在如图所示的长方体ABCD .A 1B 1C 1D 1中,已知A 1（a,0，c ）,C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________．解析:∵在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1(a ，0，c )，C (0，b,0）， ∴可知AD ＝a ,DC ＝b ，DD 1＝c . ∴B 1的坐标为(a ,b ,c )． 答案：(a ，b ，c )7．三棱锥P .ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1,M 为PC 的中点，N 为AC 中点，以｛错误!,错误!，错误!}为基底，则错误!的坐标为________． 解析:错误!＝错误!－错误!＝错误!（错误!＋错误!）－错误!(错误!＋错误!) ＝12错误!－错误!错误!， 即MN →＝错误!. 答案：错误!8．棱长为1的正方体ABCD .A 1B 1C 1D 1中,E ，F ,G 分别为棱DD 1，D 1C 1,BC 的中点，以{错误!，错误!，错误!}为正交基底,求下列向量的坐标: （1)错误!，错误!,错误!；(2)错误!，错误!,错误!.解析：（1)错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!， 错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!错误!＝错误!，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!. (2)由（1）得错误!＝错误!－错误!＝错误!－错误! ＝错误!，错误!＝错误!－错误!＝错误!－错误! ＝错误!,错误!＝错误!－错误!＝错误!－（0，1,0） ＝错误!。
学空间向量与立体几何空间向量的正交分解及其坐标表示
合成与分解、波动传播的方向和速度等。
空间向量在计算机图形学中的应用
图形变换
空间向量在计算机图形学中广泛应用于图形的变换，例如平移 、旋转和缩放等操作。
光照与阴影
空间向量在光照与阴影的计算中也起着关键作用，例如计算光 线方向、反射和折射等。
动画与游戏
空间向量在动画和游戏开发中也经常被使用，例如物体移动、 视角转换和角色控制等。
THANK YOU.
2023
《学空间向量与立体几何 空间向量的正交分解及其
坐标表示》
目录
• 空间向量与立体几何概述 • 空间向量的正交分解 • 空间向量的坐标表示 • 空间向量与立体几何的应用 • 总结与展望
01
空间向量与立体几何概述
空间向量的定义与性质
空间向量的定义
空间向量是一种具有大小和方向的量，通常用一条有向线段表示，其大小由线段的长度表示，方向由 线段的方向表示。
03
空间向量的坐标表示
坐标系的建立
01
建立空间直角坐标系
通过原点和三个互相垂直的单位向量 确定空间直角坐标系。
02
坐标系的特点
03
坐标系的单位向量
坐标系具有三个互相垂直的轴，分别 为x轴、y轴、z轴，每个轴上的单位长 度为1。
x轴上的单位向量为i，y轴上的单位向 量为j，z轴上的单位向量为k。
空间向量的坐标表示
空间向量的定义
空间向量是一个有方向和大小的 量，可以用一个有序实数组表示 。
空间向量的表示方法
在空间直角坐标系中，空间向量 可以用三个分量来表示，即 (x,y,z)。
空间向量的模
空间向量的模等于其分量平方和 的平方根。
空间向量坐标的运算
空间向量的正交分解及其坐标表示(上课用)
注意： 1.空间向量的基底可以为零向量吗？
基向量不能为零向量
2.空间向量的基底唯一吗？
任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底。
三、平面向量的坐标表示
y
正交单a位 xi +y j
基底
yj
a 我们把(x,y)叫做向量 a 的
j
(直角)坐标，记作
O
x
i xi
a (x, y)
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标， y叫做 a在y轴上的坐标， (x,y)叫做向量的坐标表示.
记作.P=(x,y,z)
e3
e1
O e2
y
x
三、空间向量的正交分解及其坐标表示
由空间向量基本定理，对
z
于空间任一向量 p 存在唯
一的 有序实数组 (x,y, z)使 p xi yj zk
记作 p =(x,y,z)
PP k
i Oj
y
空间向量 p
i, j, k 为基底
P′
一一对应
x 有序实数组 (x, y, z)
1 2 OA MN
23
O M
1
OA
2
ON
OM
2 3
A
Q
P
C
1
OA
2
ON
1
OA
2 3 2
1
OA
2
1
OB
OC
6 3 2
N B
1
OA
1
OB
1
OC
633
例题：
已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分
别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向
量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.
空间向量的正交分解与坐标表示
、 、
【解】
(1)设正三棱柱的侧棱长为a，则 ，0，a)，B( ，0,0)，C1(0,1，a)，
A(0，－1,0)，B1(
∴
＝( ，1，a)，
＝(－ ，1，a).┄┄┄┄(2分)
，
∵AB1⊥BC1，∴ ∴ 即正三棱柱侧棱长为
＝0，即－3＋1＋a2＝0，∴a＝ . .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(5分)
(3)由条件知，〈
对空间任一点O，有
或 (x＋y＋z＝1)即可，以上结论是判
定空间四点共面的一个充要条件，共面向量定理实际上 也是三个非零向量所在直线共面的必要条件.
设A、B、C及A1、B1、C1分别是异面直线l1，l2上的 三点，而M、N、P、Q分别是线段AA1、BA1、BB1、CC1的 中点.
求证：M、N、P、Q四点共面.
5.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂平面α， AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成 30°角，则C、D间的距离为 .
解析：∵AC⊥α，∴AC⊥AB，
∴
＝0，
过D作DD′⊥α于点D′，则DD′∥CA， ∴〈 ∴ ∴| 〉＝120°， ＝－ |2＝( ，又 ，∴ ＝0， )＝2，
)2＝1＋1＋1＋2×(－
＝(－2，－1,3)， ＝(－1,3，－2)， ，| |＝ ， · ＝－7.
∴cosθ ＝ 答案：120°
＝－
，∴θ ＝120°.
用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图 形为指导是解题的关键. 1.把要表示的向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和
差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系.
2.用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底 的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法， 如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘.
3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示
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[基础·初探] 教材整理 1 空间向量的标准正交分解与坐标表示 阅读教材 P33“抽象概括”的部分，完成下列问题． 在给定的空间直角坐标系中，i，j，k 分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向上 的单位向量，对于空间任意向量 a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)， 使得 a＝xi＋yj＋zk .我们把 a＝xi＋yj＋zk 叫作 a 的标准正交分解， 把 i，j，k 叫作标准正交基．
|C→A′|cos 〈C→A′，C→A〉＝ 3cos∠A′CA
＝
3×
2 3
＝ 2.
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[探究共研型]
特殊向量的空间坐标 探究 平行于坐标轴或坐标平面的向量，如何用坐标表示？ 【提示】 (1)当向量a平行于x轴时，纵坐标，竖坐标都为0，即a＝(x,0,0)． (2)当向量a平行于y轴时，横坐标，竖坐标都为0，即a＝(0，y,0)． (3)当向量a平行于z轴时，横坐标，纵坐标都为0，即a＝(0,0，z)． (4)当向量a平行于xOy平面时，竖坐标为0，即a＝(x，y,0)． (5)当向量a平行于yOz平面时，横坐标为0，即a＝(0，y，z)． (6)当向量a平行于xOz平面时，纵坐标为0，即a＝(x,0，y).
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[小组合作型] 空间向量的坐标表示
(1)设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，若a＝(3,7，－2) 则a关于i，j，k的分解式为________．
高中数学课时跟踪检测(七)-平面向量的正交分解及坐标表示
课时跟踪检测（七）平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示A 级——学考合格性考试达标练1．若O (0,0)，A (1,2)，且OA ′―→＝2OA ―→，则A ′点坐标为( )A ．(1,4)B ．(2,2)C ．(2,4)D ．(4,2)解析：选C 设A ′(x ，y )，OA ′―→＝(x ，y )，OA ―→＝(1,2)，∴(x ，y )＝(2,4)．故选C.2．已知向量a ＝(－2,4)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的关系是( )A ．不共线B ．相等C ．方向相同D ．方向相反解析：选D ∵a ＝－2b ，∴a 与b 方向相反．故选D.3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(5,6)D ．(2,0)解析：选A b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．故选A.4．若向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－2)，则与a ＋2b 共线的向量可以是( )A ．(3，－1)B ．(－1，－3)C ．(－3，－1)D ．(－1，3)解析：选D 法一：∵a ＋2b ＝(3，－3)， ∴3×3－(－1)×(－3)＝0.∴(－1，3)与a ＋2b 是共线向量．故选D.法二：∵a ＋2b ＝(3，－3)＝－3(－1，3)，∴向量a ＋2b 与(－1，3)是共线向量．故选D.5．在平行四边形ABCD 中，A (1,2)，B (3,5)，AD ―→＝(－1,2)，则AC ―→＋BD ―→＝( )A ．(－2,4)B ．(4,6)C ．(－6，－2)D ．(－1,9)解析：选A 在平行四边形ABCD 中，因为A (1,2)，B (3，5)，所以AB ―→＝(2,3)．又AD―→＝(－1,2)，所以AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝(1,5)，BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝(－3，－1)，所以AC ―→＋BD―→＝(－2,4)．故选A.6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1.答案：17．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，则AB ―→＋2BC ―→＝________.解析：∵A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，∴AB ―→＝(2,3)，BC ―→＝(－3,3)．∴AB ―→＋2BC ―→＝(2,3)＋2(－3，3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．答案：(－4,9)8．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)．若(a －c )∥b ，则k ＝________.解析：a －c ＝(3－k ，－6)，∵(a －c )∥b ，∴3(3－k )＋6＝0，解得k ＝5.答案：59．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，求实数x 的值． 解：因为a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，所以u ＝a ＋2b ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)，v ＝2a －b ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，解得x ＝12. 10．已知a ＝AB ―→，B 点坐标为(1,0)，b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，且a ＝3b －2c ，求点A的坐标．解：∵b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，∴3b －2c ＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，即a ＝(－7,10)＝AB ―→.又B (1,0)，设A 点坐标为(x ，y )，则AB ―→＝(1－x,0－y )＝(－7,10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝－7，0－y ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－10. ∴A 点坐标为(8，－10)．B 级——面向全国卷高考高分练1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14B.12 C ．1 D ．2解析：选B 由题意可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)．由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)4－3×2＝0，解得λ＝12.故选B. 2．已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB ―→和CD ―→是相反向量，则D 点坐标是( )A ．(1,0)B ．(－1,0)C ．(1，－1)D ．(－1,1)解析：选C ∵AB ―→与CD ―→是相反向量，∴AB ―→＝－CD ―→. 又AB ―→＝(1,1)，∴CD ―→＝(－1，－1)．设D (x ，y )，则CD ―→＝(x －2，y )＝(－1，－1)．从而x ＝1，y ＝－1，即D (1，－1)．故选C.3．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为( )A ．(－7,6)B ．(7,6)C ．(6,7)D ．(7，－6)解析：选D 设D (x ，y )，由AD ―→＝BC ―→，得(x －5，y ＋1)＝(2，－5)，∴x ＝7，y ＝－6，∴D (7，－6)．故选D.4．[多选]已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，下列说法错误的是( )A ．存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )B ．若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2C ．若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点OD ．若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )解析：选BCD 由平面向量基本定理，可知A 正确；例如，a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故B 错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故C 错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的始点是原点为前提的，故D 错误．故选B 、C 、D.5．设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x ＝________.解析：由已知，可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4λ＝－2，xλ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－12，x ＝－14，所以λ＋x ＝－292. 答案：－2926．已知A ，B ，C 三点共线，BA ―→＝－38AC ―→，点A ，B 的纵坐标分别为2,5，则点C 的纵坐标为________．解析：设点C 的纵坐标为y ，∵A ，B ，C 三点共线，BA ―→＝－38AC ―→，A ，B 的纵坐标分别为2,5，∴2－5＝－38(y －2)．∴y ＝10. 答案：107．已知向量OA ―→＝(3，－4)，OB ―→＝(6，－3)，OC ―→＝(5－x ，－3－y )．(1)若点A ，B ，C 不能构成三角形，求x ，y 满足的条件；(2)若AC ―→＝2BC ―→，求x ，y 的值．解：(1)因为点A ，B ，C 不能构成三角形，则A ，B ，C 三点共线．由OA ―→＝(3，－4)，OB ―→＝(6，－3)，OC ―→＝(5－x ，－3－y )得AB ―→＝(3,1)，AC ―→＝(2－x,1－y )，所以3(1－y )＝2－x .所以x ，y 满足的条件为x －3y ＋1＝0.(2)由OB ―→＝(6，－3)，OC ―→＝(5－x ，－3－y )，得BC ―→＝(－x －1，－y )，由AC ―→＝2BC ―→得(2－x,1－y )＝2(－x －1，－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ＝－2x －2，1－y ＝－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－1. C 级——拓展探索性题目应用练已知A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)和D (－2,3)，以AB ―→，AC ―→为一组基底来表示AD ―→＋BD―→＋CD ―→.解：∵AB ―→＝(1,3)，AC ―→＝(2,4)，AD ―→＝(－3,5)，BD ―→＝(－4,2)，CD ―→＝(－5,1)，∴AD ―→＋BD ―→＋CD ―→＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12，8)．根据平面向量基本定理，一定存在实数m ，n ，使得AD ―→＋BD ―→＋CD ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，∴(－12,8)＝m (1,3)＋n (2,4)，即(－12,8)＝(m ＋2n,3m ＋4n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝－12，3m ＋4n ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，n ＝－22. ∴AD ―→＋BD ―→＋CD ―→＝32AB ―→－22AC ―→.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
2019年高中数学课时跟踪检测十五空间向量的正交分解及其坐标表示新人教A版选修2_1
课时跟踪检测（十五） 空间向量的正交分解及其坐标表示层级一 学业水平达标1．已知A (3,2，－3)，则点A 关于y 轴的对称点的坐标是( )A ．(－3，－2,3)B ．(－3,2，－3)C ．(－3,2,3)D ．(－3，－2，－3)解析：选C 由对称定义知．2．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量；q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底．当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量．因此p ⇒/ q ，q ⇒p .3．在空间直角坐标系O xyz 中，下列说法正确的是( )A ．向量的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量的坐标与点A 的坐标相同C ．向量与向量的坐标相同 D ．向量与向量－的坐标相同解析：选D 因为A 点不一定为坐标原点，所以A 不正确；同理B ，C 都不正确；由于＝－，所以D 正确．4．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN的中点，则等于( )A.16 ＋13＋13 B.14(＋＋)C.13( ＋＋) D.16＋13＋13解析：选B 如图，＝12(＋)＝12＋12×12(＋)＝14＋14＋14＝14(＋＋)．5．空间四边形OABC 中，＝a ，＝b ，＝c ，点M 在OA 上，且＝2，N 为BC 中点，则为( )A.12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c解析：选B ＝＋＋ ＝13＋－＋12(－)＝－23＋12＋12＝－23a ＋12b ＋12c .6．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．解析：由于{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，所以a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)． 答案：a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)7．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝xa ＋yb ＋2c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.解析：因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λxa ＋λyb ＋2λc ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.答案：2 －28．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________.解析：如图，连接A 1C 1，C 1D ， 则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上，易知EF 綊12A 1D ，。
2019年高中数学 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示同步练习 理(普通班)新人教A版选修2
2019年高中数学 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示同步练习 理（普通班）新人教A 版选修2-1一、选择题1．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中真命题是( )A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c2．以下四个命题中正确的是( )A ．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B ．若{a ，b ，c }为空间向量的一组基底，则a ，b ，c 全不是零向量C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底3．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AB →＝3i ，AD →＝2j ，AA 1→＝5k ，则AC 1→( ) A ．i ＋j ＋k B.13i ＋12j ＋15k C ．3i ＋2j ＋5k D ．3i ＋2j －5k4．给出下列两个命题：①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a ，b 的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量OA→，OB→，OC→不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面．其中正确的命题是( )A．仅① B．仅② C．①② D．都不正确5．已知i、j、k是空间直角坐标系O－xyz的坐标向量，并且AB→＝－i＋j－k，则B点的坐标为( )A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k)C．(1，－1，－1) D．不确定6．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有( ) A．a与b共线B．a与b同向C．a与b反向D．a与b共面二、填空题7．已知e1、e2、e3是不共面向量，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，又d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为________．8．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{a＋b，a －b，c}下的坐标为________，在基底{2a，b，－c}下的坐标为________．三、解答题9．如图所示，平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→.(2)设G 、H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH→.10．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中的x 、y 、z 的值：(1)BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→.(2)AE →＝xAD→＋yAB →＋ zAA →.3.1.4答案1-6 .BBCBDA 7.[答案] 25 －1 －21. 8.[答案] (23，21，－1)(1,1,1)9.[解析] (1)→OB ′＝→OB ＋→BB ′＝→OA ＋→OC ＋→OO ′＝a ＋b ＋c . →AC ′＝→AC ＋→CC ′＝→AB ＋→AO ＋→AA ′ ＝→OC ＋→OO ′－→OA＝b ＋c －a .(2)→GH ＝→GO ＋→OH ＝－→OG ＋→OH＝－21(→OB ＋→OC ′)＋21(→OB ′＋→OO ′) ＝－21(a ＋b ＋c ＋b )＋21(a ＋b ＋c ＋c )＝21(c －b )10.[解析] (1)∵→BD ′＝→BD ＋→DD ′＝→BA ＋→BC ＋→DD ′＝－→AB ＋→AD ＋→AA ′ 又→BD ′＝x →AD ＋y →AB ＋z →AA ′∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵→AE ＝→AA ′＋→A ′E ＝→AA ′＋21→AC ′ ＝→AA ′＋21(→A ′B ′＋→A ′D ′)＝21→AD ＋21→AB ＋→AA ′，又→AE ＝x →AD ＋y →AB ＋z →AA ′. ∴x ＝21，y ＝21，z ＝1.37131 910B 鄋26693 6845 桅a26862 68EE 森]39195 991B 餛27308 6AAC 檬31689 7BC9 築33559 8317 茗 136516 8EA4 躤 6#。
高中北师大版数学选修2-1学案： 空间向量的标准正交分解与坐标表示 空间向量基本定理 含答案
§3向量的坐标表示和空间向量基本定理3．1空间向量的标准正交分解与坐标表示3．2空间向量基本定理知识点一空间向量的标准正交分解与坐标表示[填一填](1)在给定的空间直角坐标系中，令i，j，k分别为x轴，y轴，z 轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝x i＋y j＋z k.我们把a＝x i＋y j＋z k叫作a的标准正交分解，把i，j，k叫作标准正交基．(2)(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，记作a＝(x，y，z)．a＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示．在空间直角坐标系中，点P的坐标为(x，y，→的坐标也是(x，y，z)．z)，向量OP[答一答]空间点的坐标和空间的点为何是一一对应的？提示：在空间直角坐标系中，过空间点M向平面xOy引垂线，有且只有一条，设垂足为N，而N在xOy面内的横纵坐标都是唯一的，所以空间点的坐标和空间点是一一对应的．即在空间直角坐标系O-xyz→＝x i＋中，对空间任一点M，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OMy j＋z k，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．如图．知识点二向量a在向量b上的投影[填一填]一般地，若b0为b的单位向量，称a·b0＝|a|·cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影．可见，向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．[答一答]求证：向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．提示：设a＝x i＋y j＋z k，∴a·i＝x i·i＋y j·i＋z k·i，由于i⊥j，k⊥i，∴i·j＝0，k·i＝0，又|i|2＝i·i＝1，∴a·i＝x，同理a·j＝y，a·k＝z.知识点三 空间向量基本定理[填一填](1)如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3.空间中不共面的三个向量e 1，e 2，e 3叫作这个空间的一个基底．a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3表示向量a 关于基底e 1，e 2，e 3的分解．(2)特别地，当向量e 1，e 2，e 3两两垂直时，就得到这个向量的一个正交分解．当e 1＝i ，e 2＝j ，e 3＝k 时，就是标准正交分解．[答一答]求证：满足a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3中的λ1，λ2，λ3是唯一的． 提示：设a ＝λ1′e 1＋λ2′e 2＋λ3′e 3， 又∵a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，∴λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3＝λ1′e 1＋λ2′e 2＋λ3′e 3， ∴(λ1－λ1′)e 1＋(λ2－λ2′)e 2＋(λ3－λ3′)e 3＝0， 又∵e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量， ∴λ1′＝λ1，λ2′＝λ2，λ3′＝λ3， 即λ1，λ2，λ3是唯一的．1．关于空间向量的标准正交分解与坐标表示的几个注意点： (1)投影a ·b 0＝|a |cos 〈a ，b 〉是一个实数． ①若〈a ，b 〉∈[0，π2)，则a ·b 0>0； ②若〈a ，b 〉＝π2，则a ·b 0＝0； ③若〈a ，b 〉∈(π2，π]，则a ·b 0<0.(2)建立坐标系时，应注意点O 的任意性，原点O 的选择要便于解决问题，既有利于作图的直观性，又要尽可能地使各点的坐标为正．2．空间向量基本定理说明：(1)用空间三个不共面的已知向量组{e 1，e 2，e 3}可以线性表示出空间任意一向量，而且表示的结果是唯一的．(2)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底． (3)由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0.要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．3．特殊向量的坐标表示： 若向量a 平行x 轴，则a ＝(x,0,0)． 若向量a 平行y 轴，则a ＝(0，y,0)． 若向量a 平行z 轴，则a ＝(0,0，z )． 若向量a 平行xOy 平面，则a ＝(x ，y,0)． 若向量a 平行yOz 平面，则a ＝(0，y ，z )． 若向量a 平行zOx 平面，则a ＝(x,0，z )．题型一 空间向量的坐标表示【例1】 如图所示，已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1.求AN→，AM →的坐标．【解】 由题意可知P A ＝AD ＝AB ＝1，且P A ⊥平面AC ，AD ⊥AB ，不妨以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中AD→＝i ，AB →＝j ，AP →＝k .AM →＝12AB →＝12j ，AN →＝AP →＋PN →＝AP →＋12PC →＝AP →＋12(P A →＋AD →＋DC →)＝12AP →＋12AD →＋12AB →＝12i ＋12j ＋12k .故AM →＝(0，12，0)，AN →＝(12，12，12)． 规律方法 用坐标表示空间向量的一般步骤：(1)找垂线：仔细观察图形特征，寻找两两垂直的三条直线．若无，则需构造两两垂直的三条直线；(2)取基底：取(1)中找出的三条直线的单位方向向量为基底； (3)建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系； (4)进行计算：综合利用向量的加减及数乘运算； (5)确定结果：确定目标向量的坐标．如图，在空间直角坐标系中有长方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA ＝6，OC ＝8，OO ′＝5.(1)写出点B ′的坐标，并给出OB′→关于i ，j ，k 的标准正交分解式；(2)写出OC′→的坐标． 解：(1)因为OA ＝6，OC ＝8，OO ′＝5，所以点B ′的坐标为(6,8,5)，从而OB′→＝(6,8,5)＝6i ＋8j ＋5k . (2)因为点C ′的坐标是(0,8,5)，所以OC ′→＝(0,8,5)． 题型二 空间向量基本定理【例2】 如图，已知P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC 的重心，AB →＝i ，AD →＝j ，AP →＝k ，试用基底{i ，j ，k }表示向量PG→，BG →.【思路探究】 利用三角形法则，平行四边形法则将向量PG →，BG →用AB →，AD →，AP →来表示．由于点G 为△PDC 的重心，所以有PG ＝23PN .【解】 PG →＝23PN →＝23[12(PC →＋PD →)] ＝13(P A →＋AB →＋AD →＋AD →－AP →) ＝13AB →＋23AD →－23AP → ＝13i ＋23j －23k . BG→＝BC →＋CN →＋NG → ＝BC →＋CN →＋13NP →＝AD →－12DC →－13PN →＝AD →－12AB →－(16AB →＋13AD →－13AP →) ＝23AD →－23AB →＋13AP →＝－23i ＋23j ＋13k .规律方法 用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ QA ′＝41，用基底{a ，b ，c }表示以下向量．(1)AP→；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →. 解：连接AC ，AD ′.(1)AP →＝12(AC →＋AA ′→)＝12(AB →＋A D →＋AA ′→) ＝12(a ＋b ＋c )．(2)AM →＝12(AC →＋AD ′→)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12c . (3)AN →＝12(AC ′→＋AD ′→) ＝12[(AB →＋AD →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)] ＝12a ＋b ＋c .(4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45CA ′→ ＝AC →＋45(AA ′→－AC →) ＝15AC →＋45AA ′→＝15(AB →＋AD →)＋45AA ′→＝15a ＋15b ＋45c .题型三 空间向量基本定理的简单应用【例3】 如图所示，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明：A 、E 、C 1、F 四点共面； (2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z . 【思路探究】 第(1)问要证明四点共面只需证明AC 1→，可用AE →，AF →表示即可；第(2)问中求x ＋y ＋z 只需先把EF →用AB →，AD →，AA 1→表示出来，求出x 、y 、z ，再求x ＋y ＋z .【解】 (1)证明：∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→ ＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→ ＝(AB →＋13AA 1→)＋(AD →＋23AA 1→) ＝AB→＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →， ∴A 、E 、C 1、F 四点共面． (2)∵EF→＝AF →－AE → ＝AD→＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→ ＝－A B →＋AD →＋13AA 1→， ∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13. ∴x ＋y ＋z ＝13.规律方法 证明三个向量共面，直线与平面平行或直线在平面内，四点共面，都要利用共面向量定理，即对于向量p 来说是否存在x ，y ，使p ＝x a ＋y b 成立．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA→，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 解：(1)∵OA→＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA→－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)． ∴MA→＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →. ∴向量MA→，MB →，MC →共面． (2)由(1)知，向量MA→，MB →，MC →共面，三个向量的基线又有公共点M ，∴M ，A ，B ，C 共面，即点M 在平面ABC 内． 题型四 向量的投影【例4】 如图，已知单位正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′.(1)求向量CA′→在CD →上的投影； (2)DC →是单位向量，且垂直于平面ADD ′A ′，求向量CA ′→在DC →上的投影．【思路探究】 a 在b 上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉，只要求出|a |及〈a ，b 〉即可．【解】 (1)法1：向量CA ′→在CD →上的投影为|CA ′→|cos 〈CA ′→，CD →〉，又正方体棱长为1，∴|CA ′|＝12＋12＋12＝3，∴|CA′→|＝3， ∠DCA ′即为CA′→与CD →的夹角， 在Rt △A ′CD 中，cos ∠A ′CD ＝13＝33， ∴CA′→在CD →上的投影为 |CA ′→|cos 〈CA ′→，CD →〉＝3·33＝1.法2：在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，DC ⊥AD ，〈CA ′→，CD →〉＝∠DCA ′. ∵CA′→在CD →上的投影为 |CA′→|cos 〈CA ′→，CD →〉＝|CA ′→|cos ∠DCA ′＝|CD →|＝1. (2)CA ′→与DC →的夹角为180°－∠A ′CD ， ∴CA′→在DC →上的投影为 |CA ′→|cos(180°－∠A ′CD )＝－|CA ′→|·cos ∠A ′CD ＝－1.规律方法 (1)求向量a 在向量b 上的投影，可先求出|a |，再求出两个向量a 与b 的夹角，最后计算|a |cos 〈a ，b 〉，即为向量a 在向量b 上的投影，它可正、可负，也可以为零；也可以利用几何图形直观转化求解．(2)在确定向量的夹角时要注意向量的方向，如本题中〈CA ′→，CD →〉与〈CA′→，DC →〉是不同的，其和为π.已知正四面体P -ABC 的所有棱长均为1，D 是AC 的中点，如图所示，求：(1)向量PB→在PC →上的投影； (2)向量PB→在AP →上的投影； (3)向量BP→在BD →上的投影． 解：(1)向量PB →在PC →上的投影为|PB →|cos ∠BPC ＝1×cos π3＝12.(2)向量PB →在AP →上的投影为|PB →|·cos(π－∠APB )＝1×cos 2π3＝－12. (3)如题图所示，由正四面体的几何性质知，点P 在底面ABC 上的射影O 是底面△ABC 的中心，且在BD 上，在Rt △POB 中，OB ＝23×32＝33，∴向量BP→在BD →上的投影为 |BP →|cos ∠PBO ＝|BO →|＝33.——多维探究—— 利用向量基本定理证明线线垂直【例5】 如图，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .求证：CA 1⊥B 1D 1.【思路分析】 本题主要考查了空间向量的基本定理．解决这类问题首先应该找到作为基底的向量，再把相关向量表示为基底的线性形式，证明它们的数量积为零即可．【证明】 因为CA 1→＝CD →＋CB →＋CC 1→，B 1D 1→＝BD →＝CD →－CB →，所以CA 1→·B 1D 1→＝(CD →＋CB →＋CC 1→)·(CD →－CB →) ＝CD →2－CB →2＋CC 1→·(CD →－CB →) ＝|CD →|2－|CB →|2＋CC 1→·CD →－CC 1→·CB →＝|CD →|2－|CB →|2＋|CC 1→||CD →|·cos ∠C 1CD －|CC 1→||CB →|·cos ∠C 1CB ， 又因为∠C 1CB ＝∠C 1CD ，底面ABCD 为菱形，所以|CD →|2－|CB →|2＋|CC 1→||CD →|·cos ∠C 1CD －|CC 1→||CB →|·cos ∠C 1CB ＝0，即CA 1→·B 1D 1→＝0. 所以CA 1→⊥B 1D 1→， 故CA 1⊥B 1D 1.规律方法 用向量法证明垂直关系的操作步骤(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题．如图，在空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点．求证：OG ⊥BC .证明：如图，连接ON ， 设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ， 又设OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |. 又OG →＝12(OM →＋ON →) ＝12[12OA →＋12(O B →＋OC →)] ＝14(a ＋b ＋c )，BC→＝c －b . ∴OG →·BC →＝14(a ＋b ＋c )·(c －b ) ＝14(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c ) ＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG→⊥BC →，即OG ⊥BC .1．已知平行六面体OABC -O ′A ′B ′C ′中，OA →＝a ，OO ′→＝b ，OC →＝c .D 是四边形OABC 的中心，则( B )A.O ′D →＝－a ＋b ＋cB.O ′D →＝－b ＋12a ＋12cC.O ′D →＝12a －b －12cD.O ′D →＝12a ＋12c －12b解析：O ′D →＝O ′O →＋OD →＝－b ＋12(OA →＋OC →)＝－b ＋12a ＋12c . 2．点M (－1,3，－4)在坐标平面xOy ，xOz ，yOz 内的投影的坐标分别是( A )A ．(－1,3,0)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)B ．(0,3，－4)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)C ．(－1,3,0)，(－1,3，－4)，(0,3，－4)D ．(0,0,0)，(－1,0,0)，(0,3,0)解析：点M (－1,3，－4)在坐标平面xOy ，xOz ，yOz 内的投影就是过M 点分别向平面xOy ，xOz ，yOz 作垂线的垂足，其坐标是三个垂足的坐标．3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB →＝3i ，AD →＝2j ，AA 1→＝5k ，则AC 1→＝3i ＋2j ＋5k . 解析：AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝3i ＋2j ＋5k . 4．已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，从以下各向量a ，b ，c ，a ＋b ，a －b ，a ＋c ，a －c ，b ＋c ，b －c 中选出三个向量，构成空间向量的基底，请你写出三个基底．解：只要用不共面的三个向量均可构成基底．如a ，a ＋b ，a ＋c ；a ＋b ，b ＋c ，a ＋c ；a －c ，b －c ，a －b .。
高中数学 课时跟踪训练(七)空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理 北师大版选修2-1-北
课时跟踪训练(七) 空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理 1．在以下三个命题中，真命题的个数是( ) ①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则a ，b ，c 构成空间的一个基底．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.如图，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E 是平面A ′B ′C ′D ′的中心，a ＝12AA ，b ＝12AB ，c ＝13AD ，AE ＝x a ＋y b ＋z c ，则( ) A ．x ＝2，y ＝1，z ＝32B ．x ＝2，y ＝12，z ＝12C ．x ＝12，y ＝12，z ＝1D ．x ＝12，y ＝12，z ＝323．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，则1AB 在1CB 上的投影为( )A ．－22B.22C ．－2D. 24.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是面BB 1C 1C 的中心，且1AA ＝a ，AB＝b ，1AC ＝c ，则1A B ＝( )A.12a ＋12b ＋12c B.12a －12b ＋12cC.12a ＋12b －12c D ．－12a ＋12b ＋12c 5.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，CC 1＝1，则1AC 在BA 上的投影是________．6．在三棱锥O －ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝________(用a ，b ，c 表示)．7.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1各点的坐标，并写出DA ，DB ，DC ，1DC ，1DD ，1DA ，1DB 的坐标表示．8.如右图，已知PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC的重心，AB ＝i ，AD ＝j ，AP ＝k ，试用基底i ，j ，k 表示向量PG ，BG .答 案1．选C ③中向量a ，b ，c 共面，故a ，b ，c 不能构成空间向量的一个基底，①②均正确． 2．选A AE ＝AA '＋A E '＝AA '＋12(A B ''＋A D '')＝2a ＋b ＋32c . 3．选B ∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴|1AB |＝2，|AC |＝2，|1B C |＝ 2.∴△AB 1C 是等边三角形．∴1AB 在1CB 上的投影为|1AB |cos 〈1AB ，1CB 〉＝2×cos 60°＝22. 4．选D 1A D ＝11A C ＋1C D ＝AC ＋12(1C C ＋11C B ) ＝c ＋12(－1AA ＋CA ＋AB ) ＝c －12a ＋12(－c )＋12b ＝－12a ＋12b ＋12c . 5．解析：1AC 在BA 上的投影为|1AC |cos 〈1AC ，BA 〉，在△ABC 1中，cos ∠BAC 1＝|AB ||AC 1|＝222＋12＋12＝26＝63， 又|1AC |＝ 6.∴|1AC |cos 〈1AC ·BA 〉＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－63＝－2. 答案：－26．解析：如图，OE ＝OA ＋AE ＝OA ＋12AD ＝OA ＋14(AB ＋AC ) ＝OA ＋14(OB －OA ＋OC －OA )． ＝12OA ＋14OB ＋14OC ＝12a ＋14b ＋14c .答案：12a ＋14b ＋14c 7．解：∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1， ∴A (1,0,0), B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)．(1,0,0)，DB (1,1,0)，DC ＝(0,1,0)，1DC＝(0,1,1)(0,0,1)(1,0,1)(1,1,1)．8．解：∵G 是△PDC 的重心，＝13(＝13(＝13(－k ＋j －k ＋i ＋j )＝13i ＋23j －23k ，＝－i ＋k ＋13i ＋23j －23k ＝－23i ＋23j ＋13k .。
学空间向量与立体几何空间向量的正交分解及其坐标表示
学空间向量与立体几何空间向量的正交分解及其坐标表示xx年xx月xx日contents •空间向量基本概念及性质•空间向量的坐标表示•立体几何中空间向量的应用•空间向量与立体几何的结合•例题分析和解答目录01空间向量基本概念及性质三角形法则对于任意两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$。
其和向量$\overset{\longrightarrow}{c}$等于这两个向量的端点在平面上的投影向量的和平行四边形法则对于任意两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$。
其和向量$\overset{\longrightarrow}{c}$等于这两个向量的端点在平面上的投影向量的和对于任意一个实数$r$和任意一个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$。
其数乘向量$r\overset{\longrightarrow}{a}$等于$r$与$\overset{\longrightarrow}{a}$在平面上的投影向量的数乘向量的长度：对于任意一个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$，其长度记作$\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}$，其中$|\overset{\longrightarrow}{a}| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}$。
对于任意两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$。
设$\theta$为向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的夹角空间向量的夹角及垂直、平行关系向量的垂直：如果两个空间向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$的夹角为$90^{\circ}$或者一个向量是另一个向量的零向量，则称这两个向量互相垂直。
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2019年高中数学 课时跟踪训练（七）空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理 北师大版选修2-1 1．在以下三个命题中，真命题的个数是( ) ①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；
②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线；
③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则a ，b ，c 构成空间的一个基底．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2.如图，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E 是平面A ′B ′C ′D ′
的中心，a ＝12，b ＝12，c ＝13
，＝x a ＋y b ＋z c ，则( ) A ．x ＝2，y ＝1，z ＝32
B ．x ＝2，y ＝12，z ＝12
C ．x ＝12，y ＝12，z ＝1
D ．x ＝12，y ＝12，z ＝32
3．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，则在上的投影为( )
A ．－22 B.22
C ．－ 2 D. 2
4.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是面BB 1C 1C 的中心，且＝a ，＝b ，
＝c ，则＝( )
A.12a ＋12b ＋12
c B.12a －12b ＋12
c
C.12a ＋12b －12
c D ．－12a ＋12b ＋12
c 5.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，CC 1＝1，则在
上的投影是________．
6．在三棱锥O －ABC 中，＝a ，＝b ，＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD
的中点，则＝________(用a ，b ，c 表示)．
7.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间
直角坐标系，试写出A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1各点的坐标，并写出，，，，，，
的坐标表示．
8.如右图，已知PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC
的重心，＝i ，＝j ，＝k ，试用基底i ，j ，k 表示向量，.
答 案
1．选C ③中向量a ，b ，c 共面，故a ，b ，c 不能构成空间向量的一个基底，①②均正确．
2．选A ＝＋＝＋12(＋)＝2a ＋b ＋32c . 3．选B ∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，
∴||＝2，||＝2，||＝ 2.
∴△AB 1C 是等边三角形．
∴在上的投影为||cos 〈，〉＝2×cos 60°＝
22
. 4．选D ＝＋＝＋12
(＋) ＝c ＋12
(－＋＋) ＝c －12a ＋12(－c )＋12
b ＝－12a ＋12b ＋12
c . 5．解析：在上的投影为||cos 〈，〉，
在△ABC 1中，cos ∠BAC 1
＝|AB ||AC 1|＝222＋12＋12＝26＝63， 又||＝ 6.
∴||cos 〈·〉＝6×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
63＝－2. 答案：－2
6．解析：如图，＝＋＝＋12＝＋14
(＋) ＝＋14
(－＋－)． ＝12＋14＋14 ＝12a ＋14b ＋14
c . 答案：12a ＋14b ＋14
c 7．解：∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，
∴A (1,0,0), B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，
D 1(0,0,1)．
∴＝(1,0,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,0)，
＝(0,1,1)，＝(0,0,1)，＝(1,0,1)，＝(1,1,1)．
8．解：∵G 是△PDC 的重心，
∴＝23＝13
(＋) ＝13
(＋＋＋＋) ＝13(－k ＋j －k ＋i ＋j )＝13i ＋23j －23
k ， ＝＋＋
＝－i ＋k ＋13i ＋23j －23
k ＝－23i ＋23j ＋13
k .22461 57BD 垽24862 611E 愞22630 5866 塦23438 5B8E 宎34963 8893 袓S27457 6B41 歁ZN21290 532A 匪32284 7E1C 縜839066 989A 颚40405 9DD5 鷕31560 7B48 筈。